质点的位置矢量

合集下载

大学物理(1质点力学)

大学物理(一) 力学主讲:刘维一参考书：《大学物理》(新版) 上册，吴百诗主编科学出版社《大学物理（新版）学习指导》，张孝林主编，科学出版社基础知识：矢量：有大小，有方向，加法符合平行四边形法则微积分：导数：求变化率的数学运算积分：求和的数学运算第一章质点运动学第一节质点的概念有质量，没有体积质点是理想模型。

忽略了物体的形状、大小所产生的效果,突出了质量、位置和力三者之间的主要矛盾质点→质点组→刚体→弹性→振动→波,,i j k第二节位移矢量与运动学方程质点位置的确定方法：1、选定参照点2、从参照点到质点作一矢量r用矢量 r即可确定质点的位置质点的运动学方程当质点在空间移动时，质点的位置矢量随时间发生变化：这就是质点的运动学方程直角坐标系下的运动学方程选择直角坐标系oxyz分量形式：分别表示x ，y ，z 三个方向，其大小为1。

直角坐标系的特点：三个基矢量的方向不变。

由质点的运动学方程可以得到质点的全部运动信息：轨迹、速度、加速度()r r t =()()()()r r t x t i y t j z t k==++()()()x x t y y t z z t ===例：质点的运动学方程为： x=Rcos(t) y=Rsin(t)消去时间 t 即得到轨迹方程：X 2＋y 2＝R 2第三节由位移求速度和加速度（重点）位置矢量与位移矢量的方向速度是位移随时间的变化率速度就是运动学方程对时间求导数运算在直角坐标系下：分量形式为：速度的大小：()()r r t t r t ∆=+∆- 0lim t r dr v tdt ∆→∆==∆x y z dr dx dy dz v i j k v i v j v kdt dt dt dt==++=++()()()x y z dx t v dt dy t v dt dz t v dt===v =例题1、质点的运动学方程为：求：t ＝0，1秒时的速度。

解：22(10155)101551510d v i tj t k dtd dd i tj t k dt dt dtj tk =++=++=+加速度是速度随时间的变化率加速度就是速度对时间求导数运算也是运动学方程对时间求二阶导数在直角坐标系下速度表示为：222222y x z dv dv dv a i j kdt dt dt d x d y d z i j k dt dt dt =++=++写成分量形式为：210155r i tj t k=++ 22()dv d dr d r a dt dt dt dt ===a =222222x x y y z z dv d x a dt dt dv d y a dt dt dv d z a dt dt ======加速度的大小：书中的例题1.1, 1.4(P.6;P.15) 一质点作匀速圆周运动，半径为r ，角速度为ω，求：直角坐标系中的运动学方程。

2-2质点运动的描述

r r r r r r ∆ r r2 − r1 v= = = 2i − 6 j ∆ t t 2 − t1
（3）质点在任意时刻的速度和加速度分别为） r r r dr r v (t ) = = 2 i − 4 tj dt r r dv r a (t ) = = −4 j dt 则
t = 2 s 时的速度
2 2 0
质点在oxy平面内运动， oxy平面内运动例2-1 质点在oxy平面内运动，其运动方程为
r r r 2 r ( t ) = 2 ti + (19 − 2 t ) j
试求：（）质点的轨迹方程；（；（2）试求：（1）质点的轨迹方程；（）在 t1 = 1s ：（时间内的平均速度；（；（3）末质点的到t2 = 2s 时间内的平均速度；（）2s末质点的速度和加速度。速度和加速度。解：（1）将运动方程写成分量形式：（）
x = 10 + 3t 2 y = 2t
2
消去时间参数，消去时间参数，可得轨迹方程
3 y = 2 x − 20
（2）速度）加速度习题2-11 习题
r r r r dr v = = 6 ti + 4 tj dt
r r r r dv a= = 6i + 4 j dt
一物体沿x轴作直线运动，一物体沿x轴作直线运动，其加速度为
∫
v v0Байду номын сангаас
dv = −k 2 v
∫
t 0
dt
v0 v = v0 kt + 1
v0 dx v= = dt v0kt +1
分离变量，分离变量，代入上下限积分得
∫
x 0
dx =

