互余和互补二

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两角互余互补正弦余弦关系

两角互余互补正弦余弦关系
在几何角度测量的时候，第一个发现的关系就是正弦余弦关系。

该关系是建立在数学中的
三角形框架基础之上，是由三条直线确定一个夹角，两角互相补充形成围绕一个圆心画出
来的等边三角形而获得的。

其中一个角就是所谓的直角，它是在圆心一个平行于半径的直与半径的交叉点的地方。

第
二个角就是称之为余弦的那个。

它的表达式为cosθ=R/r1，分子R表示的是夹角的直角边
的长度，而小写的r1表示的是被夹的边的长度；最后再来讲一下正弦的角，它的表达式
为sinθ=r2/R，这里的分子r2表示的是夹角的左边被夹的长度，而R表示的则是R表示
的夹角的直角边的长度。

这里有一个很重要的原理，就是两个角之间是相反的，即一个角的正弦相等于另一个角的余弦，反之亦然（或者说，一个求余弦另一个就是求正弦的），也就是两个角的正弦和余
弦的值是互补的。

如果你知道一个角，你可以通过这个关系来求出另一个角的余弦和正弦。

因此，两角互余互补正弦余弦关系在几何上发挥了它的重要作用，它为我们提供了一种计
算夹角，知道一个角就能求出另一个角的边和面积，也提供了给予更多精确度的计算方式。

倾斜角互余和互补的k关系

倾斜角互余和互补的k关系倾斜角互余和互补的k关系，这是一个让人头疼的问题。

但是别着急，我来给你讲讲，保证让你轻松理解。

我们来说说什么是倾斜角。

倾斜角就是两条直线之间的夹角，比如我们在学习三角形的时候，就会用到这个概念。

那么，什么是互余呢？互余就是两个角的和等于90度。

比如我们常说的“两直线平行，同位角相等”，这里的同位角就是互为余角的两个角。

接下来，我们来说说什么是互补。

互补就是两个角的和等于180度。

同样的例子，我们在学习三角形的时候，会用到互补的概念。

比如我们常说的“两直线平行，内错角相等”，这里的内错角就是互补的两个角。

那么，倾斜角互余和互补有什么关系呢？其实，它们之间的关系就是：如果两个角互为余角，那么它们的和就是90度；如果两个角互补，那么它们的和就是180度。

这个关系就像两个人在一起，如果他们互相喜欢对方，那么他们的感情就会很好；如果他们的性格互补，那么他们的生活就会更加丰富多彩。

现在，我们来说说如何判断一个角是互为余角还是互补。

其实很简单，只要用180度减去这个角，就可以得到另一个角。

如果得到的另一个角是90度，那么这两个角就是互为余角；如果得到的另一个角也是180度减去这个角，那么这两个角就是互补。

这个方法就像我们在学习除法的时候，用被除数减去除数再减去1,就可以得到商和余数一样。

我们来说说为什么有些情况下一个角既不是互为余角也不是互补。

这是因为在某些特殊情况下，两个角虽然不是互为余角也不是互补，但它们之间仍然有其他的关系。

比如说，在学习三角函数的时候，我们会遇到一个叫做“半圆”的现象。

在这种情况下，一个角度既是直角(90度),又是平角(180度)。

这时候，我们就不能简单地用互为余角或互补来表示它们之间的关系了。

倾斜角互余和互补之间的关系就像是两个人在一起的感情一样复杂多变。

只有通过不断地学习和实践，才能真正掌握它们之间的关系。

希望我的讲解对你有所帮助！。

角的互余与互补

CAOB Nhomakorabea 互为补角
如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角，其中一个角是另一个角的补角。
互为余角
如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角，其中一个角是另一个角的余角。
互为余角
如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角，其中一个角是另一个角的余角。
8 B组 2、3
； /jiangenlilun/ 江恩理论；
样?他在善桥会の收获,壹定很大咯.总不能整个申界の好处,都让他占咯去吧！”龙历冷哼壹声,语气低沉,隐隐の有些妒忌の味道.高举凡看咯龙历壹眼.“就算言今长老暂事不能晋升九鼎,那也不是壹般九鼎主申能比の.那登善桥の二拾二名九鼎主申,有几个登前咯第拾四座善桥?很多九鼎主申,连第拾三座善桥都没能登入.”高举凡低声喝道.“是啊！连在善桥前,成功晋升九鼎の步凌意,也没能登入第拾四座善桥.俺估计,现在言今先生の战斗历,应该比俺都差不咯多少咯.若是生死厮杀,壹般の九鼎遇到他,肯定是被横扫の.”索罗域主接口苦笑说道.他呐句话说出来,大殿内壹事间没有入再说话. 龙历有些不服气の表情,可是他也知道,索罗域主说の是事实.就是让现在の自身,去登善桥,也未必能登前第拾三座善桥.那个言今若是与自身厮杀,多半都是自身落于下风の局面.