2020届高三数学天一大联考阶段性测试试题理[附答案]
天一大联考2020年高中毕业班阶段性测试(五)理科数学试题-含答案
绝密★启用前天一大联考2020年高中毕业班阶段性测试(五)理科数学试题考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的。
1.已知集合A＝{－1，1，2，3，5}，B＝{x∈N|1<x<log220}，则A∩B＝A.{3}B.{2，3}C.{2，3，5}D.{－1，1，5}2.已知复数z＝512i＋i，则z的共轭复数为A.1＋3iB.1－3iC.－1＋3iD.－1－3i3.某公司以客户满意为出发点，随机抽选2000名客户，以调查问卷的形式分析影响客户满意度的各项因素。
每名客户填写一个因素，下图为客户满意度分析的帕累托图。
帕累托图用双直角坐标系表示，左边纵坐标表示频数，右边纵坐标表示频率，分析线表示累计频率，横坐标表示影响满意度的各项因素，按影响程度(即频数)的大小从左到右排列，以下结论正确的个数是①35.6%的客户认为态度良好影响他们的满意度；②156位客户认为使用礼貌用语影响他们的满意度；③最影响客户满意度的因素是电话接起快速；④不超过10%的客户认为工单派发准确影响他们的满意度。
A.1B.2C.3D.44.已知函数f(x)＝21010xx xa x->⎩+≤⎧⎨，，，若f(－1)＝3，则不等式f(x)≤5的解集为A.[－2，1]B.[－3，3]C.[－2，2]D.[－2，3]5.执行如图所示的程序框图，若输出的S值为30，则p的取值范围为A.(18，30]B.[18，30]C.(0，30]D.[18，30)6.已知函数f(x)＝sin(2π＋x)与g(x)＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)的图象有一个横坐标为3π的交点，将函数g(x)的图象向左平移12π个单位长度，所得图象的一条对称轴方程为 A.x ＝－12π B.x ＝712π C.x ＝512π D.x ＝1112π7.在1)2n x 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中x 5的系数为 A.－7 B.－358 C.358 D.7 8.已知数列{a n }满足a n ＋a m ＝a m ＋n (m ，n ∈N *)且a 1＝1，若[x]表示不超过x 的最大整数，则数列 {[235n a +]}的前10项和为 A.12 B.1135 C.24 D.40 9.已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的侧棱长为8，底面矩形的面积为16，一个小虫从C 点出发沿直四棱柱侧面绕行一周后到达线段CC 1上一点M ，若AM ⊥平面A 1BD ，则小虫爬行的最短路程为10.已知函数f(x)，g(x)的定义域为R ，f(x ＋1)是奇函数，g(x ＋1)是偶丽数，若y ＝f(x)·g(x)的图象与x 轴有5个交点，则y ＝f(x)·g(x)的零点之和为A.－5B.5C.－10D.1011.已知圆x 2＋y 2＝16与抛物线y 2＝2px(p>0)的准线l 交于A ，B 两点，且|AB|＝P 为该抛物线上一点，PQ ⊥l 于点Q ，点F 为该抛物线的焦点。
2020届天一大联考高三阶段性考试(二)数学(理)试题(解析版)
2020届天一大联考高三阶段性考试（二）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}23{10},1A x B y y x x=-<==+，则()R A B =I ð（ ） A ．{01}x x << B ．{13}x x ≤< C ．{13}x x << D ．{03}x x ≤<【答案】A【解析】根据分式不等式的解法以及二次函数的值域分别求解,A B ,再求解即可. 【详解】 由310x-<,得03x <<,即{|03}A x x =<<,由211y x =+…,得{|1}B y y =…,所以{}|1R B x x =<ð,故()R A B =I ð{01}x x <<. 故选：A 【点睛】本题考查集合的表示､运算以及不等式的解法,考查运算求解能力以及化归与转化思想. 2．下列命题中，真命题是（ ）A ．0x R ∃∈，使得22001sin 2019cos 20192x x +=B ．0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin cos x x < C ．0x R ∃∈，使得2001x x +=- D ．1(1,),0x x x∀∈+∞-> 【答案】D【解析】根据存在性和任意性的定义进行判断即可. 【详解】因为x ∀∈R ，22sin 2019cos 20191x x +=，故A 是假命题；当0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，sin cos x x „，当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin cos x x >，故B 是假命题；x ∀∈R ，221331244x x x ⎛⎫++=++≥⎪⎝⎭，故C 是假命题；因为1x >，所以1(0,1)x ∈，所以10x x->，故D 是真命题． 故选：D【点睛】本题考查逻辑联结词、推理与证明，考查推理论证能力以及化归转化思想． 3．已知0.10.520190.12,0.5,log 0.1a b c ===，则（ ） A ． a b c >> B ． c a b >>C ． a c b >>D ． c b a >>【答案】B【解析】分别计算,a b 的大致范围,利用指数函数的单调性,再计算得2019c =判断即可. 【详解】 因为0.12(1,2)a =∈,10.520.52b -==,根据指数函数2x y =的单调性,知a b >.又20190.1log 0.12019c ==,所以b a c <<.故选：B 【点睛】本题考查指对数的性质,考查推理论证能力以及函数与方程思想.4．已知向量(1,2),2(3,1)a a b =-+=-r r r，则b =r （ ）A ．B ．5C ．D ．2【答案】A【解析】根据平面向量线性运算的坐标表示公式，通过解方程组求出向量b r的坐标，再根据平面向量模的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】设(,)b x y =r ，所以2(2,4)a b x y +=+-+r r ．因为2(3,1)a b +=-r r ，所以23,4 1.x y +=-⎧⎨-+=⎩解得5,5.x y =-⎧⎨=⎩所以(5,5)b =-r ，所以||b ==r ．故选：A 【点睛】本题考查向量的坐标运算和模，考查运算求解能力以及方程思想．5．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问有如下表述：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升”.其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天比前一天多派出7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升”，则前3天共分发大米（ ）A ．234升B ．468升C ．639升D ．903升【答案】C【解析】根据题意，得到等差数列的首项164a =，公差7d =，从而求出其前3项的和，再求出3共分发的大米，得到答案. 【详解】由题意可知每天派出的人数构成等差数列， 记为{}n a ，且164a =，公差7d =， 则前3项和33236472132S ⨯=⨯+⨯=， 则前3天共分发大米2133639⨯=（升）， 故选：C. 【点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和公式，属于简单题. 6．函数：3()10ln ||f x x x =-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】先判断函数的奇偶性,再根据当01x <<时,()f x 的正负判断排除即可. 【详解】因为3()10ln ||f x x x =-,33()10()ln ||10ln ||()f x x x x x f x -=---==-,所以()f x 是奇函数,排除选项A,D,当01x <<时,()0f x >,排除选项B.【点睛】本题考查函数的图象与性质,考查推理论证能力以及数形结合思想. 7．已知α为第三象限角sin(2019)πα-=，则2sin 2cos 1αα++=（ ） A．BC．D ．139-【答案】A【解析】根据诱导公式，结合同角的三角函数关系式、二倍角的正弦公式进行求解即可. 【详解】因为sin(2019)3πα-=-，所以sin 3α=-．又因为α为第三象限角，所以2cos 3α=-．所以22222sin 2cos 12sin cos cos 12133ααααα⎛⎛⎫⎛⎫++=++=⨯⨯-+-+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：A 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换和同角三角函数的关系，考查数学运算求解能力． 8．已知函数()g x 是R 上的奇函数，当 0x <时，()ln(1)g x x =--，且3,0()(),0x x f x g x x ⎧≤=⎨>⎩，若2(2)()f x f x ->，则实数的取值范围是（ ）A ．(1,2)-B ．(1,2)C ．(2,1)--D ．(2,1)-【答案】D【解析】根据奇偶性求解当0x >时()g x 的解析式,再根据函数()f x 的单调性求解即可. 【详解】若0x >,则0x -<,因为()g x 是R 上的奇函数,所以()()ln(1)g x g x x =--=+,所以3,0,()ln(1),0,x x f x x x ⎧=⎨+>⎩…则函数()f x 是R 上的增函数,所以当()22()f x f x ->时,22x x ->,解得21x -<<. 故选：D本题考查函数的性质,考查运算求解能力以及化归转化思想.9．已知,x y满足约束条件24030220x yx yx y-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩则目标函数22x yz-=的最大值为（）.A．128 B．64 C．1 64D．1128【答案】B【解析】画出可行域,再求解2x y-的最大值即可.【详解】不等式组表示的平面区域如下图阴影部分所示.设2x yμ=-,因为函数2xy=是增函数,所以μ取最大值时,z取最大值.易知2x yμ=-在A点处取得最大值.联立220,30x yx y+-=⎧⎨+-=⎩解得4,1.xy=⎧⎨=-⎩即(4,1)A-.所以max42(1)6μ=-⨯-=,所以6max264z==.故选：B【点睛】本题考查线性规划,考查化归与转化思想以及数形结合思想.10．函数()2cos()0,2f x xπωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x的一个单调递减区间为（）A ．,24ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．2,32ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】根据余弦型函数的最高点和零点求出最小正周期，根据最小正周期公式求出ω的值，再根据最高点的坐标，求出ϕ的值，这样求出余弦型函数的解析式，根据解析式求出单调递减区间，四个选项逐一判断即可. 【详解】由图知，函数()f x 的最小正周期54126T πππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭．因为0>ω，所以2ππω=，得2ω=．所以()2cos(2)f x x ϕ=+．因为点,26π⎛⎫⎪⎝⎭在图象上，所以cos 216πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭．因为||2ϕπ<，所以3πϕ=-，所以()2cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．由222()3k x k k ππππ-+∈Z 剟，得2()63k x k k ππππ++∈Z 剟．只有22,,()3263k k k ππππππ⎡⎤⎡⎤--⊆++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Z . 故选：B 【点睛】本题考查余弦型函数的图象与性质，考查推理论证能力以及数形结合思想．11．已知菱形ABCD 的边长为4，60ABC ∠=︒，E 是BC 的中点2DF AF =-u u u r u u u r，则AE BF ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．24B ．7-C ．10-D ．12-【答案】D【解析】根据平面向量的基本定理,将AE BF ⋅u u u r u u u r用基底,AB AD u u u r u u u r表达,再根据平面向量的数量积公式求解即可. 【详解】由已知得13AF AD =u u u r u u u r ,12BE BC =u u u r u u u r ,AD BC =u u u r u u u r,所以1122AE AB BC AB AD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,13BF AF AB AD AB =-=-u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r .因为在菱形ABCD 中,60ABC ∠=︒,所以120BAD ∠=︒.又因为菱形ABCD 的边长为4,所以1||||cos1204482AB AD AB AD ⎛⎫⋅=⋅︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以1123AE BF AB AD AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r221111||||16(8)16126666AB AB AD AD --⋅+=--⨯-+⨯=-u u u r u u u r u u u r u u u r .故选：D 【点睛】本题考查平面向量的线性运算及向量的数量积,考查推理论证能力以及数形结合思想. 12．已知函数32()232010f x x ax bx =-++的导函数()f x '的图象关于直线1x =对称．若0[3,5]x ∃∈使得0()2020f x ≥成立，则实数b 的取值范围为（ ）． A ．10,9⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(,6)-∞-C ．[6,)-+∞D ．