角的互补与互余
余角与补角
1.图中给出的各角，哪些互为补角？
10o
30o
60o
80o
100o
120o
150o
170o
角α α的余 α的补 补角与余 角 角 角的差
45° 63°35′
67° 90°
135°
90°
116°2100°35′ 135° α
79°25′ 45°
α 180°-α 90°
同角（或等角）的补角相等.
巩固提高
请认真观察下图，回答下列问题：
（1）图中有哪几对互余的角？
(∠A+∠B=90°, ∠A+∠C=90°)
(∠BOE+∠B=90°, ∠COD+∠C=90°)
(∠BOE+∠C=90°, ∠COD+∠B=90°)
（2）图中哪几对角是相等的角(直角除外)？ C
(∠B=∠C)（同角的余角相等）
O
(∠A=∠BOE)
(∠A=∠COD) (∠BOE=∠COD)
D O×
×
BO
×A
E
1.图中给出的各角，哪些互为余角？
10o
30o
50o
60o
40o
80o
2.判断：
× ①若∠1+∠2 = 90°，那么∠1是余角.(
)
②若∠1+∠2+∠3 = 90°，那么∠1，∠2，∠3互为余角.(
×)
互为余角是两个角的数量关系
√ ③两个直角三角板中，∠1＝30°，∠2＝60°,它们互为余角. (
活学活用 加深理解
1、已知∠α的补角是105°,则∠α的余角是多少度？
它的余角是15°
例2、若一个角的补角是它的余角的4倍，求这个角的度数.
三角函数互余互补公式
三角函数互余互补公式三角函数是数学中的重要概念之一，广泛应用于各个领域，特别是几何学和物理学等科学领域。
三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数等，它们之间存在着一些特殊的关系，其中最重要的是互余和互补关系。
一、互余关系：在三角函数中，正弦函数和余弦函数是最基本的两个函数，它们之间存在着互余关系。
互余关系的基本内容可以用一个非常简单的公式来表示，即sin(x)=cos(90°-x)和cos(x)=sin(90°-x)。
这个公式的意义是：对于一个角x的正弦函数值等于其互余角(90°-x)的余弦函数值；反过来，余弦函数值等于其互余角的正弦函数值。
互余关系可以用图形来形象地表示。
以正弦函数为例，我们可以看到正弦函数的图像是一条曲线，而余弦函数的图像则是一个在正弦函数曲线上下翻转的镜像。
二、互补关系：除了互余关系之外，三角函数中还有一个重要的关系是互补关系。
互补关系的基本内容可以用一个非常简单的公式来表示，即tan(x)=cot(90°-x)和cot(x)=tan(90°-x)。
这个公式的意义是：对于一个角x的正切函数值等于其互补角(90°-x)的余切函数值；反过来，余切函数值等于其互补角的正切函数值。
互补关系可以用图形来形象地表示。
以正切函数为例，我们可以看到正切函数的图像是一条在整个坐标平面上不断重复的直线，而余切函数的图像则是一条在整个坐标平面上不断重复的水平线。
互余和互补关系的应用非常广泛，特别是在三角函数的计算中。
通过利用互余和互补关系，可以将一个三角函数的计算转化成为另一个三角函数的计算，从而简化计算的过程。
三、实例应用：下面通过一些具体的实例来说明互余和互补关系的应用。
例1：计算sin75°的值。
根据互补关系sin(x)=cos(90°-x)，我们可以将sin75°的计算转化成为cos15°的计算。
互余和互补
∠1+∠2=90 ° 1和 2有什么关系？
观赏
意大利名胜 比萨斜塔
1
3和 4有什么关系？
∠3+∠4=180 °
4 3
余角
如果两个角的和等于90°（直角），
2
则称这两个角互为余角，即其中一 个角是另一个角的余角．
1
深入理解
∠1 2 = 90°— ∠2 1 ∠2=90° ∠1+
一定互余. 5、互补的两个角不可能相等.
