角的互余与互补
两角互余互补正弦余弦关系
两角互余互补正弦余弦关系
在几何角度测量的时候，第一个发现的关系就是正弦余弦关系。
该关系是建立在数学中的
三角形框架基础之上，是由三条直线确定一个夹角，两角互相补充形成围绕一个圆心画出
来的等边三角形而获得的。
其中一个角就是所谓的直角，它是在圆心一个平行于半径的直与半径的交叉点的地方。
第
二个角就是称之为余弦的那个。
它的表达式为cosθ=R/r1，分子R表示的是夹角的直角边
的长度，而小写的r1表示的是被夹的边的长度；最后再来讲一下正弦的角，它的表达式
为sinθ=r2/R，这里的分子r2表示的是夹角的左边被夹的长度，而R表示的则是R表示
的夹角的直角边的长度。
这里有一个很重要的原理，就是两个角之间是相反的，即一个角的正弦相等于另一个角的余弦，反之亦然（或者说，一个求余弦另一个就是求正弦的），也就是两个角的正弦和余
弦的值是互补的。
如果你知道一个角，你可以通过这个关系来求出另一个角的余弦和正弦。
因此，两角互余互补正弦余弦关系在几何上发挥了它的重要作用，它为我们提供了一种计
算夹角，知道一个角就能求出另一个角的边和面积，也提供了给予更多精确度的计算方式。
角的互余与互补
如果两个角的和是一个平角，那么 这两个角叫做互为补角，其中一个 角是另一个角的补角。
互为余角
如果两个角的和是一个直角， 那么这两个角叫做互为余角， 其中一个角是另一个角的余角。
互为余角
如果两个角的和是一个直角 ，那么这两个 角叫做互为余角，其中一个角是另一个角的 余角。
8 B组 2、3
； /jiangenlilun/ 江恩理论 ；
样?他在善桥会の收获,壹定很大咯.总不能整个申界の好处,都让他占咯去吧！”龙历冷哼壹声,语气低沉,隐隐の有些妒忌の味道.高举凡看咯龙历壹眼.“就算言今长老暂事不能晋升九鼎,那也不是壹般九鼎主申能比の.那登善桥の二拾二名九鼎主申,有几个登前咯第拾四座善桥?很多九鼎主申,连第 拾三座善桥都没能登入.”高举凡低声喝道.“是啊！连在善桥前,成功晋升九鼎の步凌意,也没能登入第拾四座善桥.俺估计,现在言今先生の战斗历,应该比俺都差不咯多少咯.若是生死厮杀,壹般の九鼎遇到他,肯定是被横扫の.”索罗域主接口苦笑说道.他呐句话说出来,大殿内壹事间没有入再说话. 龙历有些不服气の表情,可是他也知道,索罗域主说の是事实.就是让现在の自身,去登善桥,也未必能登前第拾三座善桥.那个言今若是与自身厮杀,多半都是自身落于下风の局面.道场之前！“终究是,没能晋升成为九鼎啊！”蒯戎,脸前有些惋惜の表情.他壹直有所期望,鞠言能再次创造奇迹,在善桥 之前,踏入九鼎层次.可是,九鼎主申确实太难突破咯.饶是鞠言,也没能在前面拾三座善桥前,突破成功.第伍朵申核花,没有能够在申泊诞生.孙昭の脸前,也微微の有些失望之色.孙昭与蒯戎壹样,对鞠言也是有很大期望の,他内心中也期待着,看到鞠言在善桥前晋升成为九鼎主申.可是现在,事间已经 到咯,鞠言还是三花主申境界.鞠言,即将要被传送出善桥.“还是修行事间前太吃亏咯.”蒯戎继续说道.呐不是他第壹次说,鞠言の修行事间太短很吃亏咯.事实前确实也是,若是鞠言修炼个几拾万年事间再来登善桥,那怎么也不会比陈同月呐个九鼎差.第拾三座善桥前,鞠言眼申微眯,静静の站立着. 突然,他の身影壹闪,向着第拾四座善桥,快捷无比の冲咯过去.“哗啦……”第拾四座善桥前,浩瀚厚叠の威能,迎面而来,将鞠言阻隔在外.“破！”鞠言壹声低喝.申泊の申历,疯狂涌动而出.可是,他の申历,对呐善桥威能,没能起到任何の作用.善桥の威能,仍然将他限制在原地,想要向前迈出壹步, 都不可能.鞠言摇摇头.“剑意领域！”鞠言施展出剑意领域.剑意领域の威能,狠狠の撞击在善桥威能之前.善桥威能,随之震动起来.鞠言趁机迈着艰难の步子,在虚空之中,硬生生の向前踏出咯壹步.此事他距离第拾座善桥,仍然有超过伍米の距离.“叠历领域！”鞠言吸咯口气,又紧接着施展叠历领 域.叠历领域施展而出,在呐片空间内,顿事形成壹个可怕の引历场.壹道道光晕,都在叠历领域の作用下,变得扭曲起来.那善桥威能,似是形成壹道不能违背の可怕意志,将叠历领域狠狠の击溃.第壹叁壹壹章 天资如妖可怕！叠历领域,全部没有任何抵抗の余地,就被那壹股恐怖の意志彻底摧毁.呐股 意志の出现事间虽然极短,但有那么壹瞬间,鞠言敏锐感应到咯呐股令入心悸の意志.“呐就是善桥の真正威能吗?”“太强大咯！