线线平行与线面平行的判定及其性质
线线平行、线面平行、面面平行的判定方法(本人原创)
创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者：凤呜大王*在空间“线线平行、线面平行、面面平行”的判定方法一、两条直线平行的判定方法（1）在同一平面内没有公共点的两条直线平行（定义）（2）先证在同一平面内，再用平面几何中的平行线的判定理或者相关图形的性质进行证明。
如①在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果同位角或内错角相等，或同旁内角互补，则两直线平行。
②三角形、梯形中位线定理。
③平行四边形、矩形、菱形、正方形性质(对边平行)。
④在同一个平面内，同垂直于一条直线的两条直线平行（注意：此结论在空间不适合）。
（3）（线面平行的性质）如果一条直线和一个平面平行，则经过这条直线的一个平面与这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
（4）如果两直线都平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行（平行的传递性）。
（5）（面面平行的性质）如果两个平行平面分别和第三个平面相交，则它们的交线平行。
（6）（线面垂直的性质之一）如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。
（7）用向量证明。
二、一条直线和一个平面平行的判定（1）如果一直线和一平面没有公共点，那么这条直线就和这个平面平行（定义）（2）平面外的一条直线，如果和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行(线面平行的判定定理)。
（3）如果两个平面相互平行，那么在一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面.（线面平行的性质）。
（4）向量法。
三、两个平面平行的判定（1）如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行（定义）（2）如果一个平面内的两条相交直线分别和另一个平面平行，那么这两个平面平行。
（3）如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
（4）如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面平行。
（5）如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。
在空间“线线垂直、线面垂直、面面垂直”的判定方法一、两条直线垂直的判定（1）在同一个明面内证明两条直线垂直可按照平面几何的有关定理和方法判定。
直线、平面平行的判定和性质
∴PM∥BE，∴APEP＝MAMB，
又 AE＝BD，AP＝DQ，∴PE＝BQ， ∴APEP＝DBQQ，∴MAMB＝DQQB，
∴MQ∥AD，又 AD∥BC，
∴MQ∥BC，∴MQ∥平面 BCE，又 PM∩MQ＝M， ∴平面 PMQ∥平面 BCE，又 PQ⊂平面 的直线 a，b 和平面 α， ①若 a∥α，b⊂α，则 a∥b； ②若 a∥α，b∥α，则 a∥b； ③若 a∥b，b⊂α，则 a∥α； ④若 a∥b，a⊂α，则 b∥α 或 b⊂α， 上面命题中正确的是________(填序号)． 答案 ④
解析 ①若 a∥α，b⊂α，则 a，b 平行或异面；②若 a∥α，b∥α，则 a，b 平行、相交、异面都有可能；③若 a∥b，b⊂α，a∥α 或 a⊂α.
作 PM∥AB 交 BE 于 M， 作 QN∥AB 交 BC 于 N，
连接 MN. ∵正方形 ABCD 和正方形 ABEF 有公共边 AB，∴AE ＝BD. 又 AP＝DQ，∴PE＝QB，
又 PM∥AB∥QN，∴PAMB ＝PAEE＝QBDB，QDNC＝BBQD，
∴PAMB ＝QDNC， ∴PM // QN，即四边形 PMNQ 为平行四边形， ∴PQ∥MN.又 MN⊂平面 BCE，PQ⊄平面 BCE， ∴PQ∥平面 BCE.
直线、平面平行的判定及性质
2012·考纲
1．以立体几何的定义、公理、定理为出发点，认识 和理解空间中线面平行的有关性质和判定定理．
2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位 置关系的简单命题.
课本导读
1．直线和平面平行的判定： (1)定义：直线与平面没有公共点，则称直线平行平面； (2)判定定理： a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α ； (3)其他判定方法：α∥β，a⊂α⇒a∥β. 2．直线和平面平行的性质： a∥α，a⊂β，α∩β＝l⇒a∥l.
直线、平面平行的判定与性质
[解析]
选项A，平行直线的平行投影可以依然是两条平行
直线；选项 B ，两个相交平面的交线与某一条直线平行，则这
条直线平行于这两个平面；选项 C，两个相交平面可以同时垂
直于同一个平面；选项D，正确． [答案] D
2．(2009·福建，10)设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，
l2是平面β内的两条相交直线．则α∥β的一个充分而不必要条件
∵AF⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AF∥平面PDC.
∵AF∩EF＝F，∴平面AEF∥平面PCD.
∵AE⊂平面AEF，AE∥平面PCD.
∴线段PB的中点E是符合题意要求的点．
1．证明直线和平面平行的方法有：
(1)依定义采用反证法
(2) 判定定理( 线∥线 ⇒线∥面) ，即想方设法在平面内找出 一条与已知直线平行的直线． (3)面面平行性质定理(面∥面⇒线∥面) 2．证明平面与平面平行的方法有：
(1)[证明] ∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
∴PA⊥AB.
∵AB⊥AD，PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，
∵PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.
(2)[解]
解法一：取线段 PB 的中点 E，PC 的中点 F，连
接 AE，EF，DF，则 EF 是△PBC 的中位线． 1 1 ∴EF∥BC，EF＝ BC，∵AD∥BC，AD＝ BC， 2 2 ∴AD∥EF，AD＝EF. ∴四边形 EFDA 是平行四边形，∴AE∥DF. ∵AE⊄平面 PCD，DF⊂平面 PCD， ∴AE∥平面 PCD. ∴线段 PB 的中点 E 是符合题意要求的点．
(1)依定义采用反证法
(2) 判定定理( 线∥面 ⇒面∥面) ．即证一平面内两条相交直
线与另一平面垂直．
高一数学必修2直线平面平行的判定及其性质知识点讲解
性质
判定
a′∩b′＝
a，b⊂βa P′a∩b＝P
无公
条件
∩b＝P a∥ a∥a′b∥b′
共点
αb∥α
a′，b′⊂βa，
b⊂α
结论 α∥β α∥β
α∥β
性质
α∥ββ ∩γ＝ α∥β bα∩γ＝ a⊂β
a
a∥b a∥α
[究 疑 点] 1．若一直线平行于平面α，那么平面α内的任一条直线
与它有何位置关系？ 提示：平行或异面． 2．若两平面平行，那么在一个平面内的任一条直线与 另一个平面内的任一条直线有何位置关系？ 提示：平行或异面．
直线、平面平行的判定及其性质 以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认 识和理解空间中线面平行的判定定理与有关性质．
[理 要 点] 一、直线与平面平行的判定与性质
判定
图形
性质
条件 a与α无交点 结论 a∥α
b∥α
a∥α
a∥αa⊂βα ∩β＝b
a∩α＝ ∅
a∥b
二、面面平行的判定与性质 判定
图形
()
A．若a∥α，b∥a，则b∥α
B．a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β，则β∥α
C．若α∥β，b∥α，则b∥β
D．若α∥β，a⊂α，则a∥β
解析：A、C中b都可能在面内故错，B中α与β相交
也可行．
答案：D
AB∥CD，AD⊥DC，CD＝2，DD1＝AB＝1，P、Q分别 是CC1、C1D1的中点．求证：AC∥平面BPQ.
条件变为E、F、G满足“DF∶D1F＝1∶2，DG∶DA＝1∶3， BE∶BB1＝2∶3”，求证平面AD1E∥平面BGF.
