弹性力学基本概念
弹性力学的基本概念和基本假设
弹性力学
yx
xy
yy
x
xx
正！
yx
1.2 弹性力学的基本概念及基本假设
3.应力正负号规定
弹力与材力 相比，正应力符号，相同 切应力符号，不同
O( z )
x
O( z )
x
x
y
x
y
材力：以拉为正
材力：顺时针向为正
1.2 弹性力学的基本概念及基本假设
1.2 弹性力学的基本概念及基本假设
5.弹性力学中的基本假定
（1）连续性 假定（与材料力学相同） 假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所 填满，不留下任何空隙。 意义：各力学量可用连续函数表示。 （2）完全弹性 假定外力撤销后，物体的变形可以完全恢复，并 且在变形的过程中完全服从胡克定律。 意义：应力与应变成线性关系。
1.外力：体力和面力
外力 --其他物体对研究对象（弹性体）
的作用力。
1.2 弹性力学的基本概念及基本假设
1.外力：体力和面力
1.体力 —— 分布在物体体积内的力
z
fz
F
F f lim V 0 V
—— 体力分布集度 （矢量）
f fxi f y j fzk
fx、fy、fz为体力矢量在坐标轴上的投影 单位： N/m3 kN/m3
k i
x
O j
fx
S f y
y
f x f y f z 沿着坐标轴方向为正，反之为负。
1.2 弹性力学的基本概念及基本假设
2.内力、应力和应变
弹性力学中的内力、应力、应变的概念与材 料力学完全相同，不同之处仅在于应力正负 号的规定方面。 材料力学 通过杆件变形来规定正方向：
第二章弹性力学基础
+
¶ 2 x ¶ z2
材料力学 — 区别与联系 — 弹性力学
y
y
q
q
sx
ͼ 1-1a
x 0
sx x
X方向应力情况对比
ͼ 1-1b
材料力学 — 区别与联系 — 弹性力学
y q
y q
sx sy
ͼ 1-2a
平面截面假设
sx
sy
x
x
ͼ 1-2b
q
sy =q ͼ 1-2c
sx
Y方向应力情况对比
材料力学 — 区别与联系 — 弹性力学
v
A
B u + ¶u dx
dx
¶x
0 ͼ 1-5
由于变形是微小的，所 以上式可将比单位值小 得多的 ¶u 略去，得
¶x
a = ¶v
¶x
同理，Y向线素AD的转角
b = ¶u
¶y
因此，剪应变为：
x
xy
=
a
+
b
=
¶v ¶x
+
¶u ¶y
应变分量与位移分量的关系
以上是考察了体素在XOY一个平面内的变形情况，
相反，如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴 的负方向，这个面上的应力就以沿坐标轴的负方向 为正，沿坐标轴正方向为负。
二、 应力的概念
剪应力互等定律
作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两 面交线的剪应力是互等的。(大小相等，正负号也 相同)。因此剪应力记号的两个角码可以对调。
由力矩平衡得出 简化得
2 yz dXdZ
sz
xy
yz
zx
T
(1 - 2)
物体的弹性弹性力学与弹性恢复的原理
物体的弹性弹性力学与弹性恢复的原理物体的弹性力学与弹性恢复的原理概述弹性力学是研究物体在外力作用下产生位移或形变，并在去除外力后恢复原状的力学学科。
本文将介绍物体的弹性力学以及弹性恢复的原理。
一、弹性力学的基本概念弹性力学是研究物体在外力作用下发生形变后恢复原状的学科。
其中，弹性形变是指物体在外力作用下，形状和大小发生变化，但在去除外力后能够恢复到初始状态的现象。
二、胡克定律胡克定律是描述弹性体变形的基本定律，它表明物体受力时的弹性形变与外力成正比。
根据胡克定律，弹性形变可以用以下公式表示：F = kx其中，F代表外力的大小，k代表弹性系数，x代表物体的弹性形变。
该公式说明了外力对物体产生形变的影响程度。
三、物体的弹性恢复1. 弹性变形与塑性变形物体在受力后发生的变形可以分为弹性变形和塑性变形两种。
弹性变形是指物体在受力后发生形变，但在去除外力后能够完全恢复到初始状态；而塑性变形是指物体在受力后发生形变，即使去除外力也无法完全恢复到初始状态。
2. 弹性恢复的原理物体的弹性恢复是由于其内部分子或原子间的相互作用力导致的。
在物体受力后，分子或原子之间的间距发生变化，但分子或原子之间的相互作用力足够强，能够使物体恢复到初始状态。
四、物体的弹性势能物体在受力产生弹性形变时，会具有弹性势能。
物体的弹性势能可以用以下公式表示：E = 1/2kx^2其中，E代表弹性势能，k代表弹性系数，x代表物体的弹性形变。
弹性势能表示了物体产生弹性形变时所具有的能量。
五、物体的弹性模量弹性模量是衡量物体抵抗弹性形变的性质大小的物理量。
常见的弹性模量有杨氏模量、剪切模量和泊松比等。
其中，杨氏模量是表示物体沿轴向受力时发生弹性形变的能力；剪切模量是表示物体在垂直方向上受力时发生弹性形变的能力；泊松比是表示物体在受力作用下，在垂直方向上的形变与在轴向的形变之间的比例关系。
六、物体的弹性极限物体有一个弹性极限，即在超过该极限时，物体将无法恢复到初始状态。
弹性力学基本概念和考点汇总
弹性力学基本概念和考点汇总弹性力学是研究物体在受力作用下的形变和应力的学科。
它是物理学和工程学中的一门重要课程，被广泛应用于材料力学、结构设计和工程力学等领域。
在学习弹性力学的过程中，有一些基本概念和考点是必须要掌握的。
1.弹性形变和塑性形变：弹性形变是指物体在受到外力作用后，恢复到原始形状的形变。