质点的位置矢量速度加速度之间的关系式

质点的位置矢量速度加速度之间的关系式质点的位置矢量、速度和加速度是物理学中描述质点运动的三个重要概念。

它们之间有着密切的关系，并且通过运动学的理论来描述。

首先，我们来定义这三个概念：1.位置矢量（r）：位置矢量是用来描述一个质点在空间中的位置的向量，通常用r表示。

位置矢量的方向与从参考点指向质点所在位置的方向一致，其大小表示参考点到质点之间的距离。

2.速度（v）：速度是描述质点在某一时刻的位置变化率的物理量，即质点单位时间内所经过的位移。

速度是一个矢量量，包括大小（也称为速率）和方向两个方面。

3.加速度（a）：加速度是描述质点在运动过程中速度变化率的物理量，即单位时间内速度的变化量。

加速度也是一个矢量量，包括大小和方向两个方面。

接下来，我们来分析位置矢量、速度和加速度之间的关系。

1.速度与位置矢量的关系：在运动学中，速度与位置矢量之间存在着微分关系，即速度矢量等于位置矢量对时间的导数（v = dr/dt）。

这意味着速度的大小可以表示为位置矢量的变化率，方向与位置矢量的方向一致。

速度矢量的微分形式可以表示为：v = dx/dt * i + dy/dt * j + dz/dt * k其中，i、j和k分别表示了空间中的三个坐标轴的单位矢量。

2.加速度与速度的关系：加速度是速度的变化率。

在运动学中，通过对速度矢量对时间的导数，可以得到加速度矢量（a），即a = dv/dt。

加速度的大小表示速度的变化率，方向与速度矢量的方向一致。

加速度矢量的微分形式可以表示为：a = dv/dt = d²x/dt² * i + d²y/dt² * j + d²z/dt² * k3.速度与加速度的关系：速度和加速度之间存在一种紧密的联系，即速度矢量又是加速度矢量对时间的积分。

换句话说，速度矢量等于加速度矢量对时间的积分，即v = ∫ a dt。

这说明了速度的变化是由加速度引起的，例如当质点受到作用力或者外界扰动时，会产生加速度，进而导致速度发生变化。

关于质点运动的矢量及其分量描述的一般讨论

关于质点运动的矢量及其分量描述的一般讨论质点运动是物理学研究的重要内容之一。

在研究质点运动时，需要对其运动状态进行描述。

常用的描述方式是采用矢量及其分量进行描述。

矢量是具有大小和方向的物理量，可以用箭头表示。

在描述质点运动时，常用的矢量有位移矢量、速度矢量和加速度矢量。

位移矢量表示质点从初始位置到末位置的位移，可表示为：$vec{s}=vec{r_f}-vec{r_i}$其中，$vec{r_f}$和$vec{r_i}$分别表示末位置和初始位置的位置矢量。

位移矢量的大小为位移的距离，方向为位移的方向。

速度矢量表示质点在某一时刻的速度，可表示为：$vec{v}=frac{Deltavec{r}}{Delta t}$其中，$Deltavec{r}$表示时间间隔内的位移矢量，$Delta t$表示时间间隔。

速度矢量的大小为速度的大小，方向为速度的方向。

加速度矢量表示质点在某一时刻的加速度，可表示为：$vec{a}=frac{Deltavec{v}}{Delta t}$其中，$Deltavec{v}$表示时间间隔内的速度变化量，$Delta t$表示时间间隔。

加速度矢量的大小为加速度的大小，方向为加速度的方向。

矢量分量是将一个矢量沿着不同方向分解为多个分量，常用的矢量分量有$x$分量、$y$分量和$z$分量。

对于位移矢量$vec{s}$，可以将其沿着$x$轴、$y$轴和$z$轴分解为三个分量，分别表示为$s_x$、$s_y$和$s_z$：$s_x=left|vec{s}ight|cdotcostheta_x$$s_y=left|vec{s}ight|cdotcostheta_y$$s_z=left|vec{s}ight|cdotcostheta_z$其中，$theta_x$、$theta_y$和$theta_z$分别表示位移矢量与$x$轴、$y$轴和$z$轴的夹角。

对于速度矢量$vec{v}$和加速度矢量$vec{a}$，同样可以将其沿着$x$轴、$y$轴和$z$轴分解为三个分量，分别表示为$v_x$、$v_y$、$v_z$和$a_x$、$a_y$、$a_z$。