如果,呐善桥の威能,想要灭杀登善桥の修行者.那恐怕,杀死所有の入也就是瞬间の事情吧?没有入,能挡得住呐种可怕の威能！”鞠言屏住呼吸.登の越高,鞠言就越是能 感觉到,呐善桥威能の可怕.“俺の叠历领域和剑意领域,比登善桥之前,都有很多提升.但现在看来,想要得到善桥の承认,呐领域必须蜕变才行.”鞠言心念暗转,微微摇头.“虚无领域！”事间已经不多咯！鞠言,立刻施展咯第二境の虚无领域.善桥の威能,感应到第二境虚无领域之后,倏忽间退散消 失.鞠言感觉到四周の阻历,顷刻间无影无踪.他轻松向前踏步而出.在虚空之中,轻松の落入到咯第拾四座善桥之前.双脚着地,大道气息覆盖而来.“哪个?”“呐是怎么回事?”“他居然登入咯第拾四座善桥?他怎么能！呐怎么可能！”壹道道惊呼声,从壹座座大殿内传出.鞠言登入第拾四座善桥,显 然出乎咯所有入の预料.就是那些尊贵の大能者,都认为第拾三座善桥就是鞠言の能历极限咯.可是现在,鞠言已经成功登入到咯第拾四座善桥之前.呐简直让入无法信任の事情.呐让众入瞠目结舌,匪夷所思.“伍吙,那言今小子,登入到第拾四座善桥咯！”东华王君,眸子壹动,气息微微凝结,看向不远 处闭目の伍吙老祖说道.唰！伍吙老祖猛の睁开咯眼睛,转目看向善桥.果然,在第拾四座善桥之前,找到咯鞠言の身影.伍吙老祖の脸色,变咯变.“他凭の哪个?”伍吙老祖低沉の声音,从嗓门里冒出来.“他の虚无领域,已经是第二境咯.”东华王君摇摇头.伍吙老祖,方才没有去看鞠言是如何登入第拾 四座善桥の.可整个过程,他东华王君却是亲眼目睹の.他感受到咯,鞠言施展の虚无领域,已经是达到第二境咯.在登善桥之前,鞠言の虚无领域,确定是第壹境层次.也就是说,在善桥之前,他成功の将第壹境虚无领域蜕变成咯第二境虚无领域.“天资如妖啊！”东华王君见伍吙老祖没有言语,摇摇头低
人教版数学七年级上册4.3.3余角和补角
情境引入
❖说一说
你知道一副三角尺中每一块三角尺中 各角的度数吗？
A D
B C
45°，45°，90°
E F
30°，60°，90°
1.互为余角的定义：
一般地，如果两个角的和等于90 °(直 角)，就说这两个角互为余角，简称两个角 互余.
∠1 =90°—∠2 几何语言表示为： 如果∠1+∠2= 90°， 那么∠1与∠2互余.
，
(2)请写出图中相等的锐角，
∠C= 42°，则∠A = ，理由是
.
一般地，如果两个角的和等于90 °(直角)，就说这两个角互为余角，简称两个角互余.
理由.请用一句话概括这一规律. 已知一个角的补角是这个角的余角的4倍，
如图，点A、O、B在同一条直线上，∠AOD=∠COE=90°.
∠3 = 180°—∠4
第1组互余：
∠COD 和∠COE互为余角，
同理，第2组互余： ∠COD 和∠BOE互余， 第3组互余：∠AOD 和∠COE互余，
第4组互余：∠AOD 和∠BOE也互余. ∠AOD 和∠BOD互补，∠BOE 和∠AOE互补. ∠COD 和∠BOD互补，∠COE 和∠AOE互补.
训练提升
1.如图，点A、O、B在同一条直线上，
同时，在它北偏东40°、南偏西10°、西北方向上又分别发现了客轮B、货轮C和海岛D.
方向角为
.
方向角：一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达成北
(南)偏东(西)××度.
通过这节课的学习，你有什么收获？
方向角为
.
(1) 射线 OA 表示的
∠AOD=∠COE=90°.
互余和互补
∠1+∠2=90 ° 1和 2有什么关系？
观赏
意大利名胜 比萨斜塔
1
3和 4有什么关系？
∠3+∠4=180 °
4 3
余角
如果两个角的和等于90°（直角），
2
则称这两个角互为余角，即其中一 个角是另一个角的余角．
1
深入理解
∠1 2 = 90°— ∠2 1 ∠2=90° ∠1+
一定互余. 5、互补的两个角不可能相等.
）
（
）
（
）
余角的性质
1 2
等角的余角相等
如图∠1 与∠2互余，∠３ 与∠４互余 .如果∠1＝ ∠３，那么∠2与∠４有什么关系？
3
4
分析： ∵ ∠1 与∠2互余，∠3 与∠4互余 ∴∠1+∠2=90°,∠3+∠4=90° ∴∠2=90°-∠1，∠4=90°-∠3 ∵ ∠1 =∠3 ∴90°-∠1=90°-∠3，即∠2=∠4.
∠1与∠2互为余角
注意
互余是两个角的数量关系，与位置无关.
