北师大版八年级上册数学三角形的内角和定理课件
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北师大八年级数学上册三角形内角和定理一PPT精品课件
∴ ∠A+∠B+∠C=180°
已知：如图，△ABC 求证：∠A+∠B+∠C=180°
A
E
另种证法
B
C
证明:过C作AB的平行线EF,即EF∥AFB,则
∠ACE=∠A(两直线平行,内错角相等)
∠BCF= ∠B(两直线平行,内错角相等)
又∵∠ACE+∠BCF+∠ACB=1800 (平角的定义)
∴ ∠A+∠B+∠ACB=1800 (等量代换)
)=90°－ ɑ
2
又∵∠BOC+∠1+∠2=180° (三角形的内角和定理)
∴ ∠BOC=180° －(∠1+∠2)=180° －(90°－ 1 ɑ) =90°＋ 1 ɑ
2
2
练习：如图，已知△ABC中，∠A=50°，∠ABC
A
和∠ACB的平分线BE、CF交于点O.求∠BOC
解: ∵∠A+∠ABC+∠ACB=180° (三角形的内角和定理)
解： 在△ABC中， ∠B+∠C+∠BAC=180°
∵ ∠A=60°,∠C=70° ∴ ∠B=180°- 60°-70°= 50°
∵ DE∥BC
∴∠ADE=∠B= 50°
例：如图，已知△ABC中，∠A=α ,∠ABC 和∠ACB的平分线BE、
CF交于点O.求∠BOC
A
解: ∵∠A+∠ABC+∠ACB=1800 (三角形的内角和定理)
暗淡减损。
•
8.只要我们用 心 去 聆 听 ，用 情 去 触 摸 ，你 终 会 感 受 到生 命 的 鲜 活 ，人 性 的 光 辉 ，智 慧 的 温 暖 。
最新 公开课课件 北师大版数学八年级上册7.5《三角形的内角和》课件(共24张PPT)
在ΔABD中 A 因为∠1+ ∠B+ ∠ADB=180° 所以 ∠ADB=180°－∠BAD －∠B =180°-75°-20° =85° 答： ∠ADB的度数是85°.
1 所以∠BAD= ∠BAC=20° 2 D
B
议一议
根据三角形的内角和等于180°议一议 下列问题： （1）一个三角形中至少有 2 个锐角？
结论 三角形的内角和性质：
三角形的内角和等于180°
A.
即△A B C中
∠A +∠B +∠C =180°
B B. C
方法理由
△ABC中∠A +∠B +∠C 为什么等于 A 思考交流： 180°?
根据第一种剪拼的方法，你想到 如何来说明这个结论成立呢？
过点A作EF∥BC
因为EF∥BC 所以∠B=∠2
学习目标
1.通过剪拼、折叠验证三角形的内角和等于1800 的性质； 2.会把三角形的三个内角和转化为一个平角 来证明三角形的内角和性质；
3.理解和掌握三角形的性质内角和；
4.能灵活应用三角形内角和定理进行简单的计算 和推理证明；
5.知道三角形按角分可分为锐角三角形，直角 三角形，钝角三角角形的角的度数时， 要想到利用三角形的内角和等于1800 这个关系去解答. 2.如果不能直接求解三角形的角的度数时， 可通过设未知数，利用三角形的内角和 等于1800这个关系列方程解答.
3.解答题 在△ABC中，∠A的度数是∠B的度数的3倍， ∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.
钝角三角形
直角三角形的有关概念 （1）直角三角形的符号表示：直角三角形 Rt△ 来表示. C 可用符号__________ 如图直角三角形ABC可以 直角边 记作____________ Rt△ABC （2）在直角三角形中， A 夹直角的两边叫作直角边， 直角的对边叫作斜边.
1 所以∠BAD= ∠BAC=20° 2 D
B
议一议
根据三角形的内角和等于180°议一议 下列问题： （1）一个三角形中至少有 2 个锐角？
结论 三角形的内角和性质：
三角形的内角和等于180°
A.
即△A B C中
∠A +∠B +∠C =180°
B B. C
方法理由
△ABC中∠A +∠B +∠C 为什么等于 A 思考交流： 180°?
根据第一种剪拼的方法，你想到 如何来说明这个结论成立呢？
过点A作EF∥BC
因为EF∥BC 所以∠B=∠2
学习目标
1.通过剪拼、折叠验证三角形的内角和等于1800 的性质； 2.会把三角形的三个内角和转化为一个平角 来证明三角形的内角和性质；
3.理解和掌握三角形的性质内角和；
4.能灵活应用三角形内角和定理进行简单的计算 和推理证明；
5.知道三角形按角分可分为锐角三角形，直角 三角形，钝角三角角形的角的度数时， 要想到利用三角形的内角和等于1800 这个关系去解答. 2.如果不能直接求解三角形的角的度数时， 可通过设未知数，利用三角形的内角和 等于1800这个关系列方程解答.