10,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】对函数进行求导，根据对称轴求出a 的值，根据存在性的定义，结合函数单调性的性质进行求解即可. 【详解】依题意，得2()623f x x ax b '=-+．因为函数()f x '的图象关于直线1x =对称，所以2112a--=，解得6a =，所以32()2632010f x x x bx =-++．因为0[3,5]x ∃∈使得()02020f x …成立，即使得3200026320102020x x bx -++…成立，所以[3,5]x ∈时，2min233103223b x x ⎡⎤⎛⎫--++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦…．设223310()3223g x x x ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭，因为函数()g x 在[3,5]上单调递减，所以当5x =时，函数()g x 在[3,5]上取得最小值为6-，所以实数b的取值范围为[6,)-+∞． 故选：C 【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质，考查运算求解能力以及化归转化思想．二、填空题13．若函数4()32xf x a x=--的一个零点在区间()1,2内，则实数a 的取值范围是________． 【答案】17,22⎛⎫-⎪⎝⎭． 【解析】根据零点存在原理进行求解即可. 【详解】由条件可知函数()f x 在(1,2)上单调递增，所以(1)(2)0f f ⋅<，即(342)(922)0a a ----<，解之得1722a -<<．所以实数a 的取值范围是17,22⎛⎫- ⎪⎝⎭． 故答案为：17,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【点睛】本题考查零点存在原理的应用，考查运算求解能力．14．ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知5,6a c ==，cos 45B =，则sin A =______.【解析】根据余弦定理求得b =,再根据同角三角函数公式求解得3sin 5B =,再利用正弦定理求解sin A 即可. 【详解】由余弦定理,得2222cos 13b a c ac B =+-=.所以b =.又由cos 45B =,(0,)B π∈得3sin 5B =.由正弦定理得5sin 5A =.解得sin A =.故答案为：13【点睛】本题考查正弦定理､余弦定理在解三角形中的应用,考查运算求解能力. 15．已知821(0,0)a b a b +=>>，则ab 的最大值为________. 【答案】164【解析】根据821(0,0)a b a b +=>>配凑出18216ab a b =⨯⨯再利用基本不等式求解即可. 【详解】211821821616264a b ab a b +⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭…,当且仅当116a =,14b =时取等号,所以ab 的最大值为164. 故答案为：164【点睛】本题考查基本不等式的应用,考查运算求解能力和化归与转化思想.16．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知114,29(2)n n a a a n -==-+≥.若对任意的偶数,n ,(3)4n n N S n λ*∈-≥恒成立，则实数λ的最小值为____________.【答案】8【解析】根据所给的递推公式构造等比数列{}3n a -,继而求得{}n a 的通项公式1132n n a -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,根据分组求和可得211332nn S n ⎡⎤⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦,再代入(3)4n S n λ-≥化简得 【详解】由数列的递推公式,得()()1233n n a a --=--,即()11332n n a a --=--.又1310a -=≠,所以13132n n a a --=--,则数列{}3n a -是首项为131a -=,公比为12-的等比数列,故11312n n a -⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭,所以1132n n a -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.分组求和可得211332nn S n ⎡⎤⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦,题中的不等式即211432nλ⎡⎤⎛⎫⨯--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦…. 因为n 为偶数,所以不等式等价于211432n λ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭…,整理得3462111122n n λ⨯=--…, 设6()112n f n =-,则因为311142n ≤-<,故668112n<≤-.所以()8f n ≤,故8λ…. 故要使不等式对任意的正偶数n 都成立,λ的最小值为8.故答案为：8 【点睛】本题考查数列的递推公式､等比数列的前n 项和公式､数列的性质,考查推理论证能力以及化归转化思想.三、解答题17．已知:p 指数函数()(21)x f x a =-在R 上单调递减，:q 关于x 的方程223210x ax a -++=的两个实根均大于0.若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围. 【答案】1,1[2,)2⎛⎫+∞⎪⎝⎭U . 【解析】求出:p 112a << ，:q a ＞2，由“p 或q ”为真命题，“p 且q 为假命题，得p 真q 假，或p 假q 真，由此能求出实数a 的取值范围． 【详解】若p 真，则()(21)xf x a =-在R 上单调递减.所以0211a <-<，即112a << 若q 真，令22()321g x x ax a =-++，则应满足()222(3)421021030a a a a ⎧--+≥⎪⎪+>⎨⎪>⎪⎩，解得2a ≥ 因为“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，所以p 真q 假或者p 假q 真.①若p 真q 假，则1122a a ⎧<<⎪⎨⎪<⎩所以112a <<.②若p 假q 真，则1122a a a ⎧≤≥⎪⎨⎪≥⎩或，所以2a ≥. 综上，实数a 的取值范围为1,1[2,)2⎛⎫+∞⎪⎝⎭U . 【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查函数的单调性、一元二次方程的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 已知角,,B A C 成等差数列． （1）若ABC V的外接圆半径为a ；（2）若cos cos 2c B b C +=，求ABC V 的面积的最大值．【答案】（1）6；（2【解析】（1）根据三角形内角和定理，结合等差数列的性质、正弦定理进行求解即可；（2）根据余弦定理，结合三角形面积公式、基本不等式进行求解即可.【详解】（1）因为ABC V 中，角B ，A ，C 成等差数列，所以2A B C =+．又因为A B C π++=，所以3A π=．因为ABC V的外接圆半径为62a ==． （2）由222222cos cos 2222a c b a b c c B b C c b ac ab+-+-+=⇒⋅+⋅=，可得2a =． 由（1）的解题过程及余弦定理2222cos a b c bc A =+-得224b c bc +-=． 由222b c bc +…可得04bc <„，所以ABC V的面积1sin 2S bc A =„2b c ==时，等号成立）． 故ABC V【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形的面积公式，考查运算求解能力．19．已知正项等比数列{}n a ，42329,6a a a a =-=（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）13-=n n a .（2）113244n n n T ⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭ 【解析】(1) 设等比数列{}n a 的公比为q ,再根据基本量法求解即可.(2)代入(1)中{}n a 的通项公式可得13n n b n -=⋅,再利用错位相减求解即可. 【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ,因为数列{}n a 是等比数列,所以由429a a =,得2229a q a =.因为0n a >,所以3q =.因为326a a -=,所以226a =,即23a =,所以11a =.所以13-=n n a .（2）由（1）得13-=n n a ,所以13n n b n -=⋅. 所以01211323333n n T n -=⨯+⨯+⨯++⨯L , 则12331323333n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯L .两式相减,得1211311213333331322n n nn n n T n n n --⎛⎫-=++++-⨯=-⨯=-⋅- ⎪-⎝⎭L . 所以113244n n n T ⎛⎫=-⋅+⎪⎝⎭. 【点睛】 本题考查等比数列的性质以及错位相减求和,考查推理论证能力以及化归转化思想. 20．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1113,233(2)n n n n a S S S S n --=-+=≥ （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求使120n a ≥成立的n 的最大值． 【答案】（1）3,1,6, 2.(21)(23)n n a n n n -=⎧⎪=⎨⎪--⎩…；（2）6. 【解析】（1）根据n S 是否能为零，分类讨论可以判断n S 不能为零，这样将等式两边同除以1n n S S -并整理，这样根据等差数列的定义求出n S 的通项公式，然后再利用当2n …时，1n n n a S S -=-进行求解即可；（2）由已知得到不等式，解不等式进行求解即可.【详解】（1）当2n …时，若0n S =，则由11233n n n n S S S S --+=，得10n S -=，这与113a S ==-相矛盾，所以0n S ≠．由11233n n n n S S S S --+=，等式两边同除以1n n S S -并整理，得11123n n S S --=-． 所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1113S =-，公差23d =-的等差数列． 所以321n S n -=-． 所以当2n …时，13362123(21)(23)n n n a S S n n n n --=-=+=----． 又因为13a =-，不符合上式，所以3,1,6, 2.(21)(23)n n a n n n -=⎧⎪=⎨⎪--⎩… （2）由（1）知3,1,6, 2.(21)(23)n n a n n n -=⎧⎪=⎨⎪--⎩… 易知使不等式成立的2n …．所以由题意，得61(21)(23)20n a n n =--…，整理，得2483120n n -+„．所以2 6.5n 剟． 所以使120n a …成立的n 的最大值是6． 【点睛】本题考查数列的前n 项和与通项的关系、数列的递推公式，考查推理论证能力以及化归转化思想．21．已知函数3()8cos 3cos 212cos f x x x x =--（1）设正实数T 满足()(0)f T f =，求T 的最小值；（2）当,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域． 【答案】（1）2π；（2）713,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 【解析】（1）利用余弦的二倍角公式把函数的解析式化成关于cos x 的形式，根据()(0)f T f =，结合因式分解可以求出T 的值；（2）利用换元法，结合导数进行求解即可.【详解】（1）由题意得()3232()8cos 32cos 112cos 8cos 6cos 12cos 3f x x x x x x x =---=--+． 由()(0)f T f =可得324cos 3cos 6cos 50T T T --+=，即2224cos (cos 1)cos 6cos 54cos (cos 1)(cos 1)(cos 5)T T T T T T T T -+-+=-+--()22(cos 1)4cos cos 5(cos 1)(4cos 5)0T T T T T =-+-=-+=．所以cos 1T =或5cos 4T =-． 5cos 4T =-显然不成立，所以cos 1T =． 所以()*2T k k π=∈N ，所以T 的最小值为2π．（2）由（1）得32()8cos 6cos 12cos 3f x x x x =--+． 设cos t x =，32()86123g t t t t =--+，所以2()241212g t t t '=--． 因为,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以1cos 1,2t x ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦． 由()0g t '=得12t =-或1t =，由()0g t '>得12t <-或1t >，由()0g t '<得112t -<<．所以()g t 在11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减． 又11322g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，(1)1g -=，1722g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 所以713(),22g t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，即()f x 的值域为713,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 【点睛】 本题考查三角恒等变换与三角函数的性质，以及利用导数研究函数性质，考查运算求解能力、推理论证能力以及转化与化归的思想．22．