《函数及其图像》知识点归纳
华师大版八年级数学下函数及其图像知识点归纳
华师大版八年级数学下《函数及其图像》知识点归纳一．变量与函数1 ．函数的定义：一般的，在某个变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个数值y都有唯一的值与之对应，我们说x叫做自变量，y叫做因变量，y叫做x的函数。
2．自变量的取值范围：（1）能够使函数有意义的自变量的取值全体。
（2）确定函数自变量的取值范围要注意以下两点：一是使自变量所在的代数式有意义；二是使函数在实际问题中有实际意义。
（3）不同函数关系式自变量取值范围的确定：①函数关系式为整式时自变量的取值范围是全体实数。
②函数关系式为分式时自变量的取值范围是使分母不为零的全体实数。
③函数关系式为二次根式时自变量的取值范围是使被开方数大于或等于零的全体实数。
3 ．函数值：当自变量取某一数值时对应的函数值。
这里有三种类型的问题：（1）当已知自变量的值求函数值就是求代数式的值。
（2）当已知函数值求自变量的值就是解方程。
（3）当给定函数值的一个取值范围，欲求自变量的取值范围时实质上就是解不等式或不等式组。
二．平面直角坐标系：1．各象限内点的坐标的特征：（1）点p（x,y）在第一象限→x＞0,y＞0.（2）点p（x,y）在第二象限→x＜0,y＞0.（3）点p（x,y）在第三象限→x＜0,y＜0（4）点p（x,y）在第四象限→x＞0,y＜0.2 ．坐标轴上的点的坐标的特征：（1）点p（x,y）在x轴上→x为任意实数，y=0（2）点p（x,y）在y轴上→x=0,y为任意实数3 ．关于x轴，y轴，原点对称的点的坐标的特征：（1）点p（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,-y）.（2）点p（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（-x,y）.（3）点p（x,y）关于原点对称的点的坐标为（-x,-y）4 ．两条坐标轴夹角平分在线的点的坐标的特征：（1）点p（x,y）在第一、三象限夹角平分在线→x=y.（2）点p（x,y）在第二，四象限夹角平分在线→x+y=05．与坐标轴平行的直线上的点的坐标的特征：（1）位于平行于x轴的直线上的所有点的纵坐标相同。
高一数学函数性质图像知识点总结
函数、映射的概念1、映射：（1）设A，B是两个非空集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么，就称对应f：A→B为从集合A到集合B的映射，记作：f：A→B。
（2）像与原像：如果给定一个集合A到集合B的映射，那么，和集合A中的a 对应的集合B中的b叫做a的像，a叫做b的原像。
2、函数：（1）定义（传统）：如果在某变化过程中有两个变量x，y并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
（2）函数的集合定义：设A，B都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：x→y为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数f（x）的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{ f（x）|x∈A}叫做函数f（x）的值域。
显然值域是集合B的子集。
3、构成函数的三要素：定义域，值域，对应法则。
值域可由定义域唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，值域一定相同，它们可以视为同一函数。
4、函数的表示方法：（1）解析法：如果在函数y=f（x）（x∈A）中，f（x）是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析式法；（2）列表法：用表格的形式表示两个量之间函数关系的方法，称为列表法；（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。
注意：函数的图象可以是一个点，或一群孤立的点，或直线，或直线的一部分，或若干曲线组成。
∙映射f：A→B的特征：（1）存在性：集合A中任一a在集合B中都有像；（2）惟一性：集合A中的任一a在集合B中的像只有一个；（3）方向性：从A到B的映射与从B到A的映射一般是不一样的；（4）集合B中的元素在集合A中不一定有原象，若集合B中元素在集合A中有原像，原像不一定惟一。
第十八章 《函数及其图像》复习资料(知识结构)(自编)
第十八章 《函数及其图象》复习资料知识结构一、函数及其图象 （一）变量与函数1.在某一变化过程中，可以取 的量，叫做变量。
取值 ，我们称之为常量。
如：圆的面积S 随半径r 的变化而变化，S 与r 是变量，π是常量。
2.表示函数的方法通常有三种：① ，② ，③ 。
（二）图形与坐标1.在平面上两条 、 且 的数轴，建立一个平面直角坐标系。
2.点的坐标（x ，y ）中，x 代表横坐标，y 代表纵坐标。
3.各象限内点的坐标符号：（如下图）4.对称两点的坐标特征（如下图）5. x 轴上点坐标表示为（x ， ），y 轴上点坐标表示为（ ，y ）6. 点P （x ，y ）到x 轴的距离是 ，到y 轴的距离是 。
7.x 轴上两点（a ，0），（b ，0）之间的距离是 或 ，y 轴上两点（0，m ），（0,n ）之间的距离是 或8.函数图象的作图方法：① ，② ，③ 。
例1：已知点P （m -1,3），（1）若点P 在第二象限，则m 的取值范围是 ， （2）当m=1时，点P 在 ，（3）当m=2时，点P 关于x 轴对称的点p 1的坐标是 ，关于y 轴对称的同为正同为负一负一正一正一负点p 2的坐标是 ，关于原点对称的点p 3的坐标是 .。
（三）函数自变量的取值范围：关键是使函数解析式有意义。
（1）当函数的解析式是整式时，自变量取 ； （2）当函数的解析式是分式时，自变量取 ； （3）当函数的解析式是偶次根式时，自变量取使 ； （4）当函数的解析式是奇次根式时，自变量取 ； （5）实际问题中，自变量的取值范围要根据实际情况而定； 注意：需要多种情况综合考虑时，注意不要遗漏。
例2：求下列函数自变量的取值范围：（1）y x =-26；（2） （3）y x =-6；（4）二、一次函数1.一次函数的概念：函数（，为常数，）叫做的一次函数。
（1）作为一次函数自变量的最高次数是1，且其系数，这两个条件缺一不可。
