线面_面面平行的判定与性质习题课(更新)
线线、线面、面面平行练习题(含答案)
DC A B B 1A1C 1直线、平面平行的判定及其性质 测试题A一、选择题1．下列条件中,能判断两个平面平行的是( ) A ．一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B ．一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C ．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D ．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面2．E ，F ，G 分别是四面体ABCD 的棱BC ，CD ，DA 的中点，则此四面体中与过E ，F ，G 的截面平行的棱的条数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3． 直线,a b c ，及平面αβ，，使//a b 成立的条件是（ ）A ．//,a b αα⊂B ．//,//a b ααC ．//,//a c b cD ．//,a b ααβ= 4．若直线m 不平行于平面α，且m ⊄α，则下列结论成立的是（ ） A ．α内的所有直线与m 异面 B ．α内不存在与m 平行的直线 C ．α内存在唯一的直线与m 平行 D ．α内的直线与m 都相交 5．下列命题中，假命题的个数是（ ）① 一条直线平行于一个平面，这条直线就和这个平面内的任何直线不相交；② 过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行；③ 过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行；④ 平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行；⑤ a 和b 异面，则经过b 存在唯一一个平面与α平行A ．4B ．3C ．2D ．1 6．已知空间四边形ABCD 中，,M N 分别是,AB CD 的中点，则下列判断正确的是（ ） A ．()12MN AC BD ≥+ B ．()12MN AC BD ≤+C ．()12MN AC BD =+ D ．()12MN AC BD <+二、填空题7．在四面体ABCD 中，M ，N 分别是面△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________.8．如下图所示，四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P分别为其所在棱的中点，能得到AB//面MNP 的图形的序号的是①②③④9．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1中点，则BD 1和平面ACE 位置关系是 ． 三、解答题10.如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长是2，侧棱长是3，D 是AC 的中点.求证：//1C B 平面BD A 1.11.如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，M ，N ，G 分别是AA 1，CD ，CB ，CC 1的中点， 求证：（1）MN //B 1D 1 ；（2）AC 1//平面EB 1D 1 ；（3）平面EB 1D 1//平面BDG .B一、选择题1．α，β是两个不重合的平面，a ，b 是两条不同直线，在下列条件下，可判定α∥β的是（ ）A ．α，β都平行于直线a ，bB ．α内有三个不共线点到β的距离相等C ．a ，b 是α内两条直线，且a ∥β，b ∥βD ．a ，b 是两条异面直线且a ∥α，b ∥α，a ∥β，b ∥β2．两条直线a ，b 满足a ∥b ，b α，则a 与平面α的关系是（ ）A ．a ∥αB ．a 与α相交C ．a 与α不相交D ．a α 3．设,a b 表示直线，,αβ表示平面，P 是空间一点，下面命题中正确的是（ ） A ．a α⊄，则//a α B ．//a α，b α⊂，则//a bC ．//,,a b αβαβ⊂⊂，则//a bD ．,,//,//P a P a βααβ∈∈，则a β⊂ 4．一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是（ ）A.异面B.相交C.平行D.不能确定 5.下列四个命题中，正确的是（ ）①夹在两条平行线间的平行线段相等；②夹在两条平行线间的相等线段平行；③如果一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的平行线段相等；④如果一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的相等线段平行 A ．①③ B ．①② C ．②③ D ．③④6．a ，b 是两条异面直线，A 是不在a ，b 上的点，则下列结论成立的是A ．过A 有且只有一个平面平行于a ，bB ．过A 至少有一个平面平行于a ，bC ．过A 有无数个平面平行于a ，bD ．过A 且平行a ，b 的平面可能不存在 二、填空题7．a ，b ，ｃ为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：.⇒⎭⎬⎫;⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫αγγαβαγβγαααβαβαγγ∥∥∥⑥∥∥∥⑤∥∥∥④∥∥∥③∥∥∥②∥∥∥①a a a c a c c c b a b a b a c b c a ;;;; 其中正确的命题是________________.（将正确的序号都填上）8．设平面α∥β，A ，C ∈α，B ，D ∈β，直线AB 与CD 交于S ，若AS =18，BS =9，CD =34，则CS =_____________.9．如图，正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是棱CC 1，C 1D 1，DD 1，DC 中点，N 是BC 中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足 时，有MN ∥平面B 1BD D 1． 三、解答题10.如图，在正四棱锥P ABCD -中，PA AB a ==,点E在棱PC 上． 问点E 在何处时，//PA EBD 平面，并加以证明.11.