九年级上册数学《圆》正多边形和圆_知识点整理
九年级上册数学《圆》正多边形和圆知识点整理
正多边形和圆一、本节学习指导本节我们重点了解正多边形的各种概念和性质，在命题中正多边形经常和三角形、圆联合命题，部分地区也会以这部分综合题作为压轴题。
二、知识要点1、正多边形（1）、正多边形的定义各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
如：正六边形，表示六条边都相等，六个角也相等。
（2）、正多边形和圆的关系只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。
（3）、正多边形的中心正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
（4）、正多边形的半径正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。
（5）、正多边形的边心距正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。
（6）、中心角正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。
2、正多边形的对称性（1）、正多边形的轴对称性正多边形都是轴对称图形。
一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。
（2）、正多边形的中心对称性边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。
（3）、正多边形的画法先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。
24.3正多边形和圆一、填空题1． 在一个圆中，如果︒60的弧长是π，那么这个圆的半径r=_________.2． 正n 边形的中心角的度数是_______.3． 边长为2的正方形的外接圆的面积等于________.4． 正六边形的内切圆半径与外接圆半径的比等于_________.二、选择题5．正多边形的一边所对的中心角与该正多边形一个内角的关系是（ ）.（A ） 两角互余 （B ）两角互补 （C ）两角互余或互补 （D ）不能确定6．圆内接正三角形的边心距与半径的比是（ ）.（A ）2：1 （B ）1：2 （C ）4:3 （D ）2:37．正六边形的内切圆与外接圆面积之比是（ ）（A ）43 （B ）23 （C ）21 （D ）41 8．在四个命题：（1）各边相等的圆内接多边形是正多边形；（2）各边相等的圆外切多边形是正多边形；（3）各角相等的圆内接多边形是正多边形；（4）各角相等的圆外切多边形是正多边形，其中正确的个数为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）49．已知：如图48-1，ABCD 为正方形，边长为a ，以B 为圆心，以BA 为半径画弧，则阴影部分面积为（ ）.（A ）（1-π）a 2 （B ）1-π（C ）44π- （D ）44π-a 21. 3；2. n o360；3. ∏2；4. 2:3； DBABD。
正多边形和圆—知识讲解(基础)
正多边形和圆—知识讲解（基础）【学习目标】1.了解正多边形和圆的有关概念及对称性；2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形；3.会进行正多边形的有关计算.【要点梳理】知识点一、正多边形的概念各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．要点诠释：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).知识点二、正多边形的重要元素1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．2.正多边形的有关概念(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．3.正多边形的有关计算(1)正ｎ边形每一个内角的度数是；(2)正ｎ边形每个中心角的度数是；(3)正ｎ边形每个外角的度数是.要点诠释：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.知识点三、正多边形的性质1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.4.边数相同的正多边形相似。
它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆要点诠释：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形.知识点四、正多边形的画法1.用量角器等分圆由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.2.用尺规等分圆对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.①正四、八边形。
九年级上册数学书圆的知识点总结
九年级上册数学书中圆的知识点总结1. 圆的概念：圆是一个由曲线包围的形状，它由一个中心点（称为圆心）和到这个中心的固定距离（称为半径）的所有点组成。
这个形状可以看作是线段OA 绕着它的一个端点O旋转一周后，另一个端点A所形成的轨迹。
2. 圆心和半径：在同一个圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦长度相等，所对的弧长度相等，所对的弦的弦心距（即从圆心到弦的垂线段的长度）也相等。
这个规律是由于圆本身的性质决定的，它反映了圆的一个重要特性。
