数值分析Ch4数值积分与数值微分
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数值分析-第4章 数值积分和数值微分
A0+A1=2 A0x0+A1x1=0 A0x02+A1x12=2/3 A0x03+A1x13=0
A0 A1 1 解得: 1 x 0 x1 3
求积公式为
1 1 1 f ( x)dx f ( ) f ( ) 3 3
x f(x)
数值分析
1 4
2 4.5
3 6
4 8
5 8.5
1
一、数值积分的基本概念 求积节点 数值积分定义如下：是离散点上的函数值的线性组合
I [ f ] f ( x)dx I n [ f ] Ai f ( xi )
b a i 0 n
称为数值积分公式
称为求积系数,与f (x)无关,与积分区间和求积节点有关
b a
Rn ( x) dx
定理：形如 Ak f ( xk ) 的求积公式至少有 n 次代数精度
A 该公式为插值型（即： k a l k ( x)dx ）
数值分析
b
5
例1 试确定参数A0,A1,A2,使求积公式
1 f ( x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1)
证明 因为Simpson公式对不高于三次的多项式精确成立。即
b
a
p 2 ( x)dx
ba ab [ p 2 (a) 4 p 2 ( ) p 2 (b)] 6 2
构造三次多项式H3(x),使满足 H3(a)=(a) ,H3(b)=(b),
H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), 这时插值误差为
1
数值计算_第7章数值微分和数值积分
数值计算_第7章数值微分和数值积分数值微分和数值积分是数值计算中的两个重要内容，它们在科学、工程和经济等领域有着广泛的应用。
本文将详细介绍数值微分和数值积分的概念、方法和应用，并分析其优缺点。
数值微分是通过数值方法来近似计算函数的导数。
在实际问题中，往往很难直接计算函数的导数，因此需要使用数值方法来进行近似计算。
常用的数值微分方法有中心差分法、向前差分法和向后差分法。
中心差分法是一种通过利用函数在特定点两侧的数据点来计算函数的导数的方法。
具体方法是用函数在该点两侧的差值来估计导数。
中心差分法具有较高的精度和稳定性，适用于函数光滑的情况。
向前差分法和向后差分法是一种通过利用函数在该点的数据点来计算函数的导数的方法。
向前差分法用函数在该点的后一点数据来估计导数，向后差分法用函数在该点的前一点数据来估计导数。
这两种方法的精度相对较低，但计算简单，适用于函数不太光滑的情况。
数值微分方法的优点是计算简单、直观易懂、易于实现。
缺点是对函数的平滑性和间隔大小要求较高，误差较大。
数值积分是通过数值方法来近似计算函数的积分。
在实际问题中，往往很难直接计算函数的积分，因此需要使用数值方法来进行近似计算。
常用的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则和数值积分公式。
梯形法则是一种通过将区间划分为多个小区间，在每个小区间上用梯形面积来近似计算积分的方法。
辛普森法则是一种通过将区间划分为多个小区间，在每个小区间上用抛物线面积来近似计算积分的方法。
这两种方法的精度较高，适用于函数较光滑的情况。
数值积分公式是通过选取节点和权重，将积分转化为对节点函数值的加权求和。
常用的数值积分公式有高斯求积公式和牛顿-寇茨公式。
这些公式具有较高的精度和稳定性，适用于计算复杂函数的积分。
数值积分方法的优点是适用范围广、精度较高、计算稳定。
缺点是计算量较大、计算复杂、需要选取合适的节点和权重。
数值微分和数值积分在科学、工程和经济等领域有着广泛的应用。
数值分析Cht4数值积分和数值微分
x
j
)dx.
(1.7)
定理1
求积公式
ab f
( x)dx
n
wk
fk至少具有n次代数精度
k 0
它是插值型求积公式.
四、求积公式的余项
若求积公式
b
f (x)dx
a
n
wk fk的代数精度为m, 则其余项
k 0
R[ f ]
b
f (x)dx
a
n
wk fk Kf (m1) (),
k 0
a,b.