）
（
）
（
）
余角的性质
1 2
等角的余角相等
如图∠1 与∠2互余，∠３ 与∠４互余 .如果∠1＝ ∠３，那么∠2与∠４有什么关系？
3
4
分析： ∵ ∠1 与∠2互余，∠3 与∠4互余 ∴∠1+∠2=90°,∠3+∠4=90° ∴∠2=90°-∠1，∠4=90°-∠3 ∵ ∠1 =∠3 ∴90°-∠1=90°-∠3，即∠2=∠4.
∠1与∠2互为余角
注意
互余是两个角的数量关系，与位置无关.
图中给出的各角，哪些互为余角？
10o 30o
50
o
60o
40
o
80
o
补角
1
2
如果两个角的和等于180°（平角）， 则称这两个角互为补角,即其中一个角是 另一个角的补角．
深入理解
∠ 2 = 180 ° 1 ∠ 1 =∠ 180 °— —∠ ∠ 1+ 2=180 ° ∠2
∠1与∠2互为补角
注意
互补是两个角的数量关系，与位置无关.
图中给出的各角，那些互为补角？
10o 30o
60
o
中考数学复习指导：余角、补角问题剖析
余角、补角问题剖析余角、补角是几何图形中两个重要的数量关系角概念，与角的位置无关．它们分别与两个特殊角直角、平角联系起来，在分析几何图形角的关系时占有十分重要的地位．借助余角、补角的概念，我们可以探究出它们很多有用的性质．由于余角、补角是数量关系角，而方程所表达的是一种相等的数量关系，因此借助方程求解余角、补角问题是最常用的思想方法．一、正确理解互余、互补⑴互余、互补是指两个角的数量关系，而不是三个或更多角的关系．两个角的和等于90°（直角）时，称这两个角互为余角．而三个或更多角的和也为90°（直角）时，则不能称它们互为余角．两个角的和等于180°（平角）时，称这两个角互为补角．而三个或更多角的和也为180°（平角）时，则不能称它们互为补角．⑵余角、补角都是一种“相互”关系．如∠1、∠2互余，即∠1+∠2=90°，此时∠1叫∠2的余角，而∠2也叫∠1的余角．同时一个角∠α的余角都可以用90°－∠α来表示．⑶余角、补角都是数量关系角，与位置关系无关．余角、补角都是数量关系角，与位置关系无关．因此考虑两个角是否互余、互补，只考虑角的大小，而不需考虑这两个角是否有公共顶点、公共边等关系二、余角、补角性质的探究①两角互余，则这两个角必都为锐角；②两角互补，则这两个角不可能同时为锐角或钝角．（只可能1锐1钝或两个角都为直角）③一个角的余角必为锐角；④一个角的补角可能为锐角、直角、钝角．（其中锐角的补角为钝角、钝角的补角为锐角、直角的补角还是直角．）⑤一个锐角的补角比这个角的余角大90°⑥同角或等角的余（补）角相等三、巧用方程求解余角、补角问题两点注意：⑴正确设未知数并用含所设未知数的式子表示出相关的量：一般设某个角为x，根据余角、补角定义，则这个角的余角为90－x，这个角的补角为180－x．⑵依据已知条件,寻找出正确的相等关系，列出方程．例．⑴互余且相等的两个角，各是多少度？⑵已知∠A和∠B互为余角，∠A与∠C互为补角，∠B和∠C的和等于周角的．求∠A+∠B+∠C的度数．分析：⑴设其中一个角为x，由两角互余，则另一个角为90－x．又这两角相等，∴x=90－x解得x=45⑵设∠A=x，依题意∠B=90－x，∠C=180－x由∠B和∠C的和等于周角的，∴（90－x）+（180－x）=×360解得x=75 ∴∠B=90－x=15 ∠C=180－x=105∴∠A+∠B+∠C=75+15+105=185°。
