(名师整理)最新人教版数学九年级上册24.3《正多边形和圆》精品课件
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人教版数学九年级上册24.3正多边形和圆课件(36张PPT)
24.3 正多边形和圆
人教版·九年级上册
学习目标
（1）理解正多边形及其半径、边长、边心距、中心 角等概念. （2）会进行特殊的与正多边形有关的计算，会画某 些正多边形.
新课导入
问题1：观察下面多边形，它们的边、角有什么特点?
都是各边相等，各内角相等的多边形
问题2：观看这些美丽的图案，都是在日常生活中我们 经常能看到的.你能从这些图案中找出类似的图形吗?
动手操作
操作一：自己动手试一试，你能画出什么正多边 形？你是怎么画的？ 操作二：画一个半径是1.5cm的圆，并画出它的正 六边形。
解：方法 1 （1）作一个半径是1.5cm的圆⊙O ； （2）用量角器依次作∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝ ∠DOE＝∠EOF＝∠FOA＝ 360 ＝60°，将360°圆心角六
想一想
有没有对称轴？
正多边形都是 轴对称 图形，一个正n边形共有
n 条对称轴，每条对称轴都通过n边形的 中心 .
边数3是条偶数的正4多条边形还是 5中条心对称图形6条，它的中 心就是对称中心.
你知道正多边形与圆的关系吗？
把一个圆分成相等的弧？依次连接各等分点，得到一个什 么图形？ 如果五、六、七…等分？如果将圆n等分呢？
思考 什么叫正多边形？图中有哪些正多边形？ 正多边形与圆有哪些关系？
探索新知
图形 ……
名称 正三角形 正四角形 正五角形 正六角形
……
边的关系
角的关系
三条边相等 三个角相等（60°）
四条边相等 四个角相等（90°）
五条边相等 五个角相等（108°）
六条边相等 六个角相等（120°）
……
……
正多边形的概念：
< 针对训练 >
人教版·九年级上册
学习目标
（1）理解正多边形及其半径、边长、边心距、中心 角等概念. （2）会进行特殊的与正多边形有关的计算，会画某 些正多边形.
新课导入
问题1：观察下面多边形，它们的边、角有什么特点?
都是各边相等，各内角相等的多边形
问题2：观看这些美丽的图案，都是在日常生活中我们 经常能看到的.你能从这些图案中找出类似的图形吗?
动手操作
操作一：自己动手试一试，你能画出什么正多边 形？你是怎么画的？ 操作二：画一个半径是1.5cm的圆，并画出它的正 六边形。
解：方法 1 （1）作一个半径是1.5cm的圆⊙O ； （2）用量角器依次作∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝ ∠DOE＝∠EOF＝∠FOA＝ 360 ＝60°，将360°圆心角六
想一想
有没有对称轴？
正多边形都是 轴对称 图形，一个正n边形共有
n 条对称轴，每条对称轴都通过n边形的 中心 .
边数3是条偶数的正4多条边形还是 5中条心对称图形6条，它的中 心就是对称中心.
你知道正多边形与圆的关系吗？
把一个圆分成相等的弧？依次连接各等分点，得到一个什 么图形？ 如果五、六、七…等分？如果将圆n等分呢？
思考 什么叫正多边形？图中有哪些正多边形？ 正多边形与圆有哪些关系？
探索新知
图形 ……
名称 正三角形 正四角形 正五角形 正六角形
……
边的关系
角的关系
三条边相等 三个角相等（60°）
四条边相等 四个角相等（90°）
五条边相等 五个角相等（108°）
六条边相等 六个角相等（120°）
……
……
正多边形的概念：
< 针对训练 >
《正多边形和圆形》圆PPT优质课件(第2课时)
课堂检测
2.画一个正十二边形.
作法：如图，分别以⊙O的四
等分点A，B，E，F为圆心，
以⊙O的半径长为半径，画8条 弧与⊙O相交，就可以把⊙O分 成12等份，依次连接各等分点， 即得到正十二边形.
课堂小结
1.画正多边形的方法：
由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因 此作相等的圆心角就可以等分圆周，从而得 到相应的正多边形.
