高中数学《数学归纳法及应用举例》说课稿
高中数学《数学归纳法及其应用举例》教学设计附反思
课题：数学归纳法及其应用举例【教学目标】知识与技能：1. 了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确，使学生深入认识归纳法, 理解数学归纳法的原理与实质;2. 掌握数学归纳法证题的两个步骤；初步会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题(如恒等式等)．3. 培养学生观察、分析、论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历数学归纳法原理的构建过程, 体会类比的数学思想．过程与方法:1.努力创设和谐融洽的课堂情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率．让学生体验知识的构建过程, 体会源于生活的数学思想;2. 通过对数学归纳法的学习、应用，逐步体验观察、归纳、猜想、论证的过程，培养学生由特殊到一般的思维方式和严格规范的论证意识，并初步掌握论证方法;3. 让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生创新能力.情感、态度、价值观:1. 通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神；2. 让学生通过对数学归纳法原理和本质的理解，感受数学内在美的震撼力，从而使学生喜欢数学,激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神；3. 学生通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新的精神；4. 持续增进师生互信，生生互助，共创教学相长的教与学的氛围和习惯. 【教学重点】归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析，初步理解数学归纳法的原理并能简单应用.【教学难点】数学归纳法中递推思想的理解,初步明确用数学归纳法证明命题的两个步骤.【教学方法】师生互动讨论、共同探究的方法【教学手段】多媒体辅助课堂教学【教学过程】一、创设情境，启动思维情境一、财主儿子学写字的笑话、“小明弟兄三个，大哥叫大毛……”的脑筋急转弯等；教师总结：财主的儿子很傻很天真，但他懂一样思想方法，是什么？以上都是由特殊情况归纳出一般情况的方法---归纳法，这就是今天的课题. 人们通常也会用归纳法思考问题，小孩也会由此总结出什么年龄人该叫爷爷，什么年龄人叫阿姨，叫哥哥或姐姐.情境二：华罗庚的“摸球实验”1、这里有一袋球共12个，我们要判断这一袋球是白球，还是黑球，请问怎么判断？启发回答:方法一：把它全部倒出来看一看．特点：方法是正确的，但操作上缺乏顺序性．方法二：一个一个拿，拿一个看一个．比如结果为：第一个白球，第二个白球，第三个白球，……，第十二个白球，由此得到：这一袋球都是白球．特点：有顺序，有过程．2、如果想象袋子有足够大容量，球也无限多？要判断这一袋球是白球，还是黑球，上述方法可行吗？情境三: 回顾等差数列{}n a 通项公式推导过程：11213143123(1)n a a a a da a da a da a n d ==+=+=+=+-设计意图：首先设计情境一,分析情境，自然引出课题----归纳法，谈笑间进入正题.再通过情境二的交流激发学生的兴趣，调动学生学习的积极性．情境三点出两种归纳法的不同特点.通过梳理我们熟悉的一些问题，很自然为本节课主题与重点引出打下伏笔.二、师生互动，探究问题承上启下：以上问题的思考和解决，用的都是归纳法.什么是归纳法？ 归纳法特点是什么？上述归纳法有什么不同呢？学生回答以上问题，得出结论：1. 归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法. 特点：由特殊→一般；2. 完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法；3. 不完全归纳法: 根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法.在生活和生产实际中，归纳法有着广泛的应用．例如气象工作者、水文工作者，地震工作者依据积累的历史资料作气象预测，水文预报，地震预测用的就是归纳法．4. 引导学生举例：⑴不完全归纳法实例：如欧拉发现立体图形的欧拉公式:2V E F -+=(V 为顶点数,E 为棱数,F 为面数)⑵ 完全归纳法实例： 如证明圆周角定理时，分圆心在圆周角内部、外部及一边上三种情况讨论．设计意图：从生活走向数学，与学生一起回顾以前学过的数学知识，并在这里我安排学生举完全归纳法的实例和不完全归纳法实例，进一步体会归纳意识，同时让学生感受到我们以前的学习中其实早已接触过归纳法，并引导学生积极投入到探寻论证方法过程的氛围中.三 、借助史料, 引申思辨问题1： 已知n a ＝22)55(+-n n （n ∈N ），(1) 分别求1a ；2a ；3a ；4a ．(2) 由⑴你会有怎样的一个猜想？这个猜想正确吗？问题2： 费马（Fermat ）是17世纪法国著名的数学家，他是解析几何的发明者之一，是对微积分的创立作出贡献最多的人之一，是概率论的创始者之一，他对数论也有许多贡献．他曾认为，当n ∈N 时，122+n一定都是质数，这是他对n ＝0，1，2，3，4作了验证后得到的．后来，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler ）却证明了1252+＝4 294 967 297＝6 700 417×641，从而否定了费马的推测．没想到当n ＝5这一结论便不成立．教师总结: 有人说，费马为什么不再多算一个数呢？今天我们是无法回答的．但是要告诉同学们，失误的关键不在于多算一个数上！问题3 ：41)(2++=n n n f , 当n ∈N 时，)(n f 是否都为质数？验证： f （0）＝41，f （1）＝43，f （2）＝47，f （3）＝53，f （4）＝61，f （5）＝71，f （6）＝83，f （7）＝97，f （8）＝113，f （9）＝131，f （10）＝151，…，f （39）＝1 601．但是f （40）＝1 681＝241，是合数．承上启下：这里算了39个数不算少了吧，但还是不行！我们介绍以上两个资料，不是说世界级大师还出错，我们有错就可以原谅，也不是说归纳法不行，不去学了，而是要找出运用归纳法出错的原因，并研究出对策来 , 寻求数学证明.教师设问：,不完全归纳法为什么会出错？如何弥补不足？怎么给出证明呢？设计意图：在生活引例与已学数学知识的基础上，进一步引导学生看数学史料，能够让学生多方位多角度体会归纳法，感受使用归纳法的普遍性．同时引导学生进行思辨：在数学中运用不完全归纳法常常会得到错误的结论，不管是我们还是数学大师都有可能如此．那么，不完全归纳法价值体现在哪里？不足之处如何去弥补呢？ 结论正确性怎样给出证明？学生一定会带着许多问题进入下一阶段探究.四、实例再现，激发兴趣1、演示多米诺骨牌游戏视频.师生共同探讨多米诺骨牌全部依次倒下的条件：⑴ 第一块要倒下;⑵ 当前面一块倒下时，后面一块必须倒下;当满足这两个条件后，多米诺骨牌全部都倒下.再举例：再举几则生活事例：推倒自行车, 早操排队对齐等．2、学生类比多米诺骨牌依顺序倒下的原理，探究出证明有关正整数命题的方法（建立数学模型）.设计意图：布鲁纳的发现学习理论认为，“有指导的发现学习”强调知识发生发展过程．这里通过类比多米诺骨牌过程，让学生发现数学归纳法的雏形，是一种再创造的发现性学习．另外，这个环节里，我在培养学生大胆猜想、类比概括能力方面实践的不够好．应该让学生在类比多米诺骨牌游戏的基础上说出数学归纳法原理，教师给予肯定和补充即可。