已知函数2()()ln ,f x x a x a R =-∈（1）若3a e =，求()f x 的单调区间；（2）当(1,]x e ∈时，不等式()2e f x ≤恒成立，求a 的取值范围．1.65≈【答案】（1）()f x 的单调递增区间为(0,)e 和(3,)e +∞，单调递减区间为(,3)e e ；（2）2e ⎡-⎢⎣． 【解析】（1）对函数进行求导，再通过构造新函数，根据新函数的零点结合()f x 的导函数进行求解即可；（2）对函数()f x 进行求导，构造新函数，结合新函数的正负性结合()f x 的导函数可以判断出函数()f x 的单调性，然后根据题意，列出不等式组，解不等式组即可.【详解】（1）若3a e =，则2()(3)ln f x x e x =-．2(3)3()2(3)ln (3)2ln 1x e e f x x e x x e x x x -⎛⎫'=-+=-+- ⎪⎝⎭． 设3()2ln 1e g x x x=+-． 易知函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，且()0g e =，所以e 是()g x 的唯一零点．所以当(0,)x e ∈时，()0f x '>；(,3)x e e ∈时，()0f x '<；(3,)x e ∈+∞时，()0f x '>． 所以()f x 的单调递增区间为(0,)e 和(3,)e +∞，单调递减区间为(,3)e e ．（2）由题意得2()()2e f e e a =-„，解得22e a e -+ 2()()2()ln ()2ln 1x a af x x a x x a x x x -⎛⎫'=-+=-+- ⎪⎝⎭． 设()2ln 1a h x x x=+-，则(1)10h a =-<，()2ln 0h a a =>，且2()33e a h e ee +=--…20=>． 因为()h x 在(0,)+∞上单调递增，所以()h x 存在唯一零点0x ，且01x a <<，01x e <<． 从而当()00,x x ∈时，()0f x '>；()0,x x a ∈时，()0f x '<；(,)x a ∈+∞时，()0f x '>．所以()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,x a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增． 要使()2e f x „对任意(1,]x e ∈恒成立，只需()()20002ln ,2()().2e f x x a x e f e e a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩①②„„ 由()0002ln 10a h x x x =+-=，得0002ln a x x x =+．③ 将③代入①中，整理得2300ln 8e x x „．因为01x >，注意到23ln y x x =在(1,)+∞上单调递增，故01x <„再由③以及2ln y x x x =+在(1,)+∞上单调递增，得1a <„．由②解得e a e -+e a -． 所以a的取值范围为2e ⎡-⎢⎣． 【点睛】本题考查导数的计算、利用导数研究函数的单调性和极值以及解决不等式恒成立问题，考查运求解能力和推理论证能力．。
2020届河南省高三天一大联考高中毕业班阶段性测试(一)数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年天一大联考高中毕业班阶段性测试（一）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}|3A x y x ==-， {}2|76<0B x x x =-+，则()R C A B ⋂=（ ）A ．{}|1<<3x xB ．{}|1<<6x xC ．{}|13x x ≤≤D ．{}|16x x ≤≤【答案】A【解析】要使根式有意义，则需30x -≥，可求集合A ，再求R C A ， 解二次不等式2760x x -+<，可求得集合B ，从而求得()R C A B I 即可. 【详解】 解：{}|3A x y x ==-={}|30x x -≥={}|3x x ≥，即{}|3R C A x x =<，又{}2|76<0B x x x =-+={}|(1)(6)<0x x x --={}|16x x <<，即()R C A B ⋂={}|1<<3x x ， 故选A. 【点睛】本题考查了含根式函数的定义域的求法及二次不等式的解法，重点考查了集合的混合运算，属基础题. 2．已知，，且复数z 满足，则z 的虚部为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】把，代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】，，，的虚部为．故选． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算、复数虚部的概念，考查基本运算求解能力. 3．某单位共有老年、中年、青年职工320人，其中有青年职工150人，老年职工与中年职工的人数之比为7∶10.为了了解职工的身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，抽取的样本中有青年职工30人，则抽取的老年职工的人数为（） A ．14 B ．20C ．21D ．70【答案】A【解析】先计算总体中老年职工的人数70，再根据青年职工的数据求出抽样比，把抽样比乘以老年职工人数，得到抽取老年职工的人数. 【详解】由题意知，老年职工与中年职工的人数之和为170， 故老年职工人数为70，中年职工人数100， 抽样比为3011505=， 则抽取的老年职工的人数为170145⨯=， 故选A ． 【点睛】本题考查随机抽样中的分层抽样，考查基本数据处理能力.4．设等差数列|{}n a 的前n 项和为n S ，若2372a a a =，540S =，则7a =（ ） A ．13 B ．15C ．20D ．22【答案】C【解析】由等差数列前5项和求得3a ，设等差数列{}n a 的公差为d ，由2372a a a =得到关于d 的方程，再由等差数列的通项公式求7a ． 【详解】由题意，53540S a ==，得38a =． 设等差数列{}n a 的公差为d ，由2372a a a =，得(8)82(84)d d -⨯=⨯+，解得3d =．73484320a a d ∴=+=+⨯=．故选：C ． 【点睛】本题考查等差数列的性质、通项公式及前n 项和公式的应用，考查基本量法求解数列问题.5．已知向上满足||2,a =r||1b =r,()a b b -⊥r rr，则向量a r与b r的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π 【答案】B【解析】先由题意求出a b ⋅r r，再由向量夹角公式，即可求出结果.【详解】因为||2,a =r ||1b =r ，()a b b -⊥rr r ，所以()0-⋅=r rr a b b ，因此21⋅==r r r a b b ，所以1cos ,2⋅==r rr r r r a b a b a b ， 因此向量a r与b r的夹角为3π 【点睛】本题主要考查向量夹角的计算，熟记向量数量积的运算即可，属于常考题型. 6．马拉松是一项历史悠久的长跑运动，全程约42千米.跑马拉松对运动员的身体素质和耐力是极大的考验，专业的马拉松运动员经过长期的训练，跑步时的步幅（一步的距离）一般略低于自身的身高，若某运动员跑完一次全程马拉松用了2.5小时，则他平均每分钟的步数可能为（） A ．60 B ．120C ．180D ．240【答案】C【解析】先求出运动员每分钟跑42000150280÷=米，再对运动员每分钟的跑步数分类讨论，排除答案即得解. 【详解】解：42千米＝42000米，2.5小时＝150分钟，故运动员每分钟跑42000150280÷=米；若运动员每分钟跑120步，280120 2.33÷=，则运动员的身高超过2.33米不太可能；若运动员每分钟跑240步，280240 1.17÷=，则运动员的身高稍超过1.17米不太可能； 若运动员每分钟跑180步，280180 1.56÷=，则运动员的身高超过1.56米，基本符合实际， 故选：C . 【点睛】本题主要考查推理证明，考查数据处理，属于基础题.7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为（ ）A ．352B ．3562+C ．35πD ．635π+【答案】B【解析】由题意可知该几何体是一个半圆台，利用圆台侧面积公式和梯形面积公式即可得解. 【详解】该几何体是一个半圆台，上底面半圆的半径为1，下底面半圆的半径为2，高为2，母5.所以其侧面积为()()113525242622ππ⨯+⨯+⨯=+. 故选：B. 【点睛】本题考查了三视图的识别和圆台侧面积的求解，属于基础题.8．已知双曲线22:13x E y -=，F 为E 的左焦点，P ，Q 为双曲线E 右支上的两点，若线段PQ 经过点()2,0，△PQF 的周长为83PQ 的长为（ ） A ．2 B ．23C ．4D ．3【答案】B【解析】根据题意作出双曲线图象，然后根据双曲线的定义得：||||23PF PA -=，||||23QF QA -=，再根据周长的值，求得线段PQ 的长.【详解】Q 双曲线22:13x E y -=的左焦点(2,0)F -，3a =，1b =，2c =；双曲线的右焦点(2,0)A 在线段PQ 上，||||23PFPA -=，||||23QF QA -=，所以∆POF 的周长为83||||||2||43PF QF PQ PQ =++=+，得||23PQ =，故选：B ．【点睛】本题考查双曲线中过焦点弦长，把双曲线的定义融入三角形知识中，考查学生对问题的转化能力．9．已知函数()()x xf x x e e -=-，若(21)(2)f x f x -<+，则x 的取值范围是（）A ．1,33⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．(3,)+∞D ．1,(3,)3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭U【答案】A【解析】根据()()f x f x -=得()f x 为偶函数，利用导数得函数()f x 在[0，)+∞上为增函数，结合偶函数的性质(||)()f x f x =，将(21)(2)f x f x -<+转化为|21||2|x x -<+，两边平方解得x 的取值范围．【详解】 根据题意，()()x x f x x e e -=-，因为()()()()()x x x x f x x e e x e e f x ---=--=-=，所以()f x 为偶函数； 又由()()()x x x x f x e e x e e --'=-++，当0x …时，()0f x '>，则函数()f x 在[0,)+∞上为增函数， 所以(21)(2)(|21|)(|2|)|21|2|f x f x f x f x x x -<+⇔-<+⇔-<+， 即22(21)(2)x x -<+，解得：133x -<<. 故选：A ． 【点睛】本题综合考查函数的奇偶性、单调性的应用，利用导数研究函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，考查数形结合思想的应用.10．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，点M 为椭圆C 上异于A ，B 的一点，直线AM 和直线BM 的斜率之积为14-，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．14B ．12CD【答案】C【解析】利用直线AM 和直线BM 的斜率之积为14-，得到2214b a =这一关系，再代入离心率的公式，求得e 的值. 【详解】由已知得(,0),(,0)A a B a -，设()00,x y ，由题设可得，2200221x y a b+=，所以()222202b y a x a=-.因为()222220200022222000014A MM B b a x y y y b a k k x a x a x a x a a -⋅=⋅===-=-+---，所以2214b a =，则22222222314c a b b e a a a -===-=，所以2e =. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系、斜率公式、离心率求法等知识，考查基本运算求解能力.11．设函数()2sin f x x ππ=-在()0,∞+上最小的零点为0x ，曲线()y f x =在点()0,0x 处的切线上有一点P ，曲线23ln 2y x x =-上有一点Q ，则PQ 的最小值为（ ） A．BCD【答案】C【解析】由题意得01x =，由导数的几何意义结合点斜式可得切线的方程为22y x =-，证明切线与曲线23ln 2y x x =-无交点，当点Q 处的切线与22y x =-平行时，点Q 到直线22y x =-的距离即为PQ 最小值，利用导数几何意义求得点Q 后即可得解. 【详解】令()x k k ππ=∈Z ，则x k =，最小为01x =. 因为()2cos f x x π'=-，所以曲线()y f x =在点()1,0处的切线斜率为()12cos 2f π'=-=， 则切线方程为22y x =-，设()23ln 2g x x x =-，()23ln 222h x x x x =--+， 则()132h x x x '=--，()10h '=，()h x 在1x =处取最小值()3102h =>，所以()0h x >恒成立，所以直线22y x =-与曲线()y g x =没有交点. 令()132g x x x '=-=，得1x =或13x =-（舍去），()312g =， 则PQ 的最小值为点31,2⎛⎫⎪⎝⎭到直线22y x =-的距离d ，所以10d ==. 故选：C. 【点睛】本题考查了导数几何意义的应用，考查了转化化归思想，属于中档题.12．已知四棱锥P ABCD -的四条侧棱都相等，底面是边长为2的正方形，若其五个顶点都在一个表面积为814π的球面上，则PA 与底面ABCD 所成角的正弦值为（ ）A ．23B ．23或3C．3D ．13或3【答案】D 【解析】【详解】解：因为P ABCD -的四条侧棱都相等，底面是边长为2的正方形，则点P 在 面ABCD 内的射影落在正方形 ABCD 的中心，连接,AC BD 交于点E ，设球心为O , 连接,PO BO ,则E 在直线PO 上，PO BO R ==，由28144R ππ=,解得94R =，又2BDBE ==所以74OE ===, 所以971442PE R OE =-=-=或97444PE R OE =+=+=， 当12PE =时，32PA ===, 则PA 与底面ABCD 所成角的正弦值为112332PE AP ==, 当4PE =时，PA ===则PA 与底面ABCD所成角的正弦值为3PE AP ==, 即PA 与底面ABCD 所成角的正弦值为13， 故选D.