人教版九年级数学上册优质课课件《一元二次方程(第一课时)》
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人教版初三数学上册一元二次方程.1《一元二次方程》课件(人教新课标九年级上)
3x2-2x-1=0
二次项系 数
1
一次项系数
-4
0.5
0
-4 √2
3
-2
常数项
-3 -√5 0 -1
下面还有题，你想再试一试吗？
3、已知关于x的方程 (m+1)x2+3x+1=0, 它二元一次方程吗？
解：根据一元二次方程的定义, 只需m +1≠0 即 m ≠-1
所以,当m ≠-1时方程是一元二次方程
在今天这节课上，你有什么样的 收获呢？有什么感想？
1. 一元二次方程的定义
2.一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0（ a,b,c为常数，a≠0 ）
3.一元二次方程中的为二次项ax2，a为二次项系数； 一次项为bx，一次项系数为b；常数项为c。
作业: p42,习题20.1 1, 2, 3
问题2
bx+c=0
ax2+c=0 ax2+bx=0
ax2=0
一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0中
二次项系数 a
ax2
二次项
一次项系数 b
bx
一次项
c
常数项
说明：要找到一元二次方程的系数和常数项，必须 先将方程化为一般形式。
例题分析
把方程3x(x-1)=2(x-2)-4化成一般形式，并写出它的二次 项系数，一次项系数及常数项。
7x =3
(完全平方公式) (移项) (合并同类项)
一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x的一元二次方程都可以 化为, ax2+bx+c=0的形式,我们把ax2+bx+c=0(a,b,c 为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式.
二次项系 数
1
一次项系数
-4
0.5
0
-4 √2
3
-2
常数项
-3 -√5 0 -1
下面还有题，你想再试一试吗？
3、已知关于x的方程 (m+1)x2+3x+1=0, 它二元一次方程吗？
解：根据一元二次方程的定义, 只需m +1≠0 即 m ≠-1
所以,当m ≠-1时方程是一元二次方程
在今天这节课上，你有什么样的 收获呢？有什么感想？
1. 一元二次方程的定义
2.一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0（ a,b,c为常数，a≠0 ）
3.一元二次方程中的为二次项ax2，a为二次项系数； 一次项为bx，一次项系数为b；常数项为c。
作业: p42,习题20.1 1, 2, 3
问题2
bx+c=0
ax2+c=0 ax2+bx=0
ax2=0
一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0中
二次项系数 a
ax2
二次项
一次项系数 b
bx
一次项
c
常数项
说明：要找到一元二次方程的系数和常数项，必须 先将方程化为一般形式。
例题分析
把方程3x(x-1)=2(x-2)-4化成一般形式，并写出它的二次 项系数，一次项系数及常数项。
7x =3
(完全平方公式) (移项) (合并同类项)
一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x的一元二次方程都可以 化为, ax2+bx+c=0的形式,我们把ax2+bx+c=0(a,b,c 为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式.
人教版九级上册 一元二次方程课件
所以得到一元二次方程的一般形式为： 3x2-7x+1=0
其中二次项系数为3，一次项系数 为-7，常数项为1。
人教版九级上册 一元二次方程课件
人教版九级上册 一元二次方程课件
练习
将下列方程化为一元二次方程的 一般形式，并写出其中的二次项系 数、一次项系数和常数项。
(1)5x2 1 4x (2)4x2 81 0
只含有一个未知数, 未知数的次数都是1,
（一元） （一次）
等号两边都是整式， 这样的方程叫做一元一次方程.
如7X-5=1,3X+7=9 等
这三个方程都不是一元一次方程.那么这两个 方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么 共同特点呢？
特点: ①都是整式方程;
②只含一个未知数;
③未知数的最高次数是2.
是关于x的一元二次方程.
人教版九年 级级 上上 册册一21元.1二次一方元程二课次件方程课件
人教版九年 级级 上上 册册一21元.1二次一方元程二课次件方程课件
• 3. 将下列方程化为一般形式，并分别 指出它们的二次项、一次项和常数项及 它们的系数：
⑴ 6y2 y
学.科.网
⑵ (x 2)(x 3) 8
人教版九级上册 一元二次方程课件
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检测： 1.关于x的一元二次方程x2 ax 2a 1 0 的各项系数之和为0，则a的值为_______
2.已知关于x的方程（m2 1)x2 （m 1)x m 0 （1）当m为何值时，此方程是一元一次方程？
(2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？
⑶ (2 3 x)(2 3 x) (x 3)2
?
