(完整版)数字信号处理课后答案_史林版_科学出版社

第一章 作业题 答案
############################################################################### 1.2一个采样周期为T 的采样器，开关导通时间为()0T ττ<<，若采样器的输入信号为
()a x t ，求采样器的输出信号()()()a a x t x t p t ∧
=的频谱结构。

式中
()()
01,()0,n p t r t n t r t ττ∞
=-∞
=
-≤≤⎧=⎨
⎩∑其他
解：实际的采样脉冲信号为：
()()n p t r t n τ∞
=-∞
=
-∑
其傅里叶级数表达式为：
()000
()jk t
n p t Sa k T e
T
ωωτ
ω∞
=-∞
=
∑
采样后的信号可以表示为：
()()()ˆa a x
t x t p t δ= 因此，对采样后的信号频谱有如下推导：
()()()()()()()()()()()
()()000000000
00
00ˆˆsin 1j t a a jk t j t a n jk t j t a k j k t
a k a
k a k X j x t e dt
x t Sa k T e e dt
T
Sa k T x t e e dt
T
Sa k T x t e
dt
T
Sa k T X j jk T
k T X j jk T k
ωωωωωωωωτ
ωωτ
ωωτ
ωωτ
ωωωωωω∞--∞
∞
∞
--∞=-∞
∞
∞
--∞=-∞∞
∞
---∞
=-∞∞
=-∞
∞=-∞Ω=====
-=-⎰∑⎰
∑
⎰∑⎰
∑∑
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 1.5有一个理想采样系统，对连续时间信号()a x t 进行等间隔T 采样，采样频率8s πΩ=rad/s ，
采样后所得采样信号()a x t ∧
经理想低通滤波器()G j Ω进行恢复，已知
()41/4,
,4G j ππ
⎧Ω≤⎪Ω=⎨
Ω>⎪⎩
今有两个输入信号12()cos(2)()cos(5)a a x t t x t t ππ==和，对应的输出信号分别为
12()()a a y t y t 和，如题1.5图所示，问12()()a a y t y t 、有没有失真，为什么？
题1.5图 理想采样系统与恢复理想低通滤波器
解：因为是理想采样系统，因此采样后的信号频谱可以表示为：
()()1ˆa a s k X j X j jk T ∞
=-∞
Ω=Ω-Ω∑
8s πΩ=，12πΩ=，25πΩ=，折叠频率为2s Ω，而滤波器对4πΩ≤的信号通过，因此有
如下图：
结论：1）1()a y t 不失真、2()a y t 失真。

2）输出信号中存在两种频率：2π、3π
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 1.6已知连续时间信号()a x t 是频率为300Hz 、400Hz 、1.3KHz 和4.3KHz 的正弦信号的线性组合。

现以2KHz 的采样频率对()a x t 进行采样。

若恢复滤波器是一截止频率为900Hz 的理想低通滤波器，试确定通过恢复滤波器后的输出信号()a y t 中的各频率分量。

解：因为是理想采样系统，因此采样后的信号频谱可以表示为：
()()1ˆa a s k X j X j jk T ∞
=-∞
Ω=Ω-Ω∑
滤波后信号中的频率分量为：300Hz 、400Hz 、700Hz 。

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
1.7已知一模拟恢复信号()a x t 的频谱如题1.7图所示。

对其等间隔T 采样所得离散时间信号（序列）为()()a x n x nT =。

(1)当采样间隔()0/3T π=Ω时，画出序列()x n 的频谱图形。

(2)试确定采样信号频谱不混叠的最低采样频率，并画出此时()x n 的频谱图形。

(3)画出由(3)中的序列()x n 恢复()a x t 的框图（可用复理想低通滤波器）。

1
Ω
题1.7图
()a x t 的频谱图形
解：采样间隔为()0/3T π=Ω，因此采样频率为
026T
π
=Ω。

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
第二章 作业题 答案
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
2.1将序列1,
01,1
()0
,22,30
,
n n x n n n =⎧⎪-=⎪⎪
==⎨⎪=⎪⎪⎩其他
表示为()u n 及()u n 延迟的和。

解：首先将()x n 表示为单位脉冲序列的形式：
()()()()=123x n n n n δδδ--+-
对于单位脉冲函数()n δ，用单位阶跃序列()u n 表示，可得：
()()()1n u n u n δ=--
将上式带入到()x n 的单位脉冲序列表达式中，可得：
()()()
()()()()()()()()()()()
()1231122342122324x n n n n u n u n u n u n u n u n u n u n u n u n u n δδδ=--+-=------+---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=--+-+--- %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
2.5判断下列序列中，哪一个是周期序列，如果是周期序列，求出它的周期。

(1)()sin1.2x n n = (2)()sin9.7x n n π= (5)()sin(
)cos(
)4
7
n
n
x n ππ=-
解：理论分析详见P18性质7）周期序列
题中设计到的是正弦信号，对于正弦信号()0()sin x n A n ωϕ=+，分析其周期性，则
需判断：
02π
ω
1）为整数，则周期；2）为有理数，则周期；3）为无理数则非周期。