而塑性形变是指物体在受到外力作用后，不能完全恢复到原始形状的形变。
2.弹性力学中的基本假设：在弹性力学中，通常做出两个基本假设。
第一个是小变形假设，即物体在受力作用下发生的形变是很小的；第二个是线弹性假设，即物体的应力和应变之间的关系是线性的。
3.弹性势能和应变能：弹性势能是指物体在受力过程中，由于形变而储存的能量。
而应变能是指物体在受力过程中，由于形变而转换成的能量。
4. Hooke定律：Hooke定律是指物体在小变形范围内，应力和应变之间的关系是线性的。
它可以表示为应力等于弹性模量乘以应变。
5.弯曲力学：弯曲力学是研究杆件在受到弯曲力作用下的形变和应力分布。
在弯曲力学中，有一些重要的概念和公式，如弯曲应力、弯曲应变、弯矩和弯曲方程等。
6.薄壁压力容器：薄壁压力容器是指在薄壁条件下，承受内外压力作用的容器。
在薄壁压力容器的分析中，常常需要考虑切应力和平均应力的计算。
7.稳定性分析：稳定性分析是指对于一个受到外力作用的物体，判断其是否处于稳定平衡状态的分析。
在稳定性分析中，需要考虑物体的刚度、屈曲和挠度等因素。
8.复合材料力学：复合材料是由两种或两种以上不同材料组成的材料。
在复合材料力学中，需要考虑不同材料的力学性能和界面效应等因素。
9.动力学分析：动力学分析是研究物体在受到外力作用下的运动状态和运动规律。
在动力学分析中，需要考虑物体的质量、加速度和作用力等因素。
以上是弹性力学中的一些基本概念和考点的汇总。
掌握这些基本概念和考点可以帮助我们理解弹性力学的基本原理和应用，进而应用于实际问题的分析和解决。
弹性力学基础
弹性力学基础弹性力学是力学中的一个重要分支，研究物体在受力后的变形和恢复能力。
本文将介绍弹性力学的基本概念、公式和应用。
一、基本概念弹性力学研究的对象是弹性体，即当受到外力作用后，可以恢复原状的物质。
弹性体的变形可以分为弹性变形和塑性变形两种。
弹性变形是指在外力作用下，物体发生变形但不改变其内部结构，当外力消失后，物体可以完全恢复原状。
塑性变形是指在外力作用下，物体发生变形会改变其内部结构，当外力消失后，物体无法完全恢复原状。
二、弹性模量弹性模量是衡量物体弹性变形程度的物理量，常用的弹性模量包括杨氏模量、剪切模量和泊松比。
其中，杨氏模量是衡量物体在拉伸或压缩时的弹性变形程度的量值，剪切模量是衡量物体在受到切割力时的弹性变形程度的量值，泊松比是物体在受到拉伸或压缩时在垂直方向上的变形程度与水平方向上的变形程度之比。
三、胡克定律胡克定律是弹性力学中的基本定律，描述了物体受到力的作用下的弹性变形。
根据胡克定律，当物体受到力的作用后，物体发生的弹性变形与力的大小成正比，与物体的初始长度成反比。
胡克定律可以用数学公式表示为F = kx，其中F为外力的大小，k为弹性系数，x为物体的弹性变形量。
四、应力和应变应力是物体受到外力作用后单位面积上的力的大小，用σ表示。
应变是物体受到外力作用后单位长度变化量与原始长度的比值，用ε表示。
根据胡克定律，应力与应变之间存在线性关系，称为胡克定律。
五、弹性力学的应用弹性力学在工程领域中有广泛的应用，例如在结构设计中，通过弹性力学的理论分析，可以确定结构的稳定性和安全性。
在材料科学中，弹性力学可以帮助研究材料的强度和刚度，为材料的选择和设计提供指导。
此外，弹性力学还在地震学、电子学和生物学等领域中有着重要的应用。
总结：弹性力学是研究物体受力后的变形和恢复能力的学科。
本文介绍了弹性力学的基本概念，包括弹性体、弹性变形和塑性变形等概念；弹性模量、杨氏模量、剪切模量和泊松比等物理量；胡克定律、应力和应变的关系；以及弹性力学在工程、材料科学和其他学科中的应用。
弹性力学基本概念
弹性力学基本概念弹性力学是力学的一个分支领域，研究材料在受力时的弹性变形和恢复变形的行为规律。
本文将介绍弹性力学的基本概念，包括应力、应变、胡克定律和杨氏模量等。
一、应力和应变在弹性力学中，应力和应变是两个基本的物理量，用来描述物体在受力时的变形情况。
应力是单位面积上的力，通常用希腊字母σ表示。
应力可以分为正应力和剪应力两种。
正应力是指垂直于受力面的力，它可以通过力的大小和受力面的面积计算得到。
正应力的单位是帕斯卡（Pa），1Pa等于1牛顿/平方米。
剪应力是指平行于受力面的力，它也可以通过力的大小和受力面的面积计算得到。
剪应力的单位也是帕斯卡（Pa）。
应变是物体由于受力而发生的变形程度，通常用希腊字母ε表示。
应变可以分为线性应变和剪切应变两种。
线性应变是指物体在受力下发生的长度变化与原长度之比。
线性应变的计算公式为：ε = ΔL / L，其中ΔL表示长度变化，L表示原长度。
剪切应变是指物体在受到剪应力时，各层之间相对位置的变化。
剪切应变的计算公式为：γ = Δx / h，其中Δx表示位置变化，h表示物体的厚度。
二、胡克定律胡克定律是弹性力学的基本定律之一，描述了材料的应力和应变之间的关系。
胡克定律可以用公式表示为：σ = Eε，其中σ表示应力，E表示杨氏模量，ε表示应变。
杨氏模量是衡量材料硬度和刚度的重要物理量，表示单位应力下材料的单位应变。
杨氏模量的单位是帕斯卡（Pa）。
胡克定律表明，当材料处于弹性变形状态时，应力和应变之间成正比。
杨氏模量越大，材料的刚度越高，抵抗变形的能力也越强。
三、弹性常数除了杨氏模量，弹性力学还有其他一些描述材料力学性质的常数。
泊松比是描述材料在受到正应力时，在垂直方向上的应变情况的比值。
泊松比的计算公式为：ν = -ε_2 / ε_1，其中ε_1表示垂直方向上的线性应变，ε_2表示平行方向上的线性应变。
