58真分式的部分分式分解

1
解：∵
x3 F ( x) 是f(x)＝x2 3 2
的一个原函数
∴

2
1
x x dx 3
2
3
1
8 1 7 3 3 3
注意：定积分

b
a
f ( x)dx 表示的是一个数，
而不定积分
f ( x)dx
表示的是一族函数。
例6.3
求 (5x 4 e x )dx
0
1
解：∵ F ( x) x5 e x 是f(x)＝5x4＋ex的一个原函数 ∴ 例6.4
当x∈[a,c]时，A1＝ 当x∈[c,b]时，A2＝
b a
[ g ( x) f ( x)]dx
a
c
[ f ( x) g ( x)]dx
c
b
A A1 A2 | f ( x) g ( x) | dx
综合上述两种情况有A＝ a | f ( x) g ( x) | dx
1
1
1
⑶如果将区间[a,b]分成区间[a,c]和[c,b]，即
a＜c＜b，那么 f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
a a c b c b
例如，

5
2
3x dx
3

0
2
3x dx 3x 3dx
3 0
5
6.1 牛顿－莱布尼兹公式 运用定积分的定义求函数的定积分是一件很困难 的事，而且和求不定积分一点都拉不上关系。有没有 简单一点的方法呢？ [定理6.2] (牛顿－莱布尼兹公式) 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，F(x)是f(x)在 b [a,b]上的一个原函数，那么 f ( x)dx F (b) F (a) 习惯上，我们常将F(b)－F(a)记作 F ( x) |b a
例6.1 求由曲线y＝x2，X轴(即直线y＝0)和直线x＝1 所围成的图形的面积。 ⑴分割：在[0,1]之间插入n-1个 1 分点，每一段记作△xi，则△xi＝ n ， 把梯形分成n个小曲边梯形，它们的 面积为△Si ⑵替代：在△xi中任取一点ξ i(例如左端点)，用 i 1 2 1 ( 矩形面积代替小曲边梯形面积△Si≈f(ξ i)△xi= n ) n 2 n n i 1 1 1 n ⑶作和式：Sn＝ f (i )xi ( ) 3 (i 1)2
P.290
3 x y＝ x dx C 3 2
dy x2 dx
可分离变量的微分方程 dy 先把y’写成 dx 的形式，如微分方程可化为 g(y)dy＝f(x)dx，则两边积分就可求得通解为
G(y)＝F(x)＋C
例如：解微分方程 y'＝y2+xy2 dy 解：原方程即 ＝y2(1+x)
dx
可变形为
a
b
b
b
a
∵面积A＞0，∴ A a
由此可得出一个结论：
f ( x)dx

b
a
f ( x) dx
曲线 y ＝ f(x) 和 x ＝ a 、 x ＝ b 、 y ＝ 0 所围成 b 的曲边梯形的面积为 a f ( x) dx。
㈢两条曲线围成的图形的面积 1. 先研究两条曲线 y ＝ f(x) 、 y ＝ g(x) 与直 线x＝a、x＝b围成的图形面积
3 1 1
2
2
⑵两个函数的和(或差)在区间[a,b]上的定积分等
于这两个函数在区间[a,b]上的定积分的和(或差)，
即
[ f ( x) g ( x)]dx
a
b
b
a
f ( x)dx g ( x)dx
a
b
例如， (3x 2 x)dx 3x dx 2 xdx
3 3 1 1 1
f ( x)dx lim f ( )x f ( x)dx 其中a叫做积分下限，b叫做积分上限，[a,b]叫做
a
a
n
i 1
i
i
积分区间，f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积式， x叫做积分变量。
[说明] 1.曲边梯形的面积是函数y＝f(x)在[a,b]上的定 积分。其中X轴上方的面积为正，X轴下方的面 积为负。 2. 如果定积分存在，那么对 [a,b] 所作的分割是 任意的，每一个小区间内 ξ i 的取法也是任意 的，当n→∞时，Sn的极限都相同。 [定理6.1] 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在 b [a,b]上的定积分 f ( x)dx 存在。
6.3 定积分在几何上的应用 1.求平面图形的面积 ㈠当f(x)≥0时的情况 当f(x)≥0时，曲线在X轴的上方，则f(x)在 b [a,b]上的定积分a f ( x)dx 是曲线y＝f(x)和x＝ a、x＝b、y＝0所围成的曲边梯形的面积。 例 1 求 曲 线 y ＝ x2 的 下 方 与 X 轴 上 方 在 x∈[0,1]和x∈[-1,1]之间的面积 X=1 1 y 1 31 1 2 解：A1＝ 0 x dx x |0
(5x
0
1
4
e )dx ( x e ) (1 e) (0 1) e
x 5 0
x 1
求