数学归纳法(说课稿)
数学归纳法案例分析高二理科备课组利成松一、 教材分析数学归纳法是人教B 版普通高中课程标准实验教科书选修2-2第2章第三小节的内容，此前学生刚学习了合情推理，合情推理用的是不完全归纳法，结论的正确性有待证明。
通过本节课的学习，对培养学生的抽象思维能力和创新能力，深化不等式、数列等知识，提高学生的数学素养，有重要作用。
根据课程标准，本节分为两课时，此为第一课时。
教学重点：了解数学归纳法的基本思想和掌握用数学归纳法证明问题的基本步骤 教学难点：正确理解第二步递推思想的实质二、 目标分析（1）知识与技能：理解数学归纳法的原理和实质，并能初步运用。
（2）过程与方法：学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，提高创新能力。
（3）情感、态度与价值观：在愉悦的学习氛围中，通过理解数学归纳法的原理和本质，感受数学内在美，激发学习热情。
三、教学过程（一）创设问题情景1.情景创设第一阶段：创设问题情境，启动学生思维情境1、法国数学家费马观察到：6553712,25712,1712,51242322122=+=+=+=+归纳猜想：任何形如122+n （n ∈*N ）的数都是质数，这就是著名的费马猜想。
半个世纪以后，数学家欧拉发现，第5个费马数670041764112525⨯=+=F 不是质数,从而推翻了费马的猜想。
——“不完全归纳有时是错误的”（培养学生大胆猜想的意识和数学概括能力．概括能力是思维能力的核心．鲁宾斯坦指出：思维都是在概括中完成的．心理学认为“迁移就是概括”，这里知识、技能、思维方法、数学原理的迁移，我找的突破口就是学生的概括过程．）情境2 、数列{}(),22,1,*11N n a a a a a n n n n ∈+==+已知通过对4,3,2,1=n 前4项归纳，猜想12+=n a n ——可以让学生通过数列的知识加以验证——“不完全归纳有时是正确的”。
通过对上述两个情况的探究可以发现用“不完全归纳法”得到的结论不一定可靠。
数学归纳法说课稿
数学归纳法说课稿§2.3数学归纳法说课稿各位老师、同学们，大家好！今天我说课的题目是数学归纳法，下面我将从以下五个方面进行我的说课。
一、教材分析本节课选自普通高中课程标准实验教科书选修2第二章第三节的《数学归纳法》，主要内容是数学归纳法的原理及其应用。
数学归纳法是重要的思想方法，它所蕴含的“观察、猜想、归纳、证明”的思想不仅在数学各个分支广泛应用，而且也广泛应用于其它科学研究它所包含的逻辑推理不是简单的三段论，而是一个无穷递推，从而具有很强的逻辑性与抽象性。
因此，它是高中阶段必须掌握的思想方法。
二、学情分析本阶段的学生具备一定的从特殊到一般的归纳能力，但对归纳的具体步骤模糊不清。
对数学语言的抽象性的理解与把握虽高于低年级的学生，且思维方法向理性层次跃进，并逐步形成辩证思维体系，但层次参差不齐。
因此，在学习本节内容时，需要教师有序的引导。
由此我确定本节课的重点为：（1）理解数学归纳法的实质意义（2）掌握数学归纳法的证明步骤。
难点为：（1）数学归纳法的实质意义的理解（2）运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。
基于此，我确定了如下三维教学目标三、目标分析1、知识与技能：（1）了解归纳法，理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤。
（2）会证明简单的与正整数有关的命题。
2、过程与方法：通过对本节课的学习，培养学生的递推思想，类比思想，和归纳思想。
掌握“归纳——猜想——证明”这一探索发现的思维方法。
3、情感、态度与价值观：通过本节课的学习，领悟数学思想，激发学习兴趣，培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质。
四、教法学法教法：类比启发，引导发现学法：自主探究，合作交流五、教学过程本节课首先通过创设的情景，启动学生思维，提出引入数学归纳法的必要性。
为了探究数学归纳法的具体步骤，运用多米诺骨牌游戏进行分析，归纳，并与情景中的问题进行类比，得出用数学归纳法整证题的两个步骤。
数学归纳法教案及说课稿
《数学归纳法》说课稿一、说教材数学归纳法是继直接证明与间接证明之后的又一重要内容，是直接证明的又一重要方法，应用十分广泛。
普通说来，与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除性、数列的通项及前n项和等问题，都可以考虑用数学归纳法推证。
在《数学必修5》中学过的等差数列和等比数列的通项公式以及本章第一节的归纳推理案例赏析中得到的自然数的平方和公式都是通过归纳推理得到的，这些结论都具有猜测的性质，其正确性还有待用数学归纳法加以证明。
《数学归纳法》这一内容安排在这里起到了承前启后及深化数学知识的作用。
本节课讲的主要内容是数学归纳法原理，用1课时。
重点是分析数学归纳法的实质，难点是对归纳法中的递推思想的正确理解和把握，目的是进一步培养学生的抽象思维能力和运用所学知识解决问题的能力。
二、说学情在本章的前几节已经学过归纳推理和类比推理，而且在《数学必修5》中也通过归纳的方法得到了等差数列和等比数列的通项公式，再加之学生的实际生活经验，事实上学生已经具备了一定的归纳推理的能力。
虽然学生的知识水平参差不齐，归纳推理的能力存在较大差异，但他们对归纳推理的方法都有程度不同的把握，少数学生归纳推理能力还比较强。
但从总体上看，学生的抽象思维特殊是从具体问题中抽象出数学知识的能力还十分薄弱，需要不断加强。
三、说教学目标知识目标：使学生了解归纳法, 理解数学归纳的原理与实质．掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题．能力目标：培养学生观察, 分析, 论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识的构建过程, 体味类比的数学思想．情感目标：通过对例题的探索，体味研究数学问题的一种方法(先猜想后证明), 激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神．四、说教法本节课我将借助多媒体展示的“多米诺骨牌”游戏，激发学生的学习兴趣，为学生对数学归纳法的理解从感性认识上升到理性认识、为突破和分解教学难点提供生动有趣的参照物。
