数字信号处理课后答案
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3．判断下面的序列是否是周期的;若是周期的，确定其周期。
(1)
(2)
解：（1）因为ω= π,所以 ,这是有理数，因此是周期序列，周期T=14。
（2）因为ω= ,所以 =16π,这是无理数，因此是非周期序列。
4．对题1图给出的x(n)要求：
(1)画出x(－n)的波形；
(2)计算xe(n)=1/2［x(n)+x(－n)］，并画出xe(n)波形；
输出为：y′(n)=x(n－n0) sin(ωn)
y(n－n0)=x(n－n0) sin［ω(n－n0)］≠y′(n)
故系统不是非时变系统。由于
（6）y(n)=x(n2)
令输入为：x(n－n0)
输出为：y′(n)=x((n－n0)2)
y(n－n0)=x((n－n0)2)=y′(n)
故系统是非时变系统。由于
T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n2)+bx2(n2) =aT［x1(n)］+bT［x2(n)］
故系统是线性系统。
（7）y(n)=
1.4习题与上机题解答
1.用单位脉冲序列δ(n)及其加权和表示题1图所示的序列。
题1图
解：x(n)=δ(n+4)+2δ(n+2)－δ(n+1)+2δ(n)+δ(n－1)+2δ(n－2)+4δ(n－3)+0.5δ(n－4)+2δ(n－6)
2．给定信号：
(1)画出x(n)序列的波形，标上各序列值；
(2)试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列；
(3)画出xo(n)的波形如题4解图（三）所示。
(4)很容易证明：x(n)=x1(n)=xe(n)+xo(n)
上面等式说明实序列可以分解成偶对称序列和奇对称序列。偶对称序列可以用题中(2)的公式计算，奇对称序列可以用题中(3)的公式计算。
5．设系统分别用下面的差分方程描述，x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。
y(n－n0)=2x(n－n0)+3=y′(n)
故该系统是非时变的。由于
T［ax1(n)+bx2(n)］=2ax1(n)+2bx2(n)+3
T［ax1(n)］=2ax1(n)+3
T［bx2(n)］=2bx2(n)+3
T［ax1(n)+bx2(n)］≠aT［x1(n)］+bT［x2(n)］
故该系Байду номын сангаас是非线性系统。
(3)令x1(n)=2x(n－2)，试画出x1(n)波形；
(4)令x2(n)=2x(n+2)，试画出x2(n)波形；
(5)令x3(n)=x(2－n)，试画出x3(n)波形。
解：(1) x(n)序列的波形如题2解图（一）所示。
(2) x(n)=－3δ(n+4)－δ(n+3)+δ(n+2)+3δ(n+1)+6δ(n)+6δ(n－1)+6δ(n－2)+6δ(n－3)+6δ(n－4)
(3)这是一个延时器，延时器是线性非时变系统，下面证明。令输入为x(n－n1)
输出为: y′(n)=x(n－n1－n0)
y(n－n1)=x(n－n1－n0)=y′(n)
故延时器是非时变系统。由于
T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n－n0)+bx2(n－n0) =aT［x1(n)］+bT［x2(n)］
（5）y(n)=x2(n)
令输入为：x(n－n0)
输出为：y′(n)=x2(n－n0)
y(n－n0)=x2(n－n0)=y′(n)
故系统是非时变系统。由于
T［ax1(n)+bx2(n)］=［ax1(n)+bx2(n)］2≠aT［x1(n)］+bT［x2(n)］=ax21(n)+bx22(n)
因此系统是非线性系统。
（1）y(n)=x(n)+2x(n－1)+3x(n－2)
（2）y(n)=2x(n)+3
（3）y(n)=x(n－n0) n0为整常数
（4）y(n)=x(－n)
（5）y(n)=x2(n)
（6）y(n)=x(n2)
（7）y(n)=
（8）y(n)=x(n)sin(ωn)
解：（1令输入为x(n－n0)
输出为:
令输入为x(n－n0)
输出为：y′(n)= x(m-n0)
y(n－n0)= x(m)≠y′(n)
故系统是时变系统。由于
T［ax1(n)+bx2(n)］= ［ax1(m)+bx2(m)］=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］
