最新《运筹学》复习参考资料知识点及习题

14 每种产品在不同设备上加工所需的工时不同，这些产品销售后所能获得利润以及这三种加工
15 设备因各种条件限制所能使用的有效加工总时数如下表所示：
设
消
备
A
B
产
耗 品
甲
3
5
利润 C
（万元）
9
70
1
乙
9
5
3
30
有效总工时
540
450
720
——
16
问：该厂应如何组织生产，即生产多少甲、乙产品使得该厂的总利润为最大？
1
第一部分 线性规划问题的求解
2
一、两个变量的线性规划问题的图解法：
3 ㈠概念准备：定义：满足所有约束条件的解为可行解；可行解的全体称为可行（解）域。
4
定义：达到目标的可行解为最优解。
5
㈡图解法：
6
图解法采用直角坐标求解：x1——横轴；x2——竖轴。1、将约束条件（取等号）用直线
7
绘出；
8
2、确定可行解域；
71
注②：由 max{σj}确定所对应的行的变量为“入基变量”；
72
min 由θL=
i
bi aik
aik
0 确定所对应的行的变量为“出基变量”，行、列交叉处为主元
73 素，迭代时要求将主元素变为 1，此列其余元素变为 0。
74
例 1：用单纯形法求解（本题即是本资料 P2“图解法”例 1 的单纯形解法；也可化“对
75 偶问题”求解）
76
max z =70x1+30x2
77 s.t.
3x1 9x2 540
5x1 5x2 450
78
9x1 3x2 720
x1，x2 0
79
解：加入松弛变量 x3，x4，x5，得到等效的标准模型：
80
max z =70x1+30x2+0 x3+0 x4+0 x5
81 s.t.
43
min z =－3x1+x2
44 s.t.
x1
4
45
2x1
x2 5x2
3 12
x1
2x2
8
x1，x2 0
46 解：
⑴
⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹、⑺
47 48 可行解域为 bcdefb，最优解为 b 点。
49 由方程组 2x1x145x2 12
50
∴X*=
x1 x2
=（4，
4 5
）T
4 解出 x1=4，x2= 5
7
41
51 ∴min z =－3×4+ =－11
55
52
8
53 二、标准型线性规划问题的单纯形解法：
54 ㈠一般思路：
55 1、用简单易行的方法获得初始基本可行解；
56
2、对上述解进行检验，检验其是否为最优解，若是，停止迭代，否则转入 3；
57 3、根据θL 规则确定改进解的方向；
58 4、根据可能改进的方向进行迭代得到新的解；
b2
a21
a22
…
a2 n+m
.
.
.
.
.
.
…
…
…
…
.
.
.
cn+m xn+m
bn
am1
am2
…
am n+m
z1
z2
…
zn+m
σ1
σ2
…
σn+m
10
m
69
注①： zj =cn+1 a1j+ cn+2 a2j +…+ cn+m amj= cni aij ，（j=1，2，…，n+m）
i 1
70
σj =cj－zj ,当σj ≤0 时，当前解最优。
33
x1
x2 x2
8 7
x1，x2 0
34 解：
⑴
⑵ ⑶ ⑷ ⑸、⑹
35 36 可行解域为 oabcd0，最优解为 b 点。
37 由方程组
38
2x1 x2 10
x1
x2
8
解出 x1=2，x2=6
5
39
∴X*=
x1 x2
=（2，6）T
40 ∴max z = 6×2+4×6=36
41
6
42 例 3：用图解法求解
59
5、根据检验规则对新解进行检验，若是最优解，则停止迭代，否则转入 3，直至最优解。
60 ㈡具体做法（可化归标准型的情况）：
61
设已知
62
max z = c1x1+ c2x2+…+ cnxn
63
s.t.
a11x1 a12 x2 ... a1n xn b1
64
.a..21
x1 ...
a22 ...
17
（此题也可用“单纯形法”或化“对偶问题”用大 M 法求解）
18
2
19
解：设 x1、x2 为生产甲、乙产品的数量。
20
max z = 70x1+30x2
⑴
21 s.t.
3x1 9x2 540
22
95xx11
5x2 3x2
450 720
x1，x2 0
⑵
⑶ ⑷ ⑸、⑹
23
24
可行解域为 oabcd0，最优解为 b 点。
0
x5
720 （9）
3
0
0
1
720/9 =80
0
0
0
0
0
70↑
30
0
0
0
0
x3
300
0
8
1
0
- 1/3 300/8 =37.5
0
x4
50
0 （10/3） 0
1
- 5/9 50/10/3 =15
70
x1
80
1
1/3
0
0
1/9 80/1/3 =240
3x1 9x2 x3 540
5x1 5x2 x4 450
82
9x1 3x2
x5 720
x j 0, j 1,2,...,5
83 列表计算如下：
11
70
30
0
0
0
CB
XB
b
θL
x1
x2
x3
x4
x5
0
x3
540
3
9
1
0
0
540/3 =180
0
x4
450
5
5
0
1
0
450/5 =90
. ...
.
.
a2
n
xn
am1x1 am2 x2 ... amn xn
xn2 b2 xnm bm
x j 0，j 1，2 ，... ，n
67 列表计算，格式、算法如下：
68
c1
c2
…
cn+m
CB
XB
来自百度文库
b
θL
x1
x2
…
xn+m
cn+1 xn+1
b1
a11
a12
…
a1 n+m
c n+2 xn+2
x2 ...
...
a2n xn
b2
am1x1 am2 x2 ... amn xn bm
x j 0，j 1，2 ，... ，n
65
对第 i 个方程加入松弛变量 xn+i，i =1，2，…，m，得到
9
a11x1 a12 x2 ... a1n xn xn1 b1
66
a2.1.x.1
a22 x2 ... ...
9
3、绘出目标函数的图形（等值线），确定它向最优解的移动方向；
10
注：求极大值沿价值系数向量的正向移动；求极小值沿价值系数向量的反向移动。
11
4、确定最优解及目标函数值。
12 ㈢参考例题：（只要求下面这些有唯一最优解的类型）
13
例 1：某厂生产甲、乙两种产品，这两种产品均需在 A、B、C 三种不同的设备上加工，
25
由方程组
5x1 5x2 450
26
9x1 3x2 720
解出 x1=75，x2=15
27
∴X*=
x1 x2
=（75，15）T
3
28
∴max z =Z*= 70×75+30×15=5700
29
4
30 例 2：用图解法求解
31
max z = 6x1+4x2
32 s.t.
2x1 x2 10