我国古代数学家秦九韶在

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南宋数学家秦九韶传

南宋数学家秦九韶传经历和为人秦九韶（1202—约1261），字道古，普州安岳（今属四川）人，祖籍鲁郡。

父秦季槱，字宏父，绍熙四年（1193）进士。

嘉定十二年（1219），秦季槱任巴州（今四川巴中）守。

是年三月，兴元（今陕西汉中）军士张福、莫简等发动兵变，入川后夺取利州（今广元）、阆州（今阆中）、果州（今南充）、遂宁（今遂宁）和普州（今安岳），并进犯巴州。

秦季槱弃城而走。

朝廷命沔州都统张威引兵镇压。

年仅18 岁的秦九韶“在乡里为义兵首”，参加张威军的平乱之战。

不久，秦季槱携全家辗转抵达当时的京师临安（今杭州）。

嘉定十五年（1222），秦季槱任工部郎中，十七年，除秘书少监。

宝庆元年（1225）正月，兼任国史院编修官、实录院检讨官。

工部掌管营建，而秘书省则掌管图书，其下属机构设有太史局。

因此，天资聪颖、求知若渴的秦九韶有机会阅读大量典籍，熟悉建筑、修造、治河等方面的土木工程知识，并向他父亲的属官中负责测验天文、考定历法的学者们学习天文历法知识。

他后来在《数书九章》序中说“早岁侍亲中都，因得访习于太史”，即指这段时间的事。

秦九韶又曾向“隐君子”学习数学。

他还向著名词人李刘学习骈骊诗词。

通过这一时期的学习，秦九韶的学识日趋渊博。

周密在《癸辛杂识续集》中称他“性极机巧，星象、音律、算术，以至营造等事，无不精究”，“游戏、毬、马、弓、剑，莫不能知”。

宝庆元年（1225）六月，秦季槱被任命为潼川（今四川三台）知府，七月赴任。

秦九韶于是随父回到四川。

次年正月十二日，秦氏父子来到涪州（今重庆涪陵），与涪州守李踽及其两个儿子同游，观赏长江石鱼，并刻石题名，后为姚觐光收入《涪州石鱼文字所见录》，成为一则重要史料。

在潼川，秦九韶曾当过县尉。

这期间，李刘曾邀请他到国史院校勘书籍文献，但未成行。

端平三年（1236），元兵攻入四川，嘉陵江流域兵祸不断，秦九韶不得不经常参与军事活动，饱受战争之苦。

他后来在《数书九章》序中回忆道：“际时狄患，历岁遥塞，不自意全于矢石间，尝险罹忧，荏苒十祀，心槁气落。

数书九章中华之光——宋代数学家秦九韶小记

秦九韶，字道古。

宋宁宗嘉定元年（1208）三月，出生于普州（今四川省资阳市安岳县）天庆观街“秦苑斋”的一个书香门第、仕宦之家。

秦九韶之祖父秦臻舜，宋高宗绍兴三十年（1160）进士及第，官至通议大夫（正四品）。

父亲秦季槱，宋光宗绍熙四年（1193）进士及第，累仕显谟阁直学士（从三品）。

秦臻舜父子，同治春秋，政声亦佳。

秦九韶之祖母和母亲，均出于书香门第。

秦九韶出生于如此书香之家，受到长辈之熏陶，接受良好家庭教育。

加之，秦九韶生活在父亲结交的忠臣良相、儒雅之士挚友圈中，师长之关爱教诲，为秦九韶之健康成长培植了优良环境。

嘉定九年（1216）秋，秦九韶随祖母、母亲离开普州，与知巴州军州事之父亲团聚。

嘉定十二年（1219），兴元军士权兴等兵变犯巴州，守臣秦季槱失巴州。

第二年，秦季槱出任工部郎中。

秦九韶随父至临安，开始了“早岁侍亲中都，因得访习于太史”之励志年华。

宋理宗宝庆元年（1225）六月，秦季槱知潼川府军州事，秦九韶随之。

秦九韶后擢升郪县县尉，24岁蟾宫折桂。

宋理宗端平元年（1234）冬，秦九韶赴临安任国史院校正。

端平三年（1236）正月，秦九韶任蕲州通判。

第二年，擢升和州军州事。

后相继任职淮南西路、两浙路和广南东路、广南西路。

宋理宗景定二年（1261）七月，秦九韶知梅州军州事，宋度宗咸淳四年（1268）三月卒于梅州。

终年59岁。

数书九章中华之光——宋代数学家秦九韶小记文/李青春（四川省安岳县地方志办公室主任）秦九韶身处宋金、宋蒙战争乱世，仕途坎坷。

他酷爱数学，虽置身政治，但对数学研究从未放弃。

在政务之余，广泛收集历学、数学、星象、音律、营造等资料，进行分类研究。

宋理宗淳祐四至七年（1244—1247），秦九韶利用为母守孝的宝贵时光，把长期积累之数学知识及研究所得予以整理编辑，写出中外闻名巨著《数书九章》。

早在汉、魏之间，《孙子算经》就提出了一个有名的数论科学算题，即某数除以8余7、除以5余3、除以7余2，求某数。

(典型题)高中数学必修五第二章《解三角形》检测题(有答案解析)

