刚体例题
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第8讲 刚体角动量典型例题
解 子弹、细棒系统的角动量守恒
mv0 y J
y
其中
J
J棒
J子弹
1 3
ML2
my2
mv0 y 1 ML2 my2
3
v0
m
15
刚体转动的典型例题
例10.上题中，若子弹和杆共同偏转30o，子弹的质量为 m ,速度为 v0 。 求 子弹的初速度v0 。
解 由机械能守恒有
1 J2 mgy L Mg (mgy L Mg )cos
11 M Jω0 (t1 t2 )
22
刚体转动的典型例题
例16.求一半径R 50cm 的飞轮对过其中心轴的
转动惯量，在飞轮上绕以细绳，绳末端挂一重物, 其
质量 m1 8.0kg 的让其从 h 2.0m 处静止下落,
测得下落时间 t1 16s ；若用质量 m2 4.0kg 的
重物时, t2 25s , 假定摩擦力矩 Mf 是一个常量 ,
m
S 1 r r sin
F
G
ms m
r
r3
t 2 t
lim S 1 rvsin 1 L
t0 t 2
2m
L C 所以相等的时间内扫过相等的面积。
26
刚体转动的典型例题
例18. 一滑冰者开始转动时 Ek0 J002 2 ，然后
将手臂收回，使转动惯量减少为原来的 1/3，求此时的
转动角速度.
由因为： v2 2ah v 2 mgh
M 2m
6
刚体转动的典型例题
解2 圆盘受力矩 FTR 作用
利用刚体的动能定理, 得
0
FT Rd
1 2
J 2
1 2
J02
绳与圆盘间无相对滑动 v = Rω
mv0 y J
y
其中
J
J棒
J子弹
1 3
ML2
my2
mv0 y 1 ML2 my2
3
v0
m
15
刚体转动的典型例题
例10.上题中，若子弹和杆共同偏转30o，子弹的质量为 m ,速度为 v0 。 求 子弹的初速度v0 。
解 由机械能守恒有
1 J2 mgy L Mg (mgy L Mg )cos
11 M Jω0 (t1 t2 )
22
刚体转动的典型例题
例16.求一半径R 50cm 的飞轮对过其中心轴的
转动惯量，在飞轮上绕以细绳，绳末端挂一重物, 其
质量 m1 8.0kg 的让其从 h 2.0m 处静止下落,
测得下落时间 t1 16s ；若用质量 m2 4.0kg 的
重物时, t2 25s , 假定摩擦力矩 Mf 是一个常量 ,
m
S 1 r r sin
F
G
ms m
r
r3
t 2 t
lim S 1 rvsin 1 L
t0 t 2
2m
L C 所以相等的时间内扫过相等的面积。
26
刚体转动的典型例题
例18. 一滑冰者开始转动时 Ek0 J002 2 ，然后
将手臂收回，使转动惯量减少为原来的 1/3，求此时的
转动角速度.
