《金融数学》(第二版)习题参考答案(修订版)

⇒ 67.5 = 10(1.0915)10−n + 30(1.0915)10−2n ⇒ n = 1.262
∫ ∫ 1.22
a(n)
=
a(2)
⋅
exp
⎡ ⎢ ⎣
n 2
δ t
dt
⎤ ⎥ ⎦
=
a(2)
⋅
exp
⎡ ⎢ ⎣
n 2
t
2 −1
dt
⎤ ⎥ ⎦
=
a(2)
⋅
(n
− 1) 2
a(n + 1) − a(n) n2 − (n −1)2
= 1.8776(109.42
+
X
)
A(6) − A(3) = (109.42 + X )(0.87761) = X ⇒ X = 784.61
∫ 1.16
t = 4 时的累积值为：1000exp⎜⎛⎜⎝
3 0
0.02tdt
⎞⎠⎟⎟⋅
e0.045
= 1144.54
设名义利率为 x，则 1000(1+ x)16 = 1144.54 ⇒ x = 0.03388 4
6
dt ⎥ ⎦
=
et2 /12
(1.01)12t = et2 /12 ⇒ t = 144 ln(1.01) = 1.43
1.8
∫ A:
a(t) =
⎡n
⎤
exp ⎢ (a + bt)dt ⎥
⎣0
⎦
=
exp
⎡⎣an
+
1 2
bn2
⎤⎦
B:
a(t) =
exp
⎡⎣ gn
+
1 2
hn2
⎤⎦
an
+
1 2
bn2
=
gn +
d=
=
a(n +1)
n2
d (2)
=
2 ⎡⎣1− (1− d )0.5 ⎤⎦
=
2(1 −
n −1 )
n
=
2 n
第2章
等额年金
2.1 1363 元 2.2 27943 元 2.3 月实际利率为 0.5％，年金的领取次数为 123，截至 2005 年 12 月 31 日，领取次数为
2
70。因此
200a =18341 123 0.5%
=
2.7183
⇒
k
= 0.414
⎝ 0 ⎠ ⎝ 5 25
⎠
∫ 1.19
a(t)
⎡t ⎤ = exp ⎢ δtdt ⎥
⎣0 ⎦
=
2+t 2
，δ
=
a(n) − a(0)
=
n 2
⇒
n
= 16
∫ 1.20
⎡2 ⎤ 1000 ⋅ exp ⎢⎣ 0 δtdt ⎥⎦ = 1068.94
1.21
A = 10[1+10(0.11)]+ 30[1+ 5(0.11)] = 67.5 B = 10(1.0915)10−n + 30(1.0915)10−2n
1 2
hn2
⇒
n
=
2(a − g) h−b
∫ 1.9
a(t)
= 100(1−
δ )−8 4
⎡5 ⋅ exp ⎢
⎣2
1 1+ t
⎤ dt ⎥⎦
=
260 ⇒ δ
=
0.129
1.10
δA
=
1 1+
t
,
δ B
=
2t 1+ t2
，δA
= δB
⇒ t2
+ 2t
−1 =
0⇒
t
=
0.41
1.11 a(t) = (1+ t)2 , a−1(t) = (1+ t)−2
δ0.5 = a' (0.5) / a (0.5) =（0.08*0.5+0.03）/(1+2.5%)=0.06829
∫ 1.15
A(3) = 100⋅ exp⎜⎝⎛⎜
3
t2
0
/ 100dt⎞⎠⎟⎟+
X
= 109.42 +
X
∫ A(6) = (109.42 + X )⋅exp⎛⎜⎜⎝
6t2
3
/ 100dt⎞⎠⎟⎟
1.5 100×(1－4×6%)-1/4×2=114.71
1.6
1+
i
=
⎡⎢⎢⎣1+
im m
⎤⎥⎥⎦ m
=
⎡⎢⎢⎣1−
dm m
⎤⎥⎥⎦ −m
=
1−
d
⇒
m=
⋅ i d (m) (m)
i(m) − d (m)
=8
1.7
∫ A: a(t) = (1.01)12t ,
B:
a(t) =
⎡t t ⎤
exp
⎢⎣
0
1.17
i(2)
= 0.075 ， δ
+
d (4)
=
ln
⎡⎢⎢⎢⎣⎛⎜⎜⎝1+
i(2 2
)
⎞2 ⎟ ⎟ ⎠
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
+
4
⎡⎢⎢⎢⎣1−⎛⎜⎜⎝1+
i(2) 2
⎞−1/ ⎟ ⎟ ⎠
2
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
=
0.1466
∫ ∫ 1.18
⎛5
⎞
⎛ 10
exp⎜ ktdt ⎟ ⋅ exp⎜
1
kt
2dt
⎞ ⎟
(2X
)
=
i⋅
X
，B：
X
⎛⎜⎜⎜⎝1+
i 2
⎟⎟⎟⎞⎠16
−
X
⎛⎜⎝⎜⎜1+
i 2
⎞⎠⎟⎟⎟15
X [(1+ i )16 − (1+ i )15 ] = i ⋅ X ⇒ i = 0.09458
2
2
n
1.4 e27.72δ = 2 ⇒ δ = 0.025 ，当 i0.5 = δ 时， (1 + 2δ )2 = 7.04 ⇒ n = 80
如果无限期地领下去，每次可以领取 658773.91÷ a∞ 6% = 658773.91×6% = 39526
2.5 31941.68 元，21738.97 元，46319.35 元
2.6 9 年
2.7 29 月末
2.8 0.1162
2.9 2000×(1.063 +1.062 +1.05 +1) = 8729.23
=
(1 − 0.5t)−1
⇒
δ tB
=
0.05 1− 0.05t
1
δtA = δtB ⇒ t = 5
1.14 设 a (t) = at2 + bt +c，则 a (0) = c =1，a (0.5) = 0.25a + 0.5b + c= 1 + 2.5%，a (1) = a + b + c = 1 + 7% ，故 a = 0.04, b = 0.03，a (t) = 0.04 t2 + 0.03 t + 1
200a ×(1+ 0.5%)123 = 33873 123 0.5%
200a ×(1+ 0.5%)70 = 26005 123 0.5%
2.4
基金在第
30
年初的价值为 10000× s 20
6%
×(1+
6%)9
=
658773.91
如果限期领取
20
年，每次可以领取
658773.91÷
a 20
6%
=
57435
300×a−1(3) + 600×a−1(6) = 200×a−1(2) + X ×a−1(5) ⇒ X =315.82
∫ 1.12
a −1 (3)
=
exp
⎡ ⎢⎣−
3 0
t3 dt
100
⎤ ⎥⎦
Biblioteka Baidu
=
e−0.2025
.
1.13
aA (t)
=1+0.1t ⇒
δ tA
=
0.1 1+ 0.1t
,
aB (t)
孟生旺《金融数学》（第二版）参考答案
( 2011. 1. 10 修订)
第1章 利息的度量
1.1 600×2 i = 150 ⇒ i = 0.125， 2000 (1 + i)3 = 2848
1.2 1004vT /12 = 314v1/12 + 271v18/12 ⇒ T = 141.6
1.3
A：
i 2