一、选择题1．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ，且24cos cos tan Sb C bc B C=+，2a b +=，c =S =（）A ．4B C ．16D ．122．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则ABC 的面积S =根据此公式，若cos (2)cos 0a B b c A +-=，且2224b c a ，则ABC 的面积为（）AB ．CD ．3．ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．若3,60a b A ===︒，则边c =（） A ．1B ．2C ．4D ．64．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若222sin sin sin sin A C B A C +-=，1b =，则2a -的最小值为（）A ．4-B ．-C ．2-D ．5．已知锐角ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若()2c a a b =+，则2cos cos()AC A -的取值范围是（）A ．,12⎛⎫⎪⎪⎝⎭B ．12⎛⎝⎭ C ．,22⎛⎫⎪⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭6．在ABC 中，若2a =，b =30A =︒，则B 等于（） A ．30B ．30或150︒C ．60︒D ．60︒或120︒7．已知点O 为ABC 的外心，且3A π=，CO AB BO CA ⋅=⋅，则ABC 的形状是（） A ．直角三角形 B ．等边三角形C ．直角三角形或等边三角形D ．钝角三角形 8．在ABC 中，tansin 2A BC +=，若2AB =，则ABC 周长的取值范围是( )A ．(2,B ．(4⎤⎦C ．(4,2+D ．(2⎤+⎦9．从某电视塔的正东方向的A 处，测得塔顶仰角是60°；从电视塔的西偏南30°的B 处，测得塔顶仰角为45°，A 、B 间距离是35m ，则此电视塔的高度是（）A ．35mB ．10mC ．490013m D ．10．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知45A =︒，2a =，b =B 为（） A ．60︒B ．60︒或120︒C ．30D ．30或150︒11．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若ABC 的面积为S ，且()22a b c =+-，则πsin 4C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．1B ．2C D 12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 成等差数列，且直线ax +cy ﹣12＝0平分圆x 2+y 2﹣4x ﹣6y ＝0的周长，则△ABC 的面积的最大值为（）A ．BC ．32D 二、填空题13．已知在锐角ABC ，且212tan tan sin A B A +=，其内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，则边c 的最小值为_____________.14．在ABC 中，2AB =，4AC =，则C ∠的取值范围为______.15．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对应的边分别是a ，b ，c ．若()224c a b =-+，23C π=，则ABC 的面积是________． 16．设角,,A B C 是ABC ∆的三个内角，已知向量()sin sin ,sin sin m A C B A =+-，()sin sin ,sin n A C B =-，且m n ⊥.则角C 的大小为_____________.17．如图，A ，B 两点都在河的对岸（不可到达），在所在的河岸边选取相距30m 的C ，D 两点，测得75ACB ∠=︒，45BCD ∠=︒，30ADC ∠=︒，45ADB ∠=︒，其中A ，B ，C ，D 四点在同一平面内，则A ，B 两点之间的距离是_______m .18．如图，为了测量山坡上灯塔CD 的高度，某人从高为40h =的楼AB 的底部A 处和楼顶B 处分别测得仰角为60β=︒，30α=︒，若山坡高为32a =，则灯塔高度是________.19．在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝α（0＜α＜2π），已知AB 的取值范围是（1，2），则cos α的值为_____．20．在三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，222a c b ac +-=，3b =2a c +的最大值为______．三、解答题21．在①222b c a bc +-=；②4AB AC ⋅=；③2sin 22cos 122A A π⎛⎫++=⎪⎝⎭这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，求ABC 的面积.问题：已知ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 2sin C B =，2b =，？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.22．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知a b >，5a =，6c =，3sin 5B =．（1）求b 和sin A 的值；（2）求三角形BC 边的中线AD 长；（3）求πsin(2)4A +的值． 23．已知在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝2∶6∶3＋1)，求角A 的大小.24．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2sin c bC -=tan cos A C -．（1）求角A 的大小；（2）若b =，2c =，点D 在边BC 上，且2CD DB =，求a 及AD ．25．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 已知1b =，面积28sin a S A=，再从以下两个条件中选择其中一个作为已知，求三角形的周长.（1）6B π=;（2）B C =.注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.26．在ABC 中，内角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin A C A C = ，求b【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D 解析：D 【分析】由24cos cos tan Sb C bc B C=+，利用面积公式和和差角公式求出角C ，用余弦定理求出ab ，求出面积. 【详解】因为24cos cos cos sin S Cb C bc B C⋅=+，所以22cos cos cos ab C b C bc B =+，所以2sin cos sin cos sin cos A C B C C B =+，所以1cos ,sin 22C C ==. 由22221()32cos 222a b c a b abC ab ab+-+--===，得13ab =，所以1sin 212S ab C ==故选：D 【点睛】在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考： (1)从题目给出的条件，边角关系来选择； (2)从式子结构来选择．2．C解析：C【分析】首先根据正弦定理化简已知，求得1cos 2A =，再根据余弦定理求bc ，最后代入面积公式求解. 【详解】由正弦定理边角互化可知cos (2)cos 0a B b c A +-=化简为()sin cos sin 2sin cos 0A B B C A +-=， sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=即()sin sin 2sin cos A B C C A +==sin 0C ≠，1cos 2A ∴=, 222141cos 2222b c a A bc bc +-==⇔=，解得：4bc =，根据面积公式可知S === 故选：C 【点睛】关键点点睛，本题考查数学文化，理解面积公式，对于面积公式可变形为S =3．C解析：C 【解析】试题分析：2222cos a c b cb A =+-213923cos60c c ⇒=+-⨯⨯︒，即2340c c --=，解得4c =或1c =-（舍去）．考点：余弦定理，正弦定理．4．A解析：A 【分析】由222sin sin sin sin A C B A C +-=，利用正弦定理和余弦定理，可得6B π=，再根据正弦定理、三角形内角和及两角和的余弦公式，得到2a -4cos 3C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，借助角C 的范围，即可求得结果. 【详解】222sin sin sin sin A C B A C +-=，∴222a c b +-=，∴22222a cb ac +-=，∴cos 2B =，又0B π<<，∴6B π=，12sin sin sin sin 6b A C B a c π====， ∴2sin a A =，2sin c C =，∴24sin a A C -=-4sin()B C C =+-4sin()6C C π=+-14cos 22C C C ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭2cos C C =-14cos sin 22C C ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 4cos 3C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为506C π<<，所以7336C πππ<+<，所以当3C ππ+=时，2a -取得最小值，且最小值为4-.故选：A. 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用、三角形内角和的应用、两角和的余弦公式及余弦型函数的最值问题，考查学生对这些知识的掌握能力，属于中档题.在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理.5．C解析：C 【分析】由余弦定理和正弦定理进行边化角，结合诱导公式和两角和与差的正弦公式可得2C A =，由锐角三角形得出A 角范围，再代入化简求值式，利用余弦函数性质可得结论．【详解】∵2()c a a b =+，∴22222cos c a ab a b ab C =+=+-，∴(12cos )b a C =+，由正弦定理得sin sin (12cos )B A C =+，∴sin()sin (12cos )sin cos cos sin A C A C A C A C +=+=+，整理得sin sin cos cos sin sin()A C A C A C A =-=-，∵,A C 是三角形的内角，∴A C A =-，即2C A =，又三角形是锐角三角形，∴2222A A A πππ⎧<⎪⎪⎨⎪--<⎪⎩，解得64A ππ<<，由2C A =得22cos cos cos cos()cos A A A C A A ==∈-⎝⎭．故选：C ．【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的边角转换，考查两角与差的正弦公式，余弦函数的性质，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题．6．D解析：D 【分析】由正弦定理，求得sin sin bB A a=，再由a b <，且0180B ︒<<︒，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，在ABC 中，由正弦定理可得sin sin a bA B=，即sin sin sin 3022b B A a ==︒=，又由a b <，且0180B ︒<<︒，所以60B =︒或120B =︒，故选：D. 【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中熟记三角形的正弦定理，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7．B解析：B 【分析】取AB 、AC 的中点E 、F ，利用向量加法的平行四边形法则以及向量得减法的几何意义可得2222a b c =+，再利用余弦定理得2bc a =，由正弦定理得边角互化以及两角差得正弦公式求出3B π=，即证.【详解】取AB 、AC 的中点E 、F ，则()CO AB CE EO AB CE AB ⋅=+⋅=⋅()()()221122CB CA CB CA a b =+⋅-=-，同理()2212BO CA c a ⋅=-，所以2222a b c =+，又3A π=，由余弦定理，得222a b c bc =+-，即222b c a bc +=+，所以2bc a =，由正弦定理，得23sin sin sin 4B C A ==，即23sin sin 34B B π⎛⎫-=⎪⎝⎭，所以23131cos 23sin sin sin cos sin 2322444B B B B B B B π⎛⎫-⎛⎫-=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 32cos 22B B -=，所以2sin 226B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即sin 216B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，72,666B πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以262B ππ-=，解得3B π=，所以3A B C π===，所以ABC 是等边三角形. 故选：B 【点睛】本题考查了向量加法、减法的运算法则，正弦定理、余弦定理、三角恒等变换，综合性比较强，属于中档题.8．C解析：C 【解析】由题意可得：cos2tan tan 2sin cos 22222sin 2CA B C C C Cπ+⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，则：21sin22C =，即：1cos 1,cos 0,222C C C π-=∴==. 据此可得△ABC 是以点C 为直角顶点的直角三角形，则：()()222224222a b a b a b ab a b +⎛⎫=+=+-≥+-⨯ ⎪⎝⎭，据此有：a b +≤△ABC的周长：2a b c ++≤+ 三角形满足两边之和大于第三边，则：2,4a b a b c +>∴++>，综上可得：ABC周长的取值范围是(4,2+. 本题选择C 选项.9．D解析：D 【分析】设塔底为O ，设塔高为h ，根据已知条件求得,OA OB 的长，求得AOB ∠的大小，利用余弦定理列方程，解方程求得h 的值. 【详解】设塔底为O ，设塔高为h，由已知可知,OA OB h ==，且150AOB ∠=，在三角形AOB中，由余弦定理得222352cos15033h h ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭，解得h =.故选D.【点睛】本小题主要考查解三角形的实际应用，考查利用余弦定理解三角形，属于基础题.10．C解析：C 【分析】根据正弦定理得到1sin 2B =，再根据a b >知A B >，得到答案. 【详解】根据正弦定理：sin sin a bA B =，即1sin 2B =，根据a b >知A B >，故30B =︒. 故选：C . 【点睛】本题考查了根据正弦定理求角度，多解是容易发生的错误.11．D解析：D 【分析】根据()2243S a b c =+-3cos 1C C -=，结合三角函数的性质，求得C 的值，最后利用两角和的正弦函数，即可求解. 【详解】由()22a b c =+-，可得2221sin 22ab C a b c ab =+-+，因为2222cos a b c ab C +-=，所以sin 2cos 2C ab C ab =+，cos 1C C -=，可得π2sin 16C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则π1sin 62C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又因为0πC <<，则ππ5π666C -<-<，所以ππ66C -=，解得π3C =，所以πππππππsin sin sin cos cos sin 4343434C ⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭122224=+⨯=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了两角和的正弦函数的化简、求值，以及余弦定理的应用，其中解答中根据题设条件和余弦定理，求得C 的值，结合三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.12．B解析：B 【分析】由三角形内角和公式以及等差数列的性质可得3B π=，根据直线过圆心可得2312a c +=，根据基本不等式可得6ac ≤，最后由三角形面积公式得结果.【详解】在△ABC 中，A +B +C ＝π，∵角A ，B ，C 成等差数列，∴2B ＝A +C ， ∴2B ＝π﹣B ，∴B 3π=．∵直线ax +cy ﹣12＝0平分圆x 2+y 2﹣4x ﹣6y ＝0的周长， ∴圆心（2，3）在直线ax +cy ＝12上，则2a +3c ＝12， ∵a＞0，c ＞0，∴12＝2a +3c ≥ac ≤6．当且仅当2a ＝3c ，即a ＝3，c ＝2时取等号．∴11sin 622ABCSac B =≤⨯=∴△ABC 故选：B. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，基本不等式以及三角形面积公式的应用，属于中档题.二、填空题13．2【分析】先化切为弦结合正余弦定理将角化边再由面积公式求得构造函数再用导数求得最值【详解】由得即结合正弦定理得再由余弦定理可得整理又由余弦定理可得代入上式得又锐角的面积所以时所以设函数求导可得由得所解析：2 【分析】先化切为弦，结合正、余弦定理将角化边，再由面积公式求得)22cos 3sin A c A-=，构造函数()2cos 0sin 2x f x x x π-⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，再用导数求得最值.【详解】由212tan tan sin A B A +=，得2cos sin cos sin 2sin sin sin A B B A A B A+=，即2cos sin cos sin 2sin A B B A B +=，结合正弦定理得2cos cos 2b A a B b +=，再由余弦定理可得2222222222b c a a c b b a b bc ac+-+-⋅+⋅=，整理22234c b a bc +-=.又由余弦定理可得2222cos b a bc A c -=-，代入上式得()22cos c bc A =-，又锐角ABC 的面积1sin 2bc A =bc =)22cos 3sin A c A-=，设函数()2cos 0sin 2x f x x x π-⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，求导可得()212cos sin xf x x-'=，由()212cos 0sin x f x x -'==，得3x π=，所以在0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()3f x f π⎛⎫≥= ⎪⎝⎭于是24c =≥，即2c ≥，当且仅当3A π=时，等号成立. 故答案为：2 【点晴】结合正、余弦定理将角化边，构造函数求最值是本题解题的关键.14．【分析】先根据三角形任意两边之和大于第三边求出的范围再结合余弦定理可以用表示求出的范围进而求得的取值范围【详解】解：在中内角的对边分别是由题意得即令所以所以根据导数与函数单调性的关系得：函数在上单调解析：π0,6⎛⎤⎥⎝⎦【分析】先根据三角形任意两边之和大于第三边求出a 的范围，再结合余弦定理可以用a 表示cos C ，求出cos C 的范围，进而求得C ∠的取值范围. 【详解】解：在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，由题意得2c =，4b =， b c a b c -<<+，即26a <<，2222123cos 2882a b c a a C ab a a+-+===+，令()382x f x x =+，所以()2221312'828x f x x x-=-=，所以根据导数与函数单调性的关系得：函数()f x 在(2,上单调递减，在()上单调递增，所以当26x <<时，()f x 的取值范围为2⎫⎪⎢⎪⎣⎭.所以cos C ⎫∈⎪⎪⎣⎭又因为0πc <<，所以π0,6C ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故答案为：π0,6⎛⎤⎥⎝⎦.【点睛】本题考查余弦定理解三角形，三角形的性质，考查运算能力与化归转化思想，是中档题.15．【分析】利用余弦定理结合求出利用即可求出三角形的面积【详解】由可得：在中由余弦定理得：即所以即所以故答案为：【点睛】本题主要考查了余弦定理面积公式的应用属于中档题解析：3【分析】利用余弦定理，结合()224c a b =-+，23C π=求出43ab =，利用1sin 2ABCS ab C =，即可求出三角形的面积．【详解】由()224c a b =-+可得：22224c a b ab =+-+，在ABC 中，由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-，即222c a b ab =++，所以24ab ab -+=，即43ab =，所以114sin 223ABCSab C ==⨯=，【点睛】本题主要考查了余弦定理，面积公式的应用，属于中档题.16．【分析】先利用得到三角正弦之间的关系再根据正余弦定理求出即得角【详解】因为且所以即根据正弦定理得故根据余弦定理知又因为得故答案为：【点睛】本题考查了向量垂直的坐标运算和正余弦定理的应用是常考的综合题解析：3π【分析】先利用0m n ⋅=得到三角正弦之间的关系，再根据正、余弦定理求出cos C ，即得角C . 【详解】因为()sin sin ,sin sin m A C B A =+-，()sin sin ,sin n A C B =-，且m n ⊥ 所以()()()sin sin sin sin sin sin sin 0m n A C A C B A B ⋅=+-+-= 即222sin sin sin sin sin A B C A B +-= 根据正弦定理得222a b c ab +-=故根据余弦定理知222cos 122a b c C ab +-==，又因为()0,C π∈得3C π=故答案为：3π. 【点睛】本题考查了向量垂直的坐标运算和正余弦定理的应用，是常考的综合题，属于中档题.17．【分析】本题先在中得出得的值然后在中由正弦定理得出的长最后在中由余弦定理算出即可得到AB 之间的距离【详解】解：如图所示∵∴∴在中∴∵在中∴由正弦定理得可得在中由余弦定理得∴（米）即AB 之间的距离为米解析：1015. 【分析】本题先在ACD △中，得出30CAD ADC ∠=∠=︒，得CD 的值，然后在BCD 中由正弦定理得出BC 的长，最后在ABC 中由余弦定理，算出21500AB =，即可得到A ，B 之间的距离. 【详解】解：如图所示，∵75ACB ∠=︒，45BCD ∠=︒，30ADC ∠=︒， ∴7545120ACD ACB BCD ︒︒∠=∠+∠=+=︒，∴在ACD △中，18030CAD ACD ADC ADC ∠=︒-∠-∠=︒=∠， ∴30AC CD ==.∵在BCD 中，60CBD ∠=︒， ∴由正弦定理，得30sin 75sin 60BC =︒︒，可得sin 7530203sin 75sin 60BC ︒=⋅=︒︒. 在ABC 中，由余弦定理，得()222222cos 30203sin 75230203sin 75cos 75AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠=+︒-⨯⨯︒︒1500=，∴1015AB =（米），即A ，B 之间的距离为1015米. 故答案为：1015.【点睛】本题考查利用正余弦定理解决实际应用问题，是中档题.18．28【分析】作于延长线交地面于则由求得从而可得然后即得【详解】如图于延长线交地面于则而所以即所以故答案为：28【点睛】本题考查解三角形的应用掌握仰角概念是解题基础测量高度问题常常涉及到直角三角形因此解析：28 【分析】作BN DC ⊥于N ，DC 延长线交地面于M ，则AM BN =，AM DM ⊥，tan DM AM β=，tan DN BN α=，由40DM DN -=求得BN ，从而可得DM ，然后即得DC ．【详解】如图，BN DC ⊥于N ，DC 延长线交地面于M ，则tan DN BN α=，tan DM AM β=，而BN AM =，所以tan tan BN BN h βα-=，即(tan 60tan 30)40BN ︒-︒=，40203tan 60tan 30BN ==︒-︒，所以tan 60tan 603220333228DC AM CM BN =︒-=︒-=⨯-=．故答案为：28．【点睛】本题考查解三角形的应用，掌握仰角概念是解题基础．测量高度问题常常涉及到直角三角形，因此掌握直角三角形中的三角函数定义是解题关键，有时还需要用三角函数恒等变换公式．19．【分析】延长交与点过点C 作交与F 点可得由AB 的取值范围是可得设在与中分别运用正弦定理可得关于的方程联立可得答案【详解】解：如图延长交与点过点C 作交与F 点可得由AB 的取值范围是可得设在中由正弦定理可得解析：24【分析】延长BA ,CD 交与E 点，过点C 作CFAD 交与F 点，可得BF AB BE ＜＜,由AB 的取值范围是(1,2)，可得1,2BF BE ==,设BC x =，在BCE ∆与BCF ∆中，分别运用正弦定理可得关于cos α的方程，联立可得答案. 【详解】解：如图，，延长BA ,CD 交与E 点，过点C 作CF AD 交与F 点，可得BF AB BE ＜＜,由AB 的取值范围是(1,2)，可得1,2BF BE ==, 设BC x =，在BCE ∆中，由正弦定理可得：sin sin BC BEE BCE=∠∠,即：2sin(2)sin x παα=-，可得22cos xα=，同理，在BCF ∆中，由正弦定理可得：sin sin BC BFBFC BCF=∠∠,即：1sin sin(2)x απα=-，可得2cos 1x α=，故可得：2124cos α=，可得21cos 8α=，又02＜＜πα，故2cos α=, 故答案为：24. 【点睛】本题主要考查利用正弦定理解三角形，考查学生数学建模的能力与运算能力，属于中档题.20．【分析】由余弦定理可求出角再根据正弦定理即可表示出然后利用消元思想和辅助角公式即可求出的最大值【详解】因为所以而∴∵∴∴其中所以的最大值为当时取得故答案为：【点睛】本题主要考查正余弦定理在解三角形中解析：7【分析】由余弦定理可求出角B ，再根据正弦定理即可表示出2a c +，然后利用消元思想和辅助角公式，即可求出2a c +的最大值．【详解】因为222a cb ac +-=，所以2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，而0B π<<，∴3B π=．∵2sin sin sin sin 3a b c A B C ====，∴2sin ,2sin a A c C ==．∴222sin 4sin 2sin 4sin 4sin 3a c A C A A A A π⎛⎫+=+=+-=+⎪⎝⎭()A ϕ=+，其中tan ϕ=．所以2a c +的最大值为2A πϕ=-时取得．故答案为：【点睛】本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用，以及利用三角函数求解三角形中的最值问题，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．三、解答题21．答案见解析【分析】利用边角互化可得24c b ==，选①：利用余弦定理以及三角形的面积公式即可求解；选②：利用向量数量积的定义可得1cos 2A =，从而可得3A π=，再利用三角形的面积公式即可求解；选③：利用诱导公式以及二倍角的余弦公式可得1cos 2A =，从而可得3A π=，再利用三角形的面积公式即可求解.【详解】因为sin 2sin C B =，2b =，所以24c b ==，选①：因为222b c a bc +=+，所以2221cos 22b c a A bc +-==，又因为()0,A π∈，所以3A π=.所以ABC的面积11sin 24222S bc A ==⨯⨯⨯=. 选②：若4AB AC ⋅=，故cos 4AB AC A ⋅⋅=，则1cos 2A =，故3A π=，所以ABC的面积11sin 24222S bc A ==⨯⨯⨯=. 选③：若2sin 22cos 122A A π⎛⎫++=⎪⎝⎭，则cos2cos 0A A +=，故22cos cos 10A A +-=，解得1cos 2A =（cos 1A =-舍去），故3A π=. 所以ABC的面积11sin 24222S bc A ==⨯⨯⨯=. 22．（113；（2）2；（3）26. 【分析】（1）确定B 锐角，求得cos B ，由余弦定理求得b ，再由正弦定理得sin A ；（2）在ABD △中由余弦定理求得中线AD ，（3）确定A 是锐角，求得cos A ，由二倍角公式求得sin 2,cos 2A A ，然后由两角和的正弦公式求值．【详解】（1）在ABC 中，因为a b >，故由3sin 5B =，可得cos 45B =．由已知及余弦定理，有2222cos 13b a c ac B =+-=，所以b = 由正弦定理sin sin a b A B =,得sin sin a B A b ==. 所以，bsin A（2）设BC 边的中点为D ，在ABD △中，cos 45B = 由余弦定理得:2AD ===，（3）由（1）及a c <，得cos A =，所以12sin 22sin cos 13A A A ==，25cos 212sin 13A A =-=-．故πππsin(2)sin 2cos cos 2sin 444A A A +=+=．【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，解题时根据已知条件选用正弦定理或余弦定理求解，注意在用平方关系求得角的余弦时，先确定角的范围，然后计算．23．45A =︒【分析】利用余弦定理可求A 的大小. 【详解】由题设可设)2,,1(0)a k b c k k ===>，由余弦定理得，222222644cos 2k k k b c aA bc+-+-===，而A 为三角形内角，故45A =︒. 24．（1）π4A =；（2）a =AD = 【分析】（1()sin sin sin tan cos C BA C A C -=-，再化简计算即可求出cos A =（2）由余弦定理求得a =，求得cos B =3a BD ==，再由余弦定理即可求出AD . 【详解】解：（1()sin sin sin tan cos C BA C A C -=-， ()()sin sin sin tan cos C A CA C A C -+=-， ∴2sin sin cos cos sin sin sin cos cos AC A C A C C A C A--=-，∵sin 0C ≠，∴2sincos cos AA A+=∴cos 2A =0πA <<，∴π4A =．（2）由余弦定理可得：2222cos 1841210a b c bc A=+-=+-=， ∴a =∵点D 在边BC 上，且2CD DB =，∴33a BD ==，又222cos 2a c b B ac +-==∴222582cos 9AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅=，∴AD = 【点睛】关键点睛：本题考查正余弦定理的应用，解题的关键是正确利用正弦定理化边为角处理条件，再结合三角恒等变换化简运算.25．2+【分析】利用三角形的面积公式，结合已知面积变形可得1sin sin 4B C =，再利用所选条件结合正弦定理求出另外两边，可得三角形的周长.【详解】由三角形的面积公式可知，1sin 2S ab C =， 21sin 28sin a ab C A∴=，整理得4sin sin ,b A C a =由正弦定理得:4sin sin sin sin ,B A C A =因为sin 0A ≠，4sin sin 1,B C ∴=1sin sin 4B C ∴=，若选择条件（1）由6B π=：得1sin 2B =，则1sin 2C =，又,,A B C 为三角形的内角，6B C π∴==，2,3A π∴= 由正弦定理得sin sin sin a b c A B C==代入1,b c ==解得a =∴三角形的周长为2若选择条件（2）B C =，则由B C =，得sin sin ,B C = 又1sin sin 4B C =，1sin sin 2B C ∴== 又,,A B C 为三角形的内角，,6B C π∴==23A π∴=. 由正弦定理得:sin sin sin a b c A B C ==，代入1,b c ==解得a =∴三角形的周长为2【点睛】关键点点睛：利用三角形的面积公式和正弦定理求出三角形的另外两边是解题关键. 26．4【分析】根据题意，在ABC 中，因为sin cos 3cos sin A C A C =，由正弦定理及余弦定理可得:2222223,22a b c b c a a c ab bc+-+-⋅=⋅ 化简并整理得：2222()a c b -=，结合已知条件222a c b -=，联立即可得解.【详解】在ABC 中，因为sin cos 3cos sin A C A C =，由正弦定理及余弦定理可得:2222223,22a b c b c a a c ab bc+-+-⋅=⋅ 化简并整理得：2222()a c b -=，又由已知222a c b -=，所以24b b =，解得4b =或0b =，由0b ≠，所以4b =.。

秦九韶数学家故事

秦九韶数学家故事秦九韶(1208—1261?)，字道古，自称鲁郡(今山东)人，生于普州安岳(今四川)。

他于1247年完成《数书九章》，提出大衍总数术，系统解决了一次同余方程组解法，直到近代，数学大师欧拉、高斯才达到或超过其水平;他提出正负开方术，把求高次方程正根的方法发展到十分完备的程度，而欧洲在19世纪才创造出这种方法。