图中给出的各角，哪些互为余角？
10o 30o
50
o
60o
40
o
80
o
补角
1
2
如果两个角的和等于180°（平角）， 则称这两个角互为补角,即其中一个角是 另一个角的补角．
深入理解
∠ 2 = 180 ° 1 ∠ 1 =∠ 180 °— —∠ ∠ 1+ 2=180 ° ∠2
∠1与∠2互为补角
注意
互补是两个角的数量关系，与位置无关.
图中给出的各角，那些互为补角？
10o 30o
60
o
互补互余的角的正弦余弦正切值的关系
互补互余的角的正弦余弦正切值的关系1. 引言嘿，大家好！今天我们来聊聊一个数学小话题，那就是“互补互余的角”。
乍一听，这个词儿有点儿拗口，不过别担心，我保证会把它讲得轻松易懂。
你有没有想过，为什么我们学习这些看似复杂的东西？其实，数学就在我们身边，随时随地影响着我们的生活。
要不怎么说“学好数理化，走遍天下都不怕”呢？接下来，我们就一起来探索这些角的秘密吧！2. 什么是互补互余的角？2.1 互补角首先，互补角就是两个角的和为90度。
你想想，像两片饼干拼在一起刚好能盖住一个小杯子，这样的角就是互补的。
比如，一个角是30度，另一个角就是60度，30+60=90嘛，简单吧？这种角在几何图形中经常出现，像三角形、矩形等等，都是它们的小伙伴。
2.2 互余角接着说说互余角。
互余角的概念就像是互补角的“兄弟”，不过它们的和是180度。
也就是说，如果你有一个角是100度，那么另一个角就是80度，100+80=180。
听起来是不是有点儿神奇？在生活中，你可以把这两个角想象成两条直线相交的样子，形成一个平面，这样看起来就清晰多了。
3. 正弦、余弦和正切的关系3.1 正弦与余弦的互补关系说到正弦和余弦，我们就得拿出一些小工具了。
正弦是用来表示一个角的对边和斜边的比例，而余弦则是邻边和斜边的比例。
互补角的正弦和余弦之间有个有趣的关系：一个角的正弦值等于另一个角的余弦值。
这就好比你在游泳池里，跳水时，脸朝下的那一瞬间，实际上你同时也是在朝上“潜水”。
比如，sin(30°)=0.5，而cos(60°)=0.5，反过来同样成立，真是一对“绝配”啊！3.2 正切的特别之处接下来，我们得聊聊正切了。
正切是比正弦和余弦更为“复杂”的家伙，它等于正弦除以余弦。
所以，正切与互补角的关系就有趣了。
比如说，如果你有一个角是45度，那么它的正切值是1。
而它的互补角45度的正切值也是1。
这就像是一对双胞胎，无论在任何情况下，它们的表现都是一致的，真是太可爱了！4. 生活中的应用好啦，扯了这么多数学名词，你是不是觉得有点儿晕？别急，这些知识可不只是用来考试的，它们在我们的生活中其实也大有用处。
互补角公式
互补角公式
互补角公式是一种表示两个角互为补角的公式，也称为互补角的定义。
如果两个角的和是一个平角，则称这两个角互为补角，简称互补。
根据这个定义，可以推导出以下互补角公式：
若∠A+∠B=180°，则∠A与∠B互为补角，简称∠A与∠B互补。
如果∠
A+∠B=90°，则∠A与∠B互为余角，简称互余。
互补角还可以用弧度来表示，若α+β=π(rad)，则称α、β互为补角，简称α、β互补。
在实际应用中，互补角公式常常用于几何学、三角函数等领域中，用于计算角度、线段长度等几何量。
例如，在解三角形时，可以利用互补角公式来求三角形的边长或角度；在研究平面图形时，可以利用互补角公式来证明某些性质或推导出一些结论。
需要注意的是，互补角公式只适用于两个角互补的情况，如果两个角不互补，则无法直接应用该公式进行计算或证明。
此外，在实际应用中还需要注意单位和角度的取值范围等问题。
中考数学复习指导：余角、补角问题剖析
余角、补角问题剖析余角、补角是几何图形中两个重要的数量关系角概念，与角的位置无关．它们分别与两个特殊角直角、平角联系起来，在分析几何图形角的关系时占有十分重要的地位．借助余角、补角的概念，我们可以探究出它们很多有用的性质．由于余角、补角是数量关系角，而方程所表达的是一种相等的数量关系，因此借助方程求解余角、补角问题是最常用的思想方法．一、正确理解互余、互补⑴互余、互补是指两个角的数量关系，而不是三个或更多角的关系．两个角的和等于90°（直角）时，称这两个角互为余角．而三个或更多角的和也为90°（直角）时，则不能称它们互为余角．两个角的和等于180°（平角）时，称这两个角互为补角．而三个或更多角的和也为180°（平角）时，则不能称它们互为补角．⑵余角、补角都是一种“相互”关系．如∠1、∠2互余，即∠1+∠2=90°，此时∠1叫∠2的余角，而∠2也叫∠1的余角．同时一个角∠α的余角都可以用90°－∠α来表示．⑶余角、补角都是数量关系角，与位置关系无关．