证明：∵D1F∶DD1＝2∶3 BE∶BB1＝2∶3 DD1＝BB1，∴D1F＝BE 又D1F∥BE，∴四边形D1FBE为平行四边形， ∴D1E∥BF 又DG∶GA＝1∶2 DF∶FD1＝1∶2 ∴GF∥AD1 又AD1∩D1E＝D1，GF∩BF＝F ∴平面AD1E∥平面GFB
直线、平面平行的判定与性质讲义
直线、平面平行的判定与性质讲义一、知识梳理1．线面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)⎭⎪⎬⎪⎫l∥aa⊂αl⊄α⇒l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)⎭⎪⎬⎪⎫l∥αl⊂βα∩β＝b⇒l∥b2.面面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)⎭⎪⎬⎪⎫a∥βb∥βa∩b＝Pa⊂αb⊂α⇒α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∩γ＝aβ∩γ＝b⇒a∥b(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．()(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．()(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．()(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．()(5)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.()(6)若α∥β，直线a∥α，则a∥β.()题组二：教材改编2．下列命题中正确的是( )A ．若a ，b 是两条直线，且a ∥b ，那么a 平行于经过b 的任何平面B ．若直线a 和平面α满足a ∥α，那么a 与α内的任何直线平行C ．平行于同一条直线的两个平面平行D ．若直线a ，b 和平面α满足a ∥b ，a ∥α，b ⊄α，则b ∥α3．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1的中点，则BD 1与平面AEC 的位置关系为________．题组三：易错自纠4．若平面α∥平面β，直线a ∥平面α，点B ∈β，则在平面β内且过B 点的所有直线中( ) A ．不一定存在与a 平行的直线 B ．只有两条与a 平行的直线 C ．存在无数条与a 平行的直线 D ．存在唯一与a 平行的直线 5．设α，β，γ为三个不同的平面，a ，b 为直线，给出下列条件： ①a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α；②α∥γ，β∥γ； ③α⊥γ，β⊥γ；④a ⊥α，b ⊥β，a ∥b .其中能推出α∥β的条件是______．(填上所有正确的序号)6.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH 为截面，则四边形EFGH 的形状为________．三、典型例题题型一：直线与平面平行的判定与性质 命题点1：直线与平面平行的判定典例 如图，在四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F ，H 分别为线段AD ，PC ，CD 的中点，AC 与BE 交于O 点，G 是线段OF 上一点．(1)求证：AP∥平面BEF；(2)求证：GH∥平面P AD.命题点2：直线与平面平行的性质典例如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.(1)证明：GH∥EF；(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积．思维升华：判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)．(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．(3)利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．跟踪训练如图，四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，P A＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．(1)证明：MN∥平面P AB；(2)求四面体N-BCM的体积．题型二：平面与平面平行的判定与性质典例如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.引申探究：本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.思维升华：证明面面平行的方法(1)面面平行的定义．(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．跟踪训练：如图所示，四边形ABCD与四边形ADEF都为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.题型三：平行关系的综合应用典例如图所示，平面α∥平面β，点A∈α，点C∈α，点B∈β，点D∈β，点E，F分别在线段AB，CD 上，且AE∶EB＝CF∶FD.(1)求证：EF∥平面β；(2)若E，F分别是AB，CD的中点，AC＝4，BD＝6，且AC，BD所成的角为60°，求EF的长．思维升华：利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决．跟踪训练如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．(1)求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．四、反馈练习1．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则()A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α与直线l至少有两个公共点D．α内的直线与l都相交2．已知直线a和平面α，那么a∥α的一个充分条件是()A．存在一条直线b，a∥b且b⊂αB．存在一条直线b，a⊥b且b⊥αC．存在一个平面β，a⊂β且α∥βD．存在一个平面β，a∥β且α∥β3．平面α∥平面β，点A，C∈α，点B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是()A．AB∥CD B．AD∥CBC．AB与CD相交D．A，B，C，D四点共面4．一条直线l上有相异的三个点A，B，C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是() A．l∥αB．l⊥αC．l与α相交但不垂直D．l∥α或l⊂α5．对于空间中的两条直线m，n和一个平面α，下列命题中的真命题是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，n⊂α，则m∥nC．若m∥α，n⊥α，则m∥nD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n6．如图，L，M，N分别为正方体对应棱的中点，则平面LMN与平面PQR的位置关系是()A．垂直B．相交不垂直C．平行D．重合7．在四面体A－BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．8．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.可以填入的条件有________．9．如图所示，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件______时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)10．将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”．给出下列四个命题：①垂直于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两平面平行；③平行于同一直线的两直线平行；④平行于同一平面的两直线平行．其中是“可换命题”的是______．(填序号)11．如图，在四棱锥P—ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AB＝2DC＝23，且△P AD与△ABD均为正三角形，E为AD的中点，G为△P AD的重心．(1)求证：GF∥平面PDC；(2)求三棱锥G—PCD的体积．12.如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC＝PD＝2，E为PC的中点，CB＝3CG.(1)求证：PC⊥BC；(2)AD边上是否存在一点M，使得P A∥平面MEG？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．13．在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列结论中，错误的是()A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°14．过三棱柱ABC—A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．15．如图所示，侧棱与底面垂直，且底面为正方形的四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝1，M，N 分别在AD1，BC上移动，始终保持MN∥平面DCC1D1，设BN＝x，MN＝y，则函数y＝f(x)的图象大致是()16．在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于点D，E，F，H.D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB∥平面DEFH，那么四边形DEFH 的面积为________．。
线面平行、面面平行的性质与判定定理
1
提问
一、直线与平面有什么样的位置关系？
1.直线在平面内——有无数个公共点；
2.直线与平面相交——有且只有一个公共点；
3.直线与平面平行——没有公共点。
a
a
a
2
线面平行的判定定理
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直 线平行，那么这条直线和这个平面平行。
线//线
线//面
面//面
由a // , 通过构造过直线 a 的平面 与平
面 相交于直线b，只要证得a // b即可。
17
二、两个平面平行具有如下的一些性质： ⑴如果两个平面平行，那么在一个平面内的所
有直线都与另一个平面平行 ⑵如果两个平行平面同时和第三个平面相交,
那么它们的交线平行. ⑶如果一条直线和两个平行平面中的一个相交，
表示平面）
（1）若a∥b，b，则a∥ . ( )
（2）若a∥，b∥，则a∥b . ( )
（3）若a∥b，b∥，则a∥ . ( )
（4）若a∥，b，则a∥b . ( )
（5）如果a,b是两条直线，且a∥b，那么a平行
于经过b的任何平面
（）
8
例题：已知
平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，
求证：另一条也平行于这个平面
a
a
b
a∥ b 注意：
a∥
b
1、定理三个条件缺一不可。
2、简记：线线平行，则线面平行。
3、定理告诉我们：要证线面平行，得在面内找一 条线，使线线平行。
3
二：如何判断平面和平面平行?
答:有两种方法,一是用定义法,须判 断两个平面没有公共点;二是用平 面和平面平行的判定定理,须判断 一个平面内有两条相交直线都和另 一个平面平行.