他是宋元数学高潮的主要代表人物之一。

对于秦九韶的人品，历来褒贬不一。

同代人刘克庄说他“暴如虎狼，毒如蛇蝎”，稍后周密的记载也是负面的。

清代学者焦循等为秦九韶辩诬，认为他是“瑰奇有用之才”。

1946年余嘉锡发表《南宋算学家秦九韶事迹考》，以刘克庄的奏状与周密的《癸辛杂识》互相印证，说秦九韶的罪状“固非横肆诬蔑”。

此后，钱宝琮则说秦九韶“为人阴险，为官贪暴”。

20世纪下半叶这种观点在学术界一直占据主导地位。

然而，如果认真研究一下秦九韶的《数书九章·序》，尤其是其中的九段“系”，那么一位正直的秦九韶的形象便会展现在我们面前。

秦九韶将数学的作用概括为“通神明，顺性命”和“经世务，类万物”大、小两个方面。

然而，他通过自己的数学研究坦承对其“大者”“肤末于见”，而专注于“小者”。

这反映了他具有实事求是，不慕虚荣的科学精神。

秦九韶非常关心国计民生，把数学作为解决生产、生活中实际问题的有力工具，涉及数学方法在国计民生各方面的应用问题，充分表现了他对国家、民众有强烈的责任心。

更重要的是，秦九韶强烈反对政府的横征暴敛，豪强的强取豪夺，大商贾的囤积居奇，主张施仁政的思想贯穿于整个《数书九章》之中。

他的九段“系”文明确谈到“仁”或“施仁政”的有四次：“苍姬井之，仁政攸在”;“惟仁隐民，犹己溺饥”;”彼昧弗察，惨急烦刑。

去理益远，吁嗟不仁”;“师中之吉，惟智仁勇”。

还有，秦九韶主张抗金、抗蒙，在《数书九章》中特设“军旅”类，有十一个军旅问题，要用到勾股、重差、开方等比较高深的方法，这在中国古代是罕见的。

南宋数学家秦九韶的故事数学家故事

南宋数学家秦九韶的故事数学家故事南宋，数学家秦九韶（公元1202_1261年）在1247年（淳佑七年）着成『数书九章』十八卷．全书共81道题，分为九大类：大衍类、天时类、田域类、测望类、赋役类、钱谷类、营建类、军旅类、市易类。

这是一部划时代的巨着，它总结了前人在开方中所使用的列筹方法，将其整齐而有系统地应用到高次方程的有理或无理根的求解上去，其中对「大衍求一术」﹝一次同余组解法）和「正负开方术」﹝高次方程的数值解法）等有十分深入的研究。

其中的大衍求一术﹝一次同余组解法），在世界数学史上占有崇高的地位。

在古代＜孙子算经＞中载有物不知数这个问题，举例说明：有一数，三三数之余二，五五数之余二，七七数之余二，问此数为何？这一类问题的解法可以推广成解一次同余式组的一般方法．奏九韶给出了理论上的证明，并将它定名为大衍求一术。

秦九韶(生卒年不详，活动期约在13世纪)中国南宋数学家，字道古，四川人，著有《数书九章》(1247年)18卷。

对大衍求一数(整数论中的一次同余式解法)和正负开方术(数字高次方程的求正根法)等都有深入的研究。

中国自古以来就使用十进位制计数法，一些实用的计量单位也采用十进制，所以很容易产生十进分数，即小数的概念。

第一个将这一概念用文字表达出来的是魏晋时代的刘徽。

他在计算圆周率的过程中，用到尺、寸、分、厘、毫、秒、忽等7个单位；对于忽以下的更小单位则不再命名，而统称为微数。

到了宋、元时代，小数概念得到了进一步的普及和更明确的表示。

杨辉《日用算法》(1262年)载有两斤换算的口诀：一求，隔位六二五；二求，退位一二五，即1/16＝00625；2/16＝0125。

这里的隔位、退位已含有指示小数点位置的意义。

秦九韶则将单位注在表示整数部分个位的筹码之下，例如：ⅢⅡ表示13.12寸寸是世界上最早的小数表示法。

在欧洲和伊斯兰国家，古巴比伦的六十进制长期以来居于统治地位，一些经典科学著作都是采用六十进制，因此十进制小数的概念迟迟没有发展起来。

高中数学文化情景题专题17 秦九韶 (以秦九韶为背景的高中数学考题题组训练)解析版

【高中数学数学文化鉴赏与学习】专题17秦九韶（以秦九韶为背景的高中数学考题题组训练）一、单选题1．南宋时期，数学家秦九韶提出利用三角形的三边求面积的公式：如果一个三角形的三边长分别为,,a b c ，那么三角形的面积ABCS=为秦九韶公式，这与古希腊数学家海伦证明的面积公式()12ABCSp a b c ⎫=++⎪⎭实质是相同的.若在ABC 中，2,3,4a b c ===，则ABC 的内切圆半径r 的值为（）A B C D 【答案】D 【解析】【分析】直接根据题干的面积公式计算，然后根据等面积法计算可得该三角形的内切圆的半径. 【详解】由题可知：2,3,4a b c ===，19()22=++=p a b c又()12△⎫==++⎪⎭ABC S p a b c ，所以△====ABC S 由1922△ABC S a b c rr ，所以r = 故选：D2．南宋时期，我国著名数学家秦九韶发现了与海伦公式等价的求三角形面积的方法，称之为“三斜求积术”.这个公式能用三角形的三边a 、b 、c 来求三角形的面积S .数学课上，张三在做笔记时由于分神，有部分公式没有抄完，他的笔记写着22S ⎤⎛⎫⎥ ⎪⎝⎭⎥，请问□里是（） A ．222b c a +- B ．222a b c +-C．222c a b+-D．222a b c++【答案】C【解析】【分析】由面积公式与余弦定理进行推导，得到答案.【详解】由三角形面积得：111sin222S ac B ac ac===故选：C3．宋元时期是我国古代数学非常辉煌的时期，其中秦九韶、李治、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家，其他表作有秦九韶的《数学九章》，李治的《测圆海镜》和《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》和《四元玉鉴》．现有数学著作《数学九章》，《测圆海镜》，《益古演段》，《详解九章算法》，《杨辉算法》，《算学启蒙》，《四元玉鉴》，共7本，从中任取3本，至少含有一本杨辉的著作的概率是（）A．27B．37C．47D．57【答案】D【解析】【分析】先求其对立事件的概率，再用1减去其对立事件的概率即为所求【详解】解析：所求概率3537C51C7P=-=故选：D4．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式S p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦——秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足8a b+=，6c=，则此三角形面积的最大值为（）A ．B ．8C ．D ．【答案】A 【解析】【分析】求出7p =，利用海伦——秦九韶公式将面积S 表示为a 的函数，利用a 的范围及二次函数知识可求出结果. 【详解】依题意可得11()(86)722p a b c =++=+=，所以S ==因为a c bb c a +>⎧⎨+>⎩，即6886a a a a +>-⎧⎨-+>⎩，所以17a <<，所以当4a =时，S 取得最大值故选：A5．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”公式.设△ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，面积为S ，“三斜求积”公式表示为S 在△ABC 中，若222sin 4sin ,()4a C A a c b =-=-，则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为（）AB ．CD ．【答案】C 【解析】【分析】由正弦定理边角关系可得4ac =，再结合已知可得2224a c b +-=，代入“三斜求积”公式即可求面积. 【详解】由正弦定理可得：24a c a =，则4ac =，又22224a ac c b -+=-，即222244a c b ac +-=-=，所以S ==6．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中给出了三角形面积的求法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅.开平方得积.”如果把以上这段文字写成公式，就是S =根据此公式，ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2sin 3sin c A C =，且()2210a c b +-=，则ABC 的面积为（）A ．1BC D ．2【答案】B 【解析】【分析】结合正弦定理、三角形的面积公式求得正确答案. 【详解】依题意2sin 3sin c A C =，由正弦定理得23,3ac c ac ==，()2222210,210a c b a ac c b +-=++-=，222222610,4a c b c a b ++-=+-=，所以S = 故选：B7．我国南宋著名数学家秦九韶发现了已知三角形三边求三角形面积的方法，他把这种方法称为“三斜求积”：以斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里就有已知三边求三角形面积的问题，该问题翻译成现代汉语就是：一块三角形田地，三边分别为13，14，15，则该三角形田地的面积是（） A ．84 B ．168 C ．79 D ．63【答案】A 【解析】【分析】根据“三斜求积”可得三角形面积公式为S ，代入数值计算【详解】解：依题意设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且a b c ≥≥，则三角形面积公式为S =15a =，14b =，13c =，所以84S 故选：A8．我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法“三斜求积术”，即ABC 的面积S =,,a b c 分别为ABC 的内角,,A B C 的对边，若1b =，且tan C =ABC 的面积的最大值为（）AB C D 【答案】A 【解析】【分析】先根据tan C ,a c 关系，代入面积公式，利用二次函数的知识求解最值. 【详解】因为tan C =sin cos sin C C B C B ，即()sin C C B A =+；由正弦定理可得c =，所以S当a =S 取到最大值2. 故选：A.9．秦九韶是我国南宋数学家，其著作《数书九章》中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是具有世界意义的重要贡献．秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，三斜求积术即已知三边长求三角形面积的方法，用公式表示为：ABCS=a ，b ，c 是ABC 的内角A ，B ，C 的对边．已知ABC 中，cos 2cos a Ab B =-，2b =，则ABC 面积的最大值为（）A ．43B ．83C D 【答案】A 【解析】【分析】由正弦定理化进行边角转换可得2c a =，代入面积公式，变形后结合二次函数性质得最大值．【详解】由cos 2cos a Ab B =-得sin cos sin 2cos A A B B=-，2sin sin cos cos sin A A B A B -=，即2sin sin cos cos sin sin()sin A A B A B A B C =+=+=，所以2a c =，ABCS=所以2209a =，即a =()max 1423ABC S =．故选：A ．10．秦九韶是我国南宋数学家，其著作《数书九章》中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是具有世界意义的重要贡献．秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，三斜求积术即已知三边长求三角形面积的方法，用公式表示为：ABCS ∆=a ，b ，c 是ABC 的内角A ，B ，C 的对边．已知ABC 中，cos cos 2cos cos a A a Ab B B -==-，则ABC 面积的最大值为（）A ．43B ．83C D 【答案】A 【解析】【分析】根据cos cos 2cos cos a A a A b B B-==-，得到2sin sin cos cos sin sin()sin A A B A B A B C =+=+=，即2c a =，再由cos cos a B b A ab +=，利用余弦定理得到2b =，代入ABCS ∆=. 【详解】解：ABC 中，因为cos cos 2cos cos a A a Ab B B-==-，所以sin cos cos ,2co s s cos in A A a a AB b BB -==-，则2sin sin cos cos sin sin()sin A A B A B A BC =+=+=，即2c a =，又cos cos a B b A ab +=，则22222222a c b b c a ab c c+-+-+=，即c ab =，则2b =，所以ABCS ∆=当2209a =时，ABC 面积取得最大值为43，故选：A11．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则△ABC 的面积S cos ()cos 0a B b A +=，且222b c a +-△ABC 的面积为（）A B C D 【答案】A 【解析】【分析】首先根据正弦定理化简已知，求得cos A bc ，最后代入面积公式求解. 【详解】由正弦定理边角互化可知cos ()cos 0a B b A +=化简为()sin cos sin cos 0A B B C A +=，sin cos sin cos cos A B B A C A +=即()sin sin cos A B C C A +==sin 0C ≠，cos A ∴=222cos 2b c a A bc +-==⇔=，解得：1bc =，根据面积公式可知S =. 故选：A12．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S ，若2sin 2sin a C A =，()226a c b +=+，则用“三斜求积”公式求得ABC 的面积为（）AB C ．12D ．1【答案】A 【解析】【分析】根据因为2sin 2sin a C A =，()226a c b +=+，利用正弦定理得到222,+-a c b ac ，代入体积公式求解. 【详解】解：因为2sin 2sin a C A =，()226a c b +=+，所以2ac =，222622+-=-=a c b ac ，所以===S ，故选：A13．数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设一个ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，三角形的面积S 可由公式S =p 为三角形周长的一半，与古希腊数学家海伦公式完全一致，所以这个公式也被称为海伦—秦九韶公式.现有一个三角形的周长为24，6c =，则当三角形面积最大值时AB 边上的高为（）A ．8B ．C ．12D ．【答案】B 【解析】【分析】代入公式S =9a b ==时三角形的面积取得最大值，再计算AB 边上的高即可【详解】由题意得，18a b +=，12p =，则S 121232a b-+-≤==当且仅当1212a b -=-，且18a b +=，即9a b ==时，等号成立，此时三角形的面积取得最大值，所以AB =故选：B.14．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”公式，设ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，“三斜求积”公式表示为S .在ABC 中，若2sin 6sin a C A =，()2216a c b +=+，则用“三斜求积”公式求得ABC 的面积为（）AB C ．D ．【答案】C 【解析】【分析】根据若2sin 6sin a C A =，()2216a c b +=+，得到ac 和222a c b +-，代入S 求解即可. 【详解】解：因为2sin 6sin a C A =，所以26=a c a ，即6ac =，又()2216a c b +=+，所以2224a c b +-=，所以=S 故选：C15．我国南宋著名数学家秦九韶发现了“三斜”求职公式，即ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则ABC的面积S =已知在ABC 中，cos 6,ac B b ==，则ABC 面积的最大值为（）AB ．C ．2D ．4【答案】D 【解析】【分析】由条件cos 6,ac B b ==得2220a c +=，由基本不等式得10ac ≤，再由S 可求解. 【详解】△222222cos 622a c b a c bac B ac ac +-+-===，又△b =，2221220a c b +=+=.△22102a c ac +≤=（当且仅当a c ==.△ABCS=4==， △ABC 面积的最大值为4. 故选：D16．我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，其内容为：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”把以上文字写成公式，即S （其中S 为面积，a ，b ，c 为△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边）．若b cos C ＋c cos B ＝4，c＝a ＝c （cos B cos C ），则利用“三斜求积”公式可得△ABC 的面积S ＝（）A ．B ．C ．4D ．8【答案】B 【解析】【分析】将cos cos 4b C c B +=利用余弦定理化角为边，求得a ，利用正弦定理将(cos )a c B C =+化边为角，求得b ，再根据题中公式即可得出答案.【详解】解：因为cos cos 4b C c B +=，由余弦定理可得222222422a b c a c b b c ab ac+-+-+=，所以4a =，又因为(cos )a c B C =，由正弦定理可得sin sin cos cos )A C B C C =，即()sin sin cos cos )B C C B C C +=，所以sin cos cos B C C C =，因为a c >，所以A C >，所以2C π<，所以sin B C =，所以4b ==，代入S === 故选：B ．17．已知三角形的三边长为a 、b 、c ，则三角形的面积为（海伦—秦九韶公式）S =2a b cp ++=，若ABC ，8AC =，12BC BA +=，则ABC 面积的最大值为（）A ．B ．C ．16D ．【答案】A 【解析】【分析】根据海伦—秦九韶公式将三角形的面积表示出来，再利用基本不等式即可得出答案. 【详解】解：在ABC 中，由8AC =，12BC BA +=，则8,12b a c =+=，则20a b c ++=，所以102a b cp ++==，所以ABCS=10102a c-+-≤=当且仅当1010a c -=-，即6a c ==时，取等号，所以ABC面积的最大值为. 故选：A.18．秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从阳，开平方得积．”如果把以上这段文字写成公式就是S ，其中a ，b ，c 是ABC 的内角A ，B ，C 的对边，若sin 2sin cos C A B =，且224b c +=，则ABC 面积S 的最大值为（）ABCD【答案】B 【解析】【分析】根据正弦定理和余弦定理得到a b =，代入面积公式并根据基本不等式可求出结果. 【详解】由sin 2sin cos C A B =得22222a c b c a ac+-=⋅，得a b =，所以S ====22554442c c +-≤=285c =，22125b a ==时，等号成立.故选：B19．数学必修二101页介绍了海伦-秦九韶公式：我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形的面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隔，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即S ，其中a 、b 、c 分别为ABC 内角A 、B 、C 的对边.若1tan C =，2b =，则ABC 面积S 的最大值为（）AB C ．2 D【答案】A 【解析】【分析】将已知等式结合sin tan cos CC C=进行化简，得到sin 3(sin cos cos sin )C B C B C)3sin BC A ，并利用正弦定理可得c =，代入 “三斜求积”公式S 并将2a 看成整体并利用二次函数性质得解. 【详解】13cos 1tan 3sin C -=， 3sin tan 13cos BCB，又sin tan cos CC C=， 3sin sin cos 13cos B CC B，cos sin (13cos )B C C B ，cos sin 3sin cos B CC C B ，所以sin 3(sin cos cos sin )3sin()3sin C B C B C B C A ，由正弦定理得 ,c = 2,bABC 的面积S ==将2a 看成整体并利用二次函数性质得，当 24a =即 a =2时， ABC 的面积S 有最故选：A . 二、多选题20．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即S （S 为三角形的面积，a ，b ､c 为三角形的三边）.现有△ABC 满足sin :sin :sin 2:A B C =△ABC 的面积ABC S =△，则下列结论正确的是（） A ．△ABC 的最短边长为4 B ．△ABC 的三个内角满足2A B C +=C ．△ABCD ．△ABC 的中线CD 的长为【答案】AB 【解析】【分析】结合题意利用正余弦定理处理运算，常用向量处理△ABC 的中线：()12CD CA CB =+．【详解】因为sin :sin :sin 2:A B C =::2:a b c =2a t =，3b t =，()0c t =>，因为ABC S =△，所以=2t =，则4a =，6b =，c =A 正确；因为2221636281cos 22462a b c C ab +-+-===⨯⨯，所以3C π=，2233A B C πππ+=-==，故B 正确；因为3C π=，所以sin C =，由正弦定理得2sin c R C ==，R =C 错误； ()12CD CA CB =+，所以()22111361624619442CD CA CB⎛⎫=+=⨯++⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，故CD =D 错误.故选：AB.21．《数书九章》是我国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a ，b ，c 求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即S ，现有周长为5ABC 满足::2:a b c =判定下列命题正确的有（）A ．在ABC 中角C =30°B ．ABCC ．ABCD ．ABC 【答案】BCD 【解析】【分析】根据给定条件，求出边长a ，b ，c ，再利用正余定理、面积定理逐项分析、计算判断作答. 【详解】因ABC 的周长为5::2:a b c =2,3,a b c ===由余弦定理得：2221cos 22a b c C ab +-===，而0180C <<，则60C =，A 不正确；由选项A 知，ABC 的面积1133sin 23sin 60222S ab C ==⨯⨯⨯=，B 正确；由选项A 及正弦定理知，ABC 的外接圆半径R 有22sin 603c R C ===，解得3R =，C 正确；设ABC 的内切圆半径为r ，则ABC 的面积1()2S a b c r =++==，解得r =，D 正确. 故选：BCD22．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S △ABC 满足sin :sin :sin 2:A B C =ABC S =△ ）A ．△ABC 周长为5B ．3C π=C ．△ABCD ．△ABC 中线CD 【答案】BC 【解析】【分析】由题设及正弦定理得::2:a b c =a 、b 、c 判断A 的正误；应用余弦定理求角C ，正弦定理求外接圆的半径，作DE AC ⊥应用勾股定理求CD . 【详解】由题设及正弦定理知：::2:a b c =2,3,a x b x c ===且0x >，2S =2x =，所以4,6,a b c ===△ABC 周长为10+A 错误；2221cos 22a b c C ab +-==，又0C π<<，则3C π=，B 正确；△ABC 的外接圆半径为2sin c R C ==C 正确；如下图，过D 作DE AC ⊥，由题设知：162ADC S DE ==⨯⋅，则DE =又2cAD ==2AE =，故4CE =，所以CD =D 错误.故选：BC 三、双空题23．我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数学九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积，把以上文字写出公式，即S (其中S 为三角形面积，a ，b ，c 为三角形的三边). 在非直角ABC 中，a ，b ，c 为内角A ，B ，C 所对应的三边，若3a =且()cos a c B C =，则ABC 面积的最大值是______ ，此时c =________.【答案】3 【解析】【分析】由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简，然后结合已知三角形的面积公式进行化简，结合二次函数的性质可求．【详解】解：因为(cos )=+a c B C ，由正弦定理得sin sin (cos )sin()A C B C B C ==+，所以sin cos cos sin cos sin cos C B C C B C C B =+，cos sin cos C C B C =，因为ABC 不是直角三角形，所以cos 0C ≠，sin C B =，由正弦定理得b =，由题意可得S =当29c =即3c =时，ABC 的面积最大，此时max S =．3． 24．我国南宋著名数学家秦九韶（约1202-1261）被国外科学史家赞誉为“他那个民族，那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”．他独立推出了“三斜求积”公式，求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”把以上这段文字写成从三条边长求三角形面积的公式，就是S =现有ABC 满足sin :Asin :sin 2:B C =ABC 的面积是ABC 的周长为________，AB 边中线CD 的长为_________【答案】 10+10 【解析】【分析】由正弦定理得出三边关系，再由面积公式求出各边得出周长，再利用ACD S =△求出中线CD 的长. 【详解】因为sin :sin :sin 2:A B C =::2:a b c =设2,3,a k b k c ===，则由题可得S ==2k =，则ABC 的周长为(510a b c k ++=+=+因为CD 为中线，ACD △中，6,AC AD ==CD x =，则ACDS==x =又在三角形中，BD BC CD +>，所以CD =故答案为：10+ 四、填空题25．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形的三条边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积S 可由公式S p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足4,6a b c =+=，则此三角形面积的最大值为______.【答案】【解析】【分析】结合三角形的面积公式以及基本不等式求得三角形面积的最大值. 【详解】 46522a b c p +++===，所以三角形的面积S==，当且仅当3==b c 时等号成立.故答案为：26．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则ABC 的面积S 根据此公式，若()cos 2cos 0a B b c A +-=，且2224b c a ，则ABC 的面积为______.【解析】【分析】首先根据正弦定理化简已知，求得1cos 2A =，再根据余弦定理求bc ，最后代入面积公式求解. 【详解】解：由正弦定理边角互化可知cos (2)cos 0a B b c A +-=化简为()sin cos sin 2sin cos 0A B B C A +-=，sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=即()sin sin 2sin cos A B C C A +==sin 0C ≠，1cos 2A ∴=, △222141cos 2222b c a A bc bc +-==⇔=，解得：4bc =，根据面积公式可知S27．南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即S （其中S 为三角形的面积，,a b c ，为三角形的三边）.在斜ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边，若(cos )=+a c B C ，且sin a C B =.则此ABC 面积的最大值为___________.【解析】【分析】由正弦定理化边为角，应用诱导公式，两角和的正弦公式变形可求得sin B C =，再由正弦定理得b =，代入面积公式得面积S 为c 的函数，结合二次函数性质得最大值．【详解】解：△(cos )=+a c B C ，△sin sin (cos )A C B c =，即sin cos cos sin()sin cos cos sin C B C C B C B C B C =+=+，cos sin cos C C B C =，又(0,)C π∈且2C π≠，则cos 0C ≠，△sin B C ，△b =，又sin a C B =，所以ac =，解得3a =，△S == △3c =时，max S =．．【点睛】思路点睛：本题考查正弦定理、余弦定理的应用，考查新定义，解题关键是利用正弦定理及三角函数恒等变换公式得出边的关系，利用新给出的面积公式表示出三角形面积，从而可得最大值及边长．28．我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了一种求三角形面积的方法“三斜求积术”，即在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则ABC的面积为S =222cos cos cos sin sin 1C A B A B --=-，且ABC 的外ABC 面积的最大值为___________.【解析】【分析】利用同角三角函数的平方关系化简222cos cos cos sin sin 1C A B A B --=-，结合正弦定理角化为边，得到222a b c ab +-=，利用余弦定理求得C ，再求得c ，利用基本不等式求得4ab ≤，从而由S =. 【详解】由222cos cos cos sin sin 1C A B A B --=-得：2221sin 1sin 1sin sin sin 1C A B A B --+-+=-，即222sin sin sin sin sin A B C A B +-=，故222a b c ab +-=，所以2221cos 22a b c C ab +-== ，而(0,),3C C ππ∈= ,所以22sin c c C === ，则22424,4b ab a ab ab +-=≥-≤，当且仅当a b = 时取等号，故ABC S ===≤ 即ABC，故答案为：29．《数书九章》三斜求积术：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约一，为实，一为从隅，开平方得积”．秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，“术”即方法．以S ，a ，b ，c 分别表示三角形的面积，大斜，中斜，小斜；,,a b c h h h 分别为对应的大斜，中斜，小斜上的高；则111222a b c S ah bh ch ===．若在ABC中a h =b h =c h =__________．【解析】【分析】根据题中所给公式求出三角形的边长，再利用余弦定理求得其中一角，再利用正弦定理求得三角形外接圆的半径即可得解.【详解】解：由a b c ah bh ch ==，知111::::8:7:5==a b c a b c h h h ，设8,7,5===a k b k c k ，则2S ==，又182=⨯=S k，△2=，△1k =，△8,7,5===a b c△2221cos 22a cb B ac +-==，又()0,B π∈，△3B π=，△该三角形外接圆的直径2sin b R B ===30．我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即S （其中S 为三角形的面积，a ，b ，c 为三角形的三边）.在非直角ABC 中，a ，b ，c 为内角A ，B ，C 所对应的三边，若2a =，且()cos a c B C =，则ABC 的面积最大时，c =___________.【答案】【解析】【分析】先利用正弦定理将边化为角，化简整理得b =，带入面积公式，配方可得最值．【详解】()cos a c B C =，由正弦定理()sin sin cos A C B C ∴=，又()A B C π=-+ ()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，cos sin cos C B C C ∴=， ABC 非直角三角形，cos 0C ∴≠，sin B C ∴=，即b =，S ∴==当且仅当212c =，即c =时，S 有最大值.故答案为：。