故系统是线性系统。
（8）y(n)=x(n) sin(ωn)
令输入为：x(n－n0)
T［ax1(n)］=ax1(n)+2ax1(n－1)+3ax1(n－2)
T［bx2(n)］=bx2(n)+2bx2(n－1)+3bx2(n－2)
所以T［ax1(n)+bx2(n)］=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］
故该系统是线性系统。
（2）令输入为x(n－n0)
输出为y′(n)=2x(n－n0)+3
（3）x1(n)的波形是x(n)的波形右移2位，再乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。
(4) x2(n)的波形是x(n)的波形左移2位，再乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。
(5)画x3(n)时，先画x(－n)的波形(即将x(n)的波形以纵轴为中心翻转180°)，然后再右移2位，x3(n)波形如题2解图（四）所示。
故延时器是线性系统。
(4) y(n)=x(－n)
令输入为：x(n－n0)
输出为y′(n)=x(－n+n0)
y(n－n0)=x(－n+n0)=y′(n)
因此系统是线性系统。由于
T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(－n)+bx2(－n) =aT［x1(n)］+bT［x2(n)］
因此系统是非时变系统。
(3)计算xo(n)=1/2［x(n)－x(－n)］，并画出xo(n)波形;
(4)令x1(n)=xe(n)+xo(n),将x1(n)与x(n)进行比较，你能得到什么结论？
解：（1）x(－n)的波形如题4解图（一）所示。
(2)将x(n)与x(－n)的波形对应相加，再除以2，得到xe(n)。毫无疑问，这是一个偶对称序列。xe(n)的波形如题4解图（二）所示。
y′(n)=x(n－n0)+2x(n－n0－1)+3x(n－n0－2)
y(n－n0)=x(n－n0)+2x(n—n0—1)+3(n－n0－2) =y′(n)
故该系统是非时变系统。
因为y(n)=T［ax1(n)+bx2(n)］
=ax1(n)+bx2(n)+2［ax1(n－1)+bx2(n－1)］+3［ax1(n－2)+bx2(n－2)］
(1)
(2)
解：（1）因为ω= π,所以 ,这是有理数，因此是周期序列，周期T=14。
（2）因为ω= ,所以 =16π,这是无理数，因此是非周期序列。
4．对题1图给出的x(n)要求：
(1)画出x(－n)的波形；
(2)计算xe(n)=1/2［x(n)+x(－n)］，并画出xe(n)波形；
输出为：y′(n)=x(n－n0) sin(ωn)
y(n－n0)=x(n－n0) sin［ω(n－n0)］≠y′(n)
故系统不是非时变系统。由于
（6）y(n)=x(n2)
令输入为：x(n－n0)
输出为：y′(n)=x((n－n0)2)
y(n－n0)=x((n－n0)2)=y′(n)
故系统是非时变系统。由于
T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n2)+bx2(n2) =aT［x1(n)］+bT［x2(n)］
故系统是线性系统。
（7）y(n)=
1.4习题与上机题解答
1.用单位脉冲序列δ(n)及其加权和表示题1图所示的序列。
题1图
解：x(n)=δ(n+4)+2δ(n+2)－δ(n+1)+2δ(n)+δ(n－1)+2δ(n－2)+4δ(n－3)+0.5δ(n－4)+2δ(n－6)
2．给定信号：
(1)画出x(n)序列的波形，标上各序列值；
(2)试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列；
(3)画出xo(n)的波形如题4解图（三）所示。
(4)很容易证明：x(n)=x1(n)=xe(n)+xo(n)
上面等式说明实序列可以分解成偶对称序列和奇对称序列。偶对称序列可以用题中(2)的公式计算，奇对称序列可以用题中(3)的公式计算。
5．设系统分别用下面的差分方程描述，x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。
y(n－n0)=2x(n－n0)+3=y′(n)
故该系统是非时变的。由于
T［ax1(n)+bx2(n)］=2ax1(n)+2bx2(n)+3
T［ax1(n)］=2ax1(n)+3
T［bx2(n)］=2bx2(n)+3