弹性体模量是描述材料在受力时的刚度的物理量，定义为单位体积的材料在受力时所发生的应变与应力之比。
弹性力学
2.1弹性力学理论基础弹性力学也称弹性理论，主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。
在研究对象上，弹性力学同材料力学和结构力学之间有一定的分工。
材料力学基本上只研究杆状构件；结构力学主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即所谓杆件系统；而弹性力学研究包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。
弹性力学是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其它外界因素作用下产生的变形和内力，也称为弹性理论。
它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。
2.1.1弹性力学基本概念弹性力学问题的求解主要基于以下几个基础理论。
1.牛顿（Newton）定律弹性力学是一门力学，它服从Newton所提出的三大定律，即惯性定律﹑运动定律，以及作用与反作用定律。
质点力学和刚体力学是从Newton定律演绎出来的，而弹性力学不同于理论力学，它还有新假设和新定律。
2.连续性假设所谓连续性假设，就是认定弹性体连续分布于三维欧式空间的某个区域之内，与此相伴随的，还认定弹性体中的所有物理量都是连续的。
也就是说，我们将假定密度、位移、应变、应力等物理量都是空间点的连续变量，而且也将假定空间的点变形前与变形后应该是一一对应的。
3.广义虎克（Hooke）定律所谓广义Hooke定律，就是认为弹性体受外载后其内部所生成的应力和应变具有线性关系。
对于大多数真实材料和人造材料，在一定的条件下，都符合这个实验定律。
线性关系的Hooke定律是弹性力学特有的规律，是弹性力学区别于连续介质力学其他分支的标识。
Newton定律、连续性假设和广义Hooke定律，这三方面构成了弹性力学的理论基础。
弹性力学的研究方法主要有数学方法和实验方法，以及二者结合的方法。
数学方法基本上是根据弹性力学的基本方程，对在某种假设的前提下的物体进行弹性分析，从而得出物体的各种力学参数。
弹性力学原理
弹性力学原理引言：弹性力学原理是工程力学的一个重要分支，研究材料在外力作用下的弹性变形和应力分布规律。
本文将探讨弹性力学原理的基本概念、公式和应用，以及一些实际工程中常见的弹性力学问题。
1. 弹性力学基本概念1.1 应力和应变弹性力学研究的核心概念是应力和应变。
应力是单位面积上的内力，表示材料受力状态的强度和方向。
应变是单位长度上的变形量，表示材料受到外力作用后的形变程度。
1.2 弹性恢复弹性力学的基本原则是材料在外力作用下会发生弹性变形，即承受外力后会产生形变，但在作用力消失后会完全恢复到原来的状态。
这个特性使得弹性材料非常适合许多工程应用。
2. 弹性力学公式2.1 长度变化和应力关系弹性力学公式中最基本的是胡克定律，它描述了材料在拉伸等均匀变形情况下的应力和应变之间的关系。
胡克定律可以用公式表示为σ = Eε，其中σ是应力，E是弹性模量，ε是应变。
2.2 弯曲弹性力学在弯曲问题中，弹性力学公式需要考虑横截面的形状和材料的性质。
弯曲弹性力学在结构设计中起着重要的作用，可以用公式M = EIθ 表示，其中M是弯矩，E是弹性模量，I是截面惯性矩，θ是单位长度的转角。
3. 弹性力学应用3.1 结构设计弹性力学原理在结构设计中有广泛的应用，可以通过计算应力和应变来确定材料的安全强度和结构的合理性。
例如，根据桥梁的设计要求和材料的性质，可以计算出合适的截面尺寸和材料类型，以确保桥梁在负荷下不会发生过度的弯曲或破坏。
3.2 材料研究弹性力学原理在材料研究中也起着重要的作用。
通过测量材料的应变和应力，可以获得材料的弹性性质和力学特性。
这些信息可以用于开发新的材料或改进现有材料的性能。
3.3 软件模拟随着计算机技术的发展，弹性力学原理被应用于软件模拟和计算机辅助设计。
通过建立弹性力学模型，可以在计算机上模拟各种力学行为，并进行虚拟测试和分析。
这些技术在工程设计和产品开发中起到了关键作用。
结论：弹性力学原理是工程力学领域中的核心内容，研究材料在外力作用下的弹性变形和应力分布规律。
弹性力学理论基础
2.1 基本假设和基本概念
（2）弹性力学的基本概念 2）应力 物体受外力作用后，在其内部将要产生 应力。 六面体称为微元体：从物体中取出一 个无限小的平行六面体，它的棱边平行于 坐标轴。 将微元体每一个面上的应力分解成为一 个正应力和两个剪应力，分别与三个坐标轴 平行，并称为该面的三个应力分量
2.1 基本假设和基本概念
1）分析各点的位移
2.2 弹性力学的基本方程
（2）几何方程 2）求正应变
根据弹性力学的基本假设，限定位移是微小 的。
正应变的定义有：
u dx
x
dx
u dx x
dx
u x
同理：
y
PB2 PB
PB
v y
2.2 弹性力学的基本方程
（2）几何方程 3）求剪应变
在弹性力学里假想把物体分成无限多个微小六面体(在物 体边界处可能是微小四面体)，称为微元体。
考虑任一微元体的平衡(或运动)，可写出一组平衡(或运 动)微分方程及边界条件。
2.1 基本假设和基本概念
（3）弹性力学问题求解的基本方法 弹性力学问题都是超静定的，必须同时再考虑微元体