观察（1）、（2）、（5），0ω依次为：0 1.2ω=、09.7ωπ=、12,4
7
π
π
ωω==
，从而可知（1）
为非周期，（2）、（5）为周期序列。

（2）中，02220
9.797π
πωπ==，因此周期20N =。

（5）中，第一部分周期为1028N π
ω==，第二部分周期为20214N π
ω==，因此序列
周期为56N =。

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
2.9试确定下列系统是否为线性时不变系统？
(1) ()()()sin y n x n n ω=。

(2) ()()0
n
m y n x m ==
∑， m 为正整数。

解：利用线性时不变系统定义、性质分析。

（1）()()()sin y n x n n ω= 线性分析：
()()()()()()()()()()()()12121212sin sin sin y n T ax n bx n ax n bx n n ax n n bx n n aT x n bT x n ωωω'=+⎡⎤⎣⎦
=+⎡⎤⎣⎦=+=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
因此为线性系统。

时不变分析：
()()()000sin y n n x n n n n ω-=--⎡⎤⎣⎦
而系统输入为()0x n n -时，
()()()()00sin y n T x n n x n n n ω'=-=-⎡⎤⎣⎦
得：()()0y n y n n '≠-，因此为时变系统。

综上，()()()sin y n x n n ω=为线性时变系统。

（2）()()0
n
m y n x m ==∑
线性分析：
()()()()()()()
()()12120120
12n
m n n
m m y n T ax n bx n ax m bx m ax m bx m aT x m bT x m ==='=+⎡⎤⎣⎦
=+⎡⎤⎣⎦
=+=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
∑∑∑
因此为线性系统。

时不变分析：
()()
()()()()()()()()()000
0001012+01+n n m y n n x m x x x x x x x x x n n -=-=
=++++++++-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦
∑……而系统输入为()0x n n -时，
()()()
()()()()()()000
000000=++1++1n
m y n T x n n x m n x n x n x n x n x n x n n ='=-=-⎡⎤⎣⎦-----++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
∑...+...
得：()()0y n y n n '≠-，因此为时变系统。

综上，()()0
n
m y n x m ==
∑为线性时变系统。

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 2.11试求题2.11图所示线性时不变系统的单位脉冲响应()h n ，图中
[]1()40.5()(3)n h n u n u n =⨯--
23()()(1)()h n h n n u n ==+
4()(1)h n n δ=- 5()()4(3)h n n n δδ=--
题2.11图 线性时不变系统
如果输入序列()()(1)x n n n δδ=--，求该系统的输出序列()y n 。

解：此题涉及到了线性时不变系统的输入、输出关系，即：
()()()*y n x n h n =
以及线性卷积的性质：交换律、结合律、分配律。

系统的输入输出关系可表示为：
()()()()()(){}
()()12345****y n x n h n h n h n h n x n h n =-+⎡⎤⎣⎦
将()()1,2,3,4,5i h n i =进行变形，尽量表示为单位脉冲序列的形式，以方便运算，则：
()()()()()()()()()
140.5340.5124212n n h n u n u n n n n n n n δδδδδδ=⨯--⎡⎤⎣⎦
=⨯+-+-⎡⎤⎣⎦=+-+- ()()()()231h n h n n u n ==+ ()()41h n n δ=- ()()()543h n n n δδ=--
此时注意：
()()()
()()()()()()()()()()()()()
234*111111h n h n h n n u n n u n n n u n nu n nu n nu n u n n n u n δδ-=+-+-=+--=--+=+
()()()()()()()()()()()()()()()
1234**4212*42124212h n h n h n h n n n n n n u n n n n n n n u n u n u n δδδδδδδ-⎡⎤⎣⎦
=+-+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
=+-+-++-+-
()()()1x n n n δδ=--，与之卷积实质是序列本身与序列右移一个单位所得新序列的差。

()()()()1234**h n h n h n h n -⎡⎤⎣⎦与()5h n 不宜合并一起然后与()x n 求线性卷积，应该分别
与()x n 求线性卷积，从而：
()()()()()()()()()()()
()()()()()()()()()()()()()()()()()()()
1234***42124212411212134122342124122342123x n h n h n h n h n n n n n n n u n u n u n n n n n n n u n u n u n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n δδδδδδδδδδδδδδδδ-⎡⎤⎣⎦
=+-+-++-+----------------=+-+-------=------()()
()()()()()()()()
5*4314414344x n h n n n n n n n n n δδδδδδδδ=----+-=----+- 因此，
()()()()()()()()
()()()()()()()()
12345****4212314344y n x n h n h n h n h n x n h n n n n n n n n n n n n n δδδδδδδδ=-+⎡⎤⎣⎦=------+----+-
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 2.15设系统的差分方程为
()(1)(),01,(1)0y n ay n x n a y =-+<<-=
试分析该系统是否为线性、时不变系统。

解：
1、根据条件可知：
()0
(),01n
n m m y n a x m a -==<<∑
2、根据上式判断：
()()()()()()
()()12120120
12=n
n m m n n
n m n m m m T px n qx n a px m qx m p a x m q a x m pT x n qT x n -=--==+⎡⎤⎣⎦+⎡⎤⎣⎦
=+=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
∑∑∑=>系统为线性系统
时变性分析与2.9（2）题相同，()()0y n y n n '≠-，为时变系统。

