三角恒等变换 - 最全的总结· 学生版
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19.（公式的快速展开+二倍角展开平方差因子）(华师附中2015届高三第一次模拟考试数学理14)若 ，且 ，则 的值为
答案：AABAA CCBBC ACACB CD 18、 19.、1或
（5）两角和差公式，降幂公式，升幂公式的运用，主要涉及两大方向的运用。1）是碰到有平方出现的条件，根据题目的倍角关系，要有降幂的意识。2）同时出现正余弦，要根据同角三角函数的关系，要有化二元为一元转化为二次函数的思想。
例如： ， ，
1、（角的整体相减）(2011汕头期末)已知 等于（）
A． B． C． D．
2、（两角互补）.【山西大学附中2014-2015年高三月考】若 ，则 的值为（）
A． B． C． D．
3.（诱导公式）【湛江一中14年期末考试】如果 ，那么 的值为（ ）.
4.（两角相减）【江西省九江外国语学校2013-2014学年高一下学期第一次月考数学试题】已知 ，则 ( )
5、【皖南八校2015届高三第一次联考，理6】函数 的最小值与最大值的和等于()
A.-2B.0C. D.
6【浙江省嘉兴市2015届高三9月学科基础测试，理6】已知函数 则函数 的最大值是（）
A.4B.3C.5D.
7、（河南省郑州一中2014届高三上学期期中考试）已知 ，则
3、（两角和差公式+诱导公式）(2009四校联考) 等于
A．－ B． C．－ D．
4.（两角和差公式）下列各式中值为 的是（）.
A．s in45°cos15°+cos45°sin15°B．sin45°cos15°﹣cos45°sin15°
C．cos75°cos30°+sin75°sin30°D．
5、（拆角+两角和差公式）（佛山一中2014届高三10月段考数学（理）试题）化简三角式 （）
A、5 B、-1 C、6 D、
13、（分母还原1+同时除以cos2 ）已知 ，则 的值为
14、（二倍角+分母还原1+同时除以cos2 ）若 ， 是第三象限的角,则 =_________．
答案：BCDBD ADBCA CA 13、 14、-2
（4）：结合完全平方公式和平方差公式的作用。最经典的莫过于 ， ， 三者知一求二：
4.（分子分母同时除以cos ）(2012高考江西文4)若 ，则tan2α=
A. - B. C. - D.
5、（分母还原1+同时除以cos2 ）（2009辽宁卷文）已知 ，则
（A） （B） （C） （D）
6.（分母还原1+同时除以cos2 ）【淄博实验中学2015届高三，理5】已知 ，则 的值是（ ）
（A） （B） （C） （D）
16.（象限定号）【2015浙江温州高一期中】设 ,且 ,则（）
A. B. C. D.
17.（公式的快速展开+二倍角展开平方差因子）【2015山东泰安高一期末】若 ，则 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
18、（两边平方）（2013云浮一中期末）已知 ，则 _________
A． B． C． D．
7.（移项后两边平方在弦切互化）(唐山市2014-2015学年度高三年级第一次模拟考试7).已知 ，则 （）
A． B． C． 或0 D． 或0
8、（两边平方在弦切互化）【成都七中2015届数学阶段性测试，理8】已知 ，则 （）
A． B． C． D．
9、（解方程组+同角三角函数的快速弦切互化）【2015安徽滁州高一期末】已知 =（ ）
（A） （B） （C） （D）
5.（公式的快速展开+两边平方）（2011辽宁文7）设sin ，则
（A） （B） （C） （D）
6、（公式的快速展开+二倍角展开平方差因子）(2013六校联考)已知 等于（）
A． B． C． D．
7、（公式的快速展开+二倍角展开平方差因子）（2007海南宁夏理）若 ，则 的值为（）
1.（诱导公式+同时除以cos ）(2007韶关一模文)已知 ，
(A)2(B)－2(C)0(D)
2、（同角三角函数弦化切）(2013肇庆统考)已知α为锐角，sinα＝ ，则tan(α－ )等于
A、 B、7C、－ D、－7
3、（简单弦化切）（2011福建文3）若tan =3，则 的值等于
A．2B．3C．4D．6
三角恒等变换---完整版
三角函数------三角恒等变换公式：