如下图，设P 为长方形ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别为AB ，PD 上的点，且MB AM =NPDN，求证：直线MN ∥平面PBC .EPDCBA参考答案A一、选择题 1．D【提示】当l =⋂βα时，α内有无数多条直线与交线l 平行，同时这些直线也与平面β平行.故A ，B ，C 均是错误的2．C【提示】棱AC ，BD 与平面EFG 平行，共2条. 3．C【提示】//,,a b αα⊂则//a b 或,a b 异面；所以A 错误；//,//,a b αα则//a b 或,a b 异面或,a b 相交，所以B 错误；//,,a b ααβ=则//a b 或,a b 异面，所以D 错误；//,//a c b c ，则//a b ，这是公理4，所以C 正确.4．B【提示】若直线m 不平行于平面α，且m ⊄α，则直线m 于平面α相交，α内不存在与m 平行的直线. 5．B【提示】②③④错误.②过平面外一点有且只有一个平面和这个平面平行，有无数多条直线与它平行.③过直线外一点有无数个平面和这条直线平行④平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行或其中一条在平面上. 6. D【提示】本题可利用空间中的平行关系，构造三角形的两边之和大于第三边. 二、填空题7．平面ABC ，平面ABD【提示】连接AM 并延长，交CD 于E ，连结BN 并延长交CD 于F ，由重心性质可知，E 、F 重合为一点，且该点为CD 的中点E ，由MA EM =NB EN =21得MN ∥AB .因此，MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD . 8. ①③【提示】对于①，面MNP//面AB,故AB//面MNP.对于③，MP//AB,故AB//面MNP,对于②④，过AB 找一个平面与平面MNP 相交，AB 与交线显然不平行，故②④不能推证AB//面MNP. 9．平行【提示】连接BD 交AC 于O ，连OE ，∴OE ∥B D 1，OEC 平面ACE ，∴B D 1∥平面ACE. 三、解答题10.证明：设1AB 与B A 1相交于点P ，连接PD ，则P 为1AB 中点，D 为AC 中点，∴PD//C B 1.又 PD ⊂平面B A 1D ，∴C B 1//平面B A 1 D11.证明：（1） M 、N 分别是CD 、CB 的中点，∴MN//BD又 BB 1//DD 1,∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形.所以BD//B 1D 1.又MN//BD ，从而MN//B 1D 1（2）（法1）连A 1C 1，A 1C 1交B 1D 1与O 点四边形A 1B 1C 1D 1为平行四边形，则O 点是A 1C 1的中点 E 是AA 1的中点，∴EO 是∆AA 1C 1的中位线，EO//AC 1.AC 1⊄面EB 1D 1 ，EO ⊂面EB 1D 1，所以AC 1//面EB 1D 1 （法2）作BB 1中点为H 点，连接AH 、C 1H ，E 、H 点为AA 1、BB 1中点， 所以EH //C 1D 1，则四边形EHC 1D 1是平行四边形，所以ED 1//HC 1 又因为EA //B 1H ，则四边形EAHB 1是平行四边形，所以EB 1//AHAH ⋂HC 1=H ，∴面AHC 1//面EB 1D 1.而AC 1⊂面AHC 1，所以AC 1//面EB 1D 1（3）因为EA //B 1H ，则四边形EAHB 1是平行四边形，所以EB 1//AH 因为AD //HG ，则四边形ADGH 是平行四边形，所以DG//AH ，所以EB 1//DG 又 BB 1//DD 1,∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形. 所以BD//B 1D 1.BD ⋂DG=G ，∴面EB 1D 1//面BDGB一、选择题1．D【提示】A 错，若a ∥b ，则不能断定α∥β；B 错，若A ，B ，C 三点不在β的同一侧，则不能断定α∥β；C 错，若a ∥b ，则不能断定α∥β；D 正确. 2．C【提示】若直线a ，b 满足a ∥b ，b α，则a ∥α 或a α 3．D【提示】根据面面平行的性质定理可推证之. 4．C【提示】设α∩β=l ，a ∥α，a ∥β，过直线a 作与α、β都相交的平面γ，记α∩γ=b ，β∩γ=c ，则a ∥b 且a ∥c ，∴b ∥c .又b ⊂α，α∩β=l ，∴b ∥l .∴a ∥l . 5．A 【提示】 6． D【提示】过点A 可作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′∩b ′=A ，∴a ′，b ′可确定一个平面，记为α.如果a ⊄α，b ⊄α，则a ∥α，b ∥α.由于平面α可能过直线a 、b 之一，因此，过A 且平行于a 、b 的平面可能不存在. 二、填空题 7.①④⑤⑥ 8.68或368 【提示】如图（1），由α∥β可知BD ∥AC ，∴SA SB =SC SD ，即189=SCSC 34-，∴SC =68. SS AABBCCα α ββ(1)(2)DD如图（2），由α∥β知AC ∥BD ，∴SB SA =SD SC =SC CD SC -，即918=SCSC -34. ∴SC =368.9．M ∈HF【提示】易证平面NHF ∥平面BD D 1 B 1，M 为两平面的公共点，应在交线HF 上. 三、解答题 10．解：当E 为PC 中点时，//PA EBD 平面．证明：连接AC ，且AC BD O =，由于四边形ABCD 为正方形，∴O 为AC 的中点，又E 为中点，∴OE 为△ACP 的中位线，∴//PA EO ，又PA EBD ⊄平面，∴//PA EBD 平面. 11．证法一：过N 作NR ∥DC 交PC 于点R ，连接RB ，依题意得NR NR DC -=NP DN =MB AM =MB MB AB -=MBMBDC -⇒NR =MB .∵NR ∥DC ∥AB ，∴四边形MNRB 是平行四边形.∴MN ∥RB .又∵RB 平面PBC ，∴直线MN ∥平面PBC .证法二：过N 作NQ ∥AD 交P A 于点Q ，连接QM ，∵MB AM =NP DN =QPAQ，∴QM ∥PB .又NQ ∥AD ∥BC ，∴平面MQN ∥平面PBC .∴直线MN ∥平面PBC .OF ABCDP E。
线面平行判定与性质
因为HN 平面HMN，
FG 平面HMN，
所以FG∥平面HMN. 同理可证EF∥CD1，
MH∥CD1，
故EF∥MH，EF∥平面HMN. 因为FG 平面EFG，EF 平面EFG且FG∩EF=F，
∴平面EFG∥平面HMN.