的变形条件以及应力和应变的关系，它们在弹性力学中相 应地称为几何方程和物理方程。平衡(或运动)方程、几何方 程和物理方程以及边界条件称为弹性力学的基本方程。
2 x
x 2
dx 2
略去二阶及二阶以上的微量后：
x
x
x
dx
同样设左面的剪应力是 xy
右面的剪应力将是
xy
xy x
dx
2.2 弹性力学的基本方程
（1）平衡方程
各个面上所受的应力可以假设为均匀分
布，并作用在对应面的中心。六面体所受的 体力，也可假设为均匀分布，并作用在它的 体积的中心。
力学中的弹性力分析
力学中的弹性力分析弹性力是指物体在外力作用下发生弹性变形时回复原状的力量。
在力学中，弹性力是一种重要的研究对象，对于理解物体的弹性行为和设计弹性结构有着重要的意义。
一、弹性力的基本概念弹性力是物体在受到外力作用下发生形变时，由于弹性势能的存在而产生的力量。
当外力停止作用时，物体会恢复到原来的形状，这种恢复的力就是弹性力。
弹性力的大小与物体的弹性系数、形变量以及外力大小有关。
二、胡克定律根据胡克定律，弹性力与物体的形变量呈正比，弹性力的方向与物体发生形变的方向相反。
胡克定律可以用下式表示：F = -kx其中F表示弹性力，k表示弹性系数，x表示物体的形变量。
负号表示弹性力与形变方向相反。
三、弹簧的弹性力分析弹簧是最常见的用来研究弹性力的物体之一。
当弹簧受到外力作用时，形变量x与外力F之间满足胡克定律的关系。
弹簧的弹性系数k 可以通过实验测量得到。
在弹簧的等长状态下，弹簧没有受到外力作用，弹性力为零。
四、杨氏模量杨氏模量是描述物体材料的弹性性质的物理量。
它表示单位面积受力时，在弹性变形范围内的应变与应力之间的比值。
杨氏模量可以用下式表示：E = (F/A)/(Δl/l0)其中E表示杨氏模量，A表示受力物体的横截面积，F表示受力物体上的外力，Δl表示物体发生的形变量，l0表示物体的原始长度。
五、应用领域弹性力的研究对于很多领域都具有重要意义。
在结构工程中，设计弹性结构需要掌握弹性力的原理和计算方法。
在材料科学中，了解材料的弹性性质对于合理选择材料、优化材料性能有着重要的作用。
在机械工程中，掌握弹性力的分析方法可以用于弹性元件的设计和计算。
在物理学的实验研究中，弹性力的研究有助于理解物体的弹性行为，并推导出相应的物理规律。
总结：力学中的弹性力分析是研究物体在外力作用下发生弹性变形时，回复原状的力量。
胡克定律描述了弹性力与形变量的关系，弹簧是常见的弹性力研究对象。
杨氏模量是描述物体材料弹性性质的重要参数。
弹性力的研究在结构工程、材料科学、机械工程等领域有着广泛的应用。
弹性力学概念
力学：研究弹性体由于受外力，边界约束或温度改变等作用而发生的应力、形变和位移。
弹性力学的研究对象：为一般及复杂形状的构件、实体结构、板、壳等。
（是各种弹性体，包括杆件，平面体、空间体、板和壳体等。
弹性力学研究的对象比较广泛，可以适用于土木、水利、机械等工程中各种结构的分析。
）弹性力学的任务在边界条件下，从平衡微分方程、几何方程和物理方程求解应力、应变和位移等未知函数研究方法已知条件：1物体的几何形状，即边界面方程2物体的材料参数3所受外力的情况4所受的约束情况。
求解的未知函数：应力、应变和位移。
解法：在弹性体区域内，根据微分体上力的平衡条件建立平衡微分方程；根据微分线段上应变和位移的几何条件，建立几何方程；根据应力和应变之间的物理条件建立物理方程弹性体边界上，根据面力条件，建立应力边界条件；根据约束条件建立位移边界条件然后在边界条件下，求解弹性体区域内的微分方程，得出应力、形变和位移弹性力学的基本假设（即满足什么样条件的物体是我们在弹性力学中要研究的）（1）均匀性假设即物体是由同一种材料所组成的，在物体内任何部分的材料性质都是相同的。
（用处：物体的弹性参数，如弹性模量E，不会随位置坐标的变化而变化）（2）连续性假设即物体的内部被连续的介质所充满，没有任何孔隙存在。
（用处：弹性体的所用物理量均可用连续的函数去表示）（3）完全弹性假设即当我们撤掉作用于物体的外力后，物体可以恢复到原状，没有任何的残余变形；应力（激励）与应变（响应）之间呈正比关系。
（用处：可以使用线性虎克定律来表示应力与应变的关系）（4）各向同性假设即物体内任意一点处，在各个方向都表现出相同的材料性质。
（用处：物体的弹性参数可以取为常数）（5）小变形假设即在外力的作用下，物体所产生的位移和形变都是微小的。
（用处：可以在某些方程的推导中略去位移和形变的高阶微量。
即简化几何方程，简化平衡微分方程）上述这些假定，确定了弹性力学的研究范畴：研究理想弹性体的小变形状态外力是其他物体作用于研究对象的力（分为体力和面力）体力是作用于物体体积内的外力（如重力和惯性力）面力是作用于物体表面上的外力（如液体压力和接触力）内力假想将物体截开，则截面两边有互相作用的力，称为内力切应力互等定理作用于两个互相垂直面上，并且垂直于该两面交线的切应力是互等的（大小等正负号相同）形变就是物体形状的改变。
第一章 弹性力学的内容和基本概念
第一章 弹性力学的内容和基本概念1、均匀性假设：物体各部分物理性质都是相同的，不随坐标位置的变化而变化。
连续性假设：物体所有物理量均为物体空间的连续函数。
各向同性假设：物体的弹性常数将不随坐标方向的改变而变化。
完全弹性假设：研究对象的材料弹性常数不随应力或应变的变化而改变。
小变形假设：忽略位移等分量的高阶小量，使基本方程成为线性的偏微分方程组。
无初始应力假设：弹性力学求解的应力仅仅是外力或者温度改变而产生的。