定义2 在求积公式(1.3)中, 若
lim
n
n
wk
k 0
f
( xk
)
ab
f
(x)dx,
h0
其中h max(xi xi1),则称求积公式(1.3)是收敛的.
1in
设f (xk )有误差k , 即f (xk ) ~fk k (k 0,1,, n), 则有
| In ( f ) In ( ~f ) |
12
(a,b).
2. 中矩形公式的余项
b f (x)dx f (a b)(b a), 代数精度为1.
a
2
K
1 2
1
3
(b3
a3)
(b
a)
a
2
b
2
(b
a)3 24
中矩形公式的余项 : R[ f ] (b a)3 f ''(),
24
(a,b).
五、求积公式的收敛性和稳定性
wk fk
k 0
1 1 (m 1)! m
2
(bm2
am2 )
n k 0
wk
数值分析课件第4章数值积分与数值微分
森(simpson)公式(又称为抛物形求积公式)，即
S b a [ f (a) 4 f (a b) f (b)].
6
2
上页 下页
n = 4 时的牛顿-柯特斯公式就特别称为柯特斯公 式. 其形式是
上页 下页
4.1.1 数值求积的基本思想
由积分中值定理, 对连续函数f(x), 在区间[a, b]
内至少存在一点，使
I
b
a
f
(x)d
x
(b
a)
f
(
)
只要对平均高度 f() 提供一种近似算法, 便可相应
地获得一种数值求积方法. 即所谓矩形公式.
几何图形见书p119.
上页 下页
例如, 用区间[a, b]两端点的函数值 f(a)与f(b)的
nn
(t j)dt
0 jk
(k=0,1,,n)
则 Ak (b a)Ck(n) , 于是得求积公式
n
In (b a) Ck(n) f ( xk )
k0
称为n 阶牛顿-柯特斯 (Newton-Cotes)公式, Ck(n) 称 为柯特斯系数。
显然, 柯特斯系数与被积函数 f (x) 和积分区间
如为了构造出上面的求积公式，原则上是一个 确定参数xk和Ak的代数问题.
上页 下页
4.1.3 插值型求积公式
设给定一组节点 a x0 x1 xn1 xn b
且已知f(x)在这些节点上的函数值 f(xk), 则可求得f(x)
的拉格朗日插值多项式(因为Ln(x)的原函数易求)
n
Ln ( x) f ( xk )lk ( x) 则 f (x)Ln(x)
k0
如果对任I给n( 小f )正 I数n(ε~f>)0， 只n 要Ak误[ f差( x|δkk)|充 ~f分k ]小就 ,有
1_数值分析4-数值积分与微分
回忆定积分的定义
b
I f (x)dx lim In,
a
n
n
In
f
(k
)
b
n
a
k 1
n充分大时In就是I的数值积分
各种数值积分方法研究的是
k 如何取值，区间 (a,b)如何划分， 使得既能保证一定精度，计算量又小。
（计算功效：算得准，算得快）
5
数值积分
y
1.梯形公式
h
Tn
h
k 1
fk
2 ( f0
fn )
b
f (x)dx
a
b
R( f ,Tn ) I Tn f (x)dx Tn
a
梯形公式在每小段上是用线性插值函数T(x)代替 f(x)
f (x) T(x)
f
(k
2
)
(
x
xk
)(x
xk
1
),
k (xk , xk1)
(
f0
fn)
(3)
k 1
非等距分割梯形公式
Tn
n1 k 0
fk
fk 1 2
(xk 1
xk
)
(4)
8
数值积分 2.辛普森(Simpson)公式
（抛物线公式）
梯形公式相当于用分段线性插值函数代替 f (x)
提高精度
分段二次插值函数
抛物线 公式
y
y=f(x)
每段要用相邻两小区间
数值积分
数值 积分
为什么要作数值积分
• 积分是重要的数学工具，是微分方程、概率 论等的基础；在实际问题中有直接应用。
研究生课程《数值分析》第四章数值积分与数值微分
b
a
f
(x)dx
1 (b 6
a)
f
(a)
4
f
(a
2
b)
f
(b)
y=f(x)
梯形公式把 f(a), f(b) 的加权平均值
1 f (a) f (b)
2
aa ((aa++bb))//22 bb
作为平均高度 f( ) 的近似值而获得的一种数值积分方法。