关于数学的传奇人物故事-秦九韶

关于数学的传奇人物故事-秦九韶秦九韶想必知道他的人其实是比较少的，所以小编想把他的事迹告诉大家，让更多人认识到我们祖国曾经有过这么伟大的数学家!简介秦九韶(1208年-1268年)，字道古，汉族，生于普州安岳(今四川省安岳县)人，祖籍鲁郡(今河南范县)。

南宋著名数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。

精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学，历任琼州知府、司农丞，后遭贬，卒于梅州任所，1247年完成著作《数书九章》，其中的大衍求一术(一次同余方程组问题的解法，也就是现在所称的中国剩余定理)、三斜求积术和秦九韶算法(高次方程正根的数值求法)是有世界意义的重要贡献，表述了一种求解一元高次多项式方程的数值解的算法——正负开方术。

人物生平秦九韶，字道古。

普州安岳(今四川安岳)人，祖籍鲁郡(今河南范县)。

中国古代数学家。

南宋嘉定元年(1208年)生;约景定二年(1261年)被贬至梅州，咸淳四年(1268)二月，在梅州辞世，时年61岁。

秦九韶其父秦季栖，进士出身，官至上部郎中、秘书少监。

秦九韶聪敏勤学。

宋绍定四年(1231)，秦九韶考中进士，先后担任县尉、通判、参议官、州守、同农、寺丞等职。

先后在湖北、安徽、江苏、浙江等地做官，1261年左右被贬至梅州，不久死于任所。

他在政务之余，对数学进行潜心钻研，并广泛搜集历学、数学、星象、音律、营造等资料，进行分析、研究。

宋淳祜四至七年(1244至1247)，他在为母亲守孝时，把长期积累的数学知识和研究所得加以编辑，写成了闻名的巨著《数学九章》，并创造了“大衍求一术”。

被称为“中国剩余定理”。

他所论的“正负开方术”，被称为“秦九韶程序”。

世界各国从小学、中学到大学的数学课程，几乎都接触到他的定理、定律和解题原则。

秦九韶祖籍鲁郡(今河南范县)，其父秦季槱，字宏父，绍熙四年(1193)进士，后任巴州(今四川巴中)守.嘉定十二年(1219)三月，兴元(今陕西汉中)军士张福、莫简等发动兵变，入川后攻取利州(今广元)、阆州(今阆中)、果州(今南充)、遂宁(今遂宁)、普州(今安岳)等地.在哗变军队进占巴州时，秦季槱弃城逃走，携全家辗转抵达南宋都城临安(今杭州)。

秦九韶法求方程的近似解

秦九韶法求方程的近似解
我国古代数学家秦九韶约在1247年(南宁时代)发现了一种高次方程根的近似计算法，我们称之为秦九韶法．此法在外国叫霍而耐(Horner)法，霍耐是英国数学家，他1819年才发现这个方法，迟于我国500年．
但由于此法计算程序冗长，不便于精确度要求较高的运算．如果要求精确度不高，如要求到小数点后一位，可用此法来求，例如：
试求f(x)=x3-8x+1在区间[2,3]内的实根的近似值，精确到0.1．
解：如果只要求精确到0.1，可将区间[2,3]十等分，对各分点值逐个代入f(x)中试验，即可求得．这一计算过程，可利用下表进行：
x 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3 F(x) －－－－－－－－+ + +
由于x从2.7变到2.8有一变号零点．所以f(x)在区间(2.7,2.8)内有一实根，那么x=2.8就是f(x)在区间[2,3]内，精确到0.1的实根近似值．。

2021-2022学年上海高一数学下学期考试满分全攻略第6章三角(新文化与压轴30题)(解析版)