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 2.18线性时不变系统的差分方程为
11
()(1)()(1)22
y n y n x n x n =
-++- 若系统是因果的，试用递推法求系统的单位脉冲响应。

解：11
()(1)()(1)22
h n h n n n δδ=
-++- 令0n =，则得：
11
(0)(1)(0)(1)22
h h δδ=
-++- 因为系统为因果系统，因此：
()0,0h n n =<
故：
1
(0)(0)(1)12
h δδ=+-=
以此为契机，依次递推可得：
11(1)(0)(1)(0)
22
1
h h δδ=
++=
11(2)(1)(2)(1)2212
h h δδ=
++= 111(3)(2)(3)(2)224
h h δδ=++=
()1
10()1112n n h n u n n -=⎧⎪=⎨-≥⎪⎩
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 2.19如果线性时不变系统的单位脉冲响应为
()(),1n h n a u n a =<
求系统的单位阶跃响应。

解：
将()u n 用()n δ表示，则：
()0
()k u n n k δ∞
==-∑
由于系统具有线性时不变性，因此当系统输入为()n k δ-时，根据线性时不变性的性质，系统输出为：
()()()n k y n h n k a u n k -=-=-
因此输入为单位阶跃序列时，系统的输出为：
()()n k k y n a u n k ∞
-==-∑
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
第三章 作业题 答案
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 3.2设()
j X e ω是序列()x n 的离散时间傅里叶变换，利用离散时间傅里叶变换的定义及性质，求下列各序列的离散时间傅里叶变换。

（4）()(2)g n x n =
解：利用DFT 的定义进行求解。

()
2
2()()(2)()j j n
n j n
n j m m j G e g n e
x n e x m e
X e ω
ωωω
ω+∞
-=-∞+∞
-=-∞+∞
-=-∞
=
==
=∑∑∑（这是一种错误的解法，正确的如下所示。

）
()()()()
()()2
22
2222()()2(2)()1()1()21()()211
2211
22
j j n
n j n
j m n m n
j n n jn j n n j j j j G e g n e m n
x n e
x m e
x n x n e x n e x n e X e X e X e X e ω
ωωωωπωωπωωω+∞
-=-∞
+∞
+∞
--=-∞=-∞
+∞
-=-∞+∞
-=-∞+=
===
⎡⎤=
+-⎣⎦⎡⎤=+⎣⎦
=+=+-∑
∑∑∑∑（注意，此处n 为奇数的项为零。

） %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 3.3试求以下各序列的离散时间傅里叶变换。

501
()()(3)4
n
m x n n m δ∞
==-∑
解：利用DTFT 的定义和性质进行求解。

()5
0030()1
()(3)4
1
()(3)41
()4
1114j j n
n n
j n n m n
j n m n j m m j X e
x n e
n m e n m e e e ω
ωωωωω
δδ+∞
-=-∞+∞
∞
-=-∞=+∞
+∞
-==-∞+∞-=-==-=-==
-∑∑∑∑∑∑ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 3.4设()x n 是一有限长序列，已知
0,1,2,3,4,5
1,2,0,3,2,1;()0,
n x n =--⎧=⎨
⎩其它 它的离散时间傅里叶变换为()j X e ω。

不具体计算()
j X e ω，试直接确定下列表达式的值。

（3）
()j X e d π
ωπ
ω-
⎰
解：不计算()
j X e ω，解法如下：
()1
()2j j n x n X e e d π
ωωπ
ωπ-
=
⎰
令n=0，则：
()1(0)12j
x X e d π
ω
πωπ
-
=
=-⎰
因此,
()2j
X e d π
ω
πωπ-
=-⎰
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 3.11证明:
（1）若序列()x n 是实偶函数，则其离散时间傅里叶变换()
j X e ω是ω的实偶函数。

（2）若序列()x n 是实奇函数，则其离散时间傅里叶变换()
j X e ω是纯虚数，且是ω的奇函数。

解：此题求解需要利用DTFT 的性质[]()DTFT x n -和()*
j IDTFT X
e ω
⎡⎤⎣
⎦
首先，（1）当()x n 为实偶序列时：
()()x n x n -=
根据DTFT 的性质，可知：
[]()()j DTFT x n X e ω--=
因此：
()()j j X e X e ωω-=
因此，()j X e
ω
为ω的偶函数。

此外，DTFT 性质，
()()()()*j j IDTFT X e x n x n IDTFT X e ω
ω⎡⎤⎡⎤=-==⎣⎦⎣⎦
因此，()j X e ω
为实函数。

综上，()j X e
ω
为ω的实偶函数。

（2）利用同样的性质可以证明若序列()x n 是实奇函数，则其离散时间傅里叶变换()
j X e ω
是纯虚数，且是ω的奇函数。

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 3.16若序列()x n 是因果序列，已知其离散时间傅里叶变换()
j X e ω的实部()
j R X e ω为
()1cos j R X e ωω=+
求序列()x n 及其离散时间傅里叶变换()
j X e ω。

