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相似三角形知识点与经典题型知识点 1 有关相似形的概念(1) 形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形 .(2) 如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比( 相似系数 ) ．知识点 2 比例线段的相关概念（ 1）如果选用同一单位量得两条线段 a,b 的长度分别为 m, n ，那么就说这两条线段的比是amb n ，或写成 a : bm : n ．注：在求线段比时，线段单位要统一。
（ 2）在四条线段 a, b, c, d 中，如果 a 和 b 的比等于 c 和d 的比，那么这四条线段a,b,c, d 叫做成比例线段，简称比例线段． 注：①比例线段是有顺序的， 如果说 a 是 b, c, d 的第四比例项， 那么应得比例式为：bd ．② a ccac ： d)中，a 、d 叫比例外项， b 、c 叫比例内项 , a 、c 叫比例前项， b 、d 叫比例后在比例式(a ： bbdb=c ，即 a ：b b ：d 那么 b 叫做 a 、 d 的比例中项， 此时有 b 2项， d 叫第四比例项，如果 ad 。
（ 3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段 AC , BC ( AC BC ) ，且使 AC 是 AB 和 BC 的比例中项，即AC 2 AB BC ，叫做把线段 AB 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，其中AC5 1AB ≈20.618 AB ．即ACBC 5 1 简记为： 长＝ 短＝5 1ABAC2全 长 2注：黄金三角形：顶角是360 的等腰三角形。
黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形知识点 3 比例的性质（ 注意性质立的条件：分母不能为0）（ 1） 基本性质：① a : b c : d adbc ；② a : b b : c b 2a c ． ad bc ，除注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如了可化为 a : b c : d ，还可化为 a : c b : d ， c : d a : b ， b : d a : c ， b : ad : c ， c : a d : b ，d : c b : a ， d : b c : a ．a b，交换内项)c d (（ 2） 更比性质 ( 交换比例的内项或外项) ：ac d c ，交换外项( )b db ad b．同时交换内外项)ca (（ 3）反比性质 ( 把比的前项、后项交换) ：ac bd ．b da c（ 4）合、分比性质：a c abcd ．bdbd注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间b ad c发生同样和差变化比例仍成立．如：a cac 等等．b da b c da bc d（ 5）等比性质：如果 ac e m(b d fn 0) ，那么 acem a ．bd fnb d f nb注：①此性质的证明运用了“设 k 法”（即引入新的参数 k ）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：a c e a 2c 3e a 2c 3e a；其中 b 2d 3 f 0．b d f b 2d 3 f b 2d 3 fb知识点 4比例线段的有关定理1. 三角形中平行线分线段成比例定理: 平行于三角形一边的直线截其它两边( 或两边的延长线 ) 所得的对应线段成比例 .A由 DE ∥ BC 可得：注：AD AE 或 BD EC 或 AD AE DB EC AD EA AB ACD EB C①重要结论：平行于三角形的一边, 并且和其它两边相交的直线, 所截的三角形的三边 与原三角形三边 对应成比．．．．．． ．．．．．．例 .②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理： 如果一条直线截三角形的两边( 或两边的延长线 ) 所得的对应线段成比例 . 那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法 , 即：利用比例式证平行线 .③平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线, 但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比 .2. 平行线分线段成比例定理: 三条平行线截两条直线 , 所截得的对应线段成比例 .A D 已知 AD ∥ BE ∥CF,BE可得ABDE 或 AB DE 或 BC EF 或 BC EF 或 AB BC 等. CFBCEF AC DF AB DE AC DF DE EF注：平行线分线段成比例定理的推论：平行线等分线段定理： 两条直线被三条平行线所截， 如果在其中一条上截得的线段相等， 那么在另一条上截得的线段也相等。
《相似三角形》 讲义
《相似三角形》讲义一、相似三角形的定义如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形就叫做相似三角形。
相似三角形是初中数学中非常重要的一个概念，它在几何证明、计算以及实际生活中都有着广泛的应用。
二、相似三角形的判定1、两角分别相等的两个三角形相似如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
这是因为三角形的内角和为 180 度，当两个角相等时，第三个角也必然相等。