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其中二次项系数为3，一次项系数 为-7，常数项为1。
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练习
将下列方程化为一元二次方程的 一般形式，并写出其中的二次项系 数、一次项系数和常数项。
(1)5x2 1 4x (2)4x2 81 0
只含有一个未知数, 未知数的次数都是1,
（一元） （一次）
等号两边都是整式， 这样的方程叫做一元一次方程.
如7X-5=1,3X+7=9 等
这三个方程都不是一元一次方程.那么这两个 方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么 共同特点呢？
特点: ①都是整式方程;
②只含一个未知数;
③未知数的最高次数是2.
是关于x的一元二次方程.
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• 3. 将下列方程化为一般形式，并分别 指出它们的二次项、一次项和常数项及 它们的系数：
⑴ 6y2 y
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⑵ (x 2)(x 3) 8
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检测： 1.关于x的一元二次方程x2 ax 2a 1 0 的各项系数之和为0，则a的值为_______
2.已知关于x的方程（m2 1)x2 （m 1)x m 0 （1）当m为何值时，此方程是一元一次方程？
(2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？
⑶ (2 3 x)(2 3 x) (x 3)2
?
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一元二次方程人教数学九年级上册PPT课件
探究新知
方法点拨
（1）一元二次方程的一般形式不是唯一 的，但习惯上都把二次项的系数化为正整数.
（2）一元二次方程的二次项、二次项系 数、一次项、一次项系数、常数项等都是针 对一般形式而言的.
（3）指出一元二次方程各项系数时，不 要漏掉前面的符号.
探究新知
知识点 3 一元二次方程解的概念
使一元二次方程等号两边相等的未知数的值 叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫 做一元二次方程的根.
50cm
（100-2x）（50-2x）=3600
整理，得
x2-75x+350=0
3600cm2 100cm
探究新知
要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比 赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天 安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
【分析】设应邀请x个队参赛，每个队要与其他(x-1)个队各
课堂检测
（2）若 a+b+c=0,你能通过观察,求出方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗?
解：a+b+c=0可转化为 a×12+b×1+c=0
因此，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是1.
课堂检测
(3)若 a-b +c=0,4a+2b +c=0 ，你能通过观察,求出方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗?
人教版 数学 九年级 上册
21.1 一元二次方程
素养目标
3.理解一元二次方程解（根）的概念，并能 解决相关问题. 2.灵活应用一元二次方程概念解决有关问题.
1.理解一元二次方程的概念，根据一元二 次方程的一般形式，确定各项系数.
初三上数学课件(人教版)-实际问题与一元二次方程(第一课时)
1.会根据具体问题（按一定传播速度传播问题、数字问 题和利润问题）中的数量关系列一元二次方程并求解。
2.能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理。 3.进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键。
重点：列一元二次方程解决实际问题 . 难点：找出实际问题中的等量关系 .
未知量
间接设
实际意义
问题：有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了 流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
B
9
解：设3月份到5月份营业额的月平均增长率为x， 根据题意得，400×(1+10%)(1+x)2=633.6， 解得,x =0.2=20%,x =2.2(不合题意舍去).答:(略)
解：设这个两位数的个位数字为x，
则十位数字为x-2，这个两位数为10（x-2）+x，
依题意得10（x-2）+x=3x(x-2)
分析：设每轮传染中平均一个人传染x个人，
⑴开始有一人患了患流感，第一轮的传染源就是这个
人，他传染了x个人，用代数式表示第一轮后，共有___人
患了流感；第二轮传染中，这些人中每一个人又传染了x人
，用代数式表示
，第二轮后，共有
人患流感
。
⑵根据等量关系列方程：_______.
⑶解这个方程得：_______.
（2）设未知数（几种设法） ．设较小的奇数为x，则另 一奇数为x+2， 设较小的奇数为x-1，则另一奇数为x+1； 设 较小的奇数为2x-1，则另一个奇数2x+1． 解法二：
设较小的奇数为x-1，则较大的奇数为x+1
据题意，得（x-1）（x+1）=323． 整理后，得x2=324． 解这个方程，得x1=18，x2=-18． 当x=18时，18-1=17，18+1=19．
2.能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理。 3.进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键。
重点：列一元二次方程解决实际问题 . 难点：找出实际问题中的等量关系 .
