数学之旅作业及答案

第一单元客观题
1、爱因斯坦创立广义相对论时用到了下列什么重要的数学工具？（C ）
A、数论
B、欧式几何
C、黎曼几何
D、线性代数
2、下面这个方程有没有整数解？
方程有没有整数解？（A ）
A、有
B、没有
3、下列哪个是孪生素数对？（ B）
A、(11,17)
B、(17,19)
C、(7,9)
D、(11,19)
4、圆与椭圆在下列哪个数学分支中可看作一样？（ B）
A、代数
B、拓扑
C、几何
D、分析
5、具有同样周长的下列图形哪个面积更大？（ B）
A、正三角形
B、圆
C、正六边形
D、正四边形
6、以下汉字哪一个可以一笔不重复地写出？（ D）
A、甲
B、目
C、田
D、日
7、偶数与正整数哪个多？（D ）
A、无法确定
B、正整数
C、偶数
D、一样多
8、数列极限趋于0的直观定义的弱点是下面哪一点？（ C）
A、骂人不带脏字
B、过于代数化
C、缺乏可操作性
D、没提到0
9、课程中费曼的故事告诉我们懂得一件事情最重要的是下面列出的哪一条？（ C）
A、大象比茶杯高
B、记得数字
C、找到感觉
D、恐龙24英尺高
10、超弦理论中蜷缩的空间可以用下面那个空间来描述（ B）
A、Euclid空间
B、Calabi-Yau空间
C、Minkowski空间
D、Hilbert空间
第一单元思考题
1、哈密顿周游世界问题
这是以英国数学家哈密顿名字命名的一个游戏，在一个正十二面体的二十个顶点（为什么是二十个顶点）上分别标上一个城市名，问可否设计一条路线，沿着正十二面体不重复周游二十个城市（如图），为什么？
解，如图所示
图中所示的路线就可以实现不重复周游二十个城市。

2、（如图）一个黑白相间的8*8的国际象棋棋盘，去掉左上角和右下角的两个白颜色的格子，给31多米诺骨牌，骨牌的大小正好盖住两个格子，那我们可否用这31骨牌盖住整个棋盘呢？
1、不可以，31骨牌能盖住62个格子，其中一定是31个黑格子和
31个白格子；而棋盘除掉两个角后，也是剩下62个格子，但是其
中有32个黑格子，30个白格子； 3、所以骨牌不能将黑格子盖完，
即不能盖住剩下的整个棋盘。

第二单元客观题
1、下面哪一位人物用穷竭法证明了圆的面积与其直径平方成正比？（ D）
A、徽
B、欧几里得
C、阿基米德
D、欧多克索斯
2、以下什么成果是阿基米德首先得到的?（C )
A、圆的面积与其直径的平方成正比
B、穷竭法
C、抛物线弓形的面积
D、圆周率的值
3、阿基米德求几何级数的和用的是什么方法？（ C）
A、平衡法
B、穷竭法
C、几何的方法
D、代数的方法
4、欧多克索斯、阿基米德和徽等人对微积分的贡献主要体现在什么方面？（C ）
A、函数
B、不定积分
C、定积分
D、微分学
5、《一种发展连续不可分量的新几何学的方法》是下列哪位数学家的著作？（C ）
A、伽利略
B、开普勒
C、卡瓦列里
D、牛顿
6、现在我们一直在用的“函数（function）”这个词是谁引进的？（ C）
A、牛顿
B、费马
C、莱布尼兹
D、卡瓦列里
7、本课程提到的最美的风景点是指？（ C）
A、流数术
B、不可分量
C、牛顿-莱布尼兹公式
D、加百列号角
8、一直沿用至今的ε-δ语言是哪位数学家引入的？（ C）
A、康托尔
B、牛顿
C、尔斯特拉斯
D、傅立叶
9、康托尔所创立的什么理论是实数以至整个微积分理论体系的基础？（C ）
A、群论
B、虚数理论
C、集合论
D、量子理论
10、下面关于黎曼可积和勒贝格可积的论述那一项是正确的？（ C）
A、两种积分函数类都是不完备的
B、黎曼可积函数类是完备的，勒贝格可积函数类是不完备的
C、黎曼可积函数类是不完备的，勒贝格可积函数类是完备的
D、两种积分函数类都是完备的
第二单元客观题
1、试用阿基米德的方法求下面几何级数的和。