解：此处的条件为：()x n 是因果序列。

因此此题的求解必然使用因果序列的对称性。

注意：此处并没有提及()x n 为实序列，因此，此题需加如条件()x n 为实序列。

()()()
1cos 12
j R e j j X e DTFT x n e e ωωω
ω-=⎡⎤⎣⎦
=+⎡⎤=++⎣⎦
注意，在常见序列DTFT 中，()
()1j e DTFT n ωδ∆==⎡⎤⎣⎦。

根据位移特性，[]()
00()j n j DTFT x n n X e e ωω--=。

因此，
()()()()()11j e x n IDTFT X e n n n ω
δδδ⎡⎤=⎣⎦
=+-++⎡⎤⎣⎦
因此可得：
()()001
()01
1020e e
n n x n x n n n else
x n n ⎧<=⎧⎪⎪====⎨⎨⎪⎪>⎩⎩ ()()1j j n
j n X e
x n e
e ω
ωω+∞
--=-∞
==+∑
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 3.17若序列()x n 是实因果序列，(0)1x =，已知其离散时间傅里叶变换()
j X e ω的虚部
()j I X e ω为
()sin j I X e ωω=-
求序列()x n 及其离散时间傅里叶变换()
j X e ω。

解：
()1sin 2j j j I X e e e j ωωω
ω-⎡⎤=-=-
-⎣
⎦ ()()()12j j j j n
o I o n FT x n jX e e e x n e
ω
ωωω+∞
--=-∞
⎡⎤==--=⎡⎤⎣⎦⎣⎦∑ 0,01,0()(),
01,10,
2(),0o o n n x n x n n n else
x n n <=⎧⎧⎪
⎪
====⎨⎨⎪⎪>⎩⎩ ()()1j j n
j n X e
x n e
e ω
ωω+∞
--=-∞
==+∑
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
3.21 试计算下列各序列的z 变换和相应的收敛域，并画出各自相应的零极点分布图。

（5）50()cos()(),01n
x n Ar n u n r ωϕ=+<<
解：
()()()
00000
500111
01
1
1()21211cos cos ,11j n j n n j n n j n n n j j j j j j X z A r e e z r e e z e e A re z re z r z A
z r
re
z
re
z
ωωϕϕϕϕωωωωϕωϕ∞∞----==--------⎡⎤
=+⎢⎥
⎣⎦
⎡⎤=+
⎢⎥--⎣⎦--=>--∑∑
其中，零点为()()
01cos cos z r ωϕϕ-=；
极点为：0
1j p re
ω=，0
2j p re
ω-=。

以0.5r =，04
π
ω=，0ϕ=
为例，则1z =，410.5j p e π=，420.5j p e π-=。

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
3.22 试计算下列各序列的Z 变换及其收敛域。

（7）()7()21n
x n n u n =---
解：
此处注意：
()()()
1
1
1
1
2121220.51
2
10.512n
n n
n n
n
n
n n ZT u n u n z
z
z z z z z ∞
-=-∞-∞
--=-∞
=-⎡⎤---=---⎣⎦=-=-=-
=
<--∑∑∑ 左边序列。

Z 变换的性质：()()
dX z ZT nx n z dz
=-⎡⎤⎣⎦ 因此：
()
71
21()12222d X z z
dz z z z z -⎡⎤
=-⎢⎥-⎣⎦
=<-
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 3.28 已知序列()x n 的Z 变换为：
()()
2
11
1
()10.512X z z z --=
-+
（1） 试确定()X z 所有可能的收敛域；
（2） 求（1）中所有不同收敛域时()X z 所对应的序列()x n 。

解：（1）极点有两个：10.5z =，22z =-
因此收敛域有三种可能：0.5z <，0.52z <<，2z > （2）()()
()()
1
1
11
1
0.20.8
()10.51210.512X z z z z z ----=
=
+-+-+
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 3.43 设两个线性时不变系统的差分方程和初始条件分别为： （1）()0.9(1)0.05(),()0,1y n y n x n y n n =-+=≤-
（2）()0.9(1)0.05(),(1)1,()0,1y n y n x n y y n n =-+-==≤- 若输入序列()()x n u n =，分别求两个系统的全响应。

解：即本章3.5.4的内容。

全响应有稳态相应和暂态相应构成。

由上式可知，求解()y n 的单边Z 变换，则：
()()0
n n Y z y n z ∞
-==∑
()()()(
)
()()()()()001
01
ZT n
n n m m
n m
l
l m
m
k l l l m m
l l m y n m y n m z z y n m z z y l z
z y l z y l z z
Y z y l z ∞
-=∞
---=∞--=-∞----==----=--=-⎡⎤⎣⎦
=-=⎡⎤=+⎢⎥
⎣⎦⎡⎤=+⎢⎥
⎣⎦
∑∑∑∑∑∑
因此，对于()0.9(1)0.05()y n y n x n =-+有：
()()()()
()()()
11
0.910.050.90.910.05Y z z Y z y z X z z Y z y X z --=+-+⎡⎤⎣⎦=+-+
（1）()0,1y n n =≤-，在此情况下，有：
令0n =，则(0)0.9(1)0.05(0)y y u =-+→(1)0y -= →()()()1
11
2010.9Y z H z X z z
-=
=- 由于输入()()x n u n =，因此()()1
1
,11X z ZT u n z z
-==
>⎡⎤⎣⎦-。

