2020年高考物理十四大必考经典专题10 天体运动的“四类热点”问题
天体运动的“四类热点”问题
专题强化五 天体运动的“四类热点”问题专题解读 1.本专题是万有引力定律在天体运行中的特殊运用，同步卫星是与地球表面相对静止的卫星；而双星或多星模型有可能没有中心天体，近年来常以选择题形式在高考题中出现．2．学好本专题有助于学生更加灵活地应用万有引力定律，加深对力和运动关系的理解． 3．需要用到的知识：牛顿第二定律、万有引力定律、圆周运动规律等．1．卫星的轨道(1)赤道轨道：卫星的轨道在赤道平面内，同步卫星就是其中的一种．(2)极地轨道：卫星的轨道过南、北两极，即在垂直于赤道的平面内，如极地气象卫星． (3)其他轨道：除以上两种轨道外的卫星轨道． 所有卫星的轨道平面一定通过地球的球心． 2．同步卫星问题的“四点”注意(1)基本关系：G Mm r 2＝ma ＝m v 2r ＝mrω2＝m 4π2T 2r . (2)重要手段：构建物理模型，绘制草图辅助分析．(3)物理规律：①不快不慢：具有特定的运行线速度、角速度和周期． ②不高不低：具有特定的位置高度和轨道半径． ③不偏不倚：同步卫星的运行轨道平面必须处于地球赤道平面上，只能在赤道上方特定的点运行． (4)重要条件：①地球的公转周期为1年，其自转周期为1天(24小时)，地球半径约为6.4×103 km ，地球表面重力加速度g 约为9.8 m/s 2.②月球的公转周期约27.3天，在一般估算中常取27天．③人造地球卫星的运行半径最小为r ＝6.4×103 km ，运行周期最小为T ＝84.8 min ，运行速度最大为v ＝7.9 km/s.3．两个向心加速度特点随卫星到地心的距离的增大而减小 从赤道到两极逐渐减小4.两种周期(1)自转周期是天体绕自身某轴线转动一周所需的时间，取决于天体自身转动的快慢． (2)公转周期是运行天体绕中心天体做圆周运动一周所需的时间，T ＝2πr 3GM，取决于中心天体的质量和运行天体到中心天体的距离．例1 (2019·安徽宣城市第二次模拟)有a 、b 、c 、d 四颗地球卫星，卫星a 还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，卫星b 在地面附近近地轨道上正常运动，c 是地球同步卫星，d 是高空探测卫星，各卫星排列位置如图1，则有( )A ．a 的向心加速度等于重力加速度gB ．b 在相同时间内转过的弧长最长C ．c 在4 h 内转过的圆心角是π6D ．d 的运动周期有可能是20 h变式1 (多选)(2019·甘肃兰州市第一次诊断)中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，是继美国全球定位系统(GPS)、俄罗斯格洛纳斯卫星导航系统、欧洲伽利略卫星导航系统之后第四个成熟的卫星导航系统.2018年12月27日北斗三号基本系统完成建设，即日起提供全球服务．在北斗卫星导航系统中，有5颗地球静止轨道卫星，它们就好像静止在地球上空的某一点．对于这5颗静止轨道卫星，下列说法正确的是( )A ．它们均位于赤道正上方B ．它们的周期小于近地卫星的周期C ．它们离地面的高度都相同D ．它们必须同时正常工作才能实现全球通讯1．变轨原理(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上．如图2所示．图2(2)在A 点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ.(3)在B 点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ.2．变轨过程分析(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v 1、v 3，在轨道Ⅱ上过A 点和B 点时速率分别为v A 、v B .在A 点加速，则v A >v 1，在B 点加速，则v 3>v B ，又因v 1>v 3，故有v A >v 1>v 3>v B .(2)加速度：因为在A 点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A 点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B 点的加速度也相同．(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T 1、T 2、T 3，轨道半径分别为r 1、r 2(半长轴)、r 3，由开普勒第三定律r 3T2＝k 可知T 1<T 2<T 3.(4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E 1、E 2、E 3，则E 1<E 2<E 3.例2 (2019·辽宁大连市第二次模拟)2018年12月12日，在北京飞控中心工作人员的精密控制下，“嫦娥四号”开始实施近月制动，成功进入环月圆轨道Ⅰ.12月30日成功实施变轨，进入椭圆着陆轨道Ⅱ，为下一步月面软着陆做准备．如图3所示，B 为近月点，A 为远月点．关于“嫦娥四号”卫星，下列说法正确的是( )A ．卫星在轨道Ⅱ上A 点的加速度大于在B 点的加速度B ．卫星沿轨道Ⅰ运动的过程中，卫星中的科考仪器处于超重状态C ．卫星从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ，机械能增加D ．卫星在轨道Ⅱ经过A 点时的动能小于在轨道Ⅱ经过B 点时的动能变式2 (2019·山东潍坊市二模)如图4所示，绕月空间站绕月球做匀速圆周运动，航天飞机仅在月球引力作用下沿椭圆轨道运动，M 点是椭圆轨道的近月点，为实现航天飞机在M 点与空间站对接，航天飞机在即将到达M 点前经历短暂减速后与空间站对接．下列说法正确的是( ) A ．航天飞机沿椭圆轨道运行的周期大于空间站的周期B ．航天飞机在对接前短暂减速过程中，机内物体处于完全失重状态C ．航天飞机与空间站对接前后机械能增加D ．航天飞机在对接前短暂减速过程中机械能不变变式3 (多选)(2019·湖南娄底市下学期第二次模拟)如图5所示，设地球半径为R ，假设某地球卫星在距地球表面高度为h 的圆形轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，运行周期为T ，到达轨道的A 点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近地点B 时，再次点火进入近地轨道Ⅲ绕地球做匀速圆周运动，引力常量为G ，不考虑其他星球的影响，则下列说法正确的是( )A ．该卫星在轨道Ⅲ上B 点的速率大于在轨道Ⅱ上A 点的速率B ．卫星在圆轨道Ⅰ和圆轨道Ⅲ上做圆周运动时，轨道Ⅰ上动能小，引力势能大，机械能小C ．卫星从远地点A 向近地点B 运动的过程中，加速度变小D ．地球的质量可表示为4π2(R ＋h )3GT 21．双星模型(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图6所示． (2)特点：①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即 Gm 1m 2L 2＝m 1ω12r 1，Gm 1m 2L 2＝m 2ω22r 2 ②两颗星的周期及角速度都相同，即 T 1＝T 2，ω1＝ω2.③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r 1＋r 2＝L . ④两颗星到圆心的距离r 1、r 2与星体质量成反比，即m 1m 2＝r 2r 1.⑤双星的运动周期T ＝2πL 3G (m 1＋m 2).⑥双星的总质量m 1＋m 2＝4π2L 3T 2G .2．多星模型(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同． (2)三星模型：①三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R 的圆形轨道上运行(如图7甲所示)．②三颗质量均为m 的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．(3)四星模型：①其中一种是四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)．②另一种是三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O ，外围三颗星绕O 做匀速圆周运动(如图丁所示)．例3 (多选)(2018·全国卷Ⅰ·20)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s 时，它们相距约400 km ，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( ) A ．质量之积 B ．质量之和C ．速率之和D ．各自的自转角速度变式4 (2019·安徽A10联盟开年考)宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此的万有引力作用，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动，称为双星系统．由恒星A 与恒星B 组成的双星系统绕其连线上的O 点做匀速圆周运动，如图8所示．已知它们的运行周期为T ，恒星A 的质量为M ，恒星B 的质量为3M ，引力常量为G ，则下列判断正确的是( )A ．两颗恒星相距3GMT 2π2B ．恒星A 与恒星B 的向心力大小之比为3∶1C ．恒星A 与恒星B 的线速度大小之比为1∶3D ．恒星A 与恒星B 的轨道半径之比为3∶1变式5 (多选)如图9，天文观测中观测到有三颗星位于边长为l 的等边三角形三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆做周期为T 的匀速圆周运动．已知引力常量为G ，不计其他星体对它们的影响，关于这个三星系统，下列说法正确的是( ) A ．三颗星的质量可能不相等 B ．某颗星的质量为4π2l 33GT 2C ．它们的线速度大小均为23πlTD ．它们两两之间的万有引力大小为16π4l 49GT 41．相距最近两卫星的运转方向相同，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA －ωB )t ＝2n π(n ＝1,2,3…)． 2．相距最远当两卫星位于和中心连线的半径上两侧时，两卫星相距最远，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA －ωB )t ′＝(2n －1)π(n ＝1,2,3…)．例4当地球位于太阳和木星之间且三者几乎排成一条直线时，称之为“木星冲日”，2016年3月8日出现了一次“木星冲日”．已知木星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动，木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍．则下列说法正确的是()A．下一次的“木星冲日”时间肯定在2018年B．下一次的“木星冲日”时间肯定在2017年C．木星运行的加速度比地球的大D．木星运行的周期比地球的小变式6(多选)(2020·山西太原市质检)如图10，三个质点a、b、c的质量分别为m1、m2、M(M远大于m1及m2)，在万有引力作用下，a、b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比为r a∶r b＝1∶4，则下列说法中正确的有()A．a、b运动的周期之比为T a∶T b＝1∶8B．a、b运动的周期之比为T a∶T b＝1∶4C．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线12次D．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次1.(多选)(2019·福建泉州市第一次质量检查)如图1，虚线Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别表示地球卫星的三条轨道，其中轨道Ⅰ为与第一宇宙速度7.9 km/s对应的近地环绕圆轨道，轨道Ⅱ为椭圆轨道，轨道Ⅲ为与第二宇宙速度11.2 km/s对应的脱离轨道，a、b、c三点分别位于三条轨道上，b点为轨道Ⅱ的远地点，b、c点与地心的距离均为轨道Ⅰ半径的2倍，则()A．卫星在轨道Ⅱ的运行周期为轨道Ⅰ的2倍B．卫星经过a点的速率为经过b点的2倍C．卫星在a点的加速度大小为在c点的4倍D．质量相同的卫星在b点的机械能小于在c点的机械能2．(2019·山西五地联考期末)2018年12月8日2时23分，嫦娥四号探测器搭乘长征三号乙运载火箭，开始了奔月之旅．她肩负着沉甸甸的使命：首次实现人类探测器月球背面软着陆.12月12日16时45分，嫦娥四号探测器成功实施近月制动，顺利完成“太空刹车”，被月球捕获，进入了近月点约100公里的环月轨道，如图2所示()A．嫦娥四号在地月转移轨道经过P点时和在100公里环月轨道经过P点时的速度相同B．嫦娥四号从100公里环月轨道的P点进入椭圆环月轨道后机械能减小C．嫦娥四号在100公里环月轨道运动的周期等于在椭圆环月轨道运动周期D．嫦娥四号在100公里环月轨道运动经过P的加速度大小等于在椭圆环月轨道经过P的加速度大小，但方向有可能不一样3.(多选)如图3为某双星系统A 、B 绕其连线上的O 点做匀速圆周运动的示意图，若A 星的轨道半径大于B 星的轨道半径，双星的总质量为M ，双星间的距离为L ，其运动周期为T ，则( ) A ．A 的质量一定大于B 的质量 B ．A 的线速度一定大于B 的线速度 C ．L 一定，M 越大，T 越大 D ．M 一定，L 越大，T 越大4．(2019·山东济宁市第二次摸底)设月球和地球同步通信卫星都绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径分别为r 1、r 2；向心加速度大小分别为a 1、a 2；环绕速度大小分别为v 1、v 2.下列关系式正确的是( ) A ．r 1＜r 2 B ．a 1>a 2 C.v 1v 2＝r 2r 1D ．a 1r 12＝a 2r 225．(2019·山西运城市5月适应性测试)2018年5月21日，我国成功发射了为探月任务执行通信中继服务的“鹊桥”卫星，并定点在如图4所示的地月连线外侧的位置上．“鹊桥”卫星在位置L 2时，受到地球和月球共同的引力作用，不需要消耗燃料就可以与月球保持相对静止，且与月球一起绕地球运动．“鹊桥”卫星、月球绕地球运动的加速度分别为a 鹊、a 月，线速度大小分别为v 鹊、v 月，周期分别为T 鹊、T 月，轨道半径分别为r 鹊、r 月，下列关系正确的是( ) A ．T 鹊<T 月 B ．a 鹊<a 月 C ．v 鹊>v 月D.T 鹊2r 鹊3＝T 月2r 月3 6．地球和海王星绕太阳公转的方向相同，轨迹都可近似为圆，地球一年绕太阳一周，海王星约164.8年绕太阳一周，海王星冲日现象是指地球处在太阳与海王星之间，2018年9月7日出现过一次海王星冲日，则( )A ．地球的公转轨道半径比海王星的公转轨道半径大B ．地球的运行速度比海王星的运行速度小C ．2019年不会出现海王星冲日现象D ．2017年出现过海王星冲日现象7.(多选)(2019·陕西宝鸡市高考模拟检测(二))如图5所示，一火箭中固定有一水平放置的压力传感器，传感器上放有一个质量为m 的科考仪器．火箭从地面由静止开始以g2的初始加速度竖直向上加速运动，火箭通过控制系统使其在上升过程中压力传感器的示数保持不变．当火箭上升到距地面R2的高度时(地球的半径为R ，地球表面处的重力加速度为g )，以下判断正确的是( ) A ．此高度处的重力加速度为14gB ．此高度处的重力加速度为49gC ．此高度处火箭的加速度为54gD ．此高度处火箭的加速度为1918g。