3. 弧、弦的关系：在同一个圆或等圆中，同一条弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
这个规律在证明一些几何定理时非常有用，它帮助我们理解圆中的角度和线段之间的关系。
4. 垂径定理：如果一条直径垂直于一条弦，那么这条直径会平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
这个定理是圆中一个重要的定理，它在证明一些与弦有关的定理时非常有用。
5. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
这个定理是圆中一个基本的定理，它帮助我们理解圆中的角的关系。
6. 切线：切线是指与圆只有一个公共点的直线。
这个公共点称为切点。
切线在几何学中有着重要的应用，它可以用来证明一些关于圆的定理。
7. 切线定理：垂直于过切点的半径的直线是圆的切线。
这个定理帮助我们判断哪些直线是圆的切线，以及如何找到圆的切线。
8. 三角形的外接圆与外心：任何一个三角形都有一个外接圆和外心。
外接圆的半径等于三角形外心的半径。
这个知识点帮助我们理解三角形的性质以及如何找到三角形的外接圆和外心。
9. 圆与正多边形：正多边形的各边长度都相等，各内角也相等。
这个知识点可以帮助我们理解正多边形的性质以及如何计算它们的面积和周长。
10. 反证法：在证明一个几何命题时，如果直接证明有困难，可以先假设命题不成立，然后推导出与已知事实或已证明的定理矛盾的结果，从而证明假设不成立，命题得证。
反证法是一种有效的证明方法，它在几何学中经常被使用。
正多边形和圆知识点整理典型例题课后练习
个性化辅导教案学生姓名： 授课教师： 所授科目：学生年级: 上课时间： 2016 年 月 日 时 分至 时 分 共 小时教学标题 正多边形和圆教学重难点知识梳理：1、正多边形：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形。
2、正多边形的外接圆：一个正多边形的各个顶点都在圆上，我们就说这个圆是这个正多边形的外接圆。
把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做这个正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
正n 边形每一个内角的度数为：()2180n n-⨯︒正n 边形的一个中心角的度数为：360n︒正多边形的中心角与外角的大小相等。
3、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角和相等，都是180°。
4、圆内接正n 边形的性质（n ≥3，且为自然数）：(1) 当n 为奇数时，圆内接正n 边形是轴对称图形，有n 条对称轴；但不是中心对称图形。
(2) 当n 为偶数时，圆内接正n 边形即是轴对称图形又是中心对称图形，对称中心是正多边形的中心，即外接圆的圆心。
5、常见圆内接正多边形半径与边心距的关系：(设圆内接正多边形的半径为r ，边心距为d) （1）圆内接正三角形：1d 2r =（2）圆内接正四边形：2d 2r = （3）圆内接正六边形：3d 2r = 6、常见圆内接正多边形半径r 与边长x 的关系：（1）圆内接正三角形：3x r = （2）圆内接正四边形：x 2r=（3）圆内接正六边形：x=r7、正多边形的画法：画正多边形一般与等分圆正多边形周有关，要做半径为R 的正n 边形，只要把半径为R 的圆n 等分，然后顺次连接各点即可。
（1）用量角器等分圆周。
（2）用尺规等分圆（适用于特殊的正n 边形）。
8、定理1：把圆分成n(n ≥3)等份：(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n 边形；(2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n 边形。
九年级数学上册圆的知识点总结
九年级数学上册圆的知识点总结一、圆的概念1.圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆（或圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合）。
2.圆心O、半径r、直径d：使圆上任意一点与定点O的距离等于r的动点O叫做圆心，连接圆心与圆上任意一点的线段叫做半径，圆心O与定点A之间的距离叫做直径。
二、圆的性质1.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，所对的弦的弦心距相等。
2.在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
3.半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
4.圆内接四边形的对角互补。
三、垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
四、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
五、点和圆的三种位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：1.d＞r 点P在⊙O外；2.d=r 点P在⊙O上；3.d＜r 点P在⊙O内。
六、直线和圆的三种位置关系设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有：1.d＞r 直线l与⊙O相离；2.d=r 直线l与⊙O相切；3.d＜r 直线l与⊙O相交。
七、正多边形和圆各边相等，各内角都相等的多边形叫做正多边形。
在平面内，各边相等，各内角也都相等的多边形叫做正多边形。