例如，在三角形ABC 和三角形A'B'C'中，如果∠A ＝∠A'，∠B ＝∠B'，那么三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'。
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
例如，在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，如果AB/A'B' ＝ AC/A'C'，且∠A ＝∠A'，那么三角形 ABC 相似于三角形A'B'C'。
3、三边成比例的两个三角形相似如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
例如，在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，如果 AB/A'B' ＝ BC/B'C' ＝AC/A'C'，那么三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'。
三、相似三角形的性质1、相似三角形的对应角相等这是相似三角形的基本性质之一。
因为相似三角形是通过对应角相等来定义的，所以相似三角形的对应角必然相等。
2、相似三角形的对应边成比例相似三角形的对应边的比值是相等的，这个比值称为相似比。
例如，如果三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'，相似比为 k，那么 AB/A'B' ＝BC/B'C' ＝ AC/A'C' ＝ k。
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第1讲相似三角形讲义学习目标解三角形相似的判定方法学习重点：能够运用三角形相似判定方法解决数学问题及实际问题．学习难点：运用三角形相似判定方法解决数学问题的思路学习过程一、证明三角形相似例1：已知，如图，D为△ABC内一点连结ED、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD 求证：△DBE∽△ABC例2、矩形ABCD中，BC=3AB，E、F，是BC边的三等分点，连结AE、AF、AC，问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。
下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形EC(2)如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“相交线型”的相似三角形。
ABCDE12AABB C CDDEE12412(3)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。
观察本题的图形，如果存在相似三角形只可能是“相交线型”的相似三角形，及△EAF与△ECA二、相似三角形证明比例式和乘积式例3、△ABC中，在AC上截取AD，在CB延长线上截取BE，使AD=BE，求证：DF∙AC=BC∙FEAB CDE FAB CDEFK例4：已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=900，M 是BC 的中点，DM ⊥BC 于点E ，交BA 的延长线于点D 。
求证：（1）MA 2=MD ∙ME ；（2）MD MEADAE =22三、相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。
例5：已知：如图E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 和AD 上的点，且31==AD AF AB EB 。
求证：∠AEF=∠FBD例6、直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，BCDE 是正方形，AE 交BC 于F ，FG ∥AC 交AB 于G ，求证：FC=FG例7、Rt △ABC 锐角C 的平分线交AB 于E ，交斜边上的高AD 于O ，过O 引BC 的平行线交AB 于F ，求证：AE=BFABCDEM12A B CD E F GA B C D F G E AB C DE F O123E 图2目标训练 一、填空题1、 两个相似三角形的面积比S 1:S 2与它们对应高之比h 1:h 2之间的关系为 ．2、 如图2，平行四边形ABCD 中，E 是边BC 上的点，AE 交BD 于点F ，如果23BE BC =，那么BF FD= ．233、如图，点1234A A A A ，，，在射线OA 上，点123B B B ，，在射线OB 上，且112233A B A B A B ∥∥，213243A B A B A B ∥∥．若212A B B △，323A B B △的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为 ．4. △ABC 中，DE ∥FG ∥BC ，且AD ：1，则S △ADE ：S 四边形DFGE ：S 四边形FBCG =二、选择题1.已知△ABC∽△DEF，且AB ：DE=1：2，则△ABC 的面积与△DEF 的面积之比为（ ）(A)1：2 (B)1：4 (C)2：1 (D)4：12.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x ，那么x 的值（ ）A ．只有1个B ．可以有2个C ．有2个以上但有限D ．有无数个3.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm ，下半身长x与身高l 的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（ ） A ．4cm B ．6cm C ．8cm D ．