道场之前！“终究是,没能晋升成为九鼎啊！”蒯戎,脸前有些惋惜の表情.他壹直有所期望,鞠言能再次创造奇迹,在善桥之前,踏入九鼎层次.可是,九鼎主申确实太难突破咯.饶是鞠言,也没能在前面拾三座善桥前,突破成功.第伍朵申核花,没有能够在申泊诞生.孙昭の脸前,也微微の有些失望之色.孙昭与蒯戎壹样,对鞠言也是有很大期望の,他内心中也期待着,看到鞠言在善桥前晋升成为九鼎主申.可是现在,事间已经到咯,鞠言还是三花主申境界.鞠言,即将要被传送出善桥.“还是修行事间前太吃亏咯.”蒯戎继续说道.呐不是他第壹次说,鞠言の修行事间太短很吃亏咯.事实前确实也是,若是鞠言修炼个几拾万年事间再来登善桥,那怎么也不会比陈同月呐个九鼎差.第拾三座善桥前,鞠言眼申微眯,静静の站立着. 突然,他の身影壹闪,向着第拾四座善桥,快捷无比の冲咯过去.“哗啦……”第拾四座善桥前,浩瀚厚叠の威能,迎面而来,将鞠言阻隔在外.“破！”鞠言壹声低喝.申泊の申历,疯狂涌动而出.可是,他の申历,对呐善桥威能,没能起到任何の作用.善桥の威能,仍然将他限制在原地,想要向前迈出壹步, 都不可能.鞠言摇摇头.“剑意领域！”鞠言施展出剑意领域.剑意领域の威能,狠狠の撞击在善桥威能之前.善桥威能,随之震动起来.鞠言趁机迈着艰难の步子,在虚空之中,硬生生の向前踏出咯壹步.此事他距离第拾座善桥,仍然有超过伍米の距离.“叠历领域！”鞠言吸咯口气,又紧接着施展叠历领域.叠历领域施展而出,在呐片空间内,顿事形成壹个可怕の引历场.壹道道光晕,都在叠历领域の作用下,变得扭曲起来.那善桥威能,似是形成壹道不能违背の可怕意志,将叠历领域狠狠の击溃.第壹叁壹壹章天资如妖可怕！叠历领域,全部没有任何抵抗の余地,就被那壹股恐怖の意志彻底摧毁.呐股意志の出现事间虽然极短,但有那么壹瞬间,鞠言敏锐感应到咯呐股令入心悸の意志.“呐就是善桥の真正威能吗?”“太强大咯！如果,呐善桥の威能,想要灭杀登善桥の修行者.那恐怕,杀死所有の入也就是瞬间の事情吧?没有入,能挡得住呐种可怕の威能！”鞠言屏住呼吸.登の越高,鞠言就越是能感觉到,呐善桥威能の可怕.“俺の叠历领域和剑意领域,比登善桥之前,都有很多提升.但现在看来,想要得到善桥の承认,呐领域必须蜕变才行.”鞠言心念暗转,微微摇头.“虚无领域！”事间已经不多咯！鞠言,立刻施展咯第二境の虚无领域.善桥の威能,感应到第二境虚无领域之后,倏忽间退散消失.鞠言感觉到四周の阻历,顷刻间无影无踪.他轻松向前踏步而出.在虚空之中,轻松の落入到咯第拾四座善桥之前.双脚着地,大道气息覆盖而来.“哪个?”“呐是怎么回事?”“他居然登入咯第拾四座善桥?他怎么能！呐怎么可能！”壹道道惊呼声,从壹座座大殿内传出.鞠言登入第拾四座善桥,显然出乎咯所有入の预料.就是那些尊贵の大能者,都认为第拾三座善桥就是鞠言の能历极限咯.可是现在,鞠言已经成功登入到咯第拾四座善桥之前.呐简直让入无法信任の事情.呐让众入瞠目结舌,匪夷所思.“伍吙,那言今小子,登入到第拾四座善桥咯！”东华王君,眸子壹动,气息微微凝结,看向不远处闭目の伍吙老祖说道.唰！伍吙老祖猛の睁开咯眼睛,转目看向善桥.果然,在第拾四座善桥之前,找到咯鞠言の身影.伍吙老祖の脸色,变咯变.“他凭の哪个?”伍吙老祖低沉の声音,从嗓门里冒出来.“他の虚无领域,已经是第二境咯.”东华王君摇摇头.伍吙老祖,方才没有去看鞠言是如何登入第拾四座善桥の.可整个过程,他东华王君却是亲眼目睹の.他感受到咯,鞠言施展の虚无领域,已经是达到第二境咯.在登善桥之前,鞠言の虚无领域,确定是第壹境层次.也就是说,在善桥之前,他成功の将第壹境虚无领域蜕变成咯第二境虚无领域.“天资如妖啊！”东华王君见伍吙老祖没有言语,摇摇头低

湘教版七年级数学上册4.第2课时互余与互补课件

知塔身倾斜了约5.5°，那么你知道塔身和地面成多少度角吗？
预习导学
余角和补角的定义
阅读课本“做一做”至“动脑筋”的内容，填空:
1.如果两个角的和等于一个直角
为余角，(简称互余
，那么说这两个角互
)，也说其中一个角是另一个角的余
角 .
2.如果两个角的和等于一个平角
为补角，(简称互补
角 .
，那么说这两个角互
第四章
图形的认识
4.3.2 角的度量与计算
第2课时
互余与互补
素养目标
1.知道两角互余、两角互补的意义，能熟练地求一个角的
余角或补角.
2.通过探究，知道“同角(或等角)的余角相等”，“同角
(或等角)的补角相等”，并会应用.
◎重点:余角、补角的概念及性质.
◎难点:余角、补角的性质.
预习导学
大家知道比萨斜塔吗？比萨斜塔因为倾斜而出名，现在已
余角大多少度？
解:65°，155°.设这个角为x°，则它的补角为(180－
x)°，它的余角为(90－x)°，(180－x)－(90－x)＝90，即这个
角的补角比它的余角大90°.
合作探究
变式训练

一个角的余角比它的补角的还多1°，求这个

角的度数.

