空间点线面的位置关系及公理

1．四个公理

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)． 公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线． 公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．

2．直线与直线的位置关系

(1)位置关系的分类

⎩⎪⎨⎪⎧ 共面直线⎩⎨⎧ 平行直线相交直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点

(2)异面直线所成的角

①定义：过空间任意一点P 分别引两条异面直线a ，b 的平行线l 1，l 2(a ∥l 1，b ∥l 2)，这两条相交直线所成的锐角(或直角)叫作异面直线a ，b 所成的角(或夹角)．

②范围：(]

0，π2.

3．直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况．

4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．

5．等角定理

空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

【知识拓展】

1．唯一性定理

(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．

(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．

(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．

(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．

2．异面直线的判定定理

经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.()

(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．()

(3)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.()

(4)经过两条相交直线，有且只有一个平面．()

(5)没有公共点的两条直线是异面直线．()

1．下列命题正确的个数为()

①梯形可以确定一个平面；

②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；

③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；

④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．

A．0 B．1 C．2 D．3

2．(2016·浙江)已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则()

A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n

3．(2016·合肥质检)已知l，m，n为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，则下列判断正确的是() A．若m∥α，n∥α，则m∥n

B．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n

C．若α∩β＝l，m∥α，m∥β，则m∥l

D．若α∩β＝m，α∩γ＝n，l⊥m，l⊥n，则l⊥α

4.(教材改编)如图所示，已知在长方体ABCD－EFGH中，AB＝23，AD＝23，AE＝2，则BC和EG所成角的大小是______，AE和BG所成角的大小是________．

5．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB ∥CD ，则直线EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．

题型一 平面基本性质的应用

例1 (1)(2016·山东)已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

(2)已知空间四边形ABCD (如图所示)，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，G 、H 分别是BC 、CD 上的点，且CG ＝13BC ，CH ＝13

DC .求证： ①E 、F 、G 、H 四点共面；

②三直线FH 、EG 、AC 共点．

如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与四边形ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB

＝90°，BC ∥AD 且BC ＝12AD ，BE ∥AF 且BE ＝12

AF ，G 、H 分别为F A 、FD 的中点． (1)证明：四边形BCHG 是平行四边形；

(2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？

题型二判断空间两直线的位置关系

例2(1)(2015·广东)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是()

A．l与l1，l2都不相交

B．l与l1，l2都相交

C．l至多与l1，l2中的一条相交

D．l至少与l1，l2中的一条相交

(2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是() A．MN与CC1垂直B．MN与AC垂直

C．MN与BD平行D．MN与A1B1平行

(3)在图中，G、N、M、H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)

(1)已知a，b，c为三条不重合的直线，有下列结论：①若a⊥b，a⊥c，则b∥c；②若a⊥b，a⊥c，则b⊥c；③若a∥b，b⊥c，则a⊥c.其中正确的个数为()

A．0 B．1 C．2 D．3

(2)(2016·南昌一模)已知a、b、c是相异直线，α、β、γ是相异平面，则下列命题中正确的是()

A．a与b异面，b与c异面⇒a与c异面

B．a与b相交，b与c相交⇒a与c相交

C．α∥β，β∥γ⇒α∥γ

D．a∥α，b∥β，α与β相交⇒a与b相交

题型三求两条异面直线所成的角

例3(2016·重庆模拟)如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为________．

已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为()