10cm4、如图，△ABC 是等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截，AB 被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC的面积的 （ ） Ａ．91 Ｂ．92 Ｃ．31Ｄ．94（第3题图）1 2 345、 如图，直角梯形ABCD 中，∠BCD ＝90°，AD ∥BC ，BC ＝CD ，E 为梯形内一点，且∠BEC ＝90°，将△BEC 绕C 点旋转90°使BC 与DC 重合，得到△DCF ，连EF 交CD 于M ．已知BC ＝5，CF ＝3，则DM:MC 的值为 （ ） A.5:3 B.3:5 C.4:3 D.3:46、 如图，在Rt △ABC 内有边长分别为,,a b c 的三个正方形，则,,a b c 满足的关系式是（ ） A 、b a c =+ B 、b ac = C 、222b ac =+ D 、22b a c ==7、如图,Rt △ABAC 中,AB ⊥AC ,AB =3,AC =4,P 是BC 边上一点,作PE ⊥AB 于E,PD ⊥AC 于 D ,设BP =x ,则PD+PE =（ ） A.35x + B.45x -C.72D.21212525x x -三、解答题1、如图5，在△ABC 中，BC>AC ， 点D 在BC 上，且DC ＝AC,∠ACB 的平分线CF 交AD 于F ，点E 是AB 的中点，连结EF.（1）求证：EF ∥BC.（2）若四边形BDFE 的面积为6，求△ABD 的面积.2、 （本小题满分10分）如图：在等腰△ABC 中，CH 是底边上的高线，点P 是线段CH 上不与端点重合的任意一点，连接AP 交BC 于点E,连接BP 交AC 于点F. (1) 证明：∠CAE=∠CBF; (2) 证明：AE=BF;(3) 以线段AE ，BF 和AB 为边构成一个新的三角形ABG （点E 与点F 重合于点G ），记△ABC 和△ABG 的面积分别ABCDE P为S △ABC 和S △ABG ,如果存在点P,能使得S △ABC =S △ABG ,求∠C 的取之范围。
相似三角形模型(全)课件
在解题过程中，可以根据题目的条件 选择适当的方法来证明或推导结论。
全等三角形可以用来证明两个三角形 完全重合，而相似三角形则可以用来 研究两个三角形的形状和大小关系。
05
相似三角形的证明方法
利用角角相似的证明方法
01
02
03
总结词
通过比较两个三角形的对 应角，如果两个三角形有 两组对应的角相等，则这 两个三角形相似。
相似三角形的对应角相等
总结词
如果两个三角形相似，则它们的 对应角相等。
详细描述
根据相似三角形的定义，如果两 个三角形对应的角都相等，则这 两个三角形是相似的。因此，相 似三角形的对应角必然相等。
相似三角形的对应边成比例
总结词
如果两个三角形相似，则它们的对应边之间存在一定的比例关系。
详细描述
由于两个三角形相似，它们的对应角相等，根据三角形的性质，对应的边之间 必然存在一定的比例关系，这个比例关系是固定的，与三角形的形状和大小无 关。
相似三角形的面积比等于边长比的平方
总结词
如果两个三角形相似，则它们的面积之比等于对应边长之比 的平方。
详细描述
根据相似三角形的性质，两个相似三角形的对应边长之比是 固定的，设为k。那么它们的面积之比就是k的平方，即k^2 。这意味着相似三角形的面积比等于边长比的平方。
相似三角形的周长比等于边长比
相似三角形模型(全)课件
目 录
• 相似三角形的基本概念 • 相似三角形的性质和定理 • 相似三角形的应用 • 相似三角形与全等三角形的关系 • 相似三角形的证明方法
01
相似三角形的基本概念
相似三角形的定义
相似三角形的定义
相似三角形的性质
如果两个三角形对应的角相等，则这 两个三角形相似。
相似三角形的性质与判定专题讲义
相似三角形的性质与判定专题讲义一、知识梳理（一）、相似三角形的性质：1、相似三角形的对应角，对应边。
2、相似三角形的对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于。
3、相似三角形对应周长的比等于。
4、相似三角形对应面积的比等于。
注意：在运用相似三角形的性质解题时，一定要确定好对应边、对应角；若果不能确定，则应当进行分类讨论。
（二）、相似三角形的判定：1、判定两个三角形相似的条件：（1）平行截割： _____（2）两角对应相等：（3）两边夹：（4）三边比：_____________________________________2、判定两个三角形相似的一般步骤：（1）先通过已知或平行、对顶角、公共边、寻找是否存在两对相等的角（2）若只能找到一对对应角相等，则再找到一对对应角相等,或找夹这个角的两边是否对应成比例。
（3）若找不到相等的角，就分析三边是否3、等积式的证明思路遇等积，化等比；横找、竖找定相似；不相似，莫生气，等线等比来代替；平行线转比例，两端各自拉关系。
二、基础练习1．（2013•重庆）已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为3：4，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．4：3 B．3：4 C．16：9 D．9：162．两相似三角形的最短边分别是5cm和3cm，它们的面积之差为32cm2，那么小三角形的面积为（）A．10cm2B．14cm2C．16cm2D．18cm23．如图，已知△ABC，AB=6，AC=4，D为AB边上一点，且AD=2，E为AC边上一点（不与A、C重合），若△ADE与△ABC相似，则AE=（）A．2 B．34C．3或43D．3或344．（2008•毕节地区）已知△ABC的三条长分别为2cm，5cm，6cm，现将要利用长度为30cm和60cm的细木条各一根，做一个三角形木架与△ABC相似，要求以其中一根作为这个三角形木架的一边，将另一根截成两段（允许有余料，接头及损耗忽略不计）作为这个三角形木架的另外两边，那么这个三角形木架的三边长度分别为（）A．10cm，25cm，30cmB ．10cm ，30cm ，36cm 或10cm ，12cm ，30cmC ．10cm ，30cm ，36cmD ．10cm ，25cm ，30cm 或12cm ，30cm ，36cm 5．（2010•淄博）在一块长为8、宽为32的矩形中，恰好截出三块形状相同、大小不等的直角三角形，且三角形的顶点都在矩形的边上．其中面积最小的直角三角形的较短直角边的长是．6．如图，D 、E 分别是AC ，AB 上的点，∠ADE ＝∠B ，AG ⊥BC 于点G ，AF ⊥DE 于点F.若AD ＝3，AB＝5，求： （1）AGAF；（2）△ADE 与△ABC 的周长之比；三、 重难点高效突破专题一：计算线段的长度或线段之间的比在几何中线段长度计算常用的方法是：1、运用勾股定理计算；2、运用相似三角形对应边成比例计算；3、综合运用进行计算。