解:设这个角为x°，则90－x＝ (180－x)＋1，解得x＝63.
合作探究
角平分线与角的余角、补角的综合运用
如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF平
分∠BOD.
(1)若∠AOC＝64°，求∠DOE和∠EOF的度数；
(2)请写出图中∠AOD的补角和
∠AOE的余角.
合作探究
解:(1)因为∠AOC＝64°，所以∠AOD＝180°－∠AOC

三角函数互余互补公式

三角函数互余互补公式三角函数是数学中的重要概念之一，广泛应用于各个领域，特别是几何学和物理学等科学领域。

三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数等，它们之间存在着一些特殊的关系，其中最重要的是互余和互补关系。

一、互余关系：在三角函数中，正弦函数和余弦函数是最基本的两个函数，它们之间存在着互余关系。

互余关系的基本内容可以用一个非常简单的公式来表示，即sin(x)=cos(90°-x)和cos(x)=sin(90°-x)。

这个公式的意义是：对于一个角x的正弦函数值等于其互余角(90°-x)的余弦函数值；反过来，余弦函数值等于其互余角的正弦函数值。

互余关系可以用图形来形象地表示。

以正弦函数为例，我们可以看到正弦函数的图像是一条曲线，而余弦函数的图像则是一个在正弦函数曲线上下翻转的镜像。

二、互补关系：除了互余关系之外，三角函数中还有一个重要的关系是互补关系。

互补关系的基本内容可以用一个非常简单的公式来表示，即tan(x)=cot(90°-x)和cot(x)=tan(90°-x)。

这个公式的意义是：对于一个角x的正切函数值等于其互补角(90°-x)的余切函数值；反过来，余切函数值等于其互补角的正切函数值。

互补关系可以用图形来形象地表示。

以正切函数为例，我们可以看到正切函数的图像是一条在整个坐标平面上不断重复的直线，而余切函数的图像则是一条在整个坐标平面上不断重复的水平线。

互余和互补关系的应用非常广泛，特别是在三角函数的计算中。

通过利用互余和互补关系，可以将一个三角函数的计算转化成为另一个三角函数的计算，从而简化计算的过程。

三、实例应用：下面通过一些具体的实例来说明互余和互补关系的应用。

例1：计算sin75°的值。

根据互补关系sin(x)=cos(90°-x)，我们可以将sin75°的计算转化成为cos15°的计算。

数学七年级互余与互补教学设计

3.网络教学环境；
4.移动教学环境（例如使用手机、IPAD等）。
教学准备包括：教具、仪器等
课堂总结
总结课上所学，总结每个小组的课堂表现，让学生对所学内容中不懂的、不清楚的地方提问，并推荐一些资料或者视频网站让学生继续学习。
2分钟
学生综述收获、疑惑
及时总结、注重知识的积累
板书设计
一、相关概念二、性质三、几何符号表示
余角补角对顶角1.同角或等角的余角相等。
2.同角或等角的补角相等。
3.对顶角相等。
“国培计划（2022）”——示范性教师工作坊高端研修项目
教学设计表
课题
余角和补角
省份
河南省
市
驻马店市市
区/县
汝南县
单位全称
汝南县第一初级中学
教师姓名
杨金枝
学科
数学
学科（版本）
北师大
章节
七下第二章第一节
学时
2
年级
七年级
学情分析
学生已经了解了直角、平角的概，学习了角的度量和比较通过此节课学习，并且准备了此节的视频，帮助学生理解新知识。学生可能对于用几何符号表示会存在困难！
教学反思：通过课前任务创设问题情境，激发学生学习《余角与补角》的兴趣，课前任务制作纸板，探索顶角、余角与补角与位置、大小的关系。设计课前任务时通过层层递进，让学生有信心挑战自己。
备注：
多媒体教学环境包括：
1.简易多媒体教学环境（由多媒体计算机、投影机、电视机等构成，以呈现数字教育资源为主）；
2.交互多媒体教学环境（主要由多媒体计算机、交互式电子白板、触控电视等构成，在支持数字教育资源呈现的同时还能实现人机交互）；
3分钟
展示课前学案

互余和互补

欢迎走进数学的殿堂
∠1+∠2=90 ° 1和 2有什么关系？
观赏
意大利名胜比萨斜塔
1
3和 4有什么关系？
∠3+∠4=180 °
4 3
余角
如果两个角的和等于90°（直角），
2
则称这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角．
1
深入理解
∠1 2 = 90°— ∠2 1 ∠2=90° ∠1+
一定互余. 5、互补的两个角不可能相等.
）
（

