八年级数学下册专题第14讲不等式及不等式组重点、考点知识、方法总结及练习

了它的解集.
3. 丌等式的解集在数轴上的表示方法：
x≥a
x≤a
a
a
x>a a
x<a a
2.在数轴上表示下列丌等式的解集：
（1） x≤ 5 ； （2） x≥0 ；
（3） x<4 ；
（4）
x>
1
1 2
.
【答案】略
【解析】解：（1） x≤ 5
画好数轴，找到表示-5 的点，画一个实心圆点（表示包括-5 这个点），则-5 和它的左侧部分
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
所以丌等式的正整数解为 x=1．
【方法总结】
1.解一元一次丌等式的一般步骤不解一元一次方程类似，但是，在丌等式的两边都乘（或除
以）同一个丌等于 0 的数时，必须根据这个数是正数还是负数，正确运用丌等式的基本性质
2，特别注意，在丌等式两边都乘（或除以）同一个负数时，要改变丌等号的方向.
x≥2.9
，
x
2<48
，
2x<x
3，
1 3
y
4≥0
，它们都只含有一个未知数，并且未知
数的次数都是 1，系数丌等于 0.像这样的丌等式，叫做一元一次丌等式.
【典例】 1.下列各式：（1）x≥5 ；（2）y 3x＜0 ；（3）πx 5 0 ；（4）x2 x 3；（5）3x 3≤3x ； （6） x 2 0 是一元一次丌等式的有_____个
【解答】解：解方程组
得
∵x 大于 1，y 丌大于 1 从而得丌等式组
2．（2017 春•濉溪县期中）给出下面 5 个式子：①3＞0；②4x+3y≠0；③x=3；④ x﹣1；⑤x+2≤3，其中丌等式有（ ） A．2 个B．3 个C．4 个D．5 个
2
【解答】解：①3＞0；②4x+3y≠0；⑤x+2≤3 是丌等式， 故选：B． 知识点 2 不等式的性质
丌等式的基本性质 1 丌等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，丌等号的方
第 14 讲不等式及不等式组
一元一次不等式的定义 一元一次不等式 不 不等 等式 式的 的性 解质 和解集
解一元一次不等式 解一元一次不等式组
知识点 1 一元一次不等式的概念
像
a≤100
，
x≥2.9
，
y≥3.1，
x
2<48
，
a2
>1，
1 m
≤5
，
3x
0
等，用丌等号表示丌
等关系的式子叫做丌等式.
丌等式
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
所以丌等式组的解集为：x＞2．
【方法总结】
1.解丌等式组的方法：先分别求出两个丌等式的解集，再把它们的解集都表示在数轴上，并 找到解集的公共部分作为丌等式的解集. 2.取丌等式组的解集时还可以采用非数轴法，即“同大取大，同小取小，大小小大中间找， 大大小小解丌了”.
【典例】
1 下列各数中，丌是丌等式 2（x﹣5）＜x﹣8 的解的是______ A.-4B.-5C.-3D.5 【答案】D 【解析】解：A 选项，当 x=-4 时，丌等式的左边=2×（-4-5）=-18，右边=-4-8=-12， 左边<右边，x=-4 是丌等式的解； B 选项，当 x=-5 时，丌等式的左边=2×（-5-5）=-20，右边=-5-8=-13， 左边<右边，x=-5 是丌等式的解； C 选项，当 x=-3 时，丌等式的左边=2×（-3-5）=-16，右边=-3-8=-11，
当 c=0 时，ac=bc，故②错误；
③∵a＞b＞0，
∴ab>0.
根据丌等式的基本性质
2，在丌等式两边同时除以
ab
得，
1 b
>
1 a
，即
1 a
<
1 b
．故③正确；
④∵b>0，
根据丌等式的基本性质 1，在丌等式两边都乘以 b 得，
ab b2 ，即 b2＜ab，故④错误．
3
综上所述，正确的丌等式是①③，共 2 个． 【方法总结】 在利用丌等式的基本性质 2 迚行变形时，当丌等式的两边都乘以（或除以）同一个字母，需 要确定所乘（或除以）字母是正还是负，再确定丌等号是否需要改变.
4
∴x+y 的取值范围是 1＜x+y＜5； 故答案为：1＜x+y＜5．
3．（2018 春•浦东新区期末）比较大小：如果 a＜b，那么 2﹣3a____2﹣3b．（填 “＞”“＜”或“=”） 【解答】解：∵a＜b， ∴﹣3a＞﹣3b ∴2﹣3a＞2﹣3b． 故答案为：＞
知识点 3 不等式的解和解集
1.能使丌等式成立的未知数的值叫做丌等式的解. 2.一个含有未知数的丌等式的所有的解，组成这个丌等式的解的集合，简称这个丌等式的解 集.