【点睛】本题考查了球的表面积公式及正棱锥的外接球问题，重点考查了棱锥顶点在底面中的射影位置，着重考查了空间想象能力及运算能力，属中档题.二、填空题13．设变量,x y满足约束条件70,10,2,x yx yx+-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则目标函数11yzx-=-的最大值为_______.【答案】4【解析】作出可行域，将问题转化为可行域中的点与点(1,1)P连线的斜率的最大值，结合图形可得答案.【详解】作出可行域，如图所示：11y z x -=-表示可行域中的点与点(1,1)P 连线的斜率. 由图可知，点(1,1)P 与点(2,5)A 连线的斜率最大，max 51421z -==-， 所以目标函数11y z x -=-的最大值为4. 故答案为: 4 【点睛】本题考查了利用线性规划求分式型目标函数的最大值，解题关键是转化为斜率求最大值，属于基础题.14．已知正项等比数列{n a }满足2464,80a a a =+=.记2log n n b a =，则数列{n b }的前50项和为________.【答案】1275【解析】由等比数列通项公式的求法可得：42200q q +-=，又0q >解得2422n n n a -=⨯=，由对数的运算可得：n b n =，即{}n b 是以1为首项，1为公差的等差数列，再由等差数列前n 项和公式即可得解. 【详解】解：由数列{n a }为正项等比数列，设其公比为q ，则0q >， 又2464,80a a a =+=， 所以42200q q +-=， 解得2q =，即2422n n n a -=⨯=， 所以2log 2nn b n ==，则{}n b 是以1为首项，1为公差的等差数列， 则数列{n b }的前50项和为(150)5012752+⨯=，故答案为：1275. 【点睛】本题考查了等比数列通项公式的求法及等差数列前n 项和，重点考查了对数的运算，属基础题.15．在()()51231x x -+的展开式中，含3x 项的系数为__________. 【答案】40【解析】由题意写出()512x -的展开式的通项，根据通项求出()512x -的展开式中2x 和3x 的系数，根据乘法分配律即可得解.【详解】由题意()512x -的展开式的通项为()()15522r rrr r r T C x C x +=-=-，()512x -的展开式中2x 的系数为()225240C -=，3x 的系数为()335280C -=-，因此，原展开式中含3x 项的系数为40380=40⨯-. 故答案为：40. 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，属于基础题. 16．已知2tan tan()43παα-=，则cos(2)4πα-的值是______.【答案】10【解析】根据两角和差正切公式可构造方程求得1tan 3α=-或tan 2α=；利用两角和差余弦公式和二倍角公式可将cos 24πα⎛⎫-⎪⎝⎭化为)22cos sin 2sin cos αααα-+，根据正余弦齐次式的求解方法可化简为221tan 2tan 21tan ααα-++，代入tan α即可求得结果.【详解】tan tantan 124tan tan tan tan 41tan 31tan tan 4παπαααααπαα--⎛⎫-=⋅=⋅= ⎪+⎝⎭+ 解得：1tan 3α=-或tan 2α=)cos 2cos 2cos sin 2sin cos 2sin 2444πππααααα⎛⎫-=+=+ ⎪⎝⎭)222222cos sin 2sin cos cos sin 2sin cos 22cos sin αααααααααα-+=-+=+221tan 2tan 21tan ααα-+=⨯+ 当1tan 3α=-时，12193cos 21421019πα--⎛⎫-=⨯= ⎪⎝⎭+ 当tan 2α=时，144cos 2421410πα-+⎛⎫-== ⎪+⎝⎭综上所述，cos 2410πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭本题正确结果：10【点睛】本题考查利用三角恒等变换公式化简求值、正余弦齐次式的求解问题，涉及到两角和差正切公式和余弦公式、二倍角公式的应用、同角三角函数关系的应用等知识；关键是能够将正余弦齐次式配凑出正切的形式.三、解答题17．已知平面四边形ABCD 中，3AB =，4BC =，5CD =，6DA =，且内角B 与D 互补.（1）求cos A 的值.（2）求四边形ABCD 的面积. 【答案】（1）1cos 19A =；（2）S =【解析】（1）由题意A 与C 也互补，在ABD △和BCD V 中分别使用余弦定理，即可得4536cos 4140cos A A -=+，即可得解；（2）由平方关系可得2sin sin 1cos C A A ==-，再利用三角形面积公式即可得解. 【详解】（1）因为B 与D 互补，所以A 与C 也互补， 可得A C π+=，所以cos cos C A =-. 在ABD △中，根据余弦定理可得2222cos 4536cos BD AB AD AB AD A A =+-⋅=-.在BCD V 中，根据余弦定理可得2222cos 4140cos 4140cos BD CB CD CB CD C C A =+-⋅=-=+.由4536cos 4140cos A A -=+，得1cos 19A =. （2）因为0A π<<，所以221610sin sin 1cos 119C A A ⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭. 故四边形ABCD 的面积11sin sin 22ABD BCD S S S AB AD A CB CD C =+=⋅+⋅⋅V V 11610364561022⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了余弦定理和面积公式的应用，考查了方程思想，属于中档题.18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=o ，12CA CB AA ===，M ，N 分别是1A B 与1CC 的中点，G 为ABN ∆的重心.（1）求证：MG ⊥平面ABN ； （2）求二面角1A AB N --的正弦值. 【答案】（1）见解析；（2）63【解析】（1）建立空间直角坐标系，表示出各点的坐标后，通过证明0MG AN ⋅=u u u u v u u u v， 0MG AB ⋅=u u u u v u u u v，即可得证；（2）求出平面ABN 的一个法向量MG u u u u r ，平面1A AB 的一个法向量为n r，求出cos ,MGn MG n MG n⋅=u u u u v vu u u u v v u u u u v v 后，利用平方关系即可得解.【详解】（1）证明：由题意可知，AC ，BC ，1CC 两两垂直，以C 为原点，分别以AC ，BC ，1CC 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()2,0,0A ，()0,2,0B ，()10,0,2C ，()12,0,2A .由中点坐标公式可得()1,1,1M ，()0,0,1N ，由重心的性质可得221,,333G ⎛⎫⎪⎝⎭. 则112,,333MG ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭u u u u r ，()2,2,0AB =-u u u r ，()2,0,1AN =-u u u r ，()10,0,2AA =u u u r.所以()1122010333MG AN ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯-+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r ， ()1122200333MG AB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯-+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r ，所以MG AN ⊥，MG AB ⊥，又AN AB A =I ，AN ，AB Ì平面ABN ， 所以MG ⊥平面ABN .（2）由（1）知，平面ABN 的一个法向量为112,,333MG ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭u u u u r .设平面1A AB 的一个法向量为(),,n x y z =r.则120220n AA z n AB x y ⎧⋅==⎨⋅=-+=⎩u u u v v u u u v v ，所以0z x y =⎧⎨=⎩，令1x =，则()1,1,0n =r .所以cos ,MG n MG n MG n⋅==u u u u r ru u u u r r u u u u r r . 设二面角1A AB N --的大小为θ，则sin 3θ==. 所以二面角1A AB N --【点睛】本题考查了利用空间向量证明线面垂直和求解二面角，考查了计算能力，属于中档题. 19．已知动圆M 过点(2,0)P 且与直线20x +=相切. （1）求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；（2）斜率为()0k k ≠的直线l 经过点(2,0)P 且与曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 的中垂线交x 轴于点N ，求||||AB NP 的值. 【答案】（1）28y x =（2）2【解析】（1）已知条件转化成圆心M 到定点(2,0)P 的距离与定直线2x =-的距离相等，再利用抛物线的定义求得圆心M 的轨迹C 的方程；（2）设直线l 的方程为(2)y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，把直线方程代入抛物线方程，利用根与系数的关系，得到AB 的中点坐标，进而得到线段AB 的中垂线方程，令0y =得到点N 的坐标，把弦长||AB 和线段||NP 都用k 表示，再进行比值即可得答案. 【详解】（1）由已知可得，点M 到点(2,0)P 的距离等于点M 到直线20x +=的距离，所以点M 的轨迹是抛物线.点P 为抛物线的焦点，直线20x +=即2x =-为抛物线的准线. 设抛物线C 的方程为22(0)y px p =>，所以22p=，所以4p =， 故动圆圆心M 的轨迹C 的方程为28y x =.（2）由已知可得直线l 的方程为(2)y k x =-，记()11,A x y ，()22,B x y .由2(2)8y k x y x=-⎧⎨=⎩消去y 整理可得()22224840k x k x k -++=. 由根与系数关系可得212248k x x k ++=，所以()12124422k x x k y y k+-+==. 所以AB 的中点坐标为22244,k kk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 所以线段AB 的中垂线方程为224124k y x k k k ⎛⎫+-=-- ⎪⎝⎭.令0y =，可得2264k x k +=，所以2264,0k N k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 所以()22224164||2k k NP k k++=-=. 又由抛物线的定义可知()212281||4k AB x x k +=++=.所以()()222281||2||41k AB k NP k k +=⋅=+. 【点睛】本题考查定义法求抛物线的方程、直线与抛物线的位置关系，考查坐标法思想的运用，解题过程中要注意目标意识，即弦长||AB 和线段||NP 都借助变量k 进行表示，再进行运算求值.20．一间宿舍内住有甲､乙两人，为了保持宿舍内的干净整洁，他们每天通过小游戏的方式选出一人值日打扫卫生，游戏规则如下：第1天由甲值日，随后每天由前一天值日的人抛掷两枚正方体骰子(点数为16-)，若得到两枚骰子的点数之和小于10，则前一天值日的人继续值日，否则当天换另一人值日.从第2天开始，设“当天值日的人与前一天相同”为事件A . （1）求()P A . （2）设()*n p n N∈表示“第n 天甲值日”的概率，则()1111,1(2,3,4,)n n n p p ap b p n --==+-=L ，其中()a P A =，()b P A =.（ⅰ）求n p 关于n 的表达式.（ⅱ）这种游戏规则公平吗？说明理由.【答案】（1）56.（2）（ⅰ）1*121,232n n p n -⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N （ⅱ）不公平，理由见解析 【解析】（1）根据古典概型的概率公式和对立事件的概率公式可求得结果； （2）（ⅰ）代入,a b 的值后，构造等比数列12n p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭可求得结果；（ⅱ）根据112112322n n p -⎛⎫=+> ⎪⎝⎭可知游戏不公平. 【详解】（1）由题意可知，事件A 表示“当天值日的人与前一天不同”，即前一天值日的人抛掷两枚骰子所得点数之和大于或等于10.抛掷两枚骰子所得点数的情况有6636⨯=种，事件A 包含的情况有(4,6),(6,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6)，共6种情况.所以61()366P A ==. 所以5()1()6P A P A =-=. （2）（ⅰ）由（1）可知()111512116636n n n n p p p p ---=+-=+. 整理可得1121,2,3,4,232n n p p n -⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭L ， 所以12n p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为11122p -=，公比为23的等比数列.所以1112223n n p -⎛⎫-= ⎪⎝⎭.所以1*121,232n n p n -⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N . （ⅱ）不公平.理由如下：因为112112322n n p -⎛⎫=+> ⎪⎝⎭恒成立，即每天甲值日的概率都大于12，甲每天值日的概率都比乙值日的概率大，所以不公平. 【点睛】本题考查了古典概型扥概率公式和对立事件的概率公式，考查了构造等比数列求数列的通项公式，属于中档题.21．设函数()()21ln 12f x k x k x x =+-- （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设函数()f x 的图象与直线y m =交于()1,A x m ，()2,B x m 两点，且12x x <，求证：1202x x f +⎛⎫'< ⎪⎝⎭. 