2线线、线面、面面平行的判定与性质
2线线、线面、面面平行的判定与性质姓名： 分数：知识记忆：1.空间两条直线有 种位置关系： 、 、 ．2.平行线的传递性： 。
3.空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角4.直线与平面的位置关系有 种：直线在平面 、直线与平面 、直线与平面 ．5.线面平行判断：如果面外线平行于面内线，那么 .（线线平行 ，则 ）6.线面平行性质：如果一条直线与一个平面平行，并且经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线与交线 。
（线面平行，则 ）.7.空间两个平面就有 种位置关系： 与 ．8.面面平行的判定：如果一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平面 ．（线线平行 ，则 ）9.面面平行的判定：如果一个平面与两个平行平面相交，那么它们的交线平行．（面面平行，则 ）一、填空题：1.长方体1111ABCD A B C D 中,直线1DD 平面11BCC B （平行、垂直），理由是 。
二、选择题1“空间四点D C B A ,,,不在同一平面内”是“直线CD AB ,异面”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件2.两个平面平行的条件是（ ）A ．一个平面内有一条直线平行于另一个平面B ．一个平面内有两条平行直线都平行于另一个平面C ．一平面内有两条相交直线都平行于另一个平面D ．一平面内有无数条直线都平行于另一个平面3.下列命题中正确的是（ ）A ．分别在两个平行平面内的两条直线是异面直线 B. 分别通过两条平行直线的两个平面平行C. 分别在两个平行平面内的两条直线平行D. 分别在两个平行平面内的两条直线平行或异面三、解答题：1.已知空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点（如图）．判断四边形EFGH 是否为平行四边形？2. 在如图所示的一块木料中，已知BC ∥平面1111A B C D ，BC ∥11B C ，要经过平面11A C 内的一点P 与棱BC 将木料锯开，应当怎样画线？3. 设平面α内的两条相交直线m ，n 分别平行于另一个平面β内的两条直线k ，l ，试判断平面α，β是否平行？4.如图所示，//αβ，M 在α与β同侧，过M 作直线a 与b ，a 分别与α、β相交于A 、B ，b 分别与、β相交于C 、D ．⑴ 判断直线AC 与直线BD 是否平行；⑵ 如果 4M A =cm ，5AB =cm ，3MC =cm ，求MD 的长.b a第4题图βαMA CDB。
高中数学 线面、面面平行的判定与性质(教师版)
线面、面面平行的判定与性质（教师版）知识回顾1．线面平行的判定（1）直线与平面平行的定义：直线与平面无公共点． （2）直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行． 用符号表示为：a ⊄α，b ⊂α，且a ∥b ⇒a ∥α． 2．线面平行的性质直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行符号语言描述：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊂ββ∩α＝b ⇒a ∥b ． 3. 面面平行的判定（1）平面α与平面β平行的定义：两平面无公共点． （2）直线与平面平行的判定定理：下面的命题在“________”处缺少一个条件，补上这个条件，使其构成真命题(m ，n 为直线，α，β为平面)，则此条件应为m ，n 相交．⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αn ⊂αm ∥βn ∥β⇒α∥β 4．面面平行的性质平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．符号表示为：⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∩γ＝a β∩γ＝b ⇒a ∥b ． 题型讲解题型一 利用三角形中位线证明线面平行例1、如图，ABCD 是平行四边形，S 是平面ABCD 外一点，M 为SC 的中点.求证：SA∥平面MDB.答案:证明：连结AC交BD于N，因为ABCD是平行四边形，所以N是AC的中点.又因为M是SC的中点，所以MN∥SA.因为MN平面MDB，所以SA∥平面MDB.例2、如图,已知点M、N是正方体ABCD-A1B1C1D1的两棱A1A与A1B1的中点，P是正方形ABCD的中心，求证：MN∥平面PB1C.答案证明：如图，连结AC，则P为AC的中点，连结AB1，∵M、N分别是A1A与A1B1的中点，∴MN∥AB1.又∵平面PB1C，平面PB1C，故MN∥面PB1C.例3、如图所示，P是▱ABCD所在平面外一点，E、F分别在PA、BD上，且PE∶EA＝BF∶FD．求证：EF∥平面PBC．证明连接AF延长交BC于G，连接PG．在▱ABCD中，易证△BFG∽△DFA．∴GFFA＝BFFD＝PEEA，∴EF∥PG．而EF⊄平面PBC，PG⊂平面PBC，∴EF∥平面PBC．练习在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过点A，E，C的平面的位置关系是______．答案：平行题型二利用平行四边形证明线面平行例1、如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、C1D1的中点．求证：EF∥平面BDD1B1．证明：取D1B1的中点O，连接OF，OB．∵OF 12B1C1，BE12B1C1，∴OF BE．∴四边形OFEB是平行四边形，∴EF∥BO．∵EF⊄平面BDD1B1，BO⊂平面BDD1B1，∴EF∥平面BDD1B1．例2、如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，面对角线AB1、BC1上分别有两点E、F，且B1E＝C1F．求证：EF∥平面ABCD．证明方法一过E、F分别作AB、BC的垂线，EM、FN分别交AB、BC于M、N，连接MN．∵BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AB，BB1⊥BC，∴EM∥BB1，FN∥BB1，∴EM∥FN，∵AB1＝BC1，B1E＝C1F，∴AE＝BF，又∠B1AB＝∠C1BC＝45°，∴Rt△AME≌Rt△BNF，∴EM＝FN．∴四边形MNFE是平行四边形，∴EF∥MN．又MN⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD，∴EF∥平面ABCD．方法二过E作EG∥AB交BB1于G，连接GF，∴B1EB1A＝B1GB1B，B1E＝C1F，B1A＝C1B，∴C1FC1B＝B1GB1B，∴FG∥B1C1∥BC．又∵EG∩FG＝G，AB∩BC＝B，∴平面EFG∥平面ABCD．又EF⊂平面EFG，∴EF∥平面ABCD．题型三利用面面平行证明线面平行例. 如图，在四棱锥中，是平行四边形，，分别是，的中点．求证：平面．答案：证明：如图，取的中点，连接，，分别是，的中点，，，P ABCDABCD M N AB PCMN//PADCD E NE ME∵M N AB PCNE PD∴//ME AD//可证明平面，平面．又，平面平面，又平面，平面．题型四面面平行的证明例1、如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?解：当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO．∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴QB∥PA．∵P、O为DD1、DB的中点，∴D1B∥PO．又PO∩PA＝P，D1B∩QB＝B，D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，∴平面D1BQ∥平面PAO．题型五平行性质NE//PAD ME//PADNE ME E=∴MNE//PADMN⊂MNE∴MN//PAD例1、如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G、H，则HG与AB的位置关系是()A．平行 B．相交C．异面 D．平行和异面答案：A例2、ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH．证明如图所示，连接AC交BD于O，连接MO，∵ABCD是平行四边形，∴O是AC中点，又M是PC的中点，∴AP∥OM．根据直线和平面平行的判定定理，则有PA∥平面BMD．∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，根据直线和平面平行的性质定理，∴AP∥GH．练习、如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N．求证：N为AC的中点．证明 ∵平面AB 1M ∥平面BC 1N ， 平面ACC 1A 1∩平面AB 1M ＝AM ， 平面BC 1N∩平面ACC 1A 1＝C 1N ， ∴C 1N ∥AM ，又AC ∥A 1C 1， ∴四边形ANC 1M 为平行四边形， ∴AN 綊C 1M ＝12A 1C 1＝12AC ，∴N 为AC 的中点．跟踪训练1．如右图所示的三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，过A 1B 1的平面与平面ABC 交于直线DE ，则DE 与AB 的位置关系是( )A ．