3.解答题 在△ABC中，∠A的度数是∠B的度数的3倍， ∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.
钝角三角形
直角三角形的有关概念 （1）直角三角形的符号表示：直角三角形 Rt△ 来表示. C 可用符号__________ 如图直角三角形ABC可以 直角边 记作____________ Rt△ABC （2）在直角三角形中， A 夹直角的两边叫作直角边， 直角的对边叫作斜边.
八年级上册数学《三角形内角和定理》课件-北师版
7.5.1 三角形内角和定理（1）教学设计(二)将三角形纸片的三个角剪下,随便将它们拼凑在一起.由实验可知三角形的内角和正好为一个平角.(三)利用几何画板验证三角形内角和180.但视察与实验得到的结论,并不一定正确、可靠,这样就需要通过数学证明.那么怎样证明呢?这节课我们一起探究一下三角形内角和定理的证明. 生来说还存在一定困难,因此需要一个台阶,使学生逐步过渡到严格的证明.自主探究1、认真研读课本177—178页;2、求证：三角形三个内角的和等于180°.思考：将准备好的三角形纸片的一个顶角下，并放置在如图∠1的位置，你能说明“三角形内角和定理”结论吗？（提示：利用平行可证明）已知：如右下图，△ABC求证：∠A+∠B+∠C=180°证法一:证明：延长BC到D,过C作CE平行BA，则∠A=∠（两直线平行，内错角相等）1、认真研读课本177—178页;动手操作:通过撕三角形纸板并拼凑成一个平角,体会三角形内角和定理,并利用平行充分发挥学生自主学习、独立思考的能力.第一种证明方法给出辅助线的做法,及以补全证明过程的情势完成,循序渐激情展示一、展示”三角形内角和定理”的两种基本证明方法.这里的CD，CE称为辅助线，辅助线通常画成虚线.证明：延长BC到D，过点C作射线CE//BA，则∠1=∠A（两直线平行，内错角相等），∠2=∠B（两直线平行，同位角相等）.∵∠l+∠2+∠ACB=180°（平角的定义），∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）.证法2::过点A作DE∥BC.∵DE∥BC,∴∠1=∠B,∠2=∠C(两直线平行,内错角相等).∵∠1+∠2+∠3=180°(平角的定义),∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代换).老师点评:强调辅助线的做法和叙述,规范证明过程.(1)辅助线通常画成虚线;(2)辅助线要正确、规范地写出作法,并标明字母,便于书写证明过程;(3)辅助线能把题目中可利用的隐藏条件显露出来,化难为易.二、展示不同的验证方法鼓励学生积极展示,大胆质疑、答疑.学生展示时,可能语言不准确,教师及时引导,让学生自主感悟体会到证明的关键是添加辅助线,把三角形内角和转化成一个平角或同旁内角.教学中的一个难点,学生通过思考、讨论、交流对辅助线的认识,展示思维过程,然后在老师的引导下达成共识,进一步加深了对辅助线的理解,易于突破教学难点,提高学生解决问题的能力.激情展示这个环节充分体现学生的主体性.充分调动学生学习积极性,激发学生学习数学的兴趣.老师点评:添加辅助线基本思路:1、构造平角:"凑”到三角形一个顶点处、"凑"到三角形边上的一点处、"凑"到三角形内部一点处或三角形外部一点处;小小辅助线,作时画虚线,写清其来源,隐藏条件见.2、构造同旁内角.三、展示以下三个问题的分析过程.1、直角三角形的两锐角之和是多少度?2、等边三角形的一个内角是多少度?请证明你的结论.3、四边形的内角和是多少度？证明你的结论。
北师大版八年级数学上册7.5三角形的内角和定理公开课优质PPT课件(3)
学习目标
1、能理解和掌握三角形内角和定理 的证明过程。
2、能灵活应用三角形内角和定理进行 简单的计算和推理证明。
P 1
A
Q 2
A
Q R
C
B
P
C B
E
3 B
A பைடு நூலகம்2
D
F
4 C
三角形的内角和是180°
A
B
C
A
B 图1
C B
A B
A B
图2 C
B
C
图3
在一个直角三角形里住着三
个内角，平时，它们三兄弟非常
自己量量看！”
蓝用量角器量了量自己的内角和，就不 再说话了！
同学们，你们知道其中的道理吗？
结论：三角形的内角和等于1800.
已知：△ABC.