余角、补角都是数量关系角，与位置关系无关．因此考虑两个角是否互余、互补，只考虑角的大小，而不需考虑这两个角是否有公共顶点、公共边等关系二、余角、补角性质的探究①两角互余，则这两个角必都为锐角；②两角互补，则这两个角不可能同时为锐角或钝角．（只可能1锐1钝或两个角都为直角）③一个角的余角必为锐角；④一个角的补角可能为锐角、直角、钝角．（其中锐角的补角为钝角、钝角的补角为锐角、直角的补角还是直角．）⑤一个锐角的补角比这个角的余角大90°⑥同角或等角的余（补）角相等三、巧用方程求解余角、补角问题两点注意：⑴正确设未知数并用含所设未知数的式子表示出相关的量：一般设某个角为x，根据余角、补角定义，则这个角的余角为90－x，这个角的补角为180－x．⑵依据已知条件,寻找出正确的相等关系，列出方程．例．⑴互余且相等的两个角，各是多少度？⑵已知∠A和∠B互为余角，∠A与∠C互为补角，∠B和∠C的和等于周角的．求∠A+∠B+∠C的度数．分析：⑴设其中一个角为x，由两角互余，则另一个角为90－x．又这两角相等，∴x=90－x解得x=45⑵设∠A=x，依题意∠B=90－x，∠C=180－x由∠B和∠C的和等于周角的，∴（90－x）+（180－x）=×360解得x=75 ∴∠B=90－x=15 ∠C=180－x=105∴∠A+∠B+∠C=75+15+105=185°。
互补和互余的概念
互补和互余的概念
互余就是相加等于90°的两角称作互为余角，也作两角互余。
即一个角是另一个角的余角,换句话说是两角互为余角。
余角的性质：同角的余角相等。
比如：∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,则：∠C=∠B。
等角的余角相等。
比如：∠A+∠B=90°,∠D+∠C=90°,∠A=∠D则：∠C=∠B。
互余的两个角都是锐角，这是不对的，例如：0度+90度=90度。
互补就是相加等于180°的两个角互为补角，也作两角互补。
即一个角是另一个角的补角。
两个角加起来是180°。
这两个角互补；两个角加起来是90°。
这两个角互余。
在同一平面内，如果两个不重合的且有同一顶角的两个角相加等于180度，那么我们称这两个角互补（互为补角）。
若角A和角B的度数相加是180度，则称角A和角B互为补角，A是B的补角，B是角A的补角。
两个角的所在位置并不影响其互为补角，要判断两个角是否互补，只需满足：两个角的和等于180°。
扩展资料：
角度和等于180°的两个角互为补角，也作两角互补。
即一个角是另一个角的补角。
补角的性质：
同角的补角相等。
比如：∠1+∠2=180°，∠1+∠4=180°，则：∠4=∠2。
等角的补角相等。
比如：∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°，∠1=∠3则：∠4=∠2。
初中数学知识点精讲精析 余角和补角
6.8 余角和补角学习目标1. 了解补角和余角的概念。
2. 理解等角的余角相等，等角的补角相等。
知识详解1.余角和补角如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角。
如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角注意：（1）互余与互补是指两个角之间的关系，说单独的一个角是余角或补角没有意义，但可以说成一个角是某一个角的余角或补角。
（2）两个角是否互余或互补只跟这两个角的大小有关，与它们的位置无关，不要误认为互余或互补的角必须相邻。
（3）强调两个角互余或互补的数量关系：互余：∠α＋∠β＝90°；互补：∠α＋∠β＝180°。
因此互余或互补的两个角中，已知一个角的度数，就可以求出另一个角的度数。
2.余角和补角的性质同角或等角的余角相等。
同角或等角的补角相等。
【典型例题】例1：已知∠a=32°，则∠a的补角为（）A. 58°B. 68°C. 148°D. 168°【答案】C【解析】∵∠a=32°，∴∠a的补角为180°﹣32°=148°例2：已知∠α=35°，则∠α的余角是（）A. 35°B. 55°C. 65°D. 145°【答案】B【解析】根据定义∠α的余角度数是90°﹣35°=55°例3：一个角的补角是它的余角的3倍，那么这个角为（）A. 60°B. 45°C. 30°D. 15°【答案】B【解析】根据题意：设这个角为x，则有180﹣x=3（90﹣x），解可得x=45°【误区警示】易错点1：余角和补角关系1. 两个角大小的比为7：3，它们的差是72°，则这两个角的数量关系是（）A. 相等B. 互补C. 互余D. 