余角和补角
等角的余角相等
3、已知∠1与∠2,∠3都互为补角，那么∠2和∠3
的大小有什么关系？
2
1
1
3
同角的补角相等
4、已知∠1与∠2互补，∠3 与∠4互补，如果
∠1=∠3，那么∠2与∠4的大小有什么关系？
2
1
3
4
等角的补角相等
如图，A，O，B在同一直线上,射线OD和射线OE 分别平分∠AOC和∠BOC，图中哪些角互为余角？
D
C E
1
A
2
O
3 4
B
D
解：因为A，O，B在同一直线上, 所以∠AOC和∠BOC互为补角. 又因为射线OD和射线OE分 别平分∠AOC∠BOC，
C E
1A 1 所以∠2 +∠3＝ ∠AOC+ ∠BOC 2 2
1 ＝ (∠AOC+ ∠BOC) 2 1 ＝ ×180° ＝90° 2
2 3 1 4
O
B
A
2
3
C 4
O
B
3 （1）写出图中与1相等的角___________________ 4 （2）写出图中与2相等的角___________________ 1， 3 （3）写出图中2所有的余角___________________ 2， 4 （4）写出图中1所有的余角___________________ BOE （5）写出图中3的补角___________________
这里， 我们用到 了“等量 减等量， 差相等”。
2
3
同角的余角相等
2、已知∠1与∠2互余，∠3 与∠4互余，如果
∠2=∠4，那么∠1与∠3的大小有什么关系？
因为∠1与∠2互为余角 所以∠1＝90º－∠2 因为∠3与∠4互为余角 2 4 所以∠3＝90º－∠4 因为∠2=∠4 所以∠1=∠3
余角和补角
（4）同一个角的补角比余角大90度； （5）借助方程思想解决角度的数量关系问题 （6）用数形结合的思想来理解概念和余角、
补角有关的两个命题.
作业
练习册7.6
谢谢！
180。－x
结论：
（1）∠α是锐角; （2） 45。的角和它的余角相等; （3） 90。的角和它的补角相等; （4）锐角的补角比它的余角大90。.
请画出已知角∠α（∠α=30°）的一个
余角. C
E A
α
O
B
β1
D
画好∠α的余角,如何检验正误？ 你有什么发现吗？
∠α=30°，它的余角是60°角; 可以画出有无数个这样的余角; 同角（或等角）的余角相等 .
观察与思考：
∠α = 40。
。
∠β =50
。
∠γ =130
用量角器分别量出∠α、∠β、∠γ的度数，并计
算每两个角的度数之和.
∠α+∠β =
。
90;
∠β+∠γ =
。
180;
∠α+∠γ =
。
17. 0
如果两个角的度数的和是90°，那么这两个
角叫做互为余角，简称互余. 其中一个角称为 另一个角的余角.
它们的关系是什么？
1º= 60 ′，1′= ″60 。
59′+ 1′= 1 。
1 - 1′= 6′0- 1′= ′ 59
度分秒之间是60进位制，满60进位 .
例题2：
已知∠1=53°38′2〃， 求∠1的余角及补角的度数.