高中数学_数学归纳法应用举例教学设计学情分析教材分析课后反思
《数学归纳法及其应用》教学设计执教者指导教师一、教学目标：1．认知目标：（1）了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导；（2）理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.2．能力目标：培养学生理解分析、归纳推理和独立实践的能力。
3．情感目标：激发学生的求知欲，增强学生的学习热情，培养学生辩证唯物主义的世界观和勇于探索的科学精神。
.二、教学重点：证明整除性问题，证明与自然数n有关的不等式问题．三、教学难点：在P(k)⇒P(k+1)递推时，找出n=k与n=k+1时的递推公式.四、内容分析：数学归纳法的应用是教学的重点，本节课着重是运用数学归纳法证明整式问题、整除性问题和与自然数n有关的不等式问题，主要是探索递推关系，教会学生思维，离开研究解答问题的思维过程几乎是不可能的.因此在日常教学中，尤其是解题教学中，必须把教学集中在问题解答或解答问题的整个过程上.理清思路是教学的重点.即递推关系的探索发现、创新等思维过程的暴露，知识形成过程的揭示为教学重点.用数学归纳法证明整除问题，P(k)⇒P(k+1)的整式变形是个难点，找出它们之间的差异，从决定n=k时，P(k)做何种变形，一般地只有将n=k+1时P(k+1)的整式进行分拆配凑成P(k)的形式，再利用归纳假设和基本事实.这个变形是难点.用数学归纳法证明不等式的问题时，难点就是在P(k)⇒P(k+1)递推时，找出n=k与n=k+1时的递推公式，这是关键所在.五、教学过程：（一）复习引入：1.数学归纳法:对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n时命题成立；然后假设当n=k(k∈N*，k≥n)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法2.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1)证明：当n取第一个值n0结论正确；(2)假设当n =k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确，证明当n =k +1时结论也正确.（3）由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确总结：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉. （二）例题讲解：类型一 证明等式例1 用数学归纳法证明1）第一步应做什么？此时n0= ，左 ，2) 当n=k 时，等式左边共有 项，第k 项是 。
人教版选修2数学归纳法及其应用举例说课稿PPT课件
板书设计 教学程序 方法手段 教学目标 学生学情 教材分析
数学归纳法及其应用举例
知识准学 二备生项对式定等差理等（比知）识数有列较全、数面列的求把和握、
和较深入的理解，同时也具备一定的从特殊到一般的归 纳能力，但对归纳的概念是模糊的．
能力储学 有备生一经定的过中推理学五能年力的，数数学学学思习维，也已逐具步
数学归纳法及其应用举例
知识与技能 了解归纳法, 理解数学归纳的原理与实 质．掌握两个步骤；会证明简单的与自 然数有关的命题．培养学生观察,分析,思考,论证的能力, 发展 抽象思维能力和创新能力．培养学生大胆猜想，小心求证的辨证 思维素质以及发现问题，提出问题的意识和数学交流的能力．
过程与方法 努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积 极思考、大胆质疑的氛围，提高学生学 习的兴趣和课堂效率．让学生经历知识的构建过程, 体会类比的 数学思想．
＝61，f（5）＝71，f（6）＝83，f（7）＝97，f（8）＝113，f（9）＝ 131，f（10）＝151，… ， f（39）＝1 601． 但是 f（40）＝1 681＝
412，是合数．
第一阶段:输入阶段
借助数学史料, 促使学生思辨
地位作在 法用高 推一 导， 等学 差生 数已 列经 、学 等了 比用 数不列完的全通归项纳公
式，数学归纳法是数列知识的深入与扩展.纵观高中数学, 数学归纳法是一个重难点内容,也是一种重要的数学方法, 可以使学生学会一种研究数学的科学方法．
重点难点
重点：归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析． 难点：数学归纳法中递推思想的理解．
(2) 完全归纳法实例
证明圆周角定理分圆心在圆周角内部、外部及 一边上三种情况．
设计意图:
《数学归纳法及其应用举例》教案说明
《数学归纳法及其应用举例》教案说明第一篇：《数学归纳法及其应用举例》教案说明《数学归纳法及其应用举例》教案说明云南省曲靖市第一中学李德安一、数学归纳法的地位与作用1．数学归纳法在教材中的地位与作用数学归纳法是证明与正整数有关命题的一种重要的证明方法，它起源于正整数的归纳公理或最小数原理，而演变成各种形式。
《数学归纳法及其应用举例》是人教版高中数学新教材第三册第二章“极限”中第一部分的知识。
通过对数学归纳法的学习，可对中学数学中的许多重要结论，如等差、等比数列的通项公式及前n项和公式、二项式定理以及中小学很多思维上开拓创新的题目可以进行很好地证明，使很多数学结论更加严密，也为后继学习打下了良好的基础。
2．数学归纳法对思维发展的地位与作用人类对问题的研究，结论的发现认同，思维流程通常是观察→归纳→猜想→证明。
猜想的结论对不对，证明是尤为关键的。
运用数学归纳法解题时，有助于学生对等式的恒等变形，不等式的放缩，数、式、形的构造与转化等知识加强训练与掌握。
对数学归纳法原理的理解，蕴含着递归与递推，归纳与推理，特殊到一般，有限到无限等数学思想和方法，对思维的发展起到了完善与推动的作用。
二、数学归纳法的本质与教学目标定位数学归纳法体现了递推的思想，数学归纳法的本质就是利用递推思想去证题的一种方法。
一堂精彩的课不仅仅是传授给学生知识，更重要的是对学生能力的培养和情感的熏陶。
根据本节课的特点及布鲁纳的教学目标，特设置一条明线：如何验证等差数列通项公式的正确性；一条暗线：如何验证由不完全归纳法得到的与正整数有关命题的真假。
将本节课的教学目标定为三重目标：①认知目标：了解数学归纳法的原理，掌握用数学归纳法证题的方法与技巧；②能力目标：培养学生理解分析、归纳推理和独立实践的能力；③情感目标：激发学生的求知欲，增强学生的学习热情，培养学生辩证唯物主义的世界观和勇于探索的科学精神。
三、学法、教法特点及预期效果1．学法指导高中学生具有一定的逻辑思维和推理演算能力，并且对事物的认识逐步的由感性上升到理性，个体的发展由外显转化为内隐，这些都是我们学好本节的有利因素。
数学归纳法及其应用举例
2Sn
an
1 an
.