未知量
间接设
实际意义
问题：有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了 流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
B
9
解：设3月份到5月份营业额的月平均增长率为x， 根据题意得，400×(1+10%)(1+x)2=633.6， 解得,x =0.2=20%,x =2.2(不合题意舍去).答:(略)
解：设这个两位数的个位数字为x，
则十位数字为x-2，这个两位数为10（x-2）+x，
依题意得10（x-2）+x=3x(x-2)
分析：设每轮传染中平均一个人传染x个人，
⑴开始有一人患了患流感，第一轮的传染源就是这个
人，他传染了x个人，用代数式表示第一轮后，共有___人
患了流感；第二轮传染中，这些人中每一个人又传染了x人
，用代数式表示
，第二轮后，共有
人患流感
。
⑵根据等量关系列方程：_______.
⑶解这个方程得：_______.
（2）设未知数（几种设法） ．设较小的奇数为x，则另 一奇数为x+2， 设较小的奇数为x-1，则另一奇数为x+1； 设 较小的奇数为2x-1，则另一个奇数2x+1． 解法二：
设较小的奇数为x-1，则较大的奇数为x+1
据题意，得（x-1）（x+1）=323． 整理后，得x2=324． 解这个方程，得x1=18，x2=-18． 当x=18时，18-1=17，18+1=19．
人教版数学九年级上册《一元二次方程》教学课件
21.1第二十一章一元二次方程1.经历由实际问题抽象出一元二次方程等有关概念的过程，体会到方程也是刻画现实世界数量关系的一个有效的数学模型.2.正确理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，并能将一元二次方程化为一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项.3.通过概念教学，培养观察、类比、归纳能力，同时通过变式练习，对概念的理解具备完整性和深刻性.探究新知新课导入要设计一座2米高的人体雕塑，使雕塑的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感.那么它的下部应设计为多高？这个方程与我们学过的一元一次方程不同，其中未知数x的最高次数是2.如何解这类方程？如何用这类方程解决一些实际问题？问题1设切去的正方形的边长为x cm ，则盒底的长为(1002)x -cm ，宽为(502)x -.根据方盒的底面积为36002cm .得(1002)(502)3600x x --=.整理，得2430014000x x -+=. 化简，得2753500x x -+=.由方程可以得出所切正方形的具体尺寸.要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和事件等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？（1）都只含有一个未知数x；（3）是整式方程.探究概念1.一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.2.一元二次方程必须同时满足三个条件：（1）是整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.一元二次方程的一般形式一元二次方程的特殊形式【注意】常将一元二次方程中的各项按未知数降幂的顺序排列.例题解：解（根）【解析】【解析】【解析】【解析】【解析】【解析】1.本节课我们主要学习了哪些内容？2.一元二次方程的概念3.一元二次方程的一般形式4.一元二次方程的解谢谢观看。
初中数学教学课件一元二次方程人教版九年级上ppt
ax2bxc0(a0)
这种形式叫做一元二次方程的一般形式． 其中ax2是二次项，a是二次项系数； bx是一次项，b 是一次项系数；c是常数项．
初中数学教学课件- 一元二次方程人教版九年级上ppt（PP T优秀 课件）
初中数学教学课件- 一元二次方程人教版九年级上ppt（PP T优秀 课件）
例题
【例1】将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出各 项系数.
（1） x2 360 （2）4x2 90 .
【解析】根据平方根的定义得方程（1）的根为x=±6， 方程（2）的根为x=± . 3
2
2．有人解这样一个方程 (x5)x (1 )7 解：x+5=1或x－1=7，所以x1=－4，x2=8，你的看法如何？ 【解析】上述解法是错误的，将 x1、x2 代入原方程等 式两边不相等，因此它们并不是原方程的解.
2
共同特点：（1）等号两边都是整式； （2）整式的最高次数是2次.
初中数学教学课件- 一元二次方程人教版九年级上ppt（PP T优秀 课件）
初中数学教学课件- 一元二次方程人教版九年级上ppt（PP T优秀 课件）
2．归纳： （1）方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且 未知数的最高次数是2的方程叫作一元二次方程； （2）一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整 理，都能化成如下形式 ：
初中数学教学课件- 一元二次方程人教版九年级上ppt（PP T优秀 课件）
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3.（兰州·中考）上海世博会的某纪念品原价168元，
连续两次降价a%后售价为128元. 下列所列方程中正确的是
（）
A.168（1+a%）2=128
这种形式叫做一元二次方程的一般形式． 其中ax2是二次项，a是二次项系数； bx是一次项，b 是一次项系数；c是常数项．
初中数学教学课件- 一元二次方程人教版九年级上ppt（PP T优秀 课件）
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例题
【例1】将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出各 项系数.