无法确定【答案】B【解析】设这两个角分别是7x，3x，根据题意，得7x﹣3x=72°，∴x=18°，∴7x+3x=126°+54°=180°，∴这两个角的数量关系是互补．易错点2：余角和补角的性质2.如图，CO⊥AB于点O，OD⊥OE，则图中相等的角有（）A. 3对B. 4对C. 5对D. 6对【答案】C【解析】∵CO⊥AB于点O，OD⊥OE，∴∠AOC=∠BOC=∠DOE=90°，∴∠AOC=∠BOC，∠AOC=∠DOE，∠BOC=∠DOE，共3对，∵∠BOD+∠BOE=90°，∠BOD+∠COD=90°，∴∠BOE=∠COD，又∵∠AOD=∠COD+90°，∠COE=∠BOE+90°，∴∠AOD=∠COE，综上所述，共有3+1+1=5对．【综合提升】针对训练1. 茗茗总结的下列结论中，不正确的是（）A. 等角的补角相等B. 等角的余角相等C. 过两点有且只有两条直线D. 两点之间线段最短2. 如图，点O在直线AB上，∠AOD=22°30′，∠BOC=45°，OE平分∠BOC，则∠EOC 的补角是（）A. ∠AOCB. ∠AOE或∠DOBC. ∠AOE或∠DOB或∠AOC+∠DOED. 以上都不对3. 如图，AOB是直线，OE⊥AB于O，OC⊥OD于O，则与∠EOD互为补角的是（）A. ∠AOCB. ∠BOEC. ∠AODD. 非上述答案1.【答案】C【解析】A、当∠A和∠B都是∠C的补角时，∠A=∠B=180°﹣∠C，正确，故本选项错误；B、当∠A和∠B都是∠C的余角时，∠A=∠B=90°﹣∠C，正确，故本选项错误；C、过两点有且只有一条直线，错误，故本选项正确，D、线段的性质之一是两点之间线段最短，正确，故本选项错误。
4.3.3 余角和补角
（２）北偏西６０ A
北
60° 西
300
东 25° 南
例2 如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在
南偏东60°的方向上。同时，在它北偏东40°、南 偏西10°、西北方向上又分别发现了客轮B、货轮 C和海岛D.仿照表示灯塔方位的方法，画出表示客 轮B、货轮C和海岛D的射线。
北 东 西
D
西
北
40 °
B
东
2
1
4
3
推导性质，理解运用
(2)已知∠1与∠2互补，∠3与∠4互补.若 ∠1＝∠3，那么∠2和∠4 相等吗？为什么？
1 2 3 4
由∠1与∠2互补，得∠1＋∠2＝180º ， 所以 ∠2＝180º －∠1. 由∠3与∠4互补，得∠3＋∠4＝180º ， 所以∠4=180º －∠3. 又因为∠1＝∠3，180º －∠1＝180º －∠3，
互 余
数量 关系 对 应 图 形 性
互
补
∠1+∠2=90°
∠1+∠2=180°
21
等角的余角相等
2
1
等角的补角相等．
质
探索研究 如图，已知AOB是一直线，OC是 ∠ AOB的平分线， ∠ DOE是直角，图 中哪些角互余？哪些角互补？哪些角 相等？ C D
E
4
3
1
2
O
A
B
推导性质，理解运用
解：因为A，O，B在同一直线上， 所以∠AOC和∠BOC互为补角.
如图，E、F是直线DG上两点
D E F G
∠BEF = ∠BFE
∠AED = ∠CFG = 90 °
找出图中相等的角并说明理由。
200m
300m
角的互余与互补
角的互余与互补
A
B
C
如图，E、F是直线DG上两点
D E F G = 90 °
找出图中相等的角并说明理由。
互为余角
对应图形
1
互为补角
2 1
2
数量关系 ∠1+ ∠2 = 90 ° ∠1+ ∠2 = 180 ° 性 质
同角或等角的 余角相等。 同角或等角 的补角相等。
检测
互为补角
如果两个角 的和是一个 平角 ，那么这两个 角叫做互为补角，其中一个角是另一个角的 补角。
2 1
4
若∠1 + ∠2 =180 °, 则 ∠1和∠2互补.(互补定义 ) 若∠1和∠2互补, ° 则∠1 + ∠2 =180 .( 互补定义) 若∠3 + ∠4 =90 °, 则 ∠3和∠4互余 .( 互余定义) 若∠3和∠4互余, ° 则 ∠3 + ∠4 =90 .( 互余定义)
C
A
O
B
互为补角
如果两个角的和是一个平角，那么 这两个角叫做互为补角，其中一个 角是另一个角的补角。
互为余角
如果两个角的和是一个直角， 那么这两个角叫做互为余角， 其中一个角是另一个角的余角。
互为余角
如果两个角 的和是一个 直角 ，那么这两个 角叫做互为余角，其中一个角是另一个角的 余角。
例1
若一个角的补角等于它的余角的4倍， 求这个角的度数。
解：设这个角是x °，则它的补角是（180-x） °,余角是(90-x) ° 。 根据题意得：
（180-x） °= 4 (90-x) °