高三总复习物理课件 “天体运动四大热点问题”的深入研究
夹角的轨道卫星，它的运转周期也是24小时，如图所示，关于该北斗导航卫星说
法正确的是
()
A．该卫星可定位在北京的正上空
B．该卫星与地球静止轨道卫星的向心加速度大小是不等的
C．该卫星的发射速度v≤7.9 km/s
D．该卫星的角速度与放在北京地面上物体随地球自转的角速度大小相等
解析：根据题意，该卫星是倾斜轨道，故不可能定位在北京的正上空，A 错误； 由于该卫星的运转周期也是 24 小时，与地球静止轨道卫星的周期相同，故轨 道半径、向心加速度大小均相同，B 错误；第一宇宙速度 7.9 km/s 是最小的发 射速度，C 错误；根据 ω＝2Tπ可知，该卫星的角速度与放在北京地面上物体随 地球自转的角速度大小相等，D 正确。 答案：D
向心加速度
B．在相同时间内卫星 b 转过的弧长最长，卫星 a、c 转过的弧长对应的角度相等
C．卫星 c 在 4 小时内转过的圆心角是π3，卫星 a 在 2 小时内转过的圆心角是π6 D．卫星 b 的周期一定小于卫星 d 的周期，卫星 d 的周期一定小于 24 小时
解析：卫星 a 在地球表面随地球一起转动，其万有引力等于重力与向心力之和，
3．[近地卫星与同步卫星状态参量的比较]
(2020·天津等级考)北斗问天，国之夙愿。我国北斗三号系统的收官
2020年高考物理二轮提分秘籍：天体运动四大热门题型(学生版)
2020年高考物理二轮复习热点题型与提分秘籍专题05 天体运动四大热门题型题型一 中心天体质量和密度的估算【题型解码】1.考虑星球自转时星球表面上的物体所受重力为万有引力的分力；忽略自转时重力等于万有引力．2.一定要区分研究对象是做环绕运动的天体,还是在星球表面上随星球一块自转的物体．做环绕运动的天体受到的万有引力全部提供向心力,星球表面上的物体受到的万有引力只有很少一部分用来提供向心力． 【典例分析1】(2019·河南驻马店高三检测)有一颗行星,其近地卫星的线速度大小为v ,假设宇航员在该行星表面上做实验,宇航员站在正以加速度a 匀加速上升的电梯中,用弹簧测力计悬挂质量为m 的物体时,看到弹簧测力计的示数为F .已知引力常量为G ,则这颗行星的质量是( ) A.G (F －ma )mv 4B.G (F －ma )mv 2C.mv 2G (F －ma ) D.mv 4G (F －ma )【典例分析2】我国已经发射了一百七十多个航天器。
其中发射的货运飞船“天舟一号”与已经在轨运行的“天宫二号”成功对接形成组合体,如图所示。
假设组合体在距地面高度为h 的圆形轨道上绕地球做匀速圆周运动,周期为T 1。
如果月球绕地球的运动也看成是匀速圆周运动,轨道半径为R 1,周期为T 2。
已知地球表面处重力加速度为g ,地球半径为R ,引力常量为G ,不考虑地球自转的影响,地球看成质量分布均匀的球体。
则( )A ．月球的质量可表示为4π2R 31GT 22 B ．组合体与月球运转的线速度比值为 R 1hC ．地球的密度可表示为3π(R ＋h )3GT 21R 3D ．组合体的向心加速度可表示为R ＋h R 2g【提分秘籍】估算中心天体质量和密度的两条思路和三个误区 (1)两条思路①利用天体表面的重力加速度和天体半径估算由G Mm R 2＝mg 天体得M ＝g 天体R 2G ,再由ρ＝M V ,V ＝43πR 3得ρ＝3g 天体4G πR。
2025高考物理总复习天体运动的四大问题
=
2
。
1
二、多星模型
所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力,除中央星体外,
各星体的角速度或周期相同。常见的多星模型及规律:
①
Gm 2
(2R)2
+
Gm 0 m
=ma 向
R2
常见的三星模型
Gm 2
② L 2 ×cos
30°×2=ma 向
Gm 2
① L 2 ×cos
一、星球的瓦解问题
当星球自转越来越快时,星球对“赤道”上的物体的引力不足以提供向心力
时,物体将会“飘起来”,进一步导致星球瓦解,瓦解的临界条件是赤道上的
0
物体所受星球的引力恰好提供向心力,即 2 =mω2R,得
ω>
0
时,星球瓦解;当
3
ω<
ω=
0
。当
3
0
时,星球稳定运行。
2
=m
r
,
=m
1
1
2
1
2 r2。
2
2
(2)两星的周期、角速度相同,即T1=T2,ω1=ω2。
(3)两星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1+r2=L。
(4)两星到圆心的距离
1
r1、r2 与星体质量成反比,即
2
(5)双星的运动周期 T=2π
(6)双星的总质量
3
。
( 1 + 2 )
4π 2 3
1
−
2
=
2-1
(n=1,2,3,…)。
2
典题6 (2023哈师大附中模拟)“海王星冲日”是指地球处在太阳与海王星之
专题 天体运动的“”四个热点“”问题
专题 天体运动的“四个热点”问题双星或多星模型1.双星模型(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统。
如图1所示。
图1(2)特点①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即 Gm 1m 2L 2＝m 1ω21r 1，Gm 1m 2L 2＝m 2ω22r 2②两颗星的周期及角速度都相同，即T 1＝T 2，ω1＝ω2③两颗星的半径与它们之间的距离关系为r 1＋r 2＝L(3)两颗星到圆心的距离r 1、r 2与星体质量成反比，即m 1m 2＝r 2r 1。
2.多星模型模型 三星模型(正三角形排列) 三星模型(直线等间距排列) 四星模型图示向心力的来源 另外两星球对其万有引力的合力 另外两星球对其万有引力的合力 另外三星球对其万有引力的合力【例1】 (多选)(2018·全国Ⅰ卷，20)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。
根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s 时，它们相距约400 km ，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。
将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( )A.质量之积B.质量之和C.速率之和D.各自的自转角速度解析 由题意可知，合并前两中子星绕连线上某点每秒转动12圈，则两中子星的周期相等，且均为T ＝112 s ，两中子星的角速度均为ω＝2πT ，两中子星构成了双星模型，假设两中子星的质量分别为m 1、m 2，轨道半径分别为r 1、r 2，速率分别为v 1、v 2，则有G m 1m 2L 2＝m 1ω2r 1、G m 1m 2L 2＝m 2ω2r 2，又r 1＋r 2＝L ＝400 km ，解得m 1＋m 2＝ω2L 3G ，A 错误，B 正确；又由v 1＝ωr 1、v 2＝ωr 2，则v 1＋v 2＝ω(r 1＋r 2)＝ωL ，C 正确；由题中的条件不能求解两中子星自转的角速度，D 错误。
2020年高考物理一轮复习热点题型归纳与变式演练专题10 天体运动全解全析(原卷版)
2020年高考物理一轮复习热点题型归纳与变式演练专题10 天体运动全解全析【专题导航】目录热点题型一开普勒定律万有引力定律的理解与应用 (1)热点题型二万有引力与重力的关系 (2)热点题型三中心天体质量和密度的估算 (3)热点题型四卫星运行参量的比较与计算 (5)卫星运行参量的比较 (6)同步卫星的运行规律分析 (6)热点题型五宇宙速度的理解与计算 (7)热点题型六近地卫星、赤道上的物体及同步卫星的运行问题 (8)热点题型七双星及多星模型 (9)双星模型 (10)多星模型 (10)热点题型八卫星的变轨问题 (12)卫星参数变化分析 (12)卫星变轨的能量分析 (13)热点题型九卫星中的“追及相遇”问题 (14)【题型演练】 (16)【题型归纳】热点题型一开普勒定律万有引力定律的理解与应用1．开普勒行星运动定律(1)行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理．(2)开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动．(3)开普勒第三定律a3T2＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同．2．万有引力定律公式F ＝G m 1m 2r 2适用于质点、均匀介质球体或球壳之间万有引力的计算．当两物体为匀质球体或球壳时，可以认为匀质球体或球壳的质量集中于球心，r 为两球心的距离，引力的方向沿两球心的连线．【例1】(2018·高考全国卷Ⅲ)为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P ，其轨道半径约为地球半径 的16倍；另一地球卫星Q 的轨道半径约为地球半径的4倍．P 与Q 的周期之比约为 ( ) A ．2∶1 B ．4∶1 C ．8∶1 D ．16∶1【变式1】(2017·高考全国卷Ⅱ)如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P 为近日点，Q 为远日点，M 、N 为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T 0.若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P 经M 、Q 到N 的运动过程中( )A ．从P 到M 所用的时间等于T 04B ．从Q 到N 阶段，机械能逐渐变大C ．从P 到Q 阶段，速率逐渐变小D ．从M 到N 阶段，万有引力对它先做负功后做正功 【变式2】(2019·徐州期中)牛顿在思考万有引力定律时就曾想，把物体从高山上水平抛出速度一次比一次大， 落点一次比一次远．如果速度足够大，物体就不再落回地面，它将绕地球运动，成为人造地球卫星．如图 所示是牛顿设想的一颗卫星，它沿椭圆轨道运动．下列说法正确的是( )A ．地球的球心与椭圆的中心重合B ．卫星在近地点的速率小于在远地点的速率C ．卫星在远地点的加速度小于在近地点的加速度D ．卫星与椭圆中心的连线在相等的时间内扫过相等的面积【变式3】．(2018·高考北京卷)若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在 已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，需要验证 ( ) A ．地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的1/602 B ．月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的1/602 C ．自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的1/6 D ．苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的1/60热点题型二 万有引力与重力的关系 1．地球表面的重力与万有引力地面上的物体所受地球的吸引力产生两个效果，其中一个分力提供了物体绕地轴做圆周运动的向心力，另一个分力等于重力．(1)在两极，向心力等于零，重力等于万有引力；(2)除两极外，物体的重力都比万有引力小；(3)在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力F 向和mg 刚好在一条直线上，则有F ＝F 向＋mg ，所以mg ＝F －F 向＝GMmR 2－mRω2自. 2．星体表面上的重力加速度(1)在地球表面附近的重力加速度g (不考虑地球自转)；mg ＝G mM R 2，得g ＝GM R 2.(2)在地球上空距离地心r ＝R ＋h 处的重力加速度为g ′，mg ′＝GMm （R ＋h ）2，得g ′＝GM（R ＋h ）2所以g g ′＝（R ＋h ）2R 2.【例2】近期天文学界有很多新发现，若某一新发现的星体质量为m 、半径为R 、自转周期为T 、引力常量为G .下列说法正确的是( ) A ．如果该星体的自转周期T <2π R 3Gm，则该星体会解体 B ．如果该星体的自转周期T >2π R 3Gm，则该星体会解体 C ．该星体表面的引力加速度为GmRD ．如果有卫星靠近该星体表面做匀速圆周运动，则该卫星的速度大小为Gm R【变式1】(2019·安徽皖南八校联考)一颗在赤道上空做匀速圆周运动运行的人造卫星，其轨半径上对应的重 力加速度为地球表面重力加速度的四分之一，则某一时刻该卫星观测到地面赤道最大弧长为(已知地球半径 为R )( )A.23πRB.12πRC.13πRD.14πR【变式2】宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象．若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为()A．0B．GM（R＋h）2C．GMm（R＋h）2D．GMh2热点题型三中心天体质量和密度的估算中心天体质量和密度常用的估算方法应用公式时注意区分“两个半径”和“两个周期”(1)天体半径和卫星的轨道半径,通常把天体看成一个球体，天体的半径指的是球体的半径．卫星的轨道半径指的是卫星围绕天体做圆周运动的圆的半径．卫星的轨道半径大于等于天体的半径．(2)自转周期和公转周期,自转周期是指天体绕自身某轴线运动一周所用的时间，公转周期是指卫星绕中心天体做圆周运动一周所用的时间．自转周期与公转周期一般不相等．【例2】为了研究某彗星，人类先后发射了两颗人造卫星．卫星A在彗星表面附近做匀速圆周运动，运行速度为v ，周期为T ；卫星B 绕彗星做匀速圆周运动的半径是彗星半径的n 倍．万有引力常量为G ，则下列计 算不正确的是( )A ．彗星的半径为vT 2πB ．彗星的质量为v 3T4πGC ．彗星的密度为3πGT 2D ．卫星B 的运行角速度为2πT n 3【变式1】(2018·高考全国卷Ⅱ)2018年2月，我国500 m 口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”， 其自转周期T ＝5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11N·m 2/kg 2.以周期T 稳定自转的星体的密度最小值约为 ( )A ．5×109 kg/m 3B ．5×1012 kg/m 3C ．5×1015 kg/m 3D ．5×1018 kg/m 3【变式2】我国计划于2019年发射“嫦娥五号”探测器，假设探测器在近月轨道上绕月球做匀速圆周运动，经过时间t (小于绕行周期)，运动的弧长为s ，探测器与月球中心连线扫过的角度为θ(弧度)，引力常量为G ，则( )A ．探测器的轨道半径为 θtB ．探测器的环绕周期为 πtθC ．月球的质量为 s 3Gt 2θD ．月球的密度为 3θ24Gt热点题型四 卫星运行参量的比较与计算 1．卫星的轨道(1)赤道轨道：卫星的轨道在赤道平面内，同步卫星就是其中的一种．(2)极地轨道：卫星的轨道过南北两极，即在垂直于赤道的平面内，如极地气象卫星． (3)其他轨道：除以上两种轨道外的卫星轨道，且轨道平面一定通过地球的球心． 2．地球同步卫星的特点：六个“一定”3．卫星的各物理量随轨道半径变化的规律4．解决天体圆周运动问题的两条思路(1)在中心天体表面或附近而又不涉及中心天体自转运动时，万有引力等于重力，即G MmR 2＝mg ，整理得GM＝gR 2，称为黄金代换．