（2）正比例函数 （为常数，且），正比例函数是特殊的 ，2.一次函数的图像：一次函数y ＝kx ＋b （k ≠0）的图像是 。
八年级函数及其图像知识点
八年级函数及其图像知识点
函数是数学中的一个重要概念，可以描述两个变量之间的关系。
在八年级学习函数和图像的过程中，需要掌握以下知识点：
一、函数的概念
函数可以看作是输入和输出之间的一个规律或者关系，其中输
入称为自变量，输出称为函数值或因变量。
在函数的定义中，每
一个自变量会产生唯一的函数值，这也是函数的一条重要特征。
二、函数的表达式
函数可以通过表达式来表示，例如 y = 2x + 1 就是一个函数表
达式，其中 x 是自变量，y 是函数值。
在函数表达式中，可以用符号表示函数的性质，例如 y = f(x) 中的 f(x) 就表示函数名。
三、函数的性质
函数有很多相关的性质，包括奇偶性、单调性、周期性等。
其中奇偶性表示函数的对称性，单调性表示函数的增减变化趋势，周期性表示函数的周期规律。
四、函数的图像
函数的图像也是非常重要的，可以通过图象的形状和位置来描述函数的性质。
例如 y = sin x 的图像呈现出一条波浪形，表示函数的周期性特征。
图像的位置和斜率还可以表示函数的变化趋势和变化速率。
五、函数的应用
函数在数学和现实生活中都有广泛的应用。
例如在数学中，函数可以用于描述各种变化规律，例如物理运动、生物生长等。
在现实生活中，函数可以用于分析各种数据，例如统计数据、金融数据等。
八年级函数及其图像的知识点虽然较多，但只要认真学习，多
加练习，就能够掌握其中的精髓。
希望同学们能够善于发现问题，多思考，多探索，不断提升自己的数学能力。
函数及其图像知识点
《函数及其图像》知识点一、函数的概念、变量〔自变量、因变量〕、常量的概念。
①变量：在某一函数变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量。
②自变量：在某一函数变化过程中，主动变化的量的叫做自变量。
③因变量：在某一函数变化过程中，因为自变量的变化而被动变化的量叫做因变量。
此时，我们也称因变量是自变量的函数④常量：在某一函数变化中，始终保持不变的量，叫做常量。
练习：在函数r cπ2=中，自变量是 ，因变量是 ，常量是 ， 叫做的函数。
二、函数的三种表示方法：①解析法：②列表法：三、函数自变量的取值范围：平面直角坐标系。
水平的数轴叫做横轴〔x 轴〕，取向右为正方向；铅直的数轴叫做纵轴〔y 轴〕，取向上为正方向；两条数轴的交点O 叫做坐标原点。
x 轴和y 轴将坐标平面分成四个象限〔如图〕:五、平面内点的坐标：〔横坐标，纵坐标〕如图：过点P 作x 轴的垂线段，垂足在x 轴上表示的数是2，因此点P 的横坐标为 2 过点P 作y 轴的垂线段，垂足在y 轴上表示的数是3，因此点P 的纵坐标为 3 所以点P 的坐标为〔2 , 3〕 六、平面内特殊位置的点的坐标情况：〔连线〕第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 x 轴上 y 轴上 〔- ，-〕 〔- ，+〕 〔+ ，+〕 〔+ ，-〕 〔0 ，a 〕 (b , 0) 七、点的表示〔横坐标，纵坐标〕注意： ①不要丢了括号和中间的逗号；②表示的意思：当___x =时，___y =如点A 〔2，1〕 表示：当2x =时，1y =③注意x 轴上点的特征：(___,0)即纵坐标等于0;y 轴上点的特征：(0,___)即：横坐标等于0。
概括：坐标轴上的点的横坐标和纵坐标至少有一个为0。
八、对称点的坐标关系：⑴关于x 轴对称的点：横坐标 ，纵坐标 。
y xO 第四象限第三象限第二象限第一象限⑵关于y 轴对称的点：横坐标 ，纵坐标 。
⑶关于原点对称的点：横坐标 ，纵坐标 。
一次函数及其图像知识点总结
第一节：函数一、知识归纳函数的概念一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y 是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
函数的三种表达式：（1）图象；（2）表格；（3）关系式。
要使函数的解析式有意义。
函数的解析式是整式时，自变量可取全体实数；②函数的解析式是分式时，自变量的取值应使分母≠0；③函数的解析式是二次根式时，自变量的取值应使被开方数≥0。
④函数的解析式是三次根式时，自变量的取值应是一切实数。
（2）对于反映实际问题的函数关系，应使实际问题有意义。
4 常见函数关系式几何物理生活二、经典题型题型考点一求简单的函数关系式，识别自变量与因变量，给定自变量的值，相应地会求出函数的值。
例1.某市自来水公司为限制单位用水，每月只给某单位计划内用水300吨，计划内用水每吨收费0.5元，超计划部分每吨按0.8元收费。
⑴写出该单位水费y(元)与每月用水量x(吨)之间的函数关系式：①用水量小于等于3000吨；②用水量大于3000吨。
⑵某月该单位用水3200吨，水费是元；若用水2800吨，水费元。
⑶若某月该单位缴纳水费1540元，则该单位用水多少吨？参考答案：(1)y=0.5 x 、y=1500＋0.8(x－3000)(2)1660 1400(3) 3050例2.函数是研究( )A．常量之间的对应关系的B．常量与变量之间的对应关系的C．变量与常量之间对应关系的Ｄ．变量之间的对应关系的题型考点二确定函数的自变量取值范围，例1 ．（2010四川凉山）在函数121xyx+=-中，自变量x的取值范围是____题型考点三能根据实际问题的意义以及函数关系式，确定函数图像例1、某游客为爬上3千米高的山顶看日出，先用了1小时爬了2千米，休息0.5小时后，又用了1小时爬上了山顶。
游客爬山所用时间t与登山高度h间的函数关系用图形表示是（）第二节一次函数一、知识归纳知识点一：一次函数的定义函数y=______(k、b为常数，k_____,自变量x的次数是U__ _U次)叫做一次函数.知识点二：正比例函数的定义当b_____时，函数y=_____ (k______,比例系数U____)叫做正比例函数.知识点三：一次函数与正比例函数的异同（1）一次函数y=kx+b的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b，它可以看作由直线y=kx平移b绝对值个单位长度而得到（当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移）。
高中所有函数图像及其性质知识点
高中函数的全部总结一次函数一、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b则此时称y是x的一次函数。