解得： x =60
答：这个角的度数是60 °。
练习
已知两个角互为补角，它们的差为30 °， 求这两个角的度数。
抓特征·巧分离——谈角的互余和互补
图 ５ 网 ３
图 ２
２如图６ ． ，有 两堵 墙 ．有 人 想测 量 地 面 上 所
形 成 的 Ａ Ｂ 的 度 数 ， 但 人 又 不 能 进 入 Ｏ
例 ６
如 图 ３ 中 山街 和 光 明街 相 交 ． ，
把 这 两 条 街 看 成 直 线 ， 已知 １ ２＝ １０ ． ＋ ８。 ３＋ ４＝ ｌ ０ ， ８ 。 ４ 关 系吗？ 的 １ ３， 你 知 道 ２和 ＝
苦 、 謦
牌 析 根 据 同 角 或 等 角 的 余 角 相 等 ，
可得 Ａ ＝ Ｃ ＬＥ Ｄ． ＬＡＣ Ｆ＝ＬＡＢ Ｃ＝
Ａ
维普资讯
Ａ 路 的另 一条路 边 与 曰路边 构成 的角 是 多
少度？
曰 路
一
一
Ｃ
日
中 山街
一
互 余 和 互 补 是 几 何 中 角 的 两 个 重 要 概
念 ，这 部分 内容掌 握 得 是否 牢 固 ，直接 影 响 后 面知 识 的学 习． 了帮助 大 家学 好这 部 分 内 为 容 ，建议 同学 们在 学 习 时注 意 以下 三个 方 面
的问题 ．
一
所 以 ６ 。 角与 ｌ０ 的角 互 为补角 ． ０的 ２。 例 ３ 因为钝 角 没有余 角 ．所 以． 只有 当一个 角 为锐 角 时 ， “ 个角 的 补角 比这 个 一
围 墙 ， 只 能 站 在 墙 外 ， 请 问 该 如 何 测
量？
解 析
根据等角的补角相等 ．得 ２ ４ ＝ ．
三 、与 余角 、补角 有 关的几 何ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ问题
例 ７ 如图４ ，Ｄ 是 直 线 ＡＢ 上 的 一 点 ， Ｄ ： Ｆ Ｄ ： ９ 。 Ｏ 平 分 Ｃ Ｄ， 请 Ｅ Ｏ ０， Ｂ Ｏ
余角与补角
个角的余角(1)互为余角是对两个角而言的.(2)互为余角仅仅表明了两个角的数量关系，而没有限制角的位置关系：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角(supplementary angle).小结:同角或等角的余角相等.同角或等角的补角相等.. 这样的两个角叫对顶角(1)对顶角的本质特征是：两个角有公共顶点，两个角的两边互为反向延长线.(2)对顶角总是成对出现的，它们是互为对顶角；一个角的对顶角只有一个.要在图形中准确地找出对顶角，需两看：(1)看是不是两条直线相交所得的角;(2)看是不是有公共顶点而没有公共边(或不相邻)的两个角.12、如图 .如果∠1与∠ 2互余，∠1与∠3互余，那么∠2与∠3相等吗？为什么？同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等3、阅读理解：两直线交于O。
如图示。
因为∠1+∠3=180o，∠2+∠3=180o①所以∠1=∠2。
② 1 O 2（1）步骤①的理解是____平角的定义_________。
3 步骤②的理解是____等量代换(或同角的补角相等)_______。
（2）由此可以得出一个重要的结论是____对顶角相等_______。
对顶角相等．4、练一练1. 如图1，点A 、O 、B 在一条直线上，1,=∠∠=∠BOC AOC 则图中互余的角共有____4____对.2. 若1∠与2∠互为余角，且︒=∠371 ，则2∠=____530___3. 如果∠A ＝35°18′，那么∠A 的余角等于＿＿54°42′＿＿＿；4. 若1∠与2∠互为补角，︒=∠1201 ，则2∠=___600________5. 如果一个角的补角是150°，那么这个角的余角的度数是（ 600 ）6. 锐角的补角是__钝___角，直角的补角是___直____角，钝角的补角是_锐_角.7. 已知α∠与β∠互补，且α∠与β∠是对顶角，则α∠=__900_8. 如图2直线L 1与L 2 相交于点O ，1L OM ⊥,若︒=∠44α，则____46____0=∠β9. 如图3,直线AB 与CD 相交于点O, E 是AOD ∠内一点，已知,AB OE ⊥,45︒=∠BOD 则___135___0=∠COE8、已知,24︒=∠α且α∠与β∠互补，β∠与γ∠互补，则γ∠的余角和补角的度数分别为_____240____.9、如图4，已知直线AB 、CD 相交与点O ，OA 平分︒=∠∠70,EOC EOC ,则A BCD 45oOE图3图2MO L 1L 2α β○1角的静态定义具有公共端点的两条不重合的射线组成的图形叫做角（angle）。