作法：如图，以2cm为半径作一个⊙O，用量角器画一个
360 等60于
的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依
6
次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的6个等分点，顺次
连接各分点，即可得出正六边形．
O·
60°
课堂检测
拓广探索题
1.一个平面封闭图形内(含边界)任意两点距离的最大值 称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为 图形的“周率”，下面四个平面图形(依次为正三角形、 正方形、正六边形、圆)的周率从左到右依次记为a1，a2 ，a3，a4，则下列关系中正确的是B ( ) A.a4＞a2＞a1 B.a4＞a3＞a2 C.a1＞a2＞a3 D.a2＞a3＞a4
四边形……
探究新知
你能尺规作出正六边形、正三角形、正十二边 形吗？
F
E
O
A
·
D
B
C
以半径长在圆周上截取六 段相等的弧，依次连结各等分 点，则作出正六边形.
先作出正六边形，则可作 正三角形，正十二边形，正二 十四边形………
探究新知
说说作正多边形的方法有哪些?
（1）用量角器等分圆周作正n边形； （2）用尺规作正方形及由此扩展作正八边形, 用尺规作正六边形及由此扩展作正12边形、正 三角形．
⑤顺次连接A、E、F、C、G、H各点;
《正多边形和圆》九年级初三数学上册PPT课件(第24.3课时)
证：五边形ABCDE是圆内接正五边形.
证明：
提示：正五边形的五边相等，五个内角也相等。
∵AB=BC=CD=CE=AE
∴AB=BC=CD=CE=AE
而BCE=BC+CD+DE
A
B
E
O
CDA=CD+DE+AE
∴∠A=∠B 同理∠B=∠C=∠D=∠E
又五边形ABCDE的顶点都在⊙O上
所以五边形ABCDE是圆内接正五边形， ⊙O是五边形
[解析] (1)首先用五点法作出函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象，再作出y＝cosx
关于x轴对称的图象，最后将图象向上平移1个单位．如图(1)所示．
第一章 三角函数
(2) 首先用五点法作出函数y＝sinx，x∈[0,4π]的图象，再将x轴下方的部分对称
到x轴的上方．如图(2)所示．
第一章 三角函数
探索正多边形和圆的位置关系
如图所示，把⊙O分成相等的3段弧，依次连接各分点得到▲ABC.求证：
▲ABC是圆内接正三边形.
证明：
A
∵AB=BC=AC
O
∴AB=BC=AC
所以▲ABC是圆内接正三边形
C
B
探索正多边形和圆的位置关系
如图所示，把⊙O分成相等的5段弧，依次连接各分点得到五边形ABCDE.求
2．正弦曲线和余弦曲线的关系
1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．
(1)作正弦函数和余弦函数的图象时，所取的“五点”是相同的．( × )
(2)正弦曲线和余弦曲线都介于直线 y＝1 和 y＝－1 之间．( √ )
(3)正弦曲线与余弦曲线都关于原点对称．( × )
3π
证明：
提示：正五边形的五边相等，五个内角也相等。
∵AB=BC=CD=CE=AE
∴AB=BC=CD=CE=AE
而BCE=BC+CD+DE
A
B
E
O
CDA=CD+DE+AE
∴∠A=∠B 同理∠B=∠C=∠D=∠E
又五边形ABCDE的顶点都在⊙O上
所以五边形ABCDE是圆内接正五边形， ⊙O是五边形
[解析] (1)首先用五点法作出函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象，再作出y＝cosx
关于x轴对称的图象，最后将图象向上平移1个单位．如图(1)所示．
第一章 三角函数
(2) 首先用五点法作出函数y＝sinx，x∈[0,4π]的图象，再将x轴下方的部分对称
到x轴的上方．如图(2)所示．
第一章 三角函数
探索正多边形和圆的位置关系
如图所示，把⊙O分成相等的3段弧，依次连接各分点得到▲ABC.求证：
▲ABC是圆内接正三边形.