考点分析：（1）基本识别公式，能结合诱导公式中两个常用的小结论快速进行逻辑判断。“互补两角正弦相等，余弦互为相反数。互余两角的正余弦相等。”（2）二倍角公式的灵活应用，特别是降幂、和升幂公式的应用。（3）结合同角三角函数，化为二次函数求最值 （4）角的整体代换 （5）弦切互化 （6）知一求二 （7）辅助角公式逆向应用
(A) 1 (B) (C) (D) 1
2.（两边平方+象限定号）（2012全国卷）已知α为第二象限角， ，则cos2α=
(A) （B） (C) (D)
3、（公式的快速展开+两边平方）（开滦二中2014届高三12月月考，文）已知 ，则 的值为（）
A．－ B． C． D．
4、（公式的快速展开）（2013年高考课标Ⅱ卷（文6））已知 ，则
1.【2012高考全国文4】已知 为第二象限角， ，则
（A） （B） （C） （D）
2．（2013年高考大纲卷（文2））已知 是第二象限角,
A． B． C． D．
3．(2008广州一模文)已知 ，则 的值为（）
A． B． C． D．
4、(2013六校协作题)若 ，则 的值为（）
A． B． C．－ D．－
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
8、（两边平方）【河南省名校2015届高三上学期期中数学，理3】已知sin2α＝－ ，α∈（－ ，0），则sinα＋cosα＝（）
A．－ B． C．－ D．
9.（两边平方）【江西省六校2015届高三上学期第一次联考，理5】已知 ＝ ，则sin 2θ的值为（）
A． B． C． D.
13、（两角整体相减）（中山市2014届高三上学期期末考试）已知 , ,则
14、（两角相减）【2015湖南浏阳高一期末】已知 ，则β=。
答案：BDACB 6、 7、 8、 9、- 10、 11、 12、3 13、 14、
（3）弦切互化：1）、分子分母同时除以cos 2）注意分母还原sin2 + cos2 =1，然后分子分母同时除以cos2 ，即可化为正切3）注意期间学会使用解方程的思想4）遇到部分Asinα+ Bcosα之类求正切的，注意先两边平方后再进行相切互化
（1）熟悉公式特征：能结合诱导公式中两个常用的小结论“互补两角正弦相等，余弦互为相反数。互余两角的正余弦相等。”快速进行逻辑判断。注意构造两角和差因子
1、（二倍角公式）（2007重庆文）下列各式中，值为 的是（）
A． B． C． D．
2、（二倍角公式+平方差公式）(2008六校联考) 的值是
A. B. C. D.
A．1B．2C．－2D．
10、（两边平方在弦切互化）（洛阳市2014届高三12月统考）已知2sinα＋cosα＝ ，则tan2α＝A
A． B． C．－ D．－
11、（两边平方在弦切互化）（省பைடு நூலகம்验中学2014届高三上学期期中考试）已知 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．1
12、（解方程组再弦切互化）【2015福建晋江高一期末】若 ，则 为
A． B．1C．2D．
6、（补全公式）（2013六校联考回归课本题）cos20°·cos40°·cos60°·cos80°＝（ ）
A． B． C． D． 常见变式：计算sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°的＝__.
7、（构造两角和差因子+两式平方后相加）若sinα－sinβ＝ ，cosα－cosβ＝ ，则cos(α－β)的值为()A. B. C. D．1
13、（公式的快速展开+两边平方）【河北省唐山市2014－2015学年度高三年级摸底考试5】已知 ，则sin2x的值为
A. B. C. D.
14、（公式的快速展开+两边平方）【南昌二中2014—2015学年度上学期第三次考试，理3】已知 ，则 （）
A． B． C． D．
15、（两边平方+韦达变换）（惠州市2016届高三第三次调研）已知 ，则 的值为（）
8、（互余两角正余弦互换）【四川雅安中学2014－2015学年上期9月试题，理11】若 _______.
9、（互补两角余弦互为相反数） ，则 ___________
10.（两角整体相减）若 ， 则 ．
11、（两角整体相减）【2015重庆高一期末】若 且 ，则 ；
12.（两角整体相减）【2015江苏高考，8】已知 ， ，则 的值为______
A. B. C. D.
5、（两角相加）.【2013-2014学年陕西省咸阳市高一（下）期末数学试卷】若 ， ，则 =（ ）
A．
B.