《相似三角形的应用》 讲义
《相似三角形的应用》讲义一、相似三角形的定义和性质相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的两个三角形。
如果两个三角形相似，那么它们的对应边的比叫做相似比。
相似三角形具有以下重要性质：1、对应角相等：相似三角形的对应角大小相等。
2、对应边成比例：相似三角形的对应边的长度之比等于相似比。
3、周长比等于相似比：两个相似三角形的周长之比等于它们的相似比。
4、面积比等于相似比的平方：相似三角形的面积之比等于相似比的平方。
这些性质是解决相似三角形应用问题的基础，我们需要熟练掌握并能够灵活运用。
二、相似三角形在测量中的应用1、测量高度在实际生活中，我们经常需要测量一些物体的高度，如大树、高楼等。
当直接测量高度有困难时，可以利用相似三角形的原理来解决。
例如，要测量一棵大树的高度，可以在与大树底部水平的地面上选择一点 A，然后在 A 点处直立一根标杆 CD，测量出标杆的长度 CD 以及标杆顶端 D 与树顶 E 的仰角∠DAE 和∠DBC。
由于标杆与地面垂直，大树也与地面垂直，所以三角形 ADE 和三角形 ABC 相似。
根据相似三角形对应边成比例，可得：AB ／ AD ＝ BC ／ DE已知 AB、AD、BC 的长度，就可以求出大树的高度 DE。
2、测量距离相似三角形还可以用于测量无法直接到达的两点之间的距离。
比如，要测量一条河的宽度。
可以在河的一侧选择一点 A，在对岸选择一点 B，然后在 A 点所在的岸边选择另一点 C，使得 AC 与河岸垂直。
再在 AC 上选择一点 D，使得∠ADB ＝∠ABC。
此时三角形ABD 和三角形 ABC 相似。
通过测量 AC、AD 的长度以及∠ADB 的度数，就可以根据相似三角形的性质求出河的宽度 AB。
三、相似三角形在几何证明中的应用在几何证明题中，常常会遇到需要证明两个三角形相似的情况。
这时，我们需要根据已知条件寻找三角形相似的条件。
常见的证明三角形相似的方法有：1、两角对应相等的两个三角形相似。
相似三角形知识点整理精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版相似三角形知识点整理重点、难点分析：1、相似三角形的判定性质是本节的重点也是难点．2、利用相似三角形性质判定解决实际应用的问题是难点。
☆内容提要☆ 一、本章的两套定理第一套（比例的有关性质）：涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。
第二套：二、有关知识点： 1.相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。
3.相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。
4.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三反比性质：cda b = 更比性质：dbc a a c bd ==或 合比性质：ddc b b a ±=± ⇒=⇔=bc ad d c b a （比例基本定理） ban d b m c a n d b n m d c b a =++++++⇒≠+++=== :)0(等比性质 相似基本定理 推论(骨干定理)平行线分线段成比例定理(基本定理)应用于△中 相似三角形定理1定理2 定理3 Rt △ 推论推论的逆定理推论角形相似。
5.相似三角形的判定定理：(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：类型斜三角形直角三角形全等三角形的判定SAS SSS AAS（ASA）HL相似三角形的判定两边对应成比例夹角相等三边对应成比例两角对应相等一条直角边与斜边对应成比例从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。
6.直角三角形相似：(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
相似三角形知识讲义
ECDAF BABC E DABCE D 相似三角形知识讲义一．相似三角形的概念及特征 二．相似三角形的性质（功能） 三．常见的相似三角形1.如图，平行四边形ABCD 中，E 是边BC 上的点，AE 交BD 于点F ，如果23BE BC =，那么BFFD = ．2、 如图，已知D 、E 分别是ABC ∆的AB 、 AC 边上的点，,DE BC // 且1ADE DBCE S S :=:8, 四边形 那么:AE AC 等于（ ） A ．1 : 9 B ．1 : 3 C ．1 : 8 D ．1 : 23、如图,Rt △ABC 中,AB ⊥AC ,AB =3,AC =4,P 是BC 边上一点, 作PE ⊥AB 于E,PD ⊥AC 于D ,设BP =x ,则PD+PE =（ ）A.35x + B.45x -C.72D.21212525x x -4、如图，梯形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ，G 是BD 的中点． 