证明：
A
∵AB=BC=AC
O
∴AB=BC=AC
所以▲ABC是圆内接正三边形
C
B
探索正多边形和圆的位置关系
如图所示，把⊙O分成相等的5段弧，依次连接各分点得到五边形ABCDE.求
2．正弦曲线和余弦曲线的关系
1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．
(1)作正弦函数和余弦函数的图象时，所取的“五点”是相同的．( × )
(2)正弦曲线和余弦曲线都介于直线 y＝1 和 y＝－1 之间．( √ )
(3)正弦曲线与余弦曲线都关于原点对称．( × )
3π
2正多边形和圆上课(共31张)PPT课件(人教版)
CF
E D
想一想：
正n边形的一个内角的
(n 2)180
度数是______n______;
360
中心角是_____n______;
正多边形的中心角与外角的 大小关系是__相__等____.
A BOE
CF D
中心角与内角互补.
例 有一个亭子,它的地基半径为4 m的正六边形, 求地基的周长和面积(精确到0.1 m2). 解: 如图由于ABCDEF是正六边
知识点3 有关正多边形的作图
怎样画一个正多边形呢？
问题1：已知⊙O的半径为2cm，求作圆的内接正三
角形. A
①用量角器度量，使∠AOB=
120° ∠BOC=∠COA=120°．
O
②用量角器或30°角的三角板度
C
B 量，使∠BAO=∠CAO=30°．
你能用以上方法画出正四边形、正五边形、 正六边形吗？
正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个 圆分成相等的几段弧，就可以作出这个圆的内接 正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆.
A
B
E
O·
C
D
我们以圆的接正五边形为例证明.
如图，把⊙O分成相等的5段弧，依次连接各分点
得到正五边形ABCDE.
∵A⌒B=B⌒C=C⌒D=D⌒E=E⌒A
A
∴ AB=BC=CD=DE=EA,
2.如果一个正多边形的每个外角都等于36°，则这个
多边形的中心角等于( A )
A.36°
B.18°
C.72°
D.54°
3.如图，点O是正六边形的对称中心，如果用一副三角
板的角，借助点O(使直角的顶点落在点O处)，把这个
正六边形的面积n等分，那么n的所有可能
最新人教版初中数学九年级上册《24.3 正多边形和圆(第1课时)》精品教学课件
探究新知
AC是∠DAB及∠DCB的角平
E A
B 分线，BD是∠ABC及∠ADC
的角平分线，
O
G
H ∴OE=OH=OF=OG.
DF
∴正方形ABCD还有一个以点O
C
为圆心的内切圆.
探究新知 想一想
1.所有的正多边形是不是也都有一个外接圆和一个内切圆？
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.
∴∵∠BCC=BCDD=，∠∠BDBCCD=3=0∠°A，BCB=D∠∥CHDKE，=且12B0°D=，HK.∴CG=12 BC= 3
∵CG⊥BD，∴BD=2BG=2× BC 2 BG2 =2× 3 =6. ∴点P到各边距离之和=3BD=3×6=18．
课堂检测
拓广探索题
如图,M,N分别是☉O内接正多边形AB,BC上的点,且BM=CN. (1)求图①中∠MON=__1_2_0__°_;图②中∠MON= 90 °;
∠ADE的度数是 （ C ）
A．60°
B．45°
A
C． 36°
D． 30° B O · E
C
D
探究新知
方法归纳 ：圆内接正多边形的辅助线
F
E
A
O·
D
rR
BMC
O
半径R
中心角一半 边心距r
M C
边长一半
1.连半径，得中心角；
2.作边心距，构造直角三角形.
巩固练习
已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角
课堂检测
2.如图，正六边形ABCDEF的边长为2 3 ，点P为六边
形内任一点．则点P到各边距离之和是多少？
B
HA P
解：过P作AB的垂线，分别交AB、DE于H、K，
人教版九年级数学上册24.3 正多边形和圆精品课件(共31张PPT)
轴对称图形， 什么叫中心？ 一个正n边形共有n条对称轴， 每条对称轴都通过n边形的中心.
正多边形的性质
正八边形
正六边形
边数是偶数的正多边形 是中心对称图形， 它的中心就是对称中心.
小练习
菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？
×
菱形的四个角不相等.
×
矩形的四条边不相等.
正多边形和圆的关系非常密切， 把一个圆分成相等的一些弧，就可以 作出这个圆的内接正多边形，这个圆 就是这个正多边形的外接圆.
F
E
O . .