练习：计算下列各式
（1）77°54′36″+ 34°27′44″ 解：原式=112 °22′20″
α β
【数学知识点】互补和互余正弦和余弦的关系
【数学知识点】互补和互余正弦和余弦的关系
两个角互余，则sinα=cosβ，cosα=sinβ。
两个角回互补，则sinα=sinβ，
cosα=-cosβ。
在同一平面内，如果两个不重合的且有同一顶角的两个角相加等于180度，那么我们称这两个角互补（互为补角）。
若两角之和为90°，则称这两个角“互为余角”，简称“互余”。
三角函数简介
三角函数是基本初等函数之一，是以角度（数学上最常用弧度制，下同）为自变量，
角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。
也可以等价地用与单位
圆有关的各种线段的长度来定义。
三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的
基础数学工具。
在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许
它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
在航海学、测绘学、工程学等
其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数、半正矢
函数、半余矢函数等其他的三角函数。
不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者
计算得出，称为三角恒等式。
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
角的互余与互补
你能想出几 种方法？
2
3 1
3
3
3
4
∠1和∠2互余，∠3和∠4互余，如果 ∠1=∠3，那么， ∠2和∠4相等吗？ 为什么？
•补角性质：
同角或等角的补角相等。
•余角性质：
同角或等角的余角相等。
A
1 O 2
D
如图∠AOB = 90 °
B
∠COD = 90 ° 则∠1与∠2是什么关系？
C
答： ∠1 = ∠2 因为∠1+ ∠BOD = 90 ° ∠2+ ∠BOD = 90 ° 所以∠1 = ∠2 （同角的余角相等)
练习
一、填空
1、70°39′的余角是
19 °21 ′ ，补角是
109 °21。 ′
2、如果一个角的补角是150 ° ；那么这个角的余角 是 60 ° 。 3、x °（x<90）的余角是（90-x） ° ，它的补角 是 。 （180-x） °
总结：锐角∠的余角是（90 °—∠ ） ∠的补角是（180 °—∠ ）
D
E C A O B
1. ∠1=120 °, ∠1与∠2互补, ∠3与∠2互余,则 ∠3= 30 °. 2.O为直线AB上的一点，OD 平分∠AOB， ∠COE = 90 ° 则∠BOC = ∠DOE ， ∠COD = ∠AOE。
1、阅读书P36~38
2、P41 1 （5）（6）（7）（口答） 8
A
B
C
如图，E、F是直线DG上两点
D E F G
∠BEF = ∠BFE
∠AED = ∠CFG = 90 °
找出图中相等的角并说明理由。
互为余角
对应图形
1
互为补角
2 1
角的互补与互余教学设计
角的互补与互余教学设计亳州七中田壮领教学目标设计1、在具体情境中认识余角和补角的概念，并会运用解决简单的问题；2、经历认真观察、操作、探究、推理、交流等活动，发展学生的空间观念，培养学生的推理能力和有条理的表达能力，为以后的学习打下坚实的基础。
3、体验数学知识的发生、发展过程，敢于面对数学活动中的困难，建立学好数学的信心。
教学重点与难点1、教学重点：互为余角、互为补角的概念及互补互余的简单应用2、教学难点：应用方程的思想解决有关余角和补角的问题。
教学过程设计一、创设情境，引出课题平角=180o 1直角=90o 如果两个角的和等于这两个角呢？二、新知探究1 互为余角如果两个角的和是一个直角，那么我们就称这两个角互为余角，简称互余。
其中一个角是另一个角的余角。
如图∠1 +∠2=90o。
∠1=90o - ∠2特点两个角，和为90o考考你图中给出的各角，哪些互为余角？2互为补角如果两个角的和是一个平角，那么我们称这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角。
∠3 +∠4= 180o，∠ 3 = 180o -∠4特点两个角，和为 180o三巩固练习若一个角的补角等于它的余角的4倍，求这个角的度数。
解：设这个角是x °，则它的补角是（180-x）°,余角是(90-x) ° 。
根据题意得：（180-x）°= 4 (90-x) °解得： x =60答：这个角的度数是60 °。
四探究提高互余和互补的角的性质五本节课你有那些收获？。
6.3.3 余角和补角 课件人教版(2024)数学七年级上册
证明：因为 OC ⊥ AB ，所以∠ COA ＝∠ COB ＝90°.
因为 OC 平分∠ DOE ，所以∠ COD ＝∠ COE .
因为∠ AOC ＋∠ COD ＝90°，∠ BOE ＋∠ COE ＝90°，
所以∠ AOD ＝∠ BOE .