正多边形的外接圆的半径叫做半径；正多边形的中心叫做中心；正多边形的内切圆的半径叫做内心；正多边形的一组邻边的垂直平分线的交点叫做中心。
正n边形的中心角公式：360°/n；正n边形一条边的长度公式：2rsin(180°/n)。
初中数学知识点：正多边形和圆知识点
初中数学知识点：正多边形和圆知识点新一轮的中考复习又开始了，本站编辑为此特为大家整理了正多边形和圆知识点，希望可以帮助大家复习，预祝大家取得优异的成绩~正多边形和圆知识点1、正多边形的定义各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
2、正多边形和圆的关系只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。
典型例题粉笔是校园中最常见的必备品.图1是一盒刚打开的六角形粉笔，总支数为50支.图2是它的横截面(矩形ABCD)，已知每支粉笔的直径为12mm，由此估算矩形ABCD的周长约为_____mm.(，结果精确到1mm)答案：300解析:把图形中的边长的问题转化为正六边形的边长、边心距之间的计算即可.解：作B′M′∥C′D′，C′M′⊥B′M′于点M′.粉笔的半径是6mm.则边长是6mm.∵∠M′B′C′=60°∴B′M′=B′C′?cos60°=6×=3.边心距C′M′=6sin60°=3mm.则图(2)中，AB=CD=11×3=33mm.AD=BC=5×6+5×12+3=93mm.则周长是：2×33+2×93=66+186≈300mm.故答案是：300mm.同步练习题1判断题:①各边相等的圆外切多边形一定是正多边形.( )②各角相等的圆内接多边形一定是正多边形.( )③正多边形的中心角等于它的每一个外角.( )④若一个正多边形的每一个内角是150°,则这个正多边形是正十二边形.( )⑤各角相等的圆外切多边形是正多边形.( )2填空题:①一个外角等于它的一个内角的正多边形是正____边形.[②正八边形的中心角的度数为 ____,每一个内角度数为____,每一个外角度数为____.③边长为6cm的正三角形的半径是____cm,边心距是____cm ,面积是____cm.④面积等于 cm2的正六边形的周长是____.⑤同圆的内接正三角形与外切正三角形的边长之比是____.⑥正多边形的面积是240cm2,周长是60cm2,则边心距是____cm.⑦正六边形的两对边之间的距离是12cm,则边长是____cm.⑧同圆的外切正四边形与内接正四边形的边心距之比是____.⑨同圆的内接正三角形的边心距与正六边形的边心距之比是____.3选择题:①下列命题中,假命题的是( )A.各边相等的圆内接多边形是正多边形.B.正多边形的任意两个角的平分线如果相交,则交点为正多边形的中心.C.正多边形的任意两条边的中垂线如果相交,则交点是正多边形的中心.D.一个外角小于一个内角的正多边形一定是正五边形.②若一个正多边形的一个外角大于它的一个内角,则它的边数是( )A.3B.4C.5D.不能确定③同圆的内接正四边形与外切正四边形的面积之比是( )A.1:B.1:C.1:2D. :1④正六边形的两条平行边间距离是1,则边长是( )A . B. C. D.⑤周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的大小关系是:( )A.S3>S4>S6B.S6>S4>S3C.S6>S3>S4D.S4>S6>S3⑥正三角形的边心距、半径和高的比是( )A.1:2:3B.1: :C. 1: :3D.1:2:四、计算1.已知正方形面积为8cm2，求此正方形边心距 .3.已知圆内接正三角形边心距为 2cm，求它的边长.距长.长.8.已知圆外切正方形边长为2cm ，求该圆外切正三角形半径.10.已知圆内接正方形边长为m，求该圆外切正三角形边长.长.12.已知正方形边长为1cm，求它的外接圆的外切正六边形外接圆的半径.13.已知一个正三角形与一个正六边形面积相等，求两者边长之比.15.已知圆内接正六边形与正方形面积之差为11cm2，求该圆内接正三角形的面积.16.已知圆O内接正n边形边长为an，⊙O半径为R，试用an，R表示此圆外切正n边形边长bn.。
中考正多边形和圆知识点
正多边形和圆知识点学习要求：了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆内接正多边形的方法，能熟练地进行正三角形、正方形、正六边形有关的计算.内容分析：1．正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
2．正多边形与圆的有关定理把圆分成n(n≥3)等份：(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；(2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形；(3)任何正多边形都有一个外接圆与一个内切圆，这两个圆是同心圆。
注意：①依据正多边形与圆的有关定理(1)、(2)，只要能将一个圆分成n(n≥3)等份，就可以得到这个圆的内接正n边形及外切正n边形，想一想，你能否利用直尺和圆规作已知圆的内接(或外切)正三角形、正方形、正六边形、正十二边形；②如何证明任何一个正多边形A1A2A3……A n-1A n都有一个外接圆呢？我们可过A1、A2、A3三点作一个⊙O，分别连结OA1、OA2、OA3，OA4，通过证明△OA1A2≌△OA3A4，得到OA4=OA3=OA2=OA1.从而点A4在⊙O上，同理可证A5、A6……A n-1、A n其余各点也都在⊙O上，则可推出此正多边形有一个外接圆。