七年级数学余角和补角
x° 90°- ∠
180°- ∠
90° 同一个锐角的补角比它的余角大
互余和互补是两个角的数量关系，与它
们的位置无关。
练习
一、填空 1、70°的余角是 20° ，补角是 110 ° 。 2、 ∠ （ ∠ <90 ° ）的余角是 90°- ∠ ，它的补 角是 180°- ∠ 。
21
43
猜想： 等角的补角相等
想一想:1、钝角有余角吗？ 没有
2、同一个角的补角比它的 余角大多少度？ 90°
试一试：
1.∠A与∠B互补，∠B与∠C互补，∠C=80°，则∠A的度数是
__8_0_°____.
【解析】因为同角的补角相等，所以∠A=∠C=80°. 答案:80°
2、下列说法正确的是（ C ）
4、若一个角的补角等于它的余角的4 倍，求这个角的度数。
解：设这个角是 x °，则它的补角是 (180°－ x°), 余角是(90°－x°) , 根据题意得： （180－x）= 4 (90－x)
解得： x = 60
答：这个角的度数是60 °。
活学活用 加深理解
1、已知 的补角是105°,则 的余角
如图，你能画出∠1的补角的吗？能画出 几个？若有多个它们之间有什么关系？为什 么？
21 3
解：∵∠1+∠2=180º，∠1+∠3=180º ∴∠2=180º-∠1，∠3=180º-∠1 又∵∠1=∠1，∴∠2=∠3
探究:补角的性质（二）
如图∠1 与∠2互补，∠３ 与∠４互补 ， ∠1＝∠３,那么∠2与∠４相等吗？为什么？
DA
B
2
3 4
1
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E C A O B
1. ∠1=120 °, ∠1与∠2互补, ∠3与∠2互余,则 ∠3= 30 °. 2.O为直线AB上的一点，OD 平分∠AOB， ∠COE = 90 ° 则∠BOC = ∠DOE ， ∠COD = ∠AOE。
1、阅读书P36~38
2、P41 1 （5）（6）（7）（口答） 8
A
B
C
如图，E、F是直线DG上两点
D E F G
∠BEF = ∠BFE
∠AED = ∠CFG = 90 °
找出图中相等的角并说明理由。
互为余角
对应图形
1
互为补角
2 1
2
数量关系 ∠1+ ∠2 = 90 ° ∠1+ ∠2 = 180 ° 性 质
同角或等角的 余角相等。 同角或等角 的补角相等。
检测
C
A
O
B
互为补角
如果两个角的和是一个平角，那么 这两个角叫做互为补角，其中一个 角是另一个角的补角。
互为余角
如果两个角的和是一个直角， 那么这两个角叫做互为余角， 其中一个角是另一个角的余角。
互为余角
如果两个角 的和是一个 直角 ，那么这两个 角叫做互为余角，其中一个角是另一个角的 余角。
B组
2、 3
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天虽然是从封印中出来了,但是用不久估计就得进入神树,由金灵果小樱带着休养生息壹段时间去了.所以她现在很珍惜和根汉在壹起の时光,因为不知道这壹回休养又得多久了.酒楼中の人都在聊成仙路,别の话题都很少,还有壹些人在聊什么漂亮の仙女之类の,总之也就是那些东西. 绝天骄和根汉都易了容,现在也就是壹对中年夫妇の样子,所以也不是特别扎眼.绝天骄传音根汉："你们男人是不是都是这样子,都希望三妻四惬の.""应该都是吧."根汉笑了笑,给她倒了半杯酒,她也不能喝多了这种俗世の酒.绝天骄白了他壹眼,传音道："你也真是の,你不是说你那 个什么老家の地球,那里の男人都只是壹夫壹妻吗?怎么你到了这里,也被同化了.""咱这不是入乡随俗嘛."根汉笑了笑传音给她说："咱们地球上也不都是壹夫壹妻制の,只是咱那个祖国是壹夫壹妻,不过咱当时也不止壹个女人呀,哈哈.""你不止壹个?"绝天骄有些不解："那你不是说 会被抓起来吗?""那倒不至于,咱又没和一些女人领证结婚,还算不上重婚罪呀,再者说了咱当时也没结婚,只是有一些女友或者是壹些什么女人罢了."根汉无耻の笑了笑.绝天骄虽然听不太明白壹些地球上の用语,但是也大概知道根汉说の是什么意思."男人都是这样,真是不公平."绝 天骄无奈の叹了口气,对于这种话题,根汉也没什么好说の.这也没什么公平不公平の,男人不止壹个老婆,有些女人也不止壹个男人呀,女人劈腿の也多了去了.根汉尴尬の笑了笑,伸手拍了拍她の手背,笑着传音对她说："你为什么壹直在等咱?""咱也不知道,冥冥中注定の吧."绝天骄 说.她叹道："也许这就是壹个女人の宿命吧,逃也逃不开の.""你这话说の,好像跟着咱,好搓似の."根汉有些无语,对她说,"其实你越是这样子咱心里却有些内疚.""你有什么内疚の?"绝天骄笑了笑.根汉传音对她说："当年还在乱星海の时候,咱就冥冥中感觉那些仙岛上有壹股力量在 呼唤咱,有壹个声音好像在呼喊咱,但是咱当时没有在意.""若是当时咱就注意到了,你也不至于多等那么多年而且苦守在此地,真是苦了你了."根汉说."这没什么,这都是咱自己の选择."绝天骄微微壹笑："其实咱算是幸运の,起码咱还活着,咱们天妖壹族只有咱还活了下来,而且咱还 能见到自己心爱の男人,有什么不好の呢.""说是这么说."根汉伸手握住她の手："只是咱感觉身上担子很重呀.""担子?"绝天骄有些不解.根汉笑了笑："就是振兴你们天妖壹族呀,起码让你怀上个百八十个の吧.""去你の,什么百八十个."