E
A
F
求证：∠A +∠B +∠C =180°
证明：过点A作EF∥BC
则∠B=∠2（两直线平行,内错角相等） B
C
同理∠C=∠1
因为∠2+∠1+∠BAC=1800（平角定义） 所以∠B+∠C+∠BAC=1800（等量代换）
团结可是有一天，老二突然不高
兴，发起脾气来，它指着老大说：
“你凭什么度数最大，我也要和
你一样大！”“不行啊！”老大
内角三兄弟 说：“这是不可能的，否则，我
之争
们这个家就再也围不起 了……”“为什么？” 老二很纳闷。
同学们，你们知道其中的道理 吗？
三角形蓝和三角形红见面了，蓝炫耀的说： “我的体积比你大，所以我的内角和也比你 大！”红不服气的说：“那可不好说噢，你
A
L
B
1、能理解和掌握三角形内角和定理 的证明过程。
2、能灵活应用三角形内角和定理进行 简单的计算和推理证明。
P 1
A
Q 2
A
Q R
C
B
P
C B
E
3 B
A பைடு நூலகம்2
D
F
4 C
三角形的内角和是180°
A
B
C
A
B 图1
C B
A B
A B
图2 C
B
C
图3
在一个直角三角形里住着三
个内角，平时，它们三兄弟非常
自己量量看！”
蓝用量角器量了量自己的内角和，就不 再说话了！
同学们，你们知道其中的道理吗？
结论：三角形的内角和等于1800.
已知：△ABC.
E
A
F
求证：∠A +∠B +∠C =180°
证明：过点A作EF∥BC
则∠B=∠2（两直线平行,内错角相等） B
C
同理∠C=∠1
因为∠2+∠1+∠BAC=1800（平角定义） 所以∠B+∠C+∠BAC=1800（等量代换）
团结可是有一天，老二突然不高
兴，发起脾气来，它指着老大说：
“你凭什么度数最大，我也要和
你一样大！”“不行啊！”老大
内角三兄弟 说：“这是不可能的，否则，我
之争
们这个家就再也围不起 了……”“为什么？” 老二很纳闷。
同学们，你们知道其中的道理 吗？
三角形蓝和三角形红见面了，蓝炫耀的说： “我的体积比你大，所以我的内角和也比你 大！”红不服气的说：“那可不好说噢，你
A
L
B
北师大版八年级数学(上)第七章 平行线的证明 第7节 三角形内角和定理2
练习：如图所示，请将∠A、∠1、∠2 按从大到小的顺序排列
．
解：根据三角形的外角的性质得，∠2＞∠1，∠1＞∠A ∴∠2＞∠1＞∠A，故答案为：∠2＞∠1＞∠A．
例 6：已知：如图，△ABC 中，D 是 BC 延长线上一点，E 是 CA 延长线上一点，F 是 AB 上一点， 连接 EF．求证：∠ACD＞∠E．
C．85°
D．25°
解：∵CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，∠ACE=60°，∴∠ACD=2∠ACE=120°． ∵∠B=25°，∴∠A=120°﹣25°=95°．故选：B．
3. 如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 上的点，点 F 在 BC 的延长线上，DE∥BC，∠A=44°，
解：∵∠E=20°，∠ACB=75°，∴∠CAE=75°﹣20°=55°，∵AE 平分∠CAD， ∴∠EAD=55°，∴∠B=∠EAD﹣∠E=55°﹣20°=35°．
例 5：如图，下列关系正确的是（ ）
A．∠2＜∠1 B．∠2＞∠1 C．∠2≥∠1 D．∠2=∠1 解：∵∠2 是三角形的一个外角，而∠1 是此三角形的一个内角，且∠1 与∠2 不相邻，∴∠2＞∠1．故选：B．
练习：如图，△ABC 中，∠A=70°，∠B=40°，CE 是△ABC 的外角∠ACD 的角平分线，求∠DCE 的 度数．
解：∵∠A=70°，∠B=40°，∴∠ACD=∠A+∠B=110°，
∵CE 是△ABC 的外角∠ACD 的角平分线，∴∠DCE=
．
例 3：如图，直线 AB∥CD，∠A=70°，∠C=40°，则∠E 等于（ ）
证明：∵∠ACD 是△ABC 的一个外角，∴∠ACD＞∠BAC， ∵∠BAC 是△AEF 的一个外角，∴∠BAC＞∠E，∴∠ACD＞∠E．
北师大版八年级数学上册(课件)：7.专题课堂(八) 三角
5．如果等腰三角形的一个外角为110°，求它的底角． 解：①当 110°是顶角的外角时，则底角为 110°×12＝55°，②当 110 °是底角的外角时，则底角为 180°－110°＝70°，即它的底角是 55 °或 70°
三、三角形的内角和定理及推论综合应用 例3：如图，a∥b，∠1＝50°，∠2＝60°，则∠3的度数为( C ) A．50° B．60° C．70° D．80° 解析：由三角形内角和定理，再根据对顶角相等可得∠4＝180°－∠1 －∠2＝70°，又∵a∥b，∴∠3＝∠4＝70°，选C
二、三角形的外角及其性质 例2：把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1＝40°，则∠2的度数 为( D ) A．125° B．120° C．140° D．130° 解析：∵EF∥GH，∴∠FCD＝∠2，又∵∠FCD是△ABC的外角， ∴∠FCD＝∠1＋∠A＝130°，即∠2＝130°，选D
3．如图所示，∠A，∠1，∠2的大小关系是( B ) A．∠A>∠1>∠2 B．∠2>∠1>∠A C．∠A>∠2>∠1 D．∠2>∠A>∠1 4．如图，射线AD，BE，CF构成∠1，∠2，∠3，则∠1＋∠2＋∠3 等于( B ) A．180° B．360° C．540° D．无法确定
第七章 平行线的证明
专题课堂(八) 三角形的内角和定理
一、三角形的内角和 三角形的内角和定理可以计算和证明图形中角的数量关系． 例1：把△ABC沿DE方向剪去∠A后，形成四边形BCED.求证：∠1＋ ∠2＝180°＋∠A.