中矩形公式把 [a,b] 的中点处函数值
f
ab 2
定义 （代数精度） 设求积公式（1）对于一切次 数小于等于 m 的多项式( f (x) 1, x, x2 , , xm 或 f (x) a0 a1x a2 x 2 am x m )是准确的，而对于 次数为 m+1 的多项式是不准确的，则称该求积公 式具有 m 次代数精度（简称代数精度）
作为平均高度 f( ) 的近似值而获得的一种数值积分方法。
Simpson公式是以函数 f(x)在 a, b, (a+b)/2 这三点的函数
值 f(a),
f(b),
f
a
2
b
的加权平均值
。
1 ( f (a) 4 f ( a b ) f (b))作为平均高度 f() 的近
6
2
似值而获得的一种数值积分方法。
将积分区间细分, 在每个小区间内用简单函数代替复 杂函数进行积分，这是数值积分的思想。本章主要讨论 用代数插值多项式代替 f(x) 进行积分。
5.1.1 数值积分的基本思想
积分 I b f (x)dx 在几何上可以理解为由 x=a, x=b, a
y=0 以及 y = f(x) 这四条边所围成的曲边梯形面积。如图 1 所 示，而这个面积之所以难于计算是因为它有一条曲边 y=f(x)。
数值方法中的数值微分和数值积分
泰勒展开法：将函数 在某点处展开成泰勒 级数，然后利用级数 的各项系数计算数值 微分
牛顿插值法：利用牛 顿插值多项式计算数 值微分，其思想是通 过构造插值多项式ห้องสมุดไป่ตู้ 逼近导数函数
数值微分的误差分析
数值微分的基本概念
数值微分误差的来源
数值微分误差的估计
减小误差的方法
数值微分的应用
计算物理量的变化 率
应用领域的比较
数值微分的应用领域：主要应用于求解微分方程的近似解，例如在物理学、 工程学和经济学等领域。
数值积分的应用领域：主要应用于求解定积分、不定积分等积分问题，例 如在计算面积、体积、物理实验数据处理等领域。
比较：数值微分和数值积分在应用领域上存在差异，但两者都是数值计算 中的重要工具，可以相互补充。
矩形法：将积分区 间划分为若干个小 的矩形，用矩形面 积的和近似积分
梯形法：将积分区 间划分为若干个小 的梯形，用梯形面 积的和近似积分
辛普森法：将积分 区间划分为若干个 等分的子区间，用 抛物线面积的和近 似积分
牛顿-莱布尼茨法 ：利用定积分的定 义和牛顿-莱布尼 茨公式，通过求和 的方式计算定积分
预测函数的变化趋 势
优化问题中的梯度 计算
机器学习中的梯度 下降算法
Part Three
数值积分
数值积分的概念
数值积分定义：用数值方法近似计算定积分的值 常用方法：矩形法、梯形法、辛普森法等 近似误差：与使用的数值方法有关，通常误差随迭代次数增加而减小 应用领域：科学计算、工程、数学建模等
数值积分的计算方法
数值积分的误差分析
算法稳定性：数值积分方法的稳定性和误差控制 步长选择：步长对误差的影响和最佳步长选择 收敛性：数值积分方法的收敛速度和误差收敛性 误差来源：数值积分中误差的来源和减小误差的方法
数值分析4数值积分与数值微分
第4 章4数与数微数值积分与数值微分本章内容411.1 光波的特性4.1 引言4.2 Newton-Cotes 公式1.2 光波在介质界面上的反射和折射4.3 Romverg 算法4.4Gauss 1.3 光波在金属表面上的反射和折射4.4 Gauss 公式4.5 数值微分2本章要求主要内容：机械求积、牛顿柯特斯公式、龙贝格算法、高斯公式、•—数值微分。
•基本要求–(1)了解数值微分公式的导出方法及常用的数值微分公式。
–(2) 掌握数值积分公式的导出方法，截断误差；理解代数精度的概念，会用待定系数法。
–(3) 掌握梯形求积公式，抛物线求积公式，牛顿－柯特斯公式的构造及使用，并会应用公式求积分。
(4)熟悉复化梯形公式复化辛普生公式–(4) 熟悉复化梯形公式，复化辛普生公式。
–(5) 会用龙贝格积分法。
–(6) 了解高斯型求积公式的概念及导出方法，能构造简单问题的高精度求积公式，会使用常见的几种高斯型求积公式进行计算。
积公式会使用常见的几种高斯型求积公式进行计算•重点、难点重点牛顿柯特斯公式–重点：牛顿－柯特斯公式；–难点：代数精度的概念。