2.弹性力学是研究物体在弹性范围内由于外载荷作用或物体温度改变而产生的应力、应变和位移。
3.弹性力学除了研究杆件外，还研究平面问题和空间问题，在研究这些问题时，并不采用变形或应力分布之类的假设，由于结构和受力的复杂性，以无限小的单元体作为研究和分析问题的出发点，并由力平衡方程、几何方程和物理方程等构成数学-力学问题求解。
4.在相互垂直平面上，切应力成对存在且数值相等，两者都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线。
这就是（剪）切应力互等定理。
5.平面问题可分为平面应力问题和平面应变问题。
（1）当弹性体的一个方向尺寸很小，例如薄板，在板的边缘有平行于板面并沿板厚均匀分布的力作用。
六个应力分量只剩下平行于xOy 面的三个应力分量，即x σ、y σ、xy τ，而且它们只是坐标x ，y 的函数，与z 无关。
这类问题称作平面应力问题。
（2）当弹性体的一个方向尺寸很大，例如很长的柱形体。
在柱形体的表面上，有平行于横截面而不沿长度变化的外力。
六个应力分量只剩下四个，即x σ、y σ、z σ、xy τ，这类问题称作平面应变问题。
6.相容方程是在按应力求解平面问题时,平衡微分方程中包含三个应力分量,而方程有两个,因此需要从几何和物理方程中导出一个只含有应力分量的补充方程,就这样导出了相容方程.其作用是作为求解应力函数的补充方程,并作为应力分量应当满足的条件之一。
7.圣维南原理：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么， 近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以忽略不计。
弹力知识点高一
弹力知识点高一弹力是物体在受力作用下能够发生形变并具有恢复原状能力的性质。
在高中物理课程中，弹力是一个重要的知识点。
本文将对高一学生在弹力方面需要掌握的知识点进行详细介绍。
一、弹性力学基础概念在学习弹力之前，我们首先需要了解一些基本概念。
1. 形变：物体受到外力作用而发生的尺寸、形状的改变称为形变。
2. 恢复力：当物体发生形变后，它具有恢复原状的能力，这种恢复力称为弹力。
3. 弹性物体的特点：物体只有在作用力撤销后才能恢复原状，并且弹力与物体形变的大小成正比。
4. 弹簧定律：描述了弹性物体弹力与形变大小的关系，即弹簧的弹性力F与形变x成正比，可以用公式F = kx来表示，其中k 是弹簧的弹性系数。
二、胡克定律与弹性势能1. 胡克定律：胡克定律是一种描述弹簧弹性力大小的定律，它指出弹簧的弹力与形变之间正比，可以用公式F = kx表示。
其中，F是弹簧的弹力，x是形变，k是弹簧的弹性系数。
2. 弹性势能：当形变消失时，物体所具有的能量称为弹性势能。
弹簧弹性势能可以用公式E = 1/2kx²表示，其中E是弹性势能，k是弹簧的弹性系数，x是弹簧的形变。
三、弹簧的串联和并联1. 弹簧的串联：当多个弹簧按照一定的顺序连接在一起时，称为弹簧的串联。
串联弹簧的总弹性系数可以通过各个弹簧的弹性系数之和来计算。
2. 弹簧的并联：当多个弹簧同时受到相同的形变并且连接在一起时，称为弹簧的并联。
并联弹簧的总弹性系数可以通过各个弹簧的倒数之和来计算。
四、弹簧振子与简谐振动1. 弹簧振子：弹簧振子由一个弹簧和一个连接在弹簧下端的质点组成。
当弹簧振子受到外力作用时，会发生振动。
2. 简谐振动：当振子的振动是周期性的、且振幅恒定时，称为简谐振动。
简谐振动的周期和频率与振子的质量和弹性系数有关，可以用公式T = 2π√(m/k)和f = 1/T表示，其中T是周期，f是频率，m是振子的质量，k是弹簧的弹性系数。
五、应用实例及弹力的工程应用1. 弹簧秤：弹簧秤利用弹簧的弹力来测量物体的重量，在日常生活中得到广泛应用。
弹性力学基本概念和考点
基本概念：（1）面力、体力与应力、应变、位移的概念及正负号规定（2）切应力互等定理：作用在两个互相垂直的面上，并且垂直于改两面交线的切应力是互等的（大小相等，正负号也相同）。
（3）弹性力学的基本假定：连续性、完全弹性、均匀性、各向同性和小变形。
（4）平面应力与平面应变；设有很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力或约束。
同时，体力也平行与板面并且不沿厚度方向变化。
这时，二z =0, Z =0,・zy =0，由切应力互等，二Z =0, * =0,・yz =0，这样只剩下平行于xy面的三个平面应力分量，即匚x,二y, xy二yx，所以这种问题称为平面应力问题。
设有很长的柱形体，它的横截面不沿长度变化，在柱面上受有平行于横截面且不沿长度变化的面力或约束，同时，体力也平行于横截面且不沿长度变化，由对称性可知，z^0, z^0，根据切应力互等，任=0,『=0。
由胡克定律，ZX =0, zy =0，又由于z方向的位移w处处为零，即；z = 0。
因此，只剩下平行于xy面的三个应变分量，即；x, ；y, xy，所以这种问题习惯上称为平面应变问题。
（5）一点的应力状态；过一个点所有平面上应力情况的集合，称为一点的应力状态。
（6）圣维南原理；（提边界条件）如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主失相同，主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受到的影响可以忽略不计。
