2019高考数学一轮复习 第2章 函数与基本初等函数 第5课时 二次函数练习 理

第5课时 二次函数1．若函数y ＝(x ＋4)2在某区间上是减函数，则这区间可以是( ) A ．[－4，0] B ．(－∞，0] C ．(－∞，－5] D ．(－∞，4]答案 C2．若二次函数f(x)满足f(x ＋1)－f(x)＝2x ，且f(0)＝1，则f(x)的表达式为( ) A ．f(x)＝－x 2－x －1 B ．f(x)＝－x 2＋x －1 C ．f(x)＝x 2－x －1 D ．f(x)＝x 2－x ＋1答案 D解析 设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a （x ＋1）2＋b （x ＋1）＋c －（ax 2＋bx ＋c ）＝2x. 故⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，c ＝1， 则f(x)＝x 2－x ＋1.故选D.3．已知m>2，点(m －1，y 1)，(m ，y 2)，(m ＋1，y 3)都在二次函数y ＝x 2－2x 的图像上，则( ) A ．y 1<y 2<y 3 B ．y 3<y 2<y 1 C ．y 1<y 3<y 2 D ．y 2<y 1<y 3答案 A4．(2018·杭州学军中学模拟)已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋b 的图像过坐标原点，且满足f(－x)＝f(－1＋x)，则函数f(x)在[－1，3]上的值域为( ) A ．[0，12] B ．[－14，12]C ．[－12，12]D ．[34，12]答案 B解析 因为函数f(x)＝x 2＋ax ＋b 的图像过坐标原点，所以f(0)＝0，所以b ＝0. 因为f(－x)＝f(－1＋x)，所以函数f(x)的图像的对称轴为x ＝－12，所以a ＝1，所以f(x)＝x 2＋x ＝(x ＋12)2－14，所以函数f(x)在[－1，－12]上为减函数，在(－12，3]上为增函数，故当x ＝－12时，函数f(x)取得最小值－14.又f(－1)＝0，f(3)＝12，故函数f(x)在[－1，3]上的值域为[－14，12]，故选B.5．已知函数f(x)＝mx 2＋mx ＋1的定义域是实数集R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0，4) B ．[0，4] C ．(0，4] D ．[0，4)答案 B解析 因为函数f(x)＝mx 2＋mx ＋1的定义域是实数集R ，所以m≥0，当m ＝0时，函数f(x)＝1，其定义域是实数集R ；当m>0时，则Δ＝m 2－4m≤0，解得0<m≤4.综上所述，实数m 的取值范围是0≤m≤4. 6．已知函数f(x)＝－x 2＋4x ，x ∈[m ，5]的值域是[－5，4]，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1，2] C ．[－1，2] D ．[2，5)答案 C解析 二次函数f(x)＝－x 2＋4x 的图像是开口向下的抛物线，最大值为4，且在x ＝2时取得，而当x ＝5或－1时，f(x)＝－5，结合图像可知m 的取值范围是[－1，2]． 7．设abc ＞0，二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的图像可能是( )答案 D解析 若a ＞0，b ＜0，c ＜0，则对称轴x ＝－b2a ＞0，函数f(x)的图像与y 轴的交点(0，c)在x 轴下方．故选D.8．(2018·山东济宁模拟)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，（x≤0），2，（x>0），若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x 的方程f(x)＝x 的解的个数为( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．3答案 D解析 由解析式可得f(－4)＝16－4b ＋c ＝f(0)＝c ，解得b ＝4. f(－2)＝4－8＋c ＝－2，可求得c ＝2.∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2 （x≤0），2 （x>0）.又f(x)＝x ，则当x≤0时，x 2＋4x ＋2＝x ，解得x 1＝－1，x 2＝－2. 当x>0时，x ＝2，综上可知有三解．9．(2018·郑州质检)若二次函数y ＝x 2＋ax ＋1对于一切x∈(0，12]恒有y≥0成立，则a 的最小值是( )A ．0B ．2C ．－52D ．－3答案 C解析 设g(x)＝ax ＋x 2＋1，x ∈(0，12]，则g(x)≥0在x∈(0，12]上恒成立，即a≥－(x ＋1x )在x ∈(0，12]上恒成立．