（1） x2 360 （2）4x2 90 .
【解析】根据平方根的定义得方程（1）的根为x=±6， 方程（2）的根为x=± . 3
2
2．有人解这样一个方程 (x5)x (1 )7 解：x+5=1或x－1=7，所以x1=－4，x2=8，你的看法如何？ 【解析】上述解法是错误的，将 x1、x2 代入原方程等 式两边不相等，因此它们并不是原方程的解.
2
共同特点：（1）等号两边都是整式； （2）整式的最高次数是2次.
初中数学教学课件- 一元二次方程人教版九年级上ppt（PP T优秀 课件）
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2．归纳： （1）方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且 未知数的最高次数是2的方程叫作一元二次方程； （2）一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整 理，都能化成如下形式 ：
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3.（兰州·中考）上海世博会的某纪念品原价168元，
连续两次降价a%后售价为128元. 下列所列方程中正确的是
（）
A.168（1+a%）2=128
人教版数学九年级上册《一元二次方程》教学PPT课件
两条对角线长的菱形的面积.
【解析】 整理原方程得ax2 a bx 2b c 0，
即ax2 bx a 2b c 0.
原方程化为一般形式后为6x2 10x 1 0，
a 6，b 10.
S菱形
1 610 30. 2
4.已知关于 x 的方程(m 1)xm21 (m 3)x 1=0. （1）当 m 取何值时，该方程是一元二次方程？
思考 方程 x2 2x 4 0； x2 75x 350 0； x2 x 56有什么共同点？
这三个方程都不是一元一次方程.整理后含有几个未知数？它的最高次数是 几？它们有什么共同特点？
（1）都只含有一个未知数x； （2）它们的最高次数是2； （3）是整式方程.
探究概念
1.一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未 知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
练一练
【解析】 （1）(m 1)xm21 m 3 x 1 0是一元二次方程，
则m 1 0，m2 1 2，解得m 1. 当m 1时，方程(m 1)xm2 1 (m 3)x 1 0是一元二次方程.
4.已知关于 x 的方程(m 1)xm21 (m 3)x 1=0. （2）当 m 取何值时，该方程是一元一次方程？
谢谢观看
解： 去括号，得3x2 3x 5x 10.
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2 8x 10 0. 其中二次项系数为 3，一次项系数为8，常数项为10.
解（根）
概念
使方程左右两边相等的未知数的值就是这 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ一元二次方程的解，一元二次方程的解也 叫做一元二次方程的根.
判断一个数是 将这个数代入一元二次方程的左右两边，看 否是一元二次 是否相等，若相等，则该数是这个方程的根；
【解析】 整理原方程得ax2 a bx 2b c 0，
即ax2 bx a 2b c 0.
原方程化为一般形式后为6x2 10x 1 0，
a 6，b 10.
S菱形
1 610 30. 2
4.已知关于 x 的方程(m 1)xm21 (m 3)x 1=0. （1）当 m 取何值时，该方程是一元二次方程？
思考 方程 x2 2x 4 0； x2 75x 350 0； x2 x 56有什么共同点？
这三个方程都不是一元一次方程.整理后含有几个未知数？它的最高次数是 几？它们有什么共同特点？
（1）都只含有一个未知数x； （2）它们的最高次数是2； （3）是整式方程.
探究概念
1.一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未 知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
练一练
【解析】 （1）(m 1)xm21 m 3 x 1 0是一元二次方程，
则m 1 0，m2 1 2，解得m 1. 当m 1时，方程(m 1)xm2 1 (m 3)x 1 0是一元二次方程.
4.已知关于 x 的方程(m 1)xm21 (m 3)x 1=0. （2）当 m 取何值时，该方程是一元一次方程？
谢谢观看
解： 去括号，得3x2 3x 5x 10.
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2 8x 10 0. 其中二次项系数为 3，一次项系数为8，常数项为10.
解（根）
概念
使方程左右两边相等的未知数的值就是这 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ一元二次方程的解，一元二次方程的解也 叫做一元二次方程的根.