2、计算下述问题并解释。

计算加百列号的表面积与体积，并解释为何在这个号角里面灌满油漆，油漆的体积是有限的，但它却能够涂满无限的表面积？
3、举例说明黎曼积分中积分号和极限号有时不可交换，并给出可交换时需要的条件。

第三单元客观题
1、下列四个定义中，哪个不能作为Rn中的度量(距离)？（ D）
A、
B、
C、
D、
2、度量的三个基本属性中不包括下列哪一个？（ D）
A、三角不等式
B、对称性
C、正定性
D、连续性
3、下列关于度量和数的说法中正确的是？（ A）
A、由距离可以定义数，但由数不可以定义距离
B、由数可以定义距离，但由距离不可以定义数
C、由数不可以定义距离，由距离也不可以定义数
D、由数可以定义距离，由距离也可以定义数
4、下列说法中不正确的是？
对，若为的数，则下列说法中不正确的是？（）
A、对，,有
B、对，有
C、若为实数，则有
D、若，则
5、以下现象可以用什么原理来解释？
在三维空间中，波的传播有清晰的前后阵面，但是在二维空间中却没有（）
A、惠更斯原理
B、叠加原理
C、泊理
D、达朗贝尔原理
6、下列选项中正确的是？
以下向量组中哪个不能构成的基向量（）
A、（0，1，1），（2，1，1），（1，0，0）
B、（1，0，-1），（2，1，1），（1，1，1）
C、（0，1，1），（-1，1，0），（1，2，1）
D、（1，0，0），（0，1，1），（0，0，1）
7、下列哪个选项是正确的？
若向量a=（1，0，5，2），b=（3，-2，3，-4），c=（-1，1，t，3）线性相关，那么t的值为？（）
A、1
B、2
C、4
D、3
8、下列选项正确的是？
向量和的夹角为？（）
A、 B、 C、 D、
9、下列说法哪一个是正确的？
向量组线性无关的充分必要条件是？（）
A、齐次线性方程组只有零解
B、齐性线性方程组有非零解
C、齐性线性方程组有无穷多个非零解
D、齐性线性方程组有不唯一解
10、下列哪个属性不是积所具有的？（）
A、三角不等式
B、对称性
C、对第一个变元的线性性
D、正定性
第三单元思考题
1、试验证下列问题
给定一个集合，试验证下面两个集族是否构成集合M上的拓扑？
1).
2).
2、验证下述问题。

随着网络的迅速发展，人们越来越多的使用联系和交流。

试通过任意两人之间在一段时间的交流的次数来定义一个距离，使得交流多的距离近，交流少的距离远，并验证它满足度量（距离）的三条属性。

第四单元客观题
1、函数ƒ (x)=x2+5x+4在实数域上的不动点是什么？（ B）
A、-4；
B、-2；
C、-1；
D、0。

2、假如你正在一个圆环形（注意是圆环形）的公园游玩，手里的公园地图不小心掉到了地上，问此时地图上是否有一点，使得这个点下面的地方刚好就是它在地图上所表示的位置？（ A）
A、有；
B、没有；
C、不确定。

3、慢慢搅动咖啡，当它再次静止时，问咖啡中是否有一点在搅拌前后位置相同？（ A）
A、有；
B、没有；
C、不确定。

4、定义在[0,1]上的连续函数空间是几维的？（ D）
A、1维；
B、3维；
C、11维；
D、无限维。

5、若把一圆周绕着圆心旋转90°，问在圆周上是否有不动点？（A ）
A、有；
B、没有；
C、不确定。

6、美籍法裔经济学家G. Debreu由于什么贡献而获得了1983年的诺贝尔经济学奖？（C ）
A、创立了一般均衡理论；
B、在非合作博弈的均衡理论方面做出了开创性贡献；
C、运用不动点理论进一步发展了一般均衡理论；
D、对资产价格的实证分析。