(g 表示天体表面的重力加速度) (2)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即 G Mm r 2＝m v 2r ＝mrω2＝m 4π2r T 2＝ma n . 卫星运行参量的比较【例4】．地球赤道上有一物体随地球的自转，所受的向心力为F 1，向心加速度为a 1，线速度为v 1，角速度为ω1；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星(高度忽略)，所受的向心力为F 2，向心加速度为a 2，线速度为v 2，角速度为ω2；地球的同步卫星所受的向心力为F 3，向心加速度为a 3，线速度为v 3，角速度为ω3；地球表面的重力加速度为g ，第一宇宙速度为v ，假设三者质量相等，则( ) A ．F 1＝F 2＞F 3 B ．a 1＝a 2＝g ＞a 3 C ．v 1＝v 2＝v ＞v 3 D ．ω1＝ω3＜ω2同步卫星的运行规律分析【例5】．(2016·高考全国卷Ⅰ)利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯．目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍．假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为( )A ．1 hB ．4 hC ．8 hD ．16 h【变式1】(2019·合肥调研)2018年7月27日，发生了“火星冲日”现象，火星运行至距离地球最近的位置， 火星冲日是指火星、地球和太阳几乎排列成一条直线，地球位于太阳与火星之间，此时火星被太阳照亮的 一面完全朝向地球，所以明亮易于观察，地球和火星绕太阳公转的方向相同，轨道都近似为圆，火星公转 轨道半径为地球的1.5倍，则下列说法正确( )A ．地球与火星的公转角速度大小之比为2∶3B ．地球与火星的公转线速度大小之比为3∶2C ．地球与火星的公转周期之比为8∶27D ．地球与火星的向心加速度大小之比为27∶8【变式2】.(2018·高考江苏卷)我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高．今年5月9日发射的“高 分五号”轨道高度约为705 km ，之前已运行的“高分四号”轨道高度约为36 000 km ，它们都绕地球做圆周运 动．与“高分四号”相比，下列物理量中“高分五号”较小( )A ．周期B ．角速度C ．线速度D ．向心加速度【变式3】．(2019·湖北七市联考)人造地球卫星在绕地球做圆周运动的过程中，下列说法中正确的是( ) A ．卫星离地球越远，角速度越大B ．同一圆轨道上运行的两颗卫星，线速度大小一定相等C ．一切卫星运行的瞬时速度都大于7.9 km/sD ．地球同步卫星可以在以地心为圆心、离地高度为固定值的一切圆轨道上运动【变式4】(2019·广东省揭阳市期末)如图所示是北斗导航系统中部分卫星的轨道示意图，已知a 、b 、c 三颗卫星均做圆周运动，a 是地球同步卫星，则( )A ．卫星a 的角速度小于c 的角速度B ．卫星a 的加速度大于b 的加速度C ．卫星a 的运行速度大于第一宇宙速度D ．卫星b 的周期大于24 h热点题型五 宇宙速度的理解与计算 1．第一宇宙速度的推导 方法一：由G Mm R 2＝m v 21R得v 1＝GMR＝7.9×103 m/s. 方法二：由mg ＝m v 21R得v 1＝gR ＝7.9×103 m/s.第一宇宙速度是发射地球人造卫星的最小速度，也是地球人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，T min ＝2πRg≈85 min. 2．宇宙速度与运动轨迹的关系(1)v 发＝7.9 km/s 时，卫星绕地球表面附近做匀速圆周运动． (2)7.9 km/s ＜v 发＜11.2 km/s ，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆． (3)11.2 km/s≤v 发＜16.7 km/s ，卫星绕太阳做椭圆运动．(4)v 发≥16.7 km/s ，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间．【例6】(多选)(2019·河南新乡模拟)美国国家科学基金会宣布，天文学家发现一颗迄今为止与地球最类似的 行星，该行星绕太阳系外的红矮星Gliese581做匀速圆周运动．这颗行星距离地球约20光年，公转周期约 为37天，它的半径大约是地球的1.9倍，表面重力加速度与地球相近．下列说法正确的是 ( )A ．该行星的公转角速度比地球大B ．该行星的质量约为地球质量的3.6倍C ．该行星第一宇宙速度为7.9 km/sD ．要在地球上发射航天器到达该星球，发射速度只需达到地球的第二宇宙速度即可【变式1】.(多选)(2019·安徽师大附中期中)登上火星是人类的梦想，“嫦娥之父”欧阳自远透露：中国计划于 2020年登陆火星．地球和火星的公转视为匀速圆周运动．忽略行星自转影响，火星和地球相比 ( )A.火星的“第一宇宙速度”约为地球的第一宇宙速度的0.45倍 B ．火星的“第一宇宙速度”约为地球的第一宇宙速度的1.4倍 C ．火星公转的向心加速度约为地球公转的向心加速度的0.43倍 D ．火星公转的向心加速度约为地球公转的向心加速度的0.28倍【变式3】．(多选)据悉，2020年我国将进行第一次火星探测，向火星发射轨道探测器和火星巡视器．已知火星的质量约为地球质量的 19，火星的半径约为地球半径的 12.下列关于火星探测器的说法中正确的是( )A ．发射速度只要大于第一宇宙速度即可B ．发射速度只有达到第三宇宙速度才可以C ．发射速度应大于第二宇宙速度且小于第三宇宙速度D ．火星探测器环绕火星运行的最大速度约为地球的第一宇宙速度的 23热点题型六 近地卫星、赤道上的物体及同步卫星的运行问题 三种匀速圆周运动的参量比较【例7】(多选)(2019·大庆中学模拟)如图所示，A表示地球同步卫星，B为运行轨道比A低的一颗卫星，C 为地球赤道上某一高山山顶上的一个物体，两颗卫星及物体C的质量都相同，关于它们的线速度、角速度、运行周期和所受到的万有引力的比较，下列关系式正确的是()A．v B＞v A＞v C B．ωA＞ωB＞ωC C．F A＞F B＞F C D．T A＝T C＞T B【变式1】.(多选)地球同步卫星离地心的距离为r，运行速率为v1，向心加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，地球的半径为R，第一宇宙速度为v2，则下列比例关系中正确的是() A.a1a2＝rR B.a1a2＝(rR)2 C.v1v2＝rR D.v1v2＝Rr热点题型七双星及多星模型1．模型特征(1)多星系统的条件①各星彼此相距较近．②各星绕同一圆心做匀速圆周运动．(2)多星系统的结构2.思维引导【例8】(2018·全国卷Ⅰ·20)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看做是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星()A．质量之积B．质量之和C．速率之和D．各自的自转角速度【变式1】2018年5月25日21时46分，探月工程嫦娥四号任务“鹊桥”中继卫星成功实施近月制动，进入月球至地月拉格朗日L2点的转移轨道．当“鹊桥”位于拉格朗日点(如图中的L1、L2、L3、L4、L5所示，人们称为地月系统拉格朗日点)上时，会在月球与地球的共同引力作用下，几乎不消耗燃料而保持与月球同步绕地球做圆周运动，下列说法正确的是(月球的自转周期等于月球绕地球运动的周期)()A ．“鹊桥”位于L 2点时，“鹊桥”绕地球运动的周期和月球的自转周期相等B ．“鹊桥”位于L 2点时，“鹊桥”绕地球运动的向心加速度大于月球绕地球运动的向心加速度C ．L 3和L 2到地球中心的距离相等D ．“鹊桥”在L 2点所受月球和地球引力的合力比在其余四个点都要大【变式2】双星系统由两颗绕着它们中心连线上的某点旋转的恒星组成．假设两颗恒星质量相等，理论计算它们绕连线中点做圆周运动，理论周期与实际观测周期有出入，且T 理论T 观测＝n 1(n >1)，科学家推测，在以两星 球中心连线为直径的球体空间中均匀分布着暗物质，设两星球中心连线长度为L ，两星球质量均为m ，据此 推测，暗物质的质量为 ( )A ．(n －1)mB ．(2n －1)m C.n －14m D.n －28m 多星模型(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．(2)三星模型：①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R 的圆形轨道上运行(如图甲所示)． ②三颗质量均为m 的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．(3)四星模型： ①其中一种是四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)．②另一种是三颗星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O ，外围三颗星绕O 做匀速圆周运动(如图丁所示)．【例9】(2019·广州执信中学期中)太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统， 通常可忽略其他星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R 的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三 角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行．设这三个星体的质量均为M ，并设两种系统 的运动周期相同，则( )A ．直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同B ．直线三星系统的运动周期T ＝4πRR 5GM C ．三角形三星系统中星体间的距离L ＝ 3125R D ．三角形三星系统的线速度大小为12 5GM R【变式2】(2019·广东省高考第一次模拟)如图，天文观测中观测到有三颗星位于边长为l 的等边三角形三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆做周期为T 的匀速圆周运动．已知引力常量为G ，不计其他星体对它们的影响，关于这个三星系统，下列说法正确的是( )A ．三颗星的质量可能不相等B ．某颗星的质量为4π2l 33GT 2C ．它们的线速度大小均为23πl TD ．它们两两之间的万有引力大小为16π4l 49GT 4【变式2】(2019·聊城模拟)如图所示，甲、乙、丙是位于同一直线上的离其他恒星较远的三颗恒星，甲、丙 围绕乙在半径为R 的圆轨道上运行，若三颗星质量均为M ，万有引力常量为G ，则( )A ．甲星所受合外力为5GM 24R 2B ．乙星所受合外力为5GM 24R 2C ．甲星和丙星的线速度相同D ．甲星和丙星的角速度相同 热点题型八 卫星的变轨问题人造地球卫星的发射过程要经过多次变轨，如图所示，我们从以下几个方面讨论．1．变轨原理及过程(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上．(2)在A点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ.(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ.2．物理量的定性分析(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为v A、v B.因在A点加速，则v A＞v1，因在B点加速，则v3>v B，又因v1>v3，故有v A>v1>v3>v B.(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同．同理，从轨道Ⅱ和轨道Ⅲ上经过B点时加速度也相同．(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律a3T2＝k可知T1＜T2＜T3.(4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，则E1＜E2＜E3.卫星参数变化分析【例10】(多选)如图所示，发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火将卫星送入椭圆轨道2，然后再次点火，将卫星送入同步轨道3.轨道1、2相切于Q点，2、3相切于P点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，下列说法中正确的是()A．卫星在轨道3上的速率小于在轨道1上的速率B．卫星在轨道3上的角速度大于在轨道1上的角速度C．卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度D．卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度【变式1】(2017·高考全国卷Ⅲ)2017年4月，我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室完成了首次交会对接，对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道(可视为圆轨道)运行．与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的( )A ．周期变大B ．速率变大C ．动能变大D ．向心加速度变大【变式2】(2019·江南十校联考)据外媒综合报道，英国著名物理学家史蒂芬·霍金在2018年3月14日去世， 享年76岁．这位伟大的物理学家，向人类揭示了宇宙和黑洞的奥秘．高中生对黑洞的了解为光速是在星球 (黑洞)上的第二宇宙速度．对于普通星球，如地球，光速仍远远大于其宇宙速度．现对于发射地球同步卫星 的过程分析，卫星首先进入椭圆轨道Ⅰ，P 点是轨道Ⅰ上的近地点，然后在Q 点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道Ⅱ，则( )A ．卫星在同步轨道Ⅱ上的运行速度大于第一宇宙速度7.9 km/sB ．该卫星的发射速度必定大于第二宇宙速度11.2 km/sC ．在轨道Ⅰ上，卫星在P 点的速度大于第一宇宙速度7.9 km/sD ．在轨道Ⅰ上，卫星在Q 点的速度大于第一宇宙速度7.9 km/s 卫星变轨的能量分析【例11】(2019·陕西省宝鸡市质检二)如图所示，质量为m 的人造地球卫星与地心的距离为r 时，引力势能可表示为E p ＝－GMm r，其中G 为引力常量，M 为地球质量，该卫星原来在半径为R 1的轨道Ⅰ上绕地球做匀速圆周运动，经过椭圆轨道Ⅱ的变轨过程进入半径为R 3的圆形轨道Ⅲ继续绕地球运动，其中P 点为Ⅰ轨道与Ⅱ轨道的切点，Q 点为Ⅱ轨道与Ⅲ轨道的切点，下列判断正确的是( )A ．卫星在轨道Ⅰ上的动能为G Mm 2R 1B ．卫星在轨道Ⅲ上的机械能等于－G Mm 2R 3C ．卫星在Ⅱ轨道经过Q 点时的加速度小于在Ⅲ轨道上经过Q 点时的加速度D ．卫星在Ⅰ轨道上经过P 点时的速率大于在Ⅱ轨道上经过P 点时的速率【变式1】(2019·安徽淮南模拟)2018年4月2日8时15分左右，遨游太空6年多的天宫一号，在中国航天 人的实时监测和全程跟踪下，作别太空再入大气层．天宫一号绝大部分器件在再入大气层过程中烧蚀销毁 未燃尽部分坠落在南太平洋中部区域．