判断一个数是 将这个数代入一元二次方程的左右两边，看 否是一元二次 是否相等，若相等，则该数是这个方程的根；
人教版数学九年级上册21.1 一元二次方程课件(共24张PPT)
解：设小道的宽度为x米，得(20－2x)(10－x)＝120整理得x2-要建造一个长10m，宽5m玻璃顶观景亭，如图所示在它的四角建造四个截面为正方形的承重柱. 已知需要用到玻璃的面积为45m2，那么承重柱的宽度多少？
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
人教版九年级数学上册《实际问题与一元二次方程》PPT课件
感悟新知
知4－练
1 一个两位数，它的十位数字比个位数字小4，若 把这两个数字调换位置，所得的两位数与原两 位数的乘积等于765，求原两位数． 15
2 两个相邻偶数的积是168.求这两个偶数．
12和14
课堂小结
一元二次方程
1. 列一元二次方程解实际应用问题有哪些步骤? 2. 列方程解实际问题时要注意以下两点：
感悟新知
乙种药品成本的年平均下降率是多少？请比较
两种药品成本的年平均下降率．
知1－练
解：设乙种药品的年平均下降率为y，列方程得
6000（1 － y ）2=3600.
解方程，得 y1≈0.225，y2≈1.775. 根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率
约为22.5%. 综上所述，甲乙两种药品成本的年平均
感悟新知
知2－练
解：(1) 设每轮分裂中每个有益菌可分裂出x个有益菌， 根据题意，得 60(1＋x)2＝24 000. 解得x1＝19，x2＝－21(不合题意，舍去)． 答：每轮分裂中每个有益菌可分裂出19个有益菌．
(2) 60×(1＋19)3＝60×203＝480 000(个)． 答：经过三轮培植后共有480 000个有益菌．
知识点 2 营销策划问题
知2－练
例2 某特产专卖店销售核桃,其进价为每千克40元， 按每
千克60元出售,平均每天可售出100千克, 后来经过市 场调查发现,单价每降低2元,则平均每天的销售可增 加20千克,若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获 利2240元,请回答:
在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客, 赢得市场, 该店应按原售价的几折出售?
是否正确、作答前验根是否符合实际.
感悟新知
人教版九年级数学上册优质课课件一元二次方程第一课
With the improving quality of life as well as the ever-accelerating pace of life, the quality of people's food needs and rate also changing.In order to meet the needs of society
With the improving quality of life as well as the ever-accelerating pace of life, the quality of people's food needs and rate also changing.In order to meet the needs of society
With the improving quality of life as well as the ever-accelerating pace of life, the quality of people's food needs and rate also changing.In order to meet the needs of society
With the improving quality of life as well as the ever-accelerating pace of life, the quality of people's food needs and rate also changing.In order to meet the needs of society
With the improving quality of life as well as the ever-accelerating pace of life, the quality of people's food needs and rate also changing.In order to meet the needs of society
人教版初中数学九年级上册 21.1 一元二次方程 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
1.一元二次方程的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
化(a,为b,c为a常x数2 ，ab≠x0）的称c形为式一0,我元们二把次方程的一般形式。 ax2 bx c 0
谢谢
4．动脑思考，巩固训练
2．根据下列问题，列出关于 x 的方程，并将所列 方程化成一元二次方程的一般形式．
（1）4 个完全相同的正方形的面积之和是 25，求 正方形的边长 x；
（2）一个矩形的长比宽多 2，面积是 100，求矩形 的长 x；
（3）把长为 1 的木条分成两段，使较短一段的长 与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的 长 x．
高多少米?
A
分析: 雕像上部的高度AC,下部的高度BC 2-x
应有如下关系:
C
AC BC 即 BC2 2AC
x
BC 2
设雕像下部高xm,于是得方程
B
x2 2(2 x) 整理得 x2 2x 4 0
问题正方形,然后将四周突 出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要 制作的方盒的底面积为3600平方厘米,那么铁 皮各角应切去多大的正方形?
分析: 全部比赛共 4×7=28场
设应邀请x个队参赛,每个队要与其他 (x-1) 个队各
赛1场,
由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是
同一场比赛,所以全部比赛共
1 x(x 1) 2
28场.
即
x2 x 56
1．细心观察，归纳定义
思考：观察上述三个方程，它们与一元一次方程有 什么共同点？有什么不同点？
21.1 一元二次方程
九年级数学上册(人教版)《一元二次方程》教学课件
1/4/2023
数字与方程
例2.有一个两位数,它的十位数字与个位数字的和是5.把这 个两位数的十位数字与个位数字互换后得到另一个两位 数,两个两位数的积为763.求原来的两位数.
解 :设这个两位数的个位数 字为x,根据题意,得
105 x x10 x 5 x 736.
整理得x2 5x 6 0.
解 :设这种存款的年利率为x,根据题意,得
[500(1 0.8 x ) 50](1 0.8 x ) 461.