证明：∵∠1＋∠ADE＝180°，∠2＋∠AED＝180°，∴∠1＝ 180°－∠ADE，∠2＝180°－∠AED，∴∠1＋∠2＝360°－ (∠ADE＋∠AED)，又∵∠ADE＋∠AED＝180°－∠A(三角形的内 角和定理)，∴∠1＋∠2＝360°－(180°－∠A)＝180°＋∠A
三、三角形的内角和定理及推论综合应用 例3：如图，a∥b，∠1＝50°，∠2＝60°，则∠3的度数为( C ) A．50° B．60° C．70° D．80° 解析：由三角形内角和定理，再根据对顶角相等可得∠4＝180°－∠1 －∠2＝70°，又∵a∥b，∴∠3＝∠4＝70°，选C
二、三角形的外角及其性质 例2：把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1＝40°，则∠2的度数 为( D ) A．125° B．120° C．140° D．130° 解析：∵EF∥GH，∴∠FCD＝∠2，又∵∠FCD是△ABC的外角， ∴∠FCD＝∠1＋∠A＝130°，即∠2＝130°，选D
3．如图所示，∠A，∠1，∠2的大小关系是( B ) A．∠A>∠1>∠2 B．∠2>∠1>∠A C．∠A>∠2>∠1 D．∠2>∠A>∠1 4．如图，射线AD，BE，CF构成∠1，∠2，∠3，则∠1＋∠2＋∠3 等于( B ) A．180° B．360° C．540° D．无法确定
第七章 平行线的证明
专题课堂(八) 三角形的内角和定理
一、三角形的内角和 三角形的内角和定理可以计算和证明图形中角的数量关系． 例1：把△ABC沿DE方向剪去∠A后，形成四边形BCED.求证：∠1＋ ∠2＝180°＋∠A.
证明：∵∠1＋∠ADE＝180°，∠2＋∠AED＝180°，∴∠1＝ 180°－∠ADE，∠2＝180°－∠AED，∴∠1＋∠2＝360°－ (∠ADE＋∠AED)，又∵∠ADE＋∠AED＝180°－∠A(三角形的内 角和定理)，∴∠1＋∠2＝360°－(180°－∠A)＝180°＋∠A
北师大版八年级上册数学三角形的内角和定理课件
A· D
(三角形的一个外角等于和它
不相邻的两个内角的和)
B
·C
∠B=∠C (已知) ∴∠C= ∠12 EAC(等式性质)
请在例题的基 础上通过增加
还∵∴∠有ADDA其平C分=它12∠∠方EEAAC法C(已(角吗知平？)分线的定或换义者个) 适方法当试修试改。，
∴∠DAC=∠C(等量代换)
∴ AD∥BC(内错角相等,两直线平行).
三角形的一个外角等于和
∠1= ∠2+∠3
它不相邻的两个内角的和。
几何语言
∵ ∠1是△ABC的外角 ∴ ∠1= ∠2+ ∠3（三角形的一个外角 等于和它不相邻的两个内角的和）
活动二 ： 三角形外角与内角关系
∠1>∠2,∠1>∠3
A
已知：如图，∠1是△ABC的一个外角. 2
求证： ∠1> ∠2, ∠1> ∠3
4 已知：在△ABC中, ∠1是 它的一个外角, E为边AC上 一点延长BC到D,连接DE.