C.
D.
6.（特殊角三角函数值）【浙江省桐乡一中学等四校2015届高三上学期期中联考，理14】已知 ， ，则 ..
7、（两角整体相减）【江苏省泰兴市2015届高三（上）期中，理2】若 ，则 ．
在不同的范围三角函数值大小的比较（如下图），往往用于更加精确象限，常见于“知一求二”的符号问题。
本类题型要三个常见处理思想，1）是两边平方。2）是是根据上图进行逻辑判断。3）对于两大公式 和 的顺向和逆向快速转换，要形成解题敏感点。
1.（两边平方）【2012高考辽宁文6】已知 ， (0，π)，则 =
11．（特殊值化特殊角处理）化简 的值为________
12.（特殊值化特殊角处理） ＝_______
13、(tan 45°＝tan(20°＋25°)+多项式展开)若α＝20°，β＝25°，则(1＋tanα)(1＋tanβ)的值为_______
14、（合理组合，多项式乘法展开）(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)的值为_______
8．（诱导公式）【2015广东东莞高一期末】sin163°sin223°＋sin253°sin313°等于 B
A．－ B. C．－ D.
9、（构造两角和差因子+两边平方）【2015高考四川，理12】 ..
10、（逆向套用公式）tan 23°＋tan 37°＋ tan 23°tan 37°的值是________．
15、（逆向套用公式）tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°＝____.
答案：BDBCB CAB 9、 10、 11、－ 12、－ 13、2 14、3 15、1
（2）角的整体变换题：主要方法是拿题目给出的整体角加一加，或者减一减，观察是否互补、互余、或者是两角和差、倍角关系等，从而运用诱导公式、和差公式化简求值。
10.（两边平方+象限定号）【浙江省桐乡第一中学等四校2015届高三上学期期中联考，理6】已知 为第二象限角， ，则 （）
A. B. C. D.
11、（公式的快速展开+二倍角展开平方差因子）【2015广东汕头高一期末】若 ，且 ，则 的值为（ ）
A．1或 B．1 C． D．
12、（两边平方+象限定号）（衡水中学2014届高三二调考试，文）已知 ，且 则 的值为（）A． B． C． D．
答案：AABAA CCBBC ACACB CD 18、 19.、1或
（5）两角和差公式，降幂公式，升幂公式的运用，主要涉及两大方向的运用。1）是碰到有平方出现的条件，根据题目的倍角关系，要有降幂的意识。2）同时出现正余弦，要根据同角三角函数的关系，要有化二元为一元转化为二次函数的思想。
例如： ， ，
1、（角的整体相减）(2011汕头期末)已知 等于（）
A． B． C． D．
2、（两角互补）.【山西大学附中2014-2015年高三月考】若 ，则 的值为（）
A． B． C． D．
3.（诱导公式）【湛江一中14年期末考试】如果 ，那么 的值为（ ）.
4.（两角相减）【江西省九江外国语学校2013-2014学年高一下学期第一次月考数学试题】已知 ，则 ( )
5、【皖南八校2015届高三第一次联考，理6】函数 的最小值与最大值的和等于()
A.-2B.0C. D.
6【浙江省嘉兴市2015届高三9月学科基础测试，理6】已知函数 则函数 的最大值是（）
A.4B.3C.5D.
7、（河南省郑州一中2014届高三上学期期中考试）已知 ，则
3、（两角和差公式+诱导公式）(2009四校联考) 等于
A．－ B． C．－ D．
4.（两角和差公式）下列各式中值为 的是（）.
