刚体例题

将很大！ 但
时，
为零！
第四章 刚体的转动
10
物理学
第五版
1.一质量为M=15kg、半径为R=0.30m的圆柱体， 可绕与其几何轴重合的水平固定轴转动(转动惯量 J=MR2/2)．现以一不能伸长的轻绳绕于柱面，而 在绳的下端悬一质量m=8.0kg的物体。不计圆柱 体与轴之间的摩擦，求： (1)物体自静止下落，5s内下降的距离； (2)绳中的张力
o
解得：
v g (2
3 )( m l 2 ma )( m l 3 ma ) 6 ma
2 2
第四章 刚体的转动
21
物理学
第五版
[例] 质点与直竿碰撞 细杆：M, L ，轴O，在竖直位置静止. m 与棒发生弹性碰撞（如图所示）。 m 碰后失速下落。求碰后：棒的 最大偏转角？ m
.
O
a
mvRcos J o (2) 1 2 2 2 J MR mR 2 mR (3) 2 由 (1)(2)(3) 得： P o 2 gh cos (4) R M 2R θ O 对 m+ M+ 地球系统，只有重力做功， 光滑轴 E 守恒. 令 P、 重合时 E P =0。 x 1 均质圆盘 1 2 2 则：mgR sin J o J (5) 2 2 g gh 2 由 (3)(4)(5) 得： cos sin 2 R 2R
y
M=2 m ， h， =60 ° 如图示已知： 求：碰撞后瞬间盘的
m(黏土块)

P 转到 x 轴时盘的 =? 解： m 下落： 1 mgh mv2 2
m
h
0
？
h
P
M R
O
θ
v 2gh
v
(1)
x
（水平）
光滑轴
P
均质圆盘
第四章 刚体的转动
17
物理学
第五版
碰撞 t 极小，对 m +盘系统，冲击力远大于重力，故重力 对O力矩可忽略，角动量守恒：
=37.9N
第四章 刚体的转动
13
物理学
第五版
3.一转动惯量为J的圆盘绕一固定轴转动,起初 角速度为ω0.设它所受阻力矩与转动角速度 成正比，即M=-kω (k为正的常数),求圆盘的 角速度从ω0变为ω0/2时所需的时间.
解:根据转动定律：
M J dL dt d (J ) dt
k J
d
d dt k
J

dt
14
第四章 刚体的转动
物理学
第五版
两边积分：

ln
0 / 2
0
1

d
t 0
k J
dt
0
2
ln 0 kt / J
ln 2
0
2 ln 1 ln 0 2
kt / J
ln 2 kt / J
t J ln 2 k
第四章 刚体的转动 15
物理学
第五版
[例] 水平转台(m1 、 R ) 可绕竖直的中心轴转动，初角速 度0，一人(m2 )立在台中心，相对转台以恒定速度u沿半 径向边缘走去，计算经时间 t，台转动的角速度。 解：人与转台组成的系统对竖直 轴的角动量守恒：
第四章 刚体的转动
16
物理学
第五版
[例]
.
l0 C .
O
.
A
如图示，除力F外，系统还受重力、 轴的支持力等。 但这两个力对轴的力矩＝0。 只有F对细杆的运动有影响，对转轴O的力矩为： 细杆遵从如下动力学方程：
第四章 刚体的转动
8
物理学
第五版
质心运动定律分量式：
.O l0 C .
.A
第四章 刚体的转动
9
物理学
第五版
由于“冲击”过程中的 讨论 冲击力在短时间内有相 当大的数值，只要
物理学
第五版
第 四 章
刚体 习题
第四章 刚体的转动
物理学
第五版
小结
r
M F
v
J m

a
L p
d dt d
2

d dt
dt
2
角动量
L J rm v sin
J
m
j
j j
r
2
r
2
dm
2
第四章 刚体的转动
物理学
第五版
转动定律
19
第四章 刚体的转动
物理学
第五版
例2 一长为 l , 质量为m’ o o 的竿可绕支点O自由转动．一 30 质量为m、速率为v 的子弹射 a ' 入竿内距支点为a 处，使竿的 m o 偏转角为30 . 问子弹的初速 v 率为多少? 解 子弹、竿组成一系统，应用角动量守恒
m va ( 1 3
第五版
o
圆 锥 摆
m
p
'
圆锥摆系统
动量
R
T

不守恒；
o
v
角动量 守恒； 机械能 守恒．
第四章 刚体的转动
7
物理学
第五版
[例] “打击中心”问题 细杆：m, l ，轴O，在竖直位置静止.若在某 时刻有力作用在A处，求轴对杆的作用力。
解： 可通过转动定律求细杆的转动，再求 质心加速度。利用质心运动定理求支持力。
4
物理学
第五版
讨论
一些系统的动量、角动量和机械能
子细 弹绳 击质 入量 沙不 袋计
o
以子弹和沙袋为系统 动量 守恒；
v
角动量 守恒； 机械能 不守恒 .
第四章 刚体的转动
5
物理学
第五版
以子弹和杆为系统
子 弹 击 入 杆
v
o
动量
不守恒； 守恒； 不守恒．
角动量
机械能
第四章 刚体的转动
6
物理学
M J
dL dt

d (J ) dt
M rF sin
角动量守恒
J 0 0 J 1 1
功
W

2
1
M d
第四章 刚体的转动
3
物理学
第五版
功率 动能
P M
Ek
2
1
1 2
J
2
动能定理
W

M d
1 2
J2
2
1 2
J 1
2
机械能守恒
第四章 刚体的转动
解： 系统受重力、轴的支持力等。 但这些力对轴的力矩＝0。 利用角动量守恒： 碰前：
m
碰后：
细杆
第四章 刚体的转动
22
物理学
第五版
在碰后的运动中， m 的运动不考虑， 只讨论细杆的转动。
.
C.
O C.
仅有重力矩做功，由机械能守恒得
m
a
第四章 刚体的转动
23
第四章 刚体的转动
m l
2
ma ) ，
2
3m va m'l
2
3 ma
2
20
物理学
第五版
射入竿后，以子弹、细 杆和地球为系统，E =常量．
1 1 2 2 ( m l ma ) 2 3
o
o
30
o
2
a

mga (1 cos 30 ) m g
l 2
v
m
'
(1 cos 30 )
第四章 刚体的转动
y
m(黏土块)
h
x
（水平）
18
物理学
第五版

gh 2R
2
cos
2
g R
sin
y
m(黏土块)

1 2R
.
g 2
(h 4 3R)
P
M
O R
h
( 60o)
θ
x
（水平）
光滑轴
均质圆盘
由 (3)(4)(5) 得：
gh 2R
2
cos
2
g R
sin
第四章 刚体的转动
11
物理学
第五版
解:
mg T ma
TR J
a R
2
J
1 2
MR
2
Baidu Nhomakorabea . 675 kg m
2
2
a
m gR
2
mR J
第四章 刚体的转动
=5.06m/s2
12
物理学
第五版
(1)下落距离
h
1 2
at
2
=63.3m
(2)张力
T m(g a)