()()()11
11111
1,2010.910.9
110.92110.9Y z H z Z z z z z
z z ----==
>
--⎛⎫=- ⎪--⎝⎭
→()()11
()10.92
n y n u n +=
- （2）(1)1,()0,1y y n n -==<-
→输入()()x n u n =，因此()()1
1
,11X z ZT u n z z -==
>⎡⎤⎣⎦-。

()()()
11111111
0.91
0.05
10.9110.90.9110.91110.9
10.92110.921210.9Y z z z z z z z z z --------=
+---⎛⎫=
+-=+ ⎪
-----⎝⎭
()()()1
1()10.912
n y n u n n δ+=-++
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
3.44讨论一个具有下列系统函数的线性时不变因果系统
()11
1
11a z H z az
----=- （1） 令系统因果稳定的a 值范围是多少？
（2） 如果0<a<1画出()H z 的零极点分布图，并标出收敛域；
（3） 在z 平面上用图解法证明系统是一个全通系统，及系统的频率响应为以常数。

解：
（1）()1111
11a z z a H z az z a
------==--，其中，极点为a ，零点为1
a -。

因果系统其系统函数()H z 的极点分布在某个圆内，收敛域是这个圆的外部。

稳定系统的系统函数()H z 的收敛域包含单位圆，而收敛域中没有极点。

,01r z r <≤∞<<
因果稳定系统的系统函数()H z 的所有极点一定分布在单位圆内。

因此，a 的范围为：01a <<。

（2）以0.6a =为例，则零极点分布为：
（3）()1
1j j j e z a e a AB
H z z a
e a AC
ω
ωω----=
==
-- ω公用，
1
OA OB OC OA a
==且AOB AOC ∆∆，因此
1AB AC a =。

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 3.45若序列()h n 是因果序列，其离散时间傅里叶变换的实部为
2
cos (),0112cos j R a H e a a a ωω
ω
-=
<<+- 求序列()h n 及其离散时间傅里叶变换()j H e ω。

解：()j H e ω
T 实部对应()h n 的偶对称序列
()()
2
21cos (),0112cos 10.51j R j j j j a H e a a a a e e a a e e ωωωωωω
ω---=
<<+--+=
+-+ ()()()
()()
1121110.510.5()111R a z z a z z H z a a z z az az -----+-+==+-+-- 对上式求解()R H z 的反变换，即()e h n ，
()11
()2n e R c
h n H z z dz π
-=
⎰
，()()()
()()
1111
10.511n n R a z z F z H z z z az az -----+==
--
由于()h n 为因果序列，因此()e h n 为双边序列，收敛域取1
a z a -<<。

通过留数法求解，则：
1n ≥，在c 内有极点a ，则：
()()
()()
()
11
1
10.5()Re ,2
11n
n e z a
a z z a h n s F z a z
z a az az ---=-+==
-=⎡⎤⎣⎦-- 0n =，则：
()()()
()()
1111
10.511n R a z z F z H z z z az az -----+==
--，在c 内有极点a 、0。

()()()Re ,Re ,01e h n s F z a s F z =+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
又有()()e e h n h n =-，因此：
1
0()0.500.50
n
e n n h n a n a n -=⎧⎪
=>⎨⎪<⎩
()10
()0
()2()
0000
00e n
n e n h n n h n h n n a n a u n n n =⎧=⎧⎪
⎪
=>=>=⎨⎨⎪⎪<<⎩
⎩ 同时，得到
1
()1j j H e ae ωω
-=
-
第四章练习题答案
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 4.3 周期序~
()x n 的共轭对称序列~
()e x n 和共轭反对称序列~
()o x n 分别表示为
~~
~*
1()()()2e x n x n x n ⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦ ~~~*1()()()2o x n x n x n ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦
试证明
{}~~()Re ()e DFS x n X k ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ {}
~~()Im ()o DFS x n j X k ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
证明：利用DFS 的共轭对称性 因为~~*
*
()()x n X k -=
所以
{}
~
~~*~~*~~~*
1()()()21()()21()()Re ()2e DFS x n DFS x n x n DFS x n DFS x n X k X k X k ⎧⎫⎡⎤⎡⎤
=--⎨⎬
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎧⎫⎡⎤⎡⎤
=--⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭
⎛⎫=-= ⎪⎝⎭
同理
{}
~~
()Im ()o DFS x n j X k ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
4.6 设序列()x n 的N 点离散傅里叶变换为[]()()(01)X k DFT x n k N =≤≤-。