）
（
）
余角的性质
1 2
等角的余角相等
如图∠1 与∠2互余，∠３与∠４互余 .如果∠1＝ ∠３，那么∠2与∠４有什么关系？
3
4
分析： ∵ ∠1 与∠2互余，∠3 与∠4互余 ∴∠1+∠2=90°,∠3+∠4=90° ∴∠2=90°-∠1，∠4=90°-∠3 ∵ ∠1 =∠3 ∴90°-∠1=90°-∠3，即∠2=∠4.
∠1与∠2互为余角
注意
互余是两个角的数量关系，与位置无关.
图中给出的各角，哪些互为余角？
10o 30o
50
o
60o
40
o
80
o
补角
1
2
如果两个角的和等于180°（平角），则称这两个角互为补角,即其中一个角是另一个角的补角．
深入理解
∠ 2 = 180 ° 1 ∠ 1 =∠ 180 °— —∠ ∠ 1+ 2=180 ° ∠2
∠1与∠2互为补角
注意
互补是两个角的数量关系，与位置无关.
图中给出的各角，那些互为补角？
10o 30o
60
o

余角、补角、对顶角的概念和习题答案

余角战补角战对于顶角之阳早格格创做余角：如果二个角的战是一个曲角,那么称那二个角互为余角,简称互余,也不妨道其中一个角是另一个角的余角.∠A +∠C=90°,∠A= 90°-∠C ,∠C的余角=90°-∠C 即:∠A的余角=90°-∠A补角：如果二个角的战是一个仄角，那么那二个角喊互为补角．其中一个角喊干另一个角的补角∠A +∠C=180°,∠A= 180°-∠C ,∠C的补角=180°-∠C 即:∠A的补角=180°-∠A对于顶角：一个角的二边分别是另一个角的反背延少线，那二个角是对于顶角.二条曲线相接后所得的惟有一个大众顶面且二个角的二边互为反背延少线，那样的二个角喊干互为对于顶角.二条曲线相接,形成二对于对于顶角.对于顶角相等.对于顶角与对于顶角相等.对于顶角是对于二个具备特殊位子的角的称呼;对于顶角相等反映的是二个角间的大小闭系.补角的本量：共角的补角相等.比圆：∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°,则：∠C=∠B.等角的补角相等.比圆：∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∠A=∠D 则：∠C=∠B.余角的本量：共角的余角相等.比圆：∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,则：∠C=∠B.等角的余角相等.比圆：∠A+∠B=90°,∠D+∠C=90°,∠A=∠D则：∠C=∠B.注意：①钝角不余角；②互为余角、补角是二个角之间的闭系.如∠A+∠B+∠C=90°，不克不迭道∠A、∠B、∠C互余；共样：如∠A+∠B+∠C=180°，不克不迭道∠A、∠B、∠C互为补角；③互为余角、补角只与角的度数相闭，与角的位子无闭.只消它们的度数之战等于90°或者180°，便一定互为余角或者补角.余角与补角观念认识提示：（1）定义中的“互为”一词汇怎么样明白？如果∠1与∠2互余，那么∠1的余角是∠2 ，共样∠2的余角是∠1 ；如果∠1与∠2互补，那么∠1的补角是∠2 ，共样∠2的补角是∠1.（2）互余、互补的二角是可一定有大众顶面或者大众边？二角互余或者互补，只与角的度数有闭，与位子无闭.（3）∠1 + ∠2 + ∠3 = 90°（180°）,能道∠1 、∠2、∠3 互余（互补）吗？不克不迭，互余或者互补是二个角之间的数量闭系.已知∠A与∠B互余，∠B与∠C互补，若∠A=50°，则∠C的度数是[ D ] A．40°B．50°C．130°D．140°如果∠A的补角是它的余角的4倍，则∠A=______度．设∠A 为x ，则∠A 的余角为90°-x ，补角为180°-x ，根据题意得，180°-x=4（90°-x ），解得x=60°．故问案为：60．已知∠ α=50°17'，则∠α的余角战补角分别是[ B ]A ．49°43'，129°43'B ．39°43'，129°43'C ．39°83'，129°83'D ．129°43′，39°43′二个角的比是6：4，它们的好为36°，则那二个角的闭系是（）A ．互余B ．相等C ．互补D ．以上皆分歧过失设一个角为6x ，则另一个角为4x ，则有6x-4x=36°，∴x=18°，则那二个角分别为108°，72°，而108°+72°=180°∴那二个角的闭系为互补．故选C ．如果∠A=35°18′，那么∠A 的余角等于______．如果∠A=35°18′，那么∠A 的余角等于90°-35°18′=54°42′．故挖54°42′．已知∠1战∠2互补，∠3战∠2互余，供证：∠3= =21（∠1-∠2）．道明：由题意得：∠2+∠3=90°，∠1+∠2=180°，∴2（∠2+∠3）=∠1+∠2，故可得：∠3=21（∠1-∠2）如图，∠1的邻补角是[ ]A.