异面B ．平行C ．相交D ．以上均有可能 答案：B[解析] ∵A 1B 1∥AB ，AB ⊂平面ABC ，A 1B 1⊄平面ABC ， ∴A 1B 1∥平面ABC.又A 1B 1⊂平面A 1B 1ED ，平面A 1B 1ED∩平面ABC ＝DE ，∴DE ∥A 1B 1. 又AB ∥A 1B 1，∴DE ∥AB.2．已知直线l ，m ，平面α，β，下列命题正确的是( ) A ．l ∥β，l ⊂α⇒α∥βB ．l ∥β，m ∥β，l ⊂α，m ⊂α⇒α∥βC ．l ∥m ，l ⊂α，m ⊂β⇒α∥βD ．l ∥β，m ∥β，l ⊂α，m ⊂α，l ∩m ＝M ⇒α∥β 答案：D3、直线a ∥平面α，α内有n 条直线交于一点，则这n 条直线中与直线a 平行的直线( )A．至少有一条 B．至多有一条C．有且只有一条 D．没有答案：B4、给出下列结论，正确的有()①平行于同一条直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③过平面外两点，不能作一个平面与已知平面平行；④若a，b为异面直线，则过a与b平行的平面只有一个．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个答案：B5．正方体EFGH—E1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是()A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G答案：A6．如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．答案：平行四边形[解析]∵平面ABFE∥平面CDHG，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面CDHG＝HG，∴EF∥HG.同理EH∥FG，∴四边形EFGH的形状是平行四边形．7. 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC，点D是AB的中点，求证：BC1∥平面CA1D.证明：如图所示，连接AC1交A1C于点O，连接OD，则O是AC1的中点．∵点D是AB的中点，∴OD∥BC1.又∵OD⊂平面CA1D，BC1⊄平面CA1D，∴BC1∥平面CA1D.8．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC和SC的中点．求证：平面EFG∥平面BDD 1B1．证明如图所示，连接SB，SD，∵F、G分别是DC、SC的中点，∴FG∥SD．又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，∴直线FG∥平面BDD1B1．同理可证EG∥平面BDD1B1，又∵EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1．9．（本小题满分12分）在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是正方形， M、N分别为AB、SC的中点，SA⊥底面ABCD．求证：//MN平面SAD；答案．证明（Ⅰ）： E 为SD 中点，连接AE ，NE ，因为M 、N 分别为AB 、SC 的中点，所以AM//EN ，AM=EN ，即四边形AMNE 是平行四边形，所以MN//AE ，可得//MN 平面SAD ；10. 一个多面体的直观图及三视图如图所示：(其中M 、N 分别是AF 、BC 的中点)．(1)求证：MN ∥平面CDEF ；(2)求多面体A －CDEF 的体积．答案 由三视图可知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE-BCF ，且AB =BC =BF=2，DE =CF=2，∴∠CBF =. (1)证明：取BF 的中点G ，连结MG 、NG ，由M 、N 分别为AF 、BC 的中点可得，NG ∥CF ，MG ∥EF ，∴平面MNG ∥平面CDEF ，又MN ⊂平面MNG ，∴MN ∥平面CDEF .(2)取DE 的中点H .∵AD =AE ，∴AH ⊥DE ， 在直三棱柱ADE-BCF 中，平面ADE ⊥平面CDEF ，平面A DE ∩平面CDEF=DE .∴AH ⊥平面CDEF.∴多面体A-CDEF 是以AH 为高，以矩形CDE F 为底面的棱锥，在△ADE 中，AH =. S 矩形CDEF =DE ·EF =4，∴棱锥A-CDEF 的体积为2222V=·S 矩形CDEF ·AH =×4×= 解法2：13218222323A CDEF AED BFC A BFCAED V V V S AB S AB ---=-=⨯-⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△△BFC 11如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，在棱AB 上是否存在一点F ，使平面C 1CF ∥平面ADD 1A 1？若存在，求点F 的位置；若不存在，请说明理由．答案 存在这样的点F ，使平面C 1CF ∥平面ADD 1A 1，此时点F 为AB的中点，证明如下：∵AB ∥CD ，AB ＝2CD ，∴AF ∥CD ，∴四边形AFCD 是平行四边形，∴AD ∥CF ，又AD ⊂平面ADD 1A 1，CF ⊄平面ADD 1A 1，∴CF ∥平面ADD 1A 1.又CC 1∥DD 1，CC 1⊄平面ADD 1A 1，DD 1⊂平面ADD 1A 1，∴CC 1∥平面ADD 1A 1，又CC 1、CF ⊂平面C 1CF ，CC 1∩CF ＝C ，∴平面C 1CF ∥平面ADD 1A 1.12. 如图，在底面是平行四边形的四棱锥P －ABCD 中，点E 在PD 上，且PE ∶ED ＝2∶1，在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC ？证明你的结论．答案 存在．证明如下：取棱PC 的中点F ，线段PE 的中点M ，连接BD .设BD ∩AC ＝O .连接BF ，MF ，BM ，OE .13132283∵PE ∶ED ＝2∶1，F 为PC 的中点，M 是PE 的中点，E 是MD的中点，∴MF ∥EC ，BM ∥OE .∵MF ⊄平面AEC ，CE ⊂平面AEC ，BM ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ，∴MF ∥平面AEC ，BM ∥平面AEC .∵MF ∩BM ＝M ，∴平面BMF ∥平面AEC .又BF ⊂平面BMF ，∴BF ∥平面AEC .13. (北京)如图，在四面体PABC 中，PC ⊥AB ，PA ⊥BC ，点D ，E ，F ，G 分别是棱AP ，AC ，BC ，PB 的中点．(1)求证：DE ∥平面BCP ；(2)求证：四边形DEFG 为矩形；(3)是否存在点Q ，到四面体PABC 六条棱的中点的距离相等？说明理由．答案 (1)证明：因为D ，E 分别为AP ，AC 的中点，所以DE ∥PC .又因为DE ⊄平面BCP ，PC ⊂平面BCP ，所以DE ∥平面BCP .(2)证明：因为D ，E ，F ，G 分别为AP ，AC ，BC ，PB 的中点所以DE ∥PC ∥FG ，DG ∥AB ∥EF ，所以四边形DEFG 为平行四边形．又因为PC ⊥AB ，所以DE ⊥DG ，所以四边形DEFG 为矩形．(3)存在点Q 满足条件，理由如下：连接DF ，EG ，设Q 为EG 的中点．由(2)知，DF ∩EG ＝Q ，且QD ＝QE ＝QF ＝QG ＝12EG .分别取PC ，AB 的中点M ，N ，连接ME ，EN ，NG ，MG ，MN .与(2)同理可证四边形MENG 为矩形，其对象线交点为EG 的中点Q ，且QM ＝QN ＝12EG ，所以EG 的中点Q 是满足条件的点．。
线线平行与线面平行判定与其性质
2、如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为 DD1的中点，证明BD1∥平面AEC．
证明：连结BD交AC于O,连结EO 在∧BDD1中，
∵E,O分别为DD1与BD的中点
∴EO
＝∥
1 2
BD1
D1
A1 E
C1 B1
而EO 平面AEC, BD1 平面AEC D
线线平行与线面平行
学习目标
1.理解线线平行、线面平行的概念，掌握线线平 行、线面平行的判定定理，并用这些定理来证明 它们的平行关系． 2．掌握线线平行、线面平行的性质定理，并能 用它们推证其它的结论． 3．理解并掌握等角定理，并能求一些简单的空 间角度．
一、两直线平行
1、平行直线的定义及平行公理 在平面几何中，我们把在同一平面内不相交的两条直线叫 做平行线． 2、过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行．
１．直线a在平面 内还是在平面 外？
直线a在平面外
即直线a与平面可能相交或平行
a
2 ．直线a与直线b共面吗？
a与b共面于 ？(因为a∥b)
3．假如直线a与平面 相交， 交点会在哪？
在直线b上
b a//
即在平面与平面 的交线上
抽象概括
直线与平面平行的判定定理：
若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，
思考：已知线面平行能否推出线线平行呢？ 需要哪些条件呢？
4. 直线和平面平行的性质定理 （1）文字语言：如果一条直线和一个平
面平行，经过这条直线的平面和这个平
面相交，那么这条直线就和交线平行.