第一章_质点运动学

v
dv − 1 ) t dt , ( − 1 .0 s − 1 ) t = (−1.0s ∫0 v = v0e ∫v0 v
dy ( −1.0 s −1 ) t v= = v0 e dt
dv a= = ( − 1.0s −1 ) v dt
o
v0
∫0 d y = v 0 ∫0 e
y t
(-1.0s ) t
（2）运动方程）
x ( t ) = (1m ⋅ s ) t + 2m
y (t ) = ( 1 m ⋅ s −2 )t 2 + 2 m 4
1 -1 2 y = ( m ) x − x + 3m 4
y/m
6
−1
由运动方程消去参数 t 可得轨迹方程为
轨迹图
t = − 4s
t = 4s
t = − 2s 4
位移的物理意义 A) 确切反映物体在空间位置的变化与路径无关，确切反映物体在空间位置的变化, 与路径无关，只决定于质点的始末位置. 只决定于质点的始末位置 B）反映了运动的矢量性和叠加性）反映了运动的矢量性和叠加性. 了运动的矢量性和叠加性
第一章
质点运动学
∆ r = ∆ xi + ∆ yj + ∆ zk
z
2
r
r= r = x +y +z
第一章
质点运动学
位矢
r 的方向余弦
cos α = x r cos β = y r cos γ = z r
y
β
P
r
P
α , β , γ 分别是
r
o
和Ox轴， Ox轴
z
γ
α
x
Oy轴和Oz轴之间的夹角。 Oy轴和Oz轴之间的夹角。轴和Oz轴之间的夹角

大学物理教程1.2 质点的位矢、位移和速度

第11章静电场第1章质点运动学
1.2 质点的位矢、位移和速度 11-1 电荷
说明运动方程之所以可以在具体坐标系写成分量形式，实际上是建立在运动的可叠加性基础上的。例如：平抛物体时，物体的运动可以分解为在水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的匀加速直线运动。
第11章静电场第1章质点运动学
位置矢量在直角坐标系中可用单位矢量表示为：
r xi yj zk
大小 r
方向可由三个方向余弦表示
z
k

x2 y2 z2

r

P(x,y,z)
x cos r y cos r z cos r
j
y
O i
x
方向余 cos2 cos2 cos2 1 弦满足
1.2 质点的位矢、位移和速度 11-1 电荷
注意速度为矢量！ (1) 方向
t 0 时，
B A , r
沿A点处轨道的切线方向
第11章静电场第1章质点运动学
1.2 质点的位矢、位移和速度 11-1 电荷
(2) 大小
dr v v dt
s
lim
t 0
r t
同信息。
也就是说，平均速率和瞬时速率有不同的物理
意义，它们强调质点运动过程中关于运动快慢的不同方面。（1）平均速率更强调在一有限时间段内的总体运动效果；
（2）瞬时速率更强调运动过程中的细节。
第11章静电场第1章质点运动学
1.2 质点的位矢、位移和速度 11-1 电荷
某些典型速度大小的量级单位：（m·-1) s 光已知类星体最快的退行电子绕核的运动太阳绕银河中心的运动地球绕太阳的运动第二宇宙速度第一宇宙速度子弹出口速度地球的自转（赤道）空气分子热运动的平均速度（室温） 3.0×108 2.7×108 2.2×108 2.0×105 3.0×104 1.1×104 7.8×103 ~7×102 4.6×102 4.5×102

大学物理科学出版社第四版第一章质点运动学

第一章质点运动学一、基本要求1．掌握位矢、位移、速度、加速度，角速度和角加速度等描述质点运动和运动变化的物理量。

2．能借助于直角坐标计算质点在平面内运动时的速度、加速度。

3．能计算质点作圆周运动时的角速度和角加速度，切向加速度和法向加速度。

4．理解伽利略坐标，速度变换。

二、基本内容1．位置矢量（位矢）位置矢量表示质点任意时刻在空间的位置，用从坐标原点向质点所在点所引的一条有向线段r 表示。

r 的端点表示任意时刻质点的空间位置。

r同时表示任意时刻质点离坐标原点的距离及质点位置相对坐标系的方位。

位矢是描述质点运动状态的物理量之一。

注意：（1）瞬时性：质点运动时，其位矢是随时间变化的，即()t r r=；（2）相对性：用r描述质点位置时，对同一质点在同一时刻的位置，在不同坐标系中r 可以是不相同的。

它表示了r的相对性，也反映了运动描述的相对性；（3）矢量性：r为矢量，它有大小，有方向，服从几何加法。

在直角坐标系Oxyz 中k z j y i x r++= 222z y x r r ++==r z r y r x ===γβαcos ,cos ,cos质点运动时， ()t r r= （运动方程矢量式）()()()⎪⎩⎪⎨⎧===t z z t y y t x x （运动方程标量式）。