［探究创新］ 9.(10分）已知在正方体ABCD-A′B′C′D′中,M、N分别是
所以只有③④正确，选择D.
2.过平行六面体ABCD-A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其 中与平面DBB1D1平行的直线共有( (A)4条 (B)6条 )
(C)8条
(D)12条
【解析】选D.如图所示，E，F，G，H分 别是AB，A1B1，A1D1，AD的中点，
面EFGH∥面DBB1D1，则EF，FG，GH，HE，
AD 平面ABCD,
∴EF∥平面ABCD, 同理可证EH∥平面ABCD，
又EF∩EH=E,
∴平面EFGH∥平面ABCD，所以①正确. 连接AC、BD交于点O，连接OG，
∵四边形ABCD为正方形， ∴O为AC中点，又G为PC中点， ∴OG∥PA,
又PA 平面BDG，OG 平面BDG,
∴PA∥平面BDG，所以②正确, 由EF∥AD∥BC，知EF∥平面PBC， 由FH∥BD，知FH∥平面BDG， 由EF∥AD，AD与平面BDG相交知EF与平面BDG相交. 答案：①②③④
∴BD∥B′D′.由平行公理可得MN∥BD,
又MN 平面BDE， 平面BDE，BD ∴MN∥平面BDE.又∵MN∩AM=M,
∴由平面与平面平行的判定定理可得,
平面AMN∥平面BDE.
平面平行.
(A)①③ (C)②③④
(B)②④ (D)③④
【解析】选D.如果两个平面没有任何一个公共点，那么我们 就说这两个平面平行，也就是两个平面没有任何公共直线 . 对于①：一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，如 果这两条直线不相交，而是平行，那么这两个平面相交也能
线面、面面平行的判定与性质习题课课件
β 分别交于 A、B，线段 HF 与 α、β 分别交于 F、E，线 段 GD 与 α、β 分别交于 C、D，且 GA＝9，AB＝12，BH ＝16，S△ACF＝72.求△BDE 的面积．
解析：因为 α∥β，所以 AC∥BD，AF∥BE.所以∠ FAC 与∠EBD 相等或互补．因为 AC∥BD，故△GAC∽
应用二面平行的判定定理时，两条相交直线的“相 交”二字决不可忽视．
4．要注意符合某条件的图形是否惟一，有无其它情 形．
一、转化的思想 解决空间线面、面面平行关系的问题关键是作好下 列转化
二、解题技巧 要能够灵活作出辅助线、面来解题，作辅助线、面 一定要以某一定理为理论依据．
线面平行的判定 [例 1] (文)如下图所示，矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相垂直，BE∥CF，求证：AE∥平面 DCF.
(文)(2011·济南调研)已知 m，n 是两条不同的直线， α，β，γ 是三个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A．若 α⊥γ，α⊥β，则 γ∥β B．若 m∥n，m⊂α，n⊂β，则 α∥β C．若 α⊥β，m⊥β，则 m∥α D．若 m∥n，m⊥α，n⊥β，则 α∥β
解析：
由正方体交于同一顶点的三个面知 A 错；如上图
重点难点 重点：线面、面面平行的判定定理与性质定理及应 用 难点：定理的灵活运用
知识归纳
一、直线与平面平行
1．判定方法 (1)用定义：直线与平面无公共点．
(2)判定定理：
a⊄α
b⊂α⇒a∥α
a∥b
(3)其它方法： αa⊂∥ββ⇒a∥α
2．性质定理：
a∥α
a⊂β ⇒a∥b
高中数学必修二2.2-直线、平面平行的判定及其性质课堂练习及答案
2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定●知识梳理1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
符号表示：a αb β => a∥αa∥b●知能训练一．选择题1．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n2．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则（）A．α内存在直线与l异面B．α内存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交3．如图，M是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列命题①过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交；②过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交；④过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行．其中真命题是（）A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③4．正方体ABCD-A1B1C1D1中M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点．P在对角线BD1上，且BP＝BD1，给出下面四个命题：（1）MN∥面APC；（2）C1Q∥面APC；（3）A，P，M三点共线；（4）面MNQ∥面APC．正确的序号为（）A．（1）（2）B．（1）（4）C．（2）（3）D．（3）（4）5．在正方体ABCD-A1B1C1D1的各个顶点与各棱中点共20个点中，任取两点连成直线，所连的直线中与A1BC1平行的直线共有（）A．12条B．18条C．21条D．24条6．直线a∥平面α，P∈α，那么过P且平行于a的直线（）A．只有一条，不在平面α内B．有无数条，不一定在平面α内C．只有一条，且在平面α内D．有无数条，一定在平面α内7．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的（）A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线不相交8．如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与平面AB1C平行的直线是（）A．DD1B．A1D1C．C1D1D．A1D9．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点D为AC的中点，点D1是A1C1上的一点，若BC1∥平面AB1D1，则等于（）A．1/2B．1 C．2 D．310．下面四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是（）A．①②B．①④C．②③D．③④11．如图，正方体的棱长为1，线段B′D′上有两个动点E，F，EF=，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A-BEF的体积为定值D．异面直线AE，BF所成的角为定值二．填空题12．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，M分别是棱AD，DD1，D1A1，A1A，AB的中点，点N在四边形EFGH的四边及其内部运动，则当N只需满足条件时，就有MN⊥A1C1；当N只需满足条件时，就有MN∥平面B1D1C．13．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于．三．解答题14．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1=AB=2．（1）求证：AB 1∥平面BC1D；（2）若BC=3，求三棱锥D-BC1C的体积．2.2.2 平面与平面平行的判定●知识梳理1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
线面面面平行的判定(习题)
学点二 面面平行的判定 如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求证： 平面A1MN∥平面BDFE.