A．s in45°cos15°+cos45°sin15°B．sin45°cos15°﹣cos45°sin15°
C．cos75°cos30°+sin75°sin30°D．
5、（拆角+两角和差公式）（佛山一中2014届高三10月段考数学（理）试题）化简三角式 （）
A、5 B、-1 C、6 D、
13、（分母还原1+同时除以cos2 ）已知 ，则 的值为
14、（二倍角+分母还原1+同时除以cos2 ）若 ， 是第三象限的角,则 =_________．
答案：BCDBD ADBCA CA 13、 14、-2
（4）：结合完全平方公式和平方差公式的作用。最经典的莫过于 ， ， 三者知一求二：
4.（分子分母同时除以cos ）(2012高考江西文4)若 ，则tan2α=
A. - B. C. - D.
5、（分母还原1+同时除以cos2 ）（2009辽宁卷文）已知 ，则
（A） （B） （C） （D）
6.（分母还原1+同时除以cos2 ）【淄博实验中学2015届高三，理5】已知 ，则 的值是（ ）
（A） （B） （C） （D）
16.（象限定号）【2015浙江温州高一期中】设 ,且 ,则（）
A. B. C. D.
17.（公式的快速展开+二倍角展开平方差因子）【2015山东泰安高一期末】若 ，则 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
18、（两边平方）（2013云浮一中期末）已知 ，则 _________
A． B． C． D．
7.（移项后两边平方在弦切互化）(唐山市2014-2015学年度高三年级第一次模拟考试7).已知 ，则 （）
A． B． C． 或0 D． 或0
8、（两边平方在弦切互化）【成都七中2015届数学阶段性测试，理8】已知 ，则 （）
A． B． C． D．
9、（解方程组+同角三角函数的快速弦切互化）【2015安徽滁州高一期末】已知 =（ ）
（A） （B） （C） （D）
5.（公式的快速展开+两边平方）（2011辽宁文7）设sin ，则
（A） （B） （C） （D）
6、（公式的快速展开+二倍角展开平方差因子）(2013六校联考)已知 等于（）
A． B． C． D．
7、（公式的快速展开+二倍角展开平方差因子）（2007海南宁夏理）若 ，则 的值为（）
1.（诱导公式+同时除以cos ）(2007韶关一模文)已知 ，
(A)2(B)－2(C)0(D)
2、（同角三角函数弦化切）(2013肇庆统考)已知α为锐角，sinα＝ ，则tan(α－ )等于
A、 B、7C、－ D、－7
3、（简单弦化切）（2011福建文3）若tan =3，则 的值等于
A．2B．3C．4D．6
三角恒等变换---完整版
三角函数------三角恒等变换公式：
考点分析：（1）基本识别公式，能结合诱导公式中两个常用的小结论快速进行逻辑判断。“互补两角正弦相等，余弦互为相反数。互余两角的正余弦相等。”（2）二倍角公式的灵活应用，特别是降幂、和升幂公式的应用。（3）结合同角三角函数，化为二次函数求最值 （4）角的整体代换 （5）弦切互化 （6）知一求二 （7）辅助角公式逆向应用
(A) 1 (B) (C) (D) 1
2.（两边平方+象限定号）（2012全国卷）已知α为第二象限角， ，则cos2α=
(A) （B） (C) (D)
3、（公式的快速展开+两边平方）（开滦二中2014届高三12月月考，文）已知 ，则 的值为（）
A．－ B． C． D．
4、（公式的快速展开）（2013年高考课标Ⅱ卷（文6））已知 ，则
1.【2012高考全国文4】已知 为第二象限角， ，则
（A） （B） （C） （D）
2．（2013年高考大纲卷（文2））已知 是第二象限角,
A． B． C． D．
3．(2008广州一模文)已知 ，则 的值为（）
A． B． C． D．
4、(2013六校协作题)若 ，则 的值为（）
A． B． C．－ D．－
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
8、（两边平方）【河南省名校2015届高三上学期期中数学，理3】已知sin2α＝－ ，α∈（－ ，0），则sinα＋cosα＝（）
A．－ B． C．－ D．
9.（两边平方）【江西省六校2015届高三上学期第一次联考，理5】已知 ＝ ，则sin 2θ的值为（）
A． B． C． D.
13、（两角整体相减）（中山市2014届高三上学期期末考试）已知 , ,则
14、（两角相减）【2015湖南浏阳高一期末】已知 ，则β=。
答案：BDACB 6、 7、 8、 9、- 10、 11、 12、3 13、 14、
（3）弦切互化：1）、分子分母同时除以cos 2）注意分母还原sin2 + cos2 =1，然后分子分母同时除以cos2 ，即可化为正切3）注意期间学会使用解方程的思想4）遇到部分Asinα+ Bcosα之类求正切的，注意先两边平方后再进行相切互化