“天宫一号回家之路”简化为图示模型：天宫一号在远地轨道1做圆周 运动，近地过程先经过椭圆轨道2，然后在近地圆轨道3运行，最终进入大气层．巳知轨道1和3的轨道半 径分别为R 1和R 2，在轨道1的运行周期为T ，质量为m 的天宫一号与地心的距离为r 时，引力势能可表示为E p ＝－GMm r，其中G 为引力常量，M 为地球质量．则天宫一号在轨道2运行的周期和从轨道1到轨道3 过程中机械能变化量分别为( )A.R 1＋R 22R 1R 1＋R 22R 1T ，0B.R 1＋R 22R 1R 1＋R 22R 1T ，GMm 2(1R 1－1R 2) C.R 1＋R 22R 1T ，GMm 2(1R 1－1R 2) D.R 1＋R 2R 1R 1＋R 2R 1T ，GMm 2(1R 2－1R 1) 【变式2】(2019·河北省唐山市上学期期末)登陆火星需经历如图所示的变轨过程，已知引力常量为G ，则下列说法正确的是( )A ．飞船在轨道上运动时，运行的周期T Ⅲ> T Ⅱ> T ⅠB ．飞船在轨道Ⅰ上的机械能大于在轨道Ⅱ上的机械能C ．飞船在P 点从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅰ，需要在P 点朝速度方向喷气D ．若轨道Ⅰ贴近火星表面，已知飞船在轨道Ⅰ上运动的角速度，可以推知火星的密度热点题型九 卫星中的“追及相遇”问题某星体的两颗卫星之间的距离有最近和最远之分，但它们都处在同一条直线上．由于它们的轨道不是重合的，因此在最近和最远的相遇问题上不能通过位移或弧长相等来处理，而是通过卫星运动的圆心角来衡量，若它们的初始位置与中心天体在同一直线上，内轨道所转过的圆心角与外轨道所转过的圆心角之差为π的整数倍时就是出现最近或最远的时刻．【例12】在赤道平面内有三颗在同一轨道上运行的卫星，三颗卫星在此轨道均匀分布，其轨道距地心的距离为地球半径的3.3倍，三颗卫星自西向东环绕地球转动．某时刻其中一颗人造卫星处于A城市的正上方，已知地球的自转周期为T，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍，则A城市正上方出现下一颗人造卫星至少间隔的时间约为()A．0.18T B．0.24T C．0.32T D．0.48T【变式1】．(2019·河南洛阳尖子生一联)设金星和地球绕太阳中心的运动是公转方向相同且轨道共面的匀速圆周运动，金星在地球轨道的内侧(称为地内行星)，在某特殊时刻，地球、金星和太阳会出现在一条直线上，这时候从地球上观测，金星像镶嵌在太阳脸上的小黑痣缓慢走过太阳表面，天文学称这种现象为“金星凌日”，假设地球公转轨道半径为R，“金星凌日”每隔t0年出现一次，则金星的公转轨道半径为 ()A.t01＋t0R B．R（t01＋t0）3C．R 3（1＋t0t0）2D．R3（t01＋t0）2【变式2】(2019·江西重点中学联考)小型登月器连接在航天站上，一起绕月球做匀速圆周运动，其轨道半径为月球半径的3倍，某时刻，航天站使登月器减速分离，登月器沿如图所示的椭圆轨道登月，在月球表面逗留一段时间完成科考工作后，经快速启动仍沿原椭圆轨道返回，当第一次回到分离点时恰与航天站对接，登月器的快速启动时间可以忽略不计，整个过程中航天站保持原轨道绕月运行．已知月球表面的重力加速度为g，月球半径为R，不考虑月球自转的影响，则登月器可以在月球上停留的最短时间约为()A．10π 5Rg－6π3Rg B．6π3Rg－4π2RgC．10π 5Rg－2πRg D．6π3Rg－2πRg【题型演练】。
2020年高考物理天体运行问题归类解析
2020年高考天体运行问题归类解析陕西 三原 王春生万有引力定律是中学物理的重点内容，一直是高考的热点、重点。
试题重点考查学生对天体运行规律的掌握情况及应用以万有引力定律为核心的相关知识分析解决实际问题的能力水平。
2020年全国卷及各地市试卷均有对天体及其运行问题的题目，大多数试题属常规题型，仅少数试题物理背景较新颖，特别是全国理综Ⅱ第20题所涉及的“空间力学”问题拓展了万有引力定律的应用范围，建立了新的模型，并为力学知识的应用提供了更为广阔的领域。
1.【全国理综Ⅰ14】据报道，最近有太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的6.4倍，一个在地球表面重量为600N 的人在这个行星表面的重量将变为960N 。
由此可推知，该行星的半径与地球半径之比约为A ．0.5B ．2C ．3.2D ．4 【解析】依据重力等于万有引力有1121600mM G GR == ，2222960mM G G R == ， 又216.4M M = ，解得212R R = 。
【答案】B注：忽略星球自转，依据重力等于万有引力建立方程求解。
2*.【全国理综Ⅱ20】假定地球、月球都静止不动，用火箭从地球沿地月连线向月球发射一探测器。
假定探测器在地面附近脱离火箭。
用W 表示探测器从脱离火箭处飞到月球的过程中克服地球引力做的功，用E k 表示探测器脱离火箭时的动能，若不计空气阻力，则A ．E k 必须大于或等于W ，探测器才能到达月球B ．E k 小于W ，探测器也可能到达月球C ．E k =W/2，探测器一定能到达月球D ．E k =W/2，探测器一定不能到达月球【解析】该题与我们所学的天体运动模型不同，要求用所学力学知识处理在万有引力作用下的直线运动问题。
设探测器脱离火箭飞向月球到达平衡点O 的过程中，克服地球引力做功为'W 地，月球引力做功为'，并设探测器到达平衡点O 时的速度恰好为零，根据动能定理有''W W -=月地由题知'W W <地② 由①②得'k W E W +<月,又'0W >月，所以k E W <，选项A 错B 对； 设O 点到地球、月球的距离分别为1r 、2r ，探测器质量为m ，依据万有引力定律及二力平衡条件有2212mM mM G G r r =月地③81M M =月地 ④12r r L += ⑤解③④⑤得1910r L =⑥ 由⑥式及万有引力变化规律、功的定义知'910W W <月月 ⑦ 由④式及万有引力定律、功的定义知81W W =月 ⑧ （式中W 月为探测器到达月球全过程月球引力做功）。
专题10 天体运动-2023届高考物理一轮复习热点题型专练(解析版)
专题10天体运动目录题型一开普勒定律的应用 (1)题型二万有引力定律的理解 (3)类型1万有引力定律的理解和简单计算 (3)类型2不同天体表面引力的比较与计算 (4)类型3重力和万有引力的关系 (5)类型4地球表面与地表下某处重力加速度的比较与计算 (7)题型三天体质量和密度的计算 (8)类型1利用“重力加速度法”计算天体质量和密度 (8)类型2利用“环绕法”计算天体质量和密度 (9)类型3利用椭圆轨道求质量与密度 (11)题型四卫星运行参量的分析 (13)类型1卫星运行参量与轨道半径的关系 (13)类型2同步卫星、近地卫星及赤道上物体的比较 (15)类型3宇宙速度 (17)题型五卫星的变轨和对接问题 (19)类型1卫星变轨问题中各物理量的比较 (19)类型2卫星的对接问题 (22)题型六天体的“追及”问题 (23)题型七星球稳定自转的临界问题 (25)题型八双星或多星模型 (26)类型1双星问题 (27)类型2三星问题 (29)类型4四星问题 (31)题型一开普勒定律的应用【解题指导】1．行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理．2.由开普勒第二定律可得12Δl1r1＝12Δl2r2，12v1·Δt·r1＝12v2·Δt·r2，解得v1v2＝r2r1，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小．3．开普勒第三定律a3T2＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，且该定律只能用在同一中心天体的两星体之间．【例1】(2022·山东潍坊市模拟)中国首个火星探测器“天问一号”，已于2021年2月10日成功环绕火星运动。
若火星和地球可认为在同一平面内绕太阳同方向做圆周运动，运行过程中火星与地球最近时相距R0、最远时相距5R0，则两者从相距最近到相距最远需经过的最短时间约为()A．365天B．400天C．670天D．800天【答案】B【解析】设火星轨道半径为R1，公转周期为T1，地球轨道半径为R2，公转周期为T2，依题意有R1－R2＝R0，R1＋R2＝5R0，解得R1＝3R0，R2＝2R0，根据开普勒第三定律有R31T21＝R32T22，解得T1＝278年，设从相距最近到相距最远需经过的最短时间为t，有ω2t－ω1t＝π，ω＝2πT，代入数据可得t＝405天，故选项B正确。
专题5.2 宇宙航行及天体运动四类热点问题—【讲】解析版
专题5.2 宇宙航行及天体运动四类热点问题—【讲】目录目录 ..................................................................................................................................................................... 1 一．讲考纲、讲方向 ................................................................................................................................................. 1 二. 讲考点、讲题型 .................................................................................................................................................. 1 考点一、宇宙速度的理解与计算 ............................................................................................................................. 1 考点二、卫星运行参量的分析 ................................................................................................................................. 3 考点三、天体运动四类热点问题 .. (6)一．讲考纲、讲方向二. 讲考点、讲题型考点一、宇宙速度的理解与计算1．第一宇宙速度的推导 方法一：由G Mm R 2＝m v 21R ，得v 1＝GM R＝ 6.67×10－11×5.98×10246.4×106m/s ＝7.9×103 m/s.方法二：由mg ＝m v 21R得v 1＝gR ＝9.8×6.4×106 m/s ＝7.9×103 m/s.第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，T min ＝2πRg＝5 078 s≈85 min.2．宇宙速度与运动轨迹的关系(1)v 发＝7.9 km/s 时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动． (2)7.9 km/s<v 发<11.2 km/s ，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆． (3)11.2 km/s≤v 发<16.7 km/s ，卫星绕太阳做椭圆运动．(4)v 发≥16.7 km/s ，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间． 【典例1】宇宙速度的理解和计算(2021·潍坊市一模)(多选)嫦娥五号探测器将由长征五号运载火箭在中国文昌卫星发射中心发射升空．如果嫦娥五号经过若干次轨道调整后，先在距离月球表面h 的高度处绕月球做匀速圆周运动，然后开启反冲发动机，嫦娥五号着陆器暂时处于悬停状态，最后实现软着陆，自动完成月面样品采集，并从月球起飞，返回地球．月球的半径为R 且小于地球的半径，月球表面的重力加速度为g 0且小于地球表面的重力加速度，引力常量为G .不考虑月球的自转，则下列说法正确的是( )A ．嫦娥五号探测器绕月球做匀速圆周运动的速度可能大于地球的第一宇宙速度B ．月球的平均密度ρ＝3g 04πGRC ．嫦娥五号探测器在绕月球做匀速圆周运动的t 时间内，绕月球运转圈数nD ．根据题给数据可求出月球的第一宇宙速度 【答案】 BD【解析】 设月球的质量为M ，对于在月球表面处质量为m 0的物体有m 0g 0＝G Mm 0R 2，又因为ρ＝M43πR 3；所以ρ＝3g 04πGR，选项B 正确；嫦娥五号探测器在圆轨道上运动时，有G Mm(R+h)2＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2(R ＋h )，解得T ＝n ＝t T ＝C 错误；根据m ′g 0＝m ′v 2R ，得月球的第一宇宙速度v ＝g 0R ，选项D 正确；因为月球的半径小于地球的半径，月球表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，所以月球的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度，故嫦娥五号探测器绕月球做匀速圆周运动的速度小于地球的第一宇宙速度，选项A 错误．(2021·云南楚雄一中模拟)我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”．已知火星质量约为地球质量的10%，半径约为地球半径的50%，下列说法正确的是( ) A ．火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度B ．火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间C ．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度D ．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度 【答案】A【解析】火星探测器需要脱离地球的束缚，故其发射速度应大于地球的第二宇宙速度，故A 正确，B 错误；由G Mm R 2＝m v 2R 得，v 火＝GM 火R 火＝0.1M 地G 0.5R 地＝55v 地，故火星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度，故C 错误；由GMmR 2＝mg 得，g 火＝G M 火R 火2＝G0.1M 地0.5R 地2＝0.4g地，故火星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，故D 错误．【方法总结】对第一宇宙速度的理解1.第一宇宙速度是人造地球卫星的最小发射速度，也是卫星贴近地面运行的速度，即人造地球卫星的最大运行速度．2.当卫星的发射速度v 满足7.9 km/s<v <11.2 km/s 时，卫星绕地球运行的轨道是椭圆，地球位于椭圆的一个焦点上．考点二、卫星运行参量的分析1．分析人造卫星运动的两条思路 (1)万有引力提供向心力即G Mmr2＝ma 。
高考物理 年年必考的十大热点问题破解之道 2天体运动问题破解之道-千篇一律“金三角”