【评析】常用两个平面平行的判定定理 证明两平面平行，实质是通过线线平行 转化为线面平行，先观察平面内已有的 直线是否平行，若不存在，再利用条件 有针对性地作辅助线找出平行直线.
言表示为 判定定理 ,
aβ,b. β,a∩b=P,
用a图∥形α表,b∥示α为 β∥α
学点一 线面平行的证明
已知AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线 段，E，F，G分别是AB,BC,CD的中点.求证: 平面EFG和AC平行,也和BD平行.
C
A
F
E
G
B D
如图所示,正方体ABCD—A1B1C1D1中,E为DD1的中 点,试判断BD1与平面AEC的位置关系,并证明.
线面、面面平行的判定
（习题课）
1.平面外一条直线与此平面内
的一条直线平行，则该直线与
此平面 平行.这个定理叫做
直线与平面平行的 判定定.理
符号语言表示为.用图形表示为
.
a α,b α,且a∥b a∥α
2.一这相两交个直平线
面平行.这个定理叫做平面与
平面平行的 .符号语
直线、平面平行的判定与性质(习题课)
例4：如图 13－4－9(1)，在直角梯形 ABCP 中，BC∥AP， AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD＝2，E、F、G 分别是线段 PC、PD、BC 的中点．现将△PDC 折起，使平面 PDC⊥平面 ABCD，如图 13－4－9(2)．在图 13－4－9(2)中，
图 13－4－9 (1)求证：AP∥平面 EFG； (2)求二面角 G－EF－D 的大小．
1．下列命题中，正确命题的个数是( A ) ①若直线 l 上有无数个点不在平面α内，则 l∥α； ②若直线 l 与平面α平行，则 l 与平面α内的任意一条直线都 平行； ③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么 另一条直线也与这个平面平行； ④若直线 l 与平面α平行，则 l 与平面α内的任意一条直线都 没有公共点． A．1 B．2 C．3 D．4
2．一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与 这两个平面的交线的位置关系是( C ) A．异面 B．相交 C．平行 D．不能确定 3．如图 13－4－1，过平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 任意两 条棱的中点作直线，其中与平面 DBB1D1 平行的直线共有( D )
图 13－4－1 A．4 条 B．6 条 C．8 条 D．12 条
(1)证明：连接 BM、BN、BG 并延长交 AC、AD、CD 分别 于 P、F、H. ∵M、N、G 分别为△ABC、△ABD、△ACD 的重心，
BM BN BG 则有：MP＝NF＝GH＝2.
连接 PF、FH、PH，有 MN∥PF. 又 PF⊂平面 ACD，MN平面 ACD，∴MN∥平面 ACD. 同理，MG∥平面 ACD， 又 MG∩MN＝M, ∴平面 MNG∥平面 ACD.
【互动探究】 3．设 m、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面， 给出下列四个命题：
完整版)线线、线面、面面平行练习题(含答案)
完整版)线线、线面、面面平行练习题(含答案)一、选择题1.B2.C3.B4.B5.A6.A二、填空题7.直线MN与直线BD异面。
三、解答题10.因为D是AC的中点，所以BD平分角ABC，即∠ABD=∠CBD。
又因为AB=AC，所以△ABD≌△CBD，从而BD=BD，即BD//平面ABC。
又因为A1D1//ABC，所以BD//A1D1，即BD//平面A1BD。
因此，BD//平面A1BD，即B1C1//平面A1BD，即B1C1//平面ABD。
11.1) 因为E，M，N，G分别是AA1，CD，CB，CC1的中点，所以MN//CD，MN=CD/2.又因为ABCD是平行六面体，所以BD//AC，从而△BDA≌△CDA1，即BD=AC，BD=2AC/√3.所以MN=CD/2=AC/√3=BD/2√3，即MN//B1D1.2) 因为E，M，N，G分别是AA1，CD，CB，CC1的中点，所以MN=CD/2=AC/√3，EN=CG=AC/2.又因为ABCD是平行六面体，所以BD//AC，从而△BDA≌△CDA1，即BD=AC，BD=2AC/√3.所以AE=BD/2=AC/√3，从而AE=EN，即AEEN是平行四边形，即AE//EN。
又因为XXX，所以AE//MN，即平面AEM//平面MNC。
又因为平面AEM与平面ABC的交线是直线AE，平面MNC与平面ABC的交线是直线MN，所以AE//MN//BD，即B1D1//平面AEM。
因此，AC1//平面AEM//B1D1，即AC1//平面EB1D1.3) 因为E，M，N，G分别是AA1，CD，CB，CC1的中点，所以MN=CD/2=AC/√3，EN=CG=AC/2.又因为ABCD是平行六面体，所以BD//AC，从而△BDA≌△CDA1，即BD=AC，BD=2AC/√3.又因为D1是BD的中点，所以D1C1=BC/2=AC/2√2.所以MN=CD/2=AC/√3=D1C1√2/√3，即MN//D1C1.又因为E，M，N，G分别是AA1，CD，CB，CC1的中点，所以EG=CC1/2=AC/2√2.又因为ABCD是平行六面体，所以AD//BC，从而△ABD≌△CBA1，即AD=BC，AD=2AC/√3.所以EG=CC1/2=AC/2√2=AD/2√2，即EG//AD。
04线面平行与面面平行判定与性质(经典题型+答案)
线面平行、面面平行的判定及性质一、直线与平面平行文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则直线与此平面平行.性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行.二、平面与平面平行文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行性质定理如果两个平行平面时与第三个平面相交，那么它们的交线平行A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面解：由面面平行的定义可知选D.例2：若直线a平行于平面α，则下列结论错误的是()A．a平行于α内的所有直线B．α内有无数条直线与a平行C．直线a上的点到平面α的距离相等D．α内存在无数条直线与a垂直解：A错误，a与α内的直线平行或异面．例3：已知不重合的直线a，b和平面α，①若a∥α，b⊂α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b⊂α，则a∥α；④若a∥b，a∥α，则b∥α或b⊂α，上面命题中正确的是________(填序号)。