3414114.1 引言4.1.1 数值求积的基本思想一、问题,d)(∫=b a xxfI数学分析中的处方法由微积分学基本定当如何求积分数学分析中的处理方法：由微积分学基本定理，当f(x)在[a, b]上连续时，存在原函数F(x)，牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式：).()(d)(aFbFxxf ba−=∫但有时用上面的方法计算定积分有困难但有时用上面的方法计算定积分有困难。
441N-L4.1 引言N L公式失效的情形：这时，N-L公式也不能直接运用。
因此有必要研究问题即用数值方法计算定积分因此，有必要研究数值积分问题，即用数值方法计算定积分的近似值.541二、构造数值积分公式的基本思想4.1 引言、构造数值积分公式的基本思想问题：点ξ的具体位置一般是不知道的，因而难以准确算出的值，怎么办？f(ξ)641采用不同的近似计算方法从而得到各种不同的4.1 引言)对f(ξ)采用不同的近似计算方法，从而得到各种不同的数值求积公式。
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4
3.复化柯特斯公式
将 a, b分为4n等分, 可看作n等分后再分4份， x0 x 1 x 1 x 3 x1 xn 1 xn 1 xn 4 2 2 4 4 n n b h 3 12 f x k 1 a f x dx 90 7 f a 32 f xk 4 2 k 1 k 1
解毕
2．偶阶求积公式的代精
• 定理 n 为偶数时，N-C公式至少有 n 1次代精。 n1 b f x dx 证明 N-C公式的截断误差 R f n1 a n 1 ! x a th n f n1 n1 h t t 1t ndt 0 n 1 ! h n1 n n1 f t t 1 t n dt n 1! 0
h f x x ， 左 0 xdx 2 右 B2h B3 3 h h 2 2 2 f x x ， 左 0 x dx 右 B2h 3
h
f x 1 ， 左 0 1dx h 右 B1 B2
h
2
2h h h B1 , B2 , B3 3 3 6
k 0
n
n
k 0
4.2 牛顿-柯特斯公式(N-C公式)
1. 柯特斯系数
ba , xk a • 将a, b分为n等分,步长 h n k 0,1,, n b Ak l k x dx
。
x x0 x xk 1 x xk 1 x xn dx a x x x x k 0 k k 1 x k x k 1 x k x n x a th n hn t t k 1t k 1 t n hdt n 0 h k 1 1k n n k n b a 1 n t j dt b a C k 0 n k! n k ! j k
k
而R x
m 1
0
，
则称该求积公式具有 m 次代数精度。 证明 由于定积分和求积公式都具有线性。
例 求积公式
解
h
0
f x dx B1 f 0 B2 f h B3 f 0
试确定系数 B1 , B2 , B3 ， 使这个求积公式具有尽可能
高的代精，并指明构造的求积公式具有的代精。
因为 RC n O h 0 所以，收敛。
6
4 dx 例 用复化梯形公式和复化辛普生公式分别计算积分0 2 1 x
1
的近似值（取9个等距节点，小数点后至少包留6位）。
b
n
1 j n
，
~ 当 max f xk f k 时， 0 , 0 • 定义 0 k n n ~ Ak ( f xk f k )
有 k 0 ，则称该求积公式是 稳定的。 • 定理 若 Ak 0, (k 0,1,, n)且求积公式有0次 代精，则此求积公式是稳定的。
数 值 分 析
Computational Method
Chapter 4
数值积分与数值微分
第四章 数值积分与数值微分
4 . 1引言
• 很多函数的原函数不能用初等函数表示， 或者难于求得。这就很难用N-L公式计算积 分的精确值。因此，寻求计算积分即使只 是计算积分的近似值的方法，就非常必要 了。数值积分是计算积分近似值的一种方 法。
b
a
牛顿-柯特斯公式(N-C公式)
f x dx b a C
b a k 0