特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。
即：y=kx （k为常数，k≠0）二、一次函数的性质：1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即：y=kx+b （k为任意不为零的实数b取任何实数）2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
三、一次函数的图像及性质：1．作法与图形：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。
因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。
（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。
（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。
3．k，b与函数图像所在象限：当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
当b＞0时，直线必通过一、二象限；当b=0时，直线通过原点当b＜0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。
这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。
四、确定一次函数的表达式：已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。
（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。
（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。
所以可以列出2个方程：y1=kx1+b ……①和y2=kx2+b ……②（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。
（4）最后得到一次函数的表达式。
五、一次函数在生活中的应用：1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。
s=vt。
2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。
数学函数图像知识点总结
数学函数图像知识点总结函数是数学中的一个重要概念，通过函数可以描述各种现象和规律。
函数图像是函数的图形表示，通过函数图像可以直观地理解函数的性质和行为。
在学习数学函数图像时，我们需要掌握一些重要的知识点，包括函数的定义、基本函数图像、函数的性质、函数图像的变换等内容。
本文将围绕这些知识点展开详细的介绍。
一、函数的定义1.1 函数的定义在数学中，函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每一个元素都对应到另一个集合中的唯一元素。
通俗的讲，函数就是一种映射关系，将自变量映射到因变量。
函数的定义可以用一个公式、图形或者文字描述。
函数通常用f(x)或者y来表示，其中x是自变量，y是因变量。
函数的一般表示形式为y=f(x)，其中f表示函数名，x表示自变量，y表示因变量。
1.2 函数的性质函数有许多重要的性质，包括定义域、值域、奇偶性、周期性等。
在图像中，这些性质通常能够直观地表现出来。
- 定义域：函数的自变量的取值范围称为函数的定义域。
在函数图像上，定义域通常可以通过图形的横坐标范围来表示。
- 值域：函数的因变量的取值范围称为函数的值域。
在函数图像上，值域通常可以通过图形的纵坐标范围来表示。
- 奇偶性：函数的奇偶性是指函数图像关于y轴对称还是关于原点对称。
奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
- 周期性：具有周期性的函数在一定的距离内重复出现相似的图像。
周期函数的图像通常具有明显的重复性特征。
1.3 常见的基本函数在函数图像中，一些基本函数的图像具有重要的参考意义，这些函数包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
- 线性函数：线性函数的图像是一条直线，具有固定的斜率和截距。
- 二次函数：二次函数的图像是一个抛物线，具有一个顶点。
- 指数函数：指数函数的图像是以底数为底的指数幂函数，具有快速增长或者快速衰减的特点。
- 对数函数：对数函数的图像是以底数为底的对数函数，具有反映增长速度缓慢的特点。
二次函数图象和性质知识点总结
二次函数的图象和性质知识点总结一、知识点回顾1. 二次函数解析式的几种形式：①一般式：（a 、b 、c 为常数，a ≠0） ②顶点式：（a 、h 、k 为常数，a ≠0），其中（h ，k ）为顶点坐标。
③交点式：，其中是抛物线与x 轴交点的横坐标，即一元二次方程的两个根，且a ≠0，（也叫两根式）。
2. 二次函数的图象 ①二次函数的图象是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线，几个不同的二次函数，如果a 相同，那么抛物线的开口方向，开口大小（即形状）完全相同，只是位置不同。
②任意抛物线可以由抛物线经过适当的平移得到，移动规律可简记为：[左加右减，上加下减]，具体平移方法如下表所示。
③在画的图象时，可以先配方成的形式，然后y ax bx c =++2y a x h k =-+()2y a x x x x =--()()12x x 12，ax bx c 20++=y ax bx c =++2y ax bx c =++2y a x h k =-+()2y ax =2y ax bx c =++2y a x h k =-+()2将的图象上（下）左（右）平移得到所求图象，即平移法；也可用描点法：也是将配成的形式，这样可以确定开口方向，对称轴及顶点坐标。
然后取图象与y 轴的交点（0，c ），及此点关于对称轴对称的点（2h ，c ）；如果图象与x 轴有两个交点，就直接取这两个点（x 1，0），（x 2，0）就行了；如果图象与x 轴只有一个交点或无交点，那应该在对称轴两侧取对称点，（这两点不是与y 轴交点及其对称点），一般画图象找5个点。