第6章三角（新文化与压轴30题专练）一、单选题1．（2021·上海·高一期末）南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”，可用公式S a ，b ，c ，S 为三角形的三边和面积）表示，在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若2a =，且2cos cos b C c B c -=，则ABC 面积的最大值为（）A ．1 BC D ．【答案】B【分析】由已知条件等式，结合余弦定理可得222b c c a-=，进而有b ，将其代入公式S ，应用二次函数的性质求最值即可.【详解】由题设，结合余弦定理知：222222222a b c a c b b c c ab ac+-+-⋅-⋅=，即222b c c a -=，而2a =，∴b =，S =∴当2c =时，max S 故选：B.【点睛】关键点点睛：应用余弦定理的边角关系，代入已知等式整理得b =，再由面积公式求最值.2．（2021·上海·高一课时练习）我们把顶角为36︒的等腰三角形称为黄金三角形，它的0.618≈，该三角形被认为是最美的三角形.根据这些信息，可得cos36︒=（）A B C D【答案】B【分析】由题意可知sin18︒=.，所以sin18︒=所以2cos3612sin 18︒=-︒=，故选：B【点睛】本题主要考查了余弦的二倍角公式，正弦函数的定义，属于中档题.3．（2021·上海·高一期末）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦⨯矢+矢⨯矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为23π，弦长为（）平方米（其中3π≈ 1.73≈）A ．14B ．16C ．18D ．20【答案】B【分析】根据题意画出图形，结合图形求出扇形的面积与三角形的面积，计算弓形的面积，再利用弧长公式计算弧田的面积，求两者的差即可.【详解】如图所示，扇形的半径为1sin 4023r π=⨯=，所以扇形的面积为212160040233ππ⨯⨯=，又三角形的面积为212sin4023π⨯⨯=所以弧田的面积为216001600400 1.73908()33m ππ-≈-⨯=，又圆心到弦的距离等于40cos203π⨯=，所示矢长为402020-=，按照上述弧田的面积经验计算可得1(2弦⨯矢+矢2)2212020)892()2m =⨯+=，所以两者的差为290889216()m -=. 故选：B .【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式和面积公式的应用，以及我国古典数学的应用问题，其中解答中认真审题，合理利用扇形弧长和面积公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.4．（2021·上海市南洋模范中学高一期中）若[]0,,,,44R ππαπβλ⎡⎤∈∈-∈⎢⎥⎣⎦，满足3cos 202πααλ⎛⎫---= ⎪⎝⎭，34sin cos 0βββλ++=，则cos 2αβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（）A ．0B ．2C ．D ．1【答案】B【分析】由题意可得2β-和2πα-是方程3sin 20x x λ+-= 的两个实数解．再由2πα- 和2β的范围都是[2π-，]2π，方程3sin 20x x λ+-=在[2π-，]2π上只有一个解，可得22παβ-=，所以24απβ+=，由此求得cos()2αβ+的值．【详解】解：34sin cos 0βββλ++=，3(2)2sin cos 20βββλ∴---=，即3(2)sin(2ββ-+-)20λ-=．再由3()cos 202πααλ---=，可得3()sin()2022ππααλ-+--=．故2β-和2πα-是方程3sin 20x x λ+-= 的两个实数解．再由[0α∈，]π，[4πβ∈-，]4π，所以2πα-和2β的范围都是[2π-，]2π，因为函数3,sin y x y x ==在[2π-，]2π上单调递增，所以函数3sin y x x =+在[2π-，]2π上单调递增，故方程3sin 20x x λ+-=在[2π-，]2π上只有一个解，所以，22παβ-=，所以24απβ+=，所以cos()2αβ+=故选：B ．5．（2021·上海市延安中学高一期中）当函数3cos 4sin y x x =-取得最大值时，tan x 的值是（） A ．43B ．34C ．43-D ．34-【答案】C【分析】利用辅助角θ将函数利用两角差的正弦公式进行化简，求得函数取得最大值时的θ与x 的关系，从而求得sin x ，cos x ，可得结果.【详解】()33cos 4sin 5cos sin 5sin 545y x x x x x θ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，其中3sin 5θ=，4cos 5θ=，当2,2x k k Z πθπ-=+∈时，函数()f x 取得最大值，此时 2,2x k k Z πθπ=-+∈，∴4sin sin cos 25x πθθ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，cos cos =sin 253x πθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，∴4tan 3x =- 故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查了两角差的正弦公式的逆用，解题的关键是辅助角公式的应用与正弦函数的性质，考查学生的运算求解能力，属于中档题.6．（2021·上海·高一课时练习）若24sin 3k x x k -=+，则k 的取值范围是（）A ．13,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．()3,-+∞D ．()1,33,2⎛⎤-∞--- ⎥⎝⎦【答案】B【分析】将等式左边用辅助角公式化简得到左边的取值范围，则等式右边也在这个范围，最后解不等式即可.【详解】24sin 3k x x k -=+∵sin 2sin [2,2]3x x x π⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭，∴244220243322241032033k k k k k k k k k -+⎧⎧≥-≥⎪⎪-⎪⎪++-≤≤⇒⇒⎨⎨--+⎪⎪≤≤⎪⎪++⎩⎩所以12k ≥-.故选：B.二、填空题7．（2021·上海徐汇·高一期末）赵爽是我国古代数学家、天文学家，约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方程”亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的个大正方形，如图是一张弦图已知大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，若直角三角形较小的锐角为α，则tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为________．【答案】17-【分析】结合已知条件设直角三角形两直角边分别为x 、1x +，由勾股定理求出x 的值，进而可得tan α的值，由两角差的正切公式即可求解.【详解】设直角三角形的较小的直角边为x ，则较长的直角边为1x +，因为大正方形的面积为25，所以有正方形的边长为5，每一个直角三角形中由勾股定理可得：()22125x x ++=，即2120x x +-=，解得3x =或4x =-（舍），直角三角形较小的锐角为α，可得3tan 14x x α==+，所以π3tan tan1π144tan π3471tan tan 1144ααα--⎛⎫-===- ⎪⎝⎭++⨯，故答案为：17-.8．（2021·上海·高一期末）著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，黄金分割比t 0.618≈2=___________. 【答案】12【分析】将2sin18°替换t 代入所求值的式子中，利用三角变换公式化简即得. 【详解】因t=2sin18°，则有22222sin184(2sin18)2sin184(1sin 18)==⋅-⋅-cos54sin 3612sin182cos182sin 362===⋅.故答案为：12【点睛】关键点点睛：含非特殊角三角函数式求值问题，合理选择诱导公式、同角三角函数基本关系、和差角的三角函数公式，二倍角公式等三角变换公式，借助通分、约分，合并等方法解决.9．（2021·上海·华东师范大学第三附属中学高一阶段练习）我国古代数学家秦九韶左《数书九章》中记述了了“一斜求积术”，用现代式子表示即为：在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则ABC 的面积S =，根据公式cos (3)cos0c B b a C ⋅++=，且2224c a b --=，则ABC 的面积为________．【答案】【分析】由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简，求得cos C ，再结合已知及余弦定理，求得ab 的值，代入已知公式，即可求解.【详解】解：由题意，因为()cos 3cos 0c B b a C ++=，所以()sin cos sin 3sin cos 0C B B A C ++=，即sin()3sin cos 0B C A C ++=，又由sin()sin B C A +=，所以sin 3sin cos 0A A C +=，由因为(0,)A π∈，所以sin 0A >，所以13cos 0C +=，即1cos 3=-C ，因为2224c a b --=，由余弦定理可得22241cos 223a b c C ab ab +--===-，解得6ab =，则ABC 的面积为S ==故答案为：10．（2021·上海·高一期中）第24届国际数学家大会的会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的.如图，会标是由4个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，若小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，设直角三角形中较大的锐角为θ，则tan 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭___________.【答案】17【分析】设直角三角形的边长为a ，1a +，22(2)100a a ++=，0a >．解出tan θ的值，再利用两角差的正切公式，即可得出．【详解】设直角三角形的边长为a ，2a +，则22(2)100a a ++=，0a >，解得6a =，故四个小直角三角的三边分别为6、8、10． 4sin 5θ∴=，3cos 5θ=，4tan 3θ∴=，1tan 113tan()=741tan 73πθθθ-∴-==+，故答案为：17．【点睛】本题考查了勾股定理、倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．易错点在于“设直角三角形中较大的锐角为θ”，常见的题目都是较小角．11．（2021·上海·高一课时练习）我国古代数学家秦九韶在《数学九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在ABC 中，,,A B C ∠∠∠所对的边长分别为,,a b c ，则ABC 的面积S =根据此公式若cos (3)cos 0a B b c A ++=，且2222a b c --=，则△ABC 的面积为______________.【分析】根据cos (3)cos 0a B b c A ++= ，变形利用正弦定理得，sin 3sin cos C C A =-，解得1cos 3A =-，再利用余弦定理得到222b c a +-，bc ，代入S =解.【详解】因为cos (3)cos 0a B b c A ++= ，所以cos cos 3cos a B b A c A +=-，由正弦定理得sin cos sin cos 3sin cos A B B A C A +=-，即sin 3sin cos C C A =-，所以1cos 3A =-，由余弦定理得2222cos 2b c a bc A +-==-，所以3bc =，所以S ==【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12．（2019·上海市晋元高级中学高一阶段练习）在△ABC 中，已知2sin sin sin()sin A B C C θλ-=，其中1tan 022πθθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭.若112tan tan tan A B C++为定值，则实数λ=_________.【答案】10【分析】由112tan tan tan k A B C =++2sin 2cos sin sin sin sin C CA B C C=+，再根据已知将问题转化为等式恒成立，即可求参数λ. 【详解】112cos cos 2cos sin 2cos tan tan tan sin sin sin sin sin sin A B C C CA B C A B C A B C++=++=+2sin 2cos 112cos )sin sin sin sin sin sin C C CC C A B C C C C λ=+=⋅+11cos 2cos sin sin C C k C Cλλ=+=，∴10cos 5sin C C C k C λλ+=恒成立，则4k =，λ=.故答案为：1013．（2021·上海市七宝中学高一期中）设ABC 的内角A 、B 、C 满足6cos a bC b a=+，则cot cot A B +的最小值为________．【分析】首先利用基本不等式求得10,arccos 3C ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，再根据余弦定理变形得22232a b c +=，将余切转化为正余弦，再利用正弦定理边角互化，转化为cot cot 4cot A B C +=，最后利用角C 的范围求最值.【详解】由题意得22111cos 0,arccos 633a b C C ab +⎛⎤=⋅≥⇒∈ ⎥⎝⎦，另一方面，2222222213cos 622a b a b c C a b c ab ab ++-=⋅=⇒+=， ()2222cos cos sin 1cot cot sin sin sin sin sin sin 3a b A B C c A B A B A B ab C C ab++=+===⋅216cos 4cot 4cot arccos 3sin 3C C C ⎛⎫=⋅=≥= ⎪⎝⎭1arccos ,3C A B ==时取到最小值．14．（2021·上海·高一期末）设锐角ABC ∆的三个内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，且4c =，2A C =，则ABC ∆的周长的取值范围为______________.【答案】(8++ 【分析】根据锐角三角形的性质判断出3045C <<，然后利用正弦定理将三角形ABC 的周长转化为用cos C 来表示，从而求得ABC ∆的周长的取值范围.【详解】由于三角形ABC 是锐角三角形，所以090A <<，所以0290C <<.1801803B A C C =--=-，所以01803903045C C <-<⇒<<.由正弦定理得4sin sin sin sin a b c A B C C===，可得 4sin 4sin 28cos sin sin A Ca C C C===， ()()4sin 18034sin 2cos cos 2sin 4sin 4sin 3sin sin sin sin C C C C C B C b C C C C-+====228cos 4cos 216cos 4C C C =+=-.所以22116cos 8cos 16cos 14a b c C C C ⎛⎫++=+=+- ⎪⎝⎭.由于3045C <<cos C而2116cos 14y C ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在⎝⎭上递增， 2116184⎫-=+⎪⎪⎝⎭21161124⎫+-=+⎪⎪⎝⎭，所以a b c ++的取值范围是(8++.故答案为：(8++ 【点睛】本小题主要考查利用正弦定理求三角形周长的取值范围，属于中档题.15．（2021·上海·高一期末）已知()f x 是定义域为R 的单调函数，且对任意实数x ，都有()32415x f f x ⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦，则217log sin6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭______. 【答案】75-【解析】根据函数解析式,利用换元法表示出()f x .结合函数的单调性,令x t =代入后可求得()f x 的解析式.结合三角函数的化简求值及对数运算将217log sin 6π化简,代入解析式即可求解.【详解】对任意实数x ,都有()32415x f f x ⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦令()341x f x t +=+ 则()25f t =因为()f x 是定义域为R 的单调函数所当x t =时,函数值唯一,即代入()341xf x t +=+ 可得()341t f t t +=+,即23541t t +=+ 化简可得32415tt =-+,经检验可知1t =为方程的解而341t y =+为单调递减函数,25y t =-为单调递增函数所以两个函数只有一个交点,即32415t t =-+只有一个根为1t = 所以()3141x f x =-++ 而2221751log sinlog sin log 1662ππ===- 所以217log sin6f π⎛⎫⎪⎝⎭()1f =-1371415-=-+=-+ 故答案为: 75-【点睛】本题考查了复合函数解析式的求法,换元法求解析式的应用,三角函数化简及对数运算性质应用,属于难题.16．（2021·上海·高一期末）已知(sin )21f x x =+([,])22x ππ∈-，那么(cos10)f =________ 【答案】217π-【分析】将cos10利用诱导公式转变为sin ,22ππαα⎛⎫⎡⎤∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的形式，然后根据函数解析式直接计算()sin f α的值即为()cos10f 的值.【详解】因为710,222πππ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦且7cos10sin 102π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以77(cos10)[sin(10)]2(10)121722f f πππ=-=-+=-.故答案为：217π-.【点睛】本题考查三角函数的诱导公式的应用，着重考查了分析与转化的能力，难度较难.17．（2021·上海·高一课时练习）已知sin()sin()m αββα+⋅-=，则22cos cos αβ-的值为________. 【答案】m【分析】本题出现sin()sin()αββα+⋅-和22cos cos αβ-,故考虑降幂公式和差化积公式.【详解】22cos 21cos 21cos 2cos 2cos cos 222αβαβαβ++--=-=,又 cos2cos(()())cos()cos()sin()sin()ααβαβαβαβαβαβ=++-=+--+- cos2cos(()())cos()cos()sin()sin()βαβαβαβαβαβαβ=+--=+-++-故cos2cos22sin()sin()2sin()sin()2m αβαβαβαββα-=-+-=+-=,故22cos 2cos 2cos cos 2m αβαβ--==故答案为m【点睛】本题主要考查降幂公式,和差角公式与和差化积公式.三角函数的问题重点根据题目中角度的关系确定所用的公式.18．（2021·上海·高一专题练习）下面这道填空题，由于一些原因造成横线上的内容无法认清，现知结论，请在横线上填写原题的一个条件，题目：已知α、β均为锐角，且1sin sin 2αβ-=-，______，则()59cos 72αβ-=.【答案】1cos cos 3αβ-=【分析】注意到()()22sin sin cos cos αβαβ-+-()22cos αβ=--，将已知条件代入上式，求得cos cos αβ-的值，由此得出正确结论. 【详解】()59cos cos cos sin sin 72αβαβαβ-=+=，1sin sin 2αβ-=-，02παβ<<<，()()22sin sin cos cos αβαβ-+-()1322cos 36αβ=--=，解得1cos cos 3αβ-=. 故答案为1cos cos 3αβ-=.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角和的余弦公式，考查三角恒等变换，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.三、解答题19．（2021·上海·高一课时练习）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦´矢+矢2）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长等于9米的弧田.（1）计算弧田的实际面积；（2）按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（结果保留两位小数）【答案】(1)9π2m )；(2)少1.522m ．试题分析：(1)本题比较简单，就是利用扇形面积公式21122S lr r α==来计算弧田面积，弧田面积等于扇形面积-对应三角形面积．(2)由弧田面积的经验计算公式计算面积与实际面积相减即得．试题解析：(1) 扇形半径，扇形面积等于弧田面积=（m 2）（2）圆心到弦的距离等于，所以矢长为.按照上述弧田面积经验公式计算得（弦´矢+矢2）=.平方米按照弧田面积经验公式计算结果比实际少1.52平米. 考点：(1)扇形面积公式；(2)弧田面积的经验计算公式．20．（2021·上海市西南位育中学高一期中）已知函数()|sin ||cos |()f x x x x R =+∈，函数()4sin cos ()g x x x k x R =+∈，设()()()F x f x g x =-. （1）求证：2π是函数f （x ）的一个周期；（2）当k =0时，求F （x ）在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值；（3）若函数F （x ）在区间(0,)π内恰好有奇数个零点，求实数k 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）23）1k =或2k =或2k =. 【分析】（1）根据周期函数的定义进行证明即可；（2）利用换元法，结合二次函数的性质进行求解即可；（3）根据绝对值的性质，利用分类讨论思想、换元法，结合正弦型函数的性质进行求解即可.【详解】（1）因为()|sin()||cos()||cos ||sin |()222f x x x x x f x πππ+=+++=+=，所以2π是函数f （x ）的一个周期；（2）当k =0时，因为,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()()()sin cos 4sin cos F x f x g x x x x x =-=--，令sin cos )4t x x x π=--，因为,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以3(),444x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，因此sin()4x π⎤-∈⎥⎣⎦，即t ⎡∈⎣，因为sin cos t x x =-，所以22221sin cos 2sin cos sin cos 2t t x x x x x x -=+-⇒=，因此有221()4222t h t t t t -=-⋅=+-，对称轴为：14t =-，因为t ⎡∈⎣，所以当t =时，函数max ()2h t h ==即F （x ）在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2+（3）当(0,]2x π∈时，由()()()0F x f x g x =-=可得：sin cos 4sin cos k x x x x =+-，令sin cos )4t x x x π=+=+，因为(0,]2x π∈，所以3()(,]444x πππ+∈，因此sin()4x π⎤+∈⎥⎣⎦，即t ⎡∈⎣，因为sin cos t x x =+，所以22221sin cos 2sin cos sin cos 2t t x x x x x x -=++⇒=，因此221()4222t k K t t t t -==-⋅=-++，该二次函数的对称轴为：14t =，因此当t ⎡∈⎣时，该二次函数单调递减，所以所以当1t =时，即1k =时，有一解，当t 时，即2k 时，有一解，当t ∈21k <<时，有二解，当(,)2x ππ∈时，由()()()0F x f x g x =-=可得：sin cos 4sin cos k x x x x =--，令sin cos )4t x x x π=--，因为(,)2x ππ∈，所以3()(,]444x πππ-∈，因此sin()4x π⎤-∈⎥⎣⎦，即t ⎡∈⎣，因为sin cos t x x =-，所以22221sin cos 2sin cos sin cos 2t t x x x x x x -=+-⇒=，因此221()4222t k G t t t t -==-⋅=+-，该二次函数的对称轴为：14t =-，因此当t ⎡∈⎣时，该二次函数单调递增，所以所以当1t =时，即1k =时，有一解，当t 时，即2k 时，有一解，当t ∈时，即12k <<时，有二解，综上所述：当函数F （x ）在区间(0,)π内恰好有奇数个零点，1k =或2k =或2k .【点睛】关键点睛：利用分类讨论思想，结合换元法是解题的关键.21．（2021·上海·高一专题练习）对于集合{}12,,,n A θθθ=⋅⋅⋅和常数0θ，定义：()()()22210200cos cos cos n nθθθθθθμ-+-++-=为集合A 相对0θ的“余弦方差”．（1）若集合ππ,34A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，00θ=，求集合A 相对0θ的“余弦方差”；（2）求证：集合π2π,,π33A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭相对任何常数0θ的“余弦方差”是一个与0θ无关的定值，并求此定值；（3）若集合π,,4A αβ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，[)0,πα∈，[)π,2πβ∈，相对任何常数0θ的“余弦方差”是一个与0θ无关的定值，求出α、β．【答案】（1）38；（2）证明见解析，定值12；（3）7π12α=，23π12β=或11π12α=，19π12β=．【分析】（1）由“余弦方差”的定义，及特殊角的三角函数值计算可得；（2）由“余弦方差”的定义，及两角差的余弦公式化简可得．（3）由“余弦方差”的定义，在由两角差的余弦公式及二倍角公式化简分子，可得cos 2cos 201sin 2sin 20αβαβ+=⎧⎨++=⎩即可求出α、β的值，即可得解．【详解】解：（1）依题意：22ππ11cos 0cos 033442228μ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===；（2）由“余弦方差”定义得：()222000π2πcos cos cos π333θθθμ⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，则分子()222000000ππ2π2πcos cos sin sin cos cos sin sin cos πcos sin πsin 3333θθθθθθ⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2220000011cos cos cos 22θθθθθ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22200013cos sin cos 22θθθ=++ 32= 31232μ∴==为定值，与0θ的取值无关．