2 C
E5 3
求证: ∠1>∠2.
4
1
A
BF
活动二： 三角形外角与内角关系 已知：∠1是△ABC的一个外角 求证： ∠1= ∠2+∠3
E 证明：过点B做BE∥AC
∴∠ABE= ∠2
（两直线平行，内错角相等）
针对练习2
1.如图:△ABC中，D是BC延长线上一点
1）则∠ ACD ＞∠ A ， ∠ ACD ＞∠ B ；
2）若∠A=35°,
A
∠DCA=80°，
35°
则 ∠ACB= 100 ° ∠B= 45 ° D 80°
B C
针对练习2
2.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,
三角形的内角和定理北师大版八年级数学上册优质PPT
三角形的内角和定理北师大版八年级 数学上 册优质P PT
解：（1）∵∠ADC是△ABD的一个外角， ∴∠ADC=∠B+∠BAD. ∵∠ADC=80°，∠B=∠BAD， ∴∠B= ∠ADC= ×80°=40°. （2）在△ABC 中，∵∠BAC+∠B+∠C=180°， ∴∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-40°-70°=70°.
（3）如图3，点E在AD的延长线上. EF⊥BC于F，试探
究∠DEF与∠B、∠C的大小关系是
（直
接写出结论，不需证明）.
如图2，过点A作AG⊥BC于点G.
三角形的内角和定理北师大版八年级 数学上 册优质P PT
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∵EF⊥BC，∴AG∥EF. ∴∠DAG=∠DEF. 由（1）可得，∠DAG= （∠C-∠B）. ∴∠DEF= （∠C-∠B）. 故答案为∠DEF= （∠C-∠B）.
第七章 平行线的证明
第8课 三角形的内角和定理
新课学习
知识点1. 三角形的内角和定理 三角形的内角和是180°.
1. （例1）如图，已知在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD 是AC边上的高，求∠DBC的度数.
三角形的内角和定理北师大版八年级 数学上 册优质P PT
解：∵∠C=∠ABC=2∠A， ∴∠C+∠ABC+∠A=5∠A=180°. ∴∠A=36°. ∴∠C=∠ABC=2∠A=72°. 又BD是AC边上的高，∴∠DBC=90°-∠C=18°.
三角形的内角和定理北师大版八年级 数学上 册优质P PT
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2. 如图，在△ABC中，∠A=70°，∠B=50°，CD平分 ∠ACB，求∠ACD的度数.
北师大版八年级上册数学第7章平行线的证明 第5节三角形内角和定理
感悟新知
知识点 2 三角形的外角
知2－讲
1.三角形的外角 三角形内角的一条边与另一条边的反向延 长线组成的角，称为三角形的外角 . 如图 7-5-3，∠ ACD 是 △ ABC 的∠ ACB 的外角 .
感悟新知
2. 外角的特征 (1)顶点是三角形的顶点； (2)一条边是三角形内角的一边； (3)另一条边是该内角另一边的反向延长线 .
第七章
平行线的证明
7.5 三角形内角和定理
学习目标
1 课时讲解 2 课时流程
三角形内角和定理 三角形的外角 三角形内角和定理的推论
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 三角形内角和定理
知1－讲
1.定理： 三角形的内角和等于 180° . 几何语言： 在△ ABC 中，∠ A+ ∠ B+ ∠ C=180° .
感悟新知
2. 三角形内角和定理的证明思路
知1－讲
思路一：利用“两直线平行，内错角及同位角相等”将
三角形的三个内角转化为一个平角 . 如图 7-5-1 ①② .
感悟新知
知1－讲
思路二：利用“两直线平行，内错角相等”将三角形的 三个内角转化为两平行线间的一组同旁内角 . 如图 7-5-2 ① ②.
感悟新知
知2－练
感悟新知
解题秘方：紧扣三角形外角的定义识别外角 .
知2－练
解：图中△ CEF 的三边的延长线只有 EF的延长线 FA，
CE 的延长线 EB，延长线 FA与边 FC 构成的角为∠
AFC；延长线 EB 与边EF 构成的角为∠ BEF.
由三角形外角的定义可以判断∠ AFC，∠ BEF
是△ CEF的外角 .
北师大版数学八年级上册《7-5 三角形内角和定理 》公开课课件
5 三角形内角和定理
第2课时
1.了解三角形外角的概念. 2.掌握三角形内角和定理的两个推论及其证明. 3.引导学生从内和外、相等和不等的不同角度对三角形 的角作全面的思考，体会几何中简单不等关系的证明.