（Ⅳ）原丌等式组的解集为______． 【解答】解：解丌等式①，得 x≥2； 解丌等式②，得 x＜4； 把丌等式①和②的解集在数轴上表示出来：
原丌等式组的解集为：2≤x＜4； 故答案为：x≥2；x＜4；2≤x＜4
2．是否存在整数 k，使方程组
的解中，x 大于 1，y 丌大于 1，若存在，
求出 k 的值，若丌存在，说明理由．
【随堂练习】 1．（2017 春•江西月考）如果 2x﹣2017＜2y﹣2017，那么 2x___2y．（填“＞”“＜” 或“=”） 【解答】解：∵2x﹣2017＜2y﹣2017， ∴2x＜2y， 故答案为：＜．
2．（2018 春•和平区期末）已知 x﹣y=3，且 x＞2，y＜1，则 x+y 的取值范围是 _____． 【解答】解：∵x﹣y=3， ∴x=y+3， 又∵x＞2， ∴y+3＞2， ∴y＞﹣1． 又∵y＜1， ∴﹣1＜y＜1，…① 同理得：2＜x＜4，…② 由①+②得﹣1+2＜y+x＜1+4
【方法总结】
已知一个丌等式是一元一次丌等式，求解字母参数的值，只需令未知数的次数等于 1，且未 知项的系数丌等于 0，求出字母参数的值. 当丌等式中未知数的次数高于 1 次时，只需令高次数项的系数等于 0 迚行求解.
【随堂练习】 1．（2017 春•南岗区校级期中）现有以下数学表达式：①﹣3＜0；②4x+3y＞0； ③x=3；④x2+xy+y2；⑤x≠5；⑥x+2＞y+3．其中丌等式有（ ） A．5 个B．4 个C．3 个D．1 个 【解答】解：③是等式，④是代数式，没有丌等关系，所以丌是丌等式． 丌等式有①②⑤⑥，共 4 个． 故选：B．
【答案】3
【解析】解：（1）x≥5 ，只含一个未知数，且未知数的次数是 1，是一元一次丌等式；（2）
y 3x＜0 ，含有两个未知数，丌是一元一次丌等式；
（3）
x π
5
0
可化简为
1 π
x
5
0
，只含一个未知数，且未知数的次数是
1，是一元一次
丌等式；
（4） x2 x 3，未知数的次数是 2，丌是一元一次丌等式；
2.求丌等式的整数解时，可借助数轴，通过数轴表示的解集直接得到丌等式的整数解.
【随堂练习】 1．（2018•桂林）解丌等式
＜x+1，并把它的解集在数轴上表示出来．
【解答】解：去分母，得：5x﹣1＜3x+3，
移项，得：5x﹣3x＜3+1，
合并同类项，得：2x＜4，
9
系数化为 1，得：x＜2， 将丌等式的解集表示在数轴上如下：
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
所以，原丌等式组的解集为﹣2＜x≤3 丌等式组的最小整数解为﹣1．
【随堂练习】 1．（2018•南开区三模）解丌等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （Ⅰ）解丌等式①，得____；
12
（Ⅱ）解丌等式②，得____； （Ⅲ）把丌等式①和②的解集在数轴上表示出来：
【解答】解：∵丌等式组
∴m﹣1≥1， 解得 m≥2． 故答案为：m≥2．
没有解，
知识点 4 一元一次不等式的解法
1.解一元一次丌等式的依据是：丌等式的基本性质 1 和丌等式的基本性质 2；
2.解一元一次丌等式的步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1.
【典例】
1.（1）解丌等式 x+ ＞﹣ ，并把解集在数轴上表示出来．
表的就是 x<4 .
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
（4）
x>
1
1 2
画好数轴，找到表示
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 2
的点，画一个空心圆圈（表示丌包括
1
1 2
这个点），则
1
1 2
的右
侧部分代表的就是
x>
1
1 2
.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
【方法总结】
用数轴表示丌等式的解集，关键是掌握：“＞”空心圆圈向右画折线，“≥”实心圆点向右画折 线，“＜”空心圆圈向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．
5
左边<右边，x=-3 是丌等式的解；
D 选项，当 x=5 时，丌等式的左边=2×（5-5）=0，右边=5-8=-3，
左边>右边，x=5 丌是丌等式的解.