解：①中a与b可能异面；②中a与b可能相交、平行或异面；③中a可能在平面α内，④正确。
例4：已知α、β是平面，m 、n 是直线，给出下列命题：①若m ⊥α，m ⊂β，则α⊥β.②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β.③如果m ⊂α，n ⊄α，m 、n 是异面直线，那么n 与α相交．④若α∩β＝m ，n ∥m ，且n ⊄α，n ⊄β，则n ∥α且n ∥β其中正确命题的个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解：对于①，由定理“如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直”得知，①正确；对于②，注意到直线m ，n 可能是两条平行直线，此时平面α，β可能是相交平面，因此②不正确；对于③，满足条件的直线n 可能平行于平面α，因此③不正确；对于④，由定理“如果平面外一条直线平行于平面内一条直线，那么这条直线平行于这个平面”得知，④正确．综上所述，其中正确的命题是①④，选B.例5：已知m ，n 表示两条不同直线，α，β，γ表示不同平面，给出下列三个命题：(1)⎩⎪⎨⎪⎧ m ⊥αn ⊥α⇒m ∥n ；(2)⎩⎪⎨⎪⎧ m ⊥αm ⊥n ⇒n ∥α (3)⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥αn ∥α⇒m ⊥n 其中真命题的个数为 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解：若⎩⎪⎨⎪⎧ m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n ，即命题(1)正确；若⎩⎪⎨⎪⎧ m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α，即命题(2)不正确；若⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥αn ∥α，则m ⊥n ，即命题(3)正确；综上可得，真命题共有2个．选C例6：已知m 、n 、l 1、l 2表示直线，α、β表示平面．若m ⊂α，n ⊂α，l 1⊂β，l 2⊂β，l 1∩l 2＝M ，则以下条件中，能推出α∥β的是 ( )A ．m ∥β且l 1∥αB ．m ∥β且n ∥βC ．m ∥β且n ∥l 2D ．m ∥l 1且n ∥l 2解：由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”可得，由选项D 可推知α∥β.例7：在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（ ）.A. α、β都平行于直线lB. α内存在不共线的三点到β的距离相等C. l 、m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥βD. l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β 解：排除法，Ａ中α、β可以是相交平面；Ｂ中三点可面平面两侧；Ｃ中两直线可以不相交．故选Ｄ，也可直接证明．例8：经过平面外的两点作该平面的平行平面可以作（ ）.A. 0个B. 1个C. 0个或1个D. 1个或2个解：这两点可以是在平面同侧或两侧．选C 。
线面面面平行的判定与性质
直线与平面内的任意一条直线平行,则直线与平面平行；④直
线与平面内的无数条直线平行,则直线与平面平行．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
第九章 第四节
典例讲练
例 2：已知：空间四边形 ABCD 中,E、F 分别是 AB、AD
的中点,求证：EF∥平面 BCD.
证明：如图 ，连接 BD. 在△ABD 中，
N C
B
AC // MN MN 面ABCD AC 面ABCD
MN //面ABCD
第九章 第四节
走向高考 ·高考一轮总复习 ·人教A版 ·数学
例3：如图，已知直线a，b，平面，
且a//b，a//，a，b都在平面外。
a
求证：b//
证 明 ： 过 a 作 面 交 于 c
a //
a
a //c
c a / / b
∴平面D1BQ∥平面PAO.
第九章 第四节
走向高考 ·高考一轮总复习 ·人教A版 ·数学
a,b
缺一不可
c,d a bA
/
/
a / / c , b / / d
m
n
n
/ /
m / / n
m, n
m
n A
/
/
m / / , n / /
第九章 第四节
走向高考 ·高考一轮总复习 ·人教A版 ·数学
例1 已：知有公共边 AB 的两个全等的矩形 ABCD 和 ABEF 不在同一
个平面内，P、Q 分别是对角线 AE、BD 上的点，且 AP＝DQ.
求证：PQ∥平面 CBE.
第九章 第四节
走向高考 ·高考一轮总复习 ·人教A版 ·数学
线面、面面平行的判定(习题)
学点一 线面平行的证明
已知AB， ， 是不在同一平面内的三条线 已知 ，BC，CD是不在同一平面内的三条线 分别是AB,BC,CD的中点 求证 的中点.求证 段，E，F，G分别是 ， ， 分别是 的中点 求证: 平面EFG和AC平行 也和 平行 和 平行 也和BD平行 平行,也和 平行. 平面 A F E B G C
评析】 【评析】常用两个平面平行的判定定理 证明两平面平行， 证明两平面平行，实质是通过线线平行 转化为线面平行， 转化为线面平行，先观察平面内已有的 直线是否平行，若不存在， 直线是否平行，若不存在，再利用条件 有针对性地作辅助线找出平行直线. 有针对性地作辅助线找出平行直线.