7、下列哪种体现了压缩映像的思想？（ D）
A、搅动咖啡；
B、显微成像；
C、压缩文件；
D、合影拍照。

8、电影“A beautiful mind”中男主人公的原型既是一位经济学家，又是一位大数学家，他的名字是？（B ）
A、G. Debreu；
B、J.F. Nash；
C、L.V. Kantorovich；
D、Adam Smith。

9、假如你正在一个圆形的公园游玩，手里的公园地图不小心掉到了地上，问此时你能否在地图上找到一点，使得这个点下面的地方刚好就是它在地图上所表示的位置？（ A）
A、能；
B、不能；
C、不确定。

10、下列述哪一项是正确的？（B ）
A、任意维空间中的有界无穷集合必有收敛子列；
B、有限维空间中的有界无穷集合必有收敛子列，无穷维则不然；
C、任意维空间中的有界无穷集合不一定有收敛子列；
D、无穷维空间中的有界无穷集合必有收敛子列，有穷维则不然。

第四单元思考题
1、试述均衡的方法。

假设消费者甲有6辆自行车，0台计算机，消费者乙有3辆自行车，6台计算机。

甲和乙都想1/2用于自行车，1/2用于计算机，请找到一种定价方式使之达到供求均衡？
解：设自行车定价为X,计算机定价为Y.并设最终甲有自行车k辆，计算机L台，则乙最终有自行车9-k辆计算机6-L台.
基于条件可列如下等式：
对甲：6X=kX+LY;kX=LY=6X*1/2;
得到k=3,L=3X/Y.
对乙：3X+6Y=(9-k)X+(6-L)Y;(9-k)X=(6-L)Y=(3X+6Y)*1/2;
代入k=3得L=2,3X=2Y.可记X=2t,Y=3t(t>0).
综上所述，在自行车定价为2t计算机定价3t条件下可使供求
达到平衡.此时，甲有自行车3辆计算机2台，
乙有自行车6辆计算机4台。

2、（双煎饼问题）有两形状任意的煎饼，任意重叠在一起，问能够一刀切下去，同时将两煎饼二等分吗，如果能，请说明理由。

解：能。

（以下把煎饼抽象成平面上的封闭凸域）
理由如下：
先给个简单小引理：即对一个煎饼，不论相对
形状如何，必可切一刀，使它面积二等分。

（请见
附件咯）
再应用连续函数的介值定理即可（对于凹域可
以转化为多个凸域证明）。

三煎饼问题证明（不重叠情形）：
如图（请见附件），在两封闭凸域P,Q间任取一点
O，作一水平轴作参考系，将0X逆时针旋转到OX0 与两图形相交。

证明过程请见附件
第五单元客观题
1、拟微分算子在20世纪60年代成为了一种系统的数学理论，它的集大成者为下列哪位数学家？（ A）
A、L.Hormander；
B、A.Calderon；
C、Shing-Tung Yau；
D、H.Cartan.
2、有一段声乐可以用y=a sin(bt)来表示，那么这段声乐的音量是由其中哪个数值决定的（ A）
A、a；
B、b；
C、ab；
D、a/b。

3、间断函数能不能由Fourier级数表出？（C ）
A、无法确定；
B、不能；
C、能。

4、式子的值为？（A ）
A、0；
B、1；
C、-1；
D、π。

5、一个音叉振动的位移与时间的关系式为y=0.01sin400πt，那么这个音叉的振动的振幅和频率分别为？（ A）
A、0.01，200 ；
B、0.01，400；
C、0.02，200 ；
D、0.02，400。

6、频率表示的是物体每单位时间（每秒）振动的次数，它是以什么为单位的？（A ）
A、赫兹；
B、库仑；
C、特斯拉；
D、欧姆。

7、光的三原色是什么？（D ）
A、红蓝黄；
B、蓝绿黄；
C、红绿黄；
D、红蓝绿。

8、下列哪个著作可视为调和分析的发端？（ B）
A、《自然哲学的数学原理》；
B、《热的解析理论》；
C、《代数几何原理》；
D、《几何原本》。

9、振动快的波相对于振动慢的波称为什么波？（ B）
A、低频波；
B、高频波。

10、分数阶导数可以由什么理论来定义？（ B）
A、不动点原理；
B、Fourier分析；
C、泰勒级数；
D、超弦理论。

第五单元思考题
1、 f(x)是周期为的函数，且
写出f(x)的Fourier级数
其中Fourier系数
a.求出an（满分25分）
b.求出bn（满分25分）
2、求调制信号的表达式。