由因为： v2 2ah v 2 mgh
M 2m
6
刚体转动的典型例题
解2 圆盘受力矩 FTR 作用
利用刚体的动能定理, 得
0
FT Rd
1 2
J 2
1 2
J02
绳与圆盘间无相对滑动 v = Rω
刚体的转动
at 2
§3-2 力矩 转动定律 转动惯量 本节主要内容
力矩的概念 转动定律 转动惯量
经验告诉我们： 外力对刚体转动的影响，不仅与力的大小有关， 而且还与力的方向和力的作用点的位置有关。
F
所以，我们需要引入力矩这个物理量来描述 外力对刚体转动的作用
一.力矩
力臂： d r sin θ
力矩的定义: 力F 的大小和力臂d 的乘积 称为力F 对转轴OZ的力矩
解： (1)
d
dt
3Bt2
(2) d 6Bt
dt
(3)距轴为r的一质点加速度
at r 6Brt an r 2 9B2rt 4
a
a
2 n
a
2 t
(9 B 2 rt 4 ) 2 ( 6 Brt ) 2
tg an 3 Bt 3 （ 为加速度与速度的夹角 ）
l
细棒转轴通过 中心与棒垂直
J ml 2 12
l
细棒转轴通过 端点与棒垂直
J ml 2 m( l )2 ml 2
12
2
3
讨论
影响转动惯量的三个因素 (1)刚体自身的质量； (2)质量的分布(含大小和形状)； (质量分布越靠近边缘转动惯量越大) (3)转轴的位置。 （同一个刚体对不同的轴转动惯量不同）
转动 非定轴转动
ω
刚体的一般运动：
质心的平动 + 绕质心的转动 定轴转动的特点：
在刚体中取垂直于轴线的平面称为转动平面
刚体中所有的点都绕同一直线（轴）在各自的 转动平面内做圆周运动。
刚体转动的描述
§3-1角速度和角加速度
z
⊿
1.角坐标（角位置）
§3-2 力矩 转动定律 转动惯量 本节主要内容
力矩的概念 转动定律 转动惯量
经验告诉我们： 外力对刚体转动的影响，不仅与力的大小有关， 而且还与力的方向和力的作用点的位置有关。
F
所以，我们需要引入力矩这个物理量来描述 外力对刚体转动的作用
一.力矩
力臂： d r sin θ
力矩的定义: 力F 的大小和力臂d 的乘积 称为力F 对转轴OZ的力矩
解： (1)
d
dt
3Bt2
(2) d 6Bt
dt
(3)距轴为r的一质点加速度
at r 6Brt an r 2 9B2rt 4
a
a
2 n
a
2 t
(9 B 2 rt 4 ) 2 ( 6 Brt ) 2
tg an 3 Bt 3 （ 为加速度与速度的夹角 ）
l
细棒转轴通过 中心与棒垂直
J ml 2 12
l
细棒转轴通过 端点与棒垂直
J ml 2 m( l )2 ml 2
12
2
3
讨论
影响转动惯量的三个因素 (1)刚体自身的质量； (2)质量的分布(含大小和形状)； (质量分布越靠近边缘转动惯量越大) (3)转轴的位置。 （同一个刚体对不同的轴转动惯量不同）
转动 非定轴转动
ω
刚体的一般运动：
质心的平动 + 绕质心的转动 定轴转动的特点：
在刚体中取垂直于轴线的平面称为转动平面
刚体中所有的点都绕同一直线（轴）在各自的 转动平面内做圆周运动。
刚体转动的描述
§3-1角速度和角加速度
z
⊿
1.角坐标（角位置）
(练习)刚体转动
d π 2 t 由 dt 150 π t 2 t dt 得 d 0 150 0 π 3 t rad 450
在 300 s 内转子转过的转数
π 3 4 N (300 ) 3 10 2π 2π 450
例6 半径为R,质量为m的均 匀圆盘在水平桌面上绕中心轴 转动,盘与桌面间的摩擦系数为 μ ,求转动中的摩擦力矩的大小. 解:设盘厚度为h,以盘轴心 为圆心取半径为r, 宽为dr的 微圆环,其质量为
(mA mC 2)mB g FT2 mA mB mC 2 mA mB g 令 mC 0，得 FT1 FT2 mA mB
FT1
PC
FC
FT2
例3 一根长为l 质量为m 的均匀细直棒，其一端有一固定的光 滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位 置，求它由此下摆 角时的角加速度和角速度。( J 1 ml 2 ) 解： 棒下摆为加速过程，外力矩为 重力对O 的力矩。
x O
3
mg
x
重力对整个棒的合力矩与全部重力集中 作用在质心所产生的力矩一样。 重力力矩为： M mgx