整理得 : 解得 :
320x2 760x 11 0.
x 760 591680 760 769.2 ,
640
640
x1 0.144 1.44%; x2 （0 不合题意，舍去）.
当 b 2 4ac 0时 ,
5.开方:根据平方根意义,
x b b2 4ac .
2a
2a
方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
x1/4/2023b b2 4ac . b2 4ac 0 .
2a
4.因式分解法
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两 个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法 求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法你为因 式分解法.
小结 拓展
回味无穷
• 列方程解应用题的一般步骤是: • 1.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系? • 2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位; • 3.列:列代数式,列方程; • 4.解:解所列的方程; • 5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意; • 6.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活. • 列方程解应用题的关键是: • 找出相等关系. • 关于两次平均增长(降低)率问题的一般关系:
数字与方程
例2.有一个两位数,它的十位数字与个位数字的和是5.把这 个两位数的十位数字与个位数字互换后得到另一个两位 数,两个两位数的积为763.求原来的两位数.
解 :设这个两位数的个位数 字为x,根据题意,得
105 x x10 x 5 x 736.
整理得x2 5x 6 0.
解 :设这种存款的年利率为x,根据题意,得
[500(1 0.8 x ) 50](1 0.8 x ) 461.
整理得 : 解得 :
320x2 760x 11 0.
x 760 591680 760 769.2 ,
640
640
x1 0.144 1.44%; x2 （0 不合题意，舍去）.
当 b 2 4ac 0时 ,
5.开方:根据平方根意义,
x b b2 4ac .
2a
2a
方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
x1/4/2023b b2 4ac . b2 4ac 0 .
2a
4.因式分解法
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两 个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法 求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法你为因 式分解法.
小结 拓展
回味无穷
• 列方程解应用题的一般步骤是: • 1.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系? • 2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位; • 3.列:列代数式,列方程; • 4.解:解所列的方程; • 5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意; • 6.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活. • 列方程解应用题的关键是: • 找出相等关系. • 关于两次平均增长(降低)率问题的一般关系:
人教版初中数学九年级上册 21.1 一元二次方程 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
21.1 一元二次方程
学习目标
1.理解一元二次方程的概念，并 会判断一元二 次方程。
2.掌握一元二 次方程的一般形式 ，并且根据一般形式确定各 项的系数。
3.理解一元二次方程解的概念， 并能解决相关问题 。
重点：理解一元二次方
程的概念及其一般形式
难点：运用概念解决
问题
一.复习回顾
1.什么叫方程？我们学过那些方程？ 含有未知数的等式叫方程 2.什么叫一元一次方程？ 含有一个未知数，并且未知数的最 高次数为1的整式方程 3.什么叫分式方程？ 分母中含有未知数的方程
二.探究新知
问题(1)： 要设计一座高2m的人体雕像,使它的
Hale Waihona Puke 上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部
与全部的高度比,求雕像的下部应设计为高多少米
?
AC BC
分析:
BC 2
A
2-x
C
设雕像下部高xm,于是得方程
x
x2 2(2 x)
B x2 2x 4 0
问题(2)： 有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在它
2.下面哪些数是方程 x2 x 6 的0 根?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
3.你能写出方程 x2 x 0的根吗?
三.当堂检测
.选择题 1.方程（m－1)x2＋mx＋1=0为关于x的一元二次 方程则m的值为＿＿＿ A 任何实数 B m≠0 C m≠1 D m≠0 且m≠1
2.关于x的方程中一定是一元二次方程的是 A ax2＋bx＋c＝0 B mx2＋x－m2＝0 C(m＋1)x2＝(m＋1)2 D （m2＋1) x2－m2＝0
行28场比赛,则应邀请多少个队参加比赛?
学习目标
1.理解一元二次方程的概念，并 会判断一元二 次方程。
2.掌握一元二 次方程的一般形式 ，并且根据一般形式确定各 项的系数。
3.理解一元二次方程解的概念， 并能解决相关问题 。
重点：理解一元二次方
程的概念及其一般形式
难点：运用概念解决
问题
一.复习回顾
1.什么叫方程？我们学过那些方程？ 含有未知数的等式叫方程 2.什么叫一元一次方程？ 含有一个未知数，并且未知数的最 高次数为1的整式方程 3.什么叫分式方程？ 分母中含有未知数的方程
二.探究新知
问题(1)： 要设计一座高2m的人体雕像,使它的
Hale Waihona Puke 上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部
与全部的高度比,求雕像的下部应设计为高多少米
?