证:(1)当=1n,=结1论时成, a 立1 .S 1 1 2 (a 1 a 1 1 ) a 1 2 1 a 1 1 ,1 1 1
(2)假设当n=k时,结论成立,即ak k k1. 则当n=k+1时,
S k 1 2 (a k a 1 k) 1 2 (kk 1 k 1 k 1 )k . ak 1Sk 1Sk1 2(ak 1a1 k 1)k ak 2 12kak 110
用数学归纳法证明:
(1) 123 n1n(n1) 2
（2）1+2+22+…+2n-1=2n-1 （3）首项是a1，公比是q的等比数列的通项公式是 an=a1qn-1
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感悟与收获
(1) 本节的中心内容是归纳法和数学归纳法;
(2) 归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分为完全归 纳法和不完全归纳法二种;
x 2 (x 2 k y 2 k)、 y 2 k(x y )x( y )都能被x+y整除.
故x2k+2-y2k+2能被x+y整除,即当n=2k+2时命题成立.
由(1)、(2)知原命题对一切正偶数均成立.
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(3)数学归纳法证明几何问题：
例、平面内有n (n2)条直线，任何两条都不平行，任何
三条不过同一点，问交点的个数 f (n) 为多少?并证明.
解:令n=1,2,并整理得
{
,{ .
1a03b2 b4
以下用数学归纳法证明:
1 22 2 n 2 n 2n(n N *). 1 335 (2 n 1 )2 (n 1 ) 4 n2
(1)当n=1时,由上面解法知结论正确.
《数学归纳法及其应用举例》教案
《数学归纳法及其应用举例》教案一、教学目标1. 让学生理解数学归纳法的概念和步骤。
2. 培养学生运用数学归纳法解决问题的能力。
3. 通过数学归纳法的学习，提高学生的逻辑思维能力。
二、教学内容1. 数学归纳法的定义和步骤。
2. 数学归纳法的基本性质。
3. 数学归纳法的应用举例。
三、教学重点与难点1. 教学重点：数学归纳法的概念、步骤及应用。
2. 教学难点：数学归纳法的证明过程和逻辑推理。
四、教学方法1. 采用讲解法、案例分析法、讨论法等多种教学方法，引导学生理解数学归纳法的本质。
2. 通过具体的例子，让学生掌握数学归纳法的应用。
3. 组织学生进行小组讨论，培养学生的合作能力和表达能力。
五、教学过程1. 导入：引导学生回顾数学归纳法的定义和步骤。
2. 新课讲解：讲解数学归纳法的基本性质和应用举例。
3. 案例分析：分析具体例子，让学生理解数学归纳法的证明过程。
4. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学内容。
5. 总结与拓展：总结本节课的主要内容，布置课后作业，引导学生进一步探索数学归纳法的应用。
六、教学评价1. 评价目标：通过本节课的学习，学生能理解数学归纳法的概念和步骤，掌握数学归纳法的证明过程，并能运用数学归纳法解决简单的问题。
2. 评价方法：课堂练习、课后作业、小组讨论、个人报告等。
3. 评价内容：学生的理解能力、应用能力、逻辑思维能力等。
七、教学资源1. 教材：《数学归纳法及其应用》2. 课件：数学归纳法的定义、步骤、例子等。
3. 练习题：针对本节课内容的练习题。
4. 教学辅助工具：黑板、粉笔、多媒体设备等。
八、教学进度安排1. 课时：2课时（90分钟）2. 教学安排：第一课时讲解数学归纳法的定义、步骤和基本性质，分析具体例子；第二课时进行课堂练习，总结本节课的主要内容，布置课后作业。
九、课后作业1. 复习本节课的内容，整理数学归纳法的定义、步骤和应用。
2. 完成课后练习题，巩固所学知识。
3. 选择一个自己感兴趣的问题，尝试运用数学归纳法进行解决，并将解题过程写成报告。
《数学归纳法及其应用举例》教案
《数学归纳法及其应用举例》教案一、教学目标1. 理解数学归纳法的概念和原理。
2. 学会使用数学归纳法证明与n有关的数学命题。
3. 掌握数学归纳法的应用，能够解决一些实际问题。
二、教学内容1. 数学归纳法的定义和原理。
2. 数学归纳法的步骤和注意事项。
3. 数学归纳法的应用举例。
三、教学重点与难点1. 数学归纳法的概念和原理的理解。
2. 数学归纳法的步骤和注意事项的掌握。
3. 数学归纳法在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用讲解、演示和练习相结合的方法，让学生理解和掌握数学归纳法。
2. 通过例题和练习题，培养学生的动手能力和思维能力。
3. 鼓励学生提问和讨论，提高学生的参与度和学习兴趣。
五、教学准备1. 教案、PPT和教学素材。
2. 练习题和答案。
3. 教学工具和设备。
教案内容：一、教学目标1. 理解数学归纳法的概念和原理。
2. 学会使用数学归纳法证明与n有关的数学命题。
3. 掌握数学归纳法的应用，能够解决一些实际问题。
二、教学内容1. 数学归纳法的定义和原理。
2. 数学归纳法的步骤和注意事项。
3. 数学归纳法的应用举例。
三、教学重点与难点1. 数学归纳法的概念和原理的理解。
2. 数学归纳法的步骤和注意事项的掌握。
3. 数学归纳法在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用讲解、演示和练习相结合的方法，让学生理解和掌握数学归纳法。
2. 通过例题和练习题，培养学生的动手能力和思维能力。
3. 鼓励学生提问和讨论，提高学生的参与度和学习兴趣。
五、教学准备1. 教案、PPT和教学素材。
2. 练习题和答案。
3. 教学工具和设备。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入数学归纳法的话题，让学生猜测数学归纳法的含义。
2. 引导学生思考数学归纳法在数学证明中的应用。
二、数学归纳法的定义和原理（15分钟）1. 讲解数学归纳法的定义和原理。
2. 通过PPT和示例，解释数学归纳法的步骤和注意事项。