1 M mgl cos 2 d d d d dt d dt d
1 mgl cos M 2 3g cos (为一变量) 1 J 2l ml 2 3
由动能定理
O
m
l
x
C
mg
l A 0 Md 0 mgcosd 2 1 2 lmg 1 2 J ml sin 0 J 0 3 2 2 3gsin 1/ 2 3gsin 2 ( ) l l
此题也可用机械能守恒定律方便求解
第三章-刚体力学基础
薄板对Z轴的转动惯量 J Z ＝
对X轴的转动惯量 J X
对Y轴的转动惯量 JY
Z
垂直轴定理
JZ JX JY
O
yi
Y
xi
ri
X
JZ miri2 mi xi2 mi yi2 Jx J y
五 刚体定轴转动的转动定律的应用
例１、一个质量为Ｍ、半径为Ｒ的定
滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳， 绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂
分析： 由 每分钟150转 可知
0
t
2 150
60
5
rad
/ s
而已知 r=0.2m t=30s ω=0
可由公式求相应的物理量
解: (1) 0 0 5 (rad / s2 )
t
30
6
负号表示角加速度方向与角速度方向相反
（飞轮做匀减速转动）
2 02 2
(5 )2 2 ( )
末位置：
Ek
1 2
J 2
l
由刚体定轴转动的动能定理
1 mgl sin 1 J 2 0
2
2
mgl sin 3g sin
J
l
M
1 mgl cos
2
3g cos
J
1 ml2
2l
3
dm dl
gdm
（用机械能守恒定律解） 假设棒在水平位置时的重力势能为零势能
0 1 J2 (mg l sin ) O
动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的
角加速度和角速度。（分别用动能定理和机械能守
恒定律求解）
解： （用动能定理解）
重力对轴的力矩为
M 1 mgl cos（M
O
4刚体-例题
2 4 2
2vc d dt l sin
3(sin 3 sin 2 cos 2 cos ) g ac (1 3 sin 2 ) 2 4 6 cos 3 cos N m( g ac ) m g (1 3 sin 2 ) 2
动平衡
练习14.18(p533)：
半径为a的匀质球以速度v沿水平表面作纯滚动的过程中与高度为 h<a的台阶发生非弹性碰撞。求球能翻越台阶的最小速度（假定在 碰撞点没有发生滑动）
解：碰撞前后关于A点角动量守恒：
m v0 (a h) I c0 I A
w0 a
v0
A
0 v0 / a
练习13.7(p528)：
镜框紧帖着墙站在粗糙的钉上，稍受扰动就向下倾倒。求镜框跳离钉 子时与墙所作的角。
解：
m glsin I =? m g N m ay
m glsin / I 1 2 I m gl(1 cos ) 2
2
14.10(p413) 半径为r的匀质球体在半径为R的球形碗 内作无滑动的滚动。求球在碗底附近小幅度摆动的周期。
解法二：用能量守恒求解
即
上式求导可得
解法三：关于瞬心角动量定理
14.16(p413)将半径为r的小球轻轻搁在半径为R的静止大 球的顶端，小球就向下滚动。问小球滚到何处将飞离大球。
A点竖直速度为零：
C mg vc N A
l vc sin 2 1 I c ml 2 12
vc
2 l
3gl(1 cos ) sin vc 2 1 3 sin
2 2
dvc d 3gl(1 cos ) sin 2 d 2vc 2 dt d 1 3 sin dt
2vc d dt l sin
3(sin 3 sin 2 cos 2 cos ) g ac (1 3 sin 2 ) 2 4 6 cos 3 cos N m( g ac ) m g (1 3 sin 2 ) 2
动平衡
练习14.18(p533)：
半径为a的匀质球以速度v沿水平表面作纯滚动的过程中与高度为 h<a的台阶发生非弹性碰撞。求球能翻越台阶的最小速度（假定在 碰撞点没有发生滑动）
解：碰撞前后关于A点角动量守恒：
m v0 (a h) I c0 I A
w0 a
v0
A
0 v0 / a