3. 二次函数的性质y ax =2y ax bx c =++2y a x h k =-+()24. 求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法①配方法：将解析式化为的形式，顶点坐标为（h ，k ），对称轴为直线，若a ＞0，y 有最小值，当x ＝h 时，；若a ＜0，y 有最大值，当x ＝h 时，。
高一数学函数图像知识点总结
高一数学函数图像知识点总结一、函数图像知识点汇总1．函数图象的变换1平移变换①水平平移：y＝fx±aa＞0的图象,可由y＝fx的图象向左＋或向右－平移a个单位而得到．②竖直平移：y＝fx±bb＞0的图象,可由y＝fx的图象向上＋或向下－平移b个单位而得到．2对称变换①y＝f－x与y＝fx的图象关于y轴对称．②y＝－fx与y＝fx的图象关于x轴对称．③y＝－f－x与y＝fx的图象关于原点对称．由对称变换可利用y＝fx的图象得到y＝|fx|与y＝f|x|的图象．①作出y＝fx的图象,将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到上方,其余部分不变,得到y＝|fx|的图象；②作出y＝fx在y轴上及y轴右边的图象部分,并作y轴右边的图象关于y轴对称的图象,即得y＝f|x|的图象．3伸缩变换①y＝afxa＞0的图象,可将y＝fx图象上每点的纵坐标伸a＞1时或缩a＜1时到原来的a倍,横坐标不变．②y＝faxa＞0的图象,可将y＝fx的图象上每点的横坐标伸a＜1时或缩a＞1时到原来的倍,纵坐标不变．4翻折变换①作为y＝fx的图象,将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到上方,其余部分不变,得到y＝|fx|的图象；②作为y＝fx在y轴上及y轴右边的图象部分,并作y轴右边的图象关于y轴对称的图象,即得y＝f|x|的图象．2．等价变换可看出函数的图象为半圆．此过程可归纳为：1写出函数解析式的等价组；2化简等价组；3作图．3．描点法作图方法步骤：1确定函数的定义域；2化简函数的解析式；3讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值甚至变化趋势；4描点连线,画出函数的图象．注意：一条主线数形结合的思想方法是学习函数内容的一条主线,也是高考考查的热点．作函数图象首先要明确函数图象的形状和位置,而取值、列表、描点、连线只是作函数图象的辅助手段,不可本末倒置．两个区别1一个函数的图象关于原点对称与两个函数的图象关于原点对称不同,前者是自身对称,且为奇函数,后者是两个不同的函数对称．2一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称也不同,前者也是自身对称,且为偶函数,后者也是两个不同函数的对称关系．三种途径明确函数图象形状和位置的方法大致有以下三种途径．1图象变换：平移变换、伸缩变换、对称变换．2函数解析式的等价变换．3研究函数的性质．二、例题解析三、复习指导函数图象是研究函数性质、方程、不等式的重要工具,是数形结合的基础,是高考考查的热点,复习时,应重点掌握几种基本初等函数的图象,并在审题、识图上多下功夫,学会分析“数”与“形”的结合点,把几种常见题型的解法技巧理解透彻。
函数图像及知识点总结
函数图像及知识点总结本文将首先介绍函数的概念，接着讨论函数图像的基本特征和性质，然后给出一些常见的函数图像和它们的性质分析，最后总结本文的内容。
一、函数的概念在代数学中，函数是一种对应关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。
具体地说，一个函数 f 是一个规则，它将集合 A 中的每个元素 x 映射到集合 B 中的一个元素f(x) 上。
其中，集合 A 被称为函数的定义域，集合 B 被称为函数的值域。
如果对于定义域A 中的每个元素 x，都有一个唯一的值 f(x) 与之对应，那么函数 f 是一一对应的，否则称为多对一的。
函数可以用多种方式来表示，比如用代数式、图表、表格或者用文字描述。
在本文中，我们将主要讨论函数图像的性质和特点。
二、函数图像的基本特征和性质在直角坐标系中，函数 f 的图像是它的定义域的点在坐标系中的表示，即点 (x, f(x))。
函数图像的基本特征和性质可以通过其图像的形状和位置来描述。
1. 函数的增减性和极值对于函数 f，如果在定义域的某个区间上，当 x1 < x2 时有 f(x1) < f(x2)，那么称函数 f 在该区间上是增加的；如果在该区间上，当 x1 < x2 时有 f(x1) > f(x2)，那么称函数 f 在该区间上是减少的。
极值是函数图像中的最高点或最低点，它们可以通过导数或者图像来求得。
2. 函数的奇偶性如果对于函数 f 的所有 x 都有 f(-x) = f(x)，那么称函数 f 是偶函数；如果对于函数 f 的所有x 都有 f(-x) = -f(x)，那么称函数 f 是奇函数。
3. 函数的周期性如果存在一个正数 T，使得对于函数 f 的所有 x 都有 f(x+T) = f(x)，那么称函数 f 是周期函数，其中 T 被称为函数 f 的周期。
4. 函数的对称性如果函数图像关于某个点对称，那么称函数具有对称性。
常见的对称性有关于 x 轴、y 轴和原点的对称性。
七年级数学上第一单元知识点归纳
一、函数及其图像
1、函数的定义：函数是指满足一定规律的因变量之间的关系，可以
用符号表示，函数规定了特定输入和特定输出之间的对应关系。
2、函数的特征：
（1）函数必须包含两个变量，分别称为自变量x和因变量y；
（2）同一个自变量只能有一个因变量；
（3）对于每一个自变量x，y都是定义好的，一一对应。
3、函数的表示形式：
（1）方程形式：y=f(x)；
（2）图象形式：用一个曲线作图表示函数的关系，这样的曲线叫函
数图像。
4、函数的分类：
（1）一次函数：一次函数的函数表达式中，不含有自变量的平方及
其高次幂项，如y=2x+3；
（2）二次函数：二次函数的函数表达式中，自变量的最高次幂为2，如y=2x2-3x+1；
（3）多项式函数：多项式函数的函数表达式可以分解为多个不同幂
次的多项式的乘积，如y=2x3+3x2-x-5；
（4）根式函数：根式函数的函数表达式中含有根号，如y=2√x+3；
（5）指数函数：指数函数的函数表达式中含有指数，如y=2x-2；
（6）对数函数：对数函数的函数表达式中含有对数，如 y=3log2x+1 5、函数图像的性质：
（1）函数图像是一条曲线，图像上的每一点都可以表示成一对数字，其中一个是自变量x。
函数及其图像总结知识点
函数及其图像总结知识点函数的图像是函数表示的一种形式，它是函数在坐标系中的图形表示。