n
n
k
f a kh
n=1, 梯形公式
b
记 ba a f x dx 2 f a f b T n=2, 辛普生公式
b
b
a
n=4, 柯特斯公式
记 ba ab f x dx f a 4 f S f b 6 2
2.代数精度的概念
多项式 f k x 有 R f k 0 ，而对 m 1 次多项式
f m 1 x 有 R f 0 ， 则称该求积公式具有 m m1
定义 若某求积公式对次数为 k (k m) 的任意
次代数精度简称代精。
等价定义 若某求积公式有 R x 0，k (0,1, m )
2
求积公式为
再令
4 3 所以，构造的求积公式具有2次代精。
0
2h h h 0 f x dx 3 f 0 3 4f h 6 f 0 h 3 h 3 f x x ， 左 x dx 右 h h3
h
2
解毕
3.插值型求积公式
b
a
f x dx Ln x dx l x dx yk k a a k 0
4
2!
x a x bdx
• 类似
2b a b a 6 RC f 945 4
6
b a b a 4 RS f 180 2
4．3 复化求积
• （n=1即前述公式）
• 1.复化梯形公式 将 a , b 分为n等分, a x1 x2 xn1 b ba x a kh , k 0 , 1 , , n ， 步长 h k , n x xk , xk 1 设 xk 1 xk hk h 。则 x h ， x f x dx 2 f xk f xk 1
证毕
n / 2 u n / 2 uu n / 2du 0
RT
3．几种低阶求积公式的余项 b f a, b
a
f b f 3 x a x bdx b a 2! a 12
32 f x k 1 14
k 1
4
n
n 1
称为：复化柯特斯公式。 C1 C
2b a h 6 RC n f 945 4
6
k 1
记 f x k 7 f b Cn
余项为
n 2 为整数。 n 为偶数， t 0, n u n 2, n 2 令 nt u n 2 n ， t j u n 2 j
若
j 0 j 0
f是n次多项式，则 f
R f h
n1 n/ 2
n 1
a0 n 1!，故
2
xk 1 a (k )h, k 0,1,, n 1
2
2
2
b
a
f x dx x
n 1
n 1
1 2
x k 1
k
f x dx
n 1 n 1 h f a f b 2 f xk 4 f xk 1 2 6 k 1 k 0
xk 有关，而不依赖于 f x 的具体形式，
R f f x dx Ak f xk
b a k 0
n
称为求积公式的截断误差，又称为求积公式的 余项。 数值求积公式中，关健要确定求积节点 x k
和求积系数 Ak ，用数值求积公式求得积分近似
值的方法常称为机械求积。
h f x k 4 f x k 1 f x k 1 2 k 0 6
k 0
记 Sn
称为：复化辛普生公式。
b a h 4 f 余项为 RSn 180 2
4
因为 RSn O h 0 所以，收敛。
x k 1
n
n 1
n 1
h2 b a f （1）假定 f 12 ( 2) h2 （2）假定 f 连续 f b f a 12 2 所以，收敛。 R O h 0 因为 Tn
(1)
2.复化辛普生公式
将 a, b 分为2n等分, 可看作n等分后再分一半， x0 x 1 x1 x 3 x2 xn1 xn 1 xn
1.数值求积的基本思想
• 数值求积的基本思想，用积分区间内被积 函数值的加权平均值作为积分的近似值。 定义 称
f x dx A f x I f
b a k 0 k k n
n
记
为数值求积公式，其中： xk 称为求积节点，
Ak 称为求积系数，又称为 xk 的权，权 Ak 仅与
n1
n
lk x dx Aj lk x j Ak
j 0
证毕
4.求积公式的收敛性与稳定性
f x dx lim A f x k k • 定义 若 h0 ， a k 0 h max x j x j 1) 则称该求积公式是收敛的(其中：
b b
b
n
定义 若求积系数 Ak a lk x dx ， 则称对应的
求积公式为插值型的。
余项
R f n1 x dx a n 1 !