（7）轴对称；在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束情况，以及所受的外力作用，都是对称于某一轴（通过该轴的任一平面都是对称面），则所有的应力、变形和位移也就对称于这一轴。
这种问题称为空间轴对称问题。
平衡微分方程:（记:u（记）（1）平面问题的平衡微分方程;（2）平面问题的平衡微分方程（极坐标）；——L+ - +—!-- +&P P P CT ptp^2!^ + cP P1、 平衡方程仅反映物体内部的平衡，当应力分量满足平衡方程，则物体内部是 平衡的。
弹性力学的基本概念
弹性力学的基本概念弹性力学是工程力学中的一个重要分支，研究的是物体在受到外力作用后，产生的形变和应力，并且在外力作用撤去后能够恢复到原来的形态的一种力学学科。
弹性力学的研究对象包括杆件、梁、板、壳、轮胎等结构体和波动现象等。
弹性力学的基本概念包括：1. 应力应力是物体内部抵抗外部力作用的一种表现形式，指的是单位面积上的力，在弹性力学中通常用符号σ表示。
应力是与受力区域的形状和受力方向有关的，包括拉应力、压应力、剪应力等。
2. 应变应变是指物体在受到外力作用时，产生的形变程度，通常用符号ε表示。
应变可以分为线性应变和非线性应变，其中线性应变通常用胡克定律表示。
3. 模量模量是衡量物体材料性质的指标，包括弹性模量、剪切模量等。
弹性模量是物体在外力作用下，产生形变时单位应力的比例因子，通常用符号E表示。
不同材料的弹性模量不同，例如钢材的弹性模量比橡胶大，说明钢材的刚性更高。
4. 弹性极限弹性极限是指物体在受到应力作用时，达到最大的应力值，此时物体开始发生塑性变形。
弹性极限是物体强度的一个重要参数，在设计和使用中需要特别考虑。
5. 断裂强度断裂强度是指物体在受到意外应力作用时，在未达到弹性极限之前就发生破裂的应力值。
断裂强度是物体材料强度的一个重要指标，通常在设计和选材时需要考虑。
6. 安全系数安全系数是指为保证物体在工作时不发生失效，所采用的强度设计值与实际强度之间的比值。
安全系数是一个重要的设计参量，在设计和制造物体时需要保证一定的安全系数。
总之，弹性力学是工程力学中非常重要的分支，它的基本概念包括应力、应变、模量、弹性极限、断裂强度和安全系数等。
这些基本概念对于工程设计和材料选择具有重要的指导意义。
弹性力学的基本概念与应用
弹性力学的基本概念与应用弹性力学是力学的一个分支，研究固体材料在外力作用下的形变和应力分布规律，以及材料的弹性恢复性能。
本文将介绍弹性力学的基本概念和应用，并探讨其在现实生活中的重要性。
一、弹性力学的基本概念弹性力学研究的主要内容包括应力、应变、胡克定律以及材料的弹性恢复性能。
应力是指固体材料单位面积内的内力，是对材料对外力作用的反应。
应力可以分为正应力和剪应力。
正应力指作用垂直于材料截面的力引起的应力，剪应力指作用于材料截面平行于截面的力引起的应力。
应变是指物体在受力作用下发生的形变，是描述材料变形程度的物理量。
应变也可以分为正应变和剪应变。
正应变指物体在受到力的拉伸或压缩时引起的长度变化与原始长度之比，剪应变指物体在受到力的剪切时引起的形变与原始长度之比。
胡克定律是弹性力学的基本定律之一，描述了弹性材料的应力与应变之间的关系。
胡克定律认为，在弹性变形范围内，应力与应变成正比。
这个比例常数就是弹性模量，用E来表示。
胡克定律的数学表达式为：应力 = 弹性模量 ×应变。
弹性恢复性能是指材料在受力后能够恢复原状的性质。
这是弹性力学研究的核心问题之一。
材料的弹性恢复性能可以通过弹性模量和杨氏模量来刻画。
弹性模量是描述固体材料整体抗拉或抗压性能的物理量，而杨氏模量是描述固体材料在压缩或拉伸时改变形状的能力的物理量。
二、弹性力学的应用弹性力学在工程领域中有着广泛的应用，以下将从结构设计、材料选择和力学分析三个方面介绍其应用。
1. 结构设计：弹性力学的概念和原理在结构设计中发挥着重要作用。
通过研究材料的弹性模量和弹性恢复性能，设计结构可以更好地满足相应的荷载需求，并实现材料和结构的优化。
2. 材料选择：弹性力学的理论可以指导工程师选择合适的材料。
通过分析材料的弹性模量和杨氏模量等参数，可以确定材料的力学性能和应力分布规律，从而选择最适合的材料，提高结构的性能和寿命。
3. 力学分析：弹性力学的原理在力学分析中发挥着重要作用。
弹性力学基本概念和考点汇总情况
弹性力学基本概念和考点汇总情况弹性力学是研究物体在外力作用下的形变和应力的学科。
它是力学中的一个重要分支，广泛应用于工程、材料科学、地震学等领域。
下面将对弹性力学的基本概念和考点进行汇总。
一、基本概念：1.应力和应变：应力是单位面积上的力，应变是物体由于受力而产生的形变。
2.弹性体和塑性体：弹性体在受力后可以恢复原状，而塑性体则会产生永久形变。
3.弹性恢复：物体在受到外力作用后产生形变，当外力消失后，物体能够恢复原来的形状和大小。
4.长度变化和体积变化：物体在受到外力作用后会发生长度变化和体积变化。
5.压力和剪切力：压力作用于物体表面，剪切力发生在物体内部的平面上。
二、弹性力学的考点：1.应力和应变关系：-分析应变和应力的关系，如线性弹性和非线性弹性的应力-应变关系。
-弹性模量的计算和应用，包括杨氏模量、剪切模量和泊松比等。
-计算应变能和应变能密度，了解能量守恒原理与应变能的关系。
2.弹性体的本构关系：-了解弹性体的本构方程，如胡克定律和弹性体的线弹性本构方程。
-掌握材料的弹性性质，如拉伸、压缩和剪切等。