a
（2）图形语言：
（3） 符号语言：aa//αβ
α∩β=b
b
a//b
已知：l //α，l β，α∩β=m，
高中数学专题-直线、平面平行的判定及其性质
直线、平面平行的判定及其性质一、线线平行的证明方法（一）利用平行四边形；（二）利用三角形或梯形的中位线或平移；（三）如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行；（线面平行的性质定理）（四）如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行；（面面平行的性质定理）（五）如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行；（线面垂直的性质定理）（六）平行于同一条直线的两条直线平行；（七）夹在两个平行平面之间的平行线段相等。
（需证明）二、线面平行的证明方法（一）定义法：直线与平面没有公共点；（二）如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行；（线面平行的判定定理）（三）两个平面平行,其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面。
三、面面平行的证明方法（一）定义法：两平面没有公共点；（二）如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行；（面面平行的判定定理）（三）平行于同一平面的两个平面平行；（四）经过平面外一点,有且只有一个平面和已知平面平行；（五）垂直于同一直线的两个平面平行。
相关例题1．通过“平移”再利用平行四边形的性质① 如图,四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形,点E 、F 分别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ；② 如图,已知直角梯形ABCD 中,AB ∥CD,AB ⊥BC,AB ＝1,BC ＝2,CD ＝1＋3,过A 作AE ⊥CD,垂足为E,G 、F分别为AD 、CE 的中点,现将△ADE 沿AE 折叠,使得DE ⊥EC.（Ⅰ）求证：BC ⊥面CDE ； （Ⅱ）求证：FG ∥面BCD ；③ 已知直三棱柱ABC －A1B1C1中,D, E, F 分别为AA1, CC1, AB 的中点, M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证：（Ⅰ）C1D ⊥BC ； （Ⅱ）C1D ∥平面B1FM.DA 1AF（第1题图）④如图所示, 四棱锥P-ABCD底面是直角梯形,,,ADCDADBA⊥⊥CD=2AB, E为PC的中点, 证明://EB PAD平面;【相关点拨】①取PC的中点G,连EG.,FG,则易证AEGF是平行四边形；②取DB的中点H,连GH,HC则易证FGHC是平行四边形；③连EA,易证C1EAD是平行四边形,于是MF//EA；④取PD的中点F,连EF,AF则易证ABEF是平行四边形2．利用三角形、梯形中位线的性质①如图,已知E、F、G、M分别是四面体的棱AD、CD、BD、BC的中点,求证：AM∥平面EFG。
高中数学直线、平面平行的判定与性质
例2 如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为A1B1,A1D1 的中点,E,F分别为B1C1,C1D1的中点.
(1)求证:四边形BDFE为梯形; (2)求证:平面AMN∥平面EFDB.
解题导引
1 (1)在△B1D1C1中得EF∥B1D1且EF= 2 B1D1 在正方体中得 1 BD������ B1D1 EF∥BD且EF= BD 四边形BDFE为梯形 2
证明 证法一:如图所示,作PM∥AB交BE于M,作QN∥AB交BC于N,连接 MN. ∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB,∴AE=BD. 又AP=DQ,∴PE=QB, 又PM∥AB∥QN, ∴ = = = ,∴ = , 又AB=DC, ∴PM������ QN,∴四边形PMNQ为平行四边形, ∴PQ∥MN. 又MN⊂平面BCE,PQ⊄平面BCE, ∴PQ∥平面BCE.§8Leabharlann 4直线、平面平行的判定与性质
知识清单
考点 直线、平面平行的判定与性质
1.判定直线与直线平行的方法
(1)平行公理:a∥b,b∥c⇒① a∥c ; (2)线面平行的性质定理:a∥β,a⊂α,α∩β=b⇒② a∥b ;
(3)面面平行的性质定理:α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b⇒③ a∥b ;
(4)垂直于同一个平面的两条直线④ 平行 ; (5)如果一条直线与两个相交平面都平行,那么这条直线必与它们的交 线平行.
∴ = ,
∴MQ∥AD,又AD∥BC, ∴MQ∥BC,∴MQ∥平面BCE,又PM∩MQ=M,
∴平面PMQ∥平面BCE,
又PQ⊂平面PMQ,∴PQ∥平面BCE.
方法 2 判定或证明面面平行的方法
1.利用面面平行的定义(此法一般伴随反证法证明). 2.利用面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于 另一个平面,那么这两个平面平行. 3.证明两个平面都垂直于同一条直线. 4.证明两个平面同时平行于第三个平面.
线线平行、线面平行、面面平行的判定方法
在空间“线线平行、线面平行、面面平行”的判定方法一、两条直线平行的判定方法（1）在同一平面内没有公共点的两条直线平行（定义）（2）先证在同一平面内，再用平面几何中的平行线的判定理或者相关图形的性质进行证明。
如①在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果同位角或内错角相等，或同旁内角互补，则两直线平行。
②三角形、梯形中位线定理。
③平行四边形、矩形、菱形、正方形性质(对边平行)。
④在同一个平面内，同垂直于一条直线的两条直线平行（注意：此结论在空间不适合）。
（3）（线面平行的性质）如果一条直线和一个平面平行，则经过这条直线的一个平面与这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
（4）如果两直线都平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行（平行的传递性）。
（5）（面面平行的性质）如果两个平行平面分别和第三个平面相交，则它们的交线平行。
（6）（线面垂直的性质之一）如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。
（7）用向量证明。
二、一条直线和一个平面平行的判定（1）如果一直线和一平面没有公共点，那么这条直线就和这个平面平行（定义）（2）平面外的一条直线，如果和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行(线面平行的判定定理)。
（3）如果两个平面相互平行，那么在一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面.（线面平行的性质）。
（4）向量法。
三、两个平面平行的判定（1）如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行（定义）（2）如果一个平面内的两条相交直线分别和另一个平面平行，那么这两个平面平行。
（3）如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
（4）如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面平行。
（5）如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。
在空间“线线垂直、线面垂直、面面垂直”的判定方法一、 两条直线垂直的判定（1） 在同一个明面内证明两条直线垂直可按照平面几何的有关定理和方法判定。
直线、平面平行的判定及其性质
直线、平面平行的判定及其性质考点梳理1．直线与平面平行(1)判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)．即：a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α.其他判定方法；α∥β，a⊂α⇒a∥β.(2)性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(线面平行⇒线线平行)．即：a∥α，a⊂β，α∩β＝l⇒a∥l.2．平面与平面平行(1)判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(线面平行⇒面面平行)．即：a⊂α，b⊂α，a∩b＝M，a∥β，b∥β⇒α∥β.(2)性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．即：α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒a∥b.一个转化关系平行问题的转化关系两点提醒(1)在推证线面平行时，必须满足三个条件：一是直线a在已知平面外；二是直线b在已知平面内；三是两直线平行．(2)把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则该直线与交线平行．考点自测1．若两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是()．A．平行B．