b
f
n1
定理 求积公式是插值型的 它至少有 n
证明
R f k
b a
b
a
f k n1 x dx 0 (k n) n 1!
1
1 x
解 用梯形公式
4 1 1 0 1 x2 dx 2 f 0 f 1 2 4 2 3
1
用辛普生公式
4 1 1 0 1 x 2 dx 6 f 0 4 f 2 f 1
3.复化柯特斯公式
将 a, b分为4n等分, 可看作n等分后再分4份， x0 x 1 x 1 x 3 x1 xn 1 xn 1 xn 4 2 2 4 4 n n b h 3 12 f x k 1 a f x dx 90 7 f a 32 f xk 4 2 k 1 k 1
解毕
2．偶阶求积公式的代精
• 定理 n 为偶数时，N-C公式至少有 n 1次代精。 n1 b f x dx 证明 N-C公式的截断误差 R f n1 a n 1 ! x a th n f n1 n1 h t t 1t ndt 0 n 1 ! h n1 n n1 f t t 1 t n dt n 1! 0
h f x x ， 左 0 xdx 2 右 B2h B3 3 h h 2 2 2 f x x ， 左 0 x dx 右 B2h 3
h
f x 1 ， 左 0 1dx h 右 B1 B2
h
2
2h h h B1 , B2 , B3 3 3 6
k 0
n
n
k 0
4.2 牛顿-柯特斯公式(N-C公式)
1. 柯特斯系数
ba , xk a • 将a, b分为n等分,步长 h n k 0,1,, n b Ak l k x dx
。
x x0 x xk 1 x xk 1 x xn dx a x x x x k 0 k k 1 x k x k 1 x k x n x a th n hn t t k 1t k 1 t n hdt n 0 h k 1 1k n n k n b a 1 n t j dt b a C k 0 n k! n k ! j k
k
而R x
m 1
0
，
则称该求积公式具有 m 次代数精度。 证明 由于定积分和求积公式都具有线性。
例 求积公式
解
h
0
f x dx B1 f 0 B2 f h B3 f 0
试确定系数 B1 , B2 , B3 ， 使这个求积公式具有尽可能
高的代精，并指明构造的求积公式具有的代精。
因为 RC n O h 0 所以，收敛。
6
4 dx 例 用复化梯形公式和复化辛普生公式分别计算积分0 2 1 x
1
的近似值（取9个等距节点，小数点后至少包留6位）。
b
n
1 j n
，
~ 当 max f xk f k 时， 0 , 0 • 定义 0 k n n ~ Ak ( f xk f k )
有 k 0 ，则称该求积公式是 稳定的。 • 定理 若 Ak 0, (k 0,1,, n)且求积公式有0次 代精，则此求积公式是稳定的。
数 值 分 析
Computational Method
Chapter 4
数值积分与数值微分
第四章 数值积分与数值微分
4 . 1引言
• 很多函数的原函数不能用初等函数表示， 或者难于求得。这就很难用N-L公式计算积 分的精确值。因此，寻求计算积分即使只 是计算积分的近似值的方法，就非常必要 了。数值积分是计算积分近似值的一种方 法。
b
a
牛顿-柯特斯公式(N-C公式)
f x dx b a C
b a k 0
n
n
k
f a kh
n=1, 梯形公式
b
记 ba a f x dx 2 f a f b T n=2, 辛普生公式
b
b
a
n=4, 柯特斯公式
记 ba ab f x dx f a 4 f S f b 6 2
2.代数精度的概念
多项式 f k x 有 R f k 0 ，而对 m 1 次多项式
f m 1 x 有 R f 0 ， 则称该求积公式具有 m m1
定义 若某求积公式对次数为 k (k m) 的任意
次代数精度简称代精。
等价定义 若某求积公式有 R x 0，k (0,1, m )
2
求积公式为
再令
4 3 所以，构造的求积公式具有2次代精。
0
2h h h 0 f x dx 3 f 0 3 4f h 6 f 0 h 3 h 3 f x x ， 左 x dx 右 h h3
h
2
解毕
3.插值型求积公式
b
a
f x dx Ln x dx l x dx yk k a a k 0
4
2!