D
r R
B P C
∴亭子的周长 L=6×4=24(m)
在RtOPC中，OC 4，PC BC 4 2 2 2
根据勾股定理，可得边 心距r 亭子的面积S
4
2
2 2 3
2
1 1 2 Lr 24 2 3 41.6(m ) 2 2
内接正多边形与外接圆的联系 A D
教学重难点
• 正多边形的概念与正多边形和圆的关系的第
一个定理.
• 对定理的理解以及定理的证明方法．
正多边形的性质 每条边都相等 每个角都相等
60°
108°
135° 正n边形内角和： (n－2)180°
正多边形的性质
正五边形
正八边形
正三边形
正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的中心。
24.3 正多边形和圆
回顾旧知
正多边形
各边相等，各角也相等的多边形.
几种常见的正多边形
生活中的正多边形图案
生活中的正多边形图案
教学目标
【知识与能力】
• 使学生理解正多边形概念，初步掌握正 多边形与圆的关系的第一个定理. • 通过正多边形定义教学，培养学生归纳、 观察、推理、迁移能力.
人教版九年级数学上24.3正多边形和圆(共32张PPT)
24.3正多边形和圆
E
A
D
B
C
三条边相等，
四条边相等，
三个角相等
正三 角形
（60度）。
正方形
四个角相等 （900）。
一 .正多边形定义
各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.
二、说说下列多边形的名称
正五边形
正六边形
正八边形
1、正多边形的各边相等 2、正多边形的各角相等
3、正多边形都是轴对称图形，一个正n边形 共有n条对称轴，每条对称轴都通过n边形 的中心。
E
D
一个正多边形的外接
圆的圆心.
正多边形的半径: 外接圆的半径
F
.半径R O
中心角
C
正多边形的中心角:
360
n
边心距r
正多边形的每一条
A
B
边所对的圆心角.
正多边形的边心距： 中心到正多边形的一边 的距离.
正多边形的周长= 正多边形的面积=
中心角 360
中心角 E
D
n
边心距把△AOB分成 F
2个全等的直角三角形
AOG BOG 180 n
.. O R
AG
C a
B
正n边形被相邻周半径长分为成L=na
___n___个全等的等腰三角
形.被边心距边分心成距__r_2_n个全R 2
等的直角三角形,
(1 2
a )2
设正多边形面的积S边长 为12 aar,n边心12距lr为r,半经为R.
1、O是正△ABC的中心，它是△ABC的_外__接__圆__ 与__内__切__圆___圆的圆心。
B
E
边形是正六边形。
C
E
A
D
B
C
三条边相等，
四条边相等，
三个角相等
正三 角形
（60度）。
正方形
四个角相等 （900）。
一 .正多边形定义
各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.
二、说说下列多边形的名称
正五边形
正六边形
正八边形
1、正多边形的各边相等 2、正多边形的各角相等
3、正多边形都是轴对称图形，一个正n边形 共有n条对称轴，每条对称轴都通过n边形 的中心。
E
D
一个正多边形的外接
圆的圆心.
正多边形的半径: 外接圆的半径
F
.半径R O
中心角
C
正多边形的中心角:
360
n
边心距r
正多边形的每一条
A
B
边所对的圆心角.
正多边形的边心距： 中心到正多边形的一边 的距离.
正多边形的周长= 正多边形的面积=
中心角 360
中心角 E
D
n
边心距把△AOB分成 F
2个全等的直角三角形
AOG BOG 180 n
.. O R
AG
C a
B
正n边形被相邻周半径长分为成L=na
___n___个全等的等腰三角
形.被边心距边分心成距__r_2_n个全R 2
等的直角三角形,
(1 2
a )2
设正多边形面的积S边长 为12 aar,n边心12距lr为r,半经为R.
1、O是正△ABC的中心，它是△ABC的_外__接__圆__ 与__内__切__圆___圆的圆心。
B
E
边形是正六边形。
C
人教版九年级上册数学24.3正多边形和圆课件(共10张PPT)
第二十四章
圆
24.3
正多边形和圆
探索正多边形和圆的关系，了解有关概念；会进行计算.
探索正多边形和圆的关系，正多边形半径、中心角、弦 心距、边长之间的关系.