三、数学归纳法的应用举例（20分钟）1. 通过具体的例题，演示数学归纳法的应用过程。
数学归纳法说课稿
数学归纳法说课稿尊敬的各位老师，大家好。
今天我将对数学归纳法这一重要课题进行讲解。
数学归纳法是一种重要的数学证明方法，它在很多数学问题中都有广泛的应用。
下面，我将从以下几个方面进行讲解：一、引入课题让我们通过一个简单的例子来了解数学归纳法的概念。
假设我们有一个数列，第一项为1，以后每一项都是前一项加2。
现在，我们要证明这个数列的每一项都是偶数。
我们可以使用数学归纳法来证明。
二、数学归纳法的概念数学归纳法是一种通过有限次的步骤来证明无限结论的数学方法。
它包括两个步骤：基础步骤和归纳步骤。
在基础步骤中，我们证明当n=1时，结论成立。
在归纳步骤中，我们假设当n=k时，结论成立，然后证明当n=k+1时，结论也成立。
这样，我们就可以得出对于所有的正整数n，结论都成立。
三、数学归纳法的应用数学归纳法可以应用于很多数学问题，例如证明正整数的阶乘大于等于n的阶乘，求解一些数列的和等等。
下面，我将通过一个具体的例子来演示如何使用数学归纳法解决问题。
四、注意事项在使用数学归纳法时，我们需要注意以下几点：我们要确保在基础步骤中证明n=1时结论成立；我们要在归纳步骤中正确地使用归纳假设；我们要保证归纳步骤中的推导过程是正确的。
五、总结数学归纳法是一种非常重要的数学证明方法，它可以帮助我们证明无限结论。
通过本节课的学习，我们了解了数学归纳法的概念、应用和注意事项。
在以后的学习中，我们要认真掌握这种方法，并在解题中灵活运用。
谢谢大家！高中数学说课稿指数函数说课稿高中数学说课稿：指数函数说课稿一、引言尊敬的各位同事们，大家好！今天我要向大家阐述的是高中数学中的一个重要概念——指数函数。
指数函数是函数的重要类型之一，它广泛地应用于科学、工程、金融等领域。
掌握好指数函数的概念和性质，对于提高学生的数学素养，拓宽知识视野具有重要意义。
二、教学目标本节课的教学目标有三个：1、理解指数函数的概念和性质；2、能够正确地画出指数函数的图像；3、能够运用指数函数解决实际问题。
高中数学教案——数学归纳法及其应用举例 第三课时
课题：2.1数学归纳法及其应用举例（三）教学目的：1. 牢固掌握数学归纳法的证明步骤，熟练表达数学归纳法证明过程.2. 对数学归纳法的认识不断深化教学重点：证明整除性问题，证明与自然数n有关的几何问题．教学难点：在P(k)⇒P(k+1)递推时，找出n=k与n=k+1时的递推公式.授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：数学归纳法的应用是教学的重点，本节课着重是运用数学归纳法证明整除性问题，证明与自然数n有关的几何问题，在解析几何中主要是探索递推关系，教会学生思维，离开研究解答问题的思维过程几乎是不可能的.因此在日常教学中，尤其是解题教学中，必须把教学集中在问题解答或解答问题的整个过程上.理清思路是教学的重点.即递推关系的探索发现、创新等思维过程的暴露，知识形成过程的揭示为教学重点.用数学归纳法证明整除问题，P(k)⇒P(k+1)的整式变形是个难点，找出它们之间的差异，从决定n=k时，P(k)做何种变形，一般地只有将n=k+1时P(k+1)的整式进行分拆配凑成P(k)的形式，再利用归纳假设和基本事实.这个变形是难点.用数学归纳法证明几何中的问题时，难点就是在P(k)⇒P(k+1)递推时，找出n=k与n=k+1时的递推公式，这是关键所在.要分析增加一条曲线或直线后，点、线段、曲线段、平面块在P(k)基础上净增多少，于是就找出了相应的递推关系教学过程：一、复习引入：1.归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法.特点：特殊→一般2. 不完全归纳法:根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法.3. 完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法.完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法.与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的.通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法.4.数学归纳法:对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(k∈N*，k≥n 0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法 5. 数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n 0，如果当n =n 0时，命题成立，再假设当n =k (k ≥n 0，k ∈N *)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n =k +1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n 0的正整数n 0+1，n 0+2，…，命题都成立.6.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1)证明：当n 取第一个值n 0结论正确；(2)假设当n =k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确，证明当n =k +1时结论也正确.由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确 递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.二、讲解范例： 例1用数学归纳法证明：x 2n －y 2n (*n N )能被x +y 整除 证明: (1)当n =1时，x 2n －y 2n =x 2－y 2=(x －y )(x +y )所以(x －y )(x +y )能被x +y 整除.故n =1时命题成立.