现已知下列各()j X k 分别求其离散傅里叶逆变换()()j j x n IDFT X k ⎡⎤=⎣⎦。

（3）3()()N X k R k = （4）4,2(),20,
j j N e k m
N X k e
k N m θθ
-⎧=⎪⎪
⎪==-⎨⎪⎪⎪⎩
其他
解：离散傅里叶逆变换定义 （3）
[]1
21
201
()IDFT ()()11111111,00,0
N -kn
N k -kN
j k N -kn N N -k j k k N N
x n X k X k W N
W e W N
N N W e
k k ππ
-=-===
--===--=⎧=⎨
≠⎩∑∑
（4）
[]()1
22j j j -j 1
()IDFT ()()1e e e e 222cos 0,1,,1
N -kn N
k nm N -m n N N
x n X k X k W
N
N N N
nm n N N ππθθπθ-===
⎡⎤=+⎢⎥
⎣⎦⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭
∑ 上式中的结果来于：
()22j
j
e
e
N -m n mn N
N
π
π-=
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
4.9已知()x n 是长度为N 的有限长度序列，其N 点离散傅里叶变换为
[]()()(01)X k DFT x n k N =≤≤-。

现将序列()x n 的长度添零扩大m 倍，得长度mN 的
有限长序列()y n ，即
(),0-1
()0,
-1x n n N y n N m mN ≤≤⎧=⎨
≤≤⎩ 其中，m 为正整数。

试求用()X k 表示的序列()y n 的mN 点离散傅里叶变换
[]()()(01)Y k DFT y n k mN =≤≤-。

解：
1
1
Y()()()()
k mN N n kn m mN
N
n n k k y n W
x n W
X m
--===
==∑∑
所以:
k m
=整数时，Y()()k k X m =
注意：
k
m
≠整数时，Y()k 是()x n 的加权和，即1
Y()()k N n m N
n k x n W
-==∑
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
4.10 已知()x n 是长度为N 的有限长序列，其N 点离散傅里叶变换为[]()()(01)X k DFT x n k N =≤≤-。

现将序列()x n 的每二点之间补进m-1个0值，得长度为mN 的有限长序列()y n ，即
,0,1,
,1
(/),()0,
n im i N x n m y n ==-⎧=⎨
⎩其他
其中，m 为正整数。

试求用()X k 表示的序列()y n 的mN 点离散傅里叶变换
[]()()(01)Y k DFT y n k mN =≤≤-。

解：
()()1
1
1
1
0Y()()(),(),0,
,1
(),01(),21(1),110,()
mN mN kn kn mN
mN n n N kl N l m r n n k y n W
x W l m m x l W k mN X k k N X k N N k N X k m N m N k mN X k rN --==-=-==
=
===-≤≤-⎧
⎪-≤≤-⎪⎪=⎨
⎪---≤≤-⎪
⎪⎩
=-∑∑
∑∑令其它 注意：0,1,,1k mN =-，所以，Y()()0,1,,1k X k k N ==-不正确。

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 4.13证明：若序列()x n 实偶对称，即()()x n x N n =-，则()X k 也实偶对称。

若序列()x n 实奇对称，即()()x n x N n =--，则()X k 是纯虚数，并奇对称。

解：
()()()()
11
1
()()()()N N k n kn
N N
n n N N n N k kn
N
N
n X k x n W x N n W W x N n W ----==---===--∑∑∑利用的周期性
令N n m -=进行变量替换，则
()1
()()N
N k m
N
m X k x m W -==∑
又因为()x n 为实偶函数，所以(0)()x x N =,所以
(
)(
)0
(0)()N k N k N
N
N
x W x N W --=
可将上式写成
()()()()()()1
1
1
1
01
1
()()()()()(0)()N
N k m
N
m N N k m N k N
N N
m N N k m N k N N
m N N k m
N
m X k x m W x m W x N W x m W x W x m W -=---=---=--===+=+=∑∑∑∑
所以：()1
()()()N N k m
N
m X k x m W X N k --==
=-∑ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 4.24 设长度为15N =和210N =的两个序列分别为
10,0()1,14n x n n =⎧=⎨
≤≤⎩ 21,
04()1,59n x n n ≤≤⎧=⎨-≤≤⎩
（1） 求线形卷积12()()()y n x n x n =* （2） 求循环卷积12()()()f n x n x n =*
（3） 试用循环卷积的方法计算出线形卷积的结果。

解：（3）1()x n 补9个零，2()x n 补4个零，用循环卷积求解
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
第五章练习题答案
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
5.8 已知复序列()()()f n x n jy n =+的8点DFT 为()[()](07)F k DFT f n k =≤≤，其值为
(0)13,(1)24,(2)37,(3)45,
(4)25,(5)12,(6)48,(7)6,
F j F j F j F j F j F j F j F j =-=-+=+=--=+=--=-=
不计算()F k 的离散傅里叶逆变换（IFFT ），试求实序列()x n 和()y n 的8点DFT ()X k 和()Y k 。