4． 如图，∠ AOC ＝∠ COB ＝90°，∠ DOE ＝90°， A ， O ， B 三
∠ BOC ，则图中互余的角共有(
A． 1对
B． 2对
C． 3对
D． 4对
D
)
7． 几何直观【人教七上P188复习题T11改编】按如图所示的方法折
纸，然后回答问题：
(1)∠1与∠ AEC ，∠3和∠ BEF 分别有何关系？
解：(1)因为∠1＋∠ AEC ＝180°，所以∠1与∠ AEC 互补．
因为∠3＋∠ BEF ＝180°，所以∠3与∠ BEF 互补．
因为 OD 平分∠ BOC ，所以∠ COD ＝∠ DOB .
因为∠ COE ＋∠ COD ＝∠ DOE ＝90°，
所以∠ AOE ＝∠ COE .
所以 OE 平分∠ AOC .
2. 如图，点 O 在直线 AB 上，∠ AOC 与∠ COD 互补， OE 平分
∠ AOC ，∠ DOE ＝48°，求∠ BOD 的度数．
(2)∠1与∠3有何关系？
(2)由翻折的性质，得∠1＋∠3＝ ×180°
6． (2023·北京)如图，∠ AOC ＝∠ BOD ＝90°，∠ AOD ＝126°，
则∠ BOC 的大小为(
A． 36°
B． 44°
C． 54°
D． 63°
C
)
7． 如图，若将一副三角尺折叠放在一起，使直角的顶点重合于点
角的互余与互补
角的互余与互补
A
B
C
如图，E、F是直线DG上两点
D E F G = 90 °
找出图中相等的角并说明理由。
互为余角
对应图形
1
互为补角
2 1
2
数量关系 ∠1+ ∠2 = 90 ° ∠1+ ∠2 = 180 ° 性 质
同角或等角的 余角相等。 同角或等角 的补角相等。
检测
互为补角
如果两个角 的和是一个 平角 ，那么这两个 角叫做互为补角，其中一个角是另一个角的 补角。
2 1
4
若∠1 + ∠2 =180 °, 则 ∠1和∠2互补.(互补定义 ) 若∠1和∠2互补, ° 则∠1 + ∠2 =180 .( 互补定义) 若∠3 + ∠4 =90 °, 则 ∠3和∠4互余 .( 互余定义) 若∠3和∠4互余, ° 则 ∠3 + ∠4 =90 .( 互余定义)
C
A
O
B
互为补角
如果两个角的和是一个平角，那么 这两个角叫做互为补角，其中一个 角是另一个角的补角。
互为余角
如果两个角的和是一个直角， 那么这两个角叫做互为余角， 其中一个角是另一个角的余角。
互为余角
如果两个角 的和是一个 直角 ，那么这两个 角叫做互为余角，其中一个角是另一个角的 余角。
例1
若一个角的补角等于它的余角的4倍， 求这个角的度数。
解：设这个角是x °，则它的补角是（180-x） °,余角是(90-x) ° 。 根据题意得：
（180-x） °= 4 (90-x) °
解得： x =60
答：这个角的度数是60 °。
练习
已知两个角互为补角，它们的差为30 °， 求这两个角的度数。
余角与补角
个角的余角(1)互为余角是对两个角而言的.(2)互为余角仅仅表明了两个角的数量关系，而没有限制角的位置关系：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角(supplementary angle).小结:同角或等角的余角相等.同角或等角的补角相等.. 这样的两个角叫对顶角(1)对顶角的本质特征是：两个角有公共顶点，两个角的两边互为反向延长线.(2)对顶角总是成对出现的，它们是互为对顶角；一个角的对顶角只有一个.要在图形中准确地找出对顶角，需两看：(1)看是不是两条直线相交所得的角;(2)看是不是有公共顶点而没有公共边(或不相邻)的两个角.12、如图 .如果∠1与∠ 2互余，∠1与∠3互余，那么∠2与∠3相等吗？为什么？同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等3、阅读理解：两直线交于O。
如图示。
因为∠1+∠3=180o，∠2+∠3=180o①所以∠1=∠2。
② 1 O 2（1）步骤①的理解是____平角的定义_________。