(2) 假设n =k 时x 2k －y 2k 能被x +y 整除，(利用添项去项将x 2k +2－y 2k +2配成x 2k －y 2k 的形式，再用归纳假设)因为x 2k +2－y 2k +2=x 2·x 2k －y 2·y2k =x 2(x 2k －y 2k )+x 2·y 2k －y 2·y2k =x 2(x 2k －y 2k )+y 2k (x 2－y 2)由假设x 2k －y 2k 能被x +y 整除，而x 2－y 2也能被x +y 整除.故x 2k +2－y 2k +2能被x +y 整除，即n =k +1时也成立.由(1)、(2)知命题对一切正整数都成立.例2 用数学归纳法证明：对于任意自然数n ，数11n +2+122n +1是133的倍数.证明：(1) 当n =0时，11n +2+122n +1=112+121=121+12=133.故n =0时命题成立.(2)假设当n =k 时命题成立，即11k +2+122k +1能被133整除.∴n =k +1时，11(k +1)+2+122(k +1)+1=11·11k +2+122·122k +1 =11·(11k +2+122k +1)+122·122k +1－11×122k +1 =11·(11k +2+122k +1)+122k +1(144－11)=11·(11k +2+122k +1)+122k +1·133由归纳假设知11k +2+122k +1及133都能被133整除.∴11(k +1)+2+122(k +1)+1能被133整除，即n =k +1时命题也成立.根据(1)(2)可知.命题对一切自然数都成立.说明：第一步的初始值，可能会：当n =1时，11n +2+122n +1=113+123=(11+12)(112－11×12+122)=23×(121+144－132)=23×133. ∴23×133能被133整除.即n =1时命题成立．.因为自然数中包括0，所以第一步应验证n =0，而不是n =1.本题第一步若证明n =1时命题成立，一者计算量较大，二者也不符合自然数集的新定义. 证n =0，既方便减少计算量又科学更严密.一般情况，有时为了简化计算常将证明n =1改证n =0或n =－1，这种技巧称之“提前起点”，提前起点的前提是n 为整数，否则递推无法进行.另外，利用数学归纳法证明整除问题，由归纳假设P (k )能被p 整除，证P (k +1)能被p 整除，也可运用结论：“P (k +1)－P (k )能被p 整除⇒P (k +1)能被p 整除.”例3平面内有n (n ≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明交点的个数为f (n )= 2)1(-n n . 证明：(1)当n =2时，两条直线的交点只有一个，又f (2)=21×2×(2－1)=1， 因此，当n =2时，命题成立.(2)假设当n =k (k ≥2)时命题成立，就是说，平面内满足题设的任何k 条直线的交点的个数f (k )等于21k (k －1).现在来考虑平面内有k +1条直线的情况.任取其中的一条直线，记为l .(如例3图所示).由上述归纳法的假设，除l 以外的其他k 条直线的交点个数为f (k )=21k (k －1). 另外，因为已知任何两条直线不平行，所以直线l 必与平面内其他k 条直线都相交(有k 个交点);又因为已知任何三条直线不过同一点，所以上面的k 个交点两两不相同，且与平面内其他的21k ·(k －1)个交点也两两不相同，从而平面内交点的个数是21k (k －1)+k =21k ［(k －1)+2］=21(k +1)［(k +1)－1］. 这就是说，当n =k +1时，k +1条直线的交点个数为f (k +1)=21(k +1)［(k +1)－1］. 根据(1)、(2)可知命题对任何大于1的正整数都成立．三、课堂练习：1．n为奇数时x n+y n能被x+y整除.证明：(1)当n=1时，x n+y n=x+y，它能被x+y整除，所以n=1时命题成立.(2) 假设当n=k(k为正奇数)时，命题成立，即x k+y k能被x+y整除.当n=k+2时，x k+2+y k+2=x2·x k+y2·y k=x2(x k+y k)+y2·y k－x2·y k=x2(x k+y k)+y k(y2－x2)=x2(x k+y k)+y k·(y+x)(y－x).由归纳假设知.x k+y k能被x+y整除.(y+x)(y－x)也能被x+y整除.∴x2(x k+y k)+y k(y+x)(y－x)能被x+y整除.即x k+2+y k+2也能被x+y整除.故对n=k+2时也成立.即第k+1个奇数也成立.由(1)、(2)知命题对一切正奇数都成立2. 平面内有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任何三个圆都不相交于同一点，求证这n个圆将平面分成f(n)=n2－n+2个部分.证明：(1)当n=1时，一个圆将平面分成两个部分，且f(1)=1－1+2=2.因此，n=1时命题成立.(2)假设n=k时命题成立，即k个圆把平面分成f(k)=k2－k+2个部分.则n=k+1时，在k+1个圆中任取一个圆C，剩下的k个圆将平面分成f(k)个部分，而圆C与k个圆有2k个交点，这2k个交点将圆C分成2k段弧，每段弧将它所在的平面部分一分为二，故共增加了2k个平面部分，因此：f(k+1)=f(k)+2k=k2－k+2+2k=(k+1)2－(k+1)+2.∴n=k+1时命题也成立.由(1)、(2)知对一切n∈N*，命题都成立.四、小结：本节课我们主要是学习了运用数学归纳法证明整除问题和几何中的问题.运用了从特殊到一般的探索、归纳、猜想及证明的思维方式进行求解.在证明整除时，为了得到相等的式子，同时添加一些项，再去掉一项，用数学归纳法证明几何问题，证题的关键是弄清增加一条直线能够增加多少不同的交点，解此类问题常运用几何图形的性质，可注意加以运用五、课后作业：用数学归纳法证明下列各题.1.两个连续正整数的积能被2整除.提示：设n∈N*，则要证明n(n+1)能被2整除.(1)n=1时，1×(1+1)=2.能被2整除，即命题成立.(2)假设n=k时，命题成立，即k·(k+1)能被2整除.