数字信号处理课后习题答案完整版

数字信号处理课后习题

答案

HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】

数字信号处理（姚天任江太辉）第三版

课后习题答案

第二章

判断下列序列是否是周期序列。若是，请确定它的最小周期。

（1）x(n)=Acos(685π

π+n )

（2）x(n)=)8(π-n

e j

（3）x(n)=Asin(343π

π+n )

解 (1)对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(ϕω+n )，得出=

ω8

5π

。因此5162=

ωπ

是有理数，所以是周期序列。最小周期等于N=)5(165

16

取k k =。

（2）对照复指数序列的一般公式x(n)=exp[ωσj +]n,得出8

1

=ω。因此

πω

π

162=是无理数，所以不是周期序列。

（3）对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(ϕω+n )，又x(n)=Asin(3

43ππ+n )＝Acos(

-2π343ππ-n )＝Acos(6143-n π)，得出=ω43π。因此3

8

2=ωπ是有理数，所以是周期序列。最小周期等于N=)3(83

8

取k k =

在图中，x(n)和h(n)分别是线性非移变系统的输入和单位取样响应。计算并列的x(n)和h(n)的线性卷积以得到系统的输出y(n)，并画出y(n)的图形。 解 利用线性卷积公式

y(n)=

∑∞

-∞

=-k k n h k x )()(

按照折叠、移位、相乘、相加、的作图方法，计算y(n)的每一个取样值。 (a) y(0)=x(O)h(0)=1

y(l)=x(O)h(1)+x(1)h(O)=3

y(n)=x(O)h(n)+x(1)h(n-1)+x(2)h(n-2)=4,n ≥2 (b) x(n)=2δ(n)-δ(n-1)

h(n)=-δ(n)+2δ(n-1)+ δ(n-2)

y(n)=-2δ(n)+5δ(n-1)= δ(n-3) (c) y(n)=

∑∞

-∞

=--k k

n k n u k u a

)()(=

∑∞

-∞

=-k k

n a

=a

a n --+111u(n) 计算线性线性卷积 (1) y(n)=u(n)*u(n) (2) y(n)=λn u(n)*u(n)

解：(1) y(n)=

∑∞

-∞=-k k n u k u )()(

=

∑∞

=-0

)()(k k n u k u =(n+1),n ≥0

即y(n)=(n+1)u(n) (2) y(n)=∑∞

-∞

=-k k k n u k u )()(λ

=∑∞

=-0

)()(k k

k n u k u λ

=λ

λ--+111

n ,n ≥0

即

y(n)=

λ

λ--+111

n u(n)

图所示的是单位取样响应分别为h 1(n)和h 2(n)的两个线性非移变系统的级联，已知x(n)=u(n), h 1(n)=δ(n)-δ(n-4), h 2(n)=a n u(n),|a|<1,求系统的输出y(n). 解 ω(n)=x(n)*h 1(n) =

∑∞

-∞

=k k u )([δ(n-k)-δ(n-k-4)]

=u(n)-u(n-4)

y(n)=ω(n)*h 2(n) =

∑∞

-∞=k k

k u a )([u(n-k)-u(n-k-4)]

=

∑∞

-=3

n k k

a

,n ≥3

已知一个线性非移变系统的单位取样响应为h(n)=a n -u(-n),0

试证明线性卷积满足交换率、结合率和加法分配率。 证明 （1）交换律

X(n) * y(n) =

∑∞

-∞

=-k k n y k x )()(

令k=n-t,所以t=n-k,又-∞

变成 `

x(n) * y(n) =∑∞

-∞

=---t t n n y t n x )]([)(

=∑∞

-∞

=-t t y t n x )()(=y(n) * x(n)

交换律得证. (2)结合律 [x(n) * y(n)] * z(n)

=[

∑∞

-∞=-k k n y k x )()(] * z(n)

=∑∞

-∞=t [

∑∞

-∞

=-k k t y k x )()(]z(n-t)

=

∑∞

-∞=k x(k) ∑∞

-∞

=t y(t-k)z(n-t)

=

∑∞

-∞

=k x(k) ∑m

y(m)z(n-k-m)

=∑

∞

-∞

=k x(k)[y(n-k) * z(n-k)]

=x(n) * [y(n) * z(n)] 结合律得证. (3)加法分配律 x(n) * [y(n) + z(n)]

=

∑

∞

-∞=k x(k)[y(n - k) +z(n - k)]

=

∑

∞

-∞

=k x(k)y(n-k)+

∑

∞

-∞

=k x(k)z(n - k)

=x(n) * y(n) + x(n) *z(n)

加法分配律得证.

判断下列系统是否为线性系统、非线性系统、稳定系统、因果系统。并加以证明

(1)y(n)= 2x(n)+3 (2)y(n)= x(n)sin[32πn+6π

]

(3)y(n)=

∑∞-∞

=k k x )( (4)y(n)= ∑=n

n k k x 0

)(

(5)y(n)= x(n)g(n)

解 （1）设y 1(n)=2x 1(n)+3,y 2(n)=2x 2(n)+3,由于