-了解各种材料的弹性极限、屈服点、强度等。
3.弹性体的稳定性：-分析物体在外力作用下的稳定和不稳定状态。
-掌握杆的屈曲和板的稳定等相关知识。
4.弹性波和振动：-了解弹性波在介质中的传播规律，如纵波和横波的传播方式。
-分析弹性体的固有频率和振动模态。
-掌握弹性体的共振现象和振动衰减。
5.弹性体的应力分析：-分析物体在外力作用下的应力分布和变形情况。
-掌握应力分析的基本方法，如平衡方程和应变关系等。
-了解应力集中和应力分布的影响因素。
总之，弹性力学是力学中的一个重要分支，涵盖了应力和应变、弹性体的本构关系、弹性体的稳定性、弹性波和振动、应力分析等多个方面的知识。
掌握这些基本概念和考点，对于理解和应用弹性力学的原理和方法具有重要意义。
弹性力学复习资料
弹性力学复习资料弹性力学复习资料弹性力学是力学的一个分支，研究物体在受力作用下的形变和应力分布。
它在工程学、物理学和材料科学等领域有着广泛的应用。
本文将为大家提供一份弹性力学的复习资料，帮助大家更好地理解和掌握这一领域的知识。
一、基本概念1. 应力和应变：应力是单位面积上的力，应变是物体形变相对于初始状态的变化量。
常见的应力类型有拉应力、压应力和剪应力，而应变主要分为线性弹性应变和非线性应变。
2. 弹性模量：弹性模量是衡量物体弹性性质的一个重要参数，常见的有杨氏模量、剪切模量和泊松比。
杨氏模量描述了物体在拉伸或压缩时的应力和应变关系，剪切模量描述了物体在受剪切力作用下的应力和应变关系，泊松比描述了物体在拉伸或压缩时横向收缩或膨胀的程度。
3. 弹性极限和屈服点：弹性极限是指物体在受力作用下能够恢复到原来形状的最大应力，屈服点是指物体开始发生塑性变形的应力点。
二、弹性力学的基本方程1. 长度与应变的关系：根据胡克定律，线弹性材料的应力与应变成正比。
即应力等于弹性模量乘以应变。
2. 应力与变形的关系：根据杨氏模量的定义，应力等于弹性模量乘以应变。
对于拉伸和压缩变形，应力与变形成正比；对于剪切变形，应力与剪切变形成正比。
3. 应力的平衡方程：在弹性力学中，物体受力平衡的条件是应力张量的散度等于零。
4. 应力的边界条件：在边界上，物体的应力与外界施加的力相等。
三、常见的弹性体模型1. 线弹性体模型：最简单的线弹性体模型是胡克弹性体模型，它假设物体的应力与应变成正比。
然而，实际材料的应力-应变关系通常是非线性的，因此还有其他的线弹性体模型，如非线性弹性体模型和弹塑性体模型。
2. 弹性体的应力分析：对于各向同性的弹性体，可以通过应力分析求解物体的应力分布情况。
常见的应力分析方法有解析法和数值法，如有限元法和边界元法。
四、应用领域1. 结构工程：弹性力学在结构工程中有着广泛的应用，用于分析和设计各种建筑物和桥梁的强度和稳定性。
弹性力学基本概念总结
弹性力学基本概念总结弹性力学是研究物体在受力作用下产生的变形与应力分布规律的科学。
在弹性力学中，存在一些基本的概念，这些概念对于理解物体的弹性变形和力学响应非常重要。
本文将对弹性力学中的一些基本概念进行总结。
一、应力和应变1. 应力应力是单位面积上的力，用符号σ表示。
在弹性力学中，常用的应力有拉伸应力、压缩应力和剪切应力。
拉伸应力表示物体在拉伸力作用下的应力，压缩应力表示物体在压缩力作用下的应力，剪切应力表示物体在层叠力作用下的应力。
2. 应变应变是物体在受力作用下发生的变形程度，用符号ε表示。
与应力类似，应变也有拉伸应变、压缩应变和剪切应变。
拉伸应变表示物体在拉伸力作用下的应变，压缩应变表示物体在压缩力作用下的应变，剪切应变表示物体在层叠力作用下的应变。
二、胡克定律胡克定律是弹性力学的基础定律之一，它描述了弹性固体的线弹性响应。
根据胡克定律，应力与应变之间的关系可以用以下公式表示：σ = Eε其中，σ为应力，E为杨氏模量，ε为应变。
胡克定律表明，线弹性材料的应力与应变成正比。
三、杨氏模量和剪切模量1. 杨氏模量杨氏模量是衡量材料抵抗拉伸应力的能力的物理量。
它表示了单位应力下的应变程度。
杨氏模量用符号E表示，单位是帕斯卡（Pa）。
杨氏模量越大，材料越具有抵抗拉伸应力的能力。
2. 剪切模量剪切模量是衡量材料抵抗剪切应力的能力的物理量。
它表示了单位剪切应力下的剪切应变程度。
剪切模量用符号G表示，单位也是帕斯卡（Pa）。
剪切模量越大，材料越具有抵抗剪切应力的能力。
四、弹性极限和屈服点1. 弹性极限弹性极限是材料在弹性变形过程中能够承受的最大应力。
当应力超过弹性极限时，材料将发生剧烈的塑性变形或破裂。
2. 屈服点屈服点是材料在受力过程中的一个关键点。
在屈服点之前，材料仅发生弹性变形，应力与应变成正比。
而在屈服点之后，材料开始发生塑性变形，应变增加的同时应力逐渐减小。
五、弹性体和弹性力学模型1. 弹性体弹性体是指在受力作用下产生弹性变形，但在去除外力后可以恢复原状的物体。
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弹性力学中的基本假定1连续性假定在物体体积内都被连续介质所充满，没有任何空隙，亦即从宏观角度上认为物体是连续的。
因此，所有的物理量均可以用连续函数来表示，从而可以应用数学分析工具2完全弹性假定物体是完全弹性的。
这个假定包含两点含义：a.当外力取消时，物体回复到原状，不留任何残余变形，即所谓“完全弹性”b.应力与相应的应变成正比，即所谓“线性弹性”。
根据完全弹性假定，物体中的应力与应变之间的物理关系可以用胡克定律来表示3均匀性物体是由同种材料组成的，物体内任何部分的材料性质均相同。