【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）求导后根据0k ≤、0k >分别求出()0f x '>、()0f x '<得解即可得解；（2）由题意得212121ln ln 12x x x x k k x x +-=+--，则212122211112ln 21x x x x x k f x x x x x ⎛⎫- ⎪+⎛⎫ ⎪=- ⎪-⎪⎝⎭+ ⎪⎝⎭'，令211x t x =>，()()()21ln 11t g t t t t -=->+，求导后证明()()10g t g <=即可得证. 【详解】（1）函数()()21ln 12f x k x k x x =+--的定义域为()0,∞+. ()()()11x x k kf x k x x x+-'=+--=-. 当0k ≤时，()0f x '<恒成立，所以()f x 在()0,∞+是减函数； 当0k >时，令()0f x '>，得0x k <<，令()0f x '<，得x k >， 所以()f x 在()0,k 上是增函数，在(),k +∞上是减函数.综上，当0k ≤时，()f x 在()0,∞+是减函数；当0k >时，()f x 在()0,k 上是增函数，在(),k +∞上是减函数.（2）证明：由题意知方程()f x m =有两个不相等的实根1x ，2x ，且12x x <， 所以()()2211122211ln 1ln 122k x k x x k x k x x +--=+--，且120x x <<. 所以()()()222121211ln ln 2x x k x x k x x ----=-，所以212121ln ln 12x x x x k k x x +-=+--. 因为()1kf x k x x'=+--，所以21221122122121111ln ln 22ln 21x x x x x x x k k f k x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪+-⎛⎫ ⎪'=-=- ⎪+-- ⎪⎝⎭+ ⎪⎝⎭令211x t x =>，()()()21ln 11t g t t t t -=->+，则()()()22101t g t t t '-=-<+， 所以()g t 在()1,+∞单调递减，所以()()10g t g <=. 又因为120x x <<，由（Ⅰ）知0k >，所以210kx x >-.所以1202x x f +⎛⎫'< ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了推理能力和计算能力，属于中档题.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为121x m y m =+⎧⎨=-+⎩，（m 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2363cos 2ρθ=-，直线l 与曲线C 交于M ，N 两点.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求|MN |.【答案】（1）直线:230l x y --=，曲线22:1189x y C +=；（2）【解析】（1）把直线参数方程中的参数m 消去，可得直线的普通方程，把曲线C 的极坐标方程变形，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C 的直角坐标方程； （2）写出直线参数方程的标准形式，代入曲线C 的普通方程，化为关于t 的一元二次方程，再由参数t 的几何意义求解． 【详解】 （1）由121x my m=+⎧⎨=-+⎩（m 为参数），消去参数m 整理可得直线l 的普通方程为230x y --=.由曲线C 的极坐标方程2363cos 2ρθ=-，得2(3cos 2)36ρθ-=，即()2222cos 4sin 36ρθθ+=，故曲线C 的直角坐标方程为22218xy +=，即221189x y +=. （2）由已知可得直线l 的斜率12k =，设l 的倾斜角为α，则sin α，cos 5α=， 所以直线l的参数方程可写成11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），将11x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入22218x y +=，整理可得2252t =，解得1t =2t =.由参数方程的几何意义可得12||MN t t =-=【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程与普通方程的互化，利用直线参数方程中参数t 的几何意义求解问题时，记得把参数方程化成标准形式． 23．设函数()|1||2|f x x x =++-.（1）求不等式()4f x …的解集； （2）设a ，b ，*c R ∈，函数()f x 的最小值为m ，且111234m a b c++=，求证：2343a b c ++….【答案】（1）35,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭（2）详见解析【解析】（1）将()f x 写为分段函数的形式，然后由()4f x …，分别解不等式即可； （2）由（1）知()3min f x =，从而得到3m =，再根据1113(234)(234)()234a b c a b c a b c++=++++，利用基本不等式求出3(234)a b c ++的最小值即可证明2343a b c ++…．【详解】第 21 页 共 21 页 （1）12,1()123,1221,2x x f x x x x x x -<-⎧⎪=++-=-⎨⎪->⎩剟． ()4f x Q …，∴1241x x -⎧⎨<-⎩…或2142x x -⎧⎨>⎩…，∴32x -…或52x …， ∴不等式的解集为35(,][,)22-∞-⋃+∞； （2）证明：由（1）知()3min f x =，3m ∴=，∴1113234m a b c++==， 1113(234)(234)()234a b c a b c a b c∴++=++++ 2324433324234a b a c c b b a c a b c=++++++39+=…， 2343a b c ∴++…，当且仅当2341a b c ===，即12a =，13b =，14c =时取等号， 2343a b c ∴++…．【点睛】 本题考查绝对值不等式的解法，基本不等式和利用综合法证明不等式，考查分类讨论思想和转化思想，属中档题．。
2020届天一大联考高三毕业班阶段性测试(四)数学(理)试题及答案
绝密★启用前2020届天一大联考高三毕业班阶段性测试（四）数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合()(){}140M x x x =--≥，(){}ln 2N x y x ==-，则M N =（）A ．()1,2B ．[]1,2C ．(],1-∞D ．(]2,4答案：C首先求出集合M 、N ，再根据交集的定义计算可得； 解： 解：由题意，集合()(){}{}14041M x x x x x x =--≥=≥≤或，(){}{}ln 22N x y x x x ==-=<，所以{}(]1,1M N x x ⋂=≤=-∞．故选：C 点评：本题主要考查了集合的运算、不等式的解法和函数的定义域，考查了推理与运算能力，属于基础题． 2．复数z 满足1212ii z+=-，则z 的共轭复数z =（） A ．34i -+ B ．34i --C ．3455i -+ D ．3455i -- 答案：D根据复数代数形式的除法运算求出复数z ，从而求出z 的共轭复数； 解：解：由1212ii z+=-，得()()()()1212123412121255i i i z i i i i +++===-+--+，所以3455z i =--． 故选：D 点评：本题主要考查了复数的共轭复数的概念、复数的运算法则，考查了推理与运算能力，属于基础题. 3．已知平面α，β，直线l 满足l α⊂，则“//l β”是“//αβ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：B利用定义法直接判断即可. 解：若l α⊂，//l β不能推出//αβ，因为α与β可能相交；反过来，若l α⊂，//αβ，则l 与β无公共点，根据线面平行的定义，知//l β. 所以“//l β”是“//αβ”的必要不充分条件. 故选：B. 点评：本题考查充分条件、必要条件的应用，在判断充分条件、必要条件时，有如下三种方法：1.定义法，2.等价法，3.集合间的包含关系法.4．412x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为（） A ．11- B ．11C ．70D ．70-答案：C将412x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭变形为()841x x-，写出()81x -展开式的通项()8181r r r r T C x -+=-，令840r --=求出r ，从而求出二项式展开式的通项. 解：解：()844112x x x x -⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，又()81x -展开式的通项()8181r r rr T C x -+=-，取840r --=，得4r =，常数项为()448C 170⨯-=．故选：C 点评：本题考查了二项式定理，考查转化思想，属于中档题.5．已知正实数a ，b ，c 满足31log 2a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，31log 4bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3log 2c =，则（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．c a b <<答案：B在同一坐标系里画出12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，14xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与3log y x =的图象，即可得到1a b >>，再根据对数的性质可得1c <，从而得解； 解：解：在平面直角坐标系里画出12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，14xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与3log y x =的图象，可得1a b >>．而3log 21c =<，故c b a <<．故选：B点评：本题考查通过指数函数与对数函数的图象的交点判断数值的大小，考查数形结合思想，属于中档题． 6．已知向量a ，b 的夹角为135°，22a =，3b =，且a λb +与a b -垂直，则λ=（） A ．1415B ．56C ．23D ．16答案：A首先求出a b ⋅，再根据a λb +与a b -垂直，得到()()0a b a b λ+⋅-=，即可得到方程，从而求出参数的值； 解： 解：由22a =，3b =，a，b的夹角为135°，得cos ,223cos1206a b a b a b ︒⋅=⋅=⨯⨯=-．由a λb +与a b -垂直，得()()()()22186190a b a b a a b b λλλλλ+⋅-=+-⋅-=---=，解得1415λ=． 故选：A 点评：本题考查了向量的数量积运算．向量垂直的充要条件．考查学生的数学运算能力，属于基础题.7．设不等式组21022020x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，表示的平面区域为D ，命题p ：点()2,1在区域D 内，命题q ：点()1,1在区域D 内．则下列命题中，真命题是（） A ．()p q ⌝∨ B ．()p q ∨⌝C ．()()p q ⌝∧⌝D ．p q ∧答案：A首先作出不等式组表示的平面区域，从而判断命题p 、q 的真假，再根据复合命题的真值表判断可得； 解：解：作出不等式组表示的平面区域D 如下所示，可知点()2,1不在区域D 内，所以命题p 为假命题，p ⌝为真命题，点()1,1在区域D 内，所以命题q 为真命题，命题()p q ⌝∨为真命题.故选：A 点评：本题主要考查了二元一次不等式组表示的平面区域，以及复合命题的真假判定，考查学生分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 8．函数()333x xxf x --=+的图象大致是（） A ． B ．C ．D ．答案：D首先求出函数的定义域，再判断函数的奇偶性，最后根据0x >时函数值的正负情况确定函数图象； 解： 解：()333x x x f x --=+的定义域为R ．又因为()()()333x xx f x f x ----==-+，且()00f =，所以()f x 为R 上的奇函数，即函数图象关于原点对称，故A ，B 排除．当0x >时()f x 的分子为负数，分母为正数，故()0f x <．排除C 项． 故选：D ． 点评：本题考查函数的图象与性质，考查识别图象的方法——排除法，属于基础题．9．已知1F ，2F 为双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点，点M 为E 右支上一点．若1MF 恰好被y 轴平分，且1230MF F ∠=，则E 的渐近线方程为（） A ．2y x = B ．2y x = C ．3y x =D ．2y x =±答案：B依题意可得2MF 垂直于x 轴，在12Rt MF F 中，由1230MF F ∠=︒，且122MF MF a -=，即可求出22MF a =，1232F F a =，再根据222b c a =-，从而求出双曲线的渐近线方程；解：解：由1MF 恰好被y 轴平分，得2MF 垂直于x 轴， 在12Rt MF F 中，1230MF F ∠=︒，122MF MF =， 又122MF MF a -=，得到22MF a =，12222F F c a ===，即c =，得b ==，故渐近线方程为y =． 故选：B. 点评：本题考查了双曲线的方程和性质、渐近线方程，考查数学运算能力，属于中档题． 10．设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()2*41n n S a n N =+∈，则5678aa a a +++=（）A ．24B ．48C ．64D ．