函数的图像可以帮助我们更直观地理解函数的特点和性质。
在学习函数的过程中，函数的图像是一个非常重要的知识点。
本文将总结函数的相关知识点，以帮助读者更好地掌握这一重要的数学概念。
一、函数的定义在数学中，函数是一种特殊的关系。
如果存在一种依赖关系，使得除了x以外，对每个x都只有唯一的y和y唯一对应某个x，那么就称这种依赖关系为函数。
函数的符号表示通常是f(x)或者y=f(x)，其中x为自变量，y为因变量。
函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数的输出范围。
二、常见函数1. 线性函数：y=ax+b，其中a和b为常数。
线性函数的图像是一条直线，斜率a决定了直线的斜率，常数b决定了直线的截距。
线性函数是最简单的函数之一，它们在数学建模中有着广泛的应用。
2. 二次函数：y=ax^2+bx+c，其中a、b和c为常数且a不等于0。
二次函数的图像是一条抛物线，开口向上或向下取决于a的正负。
二次函数在物理学、工程学等领域有着重要的应用。
3. 指数函数：y=a^x，其中a为正实数且不等于1。
指数函数的图像是一条逐渐增长或逐渐减小的曲线。
指数函数在自然科学和经济学中有着广泛的应用。
4. 对数函数：y=loga(x)，其中a为正实数且不等于1。
对数函数的图像是一条渐进线，对数函数能够将指数函数的性质转化为更容易理解的形式。
5. 三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
三角函数在物理学、工程学和天文学中有着重要应用。
以上函数是常见的、在数学教育中重点研究的函数。
这些函数具有各自的特点和性质，通过学习这些函数，我们可以更好地理解数学中的各种问题，并且为进一步学习高等数学课程打下扎实的基础。
三、函数的性质1. 奇函数和偶函数：奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。
通过奇偶函数的性质，我们可以推导出一系列关于函数图像的对称性质，以及某些函数值的简化表示。
函数及其图像知识点归纳总结
华师大版八年级数学下《函数及其图像》知识点归纳一．变量与函数1 ．函数的定义：一般的，在某个变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个数值y都有唯一的值与之对应，我们说x叫做自变量，y叫做因变量，y叫做x的函数。
2．自变量的取值范围：（1）能够使函数有意义的自变量的取值全体。
（2）确定函数自变量的取值范围要注意以下两点：一是使自变量所在的代数式有意义；二是使函数在实际问题中有实际意义。
（3）不同函数关系式自变量取值范围的确定：①函数关系式为整式时自变量的取值范围是全体实数。
②函数关系式为分式时自变量的取值范围是使分母不为零的全体实数。
③函数关系式为二次根式时自变量的取值范围是使被开方数大于或等于零的全体实数。
3 ．函数值：当自变量取某一数值时对应的函数值。
这里有三种类型的问题：（1）当已知自变量的值求函数值就是求代数式的值。
（2）当已知函数值求自变量的值就是解方程。
（3）当给定函数值的一个取值范围，欲求自变量的取值范围时实质上就是解不等式或不等式组。
二．平面直角坐标系：1．各象限内点的坐标的特征：（1）点p（x,y）在第一象限→x＞0,y＞0.（2）点p（x,y）在第二象限→x＜0,y＞0.（3）点p（x,y）在第三象限→x＜0,y＜0（4）点p（x,y）在第四象限→x＞0,y＜0.2 ．坐标轴上的点的坐标的特征：（1）点p （x,y ）在x 轴上→x 为任意实数，y=0（2）点p （x,y ）在y 轴上→x=0,y 为任意实数3 ．关于x 轴，y 轴，原点对称的点的坐标的特征：（1）点p （x,y ）关于x 轴对称的点的坐标为（x,-y ）.（2）点p （x,y ）关于y 轴对称的点的坐标为（-x,y ）.（3）点p （x,y ）关于原点对称的点的坐标为（-x,-y ）4 ．两条坐标轴夹角平分在线的点的坐标的特征：（1）点p （x,y ）在第一、三象限夹角平分在线→x=y .（2）点p （x,y ）在第二，四象限夹角平分在线→x+y=05．与坐标轴平行的直线上的点的坐标的特征：（1）位于平行于x 轴的直线上的所有点的纵坐标相同。
函数及其图像一知识点与对应习题
一、 考点分析及例析 一、函数及直角坐标系 1. 变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量，取值始终保持不变的量，称为常量。
2005年10月17日凌晨4时33分，神州六号在内蒙古四子王旗成功着陆。
在着陆前的最后48分时间内，它是在耐高温表层的保护下，以７８００米／秒的速度冲入100千米厚的地球大气层。
在空气阻力的作用下，它在距地球表面10千米左右时，以１８０米／秒的速度下降 ，此时直径20多米的降落伞自动打开。
在上述过程中,你能说出哪些变量和常量?2. 函数的概念如果在一个变化过程中，有两个变量，例如x 和y ，对于x 的每一个值，y 都有的唯一值与之对应，我们就说x 是自变量，y 是因变量。
此时我们也称y 是x 的函数。
1、函数y =x 的取值范围是 （ ）（A ）3x > （B ）3x ≥- （C ）3x >- （D ）3x ≥ 2、在函数y =x 的取值范围是 。
3. 函数关系式的表示表示函数关系的方法通常有三种：解析法、列表法、图象法。
其中解析法是最常见的表示方法。
1、设一长方体盒子高20cm ，底面是正方形；则这个长方体盒子的体积V(cm 3)与底面边长a(cm)之间的函数关系式为 ，自变量的取值范围是 。
4.平面直角坐标系的概念在平面上画两条原点重合，互相垂直且具有相同单位长度的数轴，这就建立了平面直角坐标系，其中水平的一条数轴叫做x 轴或者横轴，取向右为正方向；垂直的数轴叫做y 轴或者纵轴，取向上为正方向;两数轴的交点O 叫做坐标原点。
1、在平面直角坐标系内，下面说法错误的是 （ ） （A ）原点O 在坐标平面内（B ）原点既在X 轴上，又在Y 轴上 （C ）原点O 不在任何象限内 （D ）原点O 的坐标是O5.平面直角坐标系上的点在平面直角坐标系中的点和有序实数对是一一对应的。
提示：在平面直角坐标系中的任一个点一定对应着一对有序实数，反之，一对有序实数也一定对应着一个点。
函数及其图像知识点总结
函数及其图像知识点总结
导数、函数的图像、微分的概念是微积分的重要知识点，下面对函数及其图像知识点进行总结。
导数
在微积分中，导数是用来描述函数变化率的概念。