那么当n=k+1时，(k+1)(k+1+1)=(k+1)(k+2)=k(k+1)+2(k+1).由归纳假设k(k+1)及2(k+1)都能被2整除.∴(k+1)(k+2)能被2整除.故n=k+1时命题也成立由(1)、(2)可知，命题对一切n∈N*都成立.2.x n－y n(n∈N*)能被x－y整除.提示：(1)n=1时，x1－y1能被x－y整除.(2)假设当n=k(k≥1)时命题成立，即x k－y k能被x－y整除.那么n=k+1时，x k+1－y k+1=x·x k－y·y k=x(x k－y k)+x·y k－y·y k=x(x k－y k)+y k(x－y).由归纳假设x k－y k及x－y能被x－y整除，所以x k+1－y k+1能被x－y整除.3.凸n边形的内角和f(n)=(n－2)·180°(n≥3).提示：(1)n=3时,图形是三角形，内角和为180°.又f(3)=(3－2)·180°=180°.∴n=3时命题成立.(2)假设当n=k时，命题成立，即凸k边形的内角和为f(k)=(k－2)·180°, 那么n=k+1时，凸k+1边形的内角和是在原来的凸k边形的基础上增加一个三角形，内角和f(k)+180°=(k－2)·180°+180°=［(k+1)－2］·180°.而f(k+1)=(k+1－2)·180°∴n=k+1时，命题也成立.由归纳假设凸n边形的内角和为f(n)=(n－2)·180°(n≥3).六、板书设计（略）七、课后记：。
数学归纳法及其应用说课稿
数学归纳法及其应用（第一课时）说课稿邵武四中刘会彪一、教材分析1、本节教材的地位和作用：数学归纳法及其应用是高中数学第三册（选修Ⅱ）第二章第一节，它是高中数学一个重要方法，又是高考测试重要内容、。
⑴它是掌握数列和二项式定理基础后，进一步对由归纳、猜想得出一些与正整数有关命题加以证明，可以使学生对有关知识掌握深化一步；⑵既可以开阔学生视.野，又可以使他们受到“观察、猜想、归纳、证明”的推理训练，提高他们逻辑思维能力，培养科学创新精神；⑶掌握这种方法为今后进一步数学学习打下基础。
2、教学目标：根据大纲的要求，贯穿以创新精神为内核的素质教育为宗旨，本着教材特点和学生认知思维特征确定本目标：⑴知识目标：理解.归纳法和数学归纳法含义和本质，掌握其证题原理，会用数学归纳法证明简单的恒等式。
⑵能力目标：培养由特殊到一般的思、维能力，通过特殊事例探究、引导学生观察、归纳、猜想等推理方法，提高分析、综合、抽象概括逻辑思维能力。
⑶.情感目标：既教猜想、又教证明，鼓励学生大胆参与探究，培养学生感悟数学内在美和良好文化素养。
3、重、难点的确定重点：使学生理解数学归纳法的实质，掌握其证题2个步骤和一个结论（特别注意递推步骤中归纳假设运用和恒等变换的运用。
）难点：如何理解数学归纳法的递推性即从有限的步骤完成无限的命题的证明？递推步骤归纳假设如何充分利用？不突破以上难点，学生会怀疑数学归纳法的可靠性，只知形式上模仿而不会知其所以然，对进一步学习造成极大阻碍。
二、教法分析：根据本节课内容和学生认知水平，我主要采用启导法、感性体验法、计算机辅助教学、进行教学。
“问题是数学的心脏”创设具有启发的问题情境，充分利用实验手段，设计系列问题，增加辅助环节，从具体到抽象、从特殊到一般，经历观察、`实验、猜测、推理、交流、反思等过程，使学生带着问题去主动探究、动手操作、交流合作，进而对知识内化、接受，完成整个知识的建构。
三、学法分析：“数学是思维的体操”，学生在学习过程中经历直观感知、观察发现、归纳类比、抽象概括、反思建构思维的过程，初步掌握归纳与推理的能力、，培养学生大胆猜想、小心求证的思维品质，进一步掌握动手实践、自主学习、主动探索、合作交流的学习方式。
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《数学归纳法及应用举例》第一课说课方案
一、说教材
（一）教材分析
本课是数学归纳法的第一节课。
前面学生已经通过数列一章内容和其它相关内容的学习，初步掌握了
由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法。
不完全归纳法它是研究数学问题，猜想或发现数学规律的重要手段。
但是，由有限多个特殊事例得出的结论不一定正确，这种推理方法不能作为
一种论证方法。
因此，在不完全归纳法的基础上，必须进一步学习严谨的科学的论证方法─数学归纳法。
数学归纳法安排在数列之后极限之前，是促进学生从有限思维发展到无限思维的一个重要环节。
并且，本
节内容是培养学生严密的推理能力、训练学生的抽象思维能力、体验数学内在美的好素材。
（二）教学目标
学生通过数列等相关知识的学习。
已基本掌握了不完全归纳法，已经有一定的观察、归纳、猜想能力。
通过近几年教学方法的改革和素质教育的实施，学生已基本习惯于对已给问题的主动探究，但主动提出问
题和置疑的习惯还未形成。
能主动提出问题和敢于置疑是学生具有独立人格和创新能力的重要标志。
如何
让学生主动置疑和提出问题？本课也想在这方面作一些尝试。
根据教学内容特点和教学大纲、根据学生以上实际、根据学生终身发展需要而制订以下教学目标。
1.知识目标
（1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确。
（2）初步理解数学归纳法原理。
（3）理解和记住用数学归纳法证明数学命题的两个步骤。
（4）初步会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式。
2.能力目标
（1）通过对数学归纳法的学习、应用，培养学生观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑推理能力。
（2）让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生的创新能力。
3.情感目标
（1）通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神。
（2）让学生通过对数学归纳法原理的理解，感受数学内在美的振憾力，从而使学生喜欢数学。
（3）学生通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新精神。