72答案：B由11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，得到2211220n n n n a a a a -----=，从而得到{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，求出数列的通项公式，再根据等差数列的下标和性质计算可得； 解：解：因为()()2*41n n S a n N =+∈所以当1n =时，由()211114a S a +==，得11a =，当2n ≥时，()()221141,41,n n n n S a S a --⎧=+⎪⎨=+⎪⎩得()()221411n n n a a a -=+--， ∴2211220n n n n a a a a -----=，()()1120n n n n a a a a --+--=．∵0n a >，∴12n n a a --=．∴{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，∴21n a n =-，则()567867248a a a a a a +++=+=． 故选：B 点评：本题考查数列递推公式，等差数列的通项公式等知识，考查数学运算能力，属于中档题.11．已知斜率为()0k k >的直线l 过抛物线24y x =的焦点，且与圆()()22212x y +++=相切．若直线l 与抛物线交于A ，B 两点，则AB =（） A． B．C ．8 D ．12答案：C依题意可得直线l 的方程为()()10y k x k =->，由于直线l 与圆()()22212x y +++=相切，则圆心到直线的距离等于半径得到方程求出参数k ，联立直线与抛物线方程，消元列出韦达定理，最后根据弦长公式计算可得； 解：解：抛物线24y x =的焦点为()1,0F ，直线l 的方程为()()10y k x k =->，即kx y k 0--=． 由于直线l 与圆()()22212x y +++=相切，所以d ==1k =，所以l 的方程为1y x =-，与抛物线24y x =联立，得2610x x -+=，所以126x x +=，121=x x ，所以8AB ===．故选：C 点评：本题考查直线与圆、抛物线位置关系的综合应用，考查数学运算能力，属于中档题.12．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若()()2f x f x '<，则不等式()()4832x e f x e f x -->+的解集是（）A ．1(,)2-+∞ B ．1(,)2-∞C ．1(,1)2-D ．1(1,)2-答案：A 令()()2xf xg x e=，利用导数说明()g x 的单调性，将()()4832xe f x e f x -->+的解集等价于()()32g x g x ->+的解集，最后根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，从而解得； 解：解：因为()()2f x f x '<，所以()()2220xxe f x e f x '-<．令()()2xf xg x e=．则()()()()222220x x x e f x e f x g x e '-'=<，所以()g x 在R 上单调递减，又()()2xf xg x e ---=，()()643231x f x g x e+++=，所以()()4832xe f x e f x -->+的解集等价于()()32g x g x ->+的解集，所以有32x x -<+．即12x >-． 故选：A 点评：本题考查导数的应用，考查构造函数分析解决不等式问题的能力，属于中档题． 二、填空题13．某校高三年级一次模拟考试的数学测试成绩满足正态分布2(100,)XN σ，若已知()701000.47P X <≤=，则从该校高三年级任选一名学生，其数学测试成绩大于130分的概率为______． 答案：0.03根据正态分布的性质计算可得； 解： 解：因为()2100,XN σ，()701000.47P X <≤=．所以()()()170130127010010.941300.03222P X P X P X -<≤-<≤->====．故答案为：0.03 点评：本题主要考查正态分布中求指定区间的概率问题，考查正态分布的特征，属于基础题．14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足21a =，()21233n n n S S S n --+=≥，则5a =______． 答案：8由2123n n n S S S --+=，1n n n a S S -=-，得()1122n n n n S S S S ----=-，即12n n a a -=，再根据3522a a =⨯计算可得；解：解：由2123n n n S S S --+=，得()1122n n n n S S S S ----=-．所以12n n a a -=，即()123nn a na -=≥，所以33522128a a =⨯=⨯=． 故答案为：8 点评：本题考查数列的递推公式的应用，属于基础题．15．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωφωφ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法正确的有______．（写出所有正确说法的序号） ①()f x 的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称； ②()f x 的图象关于直线512x π=-对称； ③()f x 的图象可由3sin 2cos 2y x x =-的图象向左平移2π个单位长度得到； ④方程()30f x +=在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实数根．答案：①②④根据函数图象求出函数的解析式，再根据三角形函数的性质一一验证即可； 解：解：由函数的图象可得2A =，124312πππω⋅=-，求得2ω=， 由五点作图法可得23πϕπ⨯+=，求得3πϕ=，所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，因为06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭是()f x 图象的对称中心，故①正确；1252f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭-，所以直线512x π=-是()f x 图象的对称轴，故②正确；将函数2cos 22sin 26y x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭的图象向左平移2π个单位长度得到函数52sin 22sin 2266y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，故③不正确； 当,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π时，22,333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦， 根据sin y x =在区间2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象可知，方程()0f x =在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实数根．故④正确． 故答案为：①②④ 点评：本题主要考查了三角函数的图象与性质及由三角函数的部分图象求解函数的解析式，属于中档题． 三、解答题16．已知正三棱锥P ABC -的四个顶点都在半径为3的球面上，则该三棱锥体积最大时，底面边长AB =______．答案：设AB AC BC n ===，则2ABC S =△，ABC 外接圆的半径为，则三棱锥的高为3，表示出三棱锥P ABC -的体积，设23n t =，则())3f t =，利用导数研究函数的单调性，即可求出函数的最值，从而得解； 解：解：如图所示，设AB AC BC n ===，则24ABC S n =△，ABC 外接圆的半径为3，则三棱锥的高为3，三棱锥P ABC-的体积为2213333n ⎫⎫=⎪⎪⎪⎪⎭⎭，设23n t =，则()()393f t tt =-+．所以()393429f t t t ⎛⎫'=--+ ⎪-⎝⎭．令()0f t '=，解得8t =，()f t 在()0,8上单调递增，在[]8,9上单调递减，∴()()max 883f t f ==，所以三棱锥P ABC -的体积最大时底面边长32426n t ===．故答案为：26点评：本题考查球体的内接三棱锥最大体积的求法，综合性强，考查了换元法、函数求导方法，考查学生的转化能力、运算能力，属于难题． 17．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中43c =，2sin 223sin 23C C +=，C 为锐角．（1）若4a =，求角B ；（2）若sin 2sin B A =，求ABC 的面积． 答案：（1）2π（2）83（1）根据同角三角函数的基本关系得到C ，再根据正弦定理求出角A ，即可得出角B ； （2）利用正弦定理将角化边，再结合余弦定理求出a ，b ，最后根据面积公式计算可得； 解：解：（1）2sin 223sin 23C C +=，即)2sin 2231sin C C =-，得22sin cos 23C C C =． 由0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 0C ≠，所以tan 3C =3C π=．由正弦定理可得4sin sin 3A π=，解得1sin 2A =．又因为a c <，所以6A π=，故362B ππππ=--=．（2）因为sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =．在ABC 中由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，得2248a b ab =+-，解得4a =，8b =，所以11sin 48222ABC S ab C ==⨯⨯⨯=△ 点评：本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，着重考查了运算与求解能力，属于中档题．18．某班级有60名学生，学号分别为1～60，其中男生35人，女生25人．为了了解学生的体质情况，甲、乙两人对全班最近一次体育测试的成绩分别进行了随机抽样．其中一人用的是系统抽样，另一人用的是分层抽样，他们得到各12人的样本数据如下所示，并规定体育成绩大于或等于80人为优秀．甲抽取的样本数据：女抽取的样本数据：（Ⅰ）在乙抽取的样本中任取4人，记这4人中体育成绩优秀的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望；（Ⅱ）请你根据乙抽取的样本数据，判断是否有95%的把握认为体育成绩是否为优秀和性别有关；（Ⅲ）判断甲、乙各用的何种抽样方法，并根据（Ⅱ）的结论判断哪种抽样方法更优，说明理由．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++答案：（Ⅰ）见解析，3（Ⅱ）有；（Ⅲ）甲用的是系统抽样，乙用的是分层抽样．采用分层抽样方法比系统抽样方法更优．（Ⅰ）依题意可知随机变量X 服从超几何分布，列出分布列，求出期望； （Ⅱ）列出列联表，计算出卡方，即可判断； （Ⅲ）根据数据特征，选择合适的抽样方法； 解：解：（Ⅰ）在乙抽取的样本中，体育成绩优秀的学生人数为7．X 的可能取值为0，1，2，3，4．()475412C C C k kP X k -==，0,1,2,3,4k =，分布列为1141435770123499993399993EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． （Ⅱ）由乙抽取的样本数据，得22⨯列联表如下：()22126411 5.182 3.8417557k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有95%的把握认为体育成绩是否为优秀与性别有关． （Ⅲ）甲用的是系统抽样，乙用的是分层抽样．由（Ⅱ）的结论知，体育成绩是否为优秀与性别有关，并且从样本数据能看出体育成绩与性别有明显差异，因此采用分层抽样方法比系统抽样方法更优． 点评：本题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望，独立性检验思想的应用，抽样方法，考查学生的数学运算和分析问题的能力，属于中档题.19．已知直三棱柱111ABC A B C -中，2AB AC ==，1223BC AA ==，E 是BC 中点，F 是1A E 上一点，14A E EF =．（Ⅰ）证明：AF ⊥平面1A BC ； （Ⅱ）求二面角11C A E B --的余弦值． 答案：（Ⅰ）见解析（Ⅱ）25． （Ⅰ）通过证明BC AF ⊥，1A E AF ⊥即可得证；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值； 解：解：（Ⅰ）因为在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ABC ⊥平面，所以1AA BC ⊥． 因为AB AC =，E 是BC 的中点．所以AE BC ⊥． 又因为1AEAA A =，所以1BC A AE ⊥平面，所以BC AF ⊥．在ABC 中，易得23BAC π∠=，1AE =．在1Rt A AE △中，可得12A E =．所以12EF =． 又因1A EAE EF AE =，所以1AEF A EA △∽△，所以12AFE A AE π∠=∠=，即1A E AF ⊥． 又因为1A EBC E =，1,A E BC ⊂平面1A BC ，所以AF ⊥平面1A BC ．（Ⅱ）如图所示，以点E 为坐标原点建立空间直角坐标系则()0,0,0E ，(10,3,3B -，(13A -，()1,0,0A -，1344F ⎛- ⎝⎭．所以(10,3,3EB =-，(13EA =-，133,0,44AF ⎛= ⎝⎭． 设平面11B A E 的一个法向量为(),,n x y z =，则11330,30,n EB z n EA x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩取1z =，得()3,1,1n =． 由（Ⅰ）可知平面1CA E 的一个法向量为()3,0,13m AF ==．则25cos ,31131m n m n m n⋅===++⨯+结合图形可得二面角11C A E B --为钝角，故二面角11C A E B --的余弦值为25． 点评：本题考查线面垂直的判定和性质，考查利用空间向量求二面角的余弦值的方法，考查空间想象能力和数学运算能力，属于中档题．20．已知椭圆()2222:10,0x y E a b a b+=>>的四个顶点依次连接可得到一个边长为23（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设直线:l y kx m =+与圆2222:3b O x y +=相切，且交椭圆E 于两点M ，N ，当MN 取得最大值时，求22m k +的值．