这样，物体的弹性常数等不随位置坐标而变化4各向同性物体内任一点各方向的材料性质都相同。
这样，弹性常数等也不随方向而变化。
凡符合以上四个假定的物体，称为理想弹性体5小变形假定假定物体的位移和应变是微小的。
物体在受力后，其位移远小于物体的尺寸，其应变远小于1。
用途：a.简化几何方程，使几何方程成为线性方程。
b.简化平衡微分方程面力是作用于物体表面上的外力
体力是作用于物体体积内的外力
应力单位截面积上的内力
切应力互等定理作用于两个互相垂直面上，并且垂直于该两面交线的切应力是互等的
形变就是物体形状的改变。
通过任一点作3个沿正坐标方向的微分线段，并以这些微分线段的应变来表示该点的形变
成为平面应力问题条件1等厚度薄板2面力只作用于板边，其方向平行与中面，且沿厚度不变3体力作用于体积内，其方向平行于中面，且沿厚度不变4约束只作用于板边，其方向平行于中面，且沿厚度不变
成为平面应变问题条件1常截面长住体2面力作用于柱面上，其方向平行于横截面，且沿长度方向不变3体力作用于体积内，其方向平行于横截面，且沿长度方向不变4约束作用于柱面上，其方向平行于横截面，且沿长度方向不变
平衡微分方程表示区域内任一点（x，y）的微分体的平衡条件
平衡问题中一点应力状态1求斜面应力分量2由斜面应力分量求斜面上的正应力和切应力3求一点的主应力及应力方向4求一点的最大和最小的正应力和切应力
几何方程表示任一点的微分线段上，形变分量与位移分量之间的关系式
形变与位移的关系1如果物体的位移确定，则形变完全确定2当物体的形变分量确定时，位移分量不完全确定
边界条件表示在边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。
可分为：位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件
位移边界条件实质上是变形连续条件在约束边界上的表达式
应力分量和正的面力分量的正负号规定不同在正坐标面上，应力分量与面力分量同号；在负坐标面上，应力分量与面力分量异号
应力边界条件两种表达方式：1在边界点取出一个微分体，考虑其平衡条件2在同一边界上，应力分量应等于对应的面力分量（数值相同，方向一致）
圣维南原理如果把物体的一小部分边界上的面力，变化为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同）那么近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计只能应用于一小部分边界上（又称局部边界、小边界和次要边界）
圣维南原理推广如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主矢量及主矩都等于零），那么这个面力就只会使近处产生显著的应力而远处的应力可以不计
应力边界条件上应用圣维南原理就是在小边界上将精确的应力边界条件式，代之为静力等效的主矢量和主矩的条件
形变协调条件的物理意义1形变协调条件是连续体中位移连续性的必然结果2形变协调条件是形变对应的位移存在且连续的必要条件
应力求解考虑的条件1体力为常量2全部边界上均为应力边界条件3弹性体为单连体
应力分量和剪切力必然与弹性常数无关，由此可得应力解法与模型材料无关；平面应力与平面应变问题可互换；
求应力分量=平衡微分方程=非齐次特解+齐次通解
按应力函数求解，Φ应当满足的条件是1相容方程式2应力边界条件式。
其中假设全部为应力边界条件3对于多连体，还须满足位移的单值条件
逆解法步骤1先找出满足相容方程的解答2由Φ得出应力分量3在给定的边界形状下，根据应力边界条件，由应力反推出相应的面力
半逆解法步骤1假设应力分量的函数形式2推求应力函数的形式3由相容方程求解应力函数4由应力函数求应力分量5考察边界条件
几何方程表示微分线段上形变和位移之间的几何关系式
空间问题物理方程两种形式1应变用应力表示用于按应力求解方法2应力用应变表示，用于按位移求解方法
解的唯一性定理符合线弹性和小变形假定的弹性体，无初应力和初应变的作用，只受到给定的体力，边界上的面力和边界上的约束位移的作用，则弹性体在平衡状态时，其体内的应力、应变的解是唯一的
解的叠加定理在线弹性和小变形假定下，作用于弹性体上几组荷载产生的总效应（应力和变形），等于每组荷载产生的效应之和，且与加载顺序无关
虚位移原理假定处于平衡状态的弹性体在虚位移过程中，没有温度的改变，也没有速度的改变，即没有热能和动能的改变，则按照能量守恒定理，形变势能的增加，等于外力势能的减少，也就等于外力所做的功，即所谓虚功
虚位移1所谓虚位移，是指满足协调条件（位移边界条件和几何方程）的。
在平衡状态附近可能发生的微小位移改变2不仅适用于弹性体，也适用于一般的可变形体3虚位移是位移状态即位移函数的微小改变。
虚位移在数学上称为位移的变分，因此虚位移原理式又称为位移变分方程4注意微分和变分是不同的概念，两者的自变量和因变量是不同的。
虚功方程处于平衡状态的弹性体，当发生虚位移时，外力在虚位移上所做的虚功，等于应力在相应的虚应变上所做的功
最小势能原理在给定的外力作用下，在满足位移边界条件的各组位移中间，实际存在的一组位移应使弹性体的总势能成为极值。
考虑到二阶变分可以得出对于稳定平衡状态，这个极值是极小值
外力功的互等定理符合线弹性和小变形假定的弹性体，若受到两组不同的外力作用，则第一组外力在第二组外力引起的位移上所做的功，等于第二组外力在第一组外力引起的位移上所做的功。