（三）教学重难点
根据教学大纲要求、本节课内容特点和学生现有知识水平，确定如下教学重难点：
1.重点
（1）初步理解数学归纳法的原理。
（2）明确用数学归纳法证明命题的两个步骤。
（3）初步会用数学归纳法证明简单的与正整数数学恒等式。
2.难点
（1）对数学归纳法原理的理解，即理解数学归纳法证题的严密性与有效性。
（2）假设的利用，即如何利用假设证明当n=k+1时结论正确。
二、说教法
本课采用交往式的教学方法。
交往教学法的特点是：在教师的组织启发下，师生之间、学生之间共同
探讨，平等交流;既强调独立思考，又提倡团结合作;既重视教师的组织引导，又强调学生的主体性、主动
性、平等性、开放性、合作性。
这种教学方法的优点是学生心态开放，主体性和主动性凸现，独立的个性
得到张扬，因而创造性得到解放。
三、说学法
本课以问题为中心，以解决问题为主线展开，学生主要采用“探究式学习法”进行学习。
本课学生的
学习主要采用下面的模式进行：
观察情景提出问题分析问题猜想与置疑（结论或解决问题的途径）
论证应用。
探究学习法的好处是学生主动参与知识的发生、发展过程。
学生在探究问题过程中学习，在探究问题
的过程中激发学生的好奇心和创新精神;在探究过程中学习科学研究的方法;在探究过程中形成坚韧不拔
的精神。
学生掌握了这种学习方法后，对学生终身学习，终身发展都有积极意义，这就是让学生学会学习。
四、说教学过程
主干层次为：创设情景（提出问题）;
探索解决问题的方法（建立数学模型）;
方法尝试（感性认识）;
理解升华（理性认识）;
方法应用（解决问题）;
课堂小结（反馈与提高）。
教学过程设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。
这种安排强调过程，符合学生的认
知规律，使数学教学过程成为学生对书本知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。
具体过程安排如下：
（一）创设问题情景
1.情景创设
情景一：生活中的实际例子（摸出球的颜色问题）
情景二：已知数列5a 的通项公式22
(55)n a n n ，学生分别计算1a 、2a 、3a 、4a 的值，猜想
n a 的值，计算5a 的值。
请学生创设一个由有限多个特殊事例得出一般结论的数学公式。
情景三（学生自己创设）：学生共同回顾等差数列5a 通项公式推导过程：
11
213143123(1)n a a a a d
a a d
a a d
a a n d
2.学生观察、分析以上三个情景，提出与分析问题，得出结论。
3.结论：这些用有限多个特殊事例得出的结论，有的正确，有的不正确。
因此不能作为论证的方
法。
下面教师用教学语言讲述：
等差数列的通项公式也是由有限个特殊事例归纳出来的，也可能不正确，一但错误，我们已建立的数
列大厦必将倒塌，必须对其进行抢救性证明，如何证明这类有关正整数的命题呢？
（二）探索解决问题的方法
1. 多媒体演示多米诺骨牌游戏。
师生共同探讨多米诺骨牌全部依次倒下的条件：
（1）第一块要倒下;
（2）当前面一块倒下时，后面一块必须倒下;
当满足这两个条件后，多米诺骨牌全部都倒下。
2.学生类比多米诺骨牌依顺序倒下的原理，探究出证明有关正整数命题的方法（建立数学模型）。
（1）n 取第一个值0n (例如01n )时命题成立;
（2）假设 n=k(k *0,N k n )命题成立，利用它证明n=k+1 时命题也成立。
满足这两个条件后，命题对一切n *N 均成立。
（三）方法尝试
师生共同用探究出的方法尝试证明等差数列通项公式。
其中假设n=k 时等式成立，证明n=k+1时等式成立的证明目标和如何利用假设主要由学生完成。
（四）理解升华
1.置疑
对上面的证明方法，充分让学生置疑、提问。
2.论证（说理）
师生共同探讨数学归纳法的原理，理解他的严密性、合理性。
从而由感性认识上升为理性认识。
本阶段用逻辑推理的形式展开研究：当一个命题满足上面（1）、（2）两个条件时
n=1
时命题成立因为有（2）正确（这时k=1）
1,2n k 即n=时命题成立
因为有（2）正确
(这时k=2)2, 3 n k n 即时命题成立
因为有（2）正确（这时k=3）
14n k 时命题成立5n 时命题成立……即对一切*n N ，命题均成立。
让学生对以上逻辑推理进行充分置疑师生共同探讨数学归纳法的合理性。
思考：根据以上逻辑推理。
①条件（1），条件（2）分别起什么作用？
②条件（1），条件（2）为什么缺一不可？
3.方法总结：
学生总结用数学归纳法证明命题的两个步骤：
（1）n 取初始值
0n (例如01n )时命题成立; （2）假设*0(,)n k K N K n 时命题成立，利用它证明1n k 时命题也成立。
（五）数学归纳法的应用
例 1 用数学归纳法证明：2
135(21)n n 本例主要由学生完成，教师适时作必要引导。
这样处理有利于培养学生用所学知识解决问题的能力。
教师主要引导学生参与讨论的内容是：
1 当
1n k 时，证明的目标是什么？
2 当1n k 时，能否这样证明：2135
(21)2(1)1135
(21)(21)
1(21)
(1)2
(1)k k k k k k k 1n k 时，等式成立
根据时间，练习1—2个题目
（根据学生学习情况而定，充分体现学生学习的主动性，自主性）
备选题目是：
用数学归纳法证明：
1.1123(1)2n n n
2.首项是1a ，公比为q 的等比数列的通项公式是1
11n a a q (六）小结（师生共同完成）
1数学归纳法是科学的证明方法；利用它可以证明一些关于正整数
n 的命题。
2数学归纳法证明命题的两个步骤。
3用数学归纳法证明命题的两步骤缺一不可。
4证明n=k+1命题成立时，一定要利用假设。
5证明n=k+1命题成立时，首先要明确证明的目标。
（七）布置作业
高中数学第三册（选修Ⅱ）习题 2.1第1、第2两题。
五、说板书
数学归纳法
证明：1(1)n a a n d 探究数学归纳法原理证明：2135
(21)n n 说明：学生课堂练习在展示平台上展示。
1(1)n a a n d 的推导过程和对22(55)n a n n 的探究在副板书上进行。
小结与作业在多媒体上显示：。