教学过程
一、创设情境，导入新课
2
(1)这些都是日常生活中经常见到的利用正多边形得到的物 体，你能从中找出正多边形吗?
(2)你知道正多边形和圆有什么关系吗?怎样作一个正多边形?
(2)画正多边形 生活中经常遇到正多边形，怎么画正多边形呢? 以正六边形为例. 教师引导、点拨、分析：要计算地基的周长和面积，只
要求正多边形的边长和边心距.因此，只要在正多边形的边、
表示边心距的线段、半径构成的三角形中解决即可.
教师引导学生画图找思路：
(1)要画正六边形，首先要画一个圆，然后对圆六等分， 顺次连接各点即可； (2)正六边形的边长和圆的半径相等，于是在圆上顺次截 等于半径的弦即可；
2.验证结论：我们以圆内接正六边形为例证明，如图 所示的圆，把⊙O分成相等的6段弧，依次连接各分点得到六 边形ABCDEF，下面证明，它是正六边形.
3.正多边形的有关概念： (1)中心、半径、中心角、边心距； （2）中心、半径、中心角、边心距之间的关系.
4.正多边形的性质：①正多边形的一个源自角等于二、合作探究，感受新知
1.探索发现： 探索：将一个圆分成五等份，依次连接各分点得到一个五
边形，这个五边形一定是正五边形吗?如果是证明你的结论.如
果六、七……等分呢?如果将圆n等分呢? 结论：将一个圆分成n等份，依次连接各分点得到一个正n 边形. 教师提出问题，教师根据回答补充总结.学生探索分析、
总结结论.(学生讨论解决)
0 ②中心角： 360
;
圆
24.3
正多边形和圆
探索正多边形和圆的关系，了解有关概念；会进行计算.
探索正多边形和圆的关系，正多边形半径、中心角、弦 心距、边长之间的关系.
教学过程
一、创设情境，导入新课
2
(1)这些都是日常生活中经常见到的利用正多边形得到的物 体，你能从中找出正多边形吗?
(2)你知道正多边形和圆有什么关系吗?怎样作一个正多边形?
(2)画正多边形 生活中经常遇到正多边形，怎么画正多边形呢? 以正六边形为例. 教师引导、点拨、分析：要计算地基的周长和面积，只
要求正多边形的边长和边心距.因此，只要在正多边形的边、
表示边心距的线段、半径构成的三角形中解决即可.
教师引导学生画图找思路：
(1)要画正六边形，首先要画一个圆，然后对圆六等分， 顺次连接各点即可； (2)正六边形的边长和圆的半径相等，于是在圆上顺次截 等于半径的弦即可；
2.验证结论：我们以圆内接正六边形为例证明，如图 所示的圆，把⊙O分成相等的6段弧，依次连接各分点得到六 边形ABCDEF，下面证明，它是正六边形.
3.正多边形的有关概念： (1)中心、半径、中心角、边心距； （2）中心、半径、中心角、边心距之间的关系.
4.正多边形的性质：①正多边形的一个源自角等于二、合作探究，感受新知
1.探索发现： 探索：将一个圆分成五等份，依次连接各分点得到一个五
边形，这个五边形一定是正五边形吗?如果是证明你的结论.如
果六、七……等分呢?如果将圆n等分呢? 结论：将一个圆分成n等份，依次连接各分点得到一个正n 边形. 教师提出问题，教师根据回答补充总结.学生探索分析、
总结结论.(学生讨论解决)
0 ②中心角： 360
;
最新人教版九年级上册数学精品课件24.3正多边形和圆
最新初中数学精品课件设计
检测反馈
1.如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则 ∠ADB的度数是（B）．
A．60° B．45° C．30° D．22．5°
解析：如图，连接OB，∵多边形ABCDEF是正多边
形，∴∠AOB= 3600 =60°，
∴∠ADB=
1 2
6
∠AOB=
12×60°=30°．故选B．
所以它的中心角等于
3600 6
=60°，△OBC是
等边三角形，从而正六边形的边长等于它的
半径.因此，亭子地基的周长 =6×4=24（m).