若AD = 3，BC = 9，则GO : BG =（ ）．A ．1 : 2B ．1 : 3C ．2 : 3D ．11 : 205、如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ， 连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE ＝∠B. (1) 求证：△ADF ∽△DEC(2) 若AB ＝4,AD ＝33,AE ＝3,求AF 的长A E CB D DCBAA B C D OGABDCOD PAEF CB四．相似三角形的应用1、如图，四边形ABCD 中，AD ＝CD ，∠DAB ＝∠ACB ＝90°， 过点D 作DE ⊥AC ，垂足为F ，DE 与AB 相交于点E. （1）求证：AB ·AF ＝CB ·CD（2）已知AB ＝15cm ，BC ＝9cm ，P 是射线DE 上的动点.设DP ＝xcm （x ＞0），四边形BCDP 的面积为ycm 2. ①求y 关于x 的函数关系式；②当x 为何值时，△PBC 的周长最小，并求出此时y 的值.2、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边分别在x 轴和y 轴上，82OA = cm ， OC=8cm ，现有两动点P 、Q 分别从O 、C 同时出发，P 在线段OA 上沿OA 方向以每秒2 cm 的速度匀速运动，Q 在线段CO 上沿CO 方向以每秒1 cm 的速度匀速运动．设运动时间为t 秒． （1）用t 的式子表示△OPQ 的面积S ；（2）求证：四边形OPBQ 的面积是一个定值，并求出这个定值； （3）当△OPQ 与△P AB 和△QPB 相似时，抛物线214y x bx c =++经过B 、P 两点，过线段BP 上一 动 点M 作y 轴的平行线交抛物线于N ，当线段MN 的长取最大值时，求直线MN 把四边形OPBQ 分成两部分的面积之比．CBA O y x图1DM 3、在直角梯形OABC 中，CB ∥OA ，∠CO A ＝90º，CB ＝3，OA ＝6，BA ＝35．分别以OA 、OC 边所在直线为x 轴、y 轴建立如图1所示的平面直角坐标系． （1）求点B 的坐标；（2）已知D 、E 分别为线段OC 、OB 上的点，OD ＝5，OE ＝2E B ，直线DE 交x 轴于点F ．求直线DE 的解析式；（3）点M 是（2）中直线DE 上的一个动点，在x 轴上方的平面内是否存在另一个点N ．使以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．4、如图1，已知梯形OABC ，抛物线分别过点O （0，0）、A （2，0）、B （6，3）．（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M 的坐标；（2）将图1中梯形OABC 的上下底边所在的直线OA 、CB 以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O 1、A 1、C 1、B 1，得到如图2的梯形O 1A 1B 1C 1．设梯形O 1A 1B 1C 1的面积为S ，A 1、 B 1的坐标分别为 (x 1，y 1)、(x 2，y 2)．用含S 的代数式表示2x －1x ，并求出当S ＝36时点A 1的坐标；（3）在图1中，设点D 坐标为(1，3)，动点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q 从点D 出发，以与点P 相同的速度沿着线段DM 运动．P 、Q 两点同时出发，当点Q 到达点M 时，P 、Q 两点同时停止运动．设P 、Q 两点的运动时间为t ，是否存在某一时刻t ，使得直线PQ 、直线AB 、x 轴围成的三角形与直线PQ 、直线AB 、抛物线的对称轴．．．围成的三角形相似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．A BDEFC OMNxy图2O 1A 1O y xB 1C 1DM。
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相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似形1・图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。
2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形,或者就说是相似性。
注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位•用、颜色、大小无关。
⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括•立体图形相似的情况。
⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的.⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例一一全等形.3•相似多边形的性质:如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
注意:当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1.知识点二：比例线段有关概念及性质（1）有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。
a. b的长度分別是m、n,那么就说这两条线段a _ m的比是a： b = m： n （或〃n）2、比的前项，比的后项：两条线段的比a： b屮。
a叫做比的前项，b叫做比的后项。