如果载波信号为，调制信号为，那么经过调幅后的已调波的表达式
其中，k是一个比例常数。

试用上面给出的调幅信号的表达公式来求解以下问题：
已知一个载波信号为，经过调制后的已调波为
，假设比例常数k=1，求调制信号的表达式。

第六单元客观题
1、皮亚诺曲线是一条填满正方形的曲线，那么它的相似维数是多少呢？（B )
A、1
B、2
C、3
D、ln4/ln3
2、科克曲线的Hausdorff维数是多少？（C）
A、1
B、2
C、ln4/ln3
D、4/3
3、一个外径为3，径为2的圆环的Hausdorff维数是多少？（ C）
A、1
B、3/2
C、2
D、ln3/ln2
4、下列和混沌与分形最不相关的是？（ A）
A、三角初等函数；
B、尤利亚集；
C、曼德勃罗集；
D、科克曲线。

5、费根鲍姆（Feigenbaum）在研究混沌理论时，发现前两个分叉点参数距离是后两个分叉点参数距离的4.669...倍，这个现象说明了？（ B）
A、长期天气不可预测；
B、非线性系统造成的混沌中有一定规律；
C、混沌现象不可捉摸；
D、偶然发现，不说明什么。

6、若，那么a是周期为多少的点呢？（C ）
A、1；
B、2；
C、3；
D、4。

7、具体到每时每刻的长期天气预报是可能的吗，为什么？（ A）
A、不可能，由于蝴蝶效应；
B、可能，不解释；
C、可能，人定胜天；
D、不可能，因为科学不够发达。

8、蝴蝶效应指的是初始值的微小变化可以极影响结果，可以用于股票、天气等一段时间难以预测的复杂系统中，那么蝴蝶效应来源于谁的发现呢？（A ）
A、洛伦兹；
B、牛顿；
C、笛卡尔；
D、欧几里得。

9、科克曲线所围的图形面积是有限的吗？（ A）
A、有限；
B、无限；
C、不确定；
D、其他。

10、为了使肺泡与空气有更多的接触面，人的肺泡结构十分复杂，其表面的Hausdorff维数是多少呢？（D ）
A、1；
B、2；
C、3；
D、接近于3。

第六单元思考题
1、试做下述练习题。

设生成科克曲线(Koch curve)的初始三角形为边长为1的单位正三角形。

(i) 试求出科克曲线所围图形的面积；
(ii) 证明科克曲线长度为无穷大。

图形的一部分，依此画下去
当n趋于无穷时，
2、试求此康托尔集的Hausdorff维数。

将封闭的[0,1]区间3等分,删去中间的开区间(1/3,2/3)，然后把剩下的2个闭区间[0,1/3]，[2/3,1]再3等分，并删去中间的2个开区间，即(1/9,2/9)，(7/9,8/9)，如此继续下去，
自然有些点永远删不去，比如1/3,2/3等，这些点的集合称为康托尔(Cantor)集。

试求此康托尔集的Hausdorff维数.
回答：
1.将封闭的[0,1]区间3等分,删去中间的开区间(1/3,2/3)是其中的一份，剩下的是
其中的两份，并按照此法继续下去，根据相似性维数的定义把对象在长度上缩小成员对象的1/3，并取其中图形的2个相似图形组成新图形，可得康托尔集的Hausdorff 维数D=log2/log3
2.把剩下的2个闭区间[0,1/3]，[2/3,1]再3等分，并删去中间的2个开区间，即
(1/9,2/9)，(7/9,8/9)，分法上次一样依此继续下去，都能得到康托尔集的Hausdorff 维数D=log2/log3。