又h(x)＝－(x ＋1x )在x∈(0，12]上为单调递增函数，当x ＝12时，h(x)max ＝h(12)，所以a≥－(12＋2)即可，解得a≥－52.10．若二次函数y ＝8x 2－(m －1)x ＋m －7的值域为[0，＋∞)，则m ＝________． 答案 9或25解析 y ＝8(x －m －116)2＋m －7－8·(m －116)2，∵值域为[0，＋∞)，∴m －7－8·(m －116)2＝0，∴m ＝9或25.11．(1)已知函数f(x)＝4x 2＋kx －8在[－1，2]上具有单调性，则实数k 的取值范围是________． 答案 (－∞，－16]∪[8，＋∞)解析 函数f(x)＝4x 2＋kx －8的对称轴为x ＝－k 8，则－k 8≤－1或－k 8≥2，解得k≥8或k≤－16.(2)若函数y ＝x 2＋bx ＋2b －5(x<2)不是单调函数，则实数b 的取值范围为________． 答案 (－4，＋∞)解析 函数y ＝x 2＋bx ＋2b －5的图像是开口向上，以x ＝－b 2为对称轴的抛物线，所以此函数在(－∞，－b 2)上单调递减．若此函数在(－∞，2)上不是单调函数，只需－b2<2，解得b>－4.所以实数b 的取值范围为(－4，＋∞)．12．已知y ＝(cosx －a)2－1，当cosx ＝－1时，y 取最大值，当cosx ＝a 时，y 取最小值，则a 的范围是________． 答案 0≤a≤1解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－a≤0，－1≤a≤1，∴0≤a ≤1.13．函数f(x)＝x 2＋2x ，若f(x)>a 在区间[1，3]上满足：①恒有解，则a 的取值范围为________； ②恒成立，则a 的取值范围为________． 答案 ①a<15 ②a<3解析 ①f(x)>a 在区间[1，3]上恒有解，等价于a<[f(x)]max ，又f(x)＝x 2＋2x 且x∈[1，3]，当x ＝3时，[f(x)]max ＝15，故a 的取值范围为a<15.②f(x)>a 在区间[1，3]上恒成立，等价于a<[f(x)]min ，又f(x)＝x 2＋2x 且x∈[1，3]，当x ＝1时，[f(x)]min ＝3，故a 的取值范围为a<3.14．如果函数f(x)＝x 2－ax －a 在区间[0，2]上的最大值为1，那么实数a ＝________． 答案 1解析 因为函数f(x)＝x 2－ax －a 的图像为开口向上的抛物线，所以函数的最大值在区间的端点取得．因为f(0)＝－a ，f(2)＝4－3a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a>4－3a ，－a ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧－a≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1. 15．(2018·邯郸一中月考)已知函数f(x)＝x 2－6x ＋5，x ∈[1，a]，并且函数f(x)的最大值为f(a)，则实数a 的取值范围是________． 答案 a≥5解析 ∵f(x)的对称轴为x ＝3，要使f(x)在[1，a]上最大值为f(a)，由图像对称性知a≥5. 16．已知函数f(x)＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4，6]． (1)当a ＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f(x)在区间[－4，6]上是单调函数； (3)当a ＝1时，求f(|x|)的单调区间． 答案 (1)最小值－1，最大值35 (2)a≤－6或a≥4(3)单调递增区间(0，6]，单调递减区间[－6，0]解析 (1)当a ＝－2时，f(x)＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x∈[－4，6]， ∴f(x)在[－4，2]上单调递减，在[2，6]上单调递增．∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图像开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f(x)在[－4，6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4. (3)当a ＝1时，f(x)＝x 2＋2x ＋3，∴f(|x|)＝x 2＋2|x|＋3，此时定义域为x∈[－6，6]，且f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋3，x ∈（0，6]，x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0].