２．位移()(),j y i x t r t t r r ∆+∆=-∆+=∆ r∆的模()()22y x r ∆+∆=∆ 。

注意：（１）r∆与r ∆：前者表示质点位置变化，是矢量，同时反映位置变化的大小和方位；后者是标量，反映质点位置离开坐标原点的距离的变化。

（２）r∆与s ∆：s ∆表示t —t t ∆+时间内质点通过的路程，是标量，只有质点沿直线运动时两者大小相同或0→∆t 时，s r ∆=∆。

3. 速度dtrd v =是描述位置矢量随时间的变化。

在直角坐标系中k v j v i v k dtdz j dt dy i dt dx dt r d v z y x++=++==222222z y x v v v dt dz dt dy dt dx v v ++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛==v的方向：在直线运动中，v>0表示沿坐标轴正向运动，v <0表示沿坐标轴负向运动。

位矢

(1)质点运动的二维坐标表示
r
r(t )

x(t)i
y(t) j
Δ r r2-r1 i yj
v
dr

dx
i
dy
j
dt dt dt
a
dv dt

d
2
r
dt 2

d2x dt 2
i
d2 y dt 2
j
(2)质点运动的自然坐标表示
刻的速度和加速度。求解这类问题的基本方法是微分
法。第二类问题：已知质点的加速度（或速度）随时间的
变化规律和初始条件，求质点在任意时刻的速度和运
动方程，求解这类问题的基本方法是积分法。
5 .牛顿运动定律
第一定律可认为是惯性参考系的定义,掌握要点: 惯性、运动状态改变的原因--力。第二定律是在惯性参考系中力的瞬时作用规律,掌握要点:质量是F惯 m性a定 d量P表述,力P是产m生v 加速度的原因。
F=F0+k x 的作用,其中F0、k均为常量，且B在x=0处的速度为v0, 求B的速度与坐标间的关系。
思路：加速度是位置的函数a=a(x):
即a=(F0 / m) +(k/m)x,
a dv dv dx v dv , dt dx dt dx
0x
adx

v
v0
vdv
(3)力是速度的函数F=F(v):一质量为m的轮船C在停靠码头之
an at , t 1s
（2）
s

0tvdt

1
0
3tdt

1.5
m
课后练习题
1 .一电子在电场中运动,其运动方程为:

质点运动的坐标系

fd(m v)dm vmdv
f
dt
dt dt
m f mdvv
x
m M t fvdt(Mt)dv
dv dt
f v Mt
dt
v
t
d(f ln v ) ( )d( M l n t)( )
0
0
lnf vlnMt
f
M
v f ( M 1)
解：以绞车定滑轮处为坐标原点, x 轴水平向
右, y 轴竖直向下, 如图所示。
u
l0
h
l(t)
o x
h
l
x
O
x(t)
x
y
7
设小船到坐标原点的距离为l, 任意时刻小船到
岸边的距离x总满足 x 2 = l 2 h 2
两边对时间t 求导数, 得 2x dx 2l dl
dt dt
dl u dl 0
a [d d 2 2 t(d d )2 t]e [2 d d d d t td d 2 2]e t
角加速度： d d2
dt dt2
例1：通过绞车拉动湖中小船拉向岸边, 如图。如果绞车以恒定的速率u拉动纤绳, 绞车定滑轮离水面的高度为h, 求小船向岸边移动的速度v和加速度a。
钢丝向下滑动。已知质点运动的切向加速度为 aτ gsiθn
g 为重力加速度，为切向与水平方向的夹角.
求质点在钢丝上各处的运动速度.
解由题意可知
y
a τd d v t gs i nd d v sd d s t vd d v s
v d v g s id n s sin dy ds

