3.2《复数的四则运算》习题(最新整理)
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3-2-1《数系的扩充与复数的引入》习题
第1课时 复数加、减法与乘法的运算法则
双基达标 限时15分钟
1．若z 1＝3－2i ，z 2＝1＋3i ，则z 1－2z 2＝________.
答案 1－8i
2．(－6＋4i )(－6－4i )＝________.
答案 52
3．如果复数(m 2＋i )·(1＋mi )是实数，则实数m ＝__________.
解析 ∵(m 2＋i )(1＋mi )＝(m 2－m )＋(1＋m 3)i ∈R
∴1＋m 3＝0 ∴m ＝－1.
答案 －1
4．已知复数z 1＝1＋2i ，z 2＝m ＋(m －1)i ，若z 1·z 2的实部与虚部相等，则实数m ＝________.解析 z 1·z 2＝(1＋2i )[m ＋(m －1)i ]
＝m ＋(m －1)i ＋2mi －2(m －1)＝(2－m )＋(3m －1)i ，
∵2－m ＝3m －1，∴m ＝.34
答案 34
5．已知z 1＝a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－3b ＋(b ＋2)i (a ，b ∈R )．若z 1－z 2＝4，则a ＋b ＝_______32
33___.解析 z 1－z 2＝
a ＋3
b ＋(a －b －1)i ＝4，3233∴Error!
∴a ＝2，b ＝1，∴a ＋b ＝3.答案 3
6．计算：
(1)(－＋i )－[(－)＋(＋i )]＋(－i ＋)；
23323223(2)(1－2i )(2＋i )(3－4i )；
解 (1)原式＝(－－＋＋)＋(－－－)i ＝－2i .
232333222(2)原式＝(2－2i 2－4i ＋i )(3－4i )
＝(4－3i )(3－4i )＝12＋12i 2－9i －16i ＝－25i .
综合提高 限时30分钟
7．复数(3i －1)i 的共轭复数是__________．
解析 (3i －1)i ＝－3－i ，则共轭复数为－3＋i .
答案 －3＋i
8．设复数z ＝1＋i ，则z 2－2z ＝________.
2解析 z 2－2z ＝(z －1)2－1＝(i )2－1＝－3.
2答案 －3
9．若x 是纯虚数，y 是实数，且2x －1＋i ＝y －(3－y )i ，则x ＋y 等于__________．
解析 由于x 是纯虚数，可设x ＝bi (b ∈R ，b ≠0)，将其代入2x －1＋i ＝y －(3－y )i 得－1＋(2b
＋1)i ＝y －(3－y )i ，
∴Error!解得Error!∴x ＋y ＝－1－i .52
答案 －1－i 52
10．已知复数z 满足＋(1＋2i )＝10－3i ，则z ＝__________.
z 解析 设z ＝a ＋bi ，(a ，b ∈R )则a －bi ＋1＋2i ＝10－3i ，
即Error!
∴a ＝9，b ＝5. ∴z ＝9＋5i .
答案 9＋5i
11．已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i (x ，y ∈R )．设z ＝z 1－z 2且＝13＋z 2i ，求z 1，z 2.
解 z ＝z 1－z 2
＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i ]
＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i
＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i ，∴＝(5x －3y )－(x ＋4y )i .
z 又＝13＋2i ，
z ∴Error!解得Error!
∴z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i ＝5－9i ，
z 2＝[4×(－1)－2×2]－[5×2＋3×(－1)]i ＝－8－7i .
12．已知z ＝1＋i ，＝1－i ，求实数a ，b 的值．z 2＋az ＋b z 2－z ＋1
解 ∵z ＝1＋i ，∴z 2＝2i ，z 2－z ＋1＝i ，
z 2＋az ＋b ＝(a ＋b )＋(a ＋2)i ，
∴z 2＋az ＋b ＝(1－i )i ＝1＋i ，
∴(a ＋b )＋(a ＋2)i ＝1＋i ，
∴Error!解得Error!
13．(创新拓展)已知复数z＝1＋i，求实数a，b使az＋2b＝(a＋2z)2.
z
解 ∵z＝1＋i，
∴az＋2b＝(a＋2b)＋(a－2b)i，
z
(a＋2z)2＝(a＋2)2－4＋4(a＋2)i
＝(a2＋4a)＋4(a＋2)i.
∵a，b都是实数，
∴由az＋2b＝(a＋2z)2，
z
得Error!
两式相加，整理得a2＋6a＋8＝0，
解得a1＝－2，a2＝－4，对应得b1＝－1，b2＝2.
∴所求实数为a＝－2，b＝－1或a＝－4，b＝2.