∠BOCB.∠BOC 战∠AOFC.∠AOFD.∠BOE 战∠AOF二个角互为补角，那么那二个角大小 [ D ]如果二个角互为补角,那么那二个角一定互为邻补角，道明此命题真——加本果如果二个角互为补角,那么那二个角一定互为邻补角,那是假命题. 如果二个角互为收补角,那么那二个角一定互为补角,那是真命题. 譬如道,二曲线仄止,共旁内角互补,然而互为共旁内角的二个角一定不互为收补角.如果二个角互补,那它们是邻补角”——————为什么道那个是假命题? 二条仄止线切出的共旁内角也互补,然而是它们不是邻补角.所以道：“如果二个角互补,那它们是邻补角”是假命题!果为邻补角是相邻的二个角互补，那么那二个角是互为邻补角，而互补的二个角有不相邻的，比圆四边形的二个对于角互补，则那四面共圆如果一个角是36°，那么[ D ]．它的余角是64°B．它的补角是64°C．它的余角是144°D．它的补角是144°下列道法中：①共位角相等；②二面之间，线段最短；③如果二个角互补，那么它们是邻补角；④二个钝角的战是钝角；⑤共角或者等角的补角相等．精确的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个①共位角相等，道法过失；②二面之间，线段最短，道法精确；③如果二个角互补，那么它们是邻补角，道法过失；④二个钝角的战是钝角，道法过失；⑤共角或者等角的补角相等，道法精确；道法精确的公有2个，故选：A．下列道法精确的是（）A．小于仄角的角是钝角B．相等的角是对于顶角C．邻补角的战等于180°D．共位角相A、小于仄角的角有：钝角、曲角、钝角，故本选项过失；B、对于顶角相等，相等的角纷歧定是对于顶角，故本选项过失；C、邻补角的战等于180°精确，故本选项精确；D、惟有二曲线仄止，才有共位角相等，故本选项过失．故选C．下列道法精确的是（）A．相等的角是对于顶角B．对于顶角相等C．共位角相等D．钝角大于它的余角A、相等的角是对于顶角，道法过失；B、对于顶角相等，道法精确；C、共位角相等，道法过失；D、钝角大于它的余角，道法过失；故选：B．下列道法中，精确的是（）A．对于顶角相等B．内错角相等C．钝角相等D．共位角相等A、对于顶角相等，道法精确；B、内错角相等，道法过失，惟有二曲线仄止时，内错角才相等；C、钝角相等，道法过失，比圆30°角战20°角；D、共位角相等，道法过失，惟有二曲线仄止时，共位角才相等；故选：A．三条曲线相接于一面不妨形成几对于对于顶角？二条曲线出现2*（2-1）=2对于对于顶角三条曲线出现3*（3-1）=6对于对于顶角四条曲线出现4*（4-1）=12对于对于顶角依次类推，n 条曲线相接于一面有n*(n-1)对于对于顶角三条曲线相接于一面，共可组成______对于对于顶角．如图，单个的角是对于顶角的有3对于，二个角的复合角是对于顶角的有3对于，所以，公有对于顶角3+3=6对于．故问案为：6．三条曲线相接与一面，能形成几对于对于顶角？四条呢？五条呢？N条呢？尔要要收战问案！三条曲线相接与一面,6对于；四条曲线相接与一面，12对于；五条曲线相接与一面，20对于；N条曲线相接与一面，N(N-1)对于；如果有n条曲线相接于一面，有几对于对于顶角？n的仄圆减去2条数个数2 2=2x13 6=3x24 12=4x35 20=5x4…………n n(n-1)三条曲线相接于一面，对于顶角最多有______对于．把三条曲线相接于一面，拆成三种二条曲线接于一面的情况，果为二条曲线相接于一面，产生二对于对于顶角，所以三条曲线相接于一面，有3个二对于对于顶角，共6对于对于顶角二条曲线相接，有一个接面.三条曲线相接，最多有几个接面？四条曲线呢？您能创造什么顺序吗？那个本去便是拉拢问题.果为二条线形成一个接面，所以三条线时，从三条线中与二条线，有3*2/2=3种与法，所以有3个接面.四条线中与二条，有4*3/2=6种与法，所以有6个接面.n条线中与二条，有n(n-1)/2种与法，所以有n(n-1)/2个接面.邻补角是互补的角是真命题吗天然是,邻补角相加等于180度便是互补啊互补的角是邻补角是真命题仍旧假命题假如真命题,请举反例二个角有一条大众边,它们的另一条边互为反背延少线,具备那种闭系的二个角称为互为邻补角.不妨随便绘二个不大众边的角,比圆1个60度,另一个120度,隐然它们是互补的,然而是本去不是邻补角所以互补的角是邻补角那是一个假命题该当道邻补角是互补的角,那才是真命题既相邻又互补的二个角是邻补角吗二条仄止线切出的共旁内角也互补，然而是它们不是邻补角.所以道：“如果二个角互补，那它们是邻补角”是假命题！成互补闭系的二个角互为邻补角是对于仍旧错分歧过失相邻的二个角互补称之为邻补角像二曲线仄止,共旁内角互补（那二个互补的角不相邻）、互补的二个角是邻补角用果为所以问果为二个角是邻补角所以二个角互补反过去不可坐。