r z
β
y

质点运动的基本原理与公式推导

质点运动的基本原理与公式推导质点运动是物理学中的一个重要概念，它描述了一个点状物体在空间中的运动状态。

本文将介绍质点运动的基本原理，并通过推导公式来深入理解质点运动的规律。

一、质点运动的基本原理质点是物理学中一个理想化的概念，它假设物体在运动过程中没有形状和大小，只有质量。

因此，质点运动的基本原理可以归纳为以下几点：1. 质点的位置：质点在空间中的位置可以用矢量来表示，通常用r 表示，即r(t)，其中t表示时间。

质点的位置随时间的变化而变化，可以用函数关系式来描述。

2. 质点的速度：质点的速度指的是单位时间内质点位移的变化率。

数学上，可以用矢量v表示，即v(t) = dr(t)/dt，其中dr(t)表示质点在时间t内的微小位移。

3. 质点的加速度：质点的加速度指的是单位时间内质点速度的变化率。

数学上，可以用矢量a表示，即a(t) = dv(t)/dt，其中dv(t)表示质点在时间t内的微小速度变化。

4. 质点的运动方程：质点的运动方程是描述质点运动状态的方程。

一般情况下，可以通过质点的速度和加速度推导得出。

常见的质点运动方程有匀速直线运动方程、匀加速直线运动方程等。

二、质点运动的公式推导下面以匀速直线运动和匀加速直线运动为例，推导出相应的质点运动公式。

1. 匀速直线运动假设质点在匀速直线运动过程中，速度恒定不变，且沿着直线方向运动。

记质点的初始位置为r0，速度为v0，则质点在时间t后的位置可以表示为r(t) = r0 + v0t。

2. 匀加速直线运动假设质点在匀加速直线运动过程中，加速度恒定不变，且沿着直线方向运动。

记质点的初始位置为r0，初始速度为v0，加速度为a，则质点在时间t后的位置可以表示为r(t) = r0 + v0t + (1/2)at^2。

以上推导的公式是质点运动中常用的公式，可以帮助我们准确描述和计算质点在运动过程中的位置、速度和加速度。

结论：通过上述对质点运动的基本原理和公式推导的介绍，我们可以得出质点运动的几个重要结论：1. 质点的位置、速度和加速度都是随时间变化的量，可以用矢量表示。

位置矢量

τ
r
6
y x z cos α = , cos β = , cos γ = r r r
此三个角满足关系：此三个角满足关系：
2 2
设位矢与x，，三轴的夹角为三轴的夹角为α 设位矢与，y，z三轴的夹角为α、β、γ。
z
γ
P ( x, y , z )
cos α + cos β + cos γ = 1
2
α
x
4
二、 n
ˆ τ
ˆ n
ˆ τ
O
质点P沿已知的平面轨道运动。质点沿已知的平面轨道运动。沿已知的平面轨道运动将此轨道曲线作为一维坐标的轴线，在其上任意选一将此轨道曲线作为一维坐标的轴线，作为坐标原点。点O作为坐标原点。作为坐标原点质点在轨道上的位置可以用从原点O算起的弧长质点在轨道上的位置可以用从原点O算起的弧长来表示，称为弧坐标。称为弧坐标度s来表示，s称为弧坐标。来表示运动方程：运动方程：s = s (t ) 自然坐标系是建立在物体运动的轨迹上的。自然坐标系是建立在物体运动的轨迹上的。在质点上建立两个的坐标轴：切向坐标和法向坐标。在质点上建立两个的坐标轴：切向坐标和法向坐标。 •切向坐标 τ 沿运动轨迹的切线并指向质点运动的方向；切向坐标沿运动轨迹的切线并指向质点运动的方向； •法向坐标 n 沿运动轨迹的法线方向并指向曲线凹侧。法向坐标沿运动轨迹的法线方向并指向曲线凹侧。
r r
o
β
y
2.质点的运动方程 2.质点的运动方程
r r 质点运动时，在某时刻t，位矢可表示为： r = r (t ) 质点运动时，在某时刻t 位矢可表示为：
r r r = r ( t ) 称为运动方程（位矢方程）称为运动方程位矢方程）运动方程（

大学物理讨论题力学部分

以紧急制动时的卡车为参考系，卡车参考系的加速度向后，变压器除受前后绳的张力外，还受向前的惯性力作用，所以后面绳的张力比前面绳的张力大。当后面绳的张力增大到超过绳的受力极限时，就被拉断了。
26．是否只要质点具有相对于匀速转动圆盘的速度，在以圆盘为参考系时，质点
必受科里奥利力？
解答与提示：不一定。质点是否受科里奥利力
2
；
解答与提示：动力学方程中是 t 自变量，x 是未知函数。（2）、（3）是线性方程，
未知函数和未知函数的导数均是一次方；（1）、（4）是非线性方程。
22．尾部设有游泳池的轮船匀速直线行驶，一人在游泳池的高台上朝船尾方向跳水，旁边的乘客担心他跳入海中，这种担心是否必要？若轮船加速行驶，这种担
心有无道理？用学过的物理原理解释。解答与提示：当船匀速行驶时，船是惯性系，根据伽利略的相对性原理，以匀速行驶的船为参考系研究人的运动和以静止船为参考系所得结果一致，即船匀速行驶时人跳水相对于船的落点与船静止时人跳水相对于船的落点相同，故没有必要担心。
3．“瞬时速度就是很短时间内的平均速度”，这一说法是否正确？如何正确表述
瞬时速度的定义？我们是否能按照瞬时速度的定义通过实验测量瞬时速度？
解答与提示：瞬时速度是通过导数定义的，ur
=
lim
∆t→0
∆rr ∆t
=
drr dt
，瞬时速度是平均速
度 ∆t → 0 时的极限。实验直接测量的一般是一定 ∆t 内的平均速度，可以看成
若船加速行驶，船是非惯性系，在加速平动的非惯性系中人除了受相互作用力外，还受与加速度方向相反的惯性力（指向船尾），此力使人跳水时相对于船的落点向船尾方向移动，可能使人跳入海中，担心是有道理的。
23．根据伽利略的相对性原理，不可能借助于在惯性参考系中所做的力学实验来确定该参考系作匀速直线运动的速度。你能否借助于相对惯性系沿直线作变速运动的参考系中的力学实验来确定该参考系的加速度？如何做？

