数字信号处理--程佩青-课后习题答案-第六章习题与答案

1．用冲激响应不变法将以下 )(s H a 变换为 )(z H ，抽样周期为T

。

为任意正整数 ,)()( )2()()( )1(02

2n s s A

s H b a s a s s H n

a a -=+++=

分析：

①冲激响应不变法满足

)

()()(nT h t h n h a nT t a ===，T 为抽样间隔。这种变

换法必须)(s H a 先用部分分式展开。

②第（2）小题要复习拉普拉斯变换公式

1!][+=

n n S n t L ,

n a n t s a S S A

s H t u n t Ae t h )()()()!1()(010-=

⇔-=-，

可求出 )

()()(kT Th t Th k h a kT t a ===，

又

dz z dX z

k kx )

()(-⇔，则可递推求解。

解: (1)

22111()()2a s a H s s a b s a jb s a jb ⎡⎤

+=

=+⎢⎥+++++-⎣⎦

[]

)( 2

1)()()(t u e e t h t

jb a t jb a a --+-+=

由冲激响应不变法可得：

[]()()()() ()2

a j

b nT

a j

b nT a T h n Th nT e

e u n -+--==

+ 110

11() () 211n

aT jbT aT jbT n T H z h n z e e z e e z ∞

------=⎡⎤

==+⎢⎥--⎣⎦∑

2211cos 21cos 1 ------+--⋅=z

e bT z e bT

z e T aT aT aT

(2) 先引用拉氏变换的结论[]

1!+=n n s

n t L 可得： n

a s s A

s H )

()(0-=

)()!

1()(1

0t u n t Ae t h n t s a -=-则

)()!

1()()()(1

0k u n kT Ae T Tk Th k h n kT s a -⋅==-

dz

z dX z

k kx az

k u a Z

Z

k )()( , 11

)( 1

-−→←-−→

←-且按

)11

()()!1( )()!1( )()(111

1110

00--∞=---∞

=----=-==

∑∑z

e dz d z n AT e z k n T TA z k h z H T s n n k k

T s n n k k

可得

⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧

=-=-=•

••---,3,2)

1(1,1)(11

1

000n z e z e AT n z e AT z H n T s T S n T s ，可以递推求得：

2. 已知模拟二阶巴特沃思低通滤波器的归一化系统函数为：

2

'

4142136.111

)(s

s s H a ++=

而3dB 截止频率为50Hz 的模拟滤波器，需将归一化的)('s H a 中的s 变量用

50

2⨯πs

来代替

424

'

10

8696044.928830.444108696044.9)100()(⨯++⨯==s s s H s H a a π 设系统抽样频率为Hz f s 500=，要求从这一低通模拟滤波器设计一个低通数字滤波器，采用阶跃响应不变法。 分析：

阶跃响应不变法，使离散系统的阶跃响应等于连续系统 阶跃响应的等间隔抽样，

)

()()(nT g t g n g a nT t a ===,

由模拟系统函数)(s H a 变换成数字系统函数的关系式为：

}]])

([{[1)(1nT t a s s H L Z z z z H =--=

，

还要用到一些变换关系式。 解:

根据书上公式可得模拟滤波器阶跃响应的拉普拉斯变换为：

)

(1

)(s H s s G a a =

)108696044.928830.444(108696044.9424⨯++⨯=

s s s

22)14415.222()14415.222(14415.222)14415.222(1++++-

=

s s s

由于

[]

2

20

0)()()(sin Ω++Ω=

Ω-a s t u t e L at

[]

2

020)()()(cos Ω+++=Ω-a s a

s t u t e L at

[]s t u L 1)(=

故

[]

)()(1s G L t g a a -=

u(t) )]} 14415.222cos( ) 14415.222[sin(1{ 14415.222t t e t +-=-

则

)

()(nT g n g a =

u(n) )]}T 14415.222cos( )T 14415.222[sin(1{nT 14415.222n n e +-=-

利用以下z 变换关系：

[])()(z X n x Z =

[

]

)()(z e X n x e

Z aT

naT

=-

[]1cos 2sin )()(sin 2+-=

aT z z aT

z n u naT Z

[]1cos 2cos )()(cos 2

2+--=aT z z aT

z z n u naT Z []1)(-=

z z n u Z

且代入a=222.14415

s f T s 3102500

11-⨯===

可得阶跃响应的z 变换 [])()(n g Z z G =

41124070.01580459.130339071.012

2+----=z z z z z z

)41124070.01580459.1)(1(10784999.014534481.02

2+--+=z z z z z 由此可得数字低通滤波器的系统函数为：

)(1

)(z G z z z H -=