数值积分与微分方法

数值积分与微分

摘要

本文首先列举了一些常用的数值求积方法，一是插值型求积公式，以N

e w t o n C o t e s -公式为代表，并分析了复合型的Newton Cotes -公式；另一个是Gauss Ledendre -求积公式，并给出几个常用的Gauss Ledendre -求积公式。其次，本文对数值微分方法进行分析，主要是差分型数值微分和插值型数值微分，都给出了几种常用的微分方法。然后，本文比较了数值积分与微分的关系，发现数值积分与微分都与插值或拟合密不可分。 本文在每个方法时都分析了误差余项，并且在最后都给出了MATLAB 的调用程序。

关键词：插值型积分Gauss Ledendre -差分数值微分插值型数值微分 MATLAB

一、常用的积分方法

计算积分时，根据Newton Leibniz -公式，

()()()b

a

f x dx F b F a =-⎰

但如果碰到以下几种情况：

1）被积函数以一组数据形式表示；

2）被积函数过于特殊或者原函数无法用初等函数表示 3）原函数十分复杂难以计算

这些现象中，Newton Leibniz -公式很难发挥作用，只能建立积分的近似计算方法，数值积分是常用的近似计算的方法。

1.1 插值型积分公式

积分中的一个常用方法是利用插值多项式来构造数值求积公式，具体的步骤如下： 在积分区间上[,]a b 上取一组节点：01201,,,,()n n x x x x a x x x b ≤<<≤ 。已知()k x f 的函数值，作()x f 的n 次插值多项式，则

(1)

()10()()()()()

(1)!n n

x n n k k n k f f L x R x f x l x w x n ++==+=++∑

其中，()k l x 为n 次插值基函数，则得

(1)+10()(()())1

=[()]()[()](1)!b

b

n n a

a n

b

b n k k n a a k f x dx L x R x dx

l x dx f x f x w x dx n ξ+==+++⎰

⎰∑⎰⎰（）

公式写成一般形式：

()()[]n

b

k k n a

k f x dx A f x R f ==+∑⎰

其中，

01100110

()()()()

()()()()()b

b

k k k k a a k k k k k k x x x x x x x x A l x dx dx x x x x x x x x -+-+----==----⎰⎰

(1)+11

[][()](1)!b n n n a

R f f x w x dx n ξ+=+⎰（） 显然，当被积函数f 为次数小于等于n 的多项式时，其相应的插值型求积公式为准确公式，即：

()()

n

b

k k a

k f x dx A f x ==∑⎰

1.1.1 求积公式的代数精度

定义：求积公式对于任何次数不大于m 的代数多项式()f x 均精确成立，而对于

1()m f x x +=不精确成立，则称求积公式具有m 次代数精度。

定理：含有1n +个节点(0,1,,)k x k n = 的插值型求积公式的代数精度至少为n 。

1.2 Newton Cotes -公式 1.

2.1 Newton Cotes -公式

将积分区间等分，并取分点为求积公式，这样构造出来的插值型求积公式就是Newton Cotes -公式。

()0()()n

b

n k k a

k f x dx b a C f x ==-∑⎰

（）

其中，

()0

()n

n k k b a b a C =-=-∑

且Cotes 系数满足重要的关系式：

()

1 (k=0,1,2,,n)n

n k

k C

==∑

1n =时，求积公式为梯形公式（两点公式）：

()[()()]2

b a

b a f x dx f a f b -≈+⎰ 梯形公式具有1阶代数精度，余项为：

3

()[]() [,]

12T b a R f f a b ηη-''=-∈

n =2时，求积公式为Simpson 公式(三点公式)：

()[()4()()]62

b a

b a a b f x dx f a f f b -+≈++⎰ Simpson 公式具有3阶代数精度，余项为：

5(4)

1[]()() [,]902

S b a R f f a b ηη-=-∈

n =4时，求积公式为Cotes 公式（五点公式）

： 01234()[7()32()12()32()7()]90

b a

b a f x dx f x f x f x f x f x -≈++++⎰ 其中，

4

k b a

x a k -=+

Cotes 公式具有5次代数精度，余项为：

7(6)

8[]()() [,]9454

C b a R f f a b ηη-=-∈

1.2.2 复合Newton Cotes -公式

当积分区间过大时，直接使用Newton Cotes -公式所得的积分的近似值很难得到保证，因此在实际应用中为了既能够提高结果的精度，又使得算法简便且容易在计算机上实现，往往采用复合求积的方法。

所谓复合求积，就是先将积分区间分成几个小区间，并从每个小区间上用低阶Newton Cotes -公式计算积分的近似值，然后对这些近似值求和，从而得到所求积分的近似值，由此得到一些具有更大实用价值的数值求积公式，统称为复合求积公式。

将[,]a b 区间n 等分，记分点为(0,1,,)k x a kh k n =+= ，其中，b a

h n

-=称为步长，