（1）熟悉公式特征：能结合诱导公式中两个常用的小结论“互补两角正弦相等，余弦互为相反数。互余两角的正余弦相等。”快速进行逻辑判断。注意构造两角和差因子
1、（二倍角公式）（2007重庆文）下列各式中，值为 的是（）
A． B． C． D．
2、（二倍角公式+平方差公式）(2008六校联考) 的值是
A. B. C. D.
A．1B．2C．－2D．
10、（两边平方在弦切互化）（洛阳市2014届高三12月统考）已知2sinα＋cosα＝ ，则tan2α＝A
A． B． C．－ D．－
11、（两边平方在弦切互化）（省பைடு நூலகம்验中学2014届高三上学期期中考试）已知 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．1
12、（解方程组再弦切互化）【2015福建晋江高一期末】若 ，则 为
A． B．1C．2D．
6、（补全公式）（2013六校联考回归课本题）cos20°·cos40°·cos60°·cos80°＝（ ）
A． B． C． D． 常见变式：计算sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°的＝__.
7、（构造两角和差因子+两式平方后相加）若sinα－sinβ＝ ，cosα－cosβ＝ ，则cos(α－β)的值为()A. B. C. D．1
13、（公式的快速展开+两边平方）【河北省唐山市2014－2015学年度高三年级摸底考试5】已知 ，则sin2x的值为
A. B. C. D.
14、（公式的快速展开+两边平方）【南昌二中2014—2015学年度上学期第三次考试，理3】已知 ，则 （）
A． B． C． D．
15、（两边平方+韦达变换）（惠州市2016届高三第三次调研）已知 ，则 的值为（）
8、（互余两角正余弦互换）【四川雅安中学2014－2015学年上期9月试题，理11】若 _______.
9、（互补两角余弦互为相反数） ，则 ___________
10.（两角整体相减）若 ， 则 ．
11、（两角整体相减）【2015重庆高一期末】若 且 ，则 ；
12.（两角整体相减）【2015江苏高考，8】已知 ， ，则 的值为______
A. B. C. D.
5、（两角相加）.【2013-2014学年陕西省咸阳市高一（下）期末数学试卷】若 ， ，则 =（ ）
A．
B.
C.
D.
6.（特殊角三角函数值）【浙江省桐乡一中学等四校2015届高三上学期期中联考，理14】已知 ， ，则 ..
7、（两角整体相减）【江苏省泰兴市2015届高三（上）期中，理2】若 ，则 ．
在不同的范围三角函数值大小的比较（如下图），往往用于更加精确象限，常见于“知一求二”的符号问题。
本类题型要三个常见处理思想，1）是两边平方。2）是是根据上图进行逻辑判断。3）对于两大公式 和 的顺向和逆向快速转换，要形成解题敏感点。
1.（两边平方）【2012高考辽宁文6】已知 ， (0，π)，则 =
11．（特殊值化特殊角处理）化简 的值为________
12.（特殊值化特殊角处理） ＝_______
13、(tan 45°＝tan(20°＋25°)+多项式展开)若α＝20°，β＝25°，则(1＋tanα)(1＋tanβ)的值为_______
14、（合理组合，多项式乘法展开）(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)的值为_______
8．（诱导公式）【2015广东东莞高一期末】sin163°sin223°＋sin253°sin313°等于 B
A．－ B. C．－ D.
9、（构造两角和差因子+两边平方）【2015高考四川，理12】 ..
10、（逆向套用公式）tan 23°＋tan 37°＋ tan 23°tan 37°的值是________．
15、（逆向套用公式）tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°＝____.
答案：BDBCB CAB 9、 10、 11、－ 12、－ 13、2 14、3 15、1
（2）角的整体变换题：主要方法是拿题目给出的整体角加一加，或者减一减，观察是否互补、互余、或者是两角和差、倍角关系等，从而运用诱导公式、和差公式化简求值。
10.（两边平方+象限定号）【浙江省桐乡第一中学等四校2015届高三上学期期中联考，理6】已知 为第二象限角， ，则 （）
A. B. C. D.
11、（公式的快速展开+二倍角展开平方差因子）【2015广东汕头高一期末】若 ，且 ，则 的值为（ ）
A．1或 B．1 C． D．
12、（两边平方+象限定号）（衡水中学2014届高三二调考试，文）已知 ，且 则 的值为（）A． B． C． D．