3 步骤②的理解是____等量代换(或同角的补角相等)_______。
（2）由此可以得出一个重要的结论是____对顶角相等_______。
对顶角相等．4、练一练1. 如图1，点A 、O 、B 在一条直线上，1,=∠∠=∠BOC AOC 则图中互余的角共有____4____对.2. 若1∠与2∠互为余角，且︒=∠371 ，则2∠=____530___3. 如果∠A ＝35°18′，那么∠A 的余角等于＿＿54°42′＿＿＿；4. 若1∠与2∠互为补角，︒=∠1201 ，则2∠=___600________5. 如果一个角的补角是150°，那么这个角的余角的度数是（ 600 ）6. 锐角的补角是__钝___角，直角的补角是___直____角，钝角的补角是_锐_角.7. 已知α∠与β∠互补，且α∠与β∠是对顶角，则α∠=__900_8. 如图2直线L 1与L 2 相交于点O ，1L OM ⊥,若︒=∠44α，则____46____0=∠β9. 如图3,直线AB 与CD 相交于点O, E 是AOD ∠内一点，已知,AB OE ⊥,45︒=∠BOD 则___135___0=∠COE8、已知,24︒=∠α且α∠与β∠互补，β∠与γ∠互补，则γ∠的余角和补角的度数分别为_____240____.9、如图4，已知直线AB 、CD 相交与点O ，OA 平分︒=∠∠70,EOC EOC ,则A BCD 45oOE图3图2MO L 1L 2α β○1角的静态定义具有公共端点的两条不重合的射线组成的图形叫做角（angle）。
余角和补角-完整版PPT课件
∠α的余角
85° 58° 45° 27°37′ 无
135° α
无 90°-α
∠α的补角
175° 148° 135° 117°37′ 90°
45° 180°-α
练习
判断
1、90度的角叫余角，180度的角叫补角。
×
2、若∠1＋∠2＋∠3＝180°，则∠1、∠2、∠3互为余角 ×
3、如果一个角有补角，那么这个角一定是钝角
1
（1）写出图中所有的直角_____A__O_D_，_____B_O_D_，__ EOC
A
（2）写出图中与 AOE相等的_____3______________
（3）写出图中 DOE所有的余角_____1_，____3_________
（4）写出图中 AOE所有的余角_____2_，____4_________
2画完图后请回答下列问题：
A
（1）图中有哪几对互余的角?
C
∠1∠2=90°, ∠2∠3（2）你能发现哪几个角是相等的(直角除外)？
∠1=∠3 B
（3）你能用一句话概括以上规律吗?
同角的余角相等
互为余角
互为补角
对应图形 数量关系 性质
1 2
21
∠1 ∠2 = 90 ° ∠1 ∠2 = 180 °
2
1
1 2
43
互为余角 如果两个角的和等于90°，那 么这两个角互为余角。（简称 互余）
几何语言：∵∠1∠2=900 ∴∠1与∠2互为余角
互为补角 如果两个角的和等于180°， 那么这两个角互为补角。（简 称互补）
几何语言：∵∠３∠４=1800 ∴∠３与∠４互为补角
帮∠ α 找朋友：
∠α
5° 32° 45° 62°23′ 90°
余角、补角、对顶角
余角、补角、对顶角一、考点讲解：1．余角：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角．2．补角：如果两个角的和是平角，那．么称这两个角互为补角．3．对顶角：如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．4．互为余角的有关性质：①∠1＋∠2=90°，则∠1、∠2互余．反过来，若∠1，∠2互余．则∠1+∠2=90○．②同角或等角的余角相等，如果∠l十∠2=90○，∠1+∠3= 90○，则∠2= ∠3．5．互为补角的有关性质：①若∠A +∠B=180○则∠A、∠B互补，反过来，若∠A、∠B互补，则∠A+∠B＝180○．②同角或等角的补角相等．如果∠A ＋∠C=18 0○，∠A+∠B=18 0°，则∠B=∠C．6．对顶角的性质：对顶角相等．