T［ax1(n)+bx2(n)］≠aT［x1(n)］+bT［x2(n)］
故该系Байду номын сангаас是非线性系统。
(3)令x1(n)=2x(n－2)，试画出x1(n)波形；
(4)令x2(n)=2x(n+2)，试画出x2(n)波形；
(5)令x3(n)=x(2－n)，试画出x3(n)波形。
解：(1) x(n)序列的波形如题2解图（一）所示。
(2) x(n)=－3δ(n+4)－δ(n+3)+δ(n+2)+3δ(n+1)+6δ(n)+6δ(n－1)+6δ(n－2)+6δ(n－3)+6δ(n－4)
(3)这是一个延时器，延时器是线性非时变系统，下面证明。令输入为x(n－n1)
输出为: y′(n)=x(n－n1－n0)
y(n－n1)=x(n－n1－n0)=y′(n)
故延时器是非时变系统。由于
T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n－n0)+bx2(n－n0) =aT［x1(n)］+bT［x2(n)］
（5）y(n)=x2(n)
令输入为：x(n－n0)
输出为：y′(n)=x2(n－n0)
y(n－n0)=x2(n－n0)=y′(n)
故系统是非时变系统。由于
T［ax1(n)+bx2(n)］=［ax1(n)+bx2(n)］2≠aT［x1(n)］+bT［x2(n)］=ax21(n)+bx22(n)
因此系统是非线性系统。
（1）y(n)=x(n)+2x(n－1)+3x(n－2)
（2）y(n)=2x(n)+3
（3）y(n)=x(n－n0) n0为整常数
（4）y(n)=x(－n)
（5）y(n)=x2(n)
（6）y(n)=x(n2)
（7）y(n)=
（8）y(n)=x(n)sin(ωn)
解：（1令输入为x(n－n0)
输出为:
令输入为x(n－n0)
输出为：y′(n)= x(m-n0)
y(n－n0)= x(m)≠y′(n)
故系统是时变系统。由于
T［ax1(n)+bx2(n)］= ［ax1(m)+bx2(m)］=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］
故系统是线性系统。
（8）y(n)=x(n) sin(ωn)
令输入为：x(n－n0)
T［ax1(n)］=ax1(n)+2ax1(n－1)+3ax1(n－2)
T［bx2(n)］=bx2(n)+2bx2(n－1)+3bx2(n－2)
所以T［ax1(n)+bx2(n)］=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］
故该系统是线性系统。
（2）令输入为x(n－n0)
输出为y′(n)=2x(n－n0)+3
（3）x1(n)的波形是x(n)的波形右移2位，再乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。
(4) x2(n)的波形是x(n)的波形左移2位，再乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。
(5)画x3(n)时，先画x(－n)的波形(即将x(n)的波形以纵轴为中心翻转180°)，然后再右移2位，x3(n)波形如题2解图（四）所示。
故延时器是线性系统。
(4) y(n)=x(－n)
令输入为：x(n－n0)
输出为y′(n)=x(－n+n0)
y(n－n0)=x(－n+n0)=y′(n)
因此系统是线性系统。由于
T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(－n)+bx2(－n) =aT［x1(n)］+bT［x2(n)］
因此系统是非时变系统。
(3)计算xo(n)=1/2［x(n)－x(－n)］，并画出xo(n)波形;
(4)令x1(n)=xe(n)+xo(n),将x1(n)与x(n)进行比较，你能得到什么结论？
解：（1）x(－n)的波形如题4解图（一）所示。
(2)将x(n)与x(－n)的波形对应相加，再除以2，得到xe(n)。毫无疑问，这是一个偶对称序列。xe(n)的波形如题4解图（二）所示。
y′(n)=x(n－n0)+2x(n－n0－1)+3x(n－n0－2)
y(n－n0)=x(n－n0)+2x(n—n0—1)+3(n－n0－2) =y′(n)
故该系统是非时变系统。
因为y(n)=T［ax1(n)+bx2(n)］
=ax1(n)+bx2(n)+2［ax1(n－1)+bx2(n－1)］+3［ax1(n－2)+bx2(n－2)］