∴f(|x|)的单调递增区间是(0，6]， 单调递减区间是[－6，0]．17．已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R .(1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f(x)>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求实数k 的取值范围． 答案 (1)f(x)＝x 2＋2x ＋1，单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1] (2)(－∞，1)解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＝－1，f （－1）＝a －b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.所以f(x)＝x 2＋2x ＋1.由f(x)＝(x ＋1)2知，函数f(x)的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1]． (2)由题意知，x 2＋2x ＋1>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立， 即k<x 2＋x ＋1在区间[－3，－1]上恒成立．令g(x)＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，由g(x)＝(x ＋12)2＋34，知g(x)在区间[－3，－1]上是减函数．则g(x)min ＝g(－1)＝1.所以k<1. 即k 的取值范围是(－∞，1)．18．二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋1，(a>0)，设f(x)＝x 的两个实根为x 1，x 2. (1)如果b ＝2且|x 2－x 1|＝2，求a 的值；(2)如果x 1<2<x 2<4，设函数f(x)的对称轴为x ＝x 0，求证：x 0>－1. 答案 (1)a ＝－1＋22(2)略解析 (1)当b ＝2时，f(x)＝ax 2＋2x ＋1(a>0)． 方程f(x)＝x 为ax 2＋x ＋1＝0.|x 2－x 1|＝2⇒(x 2－x 1)2＝4⇒(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4.由韦达定理，可知 x 1＋x 2＝－1a ，x 1x 2＝1a.代入上式，可得4a 2＋4a －1＝0. 解得a ＝－1＋22，a ＝－1－22(舍去)．(2)证明：∵ax 2＋(b －1)x ＋1＝0(a>0)的两根满足x 1<2<x 2<4， 设g(x)＝ax 2＋(b －1)x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧g （2）<0，g （4）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2（b －1）＋1<0，16a ＋4（b －1）＋1>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧2a>14，b<14. ∴2a －b>0.又∵函数f(x)的对称轴为x ＝x 0， ∴x 0＝－b2a>－1.1．已知函数f(x)＝x 2＋(a ＋1)x ＋ab ，若不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤4}，则a ＋2b 的值为( ) A ．－2 B ．3 C ．－3 D ．2答案 A解析 依题意，－1，4为方程x 2＋(a ＋1)x ＋ab ＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＋4＝－（a ＋1），－1×4＝ab ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝1，所以a ＋2b 的值为－2，故选A.2．(2018·湖北黄冈中学模拟)若函数f(x)＝dax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ，d ∈R )的图像如图所示，则a∶b∶c∶d＝( )A ．1∶6∶5∶8B ．1∶6∶5∶(－8)C ．1∶(－6)∶5∶8D ．1∶(－6)∶5∶(－8)答案 D解析 由图像可知，x ≠1，5，所以ax 2＋bx ＋c ＝k(x －1)(x －5)，所以a ＝k ，b ＝－6k ，c ＝5k ，根据图像可得当x ＝3时，y ＝2，所以d ＝－8k ，所以a∶b∶c∶d＝1∶(－6)∶5∶(－8)．3．