质点运动学(1)

第一章质点运动学基本要求一、理解质点模型和参照系、坐标系等概念。

二、掌握位置矢量、位移、速度、加速度等物理量的概念及其关系。

三、掌握直线运动、圆周运动及抛体运动中运动方程及速度、加速度等物理量的计算。

四、理解运动叠加原理及其应用。

内容提要一、参照系、坐标系和质点参照系用来描述物体运动而选作参考的物体或物体系。

运动的相对性决定描述物体运动必须选取参照系。

运动学中参照系可任选，不同参照系中物体的运动形式（如轨迹、速度等）可以不同。

坐标系固定在参照系上的一组有刻度的射线、曲线或角度。

坐标系为参照系的数学抽象。

参照系选定后，坐标系还可以任选。

在同一参照系中用不同的坐标系描述同一运动，物体的运动形式相同，但其运动形式的数学表述却可以不同。

常用坐标系有直角坐标系、球坐标系、柱坐标系等。

质点如果物体的线度和形状在所研究的现象中不起作用，或所起的作用可以忽略不计，我们就可以近似地把物体看作是一个没有大小和形状的理想物体，称为质点。

二、质点的位置矢量和运动方程位置矢量（位矢、矢径）用来确定某时刻质点位置（用矢12端表示）的矢量。

k j i r r z y x z y x ++== ),,(位置矢量的大小：222z y x r ++==r位置矢量的方向余弦：rzr y r x ===γβαcos ,cos ,cos运动方程质点位置矢量坐标和时间的函数关系称为质点的运动方程。

k j i r )()()()(t z t y t x t ++= 或 )(t x x =，)(t y y =，)(t z z = 三、位移和路程位移（矢量）质点在一段时间（t ∆）内位置的改变（r ∆）叫作它在这段时间内的位移。

)()(t t t r r r -∆+=∆路程（标量）质点实际运动轨迹的长度s ∆。

注意：Δt →0时，位移大小等于路程，即r d ds = 四、速度和加速度速度位置矢量对时间的变化率。

平均速度：t∆∆=r v （瞬时）速度：dt d t t r r v =∆∆=→∆lim 0k j i dtdz dt dy dt dx ++=速度方向：沿轨迹上质点所在点的切线，并指向质点前进的方向。

质点的角动量

i
ri p i ,
对于标号为i的质点，它不仅受到来自系统外的作用力，而且还受到系统内其它质点的作用力（内力）
fi

j
f ij ,
利用质点的角动量定理可得
d dt
d Li dt
ri Fi f i ,

i

i
Li

i
ri ( Fi f i )
r1 , 以角速度 1旋转，然后慢慢向下拉离为 r2时，拉力对质点所做的
v
绳，求质点离圆心距
功。

选小孔为参考点，任意时刻质点受力矩 M r f 0 , 质点的角动量守恒，因而有：
o r f
f
mr 1 1 mr 2 2
2 2
根据动能定理，外力做功为
v
O
rห้องสมุดไป่ตู้m
若一个质量为m的粒子在半径为r的圆周上以速 v 运动，则它的动量为 P m v ,相对于圆心的度位置矢量 r 与粒子运动速度 v 互相垂直，角动量大小为： L m rv m r 2
是质点运动的角速度
角动量的方向由右手螺旋法则判断，垂直于物体转动所在的平面
2
1
4、推广到质点系情形
利用牛顿第三定律，我们还可以将质点角动量定律推广到质点系的情况，得到质点系总角动量的时间变化率与合外力矩的简单关系，即质点系的角动量定理。我们定义质点系对给定参考点O的总角动量为系统内所有质点对选定参考点O的角动量的矢量和，即：
L