相交C．异面D．以上均有可能解析借助长方体模型易得．答案 D2．在空间中，下列命题正确的是()．A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行解析选项A，平行直线的平行投影可以依然是两条平行直线；选项B，两个相交平面的交线与某一条直线平行，则这条直线平行于这两个平面；选项C，两个相交平面可以同时垂直于同一个平面；选项D，正确．答案 D3．(2013·长沙模拟)若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是( )．A ．b ⊂αB ．b ∥αC ．b ⊂α或b ∥αD ．b 与α相交或b ⊂α或b ∥α解析 可以构造一草图来表示位置关系，经验证，当b 与α相交或b ⊂α或b ∥α时，均满足直线a ⊥b ，且直线a ∥平面α的情况，故选D.答案 D4．在空间中，下列命题正确的是( )．A ．若a ∥α，b ∥a ，则b ∥αB ．若a ∥α，b ∥α，a ⊂β，b ⊂β，则β∥αC ．若α∥β，b ∥α，则b ∥βD ．若α∥β，a ⊂α，则a ∥β解析 若a ∥α，b ∥a ，则b ∥α或b ⊂α，故A 错误；由面面平行的判定定理知，B 错误；若α∥β，b ∥α，则b ∥β或b ⊂β，故C 错误．答案 D5．在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 是DD 1的中点，则BD 1与平面ACE 的位置关系为________．解析 如图．连接AC 、BD 交于O 点，连接OE ，因为OE ∥BD 1，而OE ⊂平面ACE ，BD 1⊄平面ACE ，所以BD 1∥平面ACE .答案 平行考向一 线面平行的判定及性质【例1】►(2012·辽宁)如图，直三棱柱ABCA ′B ′C ′，∠BAC＝90°，AB ＝AC ＝2，AA ′＝1，点M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点．(1)证明：MN ∥平面A ′ACC ′； (2)求三棱锥A ′MNC 的体积．(锥体体积公式V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高)[审题视点] (1)连接AB ′，AC ′，在△AC ′B ′中由中位线定理可证MN ∥AC ′，则线面平行可证；此问也可以应用面面平行证明．(2)证A ′N ⊥平面NBC ，故V A ′MNC ＝V A ′NBC －V MNBC ＝12V A ′NBC ，体积可求．(1)证明 法一 连接AB ′，AC ′，如图由已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，三棱柱ABCA ′B ′C ′为直三棱柱，所以M 为AB ′中点．又因为N 为B ′C ′的中点，所以MN ∥AC ′. 又MN ⊄平面A ′ACC ′，AC ′⊂平面A ′ACC ′， 因此MN ∥平面A ′ACC ′.法二 取A ′B ′的中点P ，连接MP ，NP ，AB ′，如图，而M ，N 分别为AB ′与B ′C ′的中点，所以MP ∥AA ′，PN ∥A ′C ′，所以MP ∥平面A ′ACC ′，PN ∥平面A ′ACC ′. 又MP ∩NP ＝P ，因此平面MPN ∥平面A ′ACC ′. 而MN ⊂平面MPN ，因此MN ∥平面A ′ACC ′.(2)解 法一 连接BN ，如图由题意A ′N ⊥B ′C ′，平面A ′B ′C ′∩平面B ′BCC ′＝B ′C ′，所以A ′N ⊥平面NBC .又A ′N ＝12B ′C ′＝1，故V A ′MNC ＝V NA ′MC ＝12V NA ′BC ＝12V A ′NBC ＝16.法二 V A ′MNC ＝V A ′NBC －V MNBC ＝12V A ′NBC ＝16.(1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．注意说明已知的直线不在平面内．(2)证明直线与平面平行的方法：①利用定义结合反证；②利用线面平行的判定定理；③利用面面平行的性质．【训练1】 如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，AP ＝AB ，BP ＝BC ＝2，E ，F 分别是PB ，PC 的中点．(1)证明：EF ∥平面P AD ； (2)求三棱锥EABC 的体积．(1)证明 在△PBC 中，E ，F 分别是PB ，PC 的中点， ∴EF ∥BC .又BC ∥AD ，∴EF ∥AD . 又∵AD ⊂平面P AD ，EF ⊄平面P AD ， ∴EF ∥平面P AD .(2)解 连接AE ，AC ，EC ，过E 作EG ∥P A 交AB 于点G ，则EG ⊥平面ABCD ，且EG ＝12P A .在△P AB 中，AP ＝AB ，∠P AB ＝90°，BP ＝2， ∴AP ＝AB ＝2，EG ＝22. ∴S △ABC ＝12AB ·BC ＝12×2×2＝ 2.∴V EABC ＝13S △ABC ·EG ＝13×2×22＝13.考向二 面面平行的判定和性质【例2】►(2013·济南调研) 如图，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别为所在边的中点．求证：平面MNP ∥平面A 1C 1B .[审题视点] 利用面面平行判定定理的证明即可． 证明如图，连接D 1C ，则MN 为△DD 1C 的中位线，∴MN ∥D 1C . ∵D 1C ∥A 1B ，∴MN ∥A 1B . 同理可证，MP ∥C 1B .而MN 与MP 相交，MN ，MP 在平面MNP 内，A 1B ，C 1B 在平面A 1C 1B 内， ∴平面MNP ∥平面A 1C 1B .要证面面平行需证线面平行，要证线面平行需证线线平行，因此“面面平行”问题最终转化为“线线平行”问题来解决．【训练2】 如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点，求证：(1)B ，C ，H ，G 四点共面； (2)平面EF A 1∥平面BCHG .证明 (1)∵GH 是△A 1B 1C 1的中位线，∴GH ∥B 1C 1. 又∵B 1C 1∥BC ，∴GH ∥BC ， ∴B ，C ，H ，G 四点共面．(2)∵E 、F 分别为AB 、AC 的中点，∴EF ∥BC ，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綉EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG.∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EF A1∥平面BCHG.考向三线面平行中的探索性问题【例3】►如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1A⊥平面ABC，若D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．[审题视点] 取AB、BB1的中点分别为E、F，证明平面DEF∥平面AB1C1即可．解存在点E，且E为AB的中点．下面给出证明：如图，取BB1的中点F，连接DF，则DF∥B1C1.∵AB的中点为E，连接EF，则EF∥AB1.B1C1与AB1是相交直线，∴平面DEF∥平面AB1C1.而DE⊂平面DEF，∴DE∥平面AB1C1.解决探究性问题一般要采用执果索因的方法，假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符合题目结果要求的条件(出现矛盾)，则不存在．【训练3】如图，在四棱锥P ABCD中，底面是平行四边形，P A⊥平面ABCD，点M、N分别为BC、P A的中点．在线段PD上是否存在一点E，使NM∥平面ACE？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．解在PD上存在一点E，使得NM∥平面ACE.证明如下：如图，取PD 的中点E ，连接NE ，EC ，AE ， 因为N ，E 分别为P A ，PD 的中点， 所以NE 綉12AD .又在平行四边形ABCD 中，CM 綉12AD .所以NE 綉MC ，即四边形MCEN 是平行四边形．所以NM 綉EC .又EC ⊂平面ACE ，NM ⊄平面ACE ，所以MN ∥平面ACE ， 即在PD 上存在一点E ，使得NM ∥平面ACE .规范解答13——如何作答平行关系证明题【命题研究】 通过近三年的高考试题分析，对线面平行、面面平行的证明一直受到命题人的青睐，多以多面体为载体，证明线面平行和面面平行，题型为解答题，题目难度不大．【真题探究】► (本小题满分12分)(2012·山东)如图，几何体EABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB ＝CD ，EC ⊥BD . (1)求证：BE ＝DE ；(2)若∠BCD ＝120°，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC . [教你审题] 一审 取BD 的中点O ，证明BD ⊥EO ；二审 取AB 中点N ，证明平面DMN ∥平面BEC ；找到平面BCE 和平面ADE 的交线EF ，证明DM ∥EF .[规范解答] 证明 (1)图(a)如图(a)，取BD的中点O，连接CO，EO.由于CB＝CD，所以CO⊥BD，(2分)又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO，EC⊂平面EOC，所以BD⊥平面EOC，(4分)因此BD⊥EO，又O为BD的中点，所以BE＝DE.