天体运动问题破解之道——千篇一律“金三角”天体运动问题是高考的重点内容之一，近几年对这类题目考查的频率很高，无论是全国卷还是独立命题的省份，几乎年年必考，但年年各不相同，真可谓是千变万化．其实这些题在解法上却是千篇一律的，有惊人的相似之处．下面总结一下这类问题的解题方法．一、常用公式总结天体运动问题中公式看似有很多，但仔细归纳起来就三个． １向万F F =当天体在高空运行时,设天体质量为m ，环绕的中心天体质量为M ，轨道半径为r ，则有2r MmGF =万；当天体在星球表面近地环绕运行时,设天体质量为m ，中心天体绕质量为M ，星球半径为Ｒ，则有2R MmGF =万．圆周运动的向心力公式又有多种表达形式，即r Tm r m r v m ma F 22224πω===＝向当天体做匀速圆周运动时，中心天体对它的万有引力提供所需的向心力，所以有向万F F =.又因为万有引力有高空和近地两种形式，向心力又有四种表达式，因此向万F F =就有有8种具体形式．例如ma r Mm G ＝2，R v m RMm G 22＝，r Tm r Mm G 2224π＝等等.２mg F =万如果不考虑地球的自转, 物体m 在星球表面时mg F =万，设天体质量为M ，半径为R ，其表面的重力加速度为g ，则有mg RMmG＝2； 天体在星球高空时,设距球心r 处的重力加速度为g ',则有g m rMmG '＝2．３向F mg =当天体在星球表面近地环绕运行时,也可以看成绕行天体的重力提供所需的向心力，设绕行天体的质量为m,星球表面的重力加速度为g ，则有向F mg =；当天体在高空环绕运行时,天体所在轨道的重力加速度为g '，则有向F g m ='．又因为重力近地时为mg ，高空时为g m '，向心力又有四种表达式，因此向F mg =也有8种具体形式．如果把以上公式总结一下，可以用这样一个三角形表示，如图所示.这个三角形表示的公式几乎可以求解所有的天体运动问题，所以我们称之为“金三角”．下面分别举例说明.二、天体运动问题归类例析 1星球半径问题例1 （2015年海南卷）若在某行星和地球上相对于各自水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为7:2．已知该行星质量约为地球的7倍，地球的半径为R ，由此可知，该行星的半径为（ ）A.R 21 B. R 27 C. 2R D.R 27解析 设行星表面的重力加速度为g ',水平方向运动的距离为x '，运动时间为t '，在行星表面根据平抛运动公式得t v x '='0 221t g h ''=解得2202x hv g '=' ；同理在地球表面上有222x hv g =，两式相比得4722='='x x g g 在地球表面上有mg RMmG＝2在行星表面上有g m R mM G '''＝2 以上两式相比得27147=⨯⨯=''='g M g M RR ．所以答案为C ．点评 本题先用平抛运动公式求出重力加速度之比，然后用两个“金三角”中的②式相比求解的． 2轨道半径问题例2 （2012·海南）地球同步卫星到地心的距离r 可用地球质量M 、地球自转周期T 与引力常量G 表示为r=_____________.解析 根据万有引力定律及圆周运动知识r T m r Mm G 2224π＝，可得r =点评 本题用的是“金三角”中的①式直接求解的．3质量问题例3 (2015年江苏卷)过去几千年来, 人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内, “行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕. “行星51 peg b ”绕其中心恒星做匀速圆周运动, 周期约为 4 天, 轨道半径约为地球绕太阳运动半径的201. 该中心恒星与太阳的质量比约为( )( A) 1/10 ( B) 1 ( C) 5 ( D) 10解析 “行星51 peg b ” 绕其中心恒星做匀速圆周运动有r T m r m M G ''''''2224π＝ 地球绕其太阳做匀速圆周运动有r Tm r Mm G 2224π＝两式相比得04.14203652322323=⨯=''='T r T r M M 所以答案为B.点评 本题用的是两个“金三角”中的①式相比求解的. 4密度问题例4 (2014年广东卷) 如图所示，飞行器P 绕某星球做匀速圆周运动，星球相对飞行器的张角为θ，下列说法正确的是( )A ．轨道半径越大，周期越长B ．轨道半径越大，速度越大C ．若测得周期和张角，可得到星球的平均密度D ．若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度解析飞行器P 绕星球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有r Tm r Mm G 2224π＝⑴解得GMr T 32π=可知半径越大则周期越大，所以选项A 正确；再根据r v mrMm G 22＝，解得rGMv =可知轨道半径越大则环绕速度越小，所以选项B 错误；有由⑴式还可解得2324GT r M π=，若测得周期T ，则可解出星球的质量M ，如果知道张角θ，则该星球半径为Ｒ＝r sin θ2，再根据2sin334323θππρGT RM ＝＝,所以可得到星球的平均密度，所以选项C 正确，而选项D 无法计算星球半径，则无法求出星球的平均密度，选项D 错误．答案为AC.点评 本题用的是“金三角”中的①式和几何关系求解的. 5向心加速度问题例5 （2013年天津卷） “嫦娥一号”和“嫦娥二号”卫星相继完成了对月球的环月飞行，标志着我国探月工程的第一阶段己经完成.设“嫦娥二号”卫星环绕月球的运动为匀速圆周运动，它距月球表面的高度为h ，己知月球的质量为M 、半径为R ，引力常量为G ，则卫星绕月球运动的向心加速度a ＝ .解析“嫦娥二号”卫星环绕月球为匀速圆周运动,万有引力提供卫星运动的向心力，有G()2MmR h +=m a ，解得a=()2GMR h +.点评 本题用的是“金三角”中的①式直接求解的. 6 线速度问题例6 (2015年新课标全国I 卷)我国发射的“嫦娥三号”登月探测器靠近月球后，现在月球表面的附近近似圆轨道上绕月运行；然后经过一系列过程，再离月面4m 高处做一次悬停（可认为是相对于月球静止）；最后关闭发动机，探测器自由下落．已知探测器的质量约为1.3x 310Kg ，地球质量约为月球的81倍，地球半径约为月球的3.7倍，地球表面的重力加速大约为9.8m/s ，则此探测器A 在着陆前的瞬间，速度大小约为8.9m/sB 悬停时受到的反冲作用力约为2x 310NC 从离开近月圆轨道到着陆这段时间内，机械能守恒D 在近月圆轨道上运行的线速度小于人造卫星在近地圆轨道上运行的线速度解析 设月球表面附近重力加速度为g ',在月球表面有g m R mM G '''＝2 在地球表面附近有mg RMmG＝2 两式相比代入数据得g g g R M R M g 61817.31222=⨯=''=' 着陆前的瞬间速度s m h g v /6.348.96122=⨯⨯⨯='=，所以选项A 错误；根据平衡条件得反冲力N g m F 3102⨯='=，所以选项B 正确；因为离开近月轨道时有一个悬停过程，相当于“刹车”，推动力做了负功，所以机械能不守恒，选项C 错误；人造卫星在近地圆轨道上运行时有Rm v m g 2=解得gR v =“嫦娥三号”在近月轨道运行时有R v m g m ''='2解得R g R g v 7.3161⨯=''=' 所以v v <'，选项D 正确.答案为BD.点评 本题用的是“金三角”中的②式求出月球表面附近的重力加速度，然后又用两个“金三角”中的③式求解的.7角速度问题例7 （2014年上海卷）动能相等的两人造地球卫星A 、B 的轨道半径之比:1:2A B R R =，它们的角速度之比:A B ωω= ，质量之比:A B m m = ．解析 根据r m r Mm G２＝ω2得出ω＝3r GM ,则ωA : ωB ＝3A R GM ：3BR GM＝22：1 ；又因动能E K ＝12mv 2相等 以及v=ωR ,得出m A : m B ＝2222AAB B RR ωω＝1 ：2 点评 本题用的是“金三角”中的①式求解的. 8周期问题例8 (2014年新课标全国卷Ⅰ)太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动．当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”．据报道，2014年各行星冲日时间分别是：1月6日木星冲日；4月9日火星冲日；5月11日土星冲日；8月29日海王星冲日；10月8日天王星冲日．已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示，则下列判断正确的是( )A.各地外行星每年都会出现冲日现象 B ．在2015年内一定会出现木星冲日C ．天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半D ．地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短解析 各行星绕太阳运动时万有引力提供向心力，有r Tm r Mm G 2224π＝解得GMr T 32π=，所以３行地行地）（r r T T =因为冲日现象实质上是角速度大的地球转过的弧度恰好比角速度小的其它行星多出2π，所以相邻两次冲时的时间间隔为＝＝－＝－行地地行地行地T T T T T t -=12222πππωωπ年）（地311rr -，从表达式可得时间t 大于1，只有当 ∞→r 时时间t 才为1年，所以不会每年都出现冲日现象，A 错误；将木星的半径数据代入上式得年）（）（地地地09.12.5111133≈-=-=r r rr t ，上次冲日时间为2014年1月6日，所以2015年内一定会出现木星冲日，B 正确；同理可算出天王星相邻两次冲日的时间间隔为 1.01年．土星两次冲日的时间间隔为1.03年，所以C 错误；由表达式可得时间t 随r 的增大而减小，所以D 正确.答案为BD.点评 本题用的是“金三角”中的①式和圆周运动的追及问题方法来求解的. 9重力加速度问题例9（2012年新课标全国Ⅰ卷）假设地球是一半径为R.质量分布均匀的球体.一矿井深度为 d.已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零.矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为A ．1－dRB ．1+d RC ．2⎪⎭⎫ ⎝⎛-R d RD ．2⎪⎭⎫⎝⎛-d R R解析 在地球表面mg R Mm G＝2，又343M R ρπ=，所以243M g G G R R πρ==，因为球壳对球内物体的引力为零，所以在深为d 的矿井内g m d R MmG'-＝2)(，得()()243Mg GG R d R d πρ'==--，所以1g R d d g R R '-==-,答案为A. 点评 本题用的是“金三角”中的②式在地面和矿井深度为d 处两次列方程求解的. 10 能量问题例10 (2014年山东卷)2013年我国相继完成“神十”与“天宫”对接、“嫦娥”携“玉兔”落月两大航天工程．某航天爱好者提出“玉兔”回家的设想：如图所示，将携带“玉兔”的返回系统由月球表面发射到h 高度的轨道上，与在该轨道绕月球做圆周运动的飞船对接，然后由飞船送“玉兔”返回地球．设“玉兔”质量为m ，月球半径为R ，月面的重力加速度为g月．以月面为零势能面，“玉兔”在h 高度的引力势能可表示为E p ＝GMmhR （R ＋h ），其中G为引力常量，M 为月球质量．若忽略月球的自转，从开始发射到对接完成需要对“玉兔”做的功为( )A.mg 月R R ＋h (h ＋2R )B.mg 月RR ＋h (h ＋2R ) C.mg 月R R ＋h ⎝ ⎛⎭⎪⎫h ＋22R D.mg 月R R ＋h ⎝ ⎛⎭⎪⎫h ＋12R 解析 本题以月面为零势面，开始发射时，“玉兔”的机械能为零，对接完成时，“玉兔”的动能和重力势能都不为零，该过程对“玉兔”做的功等于“玉兔”机械能的增加．忽略月球的自转，月球表面上，“玉兔”所受重力等于地球对“玉兔”的引力，即月＝mg RMmG 2 ⑴，对于在h 高处的“玉兔”，月球对其的万有引力提供向心力，即G Mm （R ＋h ）2＝m v 2R ＋h， “玉兔”的动能E k ＝12mv 2，以上三式联立解得，)(22h R R mg E K +=月；由⑴式可得月＝g R GM 2 ，“玉兔”在h 高度的引力势能可表示为()hR mhRg h R R GMmh E p +=+=月对“玉兔”做的功W ＝E k ＋E p ＝mg 月R R ＋h ⎝ ⎛⎭⎪⎫h ＋12R .所以选项D 正确． 点评 本题用的是“金三角”中的①式和②式结合求解出“玉兔”的速度，然后再得出“玉兔”的动能，从而使问题得解.通过以上分析可见，这十种题型表面上看各不相同，但在解法上用的都是“金三角”中的式子，简单的问题用一个就能求解，复杂的问题要用两个或多个式子相组合求解.其中“金三角”中①式用的最广泛，②式③式次之，应用①式和③式解题的关键就在于选择合适的向心加速度表达式，从而使问题得解．所以天体运动问题的解法可以概括为：天体问题有妙招，千篇一律“金三角”； 关键在选加速度，多式组合见奇效。
专题 天体运动的“四个热点”问题
专题天体运动的“四个热点”问题双星或多星模型1.双星模型(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统。
如图1所示。
图1(2)特点①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即Gm1m2L2＝m1ω21r1，Gm1m2L2＝m2ω22r2②两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2③两颗星的半径与它们之间的距离系为r1＋r2＝L(3)两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即m1m2＝r2r1。
2.多星模型模型三星模型(正三角形排列)三星模型(直线等间距排列)四星模型图示向心力的来源另外两星球对其万有引力的合力另外两星球对其万有引力的合力另外三星球对其万有引力的合力【例1】(多选)(2018·全国Ⅰ卷，20)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。
根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s 时，它们相距约400 km ，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。
将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( )A.质量之积B.质量之和C.速率之和D.各自的自转角速度解析 由题意可知，合并前两中子星绕连线上某点每秒转动12圈，则两中子星的周期相等，且均为T ＝112 s ，两中子星的角速度均为ω＝2πT，两中子星构成了双星模型，假设两中子星的质量分别为m 1、m 2，轨道半径分别为r 1、r 2，速率分别为v 1、v 2，则有G m 1m 2L 2＝m 1ω2r 1、G m 1m 2L 2＝m 2ω2r 2，又r 1＋r 2＝L ＝400 km ，解得m 1＋m 2＝ω2L 3G ，A 错误，B 正确；又由v 1＝ωr 1、v 2＝ωr 2，则v 1＋v 2＝ω(r 1＋r 2)＝ωL ，C 正确；由题中的条件不能求解两中子星自转的角速度，D 错误。
答案 BC1.(2019·吉林模拟)我国发射的“悟空”号暗物质粒子探测卫星，三年来对暗物质的观测研究已处于世界领先地位。
天体运动的“四类热点”问题