作OP⊥BC，垂足为P.在Rt△OPC中，
OC=B4Cm 4，PC= 22
可得42边 心22 距 2 3
=2(m),利用勾股定理，
r=
(m).
亭子12 lr 地12基的面2积3 S= = ×24× ≈41.6（m2).
最新初中数学精品课件设计
例 如图有一个亭子，它的地基是半径 为4m的正六边形，求地基的周长和面 积（结果保留小数点后一位）.
F
E
O
A
D
最新初中数学精品课件设计
B
C
解:
l ∴亭子的周长 =6×4=24(m)
F
E
O
A
.. R
D
r
B
C
P
最新初中数学精品课件设计
解：如图，连接OB，OC.因为正六边形
ABCDEF是正六边形，
已知：如图所示，把⊙O分成相等的5段弧，依次连接各分点得到五边形 ABCDE.
求证：五边形ABCDE是圆内接正五边形.
A
B
E
证明：∵ AB BC CD DE AE ， C
检测反馈
1.如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则 ∠ADB的度数是（B）．
A．60° B．45° C．30° D．22．5°
解析：如图，连接OB，∵多边形ABCDEF是正多边
形，∴∠AOB= 3600 =60°，
∴∠ADB=
1 2
6
∠AOB=
12×60°=30°．故选B．
所以它的中心角等于
3600 6
=60°，△OBC是
等边三角形，从而正六边形的边长等于它的
半径.因此，亭子地基的周长 =6×4=24（m).
作OP⊥BC，垂足为P.在Rt△OPC中，
OC=B4Cm 4，PC= 22
可得42边 心22 距 2 3
=2(m),利用勾股定理，
r=
(m).
亭子12 lr 地12基的面2积3 S= = ×24× ≈41.6（m2).
最新初中数学精品课件设计
例 如图有一个亭子，它的地基是半径 为4m的正六边形，求地基的周长和面 积（结果保留小数点后一位）.
F
E
O
A
D
最新初中数学精品课件设计
B
C
解:
l ∴亭子的周长 =6×4=24(m)
F
E
O
A
.. R
D
r
B
C
P
最新初中数学精品课件设计
解：如图，连接OB，OC.因为正六边形
ABCDEF是正六边形，
已知：如图所示，把⊙O分成相等的5段弧，依次连接各分点得到五边形 ABCDE.
求证：五边形ABCDE是圆内接正五边形.
A
B
E
证明：∵ AB BC CD DE AE ， C
人教版数学九年级上册24.正多边形和圆经典课件
6
A
OBC是等边三角形，从而正
六边形的边长等于它的半径. B
∴亭子的周长 L=6×4=24(m)
E
.. O
D
r R=4
PC
在RtOPC中，OC 4，PC BC 4 2 22
根据勾股定理，可得边 心距r 42 22 2 3
亭子的面积 S 1 Lr 1 24 2 22
3 41.6(m2)
正多边形对称性
1、正多边形都是轴对称图形，一个正n边 形共有n条对称轴，每条对称轴都通过n边 形的中心。
2、边数是偶数的正多边形还是中心 对称图形，它的中心就是对称中心。
两个正六边形的边 长分别是3和4，这 两个正六边形的面 积之比等于_______
圆内接正方形的 半径与边长的比 值是________
下列图形中：①正五边形；②等 腰三角形；③正八边形；④正 2n（n为自然数）边形；⑤任意 的平行四边形。是轴对称图形的
有①__②__③__④____,是中心对称图形 的有③__④__⑤____,既是中心对称图
形，又是轴对称图形的有
__③__④___。
已知正三角形ABC的边长为 4，则它的内切圆和外接圆 组成的圆环面积是多C 少？
D
O
A
B
A、B、C在⊙O上，且B在弧AC 上，AB、AC分别是正九边形和 正六边形的一边。请问：BC是 此圆内接正几边形的一边？
A
B
O
C
B.互补
C.互余或互补 D.不能确定
正多边形的性质
各边相等，各角相等
圆的内接正n边形的各个顶点把圆分成n等分 圆的外切正n边形的各边与圆的n个切点把圆分成n
等分
每个正多边形都有一个内切圆和外接圆，这两个圆 是同心圆，圆心就是正多边形的中心
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时，它是中心对称图形，对称中心就是这个正多边形的中心.