（3）依题意()()222000πcos cos cos 43θαθβθμ⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭=，所以分子=()()222000000ππcos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin 44θθαθαθβθβθ⎛⎫+++++ ⎪⎝⎭22000011cos +sin sin cos 22θθθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()22220000cos cos sin sin 2sin cos sin cos αθαθθθαα+++()22220000cos cos sin sin 2sin cos sin cos βθβθθθββ+++()222222000011cos cos cos sin sin sin 1sin 2sin 2sin cos 22αβθαβθαβθθ⎛⎫⎛⎫=++++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()22220001cos 21cos 2111cos cos sin sin 1sin 2sin 2sin 222222θθαβαβαβθ+-⎛⎫⎛⎫=++++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()222200cos 2sin 2cos cos sin sin 1sin 2sin 222θθαβαβαβ=+--+++22221111cos cos sin sin 2222αβαβ⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()00cos 2sin 2cos 2cos 21sin 2sin 222θθαβαβ=++++22221111cos cos sin sin 2222αβαβ⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()00311sin 21sin 2sin 2cos 2cos 2cos 2222θαβθαβ=+⋅+++⋅+．要使μ是一个与0θ无关的定值，则cos 2cos 201sin 2sin 20αβαβ+=⎧⎨++=⎩，cos2cos2αβ=-，2α∴与2β终边关于y 轴对称或关于原点对称，又sin 2sin 21αβ+=-，得2α与2β终边只能关于y 轴对称，1sin 2sin 22cos 2cos 2αβαβ⎧==-⎪∴⎨⎪=-⎩，又[)0,πα∈，[)π,2πβ∈，则当72π6α=时，232π6β=；当112π6α=时，192π6β=． 7π12α∴=，23π12β=或11π12α=，19π12β=．故7π12α=，23π12β=或11π12α=，19π12β=时，相对任何常数0θ的“余弦方差”是一个与0θ无关的定值．22．（2021·上海·复旦附中高一期中）在非直角三角形ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .（1）若2a c b +=，且3B π=，判断三角形ABC 的形状；（2）若(1)a c mb m +=>，（i ）证明：1tantan 221A C m m -=+；（可能运用的公式有sin sin 2sin cos 22αβαβαβ+-+=）（ii ）是否存在函数()m ϕ，使得对于一切满足条件的m ，代数式cos cos ()()cos cos A C m m A Cϕϕ++恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的()m ϕ，并证明之；若不存在，请给出一个理由. 【答案】（1）等边三角形；（2）（i ）证明见解析；（ii ）存在，22()1mm m ϕ=-+，证明见解析.【分析】（1）利用余弦定理即可求解；（2）（i ）由正弦定理及三角形的性质、诱导公式可得coscos 22A C A Cm -+=，再由三角恒等变换即可求证；（ii ）根据三角恒等变换代数式可化为222cos cos 112cos cos 1mA C m mA C m +-+=--+，比较可知存在.【详解】（1）由余弦定理得222b a c ac =+-，将2a cb +=代入得到ac =，所以ABC 为等边三角形. （2）（i ）由a c mb +=及正弦定理sin sin sin a b cA B C==得sin sin sin A C m B +=，所以2sin cos 2sin cos 2222A C A CB Bm +-=，因为222A CB π+=-，所以()2sin cos 2sin cos 2sin cos 22222222B A C A C B A C B m m πππ--++⎛⎫⎛⎫-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有coscos 22A C A Cm -+=，由两角和､差的余弦公式可得 coscos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin 222222222222A C A C A C A C A C A C m m m ⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭，整理得(1)sin sin (1)cos cos 2222A C A Cm m +=-，故1tantan 221A C m m -=+. （ii ）由1tantan 221A C m m -=+及半角正切公式1cos sin tan 2sin 1cos ααααα-==+可得 21cos sin 1cos sin 1cos 1cos tan tan 22sin 1cos sin 1cos 1cos 1cos A C A A C C A C A A C C A C ----⎛⎫=⋅⋅⋅=⋅ ⎪++++⎝⎭22(1)(1)m m -=+，展开整理得()2421(cos cos )4cos cos m m A C m A C -++=-，即()2421(cos cos )4cos cos m m A C m A C-++=-，即222cos cos 21cos cos 1mA C m m A C m +-+=+，即222cos cos 112cos cos 1m A C m m A C m +-+=--+，与原三角式比较可知()m ϕ存在且22()1m m m ϕ=-+. 23．（2021·上海·高一期末）如图是一个“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中AC BD 、是过抛物线2yx 的两条互相垂直的弦（点A B 、在第二象限），且AC BD 、交于点10,4F ⎛⎫⎪⎝⎭，点E 为y 轴上一点，EFA α∠=，其中α为锐角（1）设线段AF 的长为m ，将m 表示为关于α的函数（2）求“蝴蝶形图案”面积的最小值，并指出取最小值时α的大小【答案】（1）2cos 12sin m αα+=（2）“蝴蝶形图案”面积的最小值为12,取最小值时4πα=. 【分析】（1）过点A 作AK y ⊥轴于点K ,||AF m =,在Rt AFK 中利用三角函数的定义可得||sin AK m α=,||cos FK m α=,即点A 的坐标为1sin ,cos 4A m m αα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,代入抛物线的方程,可得m 关于α的函数.（2）由题意结合图形,||,||,||BF CF DF 可由||AF 逆时针旋转得到,即可得到||,||,||BF CF DF 关于α的函数,进而可得“蝴蝶形图案”面积S 关于α的函数,换元后利用配方法求其面积的最小值. 【详解】（1）过点A 作AK y ⊥轴于点K ,||AF m = 在Rt AFK 中,KFA α∠=∴ ||||sin ,cos ||||AK FK AF AF αα== 即:||||sin sin AK AF m αα==， ||||cos cos FK AF m αα==由此可得点A 的坐标为1sin ,cos 4A m m αα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭点A 是抛物线2yx 上的点,将其代入可得:221cos sin 4m m αα+= ,即:221sin cos 04m m αα--= 解得: 2cos 12sin m αα±= 0m > 故: 2cos 12sin m αα+=∴m 表示为关于α的函数为:2cos 12sin m αα+=（2）根据（1）得: m 表示为关于α的函数为:2cos 12sin m αα+=由题意可知: AC BD ⊥ |BF |可由||AF 逆时针旋转2π得到,其与y 正半轴夹角为2πα+.∴||=BF 22cos 11sin 22cos 2sin 2BFm πααπαα⎛⎫++ ⎪-⎝⎭==⎛⎫+ ⎪⎝⎭||CF 可由||AF 逆时针旋转π得到,其与y 正半轴夹角为πα+.∴()()22cos 11cos ||2sin 2sin CF CF m πααπαα++-===+ ||DF 可由||AF 逆时针旋转32π得到,其与y 正半轴夹角为32πα+. 223cos 11sin 2||32cos 2sin 2DFDF m πααπαα⎛⎫++ ⎪+⎝⎭===⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴ 21sin ||2cos BF αα-=,21cos ||2sin CF αα-= ,21sin ||2cos DF αα+=设“蝴蝶形图案”面积为S :221cos 11sin ||||sin 9022sin 122cos AFBS AF BF αααα+-⋅⋅==⨯⨯ 2211cos 1sin ||||sin 9022sin 122cos CFDSCF DF αααα-+⋅⋅==⨯⨯ ∴21sin cos 4(sin cos )AFBCFDS S Sαααα-=+=令:1sin cos =sin 22t ααα=α为锐角∴ 0sin 21α<≤ 则1,02t <≤可得:12t则2222111111111111=444244216t S t t t t t ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫==---=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,12t 故12t =时,min 12S = 即:1=2t∴ 11==sin 222t α化简为:sin 2=1α (α为锐角)解得: 4πα=综上所述:“蝴蝶形图案”面积的最小值为12,取最小值时4πα=. 【点睛】本题考查了抛物线与直线交点问题,三角函数诱导公式和换元法.能够根据题意求出“蝴蝶形图案”面积为S 关于α的函数是本题的关键.利用换元法时要保证换元前后范围相等.24．（2021·上海·高一专题练习）在ABC 中，已知223sin cossin cos sin 222C A A C B +=.（1）求证：2a c b +=；（2）求角B 的取值范围.【答案】（1）详见解析；（2）0,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．【分析】（1）利用条件，结合和角的正弦公式化简，再利用正弦定理，即可得出结论．（2）利用（1）中的结论，在由余弦定理表示出cos B ，两式联立消去b ，利用基本不等式变形，可得出cos B 的范围，利用余弦函数的图象与性质，以及特殊角的三角函数值，根据B 为三角形的内角，即可求出B 的范围．【详解】证明：（1）223sin cossin cos sin 222C A A C B += 1cosC 1cos 3sin sin sin 222A AC B ++∴+= ()()sin 1cosC sin 1cos 3sin A C A B ∴+++= sin sin sin cosC sin cos 3sin A C A C A B ∴+++=()sin sin sin C 3sin A C A B ∴+++= C A B π++=A CB π∴+=-()sin sin A C B ∴+=sin sin 2sin A C B ∴+=根据正弦定理得：2a c b +=，得证．（2）由（1）知在ABC 中，2a c b +=又222cos 2a c b B ac +-=消去b 化简得：()2231611cos 84842a c ac B ac ac +=-≥-=当且仅当a c =时取等号，又B 为三角形的内角，0,3B π⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查了余弦定理，基本不等式的运用，熟练掌握定理及性质是解答本题的关键．25．（2021·上海·高一课时练习）已知关于x 的方程()24210x m x m -++=的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦，求实数m 的值．【答案】m 【分析】设出两角为αβ、,先根据根与系数的关系求出cos cos αβ+ 以及cos cos αβ，再利用两角的互余关系，得出cos sin αβ=，从而消元，利用22sin cos 1ββ+=解出m ，最后检验cos 0,cos 0αβ>>，即可找到满足题意的m 的值．【详解】设直角三角形的两个锐角分别为αβ、,则2a πβ+=,∴cos sin αβ=∵方程()24210x m x m -++=中()()224144410m m m ∆=+-⨯=-≥∴当m R ∈时,方程恒有两实根 ∵1cos cos sin cos 2m αβββ++=+=, cos cos sin cos 4m αβββ==∴由以上两式及22sin cos 1ββ+=得211242m m +⎛⎫+⨯= ⎪⎝⎭∴m =当m 时,cos cos 0αβ+=>,cos cos 0αβ=>,满足题意；当m =,cos cos 0αβ+=,这与αβ、是锐角矛盾,应舍去．所以m【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系应用，以及利用同角三角函数基本关系求值，解题关键是利用同角三角函数基本关系消元求值，易错点是忽视检验，意在考查学生的等价转化能力以及计算能力．26．（2021·上海·高一课时练习）已知函数3sin()cos()tan(2)22()tan()sin()f ππααπαααπαπ-+-=++. （1）化简()f α；（2）若1()()28f f παα⋅+=-，且5342αππ≤≤，求()()2f f παα++的值；（3）若()2()2f f παα+=，求()()2f f παα⋅+的值.【答案】（1）cos α-（2）（3）25试题分析：（1）利用诱导公式可化简；（2）代入已知()()sin cos 2f f παααα+=-，从而得1sin cos 8αα=，结合平方关系22sin cos 1αα+=可求得sin cos αα-值；（3）同样由诱导公式化已知为sin 2cos αα=-，代入平方关系22sin cos 1αα+=可求得2cos α，也即得()()sin cos 2f f παααα+=-的值．试题解析：（1）()()()cos sin )tan cos tan sin f ααααααα--==--.(2) cos sin 22f ππααα⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()128f f παα⎛⎫⋅+=- ⎪⎝⎭，所以1cos sin 8αα⋅=，可得()23sin cos 4αα-=，结合5342ππα≤≤，cos sin αα>，所以()sin cos 2f f παααα⎛⎫++=-= ⎪⎝⎭（3）由（2）得()22f f παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭即为sin 2cos αα=-，联立22sin cos 1αα+=，解得21cos 5α=，所以()22sin cos 2cos 25f f πααααα⎛⎫⋅+=-== ⎪⎝⎭.点睛：诱导公式：公式一：2k πα+，公式二：πα+，公式三：α-，公式四：πα-，公式五：2πα-，公式六：2πα+，这六公式可统一写成：2k απ⋅±，k Z ∈，可归纳为：奇变偶不变，符号看象限．27．（2021·上海·高一期末）已知函数()f x ，如果存在给定的实数对（,a b ），使得()()f a x f a x b +⋅-=恒成立，则称()f x 为“S -函数”.（1）判断函数12(),()3xf x x f x ==是否是“S -函数”；（2）若3()tan f x x =是一个“S -函数”，求出所有满足条件的有序实数对(,)a b ；（3）若定义域为R 的函数()f x 是“S -函数”，且存在满足条件的有序实数对(0,1)和(1,4)，当[0,1]x ∈时，()f x 的值域为[1,2]，求当[2012,2012]x ∈-时函数()f x 的值域.【答案】(1)是(2) 满足3()tan f x x =是一个“S -函数”的常数（a, b ）=,1,4k k Z ππ⎛⎫±∈ ⎪⎝⎭(3)201220122,2-⎡⎤⎣⎦【详解】解：（1）若是“S -函数”，则存在常数，使得 (a+x)(a-x)=b.即x 2=a 2-b 时，对一切实数恒成立.而x 2=a 2-b 最多有两个解，矛盾，因此不是“S -函数”.………………………………………………3分若是“S -函数”，则存在常数a,b 使得，即存在常数对（a, 32a ）满足. 因此是“S -函数”………………………………………………………6分（2）是一个“S -函数”，设有序实数对（a, b ）满足:则tan(a-x)tan(a+x)=b 恒成立. 当a=,2k k Z ππ+∈时，tan(a-x)tan(a+x)= -cot2(x)，不是常数.……………………7分因此，,则有.即恒成立. ……………………………9分即,当,时，tan(a-x)tan(a+x)=cot2(a)=1.因此满足是一个“S -函数”的常数（a, b ）=.…12分(3) 函数是“S -函数”，且存在满足条件的有序实数对和，于是即,，.……………………14分.………16分因此, …………………………………………17分综上可知当时函数的值域为.……………18分28．（2021·上海·华师大二附中高一阶段练习）如图，某公司要在AB 、两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米，CB 长80米，设AB 、在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为.（1）设计中CD 是铅垂方向，若要求，问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后.CD 与铅垂方向有偏差，现在实测得求CD 的长（结果精确到0.01米）？【答案】（1）28.28CD ≈米；（2）26.93CD ≈米．【详解】（1）由题得，∵2αβ≥，且022πβα<≤<，tan tan 2αβ∴≥即2403516400CDCD CD≥-，解得，CD ≤28.28CD ≈米由题得，18038.1218.45123.43ADB ∠=--=， ∵3580sin123.43sin18.45AD +=，∴43.61AD ≈米∵22235235cos38.12CD AD AD =+-⋅⋅⋅，∴26.93CD ≈米29．（2021·上海市复兴高级中学高一期中）如果对于三个数a 、b 、c 能构成三角形的三边，则称这三个数为“三角形数”，对于“三角形数”a 、b 、c ，如果函数()y f x =使得三个数()f a 、()f b 、()f c 仍为“三角形数”，则称()y f x =为“保三角形函数”. （1）对于“三角形数”α、2α、4απ+，其中84ππα<<，若()tan f x x =，判断函数()y f x =是否是“保三角形函数”，并说明理由；（2）对于“三角形数”α、6πα+、3πα+，其中7612ππα<<，若()sin g x x =，判断函数()y g x =是否是“保三角形函数”，并说明理由.【答案】（1）不是，理由见解析；（2）是，理由见解析. 【分析】（1）取6πα=，分别求得(),(2),4f f f πααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由此可得()(2)4f f f πααα⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭，故函数()tan f x x =不是“保三角形函数”；（2）分64ππα<≤，5412ππα<≤，571212ππα<<三种情况均可证得(),,63g g g ππααα⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭能构成三角形的三边，故函数()sin g x x =是“保三角形函数”. 【详解】（1）因为84ππα<<，取6πα=，则()tan 6f πα==(2)tan 3f πα=1tan 2446f πππα⎛⎫⎛⎫+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭显然()(2)4f f f πααα⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭，即(),(2),4f f f πααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭不能构成三角形的三边，故函数()tan f x x =不是“保三角形函数”. （2）①当64ππα<≤时，5766122312ππππππααα<<+≤<<+≤，所以sin 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭最大.()sin sin sin 6363sin cos sin cos cos sin sin cos ,121212g g g ππππααααααααααπππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+=++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎫==⎪⎪⎭⎫⎛⎫=⋅-⋅=-⎪ ⎪⎭⎝⎭由64ππα<≤得12126πππα<-≤，所以sin 012πα⎛⎫-> ⎪⎝⎭，故()63g g g ππααα⎛⎫⎛⎫++>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即(),,63g g g ππααα⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭能构成三角形的三边；②当5412ππα<≤时，57361261234ππππππααα<≤<+≤<+≤，所以sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭最大.()sin sin sin 3636sin cos g g g ππππαααααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+=++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=由5412ππα<≤得sin 0α>，cos 0α>，故()36g g g ππααα⎛⎫⎛⎫++>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即(),,63g g g ππααα⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭能构成三角形的三边；③当571212ππα<<时，571112126312πππππααα<<<+<+<，所以sin α最大. ()sin sin sin 6363sin cos sin cos sin sin cos cos ,121212g g g ππππααααααααααπππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-=+++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎫=⎪⎪⎭⎫⎛⎫=⋅+⋅=-⎪ ⎪⎭⎝⎭ 由571212ππα<<得3122πππα<-<，所以cos 012πα⎛⎫-> ⎪⎝⎭，故()63g g g ππααα⎛⎫⎛⎫+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即(),,63g g g ππααα⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭能构成三角形的三边；综合①②③可知，函数()sin g x x =是“保三角形函数”. 【点睛】关键点点睛：第（2）问的关键点是：分64ππα<≤，5412ππα<≤，571212ππα<<三种情况证明(),,63g g g ππααα⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭能构成三角形的三边.30．（2021·上海·高一期末）对于集合{}12,,,n A θθθ=和常数0θ，定义：()()()22210200cos cos cos -+-++-=n nθθθθθθμ为集合A 相对的0θ的“余弦方差”．（1）若集合,34A ππ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，00θ=，求集合A 相对0θ的“余弦方差”；（2）判断集合2,,33A πππ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭相对任何常数0θ的“余弦方差”是否为一个与0θ无关的定值，并说明理由；（3）若集合,,4A παβ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，[0,)απ∈，[,2)βππ∈，相对任何常数0θ的“余弦方差”是一个与0θ无关的定值，求出α、β．【答案】（1）38；（2）证明见解析；定值12；（3）723,1212ππαβ==或1119,1212ππαβ==. 【分析】由“余弦方差”的定义，对（1）（2）（3）逐个求解或证明即可.【详解】（1）因为集合,34A ππ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，00θ=，所以2211cos cos 33442228ππμ++===；（2）由“余弦方差”的定义得：()2220002cos cos cos 333ππθθπθμ⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=， ()22200000022cos cos sin cos sin sin cos sin cos cos sin 3333s n 3i ππππθθθθπθπθ++⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=++，2220000011cos cos cos 223θθθθθ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+， 22200013cos sin cos 12232θθθ+==+. 所以12μ=是与0θ无关的定值. （3）由“余弦方差”的定义得：()()222000cos cos cos 43πθαθβθμ⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭=， ()()222000000cos cos sin cos cos s s in sin sin in cos cos sin 443ππθθαθαθβθβθ⎛⎫+ ++++⎪⎝⎭=， 220000111(cos cos sin sin 322θθθθ+=+， 22220000cos cos cos cos sin sin sin s n 2i αθαθαθαθ+++，22220000cos cos cos cos sin sin sin in 2)s βθβθβθβθ+++，22222200111[(cos cos )cos (sin sin )sin 322αβθαβθ+=++++， 00(1sin 2sin 2)co s ]s in αβθθ+++，2222001cos 21cos 2111[(cos cos )(sin sin )22223θθαβαβ+-=+++++， 0sin 2(1sin 2sin 2)2]θαβ+++， 2222222201cos 2111[(cos cos sin sin )(cos cos )(sin sin )3122222θαβαβαβαβ=+--++++++， 0sin 2(1sin 2sin 2)2]θαβ+++, 0cos 21[(cos 2cos 2)3322θαβ+=+0sin 2(1sin 2sin 2)2]θαβ+++，要使μ是一个与0θ无关的定值，则cos 2cos 201sin 2sin 20αβαβ+=⎧⎨++=⎩，因为cos 2cos 2αβ=-，所以2α与2β的终边关于y 轴对称或关于原点对称，又sin 2sin 21αβ+=-，所以2α与2β的终边只能关于y 轴对称，所以cos 2cos 201sin 2sin 22αβαβ+=⎧⎪⎨==-⎪⎩，因为[0,)απ∈，[,2)βππ∈，当726πα=时，2326πβ=，当1126πα=时，1926πβ=，所以723,1212ππαβ==或1119,1212ππαβ==时，相对任何常数0θ的“余弦方差”是一个与0θ无关的定值【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是对“余弦方差”的定义应用和较强的运算能力.。

