(名师整理)最新人教版数学九年级上册24.3《正多边形和圆》精品课件

∴亭子的周长 L=6×4=24(m)
B PC
在RtOPC中，OC 4，PC BC 4 2 22
根据勾股定理，可得边 心距r 42 22 2 3
亭子的面积 S 1 Lr 1 24 2 22
3 41.6(m2)
小练习
已知点A、B、C、D、E是⊙O 的5等分点，画出⊙O的内接正五边形 和外切正五边形.
A
120 ° O
C
B
一题多解
①用量角器度量，使 ∠AOB=∠BOC=∠COA=120°．
②用量角器或30°角的三角板度量，使 ∠BAO=∠CAO=30°．
小练习
你能用以上方法画出正四边形、正五边形、正六边形吗？
A
A D
F
E
·O
B
E
O·
A
O·
D
90°
72°
60°
B
C
C
D
B
C
探究
尺规作图
你能用尺规作出正四边形、正八边形吗？
课堂小结
概念
正多边形与圆的关系 正多边形的中心、半径、边心距、中心角 正多边形的对称性、相似性
正 多
计算
半径、边心距、中心角的计算 边长、面积的计算
边
量角器等分圆周画正多边形
形
画法
尺规作正方形、正六边形等
应用
圆的周长、弧长及组合图形周长的计算 圆面积、扇形面积及组合图形面积的计算
随堂练习
1. 正n边形的一个内角的度数是____________;
正n边形：如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫 做正n边形。
生活中的正多边形图案
生活中的正多边形图案
二、正多边形的性质
108°
➢ 每条边都相等 ➢ 每个角都相等
60°
正n边形内角和： (n－2)180°
135°
正多边形的性质
正五边形
正八边形
➢ 轴对称图形， 一个正n边形共有n条对称轴， 每条对称轴都通过n边形的中心.
则图中阴影部分的面积等于 ( A )
A. 2 B. 8 C.
3
3
②如图， 连结OC, OB,
D. 2 3
3
设AC, BO交于点D.
由同底等高知,
O
A
SOCD SADB
D
OA 4,OB 2, BD∥OA
COD 60
C
B
S阴影
S扇形COB
60 22
360
2
3
故选 A.
11. 已知正六边形ABCDEF的边长为2厘米, 分 别以每个顶点为圆心, 以1厘米为半径作弧, 求这些弧 所围成的图形(阴影部分)面积.(精确到0.1平方厘米).
A
B C
E O
D
七、外切正多边形
把圆分成 n（n≥3）等份： 经过各分点作圆的切线，以相邻 切线的交点为顶点的多边形是这个圆 的外切正多边形.
定理证明
证明：连结OA、OB、OC，则：
∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB
∵TP、PQ、QR分别是以A、B、C
P
为切点的⊙O的切线
∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ
A
B
E
C
D
6. 正六边形ABCDEF外切于⊙O，⊙O的半 径为R，则该正六边形的周长和面积各是多少？
解 : 如图, 设AB切⊙O于M， 连结OA、 OB
OM ,则OM AB于M , AM BM.
在RtAOM中, AOM 1 AOB 30,
2
AM B R
OM R ，tan 30 AM , OM
B
∴∠PA⌒B=∠⌒PBA=∠QBC=∠QCB
又∵AB=BC
Q
∴AB=BC ∴△PAB与△QBC是全等的等腰三角形。 C
∴∠P=∠Q PQ=2PA
同理∠Q=∠R=∠S=∠T
QR=RS=ST=TP=2PA
又∵五边形PQRST的各边都与⊙O相切， ∴五边形PQRST的是O外切正五边形。
A
T
E O
S
D R
F
O
C
AM OM tan 30 1 3R 3
E
D
P6 6 AB 12AM 4 3R
S6
1 2
6 AB OM
14 2
3R R 2
3R2
7. 已知圆内接正 n 边形的边长为 a, 求同圆外 切正 n 边形的边长b为多少？ (用三角函数表示).
在RtOBE中, O 360 180
●O
2n n
A
180
BE OB
sin
O,
OB
BE sin O
1a 2 sin 180
a 2sin 180C
E
n
B
D
n
n
在RtOBC中, CB OB
tan O,
CB
OB tan O
a 2sin 180
tan 180 n
a 2 cos180
n
n
故
b
2CB
a cos180
n
8. 正六边形ABCDEF的边长是a，分别以C、F为 圆心，a为半径作弧，则图中阴影部分的周长是_____.
正三边形 什么叫中心？
正多边形的性质
正八边形
➢ 边数是偶数的正多边形 是中心对称图形， 它的中心就是对称中心.
正六边形
小练习
菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？
×
菱形的四个角不相等.
×
矩形的四条边不相等.
正多边形和圆的关系非常密切， 把一个圆分成相等的一些弧，就可以 作出这个圆的内接正多边形，这个圆 就是这个正多边形的外接圆.
A
D
O·
作出已知⊙O的互相垂直的直径即得圆内接正方形，
B
C
再过圆心作各边的垂线与⊙O相交，或作各中心角的角 平分线与⊙O相交，即得圆接正八边形，照此方法依次
可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形……
你能用尺规作出正六边形、正三角形、正十二边形吗？
F
E
A
O ·
以半径长在圆周上截取六段相等的弧，
D 依次连结各等分点，则作出正六边形.