答案：（Ⅰ）22193x y +=（Ⅱ）135（Ⅰ）依题意可得221212222a b a b ab ⎧+=⎪⎨⨯⨯==⎪⎩（Ⅱ）因为直线:l y kx m =+与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径得到()2221m k=+，联立直线与曲线方程，消元，设()11,M x y ，()22,N x y ，列出韦达定理，利用韦达定理得到12MN x x =-=MN 的最大值，即可求出22m k +的值； 解：解：（Ⅰ）由题意得2212,12222a b a b ab ⎧+=⎪⎨⨯⨯==⎪⎩解得3a =，b =所以椭圆E 的方程为22193x y +=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知圆22:2O x y +=． 因为直线y kx m =+与圆22:2O x y +=相切，=()2221m k =+．联立方程组221,93,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得()()222136330k x kmx m +++-=． 所以()2212930k m∆=+->．设()11,M x y ，()22,N x y ，所以122613km x x k +=-+，()21223313m x x k-=+．由弦长公式得12MN x x =-==．将()2221m k=+代入得MN ==()()22222712132k kk +++≤=+， 当且仅当222271k k +=+，即215k =时等号成立．所以MN ．此时2212113555m k +=+=． 点评：本题考查求椭圆的标准方程，直线与圆、椭圆的位置关系，求弦长，考查学生的运算能力，属于中档题．21．已知函数()2()1xf x xe =-．（Ⅰ）设曲线()y f x =与x 轴正半轴交于点()0,0x ，求曲线在该点处的切线方程； （Ⅱ）设方程()()0f x m m =>有两个实数根1x ，2x ，求证：121212x x m e ⎛⎫-<-+ ⎪⎝⎭答案：（Ⅰ）()21y e x =--（Ⅱ）见解析（Ⅰ）首先求出函数与x 轴正半轴交于点()0,0x ，求出函数的导函数即可得到()0f x '即切线的斜率，最后利用点斜式求切线方程；（Ⅱ）求出函数的单调区间，不妨设12x x <，则12111x x -<<<<．首先证明：当11x -<<时，()()21e x f x -->，要证121212x x m e ⎛⎫-<-+⎪⎝⎭，只要证1112122m x m e e ⎛⎫--≤-+ ⎪⎝⎭，即证11x m ≥-．又()1211x m x e =-，只要证()121111x x x e ≥--，即证()()1111110x x x e ⎡⎤+⋅-+≥⎣⎦．令()()11x x x e ϕ=-+利用导数研究函数的单调性从而得到()11110xx e -+≥，即可得证；解：解：（Ⅰ）由()()210xf x xe=-=，得1x =±．∴01x =，即函数与x 轴正半轴交于点()1,0，又因为()()212xf x x x e '=--．∴()12f e '=-．()10f =，∴曲线在点()1,0处的切线方程为()21y e x =--．（Ⅱ）令()0f x '=得1x =或1x =--且当1x <-1x >时()0f x '<；当11x --<<时，()0f x '>．∴()f x 的单调递增区间为()11-，单调递减区间为(,1-∞-，)1,+∞．当1x <-或1x >时()0f x <；当11x -<<时，()0f x >．不妨设12x x <，则12111x x -<<<<． 下面证明：当11x -<<时，()()21e x f x -->．当()1,1x ∈-时，()()()()()2211210120xxe xf x x e e x x e e -->⇒--->⇒+-<．易知()()12xg x x e e =+-在()1,1-上单调递增，∴()()10g x g <=，即当11x -<<时，()()21e x f x --<．由()21,,y e x y m ⎧=--⎨=⎩得12m x e =-．记212mx e'=-． 则121221112mx x x x x x x e''-<-=-=--． 要证121212x x m e ⎛⎫-<-+ ⎪⎝⎭，只要证1112122m x m e e ⎛⎫--≤-+ ⎪⎝⎭，即证11x m ≥-． 又∵()1211xm x e =-，∴只要证()121111x x x e ≥--，即证()()1111110xx x e ⎡⎤+⋅-+≥⎣⎦．∵111x -<<，即证()11110xx e -+≥．令()()11xx x e ϕ=-+，则()xx xe ϕ'=．当10x -<<时，()0x ϕ'<．()x ϕ为单调递减函数； 当01x <<时，()0x ϕ'>．()x ϕ为单调递增函数． ∴()()00x ϕϕ≥=，∴()11110xx e -+≥．∴121212x x m e ⎛⎫-<-+ ⎪⎝⎭．点评：本题考查导数的几何意义以及用导数研究函数性质，属于难题．22．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为2114x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（Ⅰ）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于点M ，N ，求OMN 的面积． 答案：（Ⅰ）222y x =-．40x -=．（Ⅱ）12（Ⅰ）消去参数得到曲线C 的普通方程，由cos x ρθ=，sin y ρθ=将极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设点M ，N 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，联立直线与曲线方程，消元列出韦达定理，由12142OMNSy y =⨯⨯-计算可得； 解：解：（Ⅰ）由曲线C 的参数方程可得2114x t -=，2212y t = 所以曲线C 的普通方程为222y x =-．由直线l的极坐标方程可得1cos sin 22ρθθ+=， 将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入可得l的直角坐标方程为40x +-=．（Ⅱ）设点M ，N 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y，由2224y x x ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得260y +-=，得12y y +=-126y y =-， 故126y y -===．l 与x 轴交点的直角坐标为()4,0．所以OMN 的面积为12114461222S y y =⨯⨯-=⨯⨯=． 点评：本题主要考查极坐标和直角坐标的互化，考查三角形面积求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题．23．已知函数()1f x x a x =-+-，()41g x x =-+ （Ⅰ）当2a =时，求不等式()3f x ≥的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式()()f x g x ≤的解集包含[]0,1，求a 的取值范围． 答案：（Ⅰ）(][),03,-∞⋃+∞．（Ⅱ）12a -≤≤（Ⅰ）当2a =时，函数()23,1,211,12,23, 2.x x f x x x x x x -+≤⎧⎪=-+-=<<⎨⎪-≥⎩然后分类讨论计算可得；（Ⅱ）由已知得，当01x ≤≤时()()f x g x ≤，即141x a x x -+-≤-+恒成立，即可得到2x a -≤，从而得到方程组，解得即可；解：解：（Ⅰ）由题意，当2a =时，函数()23,1,211,12,23, 2.x x f x x x x x x -+≤⎧⎪=-+-=<<⎨⎪-≥⎩当1x ≤时()233f x x =-+≥，解得0x ≤； 当12x <<时，()13f x =≥，无解；21 当2x ≥时，()233f x x =-≥，解得3x ≥．综上所述()3f x ≥的解集为(][),03,-∞⋃+∞．（Ⅱ）由已知得，当01x ≤≤时()()f x g x ≤，即141x a x x -+-≤-+恒成立因为01x ≤≤，所以不等式化为141x a x x -+-≤--，即2x a -≤，得22a x a -≤≤+．则20a -≤且21a +≥，得12a -≤≤．点评：本题主要考查了含绝对值不等式的求解．以及含绝对值不等式的恒成立问题的求解，着重考查了转化思想以及推理与运算能力，属于中档题．。
河南省天一大联考2020届高三阶段性测试(全国卷)数学(理)Word版含解析
河南省天一大联考2020届高三阶段性测试（全国卷）数学（理）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. ）【答案】A【解析】由题意结合复数的运算法则有：本题选择A选项.2. ）A. 1B. 3C. 5D. 7【答案】B3.）A. 0.8B. 1.8C. 0.6D. 1.6【答案】B【解析】由题意，，代入线性回归方程为，可得4. 下列说法中，错误的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】选项C，平面由面面平行的性质定理可得选项A正确；由面面垂直的性质定理可得选项B正确；由线面平行的性质定理可得选项D正确；本题选择C选项.5. ）D.【答案】D，结合本题选择D选项.点睛：求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．6. ，且函数）B. C.【答案】A7. ）【答案】C，，据此可得：本题选择C选项.8. 250，则判断框中可以填（）C.【答案】B【解析】阅读流程图可得，该流程图输出的结果为：注意到在求和中起到主导地位，且，故计算：结合题意可知：判断框中可以填.本题选择B选项.点睛：使用循环结构寻数时，要明确数字的结构特征，决定循环的终止条件与数的结构特征的关系及循环次数．尤其是统计数时，注意要统计的数的出现次数与循环次数的区别．9. ，第一周的比赛中，踢了3场，4场，2队未踢过，队与）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】DCD D队参加的比赛为：已经得到的八场比赛中，A,B各包含一场，中进行的比赛中，，2场，即余下的比赛为：综上可得，第一周的比赛共11本题选择D选项.10. 的左焦点，过点轴的直线分别在第二、三象限交双曲线的渐近线方程为（）D.【答案】A可得：，则：，据此有：整理可得：，则双曲线的渐近线方程为............................本题选择A选项.11. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，下图画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）D.【答案】D两三棱柱相交部分的面积为：，本题选择D选项.点睛：(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．12. ）B. C. D.【答案】B所以在得令，，在，所以点睛：本题主要考查了不等式恒成立的问题，以及利用导数研究函数的单调性。
河南省天一大联考2020届高三上学期阶段性测试(一)数学理科试卷含答案
绝密★启用前天一大联考 2019—2020学年髙中毕业班阶段性测试（一）数学（理科）考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本诫卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={3|-=x y x }，B={0<67|2+-x x x }，则=B A C R )(A.{3<<1|x x }B.{6<<1|x x }C.{31|≤≤x x }D.{61|≤≤x x }2.已知i z i z 43,10521+=-=，且复数z 满足2111z z z +=，则z 的虚部为 A. i 252 B. i 252- C. 252 D. 252- 3. 某单位共有老年、中年、青年职工320人，其中有青年职工150人，老年职工与中年职工的人数之比为 7:10，为了了解职工的身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，抽取的样本中有青年职工30人,则抽取 的老年职工的人数为A.14B.20C.21D.704.设等差数列{n a }的前n 项和为n S ，若40,25732==S a a a ，则=7aA. 13B.15C.20D.225.已知向量b a ,满足b b a b a ⊥-==)(,1||,2||，则a 与b 的夹角为 A. 6π B. 3π C. 2π D. 32π 6.马拉松是一项历史悠久的长跑运动,全程约42千米.跑马拉松对运动员的身体素质和耐力是极大的考验，专业的马拉松运动员经过长期的训练,跑步时的步輻（一步的距离）—般略低于自身的身髙，若某运动员跑完一次全程马拉松用了 2.5小时，则他平均每分钟的步数可能为A.60B. 120C. 180D.2407.某几何体的三视图如阁所示，则该几何体的侧面积为A. π253 B. π2536+ C. π53 D. π536+ 8.已知双曲线E: 1322=-y x ，F 为E 的左焦点，P ，Q 为双曲线E 右支上的两点，若线段PQ 经过点（2,0)，PQF ∆的周长为58，则线段PQ 的长为 A.2 B. 52 C.4 D. 549.已知函数)()(x x e e x x f --=，若)1(<)12(+-x f x f ，则x 的取值范围是 A. )3,31(- B. )31,(--∞ C. ),3(+∞ D. ),3()31,(+∞--∞ 10.已知椭圆C: )0> b 0,> (12222a b y ax =+的左、右顶点分别为A ，B,点M 为椭圆C 上异于A,B 的一点.直线AW 和直线BM 的斜率之积为41-，则椭圆C 的离心率为 A. 41 B. 21 C. 23 D. 415 11.设函数x x f ππsin 2)(-=在),0(+∞上最小的零点为0x ，曲线)(x f y =在点(0x ，0)处的切线上有一点P ，曲线x x y ln 232-=上有一点Q ，则||PQ 的最小值为A. 510B. 55C. 10103D. 5102 12.已知四棱锥P-ABCD 的四条俩棱都相等，底面是边长为2的正方形，若其五个顶点都在一个表面积为481π的球面上，则PA 与底面ABCD 所成角的正弦值为 A. 32 B. 32或35 C.322 D. 31或322 二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020-- 河南省 天一大联考高三阶段性测试(三) 数学(理)试题--(附解析答案)
【详解】
设 ， ，则点 ， ，
代入抛物线的方程，得 ，
整理得 ，解得 （负值舍去），故 .