1.证明命题的一般步骤: (1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证); (2)根据题意,画出图形; (3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”;
邻的两个内角的和),∠B=∠C (已知), ∴∠C= 1∠EAC(等式的性质). ∵AD平分2 ∠EAC(已知). ∴∠DAC= 1∠EAC(角平分线的定义). ∴∠DAC=∠2C(等量代换).
∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行).
例题是运用了 定理“内错角 相等,两直线 平行”得到了 证实.
例1 已知:如图,在△ABC中,AD平分外角∠EAC, E
总结
这里是运用了定理“同旁内角互补,两直线平行”得到了证
实.
【例题】
例2 已知:如图,在△ABC中, ∠1是 它的一个外角, E为边AC上一点,延 长BC到D,连接DE.
D 2
C 53 E
求证: ∠1>∠2.
4
1
A
BF
证明:∵∠1是△ABC的一个外角(已知), ∴∠1>∠3(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的 内角). ∵∠3是△CDE的一个外角 (外角定义). ∴∠3>∠2(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的 内角). ∴∠1>∠2(不等式的性质). 把你所悟到的证明一个真命题的方法,步骤,书写格式以 及注意事项转化为一种方法.
∠A= 180°–(∠B+∠C).
∠B= 180°–(∠A+∠C).
A
∠C= 180°–(∠A+∠B).
第2课时
1.了解三角形外角的概念. 2.掌握三角形内角和定理的两个推论及其证明. 3.引导学生从内和外、相等和不等的不同角度对三角形 的角作全面的思考，体会几何中简单不等关系的证明.
1.证明命题的一般步骤: (1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证); (2)根据题意,画出图形; (3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”;
邻的两个内角的和),∠B=∠C (已知), ∴∠C= 1∠EAC(等式的性质). ∵AD平分2 ∠EAC(已知). ∴∠DAC= 1∠EAC(角平分线的定义). ∴∠DAC=∠2C(等量代换).
∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行).
例题是运用了 定理“内错角 相等,两直线 平行”得到了 证实.
例1 已知:如图,在△ABC中,AD平分外角∠EAC, E
总结
这里是运用了定理“同旁内角互补,两直线平行”得到了证
实.
【例题】
例2 已知:如图,在△ABC中, ∠1是 它的一个外角, E为边AC上一点,延 长BC到D,连接DE.
D 2
C 53 E
求证: ∠1>∠2.
4
1
A
BF
证明:∵∠1是△ABC的一个外角(已知), ∴∠1>∠3(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的 内角). ∵∠3是△CDE的一个外角 (外角定义). ∴∠3>∠2(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的 内角). ∴∠1>∠2(不等式的性质). 把你所悟到的证明一个真命题的方法,步骤,书写格式以 及注意事项转化为一种方法.
∠A= 180°–(∠B+∠C).
∠B= 180°–(∠A+∠C).
A
∠C= 180°–(∠A+∠B).
北师大版八年级数学上册7.5 三角形内角和定理 第1课时 三角形的内角和
11. 如图是 A，B，C 三岛的平面图，C 岛在 A 岛的 北偏东 50°方向上，B 岛在 A 岛的北偏东 80°方向上， C 岛在 B 岛的北偏东 30°方向上，则从 C 岛看 A，B 两 岛的视角∠ACB＝ 20° .
12. 如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB，DE∥AC， ∠B＝50°，∠EDC＝22°，求∠ADC 的度数.
8. 如图，已知 D，E 在△ABC 的边上，DE∥BC， ∠B＝60°，∠AED＝40°，则∠A 的度数为( C )
A．100°
B．90°
C．80°
D．70°
9. (中考·杭州)在△ABC 中，若一个内角等于另外两 个内角的差，则( D )
A．必有一个内角等于 30° B．必有一个内角等于 45° C．必有一个内角等于 60° D．必有一个内角等于 90°
A．45° B．50° C．55° D．60°
4. 如图，将三角尺的直角顶点放在直线 a 上，a∥b， ∠1＝50°，∠2＝60°，则∠3 的度数为( C )
A．50° B．60° C．70° D．80°
5. △ABC 中，∠B＝50°，∠C＝60°，AD 是∠A 的平分线，则∠DAC 的大小为 35 °.
∴∠A＋∠ABD＋∠ADB＋∠C＋∠DBC＋∠CDB＝ 360°.
又∵∠ADB＋∠CDB＋∠ADC＝360°， ∴∠A＋∠ABC＋∠C＋360°－∠ADC＝360°，
∴∠A＋∠ABC＋∠C＝∠ADC．
15. (中考·哈尔滨)在△ABC 中，∠A＝50°，∠B＝ 30°，点 D 在 AB 边上，连接 CD，若△ACD 为直角三角 形，则∠BCD 的度数为 60°或 10° .