2
2
六、内接正多边形与外接圆的联系
A
D
B
正多边形
多边形的边相等 多边形的角相等
C
外接圆
弦相等 圆周角相等
把正n边形的边数无限增多，就接近于圆.
正多边形
圆
由圆怎样得到正多边形？
探究
把一个圆4等分，并依次连接这些点,得到正多边形吗??
正方形
探究
量角器作图
已知⊙O的半径为2cm，求作圆的内接正三角形
O’
AOC 120, AOC AOC
2S小弓形 S弓形AOC SAOC
Байду номын сангаас
O
(S扇形OAOC SAOC ) SAOC
S扇形OAOC 2SAOC
B
C
S阴影
6S小弓形
3(S扇形OAOC
2SAOC )
(
3
3 )a2 2
10. A是半径为2的⊙O外的一点,OA=4,AB
是⊙O的切线,点B是切点,弦BC∥OA,边结AC,
中心角是_________3__6；0正多边形的中心角与外角的 大小关系是________. n
相等
（n 2）•180 n
2. O是正△ABC的中心，它是△ABC的________圆与________圆的圆
心.外接
内切
半径 3. OB叫正△ABC的________ ，它是正△ABC的________圆的半径.
A
G
H
S阴 S正六边形 6S扇形AGH
B
F
6 3 22 6 120 12
4
360
C
6 3 2
4.1(cm2 )
● O
E
D
习题答案
3. 至少是
. 2a
4. 正多边形是轴对称2 图形，奇数边的正多边形的对称轴是各个顶
点和它的对边中点的连线，偶数边的正多边形的对称轴是对边中点的连
线，当正多边形的边数为奇数时，它不是中心对称图形，当边数为偶数
F
. 中心角 中心 O
.
半径R 边 心
C
距
r
五、正多边形的有关计算
边心距OG把△AOB分成 2个全等的直角三角形.
AOG BOG 180 F n
设正多边形的边长为a，半径为R， 它的周长为L = na.
E
D
中心角 中心角 360
n
.O. R
C a
A
G
B
边心距r R2（ a）2 ， 2
面积S 1 L • 边心距（r） 1 na • 边心距（r）
正多边形和圆
1.了解正多边形和圆的有关概念. 2.理解并掌握正多边形的半径和边长、边心距、中心角之 间的关系. (重点) 3.掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法． 4.会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题.（难点）
探索新知
一、正多边形定义 各边相等，各角也相等的多边形.
观察下列几种图常形见，的正你多能边说形出这些图形的特征吗？
E
D
解 : ① 正六边形ABCDEF中,
F C 120
F
C
lE⌒A
120 a
180
2 3
a
A
B
C阴影
2(lE⌒A
ED)
2( 2 a
3
a)
4
3
6
a
9. 等边△ABC的边长为 a ,以各边为弦 作弧交于△ABC的外心O. 求:菊形的面积.
⌒
A
解 : 如图, 设AOC的圆心为O,
连结OA,OC,则AOC
D
三、内接正多边形
把圆分成 n（n≥3）等份： 依次连结各分点所得的多边形是 这个圆的内接正多边形.
四、正多边形及外接圆中的有关概念
➢ 中心: 一个正多边形的外接圆的圆心.
➢ 正多边形的半径: 外接圆的半径.
E
D
➢ 正多边形的中心角: 正多边形的每一条边 所对的圆心角.
➢ 正多边形的边心距： 中心到正多边形的一边的距离.
时，它是中心对称图形，对称中心就是这个正多边形的中心.
学习了本课后，你有哪些收获和感想？ 告诉大家好吗？
正多边形和 圆
正多边形的 有关概念
正多边形和圆的 有关计算
中心角 半径R
O
边心距r
添加辅助线的方法： 连半径，作边心距
光读书不思考也许能使平庸之辈知识 丰富，但它决不能使他们头脑清醒。
—— 约·诺里斯
外接
边心距 4. OD叫作正△ABC的________ ，它是正△ABC的________
圆的半径。
内切
A
.O
B
D
C
5. 求证：正五边形的对角线相等.
证明：连结BD、CE，则 在△BCD和△CDE中 ∵BC=CD ∠BCD=∠CDE CD=DE ∴△BCD≌△CDE ∴BD=CE 同理可证对角线相等.
E
A
D
B
C
定理证明
⌒⌒ ⌒ ⌒⌒
证明：∵AB=BC=CD=DE=EA
⌒ ⌒ ∴AB=BC=CD=DE=EA
⌒
∵BCE=CDA=3AB
∴∠1=∠2
同理∠2=∠3=∠4=∠5
又∵顶点A、B、C、D、E都在⊙O上，
∴五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形.
⊙O是五边形ABCDE的外接圆.
A
1
B2
5E
34
C
先作出正六边形，则可作正三角形，
正十二边形，正二十四边形………
B
C
例题
有一个亭子它的地基是半径为4m的正六边形，求地基的周长和面积 （精确到0.1平方米）.
F 解: 由于ABCDEF是正六边形，所以
E
它的中心角等于360 60，
6
A
OBC是等边三角形，从而正
六边形的边长等于它的半径.
..O
D
rR