如果一个函数y=f(x)在x=x0处有导数f'(x0)，那么f'(x0)表示了函数f(x)在x=x0处的变化率。
导数也可以解释为函数在某一点的切线的斜率。
对于一个函数y=f(x)，其导数可以用极限的方式来定义：
\[ f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \]
函数的图像
函数的图像是描述函数y=f(x)在坐标系中的关系的一种形象化表示。
函数的图像通常以曲线的形式呈现，曲线上的每个点(x,y)表示函数在自变量x取值为x时对应的函数值y。
函数的图像可以用各种方式来描述，比如使用表格、方程、图表等。
函数的图像是帮助我们直观理解函数性质的重要工具。
微分
微分是导数的一个重要应用，它用来描述函数的局部线性近似。
如果一个函数y=f(x)在
x=x0处可微，则存在一个线性函数y=l(x)和一个小量ε，使得当x足够接近x0时有
\[ f(x)=l(x)+ε \]
其中l(x)即为函数y=f(x)在x=x0处的切线方程，而ε则表示了函数f(x)和切线l(x)之间的误差。
微分的概念可以帮助我们更好地理解函数在某一点的性质。
综上所述，导数、函数的图像、微分是微积分中关于函数及其图像的重要知识点。
它们帮助我们理解函数的变化率、形状以及局部线性近似等性质，对于理解函数的行为和性质都起着至关重要的作用。
函数及其图像复习知识点归纳(初二)
一、知识点：〈一〉 平面直角坐标系1、 各象限内点的坐标特征2、 坐标轴上的点不属于任何一个象限例：（太原）在平面直角坐标系中，点P )2,1(a a -+在第四象限，求a 的取值范围。
3、 平面直角坐标系中点的坐标的对称（中考常考）思路：关于x 轴对称点的坐标有什么特征？关于y 轴对称点的坐标有什么特征？关于原点对称点的坐标有什么特征？例：点P )4,3(-关于原点对称的点的坐标是 ；此对称点到原点的距离是 。
例：在平面直角坐标系中，第一、三象限角平分线所在直线的函数关系式是 ；第二、四象限角平分线所在直线的函数关系式是 。
4、 图形的平移与坐标的变化（近几年的中考有上升趋势）〈二〉 正比例函数、一次函数1、 定义一次函数：)0(≠+=k b kx y 正比例函数：)0(≠=k kx y图象：一条直线（故一次函数)0(≠+=k b kx y 也叫直线)0(≠+=k b kx y ）2、图象的性质：（由系数k 与b 决定）k ：决定图象上升（或下降）的趋势〈即y 随x 的变化情况〉b ：决定图象与y 轴的交点位置（纵截距）3、一次函数：)0(≠+=k b kx y 的几种大致图象（共6种）例：函数b kx y +=的图象大致如右，则（ ）A 0,0>>b kB 0,0<>b kC 0,0><b kD 0,0<<b k例：请写出一个一次函数，使它的图象不经过第一象限，该表达式可以是 。
（满足条件k<0, b<0即可）4、一次函数表达式的确定方法：待定系数法 依据：两点确定一条直线例：已知一次函数的图象经过A )3,1(),3,2(B --两点。
（1）求这个一次函数的表达式； （2）试判断点P )1,1(-是否在这个一次函数的图象上？y x o（在求系数k 与b 时，可用简便方法）5、 一次函数图象性质的运用〈三〉 反比例函数1、 定义及表达式：xk y = k xy = 1-=kx y )0(≠k 学会灵活运用上面三种表达式例：已知反比例函数的图象经过点（2，3），则这个反比例函数的表达式是 。
函数及图像的知识点总结
函数及图像的知识点总结函数是数学中的一个重要概念，也是数学分析和高等代数的基础内容。
在数学中，函数是一种对应关系，可以简单的理解为一种特殊的映射关系，将一个变量的取值映射到另一个变量的取值。
在数学中，通常用f(x)来表示一个函数，其中x是自变量，f(x)是函数的因变量。
函数的定义：在数学中，函数是一个对应关系，它将一个或多个输入值映射到一个输出值。
函数通常用一个算式或图形来表示。
函数可以用以下的方式表示：f：A→B其中，A是函数的定义域，B是函数的值域。
定义域表示函数的输入值的集合，值域表示函数的输出值的集合。
函数的定义域和值域决定了函数的有效输入和输出的范围。
函数的图像：函数的图像是函数在平面直角坐标系中的图形，通常用函数的定义域和值域的点来表示。
函数的图像可以用直线、曲线或点来表示。
通过函数的图像可以直观地看出函数的性质和特点。
常见的函数类型：1. 线性函数：线性函数是指函数的图像是一条直线。
线性函数的一般形式为f(x) = ax + b，其中a和b为常数，a称为斜率，b称为截距。
线性函数的图像是一条斜率为a，截距为b的直线。
2. 二次函数：二次函数是指函数的图像是一条抛物线。
二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数。
二次函数的图像是一条开口的抛物线，开口的方向由二次项的系数a的正负决定。
3. 指数函数：指数函数是指函数的自变量为指数的函数。
指数函数的一般形式为f(x) =a^x，其中a为常数且a>0，a不等于1。
指数函数的图像是一条递增或递减的曲线，曲线的斜率由底数a的大小和正负决定。
4. 对数函数：对数函数是指函数的自变量为对数的函数。
对数函数的一般形式为f(x) =log_a(x)，其中a为常数且a>0，a不等于1。
对数函数的图像是一条递增或递减的曲线，曲线的斜率由底数a的大小和正负决定。
函数的性质：1. 定义域和值域：函数的定义域和值域决定了函数的有效输入和输出的范围。
初中数学函数知识点总结(定义、性质和图像)
函数知识点总结(掌握函数的定义、性质和图像)平面直角坐标系1、定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系2、各个象限内点的特征:第一象限：（+，+） 第二象限：（-，+） 第三象限：（-，-） 第四象限：（+，-）3、坐标轴上点的坐标特征：x 轴上的点，y 为零；y 轴上的点，x 为零；原点的坐标为（0 , 0）。
4、点的对称特征：已知点P(m,n),关于x 轴的对称点坐标是(m,-n), 横坐标相同，纵坐标反号 关于y 轴的对称点坐标是(-m,n) 纵坐标相同，横坐标反号 关于原点的对称点坐标是(-m,-n) 横，纵坐标都反号 5、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征：平行于x 轴的直线上的任意两点：纵坐标相等； 平行于y 轴的直线上的任意两点：横坐标相等。
6、各象限角平分线上的点的坐标特征：第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。