(6分)(2)法一如图(b)，取AB的中点N，连接DM，DN，MN，图(b)因为M是AE的中点，所以MN∥BE.又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，∴MN∥平面BEC.(8分)又因为△ABD为正三角形，所以∠BDN＝30°，又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°，所以DN∥BC.(10分)又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，所以DN∥平面BEC. 又MN∩DN＝N，故平面DMN∥平面BEC，又DM⊂平面DMN，所以DM∥平面BEC.(12分)法二如图(c)，延长AD，BC交于点F，连接EF.图(c)因为CB＝CD，∠BCD＝120°，所以∠CBD ＝30°. 因为△ABD 为正三角形， 所以∠BAD ＝60°，∠ABC ＝90°， 因此∠AFB ＝30°， 所以AB ＝12AF .(8分)又AB ＝AD ，所以D 为线段AF 的中点．连接DM ，由点M 是线段AE 的中点，因此DM ∥EF .(10分)又DM ⊄平面BEC ，EF ⊂平面BEC ， 所以DM ∥平面BEC .(12分)[阅卷老师手记] (1)对题目已知条件分析不深入，不能将已知条件与所证问题联系起来； (2)识图能力差，不能观察出线、面之间的隐含关系，不能作出恰当的辅助线或辅助面； (3)答题不规范，跳步、漏步等．证明线面平行问题的答题模板(一)第一步：作(找)出所证线面平行中的平面内的一条直线； 第二步：证明线线平行；第三步：根据线面平行的判定定理证明线面平行； 第四步：反思回顾．检查关键点及答题规范． 证明线面平行问题的答题模板(二)第一步：在多面体中作出要证线面平行中的线所在的平面；第二步：利用线面平行的判定定理证明所作平面内的两条相交直线分别与所证平面平行；第三步：证明所作平面与所证平面平行； 第四步：转化为线面平行； 第五步：反思回顾．检查答题规范． 【试一试】如图，在几何体ABCDEFG 中，下底面ABCD 为正方形，上底面EFG 为等腰直角三角形，其中EF ⊥FG ，且EF ∥AD ，FG ∥AB ，AF ⊥面ABCD ，AB ＝2FG ＝2，BE ＝BD ，M 是DE 的中点．(1)求证：FM ∥平面CEG ； (2)求几何体GEFC 的体积． (1)证明取CE 的中点N ，连接MN ，GN ，则MN 綉FG 綉12AB .故四边形MNGF 为平行四边形． ∴MF ∥GN .又MF ⊄平面CEG ，GN ⊂平面CEG ， ∴FM ∥平面CEG .(2)解 在Rt △ABD 中，AB ＝AD ＝2，BD ＝22， ∴BE ＝2 2.∵AF ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， ∴AF ⊥AB .在正方形ABCD 中，AB ⊥AD . 又AD ∩AF ＝A ，∴AB ⊥平面ADEF .又AE ⊂平面ADEF ，∴AB ⊥AE . ∴在Rt △ABE 中，AE ＝8－4＝2.又在Rt △AEF 中，EF ＝1，∴AF ＝4－1＝ 3. 又EF ∥AD ，EF ⊄平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， ∴EF ∥平面ABCD .同理由FG ∥AB ，可得FG ∥平面ABCD .又EF ∩FG ＝F ，EF ⊂平面EFG ，FG ⊂平面EFG . ∴平面EFG ∥平面ABCD . 又AF ⊥平面ABCD ，AF ＝3， ∴点C 到平面EFG 的距离等于3， ∴V GEFC ＝V CEFG ＝13×S △EFG ·d＝13×⎝⎛⎭⎫12×1×1×3＝36A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是()．A．l∥αB．l⊥αC．l与α相交但不垂直 D．l∥α或l⊂α解析l∥α时，直线l上任意点到α的距离都相等；l⊂α时，直线l上所有的点到α的距离都是0；l⊥α时，直线l上有两个点到α距离相等；l与α斜交时，也只能有两个点到α距离相等．答案 D2．平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是()．A．AB∥CD B．AD∥CB C．AB与CD相交D．A，B，C，D四点共面解析充分性：A，B，C，D四点共面，由平面与平面平行的性质知AC∥BD.必要性显然成立．答案 D3．(2012·北京模拟)以下命题中真命题的个数是()．①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，b⊂α，则a∥α；④若直线a∥b，b⊂α，则a平行于平面α内的无数条直线．A．1 B．2 C．3 D．4解析命题①l可以在平面α内，不正确；命题②直线a与平面α可以是相交关系，不正确；命题③直线a可以在平面α内，不正确；命题④正确．答案 A4．(2013·汕头质检)若m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是()．A．若m、n都平行于平面α，则m、n一定不是相交直线B．若m、n都垂直于平面α，则m、n一定是平行直线C．已知α、β互相平行，m、n互相平行，若m∥α，则n∥βD．若m、n在平面α内的射影互相平行，则m、n互相平行解析A中，m、n可为相交直线；B正确；C中，n可以平行β，也可以在β内；D中，m、n也可能异面．故正确的命题是B.答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)5．过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．解析过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线，记AC，BC，A1C1，B1C1的中点分别为E，F，E1，F1，则直线EF，E1F1，EE1，FF1，E1F，EF1均与平面ABB1A1平行，故符合题意的直线共6条．答案 66．α、β、γ是三个平面，a 、b 是两条直线，有下列三个条件：①a ∥γ，b ⊂β；②a ∥γ，b ∥β；③b ∥β，a ⊂γ.如果命题“α∩β＝a ，b ⊂γ，且________，则a ∥b ”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确的题号填上)．解析 ①中，a ∥γ，a ⊂β，b ⊂β，β∩γ＝b ⇒a ∥b (线面平行的性质)．③中，b ∥β，b ⊂γ，a ⊂γ，β∩γ＝a ⇒a ∥b (线面平行的性质)．答案 ①③三、解答题(共25分)7．(12分)如图，在四面体ABCD 中，F 、E 、H 分别是棱AB 、BD 、AC 的中点，G 为DE 的中点．证明：直线HG ∥平面CEF .证明 法一 如图，连接BH ，BH 与CF 交于K ，连接EK .∵F 、H 分别是AB 、AC 的中点，∴K 是△ABC 的重心，∴BK BH ＝23.又据题设条件知，BE BG ＝23，∴BK BH ＝BE BG ，∴EK ∥GH .∵EK ⊂平面CEF ，GH ⊄平面CEF ，∴直线HG ∥平面CEF .法二如图，取CD 的中点N ，连接GN 、HN .∵G 为DE 的中点，∴GN ∥CE .∵CE ⊂平面CEF ，GN ⊄平面CEF ，∴GN ∥平面CEF .连接FH ，EN∵F 、E 、H 分别是棱AB 、BD 、AC 的中点， ∴FH 綉12BC ，EN 綉12BC ，∴FH 綉EN ，∴四边形FHNE 为平行四边形，∴HN ∥EF . ∵EF ⊂平面CEF ，HN ⊄平面CEF ，∴HN ∥平面CEF .HN ∩GN ＝N ，∴平面GHN ∥平面CEF .∵GH ⊂平面GHN ，∴直线HG ∥平面CEF .8．(13分)如图，已知ABCDA 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，G 在BB 1上，且AE ＝FC 1＝B 1G ＝1，H 是B 1C 1的中点．(1)求证：E ，B ，F ，D 1四点共面；(2)求证：平面A 1GH ∥平面BED 1F .证明 (1)∵AE ＝B 1G ＝1，∴BG ＝A 1E ＝2，∴BG =A 1E ，∴A 1G =BE .又同理，C 1F 綉B 1G ，∴四边形C 1FGB 1是平行四边形， ∴FG 綉C 1B 1綉D 1A 1，∴四边形A 1GFD 1是平行四边形． ∴A 1G 綉D 1F ，∴D 1F 綉EB ，故E 、B 、F 、D 1四点共面．(2)∵H 是B 1C 1的中点，∴B 1H ＝32.又B 1G ＝1，∴B 1G B 1H ＝23.又FC BC ＝23，且∠FCB ＝∠GB 1H ＝90°，∴△B 1HG ∽△CBF ，∴∠B 1GH ＝∠CFB ＝∠FBG ， ∴HG ∥FB .又由(1)知A 1G ∥BE ，且HG ∩A 1G ＝G ， FB ∩BE ＝B ，∴平面A 1GH ∥平面BED 1F .。
直线、平面平行的判定与性质
[点评] 证明线面平行的基本方法之一就是根据线面平行的 判定定理，利用这个定理的关键是在要证明的平面内找一条和 已知的直线平行的直线，如果已知条件中含有比例关系，要通 过添加适当的辅助线使用平面几何中的平行线分线段成比例定 理，如果已知条件中含有中点，则要添加适当的辅助线使用三 角形中位线定理等．
(2)对
(1)由平面与平面平行的判定定理知，这两条直线
必须是相交直线；(2)两个平面平行，则两个平面无公共点， 故分别在这两个平面内的两条直线没有交点．
► α.( )
问题3
若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥
[答案]错
[解析] 还有另一种可能：a⊂α.