D
如图所示,正方体 如图所示 正方体ABCD—A1B1C1D1中,E为DD1的 正方体 为 中点,试判断 试判断BD 与平面AEC的位置关系 并证明 的位置关系,并证明 中点 试判断 1与平面 的位置关系 正方体 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求证： 求证： 如图 在正方体 平面A 平面 1MN∥平面 ∥平面BDFE.
线面、 线面、面面平行的判定
（习题课） 习题课）
1.平面外一条直线与此平面内 1.平面外一条直线与此平面内 的一条直线平行， 的一条直线平行，则该直线与 此平面 平行 .这个定理叫做 直线与平面平行的 判定定理 . 符号语言表示为. 符号语言表示为.用图形表示 ⊂ . 为 aα,bα,且a∥ba∥α 且 ∥ ∥ ⊄ 2.一个平面内的 2.一个平面内的 两条相交直线与 另一个平面平行, 另一个平面平行,则这两个平 面平行. 面平行.这个定理叫做平面与 平面平行的判定定理 .符号语 言表示为 aβ,bβ,a∩b=P, , ⊂ ⊂ a∥α,b∥αβ∥α ∥ ∥ ∥ . 用图形表示为
直线、平面平行的判定与性质知识点+典型例题及答案解析
2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定1、直线和平面的位置关系一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种 位置关系 直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行 公共点 有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点 符号表示a ⊂αa ∩α=Aa||α 图形表示注：直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外 2、直线和平面平行（1）定义：直线和平面没有公共点，则称此直线L 和平面α平行，记作L ||α。
（2）判定定理：如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行.符号表示：,////a b a b a ααα⊄⊂⇒、.2.2.2 平面与平面平行的判定1、定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面。
符号表示为：平面α、平面β，若a ∩β＝∅，则a ∥β2、判定定理：1..性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行. 简记为：线面平行，则线线平行.判定文字描述如果两个平面无公共点，责成这两个平面平行一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．如果两个平面同时垂直于一条直线，那么这两个平面垂直。
图形条件=αβ∅α,b ⊂β，α∩b ＝P α∥α，b ∥α ⇒β∥αl ⊥α l ⊥β ⇒β∥α结论//αβ //αβ //αβ符号表示：若//,,,//a a b a b αβαβ⊂=则.2.2.4 平面与平面平行的性质性质文字描述如果两个平行平面同时和第三平面相交，那么他们的交线平行 如果两个平行平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面 图形条件 α∥β β∩γ＝b α∩γ＝a α∥β l ⊥α α∥β a ⊂β结论a ∥bl ⊥βa ∥α1. 解题方法（1） 证明直线与平面平行的常用方法：2.利用定义，证明直线与平面没有公共点。
高中数学立体几何之线面平行的判定与性质讲义及练习
线面平行的判定与性质练习一、基本内容 1.线面平行的判定2.线面平行的性质二、练习题题型一：概念性习题1．下列命题正确的是 （ ） A 一直线与平面平行，则它与平面内任一直线平行B 一直线与平面平行，则平面内有且只有一个直线与已知直线平行C 一直线与平面平行，则平面内有无数直线与已知直线平行，它们在平面内彼此平行D 一直线与平面平行，则平面内任意直线都与已知直线异面2．若直线l 与平面α的一条平行线平行，则l 和α的位置关系是 ( ) A. α⊂l B.α//l C.αα//l l 或⊂ D.相交和αl3．若直线a 在平面α内，直线a,b 是异面直线，则直线b 和α平面的位置关系是 ( ) A ．相交 B.平行 C.相交或平行 D.相交且垂直4．下列各命题中假命题的个数为 ( )（1） 经过两条平行直线中一条直线的平面必平行于另一条直线； （2） 若一条直线平行于两相交平面，则这条直线和交线平行；（3） 空间四边形中三条边的中点所确定平面和这个空间四边形的两条对角线都平行。
A 0B 1C 2D 35．若直线上有两点P 、Q 到平面α的距离相等，则直线l 与平面α的位置关系是 ( ) A 平行 B 相交 C 平行或相交 D 或平行、或相交、或在内 6．a,b 为两异面直线，下列结论正确的是 ( ) A 过不在a,b 上的任何一点，可作一个平面与a,b 都平行 B 过不在a,b 上的任一点，可作一直线与a,b 都相交 C 过不在a,b 上任一点，可作一直线与a,b 都平行 D 过a 可以并且只可以作一个平面与b 平行 7．判断下列命题是否正确：(1)过平面外一点可作无数条直线与这个平面平行 ( )(2)若直线α⊄l ，则l 不可能与α内无数条直线相交 ( ) (3)若直线l 与平面α不平行，则l 与α内任一直线都不平行 ( ) (4)经过两条平行线中一条直线的平面平行于另一条直线 ( )(5)若平面α内有一条直线和直线l 异面，则α⊄l ( ) 题型二：证明题8．P 为平行四边形ABCD 外一点，E 是PA 的中点，O 是AC 和BD 的交点，求证：OE//平面PBC 。
线面、面面平行的判断与性质(教师版)