第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。
7、点P （x,y ）的几何意义：点P （x,y ）到x 轴的距离为 |y|，点P （x,y ）到y 轴的距离为 |x|。
点P （x,y ）到坐标原点的距离为22y x +8、两点之间的距离：X 轴上两点为A )0,(1x 、B )0,(2x |AB|||12x x -= Y 轴上两点为C ),0(1y 、D ),0(2y |CD|||12y y -=已知A ),(11y x 、B ),(22y x AB|=212212)()(y y x x -+-9、中点坐标公式：已知A ),(11y x 、B ),(22y x M 为AB 的中点,则：M=(212x x + , 212y y +) 10、点的平移特征： 在平面直角坐标系中，将点（x,y ）向右平移a 个单位长度，可以得到对应点（ x-a ，y ）； 将点（x,y ）向左平移a 个单位长度，可以得到对应点（x+a ，y ）； 将点（x,y ）向上平移b 个单位长度，可以得到对应点（x ，y ＋b ）； 将点（x,y ）向下平移b 个单位长度，可以得到对应点（x ，y －b ）。
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华师大版八年级数学下《函数及其图像》知识点归纳一．变量与函数1 ．函数的定义：一般的，在某个变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个数值y都有唯一的值与之对应，我们说x叫做自变量，y叫做因变量，y叫做x的函数。
2．自变量的取值范围：（1）能够使函数有意义的自变量的取值全体。
（2）确定函数自变量的取值范围要注意以下两点：一是使自变量所在的代数式有意义；二是使函数在实际问题中有实际意义。
（3）不同函数关系式自变量取值范围的确定：①函数关系式为整式时自变量的取值范围是全体实数。
②函数关系式为分式时自变量的取值范围是使分母不为零的全体实数。
③函数关系式为二次根式时自变量的取值范围是使被开方数大于或等于零的全体实数。
3 ．函数值：当自变量取某一数值时对应的函数值。
这里有三种类型的问题：（1）当已知自变量的值求函数值就是求代数式的值。
（2）当已知函数值求自变量的值就是解方程。
（3）当给定函数值的一个取值范围，欲求自变量的取值范围时实质上就是解不等式或不等式组。
二．平面直角坐标系：1．各象限内点的坐标的特征：（1）点p（x,y）在第一象限→x＞0,y＞0.（2）点p（x,y）在第二象限→x＜0,y＞0.（3）点p（x,y）在第三象限→x＜0,y＜0（4）点p（x,y）在第四象限→x＞0,y＜0.2 ．坐标轴上的点的坐标的特征：（1）点p（x,y）在x轴上→x为任意实数，y=0（2）点p（x,y）在y轴上→x=0,y为任意实数3 ．关于x轴，y轴，原点对称的点的坐标的特征：（1）点p（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,-y）.（2）点p（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（-x,y）.（3）点p（x,y）关于原点对称的点的坐标为（-x,-y）4 ．两条坐标轴夹角平分在线的点的坐标的特征：（2）点p （x,y ）在第二，四象限夹角平分在线→x+y=05．与坐标轴平行的直线上的点的坐标的特征：（1）位于平行于x 轴的直线上的所有点的纵坐标相同。
（2）位于平行于y 轴的直线上的所有点的横坐标相同。
6．点到坐标轴及原点的距离：（1）点p （x,y ）到轴的距离为 ｜y ︱.（2）点p （x,y ）到y 轴的距离为∣x ∣.（3）点p （x,y ）到原点的距离为22y x（4）同在x 轴上的两点A （x 1,0）与B （x 2,0）之间的距离为AB=|x 1-x 2|（5）同在y 轴上的两点C （0,y 1）与D （0,y 2）之间的距离为CD=|y 1-y 2|三．函数的图像函数图像上的点与其解析式的关系1．函数图像上任意一点p ﹙x,y ﹚中的x 、y 满足函数关系式，满足函数关系式的一对对应值﹙x,y ﹚都在函数的图像上。
2．判断点p ﹙x,y ﹚是否在函数图像上的方法，将这个点的坐标 ﹙x,y ﹚代入函数关系式，如果满足函数关系式，那么这个点就在函数的图像上，如果不满足函数关系式，那么，这个点就不在函数的图像上。
四．一次函数（一） 一次函数的定义1．定义:含有自变量的式子为一次整式，即形如式子y ＝kx+b(其中k 和b 为常数，k ≠0)叫做一次函数。
正比例函数：在一次函数y=kx+b 中如果b=0即变为y=kx(其中k ≠0)，这样的函数叫做正比例函数。
2．注意：（1）由一次函数和正比例函数的定义可知;① 函数是一次函数→解析式为y ＝kx+b 的形式。
② 函数是正比例函数→解析式为y=kx 的形式。
（2）一次函数解析式y=kx+b 的结构特征：① k ≠0 ②x 的次数是1 ③常数b 为任意实数（3）正比例函数解析式y=kx 的结构特征① k ≠0 ②x 的次数是1 ③常数b=03．说明：在y=kx+b 中若k=0则y=b ﹙b 为常数﹚这样的函数叫做常数函数，它不是一次函数。
4．正比例函数与一次函数的关系：正比例函数是一次函数的特例，一次函数包含正比例函数。
一次函数y=kx+b ，当b=0时为正比例函数一次函数y=kx+b ，当b ≠0时一般的一次函数（二） 一次函数的图像1．一次函数图像的形状：一次函数y=kx+b 的图像是一条直线，通常称为直线y=kx+b正比例函数y=kx 的图像也是一条直线，称为直线y=kx2．一次函数图像的主要特点:一次函数y=kx+b 的图像经过点﹙0，b ﹚的直线，正比例函数y=kx+b 的图像是经过原点﹙0，0﹚的直线 注意：点﹙0，b ﹚是直线y=kx+b 与y 轴的交点。
① 当b ＞0时，此时交点在y 轴的正半轴上，② 当b ＜0时，此时交点在y 轴的负半轴上，③ 当b=0时，此时交点在原点，这时的一次函数就是正比例函数。
3．一次函数图像的画法：根据两点能画一条直线并且只能画一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图像时，只要先描出两点，在连成直线即可。
那么，先描出哪两点比较好呢？选两点应以计算和描点简单为原则，一般来说，当b ≠0时，一般的一次函数y=kx+b 的图像，应选取它与两个坐标轴的交点﹙0，b ﹚与﹙-kb ,0﹚；当b=0时，画正比例函数y=kx 的图像，通常取﹙0，0﹚与﹙1，k ﹚两点，个别情况下可以做些变通，例如画函数y=32x 的图像，可以取﹙0，0﹚与﹙1，32﹚两点，也可以取﹙0，0﹚与﹙3，2﹚两点。