说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。
兰_ £3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如芦°a _ £4、比例外项：在比例“ d（或a： b=c： d）中a、d叫做比例外项。
a _ c5、比例内项：在比例〃〃（或a： b = c： d）中b、c叫做比例内项。
a _ c6、第四比例项：在比例〃d（或a： b=c： d）中，d叫a、b、c的第四比例项。
7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为U（或a:b=b:c时，我们把b 叫做a和d的比例中项。
&比例线段：对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即（或a： b二c： d）,那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线b d 段。
（注意：在求线段比时，线段单位要统单位不统一应先化成同一单位）（2）比例性质—――o ad = he1•基本性质：b d（两外项的积等于两内项积）a cb d _ "> 2•反比性质： b d ac （把比的前项、后项交换）3. 更比性质（交换比例的内项或外项）:- = 交换内项） c df ?=£,佼换外项）h d b a- = -.（R ］时交换内外项） c a4•合比性质：f = £二字=申（分子加（减）分母，分母不变） b a b a注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间5•等比性质：（分子分母分别相加，比值不变•）=• • • = — (/? + 〃 + f H n 0),那么 n 注意：（1）此性质的证明运用了“设k 法”，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法.（2） 应用等比性质吋，要考虑到分母是否为零.（3） 可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成 立・知识点三：黄金分割1）定义:在线段AB 上，点C 把线段4B 分成两条线段AC 和BC （AC>BC ）,如果些=匹，AB AC即AC 2=AB X BC,那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割 点，AC 与AB 的比叫做黄金比。
其中AC=^~l AB^O.618 AB.22）黄金分割的几何作图：已知：线段AB.求作：点C 使C 是线段AB 的黄金分割点.发生同样和差变化比例仍成立.如: aa c • bd a-b c-da+b c+dace如果一=—=— b d f a ~b b-ci d-cBD=^AB作法：①过点B 作BD±AB,使 2② 连结AD,在DA 上截取DE 二DB ；③ 在AB 上截取AC 二AE,则点C 就是所求作的线段AB 的黄金分割点.黃金分割的比值为:AC _ BC肋 4C 2 .（只要求记住）3）矩形中，如果宽与长的比是黄金比，这个矩形叫做黄金矩形。
知识点四：平行线分线段成比例定理（一）平行线分线段成比例定理1. 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比.2. 推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比 例.（1） 是“A”字型（2） 是“8”字型经常考，关键在于找An AF RD FC AD AF由DE//BC 可得：-=云或荷二云或百=花•此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.可得 AB ~BC BDE ~EF或 1B3.推论的逆定理：如杲一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.（即利用比例式证平行线）4.定理：平行于三角形的一-边,并且和其它两边相交的直线，所截的三角形的三边与原• ••••• • 三角孚三边对应成比例.5.平行线等分线段定理：三条平行线截两条直线，如果在一条直线上截得的线段相等，难么在另一条直线上截得的线段也相等。
★★★三角形一边的平行线性质定理定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所得的线段对应成比例。
几何语言・・・AABE中BD/7CEAB AD 上上.・.BC DE简记：下下AB AD BC DE上上下下~~ -- ------ ----- ------------------------------------- ~~归纳：AC AE 和AC A匕推广：类似地还可以得到全全和I •]■.★★★三角形一边的平行线性质定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.★★★三角形一边的平行线的判定定理三角形一边平行线判定定理如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例, 那么这条直线平行于三角形的第三边.三角形一边的平行线判定定理推论如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.★★★平行线分线段成比例定理1. 平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例.重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍. 知识点三：相似三角形1、相似三角形1）定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。
