数学分析与习题课_谢惠民_第一学期第16讲

∀ x ∈ Oδ (ξ ) ∩ [a, b], { an } , { b n }
|an − ξ | < δ, |bn − ξ | < δ.
[an , bn ] ⊂ Oδ (ξ ) ∩ [a, b], n [an , bn ] N ,f [an , bn ] . Lebesgue . . f
. . 1( )
16
16 , : , . , , , f ∈ C [a, b], f ([a, b]) = R (f ) = [m, M ], m, M , ( f ∈ C [a, b], G = n, {xn } ⊂ [a, b]. {xn } Weierstrass , , {xnk }.
1 . M − f (x) g ∈ C [a, b],
g (x) =
1 M − f (x)
µ.
f (x)
M− 1. µ M− 1 µ β. . , β
.
M = sup{f ([a, b])} (= sup{R (f )}). , ∀ 1 , ∀ xn ∈ [a, b], n f (xn ) > M − 1 . n (∗) (∗). ξ. [a, b]
.
y
¤ ¢
¼»º
Ø
Ø
f (x 0 ) + ε
Ø
f (x 0 ) f (x 0 ) − ε
Ø Ø
È
È
È
È
È
È
È
È
È
°

³ ±
´
¶ ¶
·
È
¸
¨
º ¸
¹
ȼ
¼¼ ¼»
½½
½¾
¦
À
¼
¼
¼
¼
¼
¼
¼
O
¨ ¨ ØÙÙÙÙÙÙÙÙ ¨ ¨ ×
¥
±
£
Õ
x0
­
«
x
x0 − δ

x0 + δ .
1:
f (x) , x0 − δ < x < x0 + δ ,
∀ k, a
,
xnk
b,
ξ ∈ [a, b].
, , 8 . .
2
f
ξ
,
Heine
k→∞
(
),
lim f (xnk ) = f (ξ ). , lim f (xnk ) = ∞. k, |f (xnk | nk .
,
{xn }
k→∞
. . 2( f I1 , I2 . {In }, bn − an → 0, f , In ξ ∈ In ∀ n, an ↑ ξ, bn ↓ ξ. f ξ , |f (x)| M. ξ, N, ∀ n N, , ∃ δ > 0, ∃ M > 0, . In = [an , bn ], |In | = . I1 = [a1 , b1 ], , I1 , a1 = a, b 1 = b . , , f |I1 | . . f I1 ) . f ∈ C [a, b],
, ,
∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ x′ , x′′ ∈ I (|x′ − x′′ | < δ ), 1 f I , |f (x′ ) − f (x′′ )| < ε. f f ∈ C (I ).
, I
, I x0
f
,
f ∈ C 百度文库I ). x′′ x, ,
∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ x′ , x′′ (|x′ − x′′ | < δ ),
k→∞
2007 .
11 , .
12 .
,
,3 .
. . ,
, §5.2
. . . . ,
f
[a, b] , ,
. . . :
⇐⇒
⇐⇒
) f xn . ∀ G, ∃ x ∈ [a, b], |f (xn )| n. , ξ, n
. |f (x)| G. , p.44 Bolzano-
lim xnk = ξ.
n , (∗)
, , ξ ∈ [a, b]. k (M
[a, b]
{xn }, {xnk },
) f (xnk ) > M − 1 . nk
(∗∗)
k → ∞, (M f (ξ ) = M . ) lim f (xnk ) = f (ξ )
k→∞
M.
M
.
4
, , . 2 p.106 3 , . , . f δ , . 1 . , ε > 0, x0 ε>0 , , : . ,
, pp.105–106 ,
, , . p.105 . . ,
,
,
∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ |x − x0 | < δ,
|f (x) − f (x0 )| < ε. x0 . . , , f x0
y = f (x) |f (x) − f (x0 )| < ε f (x0 ) − ε < f (x) < f (x0 ) + ε, 1 y = f (x0 ) + ε, y = f (x0 ) − ε
. . ,
. , , . δ. ε>0 ,
δ>0 δ ,
f, |x − x0 | < δ ,
ε > 0, x, x0 ∈ I , , , f I
x0
δ = δ (ε),
|f (x) − f (x0 )| < ε? .
I
,
lim
|f (x′ ) − f (x′′ )| = 0,
f . ε-δ
I
. , f I : : |f (x′ ) − f (x′′ )| < ε. I x0 , I ,
x′ .
x0
.
6
2 . ( 3 I I
f , f ,
I .) I
′ ′′
,
J ⊂ I,
f
J
,
′ ′′
I ,
,
f
′
I
′′
.
ε = 1, ∃ δ1 > 0, ∀ x , x (|x − x | < δ ), xi δ.
|f (x ) − f (x )| < 1.
a < x1 < x2 < · · · < xn < b,
, |x − x0 | < δ ,
x
5
1 y , , . 1 ,
x ,
x = x0 ± δ , . , , ,δ , , δ>0 x0 , (x0 , f (x0 )) . ,δ ε > 0, δ = δ (ε, x0 ). : I ε . , : f
|x′ −x′′ |→0 x′ ,x′′ ∈I
3
f ∈ C [a, b], , , , f M. [a, b]
,f
, M.
,
f ([a, b]) = R (f )
g (x) = [a, b] g [a, b] . ∀ x ∈ [a, b], 0, ∀ x ∈ [a, b], f . . f . 2( f ∈ C [a, b], ) f M 0, µ,
|f (x)| = |f (x) − f (xi ) + f (xi )|
|f (x) − f (xi )| + |f (xi )| < 1 + |f (xi )|.
M = 1 + max{|f (x1 )|, |f (x2 )|, · · · , |f (xN )|}, ∀x ∈ I 8 1 f (x) = 1/x (0, 1) : |f (x)| 8. f (x) = 1 x . f (x) = 1/x , (0, 1) (0, 1) . , . 3 M, f I .