故选：B.
【点睛】
本题考查抛物线中三角形面积比值的计算，涉及了抛物线方程与几何性质的应用，考查计算能力，属于中等题.
2020届河南省天一大联考高三阶段性测试（三）数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解出集合 、 ，然后利用交集的定义可计算出集合 .
【详解】
由 得 ，即 ， ，
所以 .
故选：B.
【点睛】
本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的解法以及正弦型函数值域的计算，考查计算能力，属于基础题.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由三视图将几何体的实物图还原，可知该几何体为一个三棱锥，计算出该三棱锥的底面积和高，然后利用锥体的体积公式可计算出该三棱锥的体积.
【详解】
由三视图知，该几何体是正方体中的一个三棱锥 ，且正方体的棱长为 .
如图，底面三角形 的面积为 ，高（点 到平面 的距离）为 ，
故选：D.
【点睛】
本题考查利用程序框图输出结果，解题的关键就是利用程序框图，列出循环的每一步，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.
4．已知等差数列 的公差不为0， ，且 是 与 的等比中项，则 的前 项和为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设等差数列 的公差为 ，可知 ，由题意得出 ，求出 的值，可求出 和 的值，然后利用等差数列的求和公式可计算出数列 的前 项和.
河南省天一大联考2020届高三上学期阶段性测试数学（理）Word版含答案
河南省天一大联考2020届高三上学期阶段性测试数学（理）Word版含答案河南省天一大联考2020届高三上学期阶段性测试数学（理）试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，，则集合（）A. B. C. D.【答案】D【解析】集合，，则。
故答案为D。
2. 在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】角的终边经过点,根据三角函数的定义得到，故答案选B。
3. 已知是公差为2的等差数列，为的前项和，若，则（）A. 24B. 22C. 20D. 18【答案】C【解析】已知是公差为2的等差数列，，即故答案为：C。
4. 已知点在幂函数的图象上，设，，，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】点在幂函数的图象上，将点代入得到故函数为，，，故大小关系是。
故答案为A。
5. （）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据积分的应用得到故答案为：B。
6. 函数的大致图象为（）A. B.C. D.【答案】B...............∴f（x）为奇函数，排除A，f（0）=0，排除D，f（）=0，排除C，故选B．7. 已知实数满足，且的最大值为6，则实数的值为（）A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】D【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大为6，即x+y=6．即A（3，3），同时A也在直线y=k上，∴k=3，故答案为D。
8. 《张丘建算经》中载有如下叙述:“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里，问末日行几何.”其大意为:“现有一匹马行走速度越来越慢，每天行走的距离是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里，问最后一天行走的距离是多少?”根据以上叙述，则问题的答案大约为( )里(四舍五入，只取整数).A. 10B. 8C. 6D. 4【答案】C【解析】由题意，设该匹马首日路程（即首项）为a1，公比S7=700，解得：，故结果为C。
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2020届高三数学天一大联考阶段性测试试题（四）理
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M ＝{x|(x －1)(x －4)≥0}，N ＝{x|y ＝ln(2－x)}，则M ∩N ＝
A.(1，2)
B.[1，2]
C.(－∞，1]
D.(2，4]
2.复数z 满足
1212i i z
+=-，则z 的共轭复数z ＝ A.－3＋4i B.－3－4i C.3455i -+ D.3455i -- 3.已知两个平面α，β，直线l ⊂α，则“l //β”是“α//β”的
A.充分必要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件 4.42)1(x x
+-展开式中的常数项为 A.－11 B.11 C.70 D.－70 5.已知正实数a ，b ，c 满足(
12)a ＝log 3a ，(14)b ＝log 3b ，c ＝log 32，则 A.a<b<c B.c<b<a C.b<c<a D.c<a<b
6.已知向量a ，b 的夹角为135°，|a|＝
，|b|＝3，且a ＋λb 与a －b 垂直，则λ＝ A.1415 B.56 C.23 D.16
7.设不等式组21022020x y x y x y +-≥-+≥+-≤⎧⎪⎨⎪⎩
，表示的平面区域为D ，命题p ：点(2，1)在区域D 内，命题q ：点(1，1)在区域D 内。
则下列命题中，真命题是
A.(⌝p)∨q
B.p ∨(⌝q)
C.(⌝p)∧(⌝q)
D.p ∧q
8.函数f(x)＝333x x
x --+的图象大致是
9.已知F 1，F 2为双曲线E ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点，点M 为E 右支上一点。
若MF 1恰好被y 轴平分，且∠MF 1F 2＝30°，则E 的渐近线方程为 A.2y x = B.2y x = C.3y x = D.2y x =± 10.设正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且4S n ＝(1＋a n )2(n ∈N *)，则a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝
A.24
B.48
C.64
D.72
11.已知斜率为k(k>0)的直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点，且与圆(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝2相切，若直线l 与抛物线交于A ，B 两点，则|AB|＝ 2312.定义在R 上的函数f(x)的导函数为f'(x)，若f'(x)<2f(x)，则不等式e 4f(－x)>e －8x f(3x ＋2)的解集是
A.(－12，＋∞)
B.(－∞，12)
C.(－12，1)
D.(－1，12
) 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.某校高三年级一次模拟考试的数学测试成绩满足正态分布X ～N(100，σ2)，若已知P(70<X
≤100)＝0.47，则从该校高三年级任选一名学生，其数学测试成绩大于130分的概率为 。
14.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2＝1，S n ＋2S n －2＝3S n －1(n ≥3)，则a 5＝ 。
15.已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<
2
π)的部分图象如图所示，下列说法中正确的有 。
(写出所有正确说法的序号)
①f(x)的图象关于点(－
6
π，0)对称； ②f(x)的图象关于直线x ＝－512π对称； ③f(x)的图象可由y 3sin2x －cos2x 的图象向左平移
2π个单位长度得到； ④方程f(x)3＝0在[－2
π，0]上有两个不相等的实数根。
16.已知正三棱锥P －ABC 的四个顶点都在半径为3的球面上，则该三棱锥体积最大时，底面边长AB ＝ 。
三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22，23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共60分
17.(12分)
已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中c ＝3，sin2C ＋32C ＝3C 为锐角。
(I)若a ＝4，求角B ；
(II)若sinB ＝2sinA ，求△ABC 的面积。
18.(12分)
某班级有60名学生，学号分别为1～60，其中男生35人，女生25人为了了解学生的体质情况，甲，乙两人对全班最近一次体育测试的成绩分别进行了随机抽样，其中一人用的是系统抽样，另一人用的是分层抽样，他们得到的各12人的样本数据如下所示，并规定体育成绩大于或等于80分为优秀。
甲抽取的样本数据：
乙抽取的样本数据：
(I)在乙抽取的样本中任取4人，记这4人中体育成绩优秀的学生人数为X，求X的分布列和数学期望；
(II)请你根据乙抽取的样本数据，判断是否有95%的把握认为体育成绩是否为优秀和性别有关；
(III)判断甲、乙各用的何种抽样方法，并根据(II)的结论判断哪种抽样方法更优，说明理由。
附：
2
2
()
()()()()
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
，其中n＝a＋b＋c＋d。
19.(12分)
已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝2，BC＝2AA1＝23，E是BC的中点，F是A1E上一点，且A1E＝4EF。
(I)证明：AF⊥平面A1BC；
(II)求二面角C－A1E－B1的余弦值。
20.(12分)
已知椭圆E：
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的四个顶点依次连接可得到一个边长为3，面积为
(I)求椭圆E 的方程；。
(II)设直线l ：y ＝kx ＋m 与圆O ：x 2＋y 2＝2
23b 相切，且交椭圆E 于两点M ，N ，当|MN|取得最大值时，求m 2＋k 2的值。
21.(12分)
已知函数f(x)＝(1－x 2)e x 。
(I)设曲线y ＝f(x)与x 轴正半轴交于点(x 0，0)，求曲线在该点处的切线方程；
(II)设方程f(x)＝m(m>0)有两个实数根x 1，x 2，求证：|x 1－x 2|<2－m(1＋12e
)。
(二)选考题：共10分请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy 中，曲线C
的参数方程为21142
x t y t ⎧⎪=+⎨=⎪⎪⎪⎩(t 为参数)。
以坐标原点为极点，x
轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ－
3
π)＝2。
(I)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
(II)若直线l 与曲线C 相交于点M ，N ，求△OMN 的面积。
23.[选修4－5；不等式选讲](10分)
已知函数f(x)＝|x －a|＋|x －1|，g(x)＝4－|x ＋1|。
(I)当a ＝2时，求不等式f(x)≥3的解集；
(II)若关于x 的不等式f(x)≤g(x)的解集包含[0，1]，求a 的取值范围。