专题强化五 天体运动的“四类热点”问题专题解读 1.本专题是万有引力定律在天体运行中的特殊运用，同步卫星是与地球表面相对静止的卫星；而双星或多星模型有可能没有中心天体，近年来常以选择题形式在高考题中出现． 2．学好本专题有助于学生更加灵活地应用万有引力定律，加深对力和运动关系的理解． 3．需要用到的知识：牛顿第二定律、万有引力定律、圆周运动规律等．1．卫星的轨道(1)赤道轨道：卫星的轨道在赤道平面内，同步卫星就是其中的一种．(2)极地轨道：卫星的轨道过南、北两极，即在垂直于赤道的平面内，如极地气象卫星． (3)其他轨道：除以上两种轨道外的卫星轨道． 所有卫星的轨道平面一定通过地球的球心． 2．同步卫星问题的“四点”注意(1)基本关系：G Mm r 2＝ma ＝m v 2r ＝mrω2＝m 4π2T 2r .(2)重要手段：构建物理模型，绘制草图辅助分析． (3)物理规律：①不快不慢：具有特定的运行线速度、角速度和周期． ②不高不低：具有特定的位置高度和轨道半径．③不偏不倚：同步卫星的运行轨道平面必须处于地球赤道平面上，只能在赤道上方特定的点运行． (4)重要条件：①地球的公转周期为1年，其自转周期为1天(24小时)，地球半径约为6.4×103 km ，地球表面重力加速度g 约为9.8 m/s 2.②月球的公转周期约27.3天，在一般估算中常取27天．③人造地球卫星的运行半径最小为r ＝6.4×103 km ，运行周期最小为T ＝84.8 min ，运行速度最大为v ＝7.9 km/s. 3．两个向心加速度4.两种周期(1)自转周期是天体绕自身某轴线转动一周所需的时间，取决于天体自身转动的快慢． (2)公转周期是运行天体绕中心天体做圆周运动一周所需的时间，T ＝2πr 3GM，取决于中心天体的质量和运行天体到中心天体的距离．例1 (2019·安徽宣城市第二次模拟)有a 、b 、c 、d 四颗地球卫星，卫星a 还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，卫星b 在地面附近近地轨道上正常运动，c 是地球同步卫星，d 是高空探测卫星，各卫星排列位置如图1，则有( )图1A ．a 的向心加速度等于重力加速度gB ．b 在相同时间内转过的弧长最长C ．c 在4 h 内转过的圆心角是π6D ．d 的运动周期有可能是20 h 答案 B解析 同步卫星的周期、角速度与地球自转周期、角速度相同，则知a 与c 的角速度相同，根据a ＝ω2r 知，c 的向心加速度大于a 的向心加速度．由G Mm r 2＝mg ，解得：g ＝GMr 2，卫星的轨道半径越大，向心加速度越小，则c 的向心加速度小于b 的向心加速度，而b 的向心加速度约为g ，则a 的向心加速度小于重力加速度g ，故A 错误；由G Mmr 2＝m v 2r ，解得：v＝GMr，卫星的半径r 越大，速度v 越小，所以b 的速度最大，在相同时间内转过的弧长最长，故B 正确；c 是地球同步卫星，周期是24 h ，则c 在4 h 内转过的圆心角是2π24×4＝π3，故C 错误；由开普勒第三定律r 3T 2＝k 可知：卫星的半径r 越大，周期T 越大，所以d 的运动周期大于c 的周期24 h ，即不可能是20 h ，故D 错误．变式1 (多选)(2019·甘肃兰州市第一次诊断)中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，是继美国全球定位系统(GPS)、俄罗斯格洛纳斯卫星导航系统、欧洲伽利略卫星导航系统之后第四个成熟的卫星导航系统.2018年12月27日北斗三号基本系统完成建设，即日起提供全球服务．在北斗卫星导航系统中，有5颗地球静止轨道卫星，它们就好像静止在地球上空的某一点．对于这5颗静止轨道卫星，下列说法正确的是( ) A ．它们均位于赤道正上方 B ．它们的周期小于近地卫星的周期 C ．它们离地面的高度都相同D ．它们必须同时正常工作才能实现全球通讯 答案 AC解析 所有地球静止轨道卫星的位置均位于赤道正上方，故A 项正确；地球静止轨道卫星的轨道半径大于近地卫星的轨道半径，据开普勒第三定律知，地球静止轨道卫星的周期大于近地卫星的周期，故B 项错误；据G Mm r 2＝m (2πT )2r 知，地球静止轨道卫星的轨道半径相同，离地面的高度相同，故C 项正确；同步卫星离地高度较高，有三颗地球静止轨道卫星工作就能实现全球通讯，故D 项错误．1．变轨原理(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上．如图2所示．图2(2)在A 点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ. (3)在B 点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ. 2．变轨过程分析(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v 1、v 3，在轨道Ⅱ上过A 点和B 点时速率分别为v A 、v B .在A 点加速，则v A >v 1，在B 点加速，则v 3>v B ，又因v 1>v 3，故有v A >v 1>v 3>v B .(2)加速度：因为在A 点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A 点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B 点的加速度也相同． (3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T 1、T 2、T 3，轨道半径分别为r 1、r 2(半长轴)、r 3，由开普勒第三定律r 3T2＝k 可知T 1<T 2<T 3.(4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E 1、E 2、E 3，则E 1<E 2<E 3.例2 (2019·辽宁大连市第二次模拟)2018年12月12日，在北京飞控中心工作人员的精密控制下，“嫦娥四号”开始实施近月制动，成功进入环月圆轨道Ⅰ.12月30日成功实施变轨，进入椭圆着陆轨道Ⅱ，为下一步月面软着陆做准备．如图3所示，B 为近月点，A 为远月点．关于“嫦娥四号”卫星，下列说法正确的是( )图3A ．卫星在轨道Ⅱ上A 点的加速度大于在B 点的加速度B ．卫星沿轨道Ⅰ运动的过程中，卫星中的科考仪器处于超重状态C ．卫星从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ，机械能增加D ．卫星在轨道Ⅱ经过A 点时的动能小于在轨道Ⅱ经过B 点时的动能 答案 D解析 根据万有引力提供向心力有：G Mm r 2＝ma ，B 点距月心更近，所以加速度更大，A 错误；在轨道Ⅰ运动的过程中，万有引力全部提供向心力，所以处于失重状态，B 错误；卫星从高轨道变轨到低轨道，需要点火减速，近心运动到低轨道，所以从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ，外力做负功，机械能减小，C 错误；从A 点到B 点，万有引力做正功，动能增大，所以B 点动能大，D 正确．变式2 (2019·山东潍坊市二模)如图4所示，绕月空间站绕月球做匀速圆周运动，航天飞机仅在月球引力作用下沿椭圆轨道运动，M 点是椭圆轨道的近月点，为实现航天飞机在M 点与空间站对接，航天飞机在即将到达M 点前经历短暂减速后与空间站对接．下列说法正确的是( )图4A ．航天飞机沿椭圆轨道运行的周期大于空间站的周期B ．航天飞机在对接前短暂减速过程中，机内物体处于完全失重状态C ．航天飞机与空间站对接前后机械能增加D ．航天飞机在对接前短暂减速过程中机械能不变 答案 A解析 因航天飞机沿椭圆轨道运行的半长轴大于空间站运动的圆轨道半径，根据开普勒第三定律可知，航天飞机沿椭圆轨道运行的周期大于空间站的周期，选项A 正确；航天飞机在对接前接近月球的短暂减速过程中，加速度方向背离月球，则机内物体处于超重状态，选项B 错误；航天飞机与空间站对接前后因速度不变，则机械能守恒，选项C 错误；航天飞机在对接前短暂减速过程要克服阻力做功，则机械能减小，选项D 错误．变式3 (多选)(2019·湖南娄底市下学期第二次模拟)如图5所示，设地球半径为R ，假设某地球卫星在距地球表面高度为h 的圆形轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，运行周期为T ，到达轨道的A 点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近地点B 时，再次点火进入近地轨道Ⅲ绕地球做匀速圆周运动，引力常量为G ，不考虑其他星球的影响，则下列说法正确的是( )图5A ．该卫星在轨道Ⅲ上B 点的速率大于在轨道Ⅱ上A 点的速率B ．卫星在圆轨道Ⅰ和圆轨道Ⅲ上做圆周运动时，轨道Ⅰ上动能小，引力势能大，机械能小C ．卫星从远地点A 向近地点B 运动的过程中，加速度变小D ．地球的质量可表示为4π2(R ＋h )3GT 2答案 AD解析 在轨道Ⅰ上A 点时点火减速变轨进入椭圆轨道Ⅱ，所以在轨道Ⅰ上A 点速率大于在轨道Ⅱ上A 点的速率，在轨道Ⅲ上B 的速率大于在轨道Ⅰ上A 点的速率，即在轨道Ⅲ上B 点的速率大于在轨道Ⅱ上A 点的速率，故A 正确；从轨道Ⅰ到轨道Ⅲ，引力做正功，动能增加，引力势能减小，在A 点和B 点变轨过程中，发动机点火减速运动，则机械能减小，即在轨道Ⅰ上动能小，引力势能大，机械能大，故B 错误；根据公式G Mm r 2＝ma 可得a ＝GMr 2，所以距离地球越近，向心加速度越大，故从远地点到近地点运动过程中，加速度变大，故C 错误；在轨道Ⅰ上运动过程中，万有引力充当向心力，故有GMm (R ＋h )2＝m 4π2T 2(R ＋h )，解得M ＝4π2(R ＋h )3GT 2，故D 正确．1．双星模型(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图6所示．图6(2)特点：①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即 Gm 1m 2L 2＝m 1ω12r 1，Gm 1m 2L 2＝m 2ω22r 2 ②两颗星的周期及角速度都相同，即 T 1＝T 2，ω1＝ω2.③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r 1＋r 2＝L . ④两颗星到圆心的距离r 1、r 2与星体质量成反比，即m 1m 2＝r 2r 1.⑤双星的运动周期T ＝2πL 3G (m 1＋m 2).⑥双星的总质量m 1＋m 2＝4π2L 3T 2G .2．多星模型(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同． (2)三星模型：①三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图7甲所示)．②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．图7(3)四星模型：①其中一种是四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)．②另一种是三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．例3(多选)(2018·全国卷Ⅰ·20)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星()A．质量之积B．质量之和C．速率之和D．各自的自转角速度答案BC解析两颗中子星运动到某位置的示意图如图所示每秒转动12圈，角速度已知中子星运动时，由万有引力提供向心力得Gm1m2＝m1ω2r1①l2Gm1m2＝m2ω2r2②l2l ＝r 1＋r 2③由①②③式得G (m 1＋m 2)l 2＝ω2l ，所以m 1＋m 2＝ω2l 3G ，质量之和可以估算．由线速度与角速度的关系v ＝ωr 得 v 1＝ωr 1④ v 2＝ωr 2⑤由③④⑤式得v 1＋v 2＝ω(r 1＋r 2)＝ωl ，速率之和可以估算． 质量之积和各自自转的角速度无法求解．变式4 (2019·安徽A10联盟开年考)宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此的万有引力作用，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动，称为双星系统．由恒星A 与恒星B 组成的双星系统绕其连线上的O 点做匀速圆周运动，如图8所示．已知它们的运行周期为T ，恒星A 的质量为M ，恒星B 的质量为3M ，引力常量为G ，则下列判断正确的是( )图8A ．两颗恒星相距3GMT 2π2B ．恒星A 与恒星B 的向心力大小之比为3∶1C ．恒星A 与恒星B 的线速度大小之比为1∶3D ．恒星A 与恒星B 的轨道半径之比为3∶1 答案 A解析 两恒星做匀速圆周运动的向心力来源于两恒星之间的万有引力，所以向心力大小相等，即M 4π2T 2r A ＝3M 4π2T 2r B ，解得恒星A 与恒星B 的轨道半径之比为r A ∶r B ＝3∶1，故选项B 、D 错误；设两恒星相距L ，则r A ＋r B ＝L ，r A ＝34L ，根据牛顿第二定律有：M 4π2T 2r A ＝G 3M 2L 2，解得L＝3GMT 2π2，选项A 正确；由v ＝2πTr 得，恒星A 与恒星B 的线速度大小之比为3∶1，选项C 错误．变式5 (多选)如图9，天文观测中观测到有三颗星位于边长为l 的等边三角形三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆做周期为T 的匀速圆周运动．已知引力常量为G ，不计其他星体对它们的影响，关于这个三星系统，下列说法正确的是( )图9A ．三颗星的质量可能不相等B ．某颗星的质量为4π2l 33GT 2C ．它们的线速度大小均为23πlTD ．它们两两之间的万有引力大小为16π4l 49GT 4答案 BD解析 轨道半径等于等边三角形外接圆的半径，r ＝l 2cos 30°＝33l .根据题意可知其中任意两颗星对第三颗星的合力指向圆心，所以这两颗星对第三颗星的万有引力等大，由于这两颗星到第三颗星的距离相同，故这两颗星的质量相同，所以三颗星的质量一定相同，设为m ，则有2G m 2l 2cos 30°＝m ·4π2T 2·33l ，解得m ＝4π2l 33GT 2，它们两两之间的万有引力F ＝G m 2l2＝G ⎝⎛⎭⎫4π2l 33GT 22l 2＝16π4l 49GT 4，故A 错误，B 、D 正确；线速度大小为v ＝2πr T ＝2πT ·3l 3＝23πl3T，C 错误．1．相距最近两卫星的运转方向相同，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA －ωB )t ＝2n π(n ＝1,2,3…)． 2．相距最远当两卫星位于和中心连线的半径上两侧时，两卫星相距最远，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA －ωB )t ′＝(2n －1)π(n ＝1,2,3…)．例4 当地球位于太阳和木星之间且三者几乎排成一条直线时，称之为“木星冲日”，2016年3月8日出现了一次“木星冲日”．已知木星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动，木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍．则下列说法正确的是( )A ．下一次的“木星冲日”时间肯定在2018年B ．下一次的“木星冲日”时间肯定在2017年C ．木星运行的加速度比地球的大D ．木星运行的周期比地球的小 答案 B 解析 由T ＝2πr 3GM可知，地球公转周期T 1＝1年，土星公转周期T 2＝125T 1≈11.18年．设经时间t ，再次出现“木星冲日”，则有ω1t －ω2t ＝2π，其中ω1＝2πT 1，ω2＝2πT 2，解得t ≈1.1年，因此下一次“木星冲日”发生在2017年，故A 错误，B 正确；设太阳质量为M ，行星质量为m ，轨道半径为r ，周期为T ，加速度为a .