解：利用DFT 的共轭对称性
()()()f n x n jy n =+
[]()()()()F k DFT f n X k jY k ==+
[]Re ()()()f n Fep k x n ⇔⇔ []Im ()()()j f n Fop k y n ⇔⇔
所以
[][]*
()()Re ()()
1(())(())()2
N N N X k DFT x n DFT f n Fep k F k F N k R k ⎡⎤===⎣⎦⎡⎤=+-⎣⎦
[][]*
1
()()Im ()()1(())(())()2N N N Y k DFT y n DFT f n Fep k j
F k F N k R k j
⎡⎤===
⎣⎦⎡⎤=--⎣⎦
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
5.9 设()x n 和()y n 是长度为N 的两个实序列。

已知()[()](01)X k DFT x n k N =≤≤-，
()[()](01)Y k DFT y n k N =≤≤-。

现在希望根据()X k 和()Y k 求()x n 和()y n ，为了提高
运算效率，试设计一种算法，用一次N 点IFFT 来完成。

解：利用DFT 的线性，课堂中讲过的 构造序列()()()Z k X k jY k =+
对()Z k 作一次N 点IDFT 可得序列()z n ，[]()()z n IDFK Z k = 又根据DFT 的线性性质：线性组合的反变换等于反变换的线性组合
[][][][]()()()()()()()()
z n IDFT Z k IDFT X k jY k IDFT X k jIDFT Y k x n jy n ==+=+=+
而()x n ,()y n 都是实序列
()Re(())x n z n =()Im(())y n z n =
第六章练习题答案
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
6.3 设计一个满足下列指标要求的模拟低通巴特沃斯滤波器，并求出其系统函数的极点。

通带截止频率 2.1p f kHZ =，阻带截止频率8s f kHZ =，通带最大衰减0.5p dB α=，阻带最小衰减30s dB α=。

解：巴特沃斯模拟低通滤波器的设计步骤为：
（1）根据模拟滤波器的设计指标p α,p Ω和s α,s Ω，由(6.3.16)式确定滤波器的阶数N 。

（2）由(6.3.17)式确定滤波器的3dB 截止频率c Ω。

（3）按照(6.3.13)式，求出N 个极点(1,2,,)k p k N =，将极点k p 代入(6.3.14)式得滤
波器的系统函数()a H s 。

****************
0.110.11(10)lg (10) 3.36832lg(/)
p s a a p s N --⎡⎤⎢⎥⎣⎦==ΩΩ
2p p f πΩ= 2s s f πΩ= 取4N =
3dB 截止频率：
cp ΩΩ=
= 212,1,2,
,k N j N
k c p e
k N π
+-=Ω=
1
1
()()
n N
nk k H s s p ==
-
去归一化()(
)a n c
s H s H =Ω %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
6.10 利用二阶模拟低通巴特沃斯滤波器，设计一个中心频率为020/rad s Ω=，通带3dB 带宽为4/B rad s =的模拟带通滤波器。

解: 根据滤波器的阶数N ，直接查表 6.3.1，得到归一化（1c Ω=）的极点
(1,2,
,)k p k N =和归一化的系统函数
1
1
()()
n N
nk
k H s s p
==
-∏
2101211
N N
N a a s a s a s s --=
+++++
然后利用(6.3.9)式，得到3dB 截止频率为c Ω的巴特沃斯模拟低通滤波器的系统函数
()a H s 。

()()a n c H s H s =Ω (6.3.9)
*********************
21
() 1.41421
L L L L H s s s =
++
220
()()
L BP L L s s Bs
H s H s +Ω=
=
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 6.12 设模拟滤波器的系统函数为：
()a A H s s a
=
+ 用脉冲响应不变法将()a H s 转换成数字滤波器的系统函数()H z ，并确定数字滤波器在
ωπ=处的频谱混叠失真幅度与采样间隔T 的关系。

解：模拟滤波器的系统函数与数字滤波器的系统函数的转换关系
1
11
1()()
1,2,
,p T k k a s p e z H z H s k N -=
--==
****************
1
()1aT A H z e z --=
-
求,()j z e H z ωωπ==
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
6.25 利用模拟低通巴特沃斯滤波器，分别采用脉冲响应不变法和双线性变换法设计数字低通滤波器，要求0.2p rad ω=，0.3s rad ω=，1p dB α≤，20s dB α≥。

采样间隔1T s =。

解：用脉冲响应不变法设计IIR 数字滤波器的设计步骤为：
(1)确定采样间隔T 。

为方便常取T=1。

(2)利用模拟频率与数字频率之间的关系
/T ωΩ= （6.5.13） 按给定的数字滤波器频率指标,p s ωω，确定模拟滤波器的频率指标：
p
p T
ωΩ=
，s
s T
ωΩ=
(3)根据指标,,p p s s ααΩΩ和，设计模拟滤波器()a H s 。

(4)用脉冲响应不变法，将模拟滤波器()a H s 变换成数字滤波器()H z 。

1
11
1()()
1,2,
,p T k k a s p e z H z H s k N -=--==
双线性变换法设计IIR 数字滤波器的设计步骤为：
(1)确定参数T 。

使1c T Ω=左右比较适当，不宜取太大或太小的数值。

(2)将数字滤波器的边界频率p ω，s ω转换为模拟滤波器的边界频率p Ω，s Ω，转换公式为
2tan 2p p T ω⎛⎫Ω=
⎪⎝⎭
2tan 2s s T ω⎛⎫
Ω= ⎪⎝⎭
(3)按照模拟滤波器技术指标p α， p Ω，s α和 s Ω设计模拟滤波器()a H s 。