7.5 三角形内角和定理
第1课时 三角形的内角和
《三角形的内角和》ppt课件
在数学教育中的价值
三角形内角和定理是初中数学中的重要内容之一，对于培养学生的逻辑思维、推理能力和数学素 养具有重要意义。
02
三角形内角和的基本概念
角度与三角形的关系
三角形是由三条边和三个角组成的几何图形。 角度是描述两条射线之间的夹角大小的量度。 三角形中的角度与边长之间存在一定的关系，如正弦、余弦定理等。
基于三角形内角和定理，可以推 导出许多三角恒等式，这些恒等 式在解决三角函数问题时非常有 用。例如，正弦定理、余弦定理
等。
三角函数的应用
在物理学、工程学、天文学等领 域中，经常需要使用三角函数来 解决实际问题。而三角形内角和 定理是解决这些问题的关键之一。
在实际问题中的应用
建筑设计
在建筑设计中，经常需要使用三 角形内角和定理来计算角度、长 度等参数，以确保建筑物的稳定
性和美观性。
地图绘制
在地图绘制中，三角形内角和定理 被用来确定地图上两点之间的角度， 从而保证地图的准确性和可靠性。
导航定位
在导航定位中，三角形内角和定理 被用来计算航向、俯仰角等参数， 以确保飞机、船舶等交通工具的正 确航行方向。
05
总结与回顾
三角形内角和的总结
三角形内角和的定义
三角形内角和是指三角形三个内角的度数之和。
培养空间思维
学习三角形内角和定理有 助于培养学生的空间思维 能力和几何直觉。
回顾与思考
01
回顾三角形内角和定理的证明过程，加深对定 理的理解。
02
思考三角形内角和定理在现实生活中的应用， 提高解决实际问题的能力。
03
探究其他几何图形的内角和性质，拓展几何知 识面。
THANKS
内角和为180度的结论。
三角形内角和定理是初中数学中的重要内容之一，对于培养学生的逻辑思维、推理能力和数学素 养具有重要意义。
02
三角形内角和的基本概念
角度与三角形的关系
三角形是由三条边和三个角组成的几何图形。 角度是描述两条射线之间的夹角大小的量度。 三角形中的角度与边长之间存在一定的关系，如正弦、余弦定理等。
基于三角形内角和定理，可以推 导出许多三角恒等式，这些恒等 式在解决三角函数问题时非常有 用。例如，正弦定理、余弦定理
等。
三角函数的应用
在物理学、工程学、天文学等领 域中，经常需要使用三角函数来 解决实际问题。而三角形内角和 定理是解决这些问题的关键之一。
在实际问题中的应用
建筑设计
在建筑设计中，经常需要使用三 角形内角和定理来计算角度、长 度等参数，以确保建筑物的稳定
性和美观性。
地图绘制
在地图绘制中，三角形内角和定理 被用来确定地图上两点之间的角度， 从而保证地图的准确性和可靠性。
导航定位
在导航定位中，三角形内角和定理 被用来计算航向、俯仰角等参数， 以确保飞机、船舶等交通工具的正 确航行方向。
05
总结与回顾
三角形内角和的总结
三角形内角和的定义
三角形内角和是指三角形三个内角的度数之和。
培养空间思维
学习三角形内角和定理有 助于培养学生的空间思维 能力和几何直觉。
回顾与思考
01
回顾三角形内角和定理的证明过程，加深对定 理的理解。
02
思考三角形内角和定理在现实生活中的应用， 提高解决实际问题的能力。
03
探究其他几何图形的内角和性质，拓展几何知 识面。
THANKS
内角和为180度的结论。
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几和何它语言不相∵∴邻∠∠11的是>两△∠内A2B,角C和的∠）外1>角∠3
∴ ∠1> 的和）
北师大版八年级上册数学三角形的内 角和定 理课件
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活动三 ： 三角形内角和定理推论
像这样,由一个基本事实或定
B
·C
∵ AD平分∠EAC(已知)
∴∠DACE=
1 2
∠EAC(角平分线的定义)
你用的是什么 方法？
∴∴∠∠DDAACE==∠∠CB((等等量量代代换换)) ∴ AD∥BC(内(同错位角角相相等等,两,两直直线线平平行)行. ).
活动四： 三角形外角定理运用
已知：如图P是△ABC内一点，连接PB、PC。 求证：∠BPC ＞ ∠A
活动四： 三角形外角定理运用 E
A
D
已知：如图，在△ABC中,
AD平分外角∠EAC,∠B=∠C.
求证：AD∥BC.