已知函数f(x)＝x 2－2tx ＋1在(－∞，1]上单调递减，且对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，总有|f(x 1)－f(x 2)|≤2，则实数t 的取值范围为( ) A ．[1，2] B ．[－2，2] C ．(1，2) D ．(－2，2)答案 A解析 因为函数f(x)在(－∞，1]上单调递减，所以t≥1，所以当x∈[0，t ＋1]时，f(x)max ＝f(0)，f(x)min ＝f(t)．又对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，总有|f(x 1)－f(x 2)|≤2等价于f(x)max －f(x)min ≤2，即f(0)－f(t)≤2，所以1－(t 2－2t×t＋1)≤2，所以t 2≤2，又t≥1，所以1≤t≤2，所以实数t 的取值范围为[1，2]． 4．已知函数f(x)＝a －x 2(1≤x≤2)与g(x)＝x ＋2的图像上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－94，＋∞)B ．[－94，0]C ．[－2，0]D ．[2，4]答案 C解析 若函数f(x)＝a －x 2(1≤x≤2)与g(x)＝x ＋2的图像上存在关于x 轴对称的点，则方程a －x 2＝－(x ＋2)，即a ＝x 2－x －2在区间[1，2]上有解．令h(x)＝x 2－x －2，则h(x)的图像开口向上，且对称轴为x ＝12，又1≤x≤2，故当x ＝1时，h(x)取得最小值－2，当x ＝2时，h(x)取得最大值0，所以实数a 的取值范围是[－2，0]．5．“a ＝－1”是“函数f(x)＝x 2－2ax －1在区间[－1，＋∞)上为增函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 本题为二次函数的单调性问题，取决于对称轴的位置，若函数f(x)＝x 2－2ax －1在区间[－1，＋∞)上为增函数，则有对称轴x ＝a≤－1，故“a＝－1”是“函数f(x)＝x 2－2ax －1在区间[－1，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．6．已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x 2＋2x ，若f(2－a 2)>f(a)，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－2，1)解析 ∵f(x)是奇函数，∴当x<0时，f(x)＝－x 2＋2x ，作出f(x)的大致图像如图中实线所示，结合图像可知f(x)是R 上的增函数，由f(2－a 2)>f(a)，得2－a 2>a ，即－2<a<1.7．设函数y ＝x 2＋(a ＋2)x ＋3，x ∈[a ，b]的图像关于直线x ＝1对称，则b ＝________． 答案 68．若函数f(x)＝x 2－2x ＋3在区间[0，m]上的最小值是2，最大值是3，则实数m 的取值范围是________． 答案 [1，2]解析 ∵f(x)＝(x －1)2＋2≥2， ∴x ＝1∈[0，m]．∴m≥1.① ∵f(0)＝3，而3是最大值．∴f (m)≤3⇒m 2－2m ＋3≤3⇒0≤m ≤2.② 由①②知：1≤m≤2，故应填[1，2]．9．已知函数f(x)是二次函数，不等式f(x)<0的解集是(0，5)，且f(x)在区间[－1，4]上的最大值为12. (1)求f(x)的解析式；(2)设函数f(x)在[t ，t ＋1]上的最小值为g(t)，求g(t)的表达式． 答案 (1)f(x)＝2x 2－10x(2)g(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧2t 2－6t －8，t ≤32，－252，32<t<52，2t 2－10t ，t ≥52.解析 (1)因为f(x)是二次函数，且f(x)<0的解集是(0，5)， 所以可设f(x)＝ax(x －5)(a>0)．所以f(x)在区间[－1，4]上的最大值是f(－1)＝6a ＝12. 所以a ＝2.所以f(x)＝2x(x －5)＝2x 2－10x(x∈R )． (2)由(1)知f(x)＝2x 2－10x ＝2(x －52)2－252，图像开口向上，对称轴为x ＝52.①当t ＋1≤52，即t≤32时，f(x)在[t ，t ＋1]上单调递减，所以g(t)＝2(t ＋1)2－10(t ＋1)＝2t 2－6t －8.②当t≥52时，f(x)在[t ，t ＋1]上单调递增，所以g(t)＝2t 2－10t.③当t<52<t ＋1，即32<t<52时，f(x)在对称轴处取得最小值，所以g(t)＝f(52)＝－252.综上所述，g(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧2t 2－6t －8，t ≤32，－252，32<t<52，2t 2－10t ，t ≥52.。