想一想，在此基础上如何证明⊙O的圆心O点也是其内切圆的圆心呢？3. 正多边形的其它性质(1)正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心，边数为偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心。
(2)边数相同的正多边形相似。
4. 正多边形的有关计算正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距，正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角。
正n边形的有关计算公式(1)(2)(3)注意：①同一个圆的内接正n边形和外切正n边形是相似形，相似比是圆的内接正n边形边心距与它的半径之比。
人教版初中九年级上册数学课件 《正多边形和圆》圆
解：要使△PCD 的周长最小，即 PC＋PD 的值最小．根
据正多边形的性质，得点 C 关于 BE 的对称点为点 A，连接 AD
交 BE 于点 P，那么有 PC＋PD＝AD 最小．易知四边形 ABCD
为等腰梯形，∠BAD＝∠CDA＝60°.作 BM⊥AD 于点 M，CN
⊥AD 于点 N.∵AB＝2，∴AM＝12AB＝1，∴DN＝AM＝1，∴
能超过( A )
A．12 mm
B．12 3 mm
C．6 mm
D．6 3 mm
3．已知圆内接正三角形的面积为 3，则该圆的内接正六边形的边心距是( B )
A．2
B．1
C． 3
D．
3 2
7
4．【贵州贵阳中考】如图，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O，连接 BD．则∠CBD 的度数是( A )
A．30° C．60°
10
8．【教材P106练习T3变式】如图，正八边 形ABCDEFGH的半径为2，求它的面积．
11
解：连接 AO、BO、CO、AC． ∵正八边形 ABCDEFGH 的半径为 2，∴AO＝ BO＝CO＝2，∠AOB＝∠BOC＝360°×18＝45°，∴∠AOC＝90°，∴AC＝2 2，此时 AC⊥BO，∴S 四边形 ABCO＝12BO·AC＝12×2×2 2＝2 2，∴正八边形 ABCDEFGH 的面 积为 2 2×4＝8 2.
B．45° D．90°
8
5．如图，正六边形 ABCDEF 内接于半径为 4 的圆，则 B、E 两点间的距离为___8___.
9
6．将一个边长为 1 的正六边形补成如图所示的矩形，则矩形的周长等于 ___4_＋__2__3____.(结果保留根号)
43 7．【山东滨州中考】若正六边形的内切圆半径为 2，则其外接圆半径为___3___.
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正多边形和圆
一、本节学习指导
本节我们重点了解正多边形的各种概念和性质，在命题中正多边形经常和三角形、圆联合命题，部分地区也会以这部分综合题作为压轴题。
二、知识要点
1、正多边形
（1）、正多边形的定义
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
如：正六边形，表示六条边都相等，六个角也相等。
（2）、正多边形和圆的关系
只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。
（3）、正多边形的中心
正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
（4）、正多边形的半径
正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。
（5）、正多边形的边心距
正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。
（6）、中心角
正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。
2、正多边形的对称性
（1）、正多边形的轴对称性
正多边形都是轴对称图形。
一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。
（2）、正多边形的中心对称性
边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。
（3）、正多边形的画法
先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。
24.3正多边形和圆
一、填空题
1． 在一个圆中，如果︒60的弧长是π，那么这个圆的半径r=_________.
2． 正n 边形的中心角的度数是_______.
3． 边长为2的正方形的外接圆的面积等于________.
4． 正六边形的内切圆半径与外接圆半径的比等于_________.
二、选择题
5．正多边形的一边所对的中心角与该正多边形一个内角的关系是（ ）.
（A ） 两角互余 （B ）两角互补 （C ）两角互余或互补 （D ）不能确定
6．圆内接正三角形的边心距与半径的比是（ ）.
（A ）2：1 （B ）1：2 （C ）4:3 （D ）2:3
7．正六边形的内切圆与外接圆面积之比是（ ）
（A ）43 （B ）23 （C ）21 （D ）4
1 8．在四个命题：（1）各边相等的圆内接多边形是正多边形；（2）各边相等的圆外切多边形是正多边形；（3）各角相等的圆内接多边形是正多边形；（4）各角相等的圆外切多边形是正多边形，其中正确的个数为（ ）
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
9．已知：如图48-1，ABCD 为正方形，边长为a ，以B 为圆心，以BA 为半径画弧，则阴影部分面积为（ ）.
（A ）（1-π）a 2 （B ）1-π
（C ）
44π- （D ）4
4π-a 2
1. 3；
2. n o
360；3. ∏2；4. 2:3； DBABD。