AC BC
分析:
BC 2
A
2-x
C
设雕像下部高xm,于是得方程
x
x2 2(2 x)
B x2 2x 4 0
问题(2)： 有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在它
2.下面哪些数是方程 x2 x 6 的0 根?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
3.你能写出方程 x2 x 0的根吗?
三.当堂检测
.选择题 1.方程（m－1)x2＋mx＋1=0为关于x的一元二次 方程则m的值为＿＿＿ A 任何实数 B m≠0 C m≠1 D m≠0 且m≠1
2.关于x的方程中一定是一元二次方程的是 A ax2＋bx＋c＝0 B mx2＋x－m2＝0 C(m＋1)x2＝(m＋1)2 D （m2＋1) x2－m2＝0
行28场比赛,则应邀请多少个队参加比赛?
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各赛1场, 由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛
1 是同一场比赛,所以全部比赛共 x( x 1) 28 场. 2
即
x x 56
2
?
x 2x 4 0 x2 75 x 350 0
2
x x 56
2
这三个方程都不是一元一次方程.那么这两个 方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么 共同特点呢？ 特点: ①都是整式方程; ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2.
B
x
x 2(2 x) 整理得 x2 2 x 4 0
2
问题(2) 有一块矩形铁皮 ,长100㎝,宽50㎝,在
它的四角各切去一个正方形 , 然后将四周突出部 分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方 盒的底面积为 3600 平方厘米 , 那么铁皮各角应切 去多大的正方形? 分析:
为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？
a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)
二次项系数
一次项系数
例题讲解
• [例1]判断下列方程是否为一元二次方程？ • （1） 3x 2 5 y 3 • （2）x 4
2
x2 2 1 x • （3） x 1
• （4）x 4 ( x 2)
2
⑵ ⑶
( x 2)(x 3) 8
(2 3 x)(2 3 x) ( x 3)
2
?
例题讲解 例题讲解
• [例３]方程（2a—4）x2 —2bx+a=0, 在 什么条件下此方程为一元二次方程？在 什么条件下此方程为一元一次方程？
解：当a≠2时是一元二次方程；当a ＝2，b≠0时是一元一次方程；
1.下列方程中,无论a为何值,总是关于x的一元 二次方程的是( D ) A.(2x-1)(x2+3)=2x2-a B.ax2+2x+4=0 C.ax2+x=x2-1 D.(a2+1)x2=0 2.当m为何值时,方程(m 1) x Nhomakorabea4m
2
27mx 5 0
是关于x的一元二次方程.
1.关于x的方程 (m 3) x nx m 0 在什么条件下是一元二次方程？ 在什么条件下是一元一次方程？ 2. 关于x的方程（2m2＋m－3)xm＋1＋5x＝13 可能是一元二次方程吗？ 3.若方程kx3－(x－1)2＝3(k－2)x3＋1是关于x 的一元二次方程，则k＝＿＿＿
一元二次方程的概念
• 像这样的等号两边都是整式, 只含有 一个未知数(一元)，并且未知数的最 高次数是2(二次)的方程叫做一元二次 方程(quadratic equation in one unknown) 1 10 x 900 0 是一元二次方程吗？ 2 x
一元二次方程的一般形式 一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以 化为 ax 2 bx 的形式 ,我们把 c 0 ax 2 bx c 0 (a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。 想一想
2
随堂练习三
4.m为何值关于x的方程(3a＋1)x2＋6ax－3=0是 一元 二次方程 5.K为何值方程（k2－9)x2＋(k－5)x＋3=0不是关 于x的一元二次方程
1.一元二次方程的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整 式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以 2 化为 ax 2 bx的形式 c 0 ,我们把 ax bx c 0 (a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。
2
2
?
例题讲解 例题讲解
• [例2] 将下列方程化为一般形式， 并分别指出它们的二次项、一次项 和常数项及它们的系数：
3x( x 1) 5( x 2)
第32页练习 第1、2题
?
• 3. 将下列方程化为一般形式，并分别 指出它们的二次项、一次项和常数项及 它们的系数： ⑴ 6y y
?
设切去的正方形的边长为xcm, 则盒底的长为 (100-2x)cm ,宽 为 (50-2x)cm . x 根据方盒的底面积为3600cm2, 得 (100 2 x)(50 2 x) 3600 即
3600
100㎝
50㎝
x2 75 x 350 0
问题(3) 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队 之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程 计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀 请多少个队参加比赛? 分析: 全部比赛共 4×7=28场 设应邀请x个队参赛,每个队要与其他 (x-1) 个队
问题 (1) 要设计一座高 2m 的人体雕像 , 使它的 上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比 ,等于下部 与全部的高度比 , 求雕像的下部应设计为高多少 A 米? 2-x 分析: 雕像上部的高度AC,下部的高度BC
应有如下关系:
C
?