典型练习题1. (08·湖南)若有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是(D)A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α2.(2010·浙江理)设m，l是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是(B)A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥mD．若l∥α，m∥α，则l∥m3．(2010·山东文，4)在空间，下列命题正确的是(D)A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行4．(文)已知两条直线m、n，两个平面α、β.给出下面四个命题：①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n；③m∥n，m∥α⇒n∥α；④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β.其中正确命题的序号是(C)A．①③B．②④C．①④D．②③5. (理)(2010·胶州三中)已知有m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的命题是(D)A．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βB．若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥n，n⊥α，则m⊥α6．(文)平面α∥平面β的一个充分条件是(D)A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a、b，a⊂α、b⊂β、a∥β、b∥αD．存在两条异面直线a、b，a⊂α、b⊂β、a∥β、b∥α7. (理)对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l(C)A ．平行B ．相交C ．垂直D ．互为异面直线8．下列命题正确的是( C ）A 一直线与平面平行，则它与平面内任一直线平行B 一直线与平面平行，则平面内有且只有一个直线与已知直线平行C 一直线与平面平行，则平面内有无数直线与已知直线平行，它们在平面内彼此平行D 一直线与平面平行，则平面内任意直线都与已知直线异面9．若直线l 与平面α的一条平行线平行，则l 和α的位置关系是( C )A α⊂lB α//lC αα//l l 或⊂D 相交和αl10．若直线a 在平面α内，直线a,b 是异面直线，则直线b 和α平面的位置关系是 ( C )A ．相交 B. 平行 C. 相交或平行 D. 相交且垂直11．下列各命题：①经过两条平行直线中一条直线的平面必平行于另一条直线；②若一条直线平行于两相交平面，则这条直线和交线平行；③空间四边形中三条边的中点所确定平面和这个空间四边形的两条对角线都平行。
线面,面面平行的判定习题课
在解题过程中，能够准确地分析题目条 通过本课程的学习，对于空间几何中线
件，找出关键信息，并选择合适的定理 面、面面平行的关系有了更深入的理解，
进行证明。
同时也提高了自己的空间想象能力和逻
辑推理能力。
下一步学习建议
深入学习空间几何中其他相关的知识点，如线面垂直、面面垂直等，构 建完整的知识体系。
根据平行关系的定义和性质，寻 找可能的证明途径。
通过逐步推导和分析，得出正确 的证明过程。
综合法
结合观察法和分析法的优点，综 合运用各种方法。
在解题过程中，灵活运用平行关 系的判定定理和性质。
通过不断尝试和调整，找到最合 适的证明方法，并给出完整的证
明过程。
06 课程回顾与展望
关键知识点回顾
线面平行的判定定理
06
教师点评：教师对学生的讨论进行点评和总结，指出学生 在解题过程中的优点和不足，提出改进意见。
05 解题技巧与方法总结
观察法
观察题目中给出的图形，注意 线线、线面、面面的位置关系。
通过观察，判断是否存在平行 关系，并尝试证明。
利用已知条件和观察结果，逐 步推导出所需证明的结论。
分析法
仔细阅读题目，分析已知条件和 所求结论。
02
如果一条直线平行于一个平面内 的一条直线，并且这条直线不在 该平面内，则这条直线与该平面 平行。
性质与应用举例
性质
线面平行具有传递性，即如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这 条直线也与另一个平面平行。
应用举例
在建筑设计中，为了确保建筑物的稳定性和美观性，经常需要判断建筑物的某 些线条是否与地面平行。这时，我们可以利用线面平行的判定定理和性质来进 行判断。
线面_面面平行的判定与性质习题课
教学目标： 1.理解线面平行与面面平行的概念 2.熟练立体几何三种语言的转化 3.掌握线面平行与面面平行的判定 和性质定理并能熟练应用 4.培养空间想象能力
知识回顾 1、直线与平面平行的判定 定理：如果平面外一条直线 和这个平面内的一条直线平 行，那么这条直线和这个平 a 面平行.
证“面面平行”问题 Q是C1C中点，证明面APO//面BDD1
作业：1
作业2，如图，已知DE//AB，DE=2AB，且F是CD的中点 求证：AF//平面BCE
G
G
求证：面EFG//面ACD1
小结：这一节高考主要考查以下内容：
①线线平行②线面平行③面面平行 而线面平行是空间中平行关系的该心，是高 考考查的重点，在应用线面平行的判定定理 证明线面平行时，要在平面内找（或作）一 条直线与已知直线平行，而这两条直线必需 共面，通常用到三角形的中位线或平行四边 形的对边，是否找到线线平行这是解题的关 键所在。
∵ 点O、E分别是D1 B1、D1C 1中点， A1 1 OE∥B1C且OE B1C 1 2 1 而BF ∥B1C 1，且BF B1C 1， 2 OE∥BF且OE BF， 取B1 D1的中点O，连接OE，OB .