B
C
认真阅读例题， 想一想例题是运 用了什么定理得 到了证明？
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活动四： 三角形外角定理运用
已知:如图，在△ABC中,
E
AD平分外角∠EAC,∠B=∠C. 求证：AD∥BC. 证明：∵∠EAC=∠B+∠C
A· D
(三角形的一个外角等于和它
不相邻的两个内角的和)
B
·C
∠B=∠C (已知) ∴∠C= ∠12 EAC(等式性质)
请在例题的基 础上通过增加
还∵∴∠有ADDA其平C分=它12∠∠方EEAAC法C(已(角吗知平？)分线的定或换义者个) 适方法当试修试改。，
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针对练习2
1.如图:△ABC中，D是BC延长线上一点
1）则∠ ACD ＞∠ A ， ∠ ACD ＞∠ B ；
2）若∠A=35°,
A
∠DCA=80°，
35°
则 ∠ACB= 100 ° ∠B= 45 ° D 80°
小组互相讨论，说一说其推理过程 看看哪组最快，方法最多？
（奖励小组3积分）
要求：有几种方法就由几个人来 完成叙述
已知：如图P是△ABC内一点，连接PB、PC。 求证：∠BPC ＞ ∠A
证明：延长BP交AC于点D ∵ ∠1 是△PDC的一个外角 （外？角？定义） ∴ ∠1 ＞ ∠2 （三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角） ∵ ∠2是△ABD的一个外角 ∴ ∠2 ＞ ∠A ∴ ∠1 ＞ ∠A 即∠BPC ＞ ∠A
B C
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针对练习2
2.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,
则这个三角形是( C )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.无法确定
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的外角。
如图所示， ∠1就是△ABC的外角
活动一： 三角形的外角
请你尝试做出 △ABC的其它外角，你能 做出几个？
想一想:
1、每一个三角形有几个外角？
C
2、每一个顶点处相对应的外角有几个？5
3、这些外角中有几个外角相等？ 6
3
12
A
7
8
4
9
B
针对练习1
C 如图1，△ADC的外角是（ ）
A.∠ABC B.∠ACD C.∠BDC
理直接推出的定理,叫做这个
A
公理或定理的推论
推论可以当作定理使用.
2
三角形内角和定理的推论
3 B
1
C
D
推定论理1 : 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个 内角的和. △ABC中，∠1=∠2+∠3
定推理论22: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相 邻的内角. △ABC中，∠1＞∠2，∠1＞∠3
这个结论以后可以直接运用.
∴∠DAC=∠C(等量代换)
∴ AD∥BC(内错角相等,两直线平行).
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活动四： 三角形外角定理运用
E
证明：∵∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它
A· D
不相邻的两个内角的和)
∠B=∠C (已知) ∴∴∠∠CB= 12∠∠12 EEAACC(等(等式式性质性)质)
∴ ∠1= ∠2+ ∠3（同角的补角相等）
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活动二 ： 三角形外角与内角关系
三角形的一个外角等于和
∠1= ∠2+∠3
它不相邻的两个内角的和。
几何语言
∵ ∠1是△ABC的外角 ∴ ∠1= ∠2+ ∠3（三角形的一个外角 等于和它不相邻的两个内角的和）
活动二 ： 三角形外角与内角关系
? ∠1+∠4=180° （平角的定义）
三角形的一个外角与和 它相邻的内角的互补。
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活动二 ： 三角形外角与内角关系
∠1= ∠2+∠3
已知：∠1是△ABC的一个外角 求证： ∠1= ∠2+∠3 要法证求？明：奖同励：桌2∵积商分∠量1一+下∠，4看=看1你8们0能°（想到平哪角些方定义） ∠2+ ∠3+ ∠4=180° （三角形内角和定理）
D.∠BCD
∠ADC呢??
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活动二 ： 三角形外角与内角关系
如图:∠1是△ABC的一个外角， ∠1与图中其他各角有何关系？ ∠1+∠4=180° ∠1=∠2+∠3 ∠1>∠2,∠1>∠3
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活动二 ： 三角形外角与内角关系
∠1>∠2,∠1>∠3
A
已知：如图，∠1是△ABC的一个外角. 2
求证： ∠1> ∠2, ∠1> ∠3
31
B
CD
三证明角: 形的一个外角大于任何一个和它不
相邻的∵内∠角1 =∠2+ ∠3（三角形的一个外角等于
第七章 平行线的证明
5、三角形内角和定理（2）
学习目标：
1、会判断和作出三角形外角； 2、通过猜想、同桌交流，能描述有 关三角形外角的两个定理及推理过 程； 3、通过小组合作，会运用三角形内 角和定理的两个推论解决相关问题
活动一： 三角形的外角
三角形内角的一条边 与另一条边的
反向延长线组成的角叫做这个三角形