二、经典考题剖析：【考题1－1】已知：∠A= 30○，则∠A的补角是________度．解：150○点拨：此题考查了互为补角的性质．【考题1－2】如图l－2－1，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF 平分∠AOE，∠1＝15○30’，则下列结论中不正确的是（）A．∠2 =45○B．∠1=∠3C．∠AOD与∠1互为补角D．∠1的余角等于75○30′解：D 点拨：此题考查了互为余角，互为补角和对顶角之间的综合运用知识．三、针对性训练：1．_______的余角相等，_______的补角相等．2．∠1和∠2互余，∠2和∠3互补，∠1=63○，∠3=__3．下列说法中正确的是（ ）A ．两个互补的角中必有一个是钝角B ．一个角的补角一定比这个角大C ．互补的两个角中至少有一个角大于或等于直角D ．相等的角一定互余4．轮船航行到C 处测得小岛A 的方向为北偏东32○，那么从A 处观测到C 处的方向为（ ）A ．南偏西32○B ．东偏南32○C ．南偏西58○D ．东偏南58○5．若∠l=2∠2，且∠1+∠2=90○则∠1=___，∠2=___．6．一个角的余角比它的补角的九分之二多1°，求这个角的度数．7．∠1和∠2互余，∠2和∠3互补，∠3=153○，∠l=_8．如图 l －2－2，AB ⊥CD ，AC ⊥BC ，图中与∠CAB 互余的角有（ ）A ．0个B ．l 个C ．2个D ．3个9．如果一个角的补角是150○ ，那么这个角的余角是____________10．已知∠A 和∠B 互余，∠A 与∠C 互补，∠B 与∠C 的和等于周角的13 ，求∠A+∠B+∠C 的度数．11．如图如图1―2―3，已知∠AOC 与∠B 都是直角，∠BOC=59○．（1）求∠AOD 的度数；（2）求∠AOB 和∠DOC 的度数；（3）∠A OB 与∠DOC 有何大小关系；（4）若不知道∠BOC 的具体度数，其他条件不变，这种关系仍然成立吗？。
余角和补角
数量关系:∠ 3 ＋∠ 4＝180 °
1、定义中的“互为”一词如何理解？ 如果1与2互补，那么1的补角是2 ，而2 的补角是1 ；如果1与2互余，那么1的余 角是2 ， 2的余角是1。 2、互补、互余的两角是否一定有公共顶点或公 共边？ 互补或互余的两角不一定有公共顶点或公共边。 3、1与2互补，除用符号语言表示为1＋ 2 ＝180°外，还可以用其它形式等式表示为______。 还可以表示为： 1＝180°－ 2，或 2＝ 180°－ 1 。
C
只要测出∠AOC 的度数， 即可求出∠AOB 的大小。
O
B D
3、已知一个角的补角是这个角的余
角的4倍，求这个角的度数． 解：设这个角为x度 根据题意 180— x = 4（90—x） 解得 x=60（度） 答：这个角为60°
一只闹钟，两点整的时候，时针与分针所 夹的角∠α是 60 度，它的余角是 30 度。
A C
∠AOB=90°
∠COD=90°
O D
B
在图形变化过程中:
⑴猜一猜: 你发现的规律是∠AOC = ∠BOD ； （2）议一议：把结论归纳一下：
同角的余角相等 ；
例1: 如图，∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，
如果∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？Biblioteka 2 143
答：因为 所以 因为 所以
∠1 =∠3 90°─∠1 = 90°─∠3 ∠2 = 90°─∠1，∠4 = 90°─∠3 ∠2 =∠4
) ( ) ( )
(
(4)两个角互补，那么这两个角中，必定一个是锐角， 另一个是钝角。 ( )
1、如图1，∠AOB=∠COD=Rt∠，请找 出另外相等的角，并说明理由。 A
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互余
β 图4-30
如果两个角的和等于一个直角，那么
我们就称这两个角互为余角，简称互余.