我国古代数学成就2024

引言概述：中国古代数学在世界数学史上占据着重要地位，其数学成就为世人所称道。

本文将继续探讨我国古代数学成就的第二部分，着重介绍数学家在代数学、几何学和数论等领域的贡献，以及在教育和科技方面对数学传承的影响。

正文内容：一、代数学的贡献1.汉代数学家张丘建在《算经》中开创了代数学的先河，提出了一元二次方程的解法，为后世的代数发展奠定了基础。

2.唐代数学家李徽在《九章算术》中进一步发展了张丘建的代数学理论，引入了方程中的系数和根的运算，开创了代数方程求解的方法。

3.宋代数学家秦九韶在《数书九章》中提出了更加深入的代数理论，包括高次方程的解法、方程组的求解、及无理数、虚数的讨论等。

二、几何学的贡献1.我国古代几何学在《周髀算经》中达到了一个较高的水平。

该书中涉及了许多几何学问题的解决方法，包括三角形、四边形的面积计算、圆周率的估算等。

2.著名数学家张世杰在元代编写的《算学三书》中，进一步发展了几何学理论，重点研究了角的平分问题、圆周率的计算等。

这些成就奠定了中国几何学的基础。

三、数论的贡献1.古代数论是中国古代数学中的一个重要领域，我国数学家对质数的研究取得了重要突破。

例如，宋代数学家秦九韶在《数书九章》中提出了纯真数的概念，并利用数论方法进行了相关研究。

2.古代数学家陈景元在《算法统宗》中详细研究了数论中的除法、取余、模运算等概念，奠定了数论的基础理论。

四、对数学传承的影响1.古代中国对数学的传承有着长期而丰富的历史。

古代文字材料的保存和流传，为后世的数学研究提供了宝贵的资源和参考。

2.中国古代教育体制的影响也对数学的传承起到了重要作用。

古代中国的科举制度培养了一批批优秀的数学家，他们不断推动数学的发展。

五、科技方面的贡献1.古代中国的科技发展与数学的发展密不可分。

例如，在农田水利工程中，数学的方法被广泛应用，推动了农业产量的提高。

2.我国古代在航海、制图、天文学等领域也有突出的成就，这些成就与数学研究密切相关，为科技的发展做出了巨大贡献。

中国人发现的定理、公式

中国人发现的定理、公式
中国人在数学领域也有许多重要的定理和公式。

以下是一些中国人发现或贡献的著名定理和公式：
1. 勾股定理：又称毕达哥拉斯定理，由中国古代数学家在公元前11世纪发现和证明。

它表述为：直角三角形的两条边的平方和等于斜边的平方。

2. 韦达定理：由中国古代数学家韦达在公元3世纪发现。

该定理用于计算三角形内切圆的半径与三角形的边长之间的关系。

3. 割圆术：由中国古代数学家刘徽在《九章算术》中提出。

割圆术主要用于解决圆周率的计算问题。

4. 秦九韶算法：由中国古代数学家秦九韶在13世纪发明。

该算法是一种高效的计算多位数乘法和除法的方法，对后来的数学发展有着重要影响。

5. 等差数列求和公式：由中国古代数学家杨辉在公元13世纪提出。

该公式用于计算等差数列的前n项和。

这些定理和公式都是中国古代数学家在数学研究中发现和推导出来的，对于数学的发展和应用有着重要的贡献。

秦九韶三角形面积公式推导过程

秦九韶三角形面积公式推导过程秦九韶三角形面积公式，是中国古代数学家秦九韶在《数书九章》中提出的，被认为是中国古代数学的重要成果之一。

这个公式可以通过下面的步骤来推导：首先，将三角形分别以三个顶点为圆心画三个圆，然后将这三个圆相切于一点，如图所示。

接着，用线段连接相切圆之间的交点，可以得到一个等边三角形，如图所示。

现在，我们可以用几何方法推导出三角形面积公式。

我们设三角形的三边分别为a、b、c，半周长为s，高为h，如图所示。

对于等边三角形，我们可以用勾股定理求出它的边长和面积。

由于等边三角形的三边相等，因此有：a =b = c而它的半周长s为：s = (a + b + c)/2其高h为：h = √3a/2利用勾股定理可以求得等边三角形的面积：S1 = (a^2 * √3)/4下面，我们将用这个面积公式来推导出三角形面积公式。

首先，将三角形分成三个小三角形，如图所示。

可以发现，三角形ABC的面积等于三角形ADE的面积加上三角形AFB的面积再加上三角形BDC的面积，即：S = S1 + S2 + S3其中，S1是等边三角形的面积，可以用上面的公式求得。

现在，我们来看如何求解S2和S3。

对于三角形ADE，我们可以用海伦公式求解它的面积。

根据海伦公式：s = (a + d + e)/2其中，d和e分别为线段AD和AE的长度。

接着，可以得到三角形ADE的面积：S2 = √[s(s-a)(s-d)(s-e)]同样地，对于三角形BDC，我们也可以用海伦公式求出它的面积，即：S3 = √[s(s-b)(s-c)(s-f)]其中，f为线段BF的长度。

最终，将S1、S2和S3代入前面的公式，即可得到三角形面积公式：S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]这就是秦九韶三角形面积公式。

这个公式在中国古代广泛应用于农业、航海以及建筑等领域，是古代中国数学的重要成就之一。

它不仅揭示了三角形面积的本质，还为后人推导出更广泛的面积公式奠定了基础。

秦九韶著作

秦九韶著作篇一：秦九韶-秦九韶秦九韶(1202―1260)就是中国古代数学家，字道古，四川省安丘县。

他在1247年译成的《数书九章》就是继在《九章算术》(公元前1世纪时重编)后我国最重要的数学经典。

《数书九章》有载算题81道，分后九章，约27万字，接触面很广，在代数学领域内诸法关键的贡献。

父季据，进士早年，曾任工部侍郎、秘书省秘书少监。

秦九韶自己曾任和州(今安徽和县)、琼州(今海南琼县)、薪州(今湖北薪春)、建康(今江苏南京)通判。

秦氏成才之路有三：其一是因为他父亲长期从政，他自己也出任地方行政官吏，在行政管理工作中，广泛接触工程技术、农田水利、海运交通、钱粮经济、商品交易、军事后勤等工作，为他著作《数书九章》采集素材提供有利条件。

其二，据《数书九章》秦氏自序说：“早岁侍亲中都，因得访习于太史。

”这当是在他父亲任秘书少监职时事，秦九韶向制订历法官员学习造历知识。

其三，《数书九章》秦氏自序还说：“尝从隐君子受数学”，隐君子是谁，未详姓名，很可能是一位学识渊博的学者，所以秦九韶在数学上的创造发明、其来有自：家学渊源、本人工作实践，刻苦钻研以及良师益友间互相切磋质疑问难。

秦氏在代数学方面的主要贡献有三：1．线性方程组《九章算术》方程章论线性方程组解法，其中所介绍的计算程序相当于今称矩阵初等变换。

从题给增广矩阵，经变换使系数矩阵成为三角矩阵，然后回代，得到答案。

《数书九章》继承《九章算术》传统，于卷17第1题(“推求物价”)第2题(“均货摊本”)，改《九章算术》“遍乘直除”(依次连减)为“互乘相消”，又把系数矩阵变换到单位矩阵为止。

题后草文如实记录13世纪时我国解线性方程组全过程。

“均货摊本”题相当于解方程组：1,583w52x106000,?1670y?15x?106000264z800y106000,.200w40z106000这一解法与今称高斯消去法完全一致，解线性方程组的工作我国远远早于西方。

2．数值求解多项式方程杨辉在《详解九章算法纂类》(1261年)中引述北宋贾宪的增乘方法。

中考数学阅读型试题

中考数学阅读型试题近几年中考试题中：阅读理解型试题题型新颖：形式多样：知识覆盖面较大：它可以是总计课本原文：也可以是设计一个新的数学情境：让学生在阅读的基础上：理解其中的内容、方法、思想：然后把握本质：理解实质的基础上作出回答例1、我国古代数学家秦九韶在《算书九章》中记述了“三斜求积术”：即已知三角形的三边长：求它的面积。

用现代式子表示即为：])2([41222222c b a b a s -+-=……①（其中a 、b 、c 为三角形的三边长：s 为面积）。

而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：))()((c p b p a p p s ---=……②（其中2cb a p ++=）。