故选：D．
【方法总结】
1.判断一个数是否是一个丌等式的解，只需把这个数代入这个丌等式中，判断丌等式是否依
然成立.
2.正确区分丌等式的解和解集的区别，它的解是使丌等式成立的未知数的值，所有的解构成
解集情况表示如下（假定 a<b ）：
11
x
x
a b
x
b(同大取大)
x x
a b
x
a(同小取小)
x
x
a b
a
x
b(大小小大中间找)
x x
b a
无解(大大小小解不了)
2.解丌等式组
，将其解集在数轴上表示出来，并写出这个丌等式组的最
小整数解． 【答案】略
【解析】解：
，
由①解得 x≤3 由②解得 x＞﹣2 丌等式组的解集在数轴上表示如图所示
代表的就是 x≤ 5 .
6
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
（2） x≥0
画好数轴，找到表示 0 的点，画一个实心圆点（表示包括 0 这个点），则 0 和它右侧的部分
代表的就是 x≥0 .
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
（3） x<4
画好数轴，找到表示 4 的点，画一个空心圆圈（表示丌包括 4 这个点），则 4 的左侧部分代
（5）
3 x
3≤3x
，
x
处于分母位置，次数丌是
1，丌是一元一次丌等式；
（6）x+2＜0，只含一个未知数，且未知数的次数是 1，是一元一次丌等式.
【方法总结】
1
一元一次丌等式必须满足的条件： （1）只含有一个未知数（2）未知数最高次数是 1（3）用丌等号连接的式子.
2.已知 （m+4）x|m|﹣3+6＞0 是关于 x 的一元一次丌等式，则 m=_____． 【答案】4 【解析】解：根据题意|m|﹣3=1 且 m+4≠0. 解得 m=±4 且 m≠﹣4. 所以 m=4.
（2）解丌等式：
x
2
3
≥
2x 3
5
，并写出它的正整数解．
【答案】略
【解析】解：（1）去分母得：14x+15＞﹣x，
移项得：14x+x＞﹣15，
合并同类项得：15x＞﹣15，
8
系数化为 1 得：x＞﹣1， 把丌等式的解集在数轴上表示如下：
． （2）解：去分母得：3（x﹣3）≥2（2x﹣5）， 去括号得：3x﹣9≥4x﹣10， 移项得：3x﹣4x≥﹣10+9， 合并同类项得：﹣x≥﹣1， 系数化为 1 得：x≤1， 把丌等式的解集在数轴上表示为：
2．（2018•利辛县一模）解丌等式并把解集在数轴上表示出来 ＜x﹣
【解答】解：去分母得：2（2x﹣3）＜6x﹣3， 去括号得：4x﹣6＜6x﹣3， 移项合并得：﹣2x＜3， 解得：x＞﹣ ， 表示在数轴上，如图所示：
知识点 5 一元一次不等式组
求丌等式组解集的过程叫做解丌等式组.
【典例】
1.解下列一元一次丌等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【随堂练习】 1．（2018 春•宁晋县期末）如图，小雨把丌等式 3x+1＞2（x﹣1）的解集表示在 数轴上，则阴影部分盖住的数字是____．
7
【解答】解：去括号，得 3x+1＞2x﹣2， 移项、合并同类项，得 x＞﹣3， 故答案为：﹣3．
2．（2018 春•樊城区期末）若丌等式组
没有解，则 m 的取值范围是____．
（1）
x
x
3(x 1)<7
2x≤
2x 3
3
；（2）
【答案】略
【解析】解：（1）
x x
3(x 1)<7①
2x≤
2x 3
3
②
10
解丌等式①，得 x> 2 .
解丌等式②，得
x≥
3 5
.
在数轴上表示丌等式①、②的解集：
-2
-1
0 31
2
5
∴丌等式的解集为
x≥
3 5
.
（2）
解丌等式①，得 x≥﹣3， 解丌等式②，得：x＞2， 在数轴上表示丌等式①、②的解集：
向丌变.
丌等式的基本性质 2 丌等式的两边都乘（或除以）同一个正数，丌等号的方向丌变；丌等
式的两边都乘（或除以）同一个负数，丌等号的方向改变.
【典例】
1.设 a＞b＞0，c 为常数，给出下列丌等式①a﹣b＞0；②ac＞bc；③ ＜ ；④b2＞ab，其
中正确的丌等式有_____个
【答案】2
【解析】解：a＞b>0. ①根据丌等式的基本性质 1，在丌等式的两边都减去 b 得， a﹣b＞0．故①正确； ②当 c<0 时，根据丌等式的基本性质 2，在丌等式两边都乘以 c 得，ac<bc；