1
0
x 1 x 2 dx
1 3
解：∵ x 1 x 2 dx 1 (1 x 2 ) 2 d (1 x 2 ) 1 2 (1 x 2 ) 2 C 2 2 3 ∴
⑴当f(x)≥g(x)时，
A＝

b
a
f ( x)dx g ( x)dx [ f ( x) g ( x)]dx
a a
b
b
图形说明： Y
y=f(x) A

b
a
f ( x)dx

a
b
y=g(x)
a
g ( x)dx
X
b
⑵当x∈[a,c]时f(x)≤g(x)， x∈[c,b]时f(x)≥g(x)
1 dy (1 x)dx 2 y
1 1 2 两边积分得 x x C y 2
第六章 定积分
6.1 定积分的概念与性质 １．定积分的概念 y=f(x) 求曲边梯形的面积 在直角坐标系中，设有曲线y＝f(x) x=a x=b 我们不妨假定f(x)≥0，求y＝f(x)、 x＝a、x＝b和X轴所围成的曲边梯形的面积。 我们可以在[a,b]中任意插入n－1个分点把[a,b] 分成n个小区间[xi-1,xi]，其长度△xi＝xi－xi-1，在 每一个小区间内任取一点ξ i，用长为f(ξ i)宽为△xi 的矩形面积代替小曲边梯形面积△Si，则曲边梯形面 积为这些矩形面积的和当n→∞时的极限。
a
函数f(x)在[a,b]上的定积分 f ( x)dx存在又称 a 为函数f(x)在[a,b]上可积。
b
2.定积分的性质 定积分有下列三条主要性质： ⑴被积函数的常数因子可以提到积分号的前面， b b 即 kf ( x)dx k f ( x)dx ，(k为常数)
a a
例如， 3x dx 3 x3dx
x 2 1
2 1
0
(0
1 1 ) ( 0) 1 2 2
[推论1]

b
a
f ( x)dx f ( x)dx, f ( x)dx 0
b a
b b
a
a
证明：设F(x)是f(x)的一个原函数， 则 a f ( x)dx F (b) F (a)， a f ( x)dx F (b) F (a) 。 所以 f ( x)dx f ( x)dx 。 a b 而
b
2.再研究两条曲线相交的情况 设y＝f(x)与y＝g(x)相交于两点x1，x2 则两条曲线所围成的图形的面积就是它们与 直线x＝x1、x＝x2所围成的图形的面积 例2.求y＝x2与y＝x所围成的图形的面积 解：由 y＝x2 得 x1＝0 x2＝1 y ＝x y1＝0 y2＝1
2 | x x | dx ( x x )dx A＝ 0 0 2 1 1
3 3
1 3 1 2 2 A2＝ x dx x |1 2 A1 1 3 3
1
0
x
㈡当f(x)≤0时的情况 当f(x)≤0时曲线在X轴的下方， 令g(x)＝-f(x)，则g(x)＝|f(x)|≥0， 则g(x)的曲线在X轴的上方，

b
a
f ( x)dx [ g ( x)]dx g ( x)dx
1 0 x 1 x dx 3 (1 x )
1 2 3 1 2 2 0
2 2 1 3 3
例6.9
求

1
1
x dx
x, x 0,
0
x, x 0, 解：∵ f(x)＝
∴
x 1 x dx 1 ( x)dx 0 xdx 2
1 1
2 0
x 2 x3 1 1 ( ) |0 2 3 6
[作业]
P.246 P.248 P.263 P.287 7 ,8 ,9 ⑴⑶⑷⑹,11 ⑴⑵⑷ 6 ,7 ,8 ⑴⑶⑷ 3 ⑵⑶⑸⑻⑼⑽,4 ⑴⑶⑹⑺⑻⑼⑽ 1 ⑴⑶⑷⑹，2 ⑴⑵⑸，3,5,6, 16 ⑴⑵⑶⑸ 1 ⑶⑷⑸⑺⑻,2 ⑵⑷⑸⑹⑺, 3 ⑵⑶⑸
a
这样一来，

b
a
f ( x)dx F ( x) |b a
定理6.2 称为微积分基本定理。有了这一定理，
定积分的计算问题就转化为求原函数的问题了。
[求定积分的一般步骤] 1.用不定积分求出被积函数的一个原函数 F(x) 2.用F(b)－F(a)求出定积分的值。 2 例6.3 求 x 2 dx
[一阶微分方程的解法] 两边积分法 形如y’＝f(x)的微分方程可用两边积分的方法直
接求出微分方程的解。 例5.44 求经过点(3,10)，并且在每一点P(x,y)处 的切线的斜率等于该点横坐标的平方的曲线。 解：设曲线方程为y＝f(x)，由题意得y’＝ 初始条件为y|x=3＝10 两边积分得
代入初始条件得10＝9＋C，C＝1 3 x 故所求曲线为 y 1 3
b a
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a
a
f ( x)dx F (a) F (a) 0 。
[推论2] 设f(x)在[-a,a]上连续，
当f(x)为奇函数时, 当f(x)为偶函数时,

a
a
f ( x)dx 0
例如：

a
a
f ( x)dx 2 f ( x)dx
0
a

1
1
x 3dx 0
1
3 x 2 2 2 1 1 x dx 20 x dx 2 3 |0 3 1
i 1
＝
1 1 1 1 lim S lim [ ( 1 )( 2 )] ⑷求极限:当n→∞时，S= n n n 6 n n 3
1 n(n 1)( 2n 1) 1 1 1 ( 1 )( 2 ) 3 n 6 6 n n
i 1
n
n
n
i 1
由此可见，求曲边梯形的面积问题可以通过分割、 替代、作和式、求极限四个步骤，最终归结为求和式 Sn 的极限问题。 [定积分的概念] 设函数f(x)在[a,b]上有定义，在[a,b]中任意插 入n－1个分点,a＝x1＜x2＜…＜xn＜xn+1＝b，把[a,b] 分成n个小区间[xi-1,xi]，每一段的长度记作△xi， 在每一个小区间内取一点ξ i，作和式Sn＝ n f ( )x ， i i i 1 若当n→∞时和式Sn的极限存在，则称此极限值为 f(x) n 在[a,b]上的定积分记作 b ,则 b