九年级数学下册3_8圆内接正多边形正多边形和圆课标解读素材新版北师大版

正多边形和圆

课标解读

一、课标要求

正多边形和圆一节包括一个例题、一个画图，都是正多边形和圆之间的关系．《义务教育数学课程标准（2011年版）》对正多边形和圆一节提出了具体的教学要求，本小节的教学要求是：

1．了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系．

2．能用尺规完成作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和正六边形．

二、课标解读

正多边形是生活中常见的图形，因此正多边形的有关计算在生活中经常用到．圆的许多性质，比较集中地反映了事物内部量变与质变、一般与特殊、矛盾的对立统一等关系．由于正多边形与圆有着密切的联系，所以可以应用圆的有关知识来研究正多边形的问题．正多边形是一种特殊的多边形，在生产和生活中有着广泛的应用，它有一些类似于圆的性质．例如正多边形的边数越多，它的周长就越接近圆的周长，它的面积就越接近圆的面积．又如，圆有独特的对称性，它不仅是轴对称图形、中心对称图形，而且它的任意一条直径所在直线都是它的对称轴，绕圆心旋转任意一个角度都能和原来的图形重合．而正多边形

也是轴对称图形，正n边形有n条对称轴；而且绕中心每旋转一个中心角，都能和原来的图形重合，这是正n边形的旋转对称性；当n为偶数时，它也是中心对称图形．

本小节需要学习的内容是：

1．了解正多边形的对称性，正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数等于正多边形的边数；正多边形都是旋转对称图形，旋转中心是圆心，旋转的最小角度等于正多边形的中心

角；正偶数边形是中心对称图形．

由于学生对轴对称图形、中心对称图形的概念比较熟悉，通过操作、思考来解答课本中提出的问题一般不会感到困难，所以，教学中要发挥学生的主体作用，通过学生的独立思考、实践自主解决．

2．学生应该掌握正多边形的中心、中心角、半径、边心距等有关概念，如图，会计算

正多边形的中心角、边长、边心距、半径、周长和面积．这些概念与正多边形的外接圆关系密切，是进行与正多边形有关计算的基础．

3．由于正多边形在生产和生活中有着广泛的应用，因此很多时候需要画正多边形．会利用等分圆周法画正多边形，利用量角器或直尺和圆规画图，把圆分成相等的一些弧，就可以得到这个圆的内接正多边形．利用量角器可以画任意正多边形，而利用直尺和圆规只能作特殊的正多边形．等分圆周方法画正多边形体现了正多边形与圆的关系；尺规作图画正多边形体现了一些特殊的正多边形的性质．

例如，在⊙O中用不同的方法画圆的内接正三角形．如图：

图 1 图 2 图3

作法：度量法①：如图1，作半径OA，用量角器或30°角的三角板度量，使∠1=∠2=30°．度量法②：如图2，用量角器度量，使圆心角∠AOB=∠BOC=∠COA=120°．

尺规作图法：用圆规在⊙O上顺次截取6条长度等于半径的弦，间隔顺次连接其中的AB、BC、CA即可．

利用直尺和圆规只能作特殊的正多边形，如正方形、正三角形、正六边形，如图．

用尺规作图的方法画圆的内接正方形，只要作出已知⊙O的互相垂直的直径，就可以把圆四等分，从而作出圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与⊙O相交，或作各中心角的角平分线与⊙O相交，即可以作出圆内接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形、……．

4．正多边形的有关计算是本节的重点内容，这些计算都是几何中的基础知识，正确掌握它们要综合运用以前所学的知识，这些知识在生产和生活中也常用到．本节教学难点在学生对正n边形中“n”的接受和理解上．学生对三角形、四边形、圆等具体图形比较习惯，对于泛指的n边形并不习惯．为了降低难度，涉及的证明、计算等问题都结合具体的多边形为例，教学时要注意把这种针对具体图形的结论和方法推广，使学生实现由具体到抽象、特殊到一般的认识上的飞跃，提高学生的思维能力．