如图4-30，∠ +∠β =90°，∠ 叫做∠β的余角， ∠β也叫做∠ 的 余角，∠ 与∠β互余.
互补与互余
强调： ⑴ 角是成对出现；
∠1与∠2互余 ∠ 与∠β互补 ⑵ 只是存在数量关系，与位置无关. ⑶ 也可用减法的形式呈现.
2
1
3
4
图4-31
解： 因为∠1与∠2互补，所以∠2=180° -
同因为角∠（3与或∠4等互补角，）所以的∠补4=1角80°相- 等.
又因为∠1与∠3相等，所以
=
. . .
补(余)角的性质
思考：余角有无上面补角类似的性质？ 如果有，你能说明道理吗？
BC
4
2
A
1
OD
3
同角（或等角）的余角相等.
例题讲解
∠ =180° - ∠β
我来试试
填空： ⑴ ∠1与∠2互补，则∠1+∠2= °； ⑵ ∠1=90°- ∠2，则∠1与∠2 ; ⑶ 60°的余角是 ，补角是 ; 若一个角的度数是 x,则它的余角是 ， 余角是 ; ⑷ 30°角的余角的补角是 ;
（5）图中给出的各角中，哪些互为余角？ 哪些互为补角？
动手拼一拼
请你观察下面的四个角，看看∠1和哪些 角可以拼成一个平角？和哪些角可以拼成一个 直角？
2
4
3
1
补(余)角的性质
如下图，直线AB、CD相交于点O，那么 ∠2与∠3有什么关系？
C
13
A
2O
B
D
同角的补角相等.
补(余)角的性质
例: 如图4-31，∠1=∠3，∠1与∠2互补， ∠3与∠4互补，那么∠2与∠4有什么关系？
复习回顾
90°和180°分别是什么样的角？
在内部过顶点任画一条 射线OM，再画一个直角∠EDF，并在内部过顶点任画一条 射线ON.你有什么发现？
操作观察
M
E
N
请A同学们画O一个平角B∠AOB，在内D部过顶点任画F一条
射线总O结M：，再画一个直角∠EDF，并在内部过顶点任画一条
角的互补与互余
创设情境，引出新知
如左图所示，打台球时，选择适当的方向用白球击打红
球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1=∠2.这个问题可以 简单地表示为右图.其中∠EDC=90º，那么各个角与∠1有什 么关系？
E
D
F
1
2
1
2
A
B
C
有的角与∠1的和等于90º，例如（ ∠ADC ） 有的角与∠1的和等于180º，例如（ ∠ADF ）
例 如图A、O、E三点在一条直线上，
∠AOC=∠COE=∠BOD=90°.
⑴. 指出∠BOC的余角； ⑵. ∠AOB与∠COD
C D
B
有什么关系？为什么？
E
⑶. 图中有∠COD的补角吗？
O
A
巩固练习
1. 如图∠AOB=118°，OC是∠AOB的角平分 线，∠1和∠2互余，求∠1的度数.
A
C
O
2 1
射线ON射.你线有OM什把么∠发A现O？B分成∠AOM和∠BOM， 且
∠AOM +∠BOM =∠
= ° ；同样射线DN
把∠EDF分成
和
，且
+
，
=
=
°．
互补
1
2
图4-29
平角 如果两个角的和等于一个
，那么
互补 我们就称这两个角互为补角，简称
.
如图4-29，∠1+∠2=180°，∠1叫做∠2的补角，
∠2也叫做∠1的补角，∠1与∠2互补.
B
练习1图 D
巩固练习
2. 如图，E、F是直线DG上两点， ∠BEF=∠BFE, ∠AED=∠CFG=90°，找出图 中相等的角，并简要说明理由.
AC B
DE F G 练习2图
课堂总结： 通过这节课学习，你有什么收获？
作业布置
1.练习 第2题 (必做题) 2.习题4.5 第6、7题 （选做题）