AC BC 2 2 AC 即 BC BC 2
设雕像下部高xm,于是得方程
1 是同一场比赛,所以全部比赛共 x( x 1) 28 场. 2
即
x x 56
2
?
x 2x 4 0 x2 75 x 350 0
2
x x 56
2
这三个方程都不是一元一次方程.那么这两个 方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么 共同特点呢？ 特点: ①都是整式方程; ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2.
B
x
x 2(2 x) 整理得 x2 2 x 4 0
2
问题(2) 有一块矩形铁皮 ,长100㎝,宽50㎝,在
它的四角各切去一个正方形 , 然后将四周突出部 分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方 盒的底面积为 3600 平方厘米 , 那么铁皮各角应切 去多大的正方形? 分析:
为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？
a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)
二次项系数
一次项系数
例题讲解
• [例1]判断下列方程是否为一元二次方程？ • （1） 3x 2 5 y 3 • （2）x 4
2
x2 2 1 x • （3） x 1
• （4）x 4 ( x 2)
2
⑵ ⑶
( x 2)(x 3) 8
(2 3 x)(2 3 x) ( x 3)
2
?
例题讲解 例题讲解
• [例３]方程（2a—4）x2 —2bx+a=0, 在 什么条件下此方程为一元二次方程？在 什么条件下此方程为一元一次方程？
解：当a≠2时是一元二次方程；当a ＝2，b≠0时是一元一次方程；
1.下列方程中,无论a为何值,总是关于x的一元 二次方程的是( D ) A.(2x-1)(x2+3)=2x2-a B.ax2+2x+4=0 C.ax2+x=x2-1 D.(a2+1)x2=0 2.当m为何值时,方程(m 1) x Nhomakorabea4m
2
27mx 5 0
是关于x的一元二次方程.
1.关于x的方程 (m 3) x nx m 0 在什么条件下是一元二次方程？ 在什么条件下是一元一次方程？ 2. 关于x的方程（2m2＋m－3)xm＋1＋5x＝13 可能是一元二次方程吗？ 3.若方程kx3－(x－1)2＝3(k－2)x3＋1是关于x 的一元二次方程，则k＝＿＿＿
一元二次方程的概念
• 像这样的等号两边都是整式, 只含有 一个未知数(一元)，并且未知数的最 高次数是2(二次)的方程叫做一元二次 方程(quadratic equation in one unknown) 1 10 x 900 0 是一元二次方程吗？ 2 x
一元二次方程的一般形式 一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以 化为 ax 2 bx 的形式 ,我们把 c 0 ax 2 bx c 0 (a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。 想一想
2
随堂练习三
4.m为何值关于x的方程(3a＋1)x2＋6ax－3=0是 一元 二次方程 5.K为何值方程（k2－9)x2＋(k－5)x＋3=0不是关 于x的一元二次方程
1.一元二次方程的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整 式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以 2 化为 ax 2 bx的形式 c 0 ,我们把 ax bx c 0 (a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。
2
2
?
例题讲解 例题讲解
• [例2] 将下列方程化为一般形式， 并分别指出它们的二次项、一次项 和常数项及它们的系数：
3x( x 1) 5( x 2)
第32页练习 第1、2题
?
• 3. 将下列方程化为一般形式，并分别 指出它们的二次项、一次项和常数项及 它们的系数： ⑴ 6y y
?
设切去的正方形的边长为xcm, 则盒底的长为 (100-2x)cm ,宽 为 (50-2x)cm . x 根据方盒的底面积为3600cm2, 得 (100 2 x)(50 2 x) 3600 即
3600
100㎝
50㎝
x2 75 x 350 0
问题(3) 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队 之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程 计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀 请多少个队参加比赛? 分析: 全部比赛共 4×7=28场 设应邀请x个队参赛,每个队要与其他 (x-1) 个队
问题 (1) 要设计一座高 2m 的人体雕像 , 使它的 上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比 ,等于下部 与全部的高度比 , 求雕像的下部应设计为高多少 A 米? 2-x 分析: 雕像上部的高度AC,下部的高度BC
应有如下关系:
C
?
AC BC 2 2 AC 即 BC BC 2
设雕像下部高xm,于是得方程