i
Li
多个外力作用于同一个质点的合力矩等于各力的力矩的矢量和，即如果

1-2描述质点运动的物理量11

12
Δr dr 根据速度的定义式 v lim t 0 Δt dt
可得位移的微分形式
dr v (t )dt
质点在从t0到t 时间内完成的位移, 可通过对上式在此时间内的积分得到，即
r t r r r0 r dr t v (t )dt 0 0
rA
A
直线运动时，它们才相等。
t 0
lim r lim s
t 0
5
位移和路程单位相同, 在国际单位制中为m (米)。
(2) 位移与参照系位置的变化无关
A
r r
B
(3) 分清 r 与Δr 的区别
O
r
O
| r || r2 r1 | 表示质点位矢的增量。
8
平均速率与平均速度的关系和路程与位移的关系相似。
2. 瞬时速度和瞬时速率
对于变速曲线运动的物体，速度大小与方向都在随时间改变，用平均速度并不能精确地描写质点瞬时的运动情况。
处理方法： ①.无限分割路径； ②.以直代曲； ③以不变代变；用平均速度代替变速度； ④令 t 0 取极限。
B
r
| dr | dr
6
| r | r | r2 | | r1 | r2 r1 表示质点位矢大小的增量。
同理：
四、速度(velocity)和速率(speed) (A)
1. 平均速度与平均速率: 大致描述运动质点在某段时间内的平均快慢情况。质点的平均速度
r v t
减速运动, 而且还与曲线的弯曲形状有关。
18
根据加速度的定义式可得 dv a (t ) dt
若求在t0到t 时间内速度的变化, 可对上式积分：

质点运动学

1.2
第二节
位置矢量（位矢）
运动方程和轨迹方程位移
y Y 1.2
位
质点某时刻位置位置矢量) P ( x, y, z
本节介绍三个概念：置
矢位置矢量（位矢）量
长度
是
运动方程和轨迹方程
j
k
Z
i
位移
x
z
O
X
y Y
位
质点某时刻位置运动方程) 随时间变化 P ( x,位矢z y, 任意时刻的位置
O
×
X
×
故
×
在上的投影
•
其中
•
•
匀速率圆周运动恒与反向，指向圆心。
p.13例
回顾
t 时刻船的
速度加速度
任意时刻
斜长
的缩短率
设 h = 20m, u = 3m/s, l0 = 40m, t = 5s 得 5 m/s
10.7 m/s2
同沿X 轴负方向。船运动加快。
求导法与积分法小结：以 X 轴上直线运动为例求导积分小结
但在此基础上，运用极限概念可找到精确的描述方法。
1.3
速度
简称平均
显然，它不能精确描述质点在某处时的运动状态。
但在此基础上，运用极限概念
标准可找到精确的描述方法。 1）米 • 秒 - 1（ m • s 单位
速度分量式
速率
回顾
平均
现在定义
例
沿 X 轴运动的
本题只有 X 分量
某质点的运动方程
A
p.19例
航向：北偏西 30º
B 北
30º
西 B
A-地南
东
B-地

2020年高中物理中质心概念的应用知识点汇总

高中物理中质心概念的应用一、质心的定义与系统总动量一个系统由多个质点组成，各质点的质量和位置矢量分别为m 1、r 1，m 2、r 2，m 3、r 3，……则该系统的质心的位置矢量为i i C m r r M =∑，其中M =m 1+m 2+m 3+….写成直角坐标系下的分量式为i i C m xx M =∑，i iC m y y M =∑，i i C m zz M =∑.上式变形，对时间求导，容易得出d d d d d d C C i i i i i ir r Mv M m r m m v t t t ====∑∑∑ .即：一个系统的总动量可以用系统总质量M 与质心C 的速度v C 的乘积。

二、质心与重心、重力势能重心即重力的等效集中作用点，其定义与质心类似：i i i CG i im g r r m g =∑∑ .从这个定义来看，如果重力场是匀强场，则重心与质心重合，高中物理中，大多数情况下，物体或质点系所占空间都不够大，因此可将物体所在区域视为匀强重力场，因此质心与重心重合；但是重力场若非匀强场，则重心与质心是有偏离的这点需要特别注意。

另一方面，也可利用力平衡和力矩平衡的方法来确定重心的位置，这就是所谓悬挂法和支撑法的基础。

有上述定义可以看出，质点系的重力势能可以用重心来计算：CG i i i i ih m g m g h ⋅=∑∑ 匀强重力场中，上式可以简化为：C i i Mgh m gh =∑。