对行星由牛顿第二定律可得G Mmr 2＝ma ＝m 4π2T 2r ，解得a ＝GMr2，T ＝2πr 3GM，由于木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍，因此，木星运行的加速度比地球的小，木星运行的周期比地球的大，故C 、D 错误． 变式6 (多选)(2020·山西太原市质检)如图10，三个质点a 、b 、c 的质量分别为m 1、m 2、M (M 远大于m 1及m 2)，在万有引力作用下，a 、b 在同一平面内绕c 沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比为r a ∶r b ＝1∶4，则下列说法中正确的有( )图10A ．a 、b 运动的周期之比为T a ∶T b ＝1∶8B ．a 、b 运动的周期之比为T a ∶T b ＝1∶4C ．从图示位置开始，在b 转动一周的过程中，a 、b 、c 共线12次D ．从图示位置开始，在b 转动一周的过程中，a 、b 、c 共线14次 答案 AD解析 根据开普勒第三定律：周期的平方与半径的三次方成正比，则a 、b 运动的周期之比为1∶8，A 对；设图示位置ac 连线与bc 连线的夹角为θ<π2，b 转动一周(圆心角为2π)的时间为t ＝T b ，则a 、b 相距最远时：2πT a T b －2πT bT b ＝(π－θ)＋n ·2π(n ＝0,1,2,3…)，可知n <6.75，n 可取7个值；a 、b 相距最近时：2πT a T b －2πT b T b ＝(2π－θ)＋m ·2π(m ＝0,1,2,3…)，可知m <6.25，m 可取7个值，故在b 转动一周的过程中，a 、b 、c 共线14次，D 对.1.(多选)(2019·福建泉州市第一次质量检查)如图1，虚线Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别表示地球卫星的三条轨道，其中轨道Ⅰ为与第一宇宙速度7.9 km /s 对应的近地环绕圆轨道，轨道Ⅱ为椭圆轨道，轨道Ⅲ为与第二宇宙速度11.2 km/s 对应的脱离轨道，a 、b 、c 三点分别位于三条轨道上，b 点为轨道Ⅱ的远地点，b 、c 点与地心的距离均为轨道Ⅰ半径的2倍，则( )图1A ．卫星在轨道Ⅱ的运行周期为轨道Ⅰ的2倍B ．卫星经过a 点的速率为经过b 点的2倍C ．卫星在a 点的加速度大小为在c 点的4倍D ．质量相同的卫星在b 点的机械能小于在c 点的机械能 答案 CD解析 由题意可知，轨道Ⅱ的半长轴a 2＝3R 12，则由开普勒第三定律有：a 23T 22＝R 13T 12，解得：T 2T 1＝3232，故A 错误；由公式v ＝GMr可知，如果卫星在Ⅱ轨道做椭圆运动，卫星经过两个轨道交点的速率为经过b 点的2倍，但卫星在Ⅰ轨道经过加速才能做椭圆运动，所以卫星经过a 点的速率不是经过b 点的2倍，故B 错误；由公式a ＝GMr 2可知，卫星在a 点的加速度大小是在c 点的4倍，故C 正确；卫星越高，发射过程中要克服引力做的功越多，所以质量相同的卫星在b 点的机械能小于在c 点的机械能，故D 正确．2．(2019·山西五地联考期末)2018年12月8日2时23分，嫦娥四号探测器搭乘长征三号乙运载火箭，开始了奔月之旅．她肩负着沉甸甸的使命：首次实现人类探测器月球背面软着陆.12月12日16时45分，嫦娥四号探测器成功实施近月制动，顺利完成“太空刹车”，被月球捕获，进入了近月点约100公里的环月轨道，如图2所示()图2A．嫦娥四号在地月转移轨道经过P点时和在100公里环月轨道经过P点时的速度相同B．嫦娥四号从100公里环月轨道的P点进入椭圆环月轨道后机械能减小C．嫦娥四号在100公里环月轨道运动的周期等于在椭圆环月轨道运动周期D．嫦娥四号在100公里环月轨道运动经过P的加速度大小等于在椭圆环月轨道经过P的加速度大小，但方向有可能不一样答案B解析嫦娥四号在地月转移轨道的P点是近月点，速度比较大，要进入100公里环月轨道，需减速，使得万有引力等于所需要的向心力．所以在地月转移轨道P点的速度大于在100公里环月轨道P点的速度，故A错误；从100公里环月轨道进入椭圆环月轨道嫦娥四号需要点＝k知，100公里环火减速，发动机做负功，机械能减小，故B正确；根据开普勒第三定律r3T2月轨道半径大于椭圆环月轨道的半长轴，则嫦娥四号在100公里环月轨道上运动的周期大于在椭圆环月轨道上运动的周期，故C错误；嫦娥四号卫星在不同轨道经过P点，所受的万有引力相等，根据牛顿第二定律知，加速度大小相等，方向相同，故D错误．3.(多选)如图3为某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动的示意图，若A星的轨道半径大于B星的轨道半径，双星的总质量为M，双星间的距离为L，其运动周期为T，则()图3A．A的质量一定大于B的质量B．A的线速度一定大于B的线速度C．L一定，M越大，T越大D．M一定，L越大，T越大答案BD解析 设双星质量分别为m A 、m B ，轨道半径分别为R A 、R B ，角速度相等，均为ω，根据万有引力定律可知：G m A m B L 2＝m A ω2R A, G m A m BL 2＝m B ω2R B ，距离关系为：R A ＋R B ＝L ，联立解得：m A m B ＝R BR A，因为R A >R B ，所以A 的质量一定小于B 的质量，故A 错误；根据线速度与角速度的关系有：v A ＝ωR A 、v B ＝ωR B ，因为角速度相等，半径R A >R B ，所以A 的线速度大于B 的线速度，故B 正确；又因为T ＝2πω，联立可得周期为：T ＝2πL 3GM，所以总质量M 一定，两星间距离L 越大，周期T 越大，故C 错误，D 正确．4．(2019·山东济宁市第二次摸底)设月球和地球同步通信卫星都绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径分别为r 1、r 2；向心加速度大小分别为a 1、a 2；环绕速度大小分别为v 1、v 2.下列关系式正确的是( ) A ．r 1＜r 2 B ．a 1>a 2 C.v 1v 2＝r 2r 1D ．a 1r 12＝a 2r 22 答案 D解析 根据万有引力提供向心力G Mm r 2＝ma ＝m 4π2T 2r ，因为同步卫星周期与地球自转周期相同，小于月球公转周期，所以r 1>r 2，a 1<a 2，A 、B 错误；根据万有引力提供向心力G Mmr 2＝m v 2r ，所以v 1v 2＝r 2r 1，C 错误；根据G Mmr2＝ma ，所以ar 2＝GM 是定值，所以D 正确．5．(2019·山西运城市5月适应性测试)2018年5月21日，我国成功发射了为探月任务执行通信中继服务的“鹊桥”卫星，并定点在如图4所示的地月连线外侧的位置上．“鹊桥”卫星在位置L 2时，受到地球和月球共同的引力作用，不需要消耗燃料就可以与月球保持相对静止，且与月球一起绕地球运动．“鹊桥”卫星、月球绕地球运动的加速度分别为a 鹊、a 月，线速度大小分别为v 鹊、v 月，周期分别为T 鹊、T 月，轨道半径分别为r 鹊、r 月，下列关系正确的是( )图4A ．T 鹊<T 月B ．a 鹊<a 月C ．v 鹊>v 月 D.T 鹊2r 鹊3＝T 月2r 月3 答案 C解析 因为“鹊桥”卫星与月球一起绕地球运动，与月球保持相对静止，所以周期相同：T 鹊＝T 月，A 错误； 对月球有：a 月＝4π2T 月2r 月，对卫星有：a 鹊＝4π2T 鹊2r 鹊，因为周期相同，所以a 鹊>a 月，B 错误；根据v ＝2πrT ，周期相同，而卫星的半径大，所以卫星线速度大，v 鹊>v 月，C 正确；因为周期相同，而半径不同，且卫星半径大，所以T 鹊2r 鹊3<T 月2r 月3，D 错误．6．地球和海王星绕太阳公转的方向相同，轨迹都可近似为圆，地球一年绕太阳一周，海王星约164.8年绕太阳一周，海王星冲日现象是指地球处在太阳与海王星之间，2018年9月7日出现过一次海王星冲日，则( )A ．地球的公转轨道半径比海王星的公转轨道半径大B ．地球的运行速度比海王星的运行速度小C ．2019年不会出现海王星冲日现象D ．2017年出现过海王星冲日现象 答案 D解析 地球的公转周期比海王星的公转周期小，根据万有引力提供向心力G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，可得：T ＝2πr 3GM，可知地球的公转轨道半径比海王星的公转轨道半径小，故A 错误；根据万有引力提供向心力，有G Mmr 2＝m v 2r，解得：v ＝GMr，可知海王星的运行速度比地球的运行速度小，故B 错误； T 地＝1年，则T 海＝164.8年，由(ω地－ω海)·t ＝2π，ω地＝2πT 地，ω海＝2πT 海，可得距下一次海王星冲日所需时间为：t ＝T 地T 海T 海－T 地≈1.01年，故C 错误，D 正确． 7.(多选)(2019·陕西宝鸡市高考模拟检测(二))如图5所示，一火箭中固定有一水平放置的压力传感器，传感器上放有一个质量为m 的科考仪器．火箭从地面由静止开始以g2的初始加速度竖直向上加速运动，火箭通过控制系统使其在上升过程中压力传感器的示数保持不变．当火箭上升到距地面R2的高度时(地球的半径为R ，地球表面处的重力加速度为g )，以下判断正确的是( )图5A ．此高度处的重力加速度为14gB ．此高度处的重力加速度为49gC ．此高度处火箭的加速度为54gD ．此高度处火箭的加速度为1918g答案 BD解析 由地球表面万有引力近似等于重力得：mg ＝GMm R 2，火箭上升到距地面R2的高度时，有mg ′＝GMm (R ＋R 2)2，联立可得：g ′＝49g ，故A 错误，B 正确；由牛顿第二定律可知，火箭在地面时有，F N －mg ＝m ·g2上升到距地面R2的高度时，F N －mg ′＝ma联立解得：a ＝1918g ，故C 错误，D 正确．。
高考热点3：天体运动问题》
天体运动问题大全天体运动问题, 是万有引力定律和牛顿第二定律（向心力公式）在匀速圆周运动模型中的综合应用.人造卫星、月亮绕地球运动或行星绕恒星运动可视为“环绕模型”, 由万有引力提供向心力: F引＝F 向.此模型可计算卫星或行星的环绕速度、角速度、周期、向心加速度以及中心天体（被环绕的天体, 如地球、太阳）的质量和密度.对于卫星而言, 一条轨道, 对应着一个环绕速度, 因为一条轨道对应着一个固定的万有引力（作为向心力）, 当卫星的环绕速度改变时, 轨道上所能提供的向心力不足或过量, 则卫星将发生离心或近心运动, 即意味着卫星要变轨, 这就是考题中的变轨问题！为什么当星球的自转速度增大到一定的程度后, 星球赤道表面的物体会“飘起来”, 甚至连星球本身也可能会离散瓦解呢！首先, 当星球自转的速度比较小的时候, 星球表面的物体随星球自转所需的向心力也比较小, 物体受到的万有引力足以提供这么一个向心力, 而且还有剩余！剩余的部分表现为物体的重力：赤道上的物体与地球一起自转时的向心力为GMm/R2-N=mv2/R, N＝mg.当自转速度逐渐加快时, 物体所需的向心力也逐渐增大, 则N逐渐减小, 若自转速度继续增加, 当N＝0时, 物体就会“飘起来”了.实际上就是当王物体所需的向心力比能提供的大时, 物体作离心运动！学离心运动的时候我们知道, 砂轮转速过大的时候会破碎瓦解, 那么我们把自转的星球看成转动的砂轮又有何妨呢！当星球自转太快时, 星球也会破碎瓦解的！星球表面或附近（距离地面有一定高度）的物体受到的万有引力，绝大部分用来产生物体的重力加速，剩余的一小部分则作为维持物体与星球一起自转所需的向心力.可见重力和万有引力是有所区别的！不过，在要计算重力加速度的考题中，通常忽略星球的自转（因为自转所需的向心力很小），于是认为重力近似等于万有引力，即mg＝F引（我们不妨把它记作“近球模型”），据此，我们就可以推导出非常有用的“黄金代换式”：GM＝gR2.既然重力可以近似等于万有引力，那么对于近地轨道（环绕轨道近似等于星球半径R）的卫星，则有mg＝F向，可求得其环绕速度为v1＝，也就是我们在考题中遇到的第一宇宙速度！例题点拨:例题1 (2004年江苏, 4)若人造卫星绕地球做匀速圆周运动, 则下列说法正确的是( )A. 卫星的轨道半径越大, 它的运行速度越大B. 卫星的轨道半径越大, 它的运行速度越小C. 卫星的质量一定时, 轨道半径越大, 它需要的向心力越大D. 卫星的质量一定时, 轨道半径越大, 它需要的向心力越小例题2 发射地球同步卫星时, 先将卫星发射至近地圆轨道1．然后经点火, 使其沿椭圆轨道2运动, 最后再次点火, 将卫星送人同步圆轨道3, 轨道1.2相切于Q点, 轨道2、3相切于P点(见下图), 当卫星分别在1.2、3轨道上正常运行时, 以下说法正确的是( )A. 卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率B. 卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度C. 卫星在轨道1上经过Q点的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度D. 卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它的轨道3上经过P点时的加速度例题3 地球赤道上的物体重力加速度为g, 物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a, 要使赤道上的物体“飘”起来, 则地球的转速应为原来的( )A. g/a倍B. 倍C. 倍D. 倍例题4(2004年北京, 20)1990年5月, 紫金山天文台将他们发现的第2752号小行星命名为吴健雄星, 该小行星的半径为16 km．若将此小行星和地球均看成质量分布均匀的球体, 小行星密度与地球相同．已知地球半径R=6400km, 地球表面重力加速度为g．这个小行星表面的重力加速度为( )A. 400gB. g /400C. 20gD. g/20针对性训练1. 地球半径R0, 地面重力加速度为g, 若卫星距地面R0处做匀速圆周运动, 则( )A．卫星的速度为 B.卫星的角速度为C. 卫星的加速度为g/2D. 卫星的周期为2．假设地球质量不变, 而地球半径增大到原来的2倍, 那么从地球发射的人造地球卫星第一宇宙速度(球绕速度)大小应为原来的( )A. 倍B. 倍C. 倍D. 2倍3. 三颗人造卫星a、b、c绕地球作圆周运动, a与b的质量相等并小于c的质量, b和c的轨道半径相等且大于a的轨道半径, 则( )A. 卫星b、c运行的速度大小相等, 且大于a的速度大小B. 卫星b、c周期相等, 且大于a的周期C．卫星b、c向心加速度大小相等, 且大于a的向心加速度D. 卫星b所需的向心力最小4．关于绕地球运转的近地卫星和同步卫星, 下列说法中正确的是( )A. 近地卫星可以通过北京地理纬度圈所决定的平面上做匀速圆周运动B. 近地卫星可以在与地球赤道平面有一定倾角且经过北京上空的平面上运行C.近地卫星或地球同步卫星上的物体，因“完全失重”，其重力加速度为零D. 地球同步卫星可以在地球赤道平面上的不同高度运行5．假设一小型飞船, 在高空绕地球做匀速圆周运动, 若沿与其运动相反的方向发射一枚火箭, 则以下说法正确的是( )A. 飞船一定离开原来的轨道运动B. 火箭一定离开原来的轨道运动C. 若飞船继续绕地球匀速圆周运动, 则其运动的轨道的半径一定增大D. 若火箭离开飞船后绕地球做匀速圆周运动, 则其运动的圆轨道的半径一定减小6．关于人造地球卫星, 下列说法正确的是( )A. 轨道半径是地球半径n倍的同步卫星的向心加速度是地表附近重力加速度的倍B. 轨道半径是地球半径n倍的同步卫星的向心加速度是赤道表面物体向心加速度的n倍C. 如果卫星的轨道是椭圆, 则它在近地点比远地点时的动能大、势能小, 但两处的机械能相等D. 如果卫星因受空气阻力的作用, 其半径逐渐减小, 则它的势能逐渐减小, 动能逐渐增大, 机械能逐渐减少7．同一轨道上有一个宇航器和一个小行星，同方向围绕太阳做匀速圆周运动.由于某种原因，小行星发生爆炸而被分成两块，爆炸结束瞬间，两块都有原方向的速度，一块比原速度大，一块比原速度小，关于两块小行星能否撞上宇航器，下列判断正确的是（）A. 速度大的一块能撞上宇航器B. 速度大的一块不能撞上宇航器C. 速度小的一块能撞上宇航器D. 速度小的一块不能撞上宇航器8．假设在质量与地球质量相同, 半径为地球半径两倍的某天体上进行运动比赛, 那么与地球成绩相比, 下列说法正确的是( )A. 跳高运动员的成绩会更好B. 投掷铁饼的距离更远C. 举重运动员的成绩会更好D. 游泳运动员的成绩会更好9．2003年10月15日“神舟五号”载人飞船搭载航天员杨利伟发射成功, 经过21小时太空之旅, 飞船返回舱乘载着杨利伟于10月16日6时23分在内蒙古主要着陆场成功着陆, 我国首次载人航天飞行圆满成功。