学习了本课后，你有哪些收获和感想？ 告诉大家好吗？
正多边形和 圆
正多边形的 有关概念
正多边形和圆的 有关计算
中心角 半径R
O
边心距r
添加辅助线的方法： 连半径，作边心距
光读书不思考也许能使平庸之辈知识 丰富，但它决不能使他们头脑清醒。
—— 约·诺里斯
E
D
解 : ① 正六边形ABCDEF中,
F C 120
F
C
lE⌒A
120 a
180
2 3
a
A
B
C阴影
2(lE⌒A
ED)
2( 2 a
3
a)
4
3
6
a
9. 等边△ABC的边长为 a ,以各边为弦 作弧交于△ABC的外心O. 求:菊形的面积.
⌒
A
解 : 如图, 设AOC的圆心为O,
连结OA,OC,则AOC
A
G
H
S阴 S正六边形 6S扇形AGH
B
F
6 3 22 6 120 12
4
360
C
6 3 2
4.1(cm2 )
● O
E
D
习题答案
3. 至少是
. 2a
4. 正多边形是轴对称2 图形，奇数边的正多边形的对称轴是各个顶
点和它的对边中点的连线，偶数边的正多边形的对称轴是对边中点的连
线，当正多边形的边数为奇数时，它不是中心对称图形，当边数为偶数
正n边形：如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫 做正n边形。
生活中的正多边形图案
生活中的正多边形图案
二、正多边形的性质
108°
➢ 每条边都相等 ➢ 每个角都相等
60°
正n边形内角和： (n－2)180°
135°
正多边形的性质
正五边形
正八边形
➢ 轴对称图形， 一个正n边形共有n条对称轴， 每条对称轴都通过n边形的中心.
F
. 中心角 中心 O
.
半径R 边 心
C
距
r
五、正多边形的有关计算
边心距OG把△AOB分成 2个全等的直角三角形.
AOG BOG 180 F n
设正多边形的边长为a，半径为R， 它的周长为L = na.
E
D
中心角 中心角 360
n
.O. R
C a
A
G
B
边心距r R2（ a）2 ， 2
面积S 1 L • 边心距（r） 1 na • 边心距（r）
中心角是_________3__6；0正多边形的中心角与外角的 大小关系是________. n
相等
（n 2）•180 n
2. O是正△ABC的中心，它是△ABC的________圆与________圆的圆
心.外接
内切
半径 3. OB叫正△ABC的________ ，它是正△ABC的________圆的半径.
先作出正六边形，则可作正三角形，
正十二边形，正二十四边形………
B
C
例题
有一个亭子它的地基是半径为4m的正六边形，求地基的周长和面积 （精确到0.1平方米）.
F 解: 由于ABCDEF是正六边形，所以
E
它的中心角等于360 60，
6
A
OBC是等边三角形，从而正
六边形的边长等于它的半径.
..O
D
rR
A
D
O·
作出已知⊙O的互相垂直的直径即得圆内接正方形，
B
C
再过圆心作各边的垂线与⊙O相交，或作各中心角的角 平分线与⊙O相交，即得圆接正八边形，照此方法依次
可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形……
你能用尺规作出正六边形、正三角形、正十二边形吗？
F
E
A
O ·
以半径长在圆周上截取六段相等的弧，
D 依次连结各等分点，则作出正六边形.
A
B C
E O
D
七、外切正多边形
把圆分成 n（n≥3）等份： 经过各分点作圆的切线，以相邻 切线的交点为顶点的多边形是这个圆 的外切正多边形.
定理证明
证明：连结OA、OB、OC，则：
∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB
∵TP、PQ、QR分别是以A、B、C
P
为切点的⊙O的切线
∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ
A
120 ° O
C
B
一题多解
①用量角器度量，使 ∠AOB=∠BOC=∠COA=120°．
②用量角器或30°角的三角板度量，使 ∠BAO=∠CAO=30°．
小练习
你能用以上方法画出正四边形、正五边形、正六边形吗？
A
A D
F
E
·O
B
E
O·
A
O·
D
90°
72°
60°
B
C
C
D
BC探究Fra bibliotek尺规作图
你能用尺规作出正四边形、正八边形吗？
外接
边心距 4. OD叫作正△ABC的________ ，它是正△ABC的________
圆的半径。
内切
A
.O
B
D
C
5. 求证：正五边形的对角线相等.