这就是不可视为质点的物体——比如链条、软绳等物体重力势能可用重心（质心）计算的基础。

【例1】(2017·全国卷Ⅲ，16)如图1，一质量为m 、长度为l 的均匀柔软细绳PQ 竖直悬挂。

用外力将绳的下端Q 缓慢地竖直向上拉起至M 点，M 点与绳的上端P 相距13l 。

重力加速度大小为g 。

在此过程中，外力做的功为()A.19mgl B.16mgl C.13mgl D.12mgl [答案]A三、质心与动能如果物体只做平动，物体上各个部分的速度完全相同，则物体可视为质点，动能当然能够用质心来计算；但是物体倘若还转动，或物体内各个部分相对质心还有运动，则由克尼希定理，有CM 2k k12C E E Mv =+，其中CM CM 2k 1()2i i E m v =∑为各质点相对质心的动能之和，CM i v 是各质点相对质心的速度。

描述质点运动的物理量

动。在t时刻，质点位于A点，其位矢为r1 （t）；在t＋Δt时刻，质点位于B点，其位
矢为r2（t＋Δt）。则质点在时间间隔Δt内的位移Δr与Δt的比值称为质点在Δt时间内
的平均速度 v，即
v r2 r1 Δr Δt Δt
平均速度是矢量，其方向与Δr相同。平均速度也可表示为：
v Δr Δx i Δy j Δt Δt Δt
在三维直角坐标系中，速度v可表示为：
dr dx dy dz
v
dt
dt
i dt
j dt k vxi vy j vzk
在国际单位制中，速度和速率的单位都是米每秒（m/s）。
1.4 加速度
加速度是描述质点运动速度的大小和方向随时间变化快慢的物理量。
1．平均加速度
如下图所示，质点在平面上做曲线运动。在t时刻，质点位于A点，其速度为v1；在t＋Δt时刻，质点位于B点，其速度为v2。则质点在Δt时间内的速度增量为Δv＝v2－ v1。Δv与对应时间Δt的比值称为质点在Δt 时间内的平均加速度，a即
位移不同于位矢。在质点运动过程中，位矢表示某个时刻质点的位置，是描述运动状态的物理量（状态量）；而位移则表示某段时间内质点位置的变化，是描述运动过程的物理量（过程量）。
位移也不同于路程。路程是指在某段时间内，质点在运动轨道上所经过的路径的长度，它是一个标量，其大小不仅与质点的初位置和末位置有关，还与质点在初、末位置之间的运动路径有关。而位移是一个矢量，它只与质点的初、末位置有关，而与质点在初、末位置之间的运动路径无关。
加速度a也可表示为：
a dvx dt
i dvy dt
d2x d2y j i
dt 2 dt 2
j axi ay j

以t为变量写出质点位置矢量的表达式

以t为变量写出质点位置矢量的表达式
以t为变量写出质点位置矢量的表达式
在物理学中，矢量是一种具有大小和方向的量，常常被用来表示物体的运动状态。

位置矢量是其中之一，它指代了一个质点的位置在
空间中的位置和方向。

在此，我将讲解如何使用t为变量来写出质点
位置矢量的表达式。

一、什么是质点的位置矢量
在物理学中，质点是指没有尺寸的点，它可以用一个点在空间中的位置来描述。

而质点的位置矢量就是从某一参考点（通常是原点）
指向质点的矢量，用符号r表示。

二、如何用t为变量写出质点位置矢量的表达式
用t为变量来表示时间，我们可以将一个质点的位置矢量表示为函数：
r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k
其中，x(t)、y(t)、z(t)分别是t对应的质点的三个坐标。

i、j、k是分别沿x、y、z轴正方向的单位矢量。

这个式子告诉我们，在不同的时间点t，质点在空间中的位置分别是(x(t), y(t), z(t))。

三、举例说明
如果我们将质点在xy平面上的运动看作一个简单的例子，它的
位置可以写为：
x(t) = 3t
y(t) = 4t
代入质点位置矢量的表达式中，可以得到：
r(t) = 3ti + 4tj
这个式子表示，在t时刻，质点在以原点为中心的直角坐标系中的位置坐标为(3t, 4t, 0)。

四、总结
在物理学中，质点位置矢量的表达式为r(t) = x(t)i + y(t)j +
z(t)k，其中x(t)、y(t)、z(t)是t对应的质点的三个坐标。

用t为变量来表示时间，我们可以在不同的时间点t，得出质点在空间中的位置。