►
问题4
若直线a∥α，P∈α，则过点P且平行于a的直线 )
知识梳理
类 别
1．直线与平面平行
语言表述 图形表示 应 符号表示 用 证 明 a∩α＝∅ 直 ⇒ a∥α 线 与 平 a⊄α，b⊂ 面 α，且a∥b 平 ⇒ a∥α 行
定义：一条直线与 一个平面 没有公共点 ________，则称这 条直线与这个平面 判 平行 定 判定定理：平面外 一条直线与此平 ________________ 面内的一条直线 平行，则这条直线 平行于这个平面
►
探究点3
例3
线面、面面平行的综合应用
已知：直线a，b和平面α，a⊄α，a⊥b，b⊥α，求
证：a∥α.
[思路]
分直线a，b相交和异面，异面的情况可以通过
作平行线转化为相交的情况．
[解答]
证明：(1)当直线a，b相交时，如图(1)，经过a，b
作平面β，设α∩β＝c.因为b⊥α，c⊂α，所以b⊥c.又a⊥b，且 a，b，c都在平面β内，根据平面几何知识a∥c，又a⊄α，c⊂ α，所以a∥α. (2)当a，b是异面直线时，如图(2)，过直线b上一点(这点异 于直线b和平面α的交点)A作a′∥a，由于a⊥b，故a′⊥b，仿 照(1)可证a′∥c，根据公理4得a∥c，而a⊄α，c⊂α，所以a∥ α.
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求证：l //m.
证明：因为l //α，所以
l
m
l与α没有公共点，
又因为m在α内，所以l与m也没有公共点.
因为l和m都在平面β内，且没有公共点，
所以l //m. 这条定理，由“线面平行”去判断“线线平 行”
2020/8/9
1、已知AB//平面，AC//BD, 且AC,BD与分别相交于点C,D
求证：AC=BD
2、如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为 DD1的中点，证明BD1∥平面AEC．
证明：连结BD交AC于O,连结EO 在∧BDD1中，
∵E,O分别为DD1与BD的中点
∴EO
＝∥
1 2
BD1
D1
A1 E
C1 B1
而EO 平面AEC, BD1平面AEC D
C
∴BD1 ∥平面AEC
O
A
B
2020/8/9
2020/8/9
空间直线与平面的位置关系有哪几种?
直线a在平面内 直线a与平面相交 直线a与平面平行
a
a
A
a
记为a
有无数个交点
记为a∩=A
有且只有一个交点
记为a//
没有交点
2020/8/9
思考：如何判定一条直线和一个平面平行呢？ 可以利用定义，即用直线与平面交点的个
数进行判定 但是由于直线是两端无限延伸，而平面也
2020/8/9
再设l与m确定的平面为β，则依据平面 基本性质3，点P一定在平面α与平面β的 交线m上。
于是l和m相交，这和l // m矛盾。 所以可以断定l与α不可能有公共点。 即l // α.
2020/8/9
对判定定理的再认识：
证明直线与平面平行，三个条件必须具
备，才能得到线面平行的结论．
三个条件中注意：“面外、面内、平行”
2020/8/9
当堂检测:
1、在长方体ABCD- A1 B1 C1 D1各面中，
(1)与直线AB平行的平面有：平面CD1, 平面A1C1
∵AB 面CD1, CD 面CD1, AB∥CD, ∴AB∥平面CD1
∵AB 面A1C1, A1B1 面A1C1, AB∥A1B1，∴AB∥平面A1C1
D1
(2)与直线AA1平行的平面有：A1
2020/8/9
学习目标
1.理解线线平行、线面平行的概念，掌握线线平 行、线面平行的判定定理，并用这些定理来证明 它们的平行关系． 2．掌握线线平行、线面平行的性质定理，并能 用它们推证其它的结论． 3．理解并掌握等角定理，并能求一些简单的空 间角度．
2020/8/9
3、性质：平行于同一条直线的两条直线互相平行 4、等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边 分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等．
线线平行
线面平行
a
b
运用定理的关键是找平行线；
a//
找平行线又经常会用到三角形中位线定理.
2020/8/9
例题讲解：
例.空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的
中点，证明:直线EF与平面BCD平行
证明：如右图，连接BD，
在△ABD中，E,F分别为AB，
A
AD的中点，即EF为中位线
∴EF ∥BD,
b
用符号语言可概括为：
a
a//
b
a∥
a ∥ b 简述为：线线平行线面平行
2020/8/9
思考：如何证明线面平行的判定定理呢？
已知 l α，m α，l // m，
求证：l //α.
l
从正面思考这个问题，
m
P
有一定的难度，不妨从
反面想一想。
如果一条直线l和平面α相交，则l和α一
定有公共点，可设l∩α=P。
是向四周无限延展的，用定义这种方法来判定 直线与平面是否平行是很困难的
那么，是否有简单 的方法来判定直线与平
面平行呢？
2020/8/9
实例探究：
1．门扇的两边是平行的，当门扇绕着一边 转动时，另一边与门框所在平面具有什么样 的位置关系？
2．课本的对边是平行的，将课本的一边紧 贴桌面，沿着这条边转动课本，课本的上边 缘与桌面所在平面具有什么样的位置关系？
D’ A’
C’ B’
D A
C B
2020/8/9
一、两直线平行 1、平行直线的定义及平行公理 在平面几何中，我们把在同一平面内不相交 的两条直线叫做平行线． 2、过直线外一点有且只有一条直线和这条直 线平行．
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空间四边形：顺次连接不共面的四点
A、B、C、D所构成的图形，
叫做空间四边形.
A
E
H
B F
D G
C
练习：课本P40 空间四边形ABCD中，E,F,G,H 分别是边AB,BC,CD,DA的中点， 求证：四边形EFGH是平行四边形。
又EF平面BCD，
BD 平面BCD,
∴EF ∥平面BCD
F E
C D B
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大图
练习
2、 已 知 空 间 四 边 形 ABC D 中 ,E 、 F、 G、 H 分 别 是 AB,BC ,C D ,AD 的 中 点 , 求 证 ： BD//平 面 EFGH,AC//平 面 EFGH.
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抽象概括
直线与平面平行的判定定理：
若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，
则该直线与此平面平行.
a
仔细分析下，判定 定理告诉我们，判定直 线与平面平行的条件有 几个，是什么？
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b a//
定理中必须的条件有三个，分别为：
a在平面外，即a (面外)
a
b在平面内，即b (面内)
a与b平行，即a∥b(平行)
你能从上述的 两个实例中抽象概 括出几何图形吗？
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１．直线a在平面 内还是在平面 外？
直线a在平面外
即直线a与平面可能相交或平行
a
2 ．直线a与直线b共面吗？
a与b共面于 ？(因为a∥b)
3．假如直线a与平面 相交， 交点会在哪？
在直线b上
b a//
即在平面与平面 的交线上
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思考：已知线面平行能否推出线线平行呢？ 需要哪些条件呢？
4. 直线和平面平行的性质定理 （1）文字语言：如果一条直线和一个平
面平行，经过这条直线的平面和这个平
面相交，那么这条直线就和交线平行.
a
（2）图形语言：
（3） 符号语言：aa//αβ
α∩β=b
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b a//b
已知：l //α，l β，α∩β=m，
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a ∥ b
3、证明直线与直线平行 （1）平行传递性；（2）线面平行的性质定理 （3）应用性质定理应注意的三个条件： ①线面平行；②线在面内；③面面相交
a//α
a β
α∩β=b
a//b
4、 线线平行
线面平行（线面平行的判定定理）
线面平行
线线平行（线面平行的性质定理）
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平面BC1 平面CD1
D
C1 B1
C
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A
B
小结：
1.直线与平面平行的判定：
(1)运用定义；
(2)运用判定定理： 线线平行线面平行
2.应用判定定理时,应当注意三个
不可或缺的条件，即：
a
a在平面外，即a(面外)
b在平面内，即b (面内) ba与b平行，即a∥bFra bibliotek平行)a
a//
b
a∥