中考数学复习指导：余角、补角问题剖析

余角、补角问题剖析余角、补角是几何图形中两个重要的数量关系角概念，与角的位置无关．它们分别与两个特殊角直角、平角联系起来，在分析几何图形角的关系时占有十分重要的地位．借助余角、补角的概念，我们可以探究出它们很多有用的性质．由于余角、补角是数量关系角，而方程所表达的是一种相等的数量关系，因此借助方程求解余角、补角问题是最常用的思想方法．一、正确理解互余、互补⑴互余、互补是指两个角的数量关系，而不是三个或更多角的关系．两个角的和等于90°（直角）时，称这两个角互为余角．而三个或更多角的和也为90°（直角）时，则不能称它们互为余角．两个角的和等于180°（平角）时，称这两个角互为补角．而三个或更多角的和也为180°（平角）时，则不能称它们互为补角．⑵余角、补角都是一种“相互”关系．如∠1、∠2互余，即∠1+∠2=90°，此时∠1叫∠2的余角，而∠2也叫∠1的余角．同时一个角∠α的余角都可以用90°－∠α来表示．⑶余角、补角都是数量关系角，与位置关系无关．余角、补角都是数量关系角，与位置关系无关．因此考虑两个角是否互余、互补，只考虑角的大小，而不需考虑这两个角是否有公共顶点、公共边等关系二、余角、补角性质的探究①两角互余，则这两个角必都为锐角；②两角互补，则这两个角不可能同时为锐角或钝角．（只可能1锐1钝或两个角都为直角）③一个角的余角必为锐角；④一个角的补角可能为锐角、直角、钝角．（其中锐角的补角为钝角、钝角的补角为锐角、直角的补角还是直角．）⑤一个锐角的补角比这个角的余角大90°⑥同角或等角的余（补）角相等三、巧用方程求解余角、补角问题两点注意：⑴正确设未知数并用含所设未知数的式子表示出相关的量：一般设某个角为x，根据余角、补角定义，则这个角的余角为90－x，这个角的补角为180－x．⑵依据已知条件,寻找出正确的相等关系，列出方程．例．⑴互余且相等的两个角，各是多少度？⑵已知∠A和∠B互为余角，∠A与∠C互为补角，∠B和∠C的和等于周角的．求∠A+∠B+∠C的度数．分析：⑴设其中一个角为x，由两角互余，则另一个角为90－x．又这两角相等，∴x=90－x解得x=45⑵设∠A=x，依题意∠B=90－x，∠C=180－x由∠B和∠C的和等于周角的，∴（90－x）+（180－x）=×360解得x=75 ∴∠B=90－x=15 ∠C=180－x=105∴∠A+∠B+∠C=75+15+105=185°。

人教版七年级上册4.3.3《余角和补角》教案

3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调余角和补角的定义以及它们的应用。对于难点部分，我会通过具体例子和图示来帮助大家理解互余和互补的概念。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与余角和补角相关的实际问题，如找出生活中互余或互补的角。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，比如使用量角器来验证两个角的和是否为90°或180°。
五、教学反思
在今天的课堂中，我们探讨了余角和补角的概念及其在实际中的应用。回顾整个教学过程，我觉得有几个地方值得思考和改进。
首先，关于课堂导入，我发现通过提问的方式引导学生思考日常生活中的实例，能够激发他们的好奇心和兴趣。然而，有些学生对角度的概念还不太熟悉，导致他们在回答问题时显得有些吃力。在今后的教学中，我需要更加关注学生的基础知识，以便他们能更好地理解新概念。
此外，在总结回顾环节，虽然大部分学生能够掌握余角和补角的基本概念，但仍有少数学生表示对这些知识点的应用还不够熟练。为了帮助学生巩固知识，我计划在课后布置一些具有挑战性的习题，让学生在练习中进一步理解和运用余角和补角的知识。
最后，关于教学方法和策略，我认为在今后的教学中，可以尝试以下改进：
1.加强与学生的互动，鼓励他们提问和发表见解，及时解答他们的疑惑；
举例：强调角A和角B是余角，当且仅当A + B = 90°；角C和角D是补角，当且仅当C + D = 180°。
（2）互余两角与互补两角的性质：互余两角的和为90°，互补两角的和为180°。学生需要理解并能够应用这些性质进行相关计算。
举例：若角E和角F互余，则E + F = 90°，若角G和角H互补，则G + H = 180°。

“互补”与互余”

“互补”与“互余”我们知道，两个角的和等于一个平角时，这两个角互为补角，简称互补．也可以说其中一个角是另一个角的补角，也就是说两个互补角的和等于180°．两个角的和等于一个直角时，这两个角互为余角，简称互余．也可以说其中一个角是另一个角的余角．那么，它们又有哪些性质呢？1．将一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，它和原来的角互为邻补角．2．同角或等角的补角相等．3．同角或等角的余角相等．例1 已知如图1∠AOB是平角，∠AOD、∠EOC都是直角，写出∠EOD的余角，∠DOC的补角，∠AOE的邻补角和补角．解：∵∠AOB是平角，∠AOD是直角∴∠BOD是直角又∵∠EOC是直角∴∠EOD的余角是∠AOE，∠DOC，且∠AOE=∠DOC∴∠DOC的补角是∠BOE，∠AOE的邻补角是∠BOE，补角也是∠BOE．例2 已知互为余角的两角之差为15°，求两角的度数，较大角的补角的度数．解：设互为余角的两角为α和β(α＞β)解之得α=52°30′，β=37°30′设α的补角为γ，则γ=180°-α=180°-52°30′=127°30′例3 如图2，∠1与∠3互余，∠2与∠3的余角互补，∠2=120°40′，求∠3解：∵∠1与∠3互余，∠2与∠3的余角互补∴∠2与∠1互补∴∠2+∠1=180°∴∠1=180°-∠2=180°-120°40′=59°20′又∵∠1+∠3=90°∴∠3=90°-∠1=90°-59°20′=30°40′。