x a x bdx
• 类似
2b a b a 6 RC f 945 4
6
b a b a 4 RS f 180 2
4．3 复化求积
• （n=1即前述公式）
• 1.复化梯形公式 将 a , b 分为n等分, a x1 x2 xn1 b ba x a kh , k 0 , 1 , , n ， 步长 h k , n x xk , xk 1 设 xk 1 xk hk h 。则 x h ， x f x dx 2 f xk f xk 1
证毕
n / 2 u n / 2 uu n / 2du 0
RT
3．几种低阶求积公式的余项 b f a, b
a
f b f 3 x a x bdx b a 2! a 12
32 f x k 1 14
k 1
4
n
n 1
称为：复化柯特斯公式。 C1 C
2b a h 6 RC n f 945 4
6
k 1
记 f x k 7 f b Cn
余项为
n 2 为整数。 n 为偶数， t 0, n u n 2, n 2 令 nt u n 2 n ， t j u n 2 j
若
j 0 j 0
f是n次多项式，则 f
R f h
n1 n/ 2
n 1
a0 n 1!，故
2
xk 1 a (k )h, k 0,1,, n 1
2
2
2
b
a
f x dx x
n 1
n 1
1 2
x k 1
k
f x dx
n 1 n 1 h f a f b 2 f xk 4 f xk 1 2 6 k 1 k 0
xk 有关，而不依赖于 f x 的具体形式，
R f f x dx Ak f xk
b a k 0
n
称为求积公式的截断误差，又称为求积公式的 余项。 数值求积公式中，关健要确定求积节点 x k
和求积系数 Ak ，用数值求积公式求得积分近似
值的方法常称为机械求积。
h f x k 4 f x k 1 f x k 1 2 k 0 6
k 0
记 Sn
称为：复化辛普生公式。
b a h 4 f 余项为 RSn 180 2
4
因为 RSn O h 0 所以，收敛。
x k 1
n
n 1
n 1
h2 b a f （1）假定 f 12 ( 2) h2 （2）假定 f 连续 f b f a 12 2 所以，收敛。 R O h 0 因为 Tn
(1)
2.复化辛普生公式
将 a, b 分为2n等分, 可看作n等分后再分一半， x0 x 1 x1 x 3 x2 xn1 xn 1 xn
1.数值求积的基本思想
• 数值求积的基本思想，用积分区间内被积 函数值的加权平均值作为积分的近似值。 定义 称
f x dx A f x I f
b a k 0 k k n
n
记
为数值求积公式，其中： xk 称为求积节点，
Ak 称为求积系数，又称为 xk 的权，权 Ak 仅与
n1
n
lk x dx Aj lk x j Ak
j 0
证毕
4.求积公式的收敛性与稳定性
f x dx lim A f x k k • 定义 若 h0 ， a k 0 h max x j x j 1) 则称该求积公式是收敛的(其中：
b b
b
n
定义 若求积系数 Ak a lk x dx ， 则称对应的
求积公式为插值型的。
余项
R f n1 x dx a n 1 !
b
f
n1
定理 求积公式是插值型的 它至少有 n
证明
R f k
b a
b
a
f k n1 x dx 0 (k n) n 1!
1
1 x
解 用梯形公式
4 1 1 0 1 x2 dx 2 f 0 f 1 2 4 2 3
1
用辛普生公式
4 1 1 0 1 x 2 dx 6 f 0 4 f 2 f 1