(4)用双线性变换法将模拟滤波器()a H s 变换为数字滤波器()H z ，即
1
1
211()()
a z s T z H z H s ---=
+=
*************** 脉冲响应不变法： （1）T=1s （2）0.2p
p rad T
ωπΩ=
=，1p dB α=
0.3s
s rad T
ωπΩ=
=，20s dB α=
（3）巴特沃斯滤波器
(
)()
()
0.10.1lg 101
10
17.33272lg p
s
p s N αα⎡⎤
--⎣⎦=
=ΩΩ
确定阶数，取8
cp ΩΩ=
确定3dB 截止频率c Ω
212k N j N k c p e
π+-⎛⎫ ⎪⎝⎭
=Ω k =1,2,……N 求出极点
1
()()
N
c a N
k
k H s s p =Ω=
-∏ 模拟滤波器系统响应函数
（4）8
1
()1i
k k
S Tz k B H z e
-==
-∑ T=1s
双线性变换法： （1） T=1s （2） 2
tan 0.6498/2p p rad s T ω⎛⎫Ω=
= ⎪⎝⎭ 2tan 1.0109/2s s rad s T ω⎛⎫
Ω=
= ⎪⎝⎭
(3) (
)()
()0.10.1lg 101
10
1 6.60852lg p
s
p s N αα⎡⎤
--⎣⎦=
=ΩΩ,取N=7
(4) 8
1
()1i
k k
S Tz k B H z e
-==
-∑ T=1s
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 6.27 三阶数字低通切比雪夫滤波器的系统函数为
13
1120.066(1)()(10.2593)(10.67290.3917)
z z H z z z z ----+=--+
通带截止频率0.2p rad ωπ=，通带最大衰减0.5p dB α=。

要求将其变换成通带截止频率
0.5p rad ωπ=的数字低通滤波器。

解：(1) 确定0.2Lc rad ωπ=，0.5c rad ωπ=
（2）计算sin 20.5095sin 2Lc c Lc c ωωαωω-⎛⎫ ⎪
⎝⎭=
=+⎛⎫ ⎪
⎝⎭
（3） 111
1
()1L
z z G z z
α
α-----==- 111
()()1L L
z H z H z z z
α
α----==-即可
第八章练习题答案
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 8.1 设线性时不变系统的输入序列为()x n ，输出序列为()y n ，其差分方程为 311
()(1)(2)()(1)483
y n y n y n x n x n =
---++- 求其系统函数()H z ，并分别画出该系统的直接型、级联型和并联型算法结构。

解：
移项 311
()(1)(2)()(1)483y n y n y n x n x n -
-+-=+- Z 变换 121
311()()()()()483y z y z z y z z x z x z z ----+=+
1
12
113()31148
z H z z z
---+=
--+ （1） 直接型 1
12
113()31148z H z z z
---+=--+ （2） 级联型1
11113()11(1)(1)
24
z H z z z ---+=-- （3） 并联型，将()H z 进行部分分式展开
1
()3
1111()()()()2424z H z A B
z z z z z +
==+
---- 111103()11223()()24z A z z z z +
=-==--
11173()11443()()24z B z z z z +
=-==---
11
1071073333()1111()()112424
z z H z z z z z ----
=+=+
----
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 8.6 题8.6图画出了10中不同的系统算法结构流图，试分别求出它们的系统函数()H z 。

()x n ()
y n (a)
1
1()1H z az -=
- 直接1型 1
110.5()10.3H z z --+=-直接2型
1-1
-()
x n ()
y n (c)
12()H z a bz cz --=++ 直接1型 11
11
()11H z az bz
--=
+-- 并联型，内直接1型 ()
x n ()
y n (e)
1
1220.24()10.250.2z H z z z ---+=-- 转置型 11
11()10.510.75H z z z --=-+ 级联型 直接1型
()
x n ()
y n (g)
()
x n ()
y n (b)
()
x n ()
y n (d)
()
x n ()
y n
(f)
()
x n ()
y n (h)
1
12
10.25()10.250.4z
H z z z ---+=
-+直接2型 1
12
3sin 4()312cos 4
z H z z z
---=-+直接分析图 ()
x n ()y n 1a 1
b 2
a 2
b 3
a 1
z
-1
z
-1
z -(i)
12012121
1231
()11b b z b z H z a z a z a z
-----++=--- 级联型 直接2型，右边分子项 常数项不加负号 直接1型 右边分母项 常数项加负号
121
01234121
123()11b b z b z b b z H z a z a z a z ------+++=+
--- 并联型 直接2型 题8.6图 10种不同系统的算法结构
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 8.14 已知FIR 数字滤波器的系统函数为 12341
()(10.9 2.10.9)10
H z z z z z ----=
++++ 试画出该滤波器的直接型算法结构和线性相位算法结构。

()
x n ()
y n 1a 1
b 2
a 2
b 3
a 1z -1z -1
z
-3
b 4
b (j)。