专题 天体运动的“四个热点”问题
@《创新设计》
1.(2019·吉林模拟)我国发射的“悟空”号暗物质粒子探测卫星，三年来对暗物 质的观测研究已处于世界领先地位。宇宙空间中两颗质量相等的星球绕其连
线中心匀速转动时，理论计算的周期与实际观测周期不符，且TT理观论测＝k(k＞1)。
因此，科学家认为，在两星球之间存在暗物质。假设以两星球球心连线为直
径的球体空间中均匀分布着暗物质(已知质量分布均匀的球体对外部质点的
作用，等效于质量集中在球心处对质点的作用)，两星球的质量均为 m。那么
暗物质的质量为( )
k2－2 A. 8 m
k2－1 B. 4 m
7
C.(k2－1)m
D.(2k2－1)m
@《创新设计》
解析 双星均绕它们连线的中点做匀速圆周运动，令它们之间的距离为 L，由 万有引力提供向心力得 GmL22＝mT42理π论2 ·L2，解得 T 理论＝πL G2Lm。根据观测结果， 星体的运动周期TT理观论测＝k，这种差异可能是由双星之间均匀分布的暗物质引起 的，又均匀分布在球体内的暗物质对双星系统的作用与一质量等于球内暗物质 的总质量 m′(位于球心处)的质点对双星系统的作用相同，有 GmL22＋G（mL2m）′ 2＝ m4Tπ2观测2·L2，解得 T 观测＝πL G（m2＋L4m′），所以 m′＝k2－4 1m。选项 B 正确。 答案 B
11
@《创新设计》
当等边三角形边与地球表面相切的时候，恰好看到地球表面的13，所以本题中， 从每颗卫星可以观察到地球上大于13的表面，选项 D 正确。 答案 BCD
12
赤道上的物体、同步卫星和近地卫星
@《创新设计》
赤道上的物体、近地卫星、同步卫星的对比
比较内容 向心力来源 向心力方向 重力与万有引力的关系
2020版高考物理(课标版)大一轮复习课时规范练14天体运动中的四类问题 含解析
课时规范练14天体运动中的四类问题基础对点练1.(变轨问题)(2019·山西应县一中月考)在“嫦娥一号”奔月飞行过程中,在月球上空有一次变轨是由椭圆轨道a变为近月圆形轨道b,如图所示,在a、b两轨道的切点处,下列说法正确的是() A.卫星运行的速度v a=v b B.卫星受月球的引力F a=F bC.卫星的加速度a a>a bD.卫星的动能嫦娥一号”从a轨道上经过切点时,即将做离心运动,<m,从b轨道上经过切点时,做匀速圆周运动,=m,两公式比较可知,v a>v b,故A错误;由万有引力为F=,半径相等,故卫星受月球的引力F a=F b,故B正确;万有引力提供向心力,ma=,因此加速度是相等的,故C错误;由A可知v a>v b,卫星的动能E k a>E k b,故D错误。
2.(多选)(天体运动中的能量问题)(2018·东北师范大学附中等五校联考)在天体运动中,把两颗相距很近的恒星称为双星.已知组成某双星系统的两颗恒星质量分别为m1和m2,相距为L。
在万有引力作用下各自绕它们连线上的某一点,在同一平面内做匀速同周运动,运动过程中二者之间的距离始终不变。
已知万有引力常量为G。
m1的动能为E k,则m2的动能为()A.-E kB.-E kC.E kD.E kr1和r2,角速度为ω,由题意可知r1+r2=L对m1有=m1ω2r1对m2有=m2ω2r2解得r1=,r2=,ω=代入r1、r2得,所以C正确。
E k+E k2=m1(ωr1)2+m2(ωr2)2把ω=代入解得E k2=-E k,所以B正确。
故BC正确。
3.(多选)(变轨问题)(2019·河北邯郸永年区二中月考)“神舟十一号”飞船与“天宫二号”空间实验室在太空中自动交会对接的成功,显示了我国航天科技力量的雄厚。
已知对接轨道所处的空间存在极其稀薄的大气,下列说法正确的是()A.为实现对接,飞船与“天宫二号”运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间B.如不加干预,在运行一段时间后,“天宫二号”的动能可能会增加C.如不加干预,“天宫二号”的轨道高度将缓慢降低D.进入“天宫二号”的航天员处于失重状态,说明航天员不受地球引力作用,而第一宇宙速度为最大环绕速度,因此飞行器不可能大于第一宇宙速度,故A项错误;飞船所处的空间处存在极其稀薄的大气,如不加干预,其轨道高度降低,速度增大,故B、C项正确;航天员仍受到地球的引力,只是引力全部提供向心力,不产生重力作用,故D项错误。
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专题10 天体运动的“四类热点”问题考点一 ：近地卫星、同步卫星和赤道上物体的运行问题同步卫星的六个“一定”考点二 卫星变轨问题1.运用发动机变轨发动机对卫星加速,卫星的速度突然增加,万有引力不足以提供向心力,即G 2Mm r <m 2v r,卫星将做离心运动;可使在圆轨道上运行的卫星进入椭圆轨道,到达远地点时再加速,则可使卫星进入较大轨道半径的圆轨道运行;若发动机对卫星减速,同理可知卫星将做近心运动,由圆轨道进入内侧椭圆轨道,在近地点再减速可使卫星在半径较小的圆轨道上运行.学科&网 2.稀薄空气作用下的变轨空气阻力使卫星速度减小,则G 2Mm r >m 2v r,将导致卫星做近心运动,距地面的高度逐渐变小.3.卫星轨道的突变由于技术上的需要,有时要在适当的位置短时间内启动飞行器上的发动机,使飞行器轨道发生突变,使其进入预定的轨道.如图所示,发射同步卫星时,可以分多过程完成:(1)先将卫星发送到近地轨道Ⅰ.(2)使其绕地球做匀速圆周运动,速率为v1,变轨时在P 点点火加速,短时间内将速率由v1增加到v2,使卫星进入椭圆形的转移轨道Ⅱ.(3)卫星运行到远地点Q 时的速率为v3,此时进行第二次点火加速,在短时间内将速率由v3增加到v4,使卫星进入同步轨道Ⅲ,绕地球做匀速圆周运动.考点三：双星或多星模型1.宇宙双星问题(1)两星的角速度、周期都相同,即T1=T2,ω1=ω2.(2)两星做匀速圆周运动的向心力相等,都等于两者之间的万有引力,即122Gm m L =m121ωr1, 122Gm m L=m222ωr2. (3)两星之间的距离不变,且两星的轨道半径之和等于两星之间的距离,即r1+r2=L. 宇宙三星、四星问题首先明确多星系统中各星体的位置及周期关系,再分析各星做匀速圆周运动的向心力的来源和轨道半径. 3.分析思路考点四：天体的追及相遇问题1.相距最近：两卫星的运转方向相同，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA －ωB)t ＝2π.学科%网 2.相距最远：当两卫星位于和中心连线的半径上两侧时，两卫星相距最远，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA －ωB)t′＝ π .★考点一：近地卫星、同步卫星和赤道上物体的运行问题◆典例一（2019全国理综III 卷15）金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a 金、a 地、a 火，它们沿轨道运行的速率分别为v 金、v 地、v 火。
已知它们的轨道半径R 金<R地<R 火，由此可以判定A ．a 金>a 地>a 火B ．a 火>a 地>a 金C ．v 地>v 火>v 金D ．v 火>v 地>v 金【答案】A 【解析】由G2Mm R =ma ，解得a=2GMR, 已知它们的轨道半径R 金<R 地<R 火，由此可以判定a 金>a 地>a 火，选项A 正确B 错误；由G 2Mm R =m 2v R，解得GM R , 已知它们的轨道半径R 金<R 地<R 火，由此可以判定v 火<v 地<v 金，选项CD 错误。
◆典例二： (2016·四川卷)国务院批复，自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”.1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星“东方红一号”，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440 km ，远地点高度约为2060 km ；1984年4月8日成功发射的“东方红二号”卫星运行在赤道上空35 786 km 的地球同步轨道上．设“东方红一号”在远地点的向心加速度为a1，“东方红二号”的向心加速度为a2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a3，则a1、a2、a3的大小关系为( )A ．a2>a1>a3B ．a3>a2>a1C ．a3>a1>a2D ．a1>a2>a3【答案】D【解析】由于“东方红二号”卫星是同步卫星，则其角速度和赤道上物体的角速度相等，由a ＝ω2r 可知，由于r2>r3，则a2>a3；由万有引力定律有G Mmr2＝ma ，由于r1<r2，则a2<a1，故选项D 正确． ★考点二：卫星变轨问题◆典例一：（2019福建泉州5中高考适应性考试）2018年12月12日，在北京飞控中心工作人员的精密控制下，嫦娥四号开始实施近月制动，成功进入环月圆轨道Ⅰ．12月30日成功实施变轨，进入椭圆着陆轨道Ⅱ，为下一步月面软着陆做准备。
如图所示B 为近月点，A 为远月点，关于嫦娥四号卫星，下列说法正确的是（ ）A ．卫星在轨道Ⅱ上A 点的加速度大于在B 点的加速度B ．卫星沿轨道I 运动的过程中，卫星中的科考仪器处于超重状态C ．卫星从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ，机械能增加D ．卫星在轨道Ⅱ经过A 点时的动能小于在轨道Ⅱ经过B 点时的动能 【答案】D【解析】卫星在轨道II 上运动，A 为远月点，B 为近月点，卫星运动的加速度由万有引力产生知，卫星在B点运行加速度大，故A错误；卫星在轨道I上运动，万有引力完全提供圆周运动向心力，故卫星中仪器处于完全失重状态，故B错误；卫星从轨道I变轨到轨道II的过程中卫星轨道要减小做近心运动，提供的向心力大于所需向心力，又因在轨道I上运动时万有引力和向心力相等，故变轨时需在A 点做减速运动，使得卫星满足做近心运动，故C错误；卫星在轨道I上运动有：，在轨道II上经过A点有，由于万有引力大小相同，故在轨道II上的速度小于在轨道I上经过A点的速度，故D正确。
◆典例二：（2019河南郑州二模）.2018年12月8日2时23分，嫦娥四号探测器搭乘长征三号乙运载火箭，开始了奔月之旅，首次实现人类探测器月球背面软着陆。
12月12日16时45分，号探测器成功实施近月制动，顺利完成“太空刹车”，被月球捕获，进入了近月点约100km的环月轨道，如图所示，则下列说法正确的是A.嫦娥四号的发射速度大于第二宇宙速度B.嫦娥四号在100km环月轨道运行通过P点时的加速度和在椭圆环月轨道运行通过P点时加速度相同C.嫦娥四号在100km环月轨道运动的周期等于在椭圆环月轨道运动周期D.嫦娥四号在地月转移轨道经过P点时和在100km环月轨道经过P点时的速度相同【答案】B【命题意图】本题以嫦娥四号实施近月制动为情景，考查对宇宙速度的理解、万有引力定律和牛顿运动定律、开普勒定律、探测器的变轨及其相关知识点。
【解析】若嫦娥四号的发射速度大于第二宇宙速度，则嫦娥四号将脱离地球的引力范围，就不会被月球捕获，因此若嫦娥四号的发射速度大于第一宇宙速度小于第二宇宙速度，选项A错误；嫦娥四号通过同一点时所受的万有引力相等，根据牛顿第二定律，嫦娥四号在100km环月轨道运行通过P点时的加速度和在椭圆环月轨道运行通过P 点时的加速度相同，选项B 正确；嫦娥四号在100km 环月轨道运行的轨道半径大于在椭圆环月轨道运行的轨道半长轴，根据开普勒第三定律，嫦娥四号在100km 环月轨道运行的周期大于在椭圆环月轨道运行的周期，选项C 错误；嫦娥四号在地月转移轨道经过P 点时需要“太空刹车”（即减小速度）才能被月球捕获环月运行，选项D 错误。
★考点三：双星或多星模型◆典例一：(2019·吉林长春一模)如图所示，某双星系统的两星A 和B 各自绕其连线上的O 点做匀速圆周运动，已知A 星和B 星的质量分别为m 1和m 2，相距为d .下列说法正确的是( )A ．A 星的轨道半径为m 1m 1＋m 2d B ．A 星和B 星的线速度之比为m 1：m 2C ．若在O 点放一个质点，它受到的合力一定为零D ．若A 星所受B 星的引力可等效为位于O 点处质量为m ′的星体对它的引力，则m ′＝m 32m 1＋m 22【答案】D【解析】双星的角速度相等，是靠它们之间的万有引力来提供向心力，G m 1m 2d 2＝m 1ω2r 1＝m 2ω2r 2，且r 1＋r 2＝d ，联立解得r 1＝m 2d m 1＋m 2，r 2＝m 1d m 1＋m 2，故A 错误；根据v ＝ωr ，可得v 1v 2＝r 1r 2＝m 2m 1，故B 错误；若在O 点放一个质点，此质点受到的两颗星对它的作用力大小不等，则受到的合力不为零，故C 错误；若A 星所受B 星的引力可等效为位于O 点处质量为m ′的星体对它的引力，则G m 1m 2d 2＝G m ′m 1r 21，得m ′＝m 32m 1＋m 22，故D 正确．◆典例二（2018广东湛江质检）.三颗相同的质量都是M 的星球位于边长为L 的等边三角形的三个顶点上。
如果它们中的每一颗都在相互的引力作用下沿外接于等边三角形的圆轨道运行而保持等边三角形不变，下列说法正确的是A．其中一个星球受到另外两个星球的万有引力的合力大小为2232 GM LB．其中一个星球受到另外两个星球的万有引力的合力指向圆心OC．它们运行的轨道半径为3 2LD．它们运行的速度大小为2GM L【答案】B【解析】根据万有引力定律，任意两颗星球之间的万有引力为F1=G22ML，方向沿着它们的连线。
其中一个星球受到另外两个星球的万有引力的合力为F=2 F1cos30°3G22ML，方向指向圆心，选项A错误B正确；由r cos30°=L/2，解得它们运行的轨道半径3L，选项C322ML=M2vr可得v=GML，选项D错误。
★考点四：天体的追及相遇问题◆典例一：、假设有一载人宇宙飞船在距地面高度为4200km 的赤道上空绕地球做匀速圆周运动，地球半径约为6400km，地球同步卫星距地面高度为36000km。
宇宙飞船和地球同步卫星绕地球同向运动，每当二者相距最近时，宇宙飞船就向同步卫星发射信号，然后再由同步卫星将信号发送到地面接收站。
某时刻二者相距最远，从此刻开始，在一昼夜的时间内，接收站共接收到信号的次数为（）A．4次B．6次C．7次D．8次【答案】C 。
【解析】由开普勒周期定律22322131T r T r =知T 1=81T 2=3h ，第一次相距最近πππ=11t 242-t 32，解得t 1=712h ，第二次相距最近πππ2t 242-t 32=∆∆，解得Δt =724h ，由24-712=n·724知n=6.5，总共1+6.5=7.5，因此时7次，答案C 正确。
故本题选C 。
1．在航天领域中，悬绳卫星是一种新兴技术，它要求两颗卫星都在圆周轨道上运动，且两颗卫星与地心连线始终在一条直线上，如图所示。