证明：连结BD、CE，则 在△BCD和△CDE中 ∵BC=CD ∠BCD=∠CDE CD=DE ∴△BCD≌△CDE ∴BD=CE 同理可证对角线相等.
F
O
C
AM OM tan 30 1 3R 3
E
D
P6 6 AB 12AM 4 3R
S6
1 2
6 AB OM
14 2
3R R 2
3R2
7. 已知圆内接正 n 边形的边长为 a, 求同圆外 切正 n 边形的边长b为多少？ (用三角函数表示).
在RtOBE中, O 360 180
O’
AOC 120, AOC AOC
2S小弓形 S弓形AOC SAOC
O
(S扇形OAOC SAOC ) SAOC
S扇形OAOC 2SAOC
B
C
S阴影
6S小弓形
3(S扇形OAOC
2SAOC )
(
3
3 )a2 2
10. A是半径为2的⊙O外的一点,OA=4,AB
是⊙O的切线,点B是切点,弦BC∥OA,边结AC,
课堂小结
概念
正多边形与圆的关系 正多边形的中心、半径、边心距、中心角 正多边形的对称性、相似性
正 多
计算
半径、边心距、中心角的计算 边长、面积的计算
边
量角器等分圆周画正多边形
形
画法
尺规作正方形、正六边形等
应用
圆的周长、弧长及组合图形周长的计算 圆面积、扇形面积及组合图形面积的计算
随堂练习
1. 正n边形的一个内角的度数是____________;
B
∴∠PA⌒B=∠⌒PBA=∠QBC=∠QCB
又∵AB=BC
Q
∴AB=BC ∴△PAB与△QBC是全等的等腰三角形。 C
∴∠P=∠Q PQ=2PA
同理∠Q=∠R=∠S=∠T
QR=RS=ST=TP=2PA
又∵五边形PQRST的各边都与⊙O相切， ∴五边形PQRST的是O外切正五边形。
A
T
E O
S
D R
则图中阴影部分的面积等于 ( A )
A. 2 B. 8 C.
3
3
②如图， 连结OC, OB,
D. 2 3
3
设AC, BO交于点D.
由同底等高知,
O
A
SOCD SADB
D
OA 4,OB 2, BD∥OA
COD 60
C
B
S阴影
S扇形COB
60 22
360
2
3
故选 A.
11. 已知正六边形ABCDEF的边长为2厘米, 分 别以每个顶点为圆心, 以1厘米为半径作弧, 求这些弧 所围成的图形(阴影部分)面积.(精确到0.1平方厘米).
正三边形 什么叫中心？
正多边形的性质
正八边形
➢ 边数是偶数的正多边形 是中心对称图形， 它的中心就是对称中心.
正六边形
小练习
菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？
×
菱形的四个角不相等.
×
矩形的四条边不相等.
正多边形和圆的关系非常密切， 把一个圆分成相等的一些弧，就可以 作出这个圆的内接正多边形，这个圆 就是这个正多边形的外接圆.
2
2
六、内接正多边形与外接圆的联系
A
D
B
正多边形
多边形的边相等 多边形的角相等
C
外接圆
弦相等 圆周角相等
把正n边形的边数无限增多，就接近于圆.
正多边形
圆
由圆怎样得到正多边形？
探究
把一个圆4等分，并依次连接这些点,得到正多边形吗??
正方形
探究
量角器作图
已知⊙O的半径为2cm，求作圆的内接正三角形
E
A
D
B
C
定理证明
⌒⌒ ⌒ ⌒⌒
证明：∵AB=BC=CD=DE=EA
⌒ ⌒ ∴AB=BC=CD=DE=EA
⌒
∵BCE=CDA=3AB
∴∠1=∠2
同理∠2=∠3=∠4=∠5
又∵顶点A、B、C、D、E都在⊙O上，
∴五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形.
⊙O是五边形ABCDE的外接圆.
A
1
B2
5E
34
C
●O
2n n