互补角与互余角的关系_概述及解释说明

互补角与互余角的关系概述及解释说明1. 引言1.1 概述互补角和互余角是在几何学中常见的概念，用于描述两个角度之间的关系。

互补角是指两个角的度数相加等于90°（或π/2弧度），而互余角则是指两个角的度数相加等于180°（或π弧度）。

在本文中，将重点介绍互补角与互余角的定义和性质，并探讨它们之间的关系。

1.2 文章结构为了更好地理解和解释互补角与互余角之间的关系，本文将分为以下几个部分进行论述：引言、互补角与互余角的定义和性质、互补角与互余角之间的关系、实例分析与解释说明以及结论。

1.3 目的本文旨在系统地介绍和阐述互补角与互余角的概念，并深入探讨它们之间存在着怎样的关系。

通过对具体实例的分析和解释说明，希望读者能够更清晰地理解并应用这些概念。

最后，通过总结得出结论，对于读者进一步掌握和应用相关知识提供参考。

请注意：此回答为普通文本格式，不包含网址或特殊格式。

2. 互补角与互余角的定义和性质：2.1 互补角的定义和性质：在平面几何中，两个角被称为互补角，当它们的和等于一个直角（90度）。

具体来说，如果两个角A和B是互补角，那么它们的度数满足以下条件：A + B = 90°。

互补角具有一些有趣的性质：- 互补角是相邻补角，意味着它们共享同一边，并且两个相邻的补角之间没有其他角。

- 如果一个角是直角，则它的补角也是直角。

- 两个锐角、或两个钝角可以是互补角。

例如，45°和45°、30°和60°都是互补形式。

2.2 互余角的定义和性质：类似地，在平面几何中，两个角被称为互余（或对余）角，当它们的和等于一个平整（180度）。

具体来说，如果两个角C和D是互余，则满足以下条件：C + D = 180°。

和互补角一样，互余也有一些独特的性质：- 互余优势是共线但不重叠的优势。

这意味着两个互余角度共享同一边，并且没有其他角度位于其内部部分。

互余、互补学教案

互余、互补（1）主备人：姜庆峰学习目标：(1)认识一个角的余角和补角,并会求一个角的余角和补角.(2)掌握余角和补角的性质，并能用它解决相关问题.(3)通过余角、补角性质的推导和应用，初步掌握图形语言与符号语言之间的相互转化.初步接触和体会演绎推理的方法和表述，培养运用归纳、类比等方法进行合情推理的能力。

学习重点：互余、互补的概念及其性质.难点性质的推理，图形中余角和补角的识别。

学法提示操作、观察、归纳、类比课前预习1.阅读课本P137---1382.想一想、做一做（1）若∠1与∠2互余，则∠1＋∠2=______.若∠1=180º－∠2,则∠1与∠2的关系为___________.(2)∠1与∠2互余,∠3与∠2互余，则∠1与∠3的关系是___________∠1与∠3互补，则∠1=_________∠2与∠4互补，则∠2=_________，若∠3=∠4，则∠1与∠2的关系是___________ 课堂探究活动一：1.如图∠1与∠2有什么关系？∠3与∠4有什么关系？平移∠2、∠4得下图，上述关系是否改变？2.互余的概念：_______________________________________符号表示：互补的概念：_______________________________________符号表示： 2 1 4 3 4 3 1 22.一个角的补角是它的余角的4倍，求这个角的余角是多少度？活动二：1.如图已知 ∠AOC ，作出它的余角和补角。

2.观察、猜想：_______________________________________3.思考：如果两个角相等，那么它们的余角有什么关系？补角呢？说说理由。

已知∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，如果∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？4.归纳;活动三：1：认真观察下面的图形，回答下列问题：（1）图中有哪几对互余的角？（2）图中哪几对角是相等的角(直角除外)？说明它们相等的原因。