D1
O D A
E
C1 B1
C B
F
四边形OEFB是平行四边形， OB∥EF 又 ∵ OB 面B1 BDD1，EF 面B1 BDD1 EF ∥面BB1 D1 D
α
3、平面与平面平行的判 定定理：一个平面内两条 相交直线与另一个平面平 行，则这两个平面平行.
b β A a
4、平面与平面平行的性 质定理：如果两个平行平 面同时和第三个平面相交， 那么它们的交线平行
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变式，已知DE//AB，DE=2AB，且F是CD的中点。求证： AF//平面BCE 证明： 思路2 取 ：利用“面面平行”得到“线面平 DE 的中点 G ,连接 FG与 AG . 行”。 由 F , G 分别为 CD与 CE 的中点 G●
CE 面BCE FG // 面BCE FG 面BCE 由 DE // AB.DE 2 AB GE // AB且 GE AB
a∥b a∥ α b α a∥α a β a∥b a α α β b 简记:线线平行,则线面平行 简记:线面平行,则线线平行
α
3、平面与平面平行的判 定定理：一个平面内两条 相交直线与另一个平面平 行，则这两个平面平行.
b β A a
AB1 // 面BC1D
例 1、 如图， 三棱柱 ABC－A1B1C1 中， D 是 AC 上的中点， 求证： AB1//面 BC1D。
思路一：由“面面平行”得到“线面平行.” 取 A1C1中点 E,连接 AE, B1E, 证面AB1E // 面BC1D
证明： E
C1E // AD ADC1E为平行四边形. C1E AD AE // C1D AE 面BC1D AE // 面BC1D C1D 面BC1D 同理可证 B1E // 面BC1D
A1 E F , B1C C1E G，求证：AC //FG 。
思路：利用“线面平行”得到“线线平行”。 D1 证明：正方体中A1 A//C1C
C1
ACC1 A1是平行四边形
AC 面A1C1 E
A1
B1 G F E D C
AC // 面A1C1E A1C1 面A1C1 E AC 面ACB1 面ACB1 面A1C1E FG
例 1、如图，三棱柱 ABC－A1B1C1 中，D 是 AC 上的中点， 求证：AB1//面 BC1D。
思路一：由“面面平行”得到“线面平行.” 取 A1C1中点 E,连接 AE, B1E, E
●
证 面AB1E // 面BC1D
例 1、 如图， 三棱柱 ABC－A1B1C1 中， D 是 AC 上的中点， 求证： AB1//面 BC1D。
四边形 ABEG 为平行四边形 AG // BE BE AG // 面BCE 面BCE
AG 面BCE 由 FG // 面BCE AG // 面BCE AG FG G
面AFG // 面BCE AF // 面BCE AF 面AFG
例 2、如图，在正方体 AC1 中，E 为 BB1 上不同于 B、B1 的任一 点， AB1
线面、面面平行的判定 与性质复习课
知识回顾 1、直线与平面平行的判定 定理：如果平面外一条直线 和这个平面内的一条直线平 行，那么这条直线和这个平 a 面平行.
2、直线与平面平行的性 质定理：如果一条直线和 一个平面平行，经过这条 直线的平面和这个平面相 交，那么这条直线就和交 线平行 β
a b
b α
4、平面与平面平行的性 质定理：如果两个平行平 面同时和第三个平面相交， 那么它们的交线平行
α
a∥ , b∥ a b A ∥ a ,b
∥ a a∥b b
简记:线面平行,则面面平行 简记:面面平行,则线线平行
思路二：由“线线平行”得到“线面平行.” 即在平面 BC1D中寻找与 AB1平行的直线。 证明：连接 B1C交 BC1于点 E ,再连接 DE. 四边形 BCC1B1 为平行四边形
E
E 是 B1C的中点 AB // DE
1
D 为 AC 的中点 DE 面BC D 1
AB1 面BC1D
5、如果两个平面平行,那么一个平面内的 直线与另一个平面有什么位置关系?
a
//
a
a //
简记：面面平行,则线面平行.
基础练习
(4)(5) 1、下面说法正确的有___________. (1)、平行于同一平面的两直线平行； (2)、与两相交平面的交线平行的直线，必与两相交平面都平行。 (3)、若一个平面内有无数多条直线都与一个平面平行，则这两个平面平行； (4)、若一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行； (5)、面 α∥面 β，直线 l⊂α ⇒ l∥β ， 2、如图所示，在空间四边形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是 AB、 BC、CD、DA 上的点，EH∥FG，则 EH 与 BD 的位置关系是________ 平行 。 3．如右上图是长方体被一平面所截得的几何体， 则截面四边形 EFGH 的形状为( B )． A、矩形 B、平行四边形 C、梯形 D、以上皆非
●
B1E AE E 面AB1E // 面BC1D AB1 // 面BC1D
变式，已知DE//AB，DE=2AB，且F是CD的中点。求证： AF//平面BCE 思路1：利用“线线平行”得到“线面平 行”。 G●
思路2：利用“面面平行”得到“线面平 行”。
●G
变式，已知DE//AB，DE=2AB，且F是CD的中点。求证： AF//平面BCE 思路1：利用“线线平行”得到“线面平 行”。 证明： 取 CE 的中点 G ,连接 FG与 BG . G ●
由 F , G 分别为 CD 与 CE 的中点
GF // DE , DE 2GF
DE // AB, DE 2 AB 四边形ABGF为平行四边形
GF // AB, GF AB
AF // BG
BG 面BCE AF 面BCE
AF // 面BCE
FG // CE
A1C1 // AC
A
B
AC // FG
方法小结： 线//线 线//面 线//线
（略写） 利用相似三角形对应边成比例及平行 线分线段成比例的性质 EB1 B1 F FB1 E∽AA1 F AA1 FA
证法2Βιβλιοθήκη D1C1A1B1
G
F E
EB1 B1G GB1 E∽ CC1G CC1 GC CC1 AA1