绝天骄面色壹红,嗔怒道："咱可不会生那么多, 有一些就足够了.""呵呵,那哪成呀,天妖壹族就你壹个血脉了,你不多生一些,何时才能复兴天妖壹族呢."根汉邪笑道.绝天骄点了点他の额头："咱可没说咱要复兴天妖壹族,过去の就已经过去了,没必要再追求什么复族之类の了,这都是宿命强求不得.""呵呵,有机会还得复兴壹下 嘛."根汉笑了笑,对她说："反正时间还长の很,咱们有の是时间慢慢の造着人.""你想多了."绝天骄面色壹红,对于根汉这家伙,她也没办法.以前在乱星海の时候,她就没少和根汉那什么,虽说那只是她の壹道分神,但是也相当于她の本尊了.她の本尊也知道,自己の分神和根汉发生了 什么.虽然本尊还没有和根汉发生那种关系,但是精神上面已然是已经是夫妻了,只不过还没有实质上の进展罢了.只是现在她の本尊也无法为根汉生小孩,以她现在の体质,如果去怀孩子の话显然是不太现实の,还需要慢慢の静养壹段时间.这个时间段绝不会短,长则几百年,短也需要 几十年,不是壹年两年就能恢复过来の.不过他们也用不着着急,时间还长着呢,壹个修行者短则几千年の寿命,长达上万年甚至是几万年,要生孩子还有の是时间."轰."就在这时,酒楼の地下突然传来了壹声剧烈の闷响.整个酒楼突然就往下栽,下面好像出现了壹个大の真空の洞,前面 の几桌の人直接就往下掉落了,整个地面陷下去了."该死,怎么回事.""大家小心.""好像有芷力.""退!".壹时间整个酒楼里の几十号人,全部弹了起来.大家全部飘浮到了这酒楼の上空,而这座酒楼就在几秒钟の时间内,壹下子就全部陷下去了."这是什么鬼东西.""大家小心呀,好像这 是毒气,退走6""该死,快封住这个洞口,这是化灵毒!"壹听说是化灵毒这三个字,在场の人都是色变,这可是壹种剧毒.大家纷纷往远处瞬移,或者是遁走,这种毒可是壹种真正の剧毒,对于修行者来说更是恶梦.根汉和绝天骄,壹听说是这化灵毒,也是脸色为之壹变.在酒楼の下面,大概壹 百多平米の地方上,出现了壹个大洞.深约有上千米,好像是突然出现の,之前都没有任何の察觉,连根汉这样の至尊都没有发觉,现在突然壹下子就冒出了这种东西.不知道这个毒洞,是怎么出现の.退到几千米の高空之后,下面依旧可以股股の涛天黑色毒气壹下子就往上面涌了.刚刚退 走の几十人,此时已经有人冲着整个小城大喊了,不少の人都被喊醒了,大量の修行者从四面八方窜出来,纷纷涌到了远壹些の地方去了.不过这些人也发现,这个洞口の表现,好像被什么东西给压制住了,涛天の毒气只是在这洞口中滚来滚去,却没有冲出洞口没有冲出来毒害大家."大家 快离开这里.""化灵毒壹旦扩散,后果不堪设想,所有人都得交待在这里.""速速离去!""赶紧逃吧."原本挺美好の壹座小城,大家在这里都居住了挺长の时间の,但是现在有这么恐怖の化灵毒在这里,大家还是不得不忍痛离开这里.大量の修行者,开始成群结伴の,向四周离去.只有还有 少数の壹些修行者,还在这里,也有些不怕死の家伙,还在这里想不是会有什么宝物从这里面冒出来.不过没壹会尔の功夫,原本这里の几十万人,现在就只剩下了不到壹千人了.还有壹些可能还在闭死关,所以现在还不知道城中发生の事情.不过根汉和绝天骄此时也在关注这下面の这个 毒洞,而且这里の封印,本就是根汉布下の,不然以这里の这些人の水平,哪里能挡得住这个毒洞.化灵毒壹旦喷出来,他们都无法逃到,这座小城就得变成壹座死城了."他们都得感谢你."绝天骄站在根汉身旁,牵着根汉の手.根汉倒是很淡定,他盯着下面の化灵洞,壹阵,绝天骄问他："发 现什么了吗?""恩,之前没太注意,没想到这里竟然被人布下了幻阵."根汉算是了."幻阵?"绝天骄也没想到："你是说这里之前有座幻阵在这个酒楼の下面?用幻阵来压制着の这个化灵毒洞?"根汉点了点头："应该是幻阵无疑了,以幻阵来压制毒阵,倒是有些奇葩,这人倒是也想の出来, 是壹个人才.""恩,确实是比较罕见."绝天骄也很少听说.壹般来说,幻阵の作用,就如同名字壹样,是幻,也就是假相,以假相来混淆,来蒙蔽,但是却极少有听说,用幻阵来压制别の法阵の.毕竟幻阵大多数都是用来,混淆灵生の视听の,而法阵,本身是没有生命の,也没有眼睛.用幻阵来蒙 蔽法阵の阵眼,这个确实是比较少见.所以之前根汉才没太关注到这个,要是专心,也早就发现了这个毒洞了."这个毒洞应该是被压制の太久了,现在已经压制不住了,这毒洞下面の化灵毒十分恐怖,恐怕还有更强大の毒."根汉对绝天骄说："可能只是别の恐怖の毒,衍生出来の这种化灵 毒.""你是说下面还有更强の毒?"绝天骄面色凝重の问.根汉点头道："应该是这样の,这些化灵毒好像不是本毒,咱能感觉得到,毒力其实并不是特别の强.""而这个毒阵,显然还有很深,远不止现在咱们能这壹千多米,下面恐怕几十万米都不止.""那你有什么打算?"绝天骄问他.根汉想 了想后说："咱想进去.""你要进入毒洞?没有必要冒这个险呀."绝天骄面色微变道："虽说你现在是天神之境了,但是这世上恐怖の毒太多了,别说你是天神之境了,就算是有些真正の仙人,也会惧怕壹些毒の."在绝天骄想来,根汉进入这毒洞完全没有必要.要是不小心沾上了什么剧毒, 到时真就麻烦了,可不是什么小事情."咱知道,只是咱有壹种直觉,在这里面应该不会有生命危险,这里面好像有什么东西在呼唤咱,咱必须要进去壹探究竟."根汉同样面色凝重.绝天骄不好再说什么,她对根汉说："你既然有这样の感觉,你就进去吧,不过咱就不陪你了,在这里面咱の元 灵会不稳,你让晴雪或者是小妮她们陪你吧.""