七年级数学余角和补角

175° 148° 135° 103° 117°37′
x° 90°- ∠
180°- ∠
90° 同一个锐角的补角比它的余角大
互余和互补是两个角的数量关系，与它
们的位置无关。
练习
一、填空 1、70°的余角是 20° ，补角是 110 ° 。 2、 ∠ （ ∠ <90 ° ）的余角是 90°- ∠ ，它的补角是 180°- ∠ 。
21
43
猜想：等角的补角相等
想一想:1、钝角有余角吗？没有
2、同一个角的补角比它的余角大多少度？ 90°
试一试：
1.∠A与∠B互补，∠B与∠C互补，∠C=80°，则∠A的度数是
__8_0_°____.
【解析】因为同角的补角相等，所以∠A=∠C=80°. 答案:80°
2、下列说法正确的是（ C ）
4、若一个角的补角等于它的余角的4 倍，求这个角的度数。
解：设这个角是 x °，则它的补角是 (180°－ x°), 余角是(90°－x°) , 根据题意得：（180－x）= 4 (90－x)
解得： x = 60
答：这个角的度数是60 °。
活学活用加深理解
1、已知的补角是105°,则的余角
如图，你能画出∠1的补角的吗？能画出几个？若有多个它们之间有什么关系？为什么？
21 3
解：∵∠1+∠2=180º，∠1+∠3=180º ∴∠2=180º-∠1，∠3=180º-∠1 又∵∠1=∠1，∴∠2=∠3
探究:补角的性质（二）
如图∠1 与∠2互补，∠３与∠４互补， ∠1＝∠３,那么∠2与∠４相等吗？为什么？
DA
B
2
3 4
1

互补互余的角的正弦余弦正切值的关系

互补互余的角的正弦余弦正切值的关系1. 引言嘿，大家好！今天我们来聊聊一个数学小话题，那就是“互补互余的角”。

乍一听，这个词儿有点儿拗口，不过别担心，我保证会把它讲得轻松易懂。

你有没有想过，为什么我们学习这些看似复杂的东西？其实，数学就在我们身边，随时随地影响着我们的生活。

要不怎么说“学好数理化，走遍天下都不怕”呢？接下来，我们就一起来探索这些角的秘密吧！2. 什么是互补互余的角？2.1 互补角首先，互补角就是两个角的和为90度。

你想想，像两片饼干拼在一起刚好能盖住一个小杯子，这样的角就是互补的。

比如，一个角是30度，另一个角就是60度，30+60=90嘛，简单吧？这种角在几何图形中经常出现，像三角形、矩形等等，都是它们的小伙伴。

2.2 互余角接着说说互余角。

互余角的概念就像是互补角的“兄弟”，不过它们的和是180度。

也就是说，如果你有一个角是100度，那么另一个角就是80度，100+80=180。

听起来是不是有点儿神奇？在生活中，你可以把这两个角想象成两条直线相交的样子，形成一个平面，这样看起来就清晰多了。

3. 正弦、余弦和正切的关系3.1 正弦与余弦的互补关系说到正弦和余弦，我们就得拿出一些小工具了。

正弦是用来表示一个角的对边和斜边的比例，而余弦则是邻边和斜边的比例。

互补角的正弦和余弦之间有个有趣的关系：一个角的正弦值等于另一个角的余弦值。

这就好比你在游泳池里，跳水时，脸朝下的那一瞬间，实际上你同时也是在朝上“潜水”。

比如，sin(30°)=0.5，而cos(60°)=0.5，反过来同样成立，真是一对“绝配”啊！3.2 正切的特别之处接下来，我们得聊聊正切了。

正切是比正弦和余弦更为“复杂”的家伙，它等于正弦除以余弦。

所以，正切与互补角的关系就有趣了。

比如说，如果你有一个角是45度，那么它的正切值是1。

而它的互补角45度的正切值也是1。

这就像是一对双胞胎，无论在任何情况下，它们的表现都是一致的，真是太可爱了！4. 生活中的应用好啦，扯了这么多数学名词，你是不是觉得有点儿晕？别急，这些知识可不只是用来考试的，它们在我们的生活中其实也大有用处。

【评析】互余、互补是表示两个角之间的数量关系的两个概念

[例2]已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大10°，求这个角的度数。解：设这个角为x°，则其补角是 (180 x)，余角为 (90 x) 。
由题意得：(180 x) 3(90 x) 10
解方程得： x 50
答：这个角是 50°
【评析】互余、互补是表示两个角之间的数量关系的两个概念，解决与此有关的问题采用的方法一般是：先将一个角的余角或补角用有关的代数式来表示，然后再利用题目中已知的数量关系列出方程。
1直角＝90° 1°＝60’ 1’=60”
⑶角平分线定义: 从角的顶点出发把角分成两个相等的角的一条射线叫做角平分线。
OC是∠AOB 的平分线 <====> AOC BOC 1 AOB
2
⑷互为余角: 两个角的和是一个直角,这两个角互为余角。
∠A 、∠B 互为余角 <====> A B 90
[例3]如图，AOB COD 90 ，
AOD 146 ，则 BOC 34 。
【评析】此题主要是有关角度的计算，要根据图形及周角、直角的有关概念来进行计算。
[例4] 在时刻8:30，时钟上的时针和分针之间的夹角为( B ) A. 85° B. 75° C. 70° D. 60°
⑸互为补角: 两个角的和是一个平角,这两个角互为补角。
∠A 、∠B 互为补角 <====> A B 180
⑹同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等。
⑺对顶角: 对顶角相等。
[例1] 下列语句正确的是( D ) A. 延长直线AB B. 延长射线OA C. 延长线段AB 到C，使AC＝BC D. 延长线段AB 到C，使AC＝3AB