几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似。
两个等腰直角三角形一定相似。
两个等边三角形一定相似。
两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。
补充：对于多边形而言，所有圆相似；所有正多边形相似（如正四边形、正五边形等等）;2） 性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。
3） 相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。
如ZSABC 与ADEF 相似，记作△ ABCsMEF 。
相似比为k 。
4） 判定：①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。
② 三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形耳原三 角形相似。
三角形相似的判定定理：判定定理1：如果-个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.简述为：两角对应相等，两三角形相似.（此定理用的最多）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三拜形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.简述为：三边对应成比例，两三角形相似.直角三角形相似判定定理：① .斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
② .直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。
用符号语言表示: AD 〃BE 〃CF, 4B DE BC _ EF 4B DE~BC~~EF'~AC~~DF'~AC~~DF2.平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一直线上所截得的线段相等，那么在另一直线上所截得的线段也相等.用符号语言表示: BC.重心定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心.ADDE =>AB补充一：直角三角形中的相似问题：斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似.射影定理：■CD?二AD • BD,AC2=AD • AB,BC2=BD • BA（在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用）. …补充二：三角形相似的判定定理推论推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。
推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。
推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。
推论四：直角三角形被斜边上的髙分成的两个直角三角形和原三角形都相似。
推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。
相似三角形的性质①相似三角形对应角相等、对应边成比例.②相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线、周长的比都等于相似比（对应边的比）.③相似三角形对应面积的比等于相似比的平方.2、相似的应用：位似1）定义：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。
需注意：①位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形, 而相似图形不一定是位似图形。
②两个位似图形的位似中心只有一个。
③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧。
④位似比就是相似比。
2）性质：①位似图形首先是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质。
②位似图形是一种特殊的相似图形，它又具有特殊的性质，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于位似比（相似比）。
③每对位似对应点与位似中心共线，不经过位似中心的对应线段平行。
巩固练习： 典型例题例1、.弓玄AB 和CD 相交于Oo 内一点P,求证:PA ・PB 二PC ・PD例2：如图，AABC 中，AD 是ZBAC 的平分线，AD 的垂直平分线交AD 于 E,交BC 的延长线于F求证：AABF^ ACAF例 3.如图：在 Rt △ ABC 中，ZABC=900,BD 丄AC 于 D,若 AB=6 ；AD=2；则 AC= _____ BD= ____ ； BC= ____例4、如图：在Rt △ ABC 中, 长线交BA 的延长线于F, 求证：AB : AC=DF : BF例5.如图：小明想测量一颗大树AB 的高度，发现树的影子恰好落在土坡的坡面CD 和地面 CB 上，测得CD=4m,BC=10m, CD 与地而成30度角，且测得1米竹杆的影子长为2米， 那么树的高度是多少？ A 」ZABC=900, BD 丄AC 于D ,若E 是BC 中点，ED 的延 BDA BF针对性练习1、判断① 所有的等腰三角形都相似. ② 所有的直角三角形都相似. ③ 所有的等边三角形都相似. ④ 所有的等腰直角三角形都相似.2、Rt的斜边力〃上有一动点尸(不与点力、$重合),过尸点作直线截使截得的三角形与△昇％相似，则满足这样条件的直线共有 多少条，请你画出来。