(1)若已知三角形的三边长分别为5、7、8：试分别运用公式①和公式②：计算该三角形的面积。

(2)你能否由公式①推导出公式②？请试试。

分析：这是一道阅读理解题：它要求学生通过阅读理解“三斜求积术”的现在代公式：第（1）小题是检验学生的阅读能力及学以致用的能力：第（2）题是考查学生是创新能力。

1243F EDDDCCCBBBAA A练习1．阅读下面操作过程：回答后面问题：在一次数学实践探究活动中：小强过A 、C 两点画直线AC 把平行四边形ABCD 分割成两个部分（a ）：小刚过AB 、AC 的中点画直线EF ：把平行四边形ABCD 也分割成两个部分（b ）：（a ）（b ）（c ）（1）这两种分割方法中面积之间的关系为：21____S S ：43____S S ：（2）根据这两位同学的分割方法：你认为把平行四边形分割成满足以上面积关系的直线有条：请在图（c ）的平行四边形中画出一种：（3）由上述实验操作过程：你发现了什么规律？（4）经过平行四边形对称中心的任意直线：都可以把平行四边形分成满足条件的图形：2．阅读以下短文：然后解决下列问题：如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合：且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上：则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”. 如图8①所示：矩形ABEF 即为△ABC 的“友好矩形”. 显然：当△ABC 是钝角三角形时：其“友好矩形”只有一个 .(1) 仿照以上叙述：说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”： (2) 如图8②：若△ABC 为直角三角形：且∠C=90°：在图8②中画出△ABC 的所有“友好矩形”：并比较这些矩形面积的大小：(3) 若△ABC 是锐角三角形：且BC>AC>AB ：在图8③中画出△ABC 的所有“友好矩形”：指出其中周长最小的矩形并加以证明.3．阅读下列材料：并解决后面的问题．在锐角△ABC 中：∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ．过A 作AD ⊥BC 于D(如图)：则sinB=c AD ：sinC=b AD ：即AD=csinB ：AD=bsinC ：于是csinB=bsinC ：即C cB b sin sin =．同理有A aC c sin sin =：B bA a sin sin =．所以CcB b A a sin sin sin ==………(*) 即：在一个三角形中：各边和它所对角的正弦的比相等．(1)在锐角三角形中：若已知三个元素a 、b 、∠A ：运用上述结论(*)和有关定理就可以求出其余三个未知元素c 、∠B 、∠C ：请你按照下列步骤填空：完成求解过程：第一步：由条件a 、b 、∠A ∠B ：第二步：由条件 ∠A 、∠B ． ∠C ：第三步：由条件．c ．(2)一货轮在C 处测得灯塔A 在货轮的北偏西30°的方向上：随后货轮以28．4海里／时的速度按北偏东45°的方向航行：半小时后到达B 处：此时又测得灯塔A 在货轮的北偏西70°的方向上(如图)：求此时货轮距灯塔A 的距离AB(结果精确到0．1．参考数据：sin40°=0．6 4 3：sin65°=0．90 6：sin70°=0．940：sin7 5°=0．9 6 6)．4、“三等分角”是数学史上一个著名的问题：但仅用尺规不可能“三等分角”．下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如图）：将给定的锐角∠AOB 置于直角坐标系中：边OB 在x 轴上、边OA 与函数xy 1的图象交于点P ：以P 为圆心、以2OP 为半径作弧交图象于点R ．分别过点P 和R 作x 轴和y 轴的平行线：两直线相交于点M ：连接OM 得到∠MOB ：则∠MOB=31∠AOB ．要明白帕普斯的方法：请研究以下问题：（1）设)1,(aa P 、)1,(bb R ：求直线OM 对应的函数表达式（用含b a ,的代数式表示）．（2）分别过点P 和R 作y 轴和x 轴的平行线：两直线相交于点Q ．请说明Q 点在直线OM 上：并据此证明∠MOB=31∠AOB ．（3）应用上述方法得到的结论：你如何三等分一个钝角（用文字简要说明）．5、已知：如图8：AB 是⊙O 的直径：P 是AB 上的一点（与A 、B 不重合）：QP ⊥AB ：垂足为P ：直线QA 交⊙O 于C 点：过C 点作⊙O 的切线交直线QP 于点D 。

课标版数学中考第二轮专题复习-阅读型试题(含答案)

阅读型试题近几年中考试题中，阅读理解型试题题型新颖，形式多样，知识覆盖面较大，它可以是总计课本原文，也可以是设计一个新的数学情境，让学生在阅读的基础上，理解其中的内容、方法、思想，然后把握本质，理解实质的基础上作出回答例1、（2005年台州）我国古代数学家秦九韶在《算书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积。

用现代式子表示即为：])2([41222222cb a b a s -+-=……①（其中a 、b 、c 为三角形的三边长，s 为面积）。

而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式： ))()((c p b p a p p s ---=……②（其中2cb a p ++=）。

(1)若已知三角形的三边长分别为5、7、8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积。

(2)你能否由公式①推导出公式②？请试试。

分析：这是一道阅读理解题，它要求学生通过阅读理解“三斜求积术”的现在代公式，第（1）小题是检验学生的阅读能力及学以致用的能力，第（2）题是考查学生是创新能力。

1243F EDD DCCCBBBAAA练习1．（2005年贵州市）阅读下面操作过程，回答后面问题：在一次数学实践探究活动中，小强过A 、C 两点画直线AC 把平行四边形ABCD 分割成两个部分（a ），小刚过AB 、AC 的中点画直线EF ，把平行四边形ABCD 也分割成两个部分（b ）；（a ）（b ）（c ）（1）这两种分割方法中面积之间的关系为：21____S S ，43____S S ；（2）根据这两位同学的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上面积关系的直线有条，请在图（c ）的平行四边形中画出一种；（3）由上述实验操作过程，你发现了什么规律？（4）经过平行四边形对称中心的任意直线，都可以把平行四边形分成满足条件的图形；2．（2005年资阳市）阅读以下短文，然后解决下列问题：如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”. 如图8①所示，矩形ABEF 即为△ABC 的“友好矩形”. 显然，当△ABC 是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个 .(1) 仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”； (2) 如图8②，若△ABC 为直角三角形，且∠C=90°，在图8②中画出△ABC 的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；(3) 若△ABC 是锐角三角形，且BC>AC>AB ，在图8③中画出△ABC 的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明.3．（2005年玉林）阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ．过A 作AD ⊥BC 于D(如图)，则sinB=c AD ，sinC=bAD ，即AD=csinB ，AD=bsinC ，于是csinB=bsinC ，即Cc Bb s in s in =．同理有A aC csin sin =，B bA asin sin =．所以CcB b A a sin sin sin ==………(*) 即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．(1)在锐角三角形中，若已知三个元素a 、b 、∠A ，运用上述结论(*)和有关定理就可以求出其余三个未知元素c 、∠B 、∠C ，请你按照下列步骤填空，完成求解过程：第一步：由条件a 、b 、∠A ∠B ；第二步：由条件 ∠A 、∠B ． ∠C ；第三步：由条件．c ．(2)一货轮在C 处测得灯塔A 在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以28．4海里／时的速度按北偏东45°的方向航行，半小时后到达B 处，此时又测得灯塔A 在货轮的北偏西70°的方向上(如图)，求此时货轮距灯塔A 的距离AB(结果精确到0．1．参考数据：sin40°=0．6 4 3，sin65°=0．90 6，sin70°=0．940，sin7 5°=0．9 6 6)．4、（2005年佛山）“三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”．下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如图）：将给定的锐角∠AOB 置于直角坐标系中，边OB 在x 轴上、边OA 与函数xy 1的图象交于点P ，以P 为圆心、以2OP 为半径作弧交图象于点R ．分别过点P 和R 作x 轴和y 轴的平行线，两直线相交于点M ，连接OM 得到∠MOB ，则∠MOB=31∠AOB ．要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：（1）设)1,(a a P 、)1,(bb R ，求直线OM 对应的函数表达式（用含b a ,的代数式表示）．（2）分别过点P 和R 作y 轴和x 轴的平行线，两直线相交于点Q ．请说明Q 点在直线OM 上，并据此证明∠MOB=31∠AOB ．（3）应用上述方法得到的结论，你如何三等分一个钝角（用文字简要说明）．5、（2005年福州）已知：如图8，AB 是⊙O 的直径，P 是AB 上的一点（与A 、B 不重合），QP ⊥AB ，垂足为P ，直线QA 交⊙O 于C 点，过C 点作⊙O 的切线交直线QP 于点D 。

我国古代数学家秦九韶-人教B版必修三教案

我国古代数学家秦九韶一、简介秦九韶（约1202-1261年），字少甫，号九韶，祖籍河南，生于湖广（今河南省禹州市汝南县）。

秦九韶是中国宋元时期最有影响的数学家、天文学家和诗人之一，也是《数学九章》中的《数书九章》的主要作者之一，被誉为“数学九章之祖”。

秦九韶出生于一个世代从事农业的农民家庭，由于家庭困难，他只得早早离开学堂，拜门外秦士良求学。

秦士良善于数学和天文学，并意识到秦九韶的天分和才能，便亲自教授他，奠定了秦九韶一生的事业基础。

二、主要成就1. 《数学九章》秦九韶的最大成就是参与编写了宋代著名的数学专著《数学九章》，为其中的《数书九章》的主要作者之一。

该书是中国古代数学经典，对我国数学的发展产生了重大影响，并成为了后来数学教育的重要教材之一。

《数书九章》共分为十三篇，介绍了如何运用九章算术解决实际问题。

它以计算其实际应用为核心，对代数学知识、算式意义以及运算法则等方面进行了系统的总结和规范，并引导了中国古代数学向代数学和解析几何的发展方向。

2. 天文学成就秦九韶在天文学方面也有很大的成就。

他发明了“连珠望厦法”，用于测量黄赤交角，以此计算出四分历中一个朔望月的长度。

他还通过对日食月食的观测和计算，推算出日、月、地三者的相对位置，并用计算出的结果制定了历法。

3. 其他成就除了数学和天文学之外，秦九韶还擅长诗歌创作，以及修建工程等方面。

他曾担任建业水利工程的主持人，在河道改水方案和大坝设计方面发挥了重要作用。

他还创作了不少优秀的诗歌，被誉为“诗中师”。

三、影响秦九韶是中国古代数学、天文学和诗歌等多个领域的杰出代表，他的科学成就和崇高品德对后人影响深远。

他对于我国数学教育和科学发展的贡献也是不可磨灭的。

秦九韶的《数学九章》至今仍为数学教育的重要参考书之一，他的开创性思想和方法深深影响了后世的代数学、解析几何和数论研究。

同时，他在天文学领域的独到见解也让人们对天体的理解更加深刻，对于历法制定和天体运动研究的发展起到了重要作用。

数学家秦九韶简介_秦九韶算法简介

秦九韶1208年-1261年，字道古，汉族，生于普州安岳今四川省安岳县。

南宋官员、数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。

秦九韶提出的秦九韶算法是中世纪的数学泰斗。

下面是为你搜集数学家秦九韶简介的相关内容，希望对你有帮助!数学家秦九韶简介作为著名数学家秦九韶来说，他并不是一出生就是数学家，而是凭借着自己对数学方面的喜好和勤奋好学。

在他小时候就很是聪敏勤学，宋绍定四年的时期，秦九韶考中进士，他每每在政务之余，就会对数学进行潜心钻研。

除此之外，他还喜欢广泛的搜集历学、数学、星象、音律、营造等资料，进行分析和研究。

他曾在为母亲守孝时，把长期积累的数学知识和研究所得加以编辑，写成了闻名的巨著《数学九章》，并创造了“大衍求一术”。

被称为“中国剩余定理”。

而其中他所论的“正负开方术”，还被称之为“秦九韶程序”。

他之所以能够成为著名的数学家，跟他的父亲是有密切联系的。

当时他的父亲担任工部郎中和秘书少监的期间，正好是他努力学习和积累知识的时候。

而他的父亲正好掌管营建，以及图书，在他的下属机构还设有太史局，因此，他便有机会阅读大量典籍，同时还可以拜访天文历法和建筑等方面的专家，请教天文历法和土木工程问题。

此外，他又曾向“隐君子”学习数学，向著名词人李刘学习骈俪诗词，并达到较高水平。

秦九韶算法秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法。

在西方则被称作霍纳算法。

它也是中国古代著名和伟大的数学家、中世纪的数学泰斗---秦九韶的算法理论之一。

秦九韶算法具体是将一种将一元n次多项式的求值问题转化为n个一次式的算法。

它的解答方法大大简化了整个的计算过程，即便是在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法。

而“秦九韶算法”的主人公则是著名人物秦九韶。

他是南宋末年人，出生帝是在鲁郡。

早年曾从隐君子学数术，后因其父往四川做官，便跟随父迁徙。

他从小就很是聪明，又勤奋好学。

在他29岁的时候就考中了进士，并担任过县尉、通判、参议官、州守等诸多官职。

海伦—秦九韶公式

A
∙
=14
= 13
B∙
=15
∙C
运用我们已经学习过的知识可以直接求解吗？
解：过A点作AD⊥BC于D，设BD=x，CD=15-x，AD=h
利用勾股定理得：
h2=132-x2,h2=142-(15-x)2
解得：x=6.6 则h=11.2
1
∴S△ABC= ×15×11.2=84
2
∙
= 13
B∙
=
＋ + ＋ − ＋ − ＋ −
∙
∙
∙

=来自(－)(－)(－)平方差公式
用代替
＋+
得

海伦公式
=
(－)(－)(－)
这说明海伦公式与秦九韶公式实际上是同一个公式，
所以我们也称为海伦-秦九韶公式.
秦九韶公式
=

－
=14
h
x
∟
∴132-x2=142-(15-x)2
A
D
=15
∙C
阅读与思
考
我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202-约1261）曾提出利用
三角形的三边求面积的秦九韶公式
S=
1
4
2 2 －
2 ＋2 － 2
2
2
②
1
如果一个三角形的三边长分别为a,b,c.记：p= (a+b+c),那么
2
里有一个题目:“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，
大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”讲的是有一个三角形沙田，三边
分别为13里，14里，15里，则该沙田的面积为多少?
转化为数学语言为下列图形：

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提出问题
探究问题一
a,b, c是ABC的三边长，若p a b c ,记S p( p a)( p b)( p c) ② 2
则S表示ABC的什么量
教师应教会学生根据公式的特点，做出合理的猜想。例如从等式的右边根号的特征，开根号的结果是边长的平方，应该和面积有关，也可以尝试带入特殊值，令a=3， b=4，c=5带入直角三角形ABC的三边长，或者带入等边三角形的三边长，还可以根据对称性，使根号里面的每一条边地位平等等等，培养学生敏锐的观察力，发展学生的合情推理和概括能力。
（二）教师要深入挖掘其内涵，充分发挥自己的创造力和想象力，采用灵活多样的方式，把阅读材料有机融合到教学设计中，通过教学，发挥他们的功能。
（三）这样，才能使数学课堂教学的内容更加丰富、数学课堂教学更特色。
谢谢大家!
角形的面积
（2）你能否由秦九韶的公式推导出海伦公式
让学生通过等式变形，学会知识间的融会贯通，感受数学变中之不变的美感，让学生体会中西数学家的珠联璧合，交相辉映，从中感受数学统一性之美。
探究问题三
下面请你给出秦九韶（或海伦）面积公式的证明
探究问题四
了解海伦-秦九韶面积公式后，你还会提出哪些问题？
探究问题五
三角形中的海伦公式是否可以任意推广到四边形，若不能，请举出反例
探究问题六
请探索：在什么条件下四边形的面积仅与四条边的长度有关？他又能满足
S （p a)( p b)( p c)这里的a,b, c, d是四边形的各边长， p abcd
4
感悟
（一）课标教材的阅读材料有其不可替代的教育功能
阅读材料设置的功能
（1）关注文化内涵，培养人文精神（2）提现科学价值，培养应用意识（3）提供探索空间，培养探究能力（4）引入现代教育技术，改变学习方式
阅读材料的使用策略
（一）开展研究活动（二）创设教学情境（三）培养问题意识（四）进行人文教育
（一）开展探究活动
利用人教A版必修5的阅读材料 “海伦和秦九韶”作为学生开展数学探究活动的素材
探究问题二
无独有偶，我国古代数学家秦九韶在《数
书九章》中记述了三斜求积术，即已知三 ②
角形的三边长，求它的面积，用现代公式
表示即为：
S
1 4
a 2b 2

a2

b2 2

c2
2

（1）若已知三角形的三边长分别为5、3、
4，试分别应用公式①和公式②，计算该三