4．直线y=kx+b 与坐标轴的交点（1） 令x=0,则y=b 所以直线y=kx+b 与y 轴的交点坐标为﹙0，b ﹚（2） 令y=0,则kx+b=0所以x=-kb 所以直线y=kx+b 与x 轴的交点坐标为﹙-k b ,0﹚注意：此时直线y=kx+b 与x 轴，y 轴围成的三角形面积S=21×∣-kb ∣×∣b ∣ 5．两直线在直角坐标系内的位置关系:（1）两直线的解析式中当k 相同时，其位置关系是平行，其中一条直线可以看作是另一条平移得到的，平移规律是“左减右加，上加下减”（2）两直线的解析式中当b相同时，其位置关系是相交，交点坐标为﹙0，b﹚.（三）一次函数的性质1．正比例函数的性质（1）当k＞0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大，直线y=kx从左到右上升。
（2）当k＜0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小，直线y=kx从左到右下降。
2．一次函数y=kx+b的性质（1）当k＞0时，直线y=kx+b从左到右上升，此时y随x的增大而增大。
（2）当k＜0时，直线y=kx+b从左到右下降，此时y随x的增大而减小。
（3）当b＞0时，直线y=kx+b与y轴正半轴相交。
（4）当b＜0时，直线y=kx+b与y轴负半轴相交。
3．直线y=kx+b的位置与k、b的符号之间的关系直线y=kx+b的位置是由k与b的符号决定的，其中k决定直线从左到右呈上升趋势还是下降趋势，b决定直线与y轴交点的位置是在y轴的正半轴，还是负半轴，还是原点。
k和b综合起来决定直线y=kx+b在直角坐标系中的位置共有六种情况：①当k＞0，b＞0时，直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限；②当k＞0，b＜0时，直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限；③当k＜0， b＞0时，直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限；④当k＜0，b＜0时，直线经过第二、三、四象限，不经过第一象限；⑤当k＞0，b=0时，直线经过第一、三象限；⑥当k＜0，b=0时，直线经过第二、四象限。
（四）正比例函数与一次函数解析式的确定1．确定一个正比例函数就是要确定正比例函数解析式y=kx﹙k≠0﹚中的常数k;确定一个一次函数需要确定一次函数解析式一般形式y=kx+b﹙k≠0﹚中的常数k和b,解这类问题的一般方法是待定系数法。
2．待定系数法：先设出待求函数关系式﹙其中含有未知的系数﹚，再根据已知条件列出方程或方程组，求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法。
其中的未知系数也称待定系数，如正比例函数y=kx中的k，一次函数y=kx+b中的k和b都是待确定的系数。
3．用待定系数法求函数解析式的一般步骤：（1）设出含有待定系数的解析式；（2）把已知条件﹙自变量与函数的对应值﹚代入解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；（3）解方程或方程组，求出待定系数；（4）将求得的待定系数的值代回所设的解析式。
注意：通常正比例函数解析式设y=kx ，只有一个待定系数k ，一般只需一对x 与y 的对应值即可；一次函数解析式设y=kx+b ，其中有两个待定系数k 和b ，因而需要两对x 与y 的对应值，才能求出k 和b 的值。
五．反比例函数（一）反比例函数定义1．一般的，函数y=xk ﹙k 是常数，k ≠0﹚叫做反比例函数，反比例函数的解析式也可以写成y=kx -1的形式，其中k 叫做比例系数。
2．反比例函数解析式的主要特征：（1）等号左边是函数y,右边是一个分式，分子是不为零的常数k,分母中含有自变量x,且x 的指数是1，若写成y=kx -1的形式，则x 的指数是-1。
（2）比例系数“k ≠0”是反比例函数定义的重要组成部分。
（3）自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数。
（二）反比例函数的图像反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限，它们关于原点成中心对称。
由于反比例函数中自变量x ≠0，函数y ≠0，所以它的图像与x 轴和y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。
（三）反比例函数的性质1．当k ＞0时，图像在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左到右下降，也就是在每个象限内y 随x 的增大而减小。
2．当k ＜0时，图像在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左到右上升，也就是在每个象限内y 随x 的增大而增大。
（四）反比例函数解析式的确定确定解析式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数y=xk 中只有一个待定系数，因此只需要一对x 与y 的对应值或图像上一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式。
（五）“反比例关系”与“反比例函数”的区别与联系反比例关系是小学学过的概念：如果xy=k ﹙k 是常数k ≠0﹚，那么x 与y 这两个量成反比例关系，这里x 与y 既可以代表单独的一个字母也可以代表多项式或单项式，例如y+3与x 成反比例则有y+3=x k ,y 与x ²成反比例，则y=2x k ,成反比例关系不一定是反比例函数，但是反比例函数y=x k 中的两个变量必定成反比例关系。
（六）反比例函数y=xk ﹙k ≠0﹚中的比例系数k 的几何意义 1．如图，过双曲线上一点作x 轴、y 轴的垂线PM 、PN,所得矩形PMON 面积为|k|。
2．连结PO,则S △POM=21S 矩形=21|k|。
六． 函数的应用1．利用图像比较两个函数值的大小在同一直角坐标系中的两个函数图像，如果其中一个函数的图像在另一个函数图像的上方，则该函数值就比另一个函数值大，若在下方，则该函数值就比另一个函数值小，而其交点的横坐标就是分界点。