练习13.7(p528)：
镜框紧帖着墙站在粗糙的钉上，稍受扰动就向下倾倒。求镜框跳离钉 子时与墙所作的角。
解：
m glsin I =? m g N m ay
m glsin / I 1 2 I m gl(1 cos ) 2
2
14.10(p413) 半径为r的匀质球体在半径为R的球形碗 内作无滑动的滚动。求球在碗底附近小幅度摆动的周期。
解法二：用能量守恒求解
即
上式求导可得
解法三：关于瞬心角动量定理
14.16(p413)将半径为r的小球轻轻搁在半径为R的静止大 球的顶端，小球就向下滚动。问小球滚到何处将飞离大球。
A点竖直速度为零：
C mg vc N A
l vc sin 2 1 I c ml 2 12
vc
2 l
3gl(1 cos ) sin vc 2 1 3 sin
2 2
dvc d 3gl(1 cos ) sin 2 d 2vc 2 dt d 1 3 sin dt
刚体力学刚体动力学举例
1
2
2
1 M zdt 1 M zd
T
1 2
x
y
z
I xx
I yx
I
zx
I xy I yy Izy
I xz x I yz y I zz z
T
1 2
I z
2
刚体的动能定理可表示为：A
Jo
1 4
mR2( 2k
21k')
(六) 动能定理
五、 刚体动力学—动能定理
对于刚体来说，由于内力功的代数和为零，故动能
定理可表为： W e T T2 T1
①刚体动能的一般表示 — 柯尼希定理
T
i
1 2
mi ri
ri
1 2
mrc
rc
2 1
M zd
1 2
I
2
z2
1 2
I
2
z1
机械能守恒:
1 2
I zz 2
V
E
(5) 刚体的重力势能
刚体的定轴转动
对于一个不太大的质量为 m 的物体，它的重
力势能应是组成刚体的各个质点的重力势能之和
即：
质心高度为：
hc
mihi
m
Ep mghc
若只有保守力做功
E
mghc
刚体的定轴转动
刚体的定轴转动
(4) 定轴转动的动能定理
对定轴转动的情况，假设 k ，则：
W e
2 2 F dr F vdt
2
2
1 M zdt 1 M zd
T
1 2
x
y
z
I xx
I yx
I
zx
I xy I yy Izy
I xz x I yz y I zz z
T
1 2
I z
2
刚体的动能定理可表示为：A
Jo
1 4
mR2( 2k
21k')
(六) 动能定理
五、 刚体动力学—动能定理
对于刚体来说，由于内力功的代数和为零，故动能
定理可表为： W e T T2 T1
①刚体动能的一般表示 — 柯尼希定理
T
i
1 2
mi ri
ri
1 2
mrc
rc
2 1
M zd
1 2
I
2
z2
1 2
I
2
z1
机械能守恒:
1 2
I zz 2
V
E
(5) 刚体的重力势能
刚体的定轴转动
对于一个不太大的质量为 m 的物体，它的重
力势能应是组成刚体的各个质点的重力势能之和
即：
质心高度为：
hc
mihi
m
Ep mghc
若只有保守力做功
E
mghc
刚体的定轴转动
刚体的定轴转动
(4) 定轴转动的动能定理
对定轴转动的情况，假设 k ，则：
W e
2 2 F dr F vdt
第2章 刚体力学例题指导资料
2π
求（3） t 1s 时轮缘上一点的加速度.
a
r 0.5m at
at a 0.4ms2
t 0.8rad s1
an r 2 0.32m s2
r
an
a
a at2 an2 0.51m s2
arctan(an at ) 38.7
第2章 刚体力学
刚体的转动习题课选讲例题
大学物理教程
（陈信义第二版）
例 人造地球卫星, 绕地球作椭圆轨道运动, 地球 在椭圆的一个焦点上, 则卫星的：
(A) 动量不守恒, 动能守恒; (B) 动量守恒, 动能不守恒; (C) 角动量守恒, 动能不守恒; (D) 角动量不守恒, 动能守恒.
第2章 刚体力学
刚体的转动习题课选讲例题
大学物理教程
刚体的转动习题课选讲例题
大学物理教程
（陈信义第二版）
例 一人握有两只哑铃, 站在一可无摩擦地转动 的水平平台上, 开始时两手平握哑铃, 人、哑铃、平台 组成的系统以一角速度旋转, 后来此人将哑铃下垂于 身体两侧, 在此过程中, 系统
(A) 角动量守恒, 机械能不守恒; (B) 角动量守恒, 机械能守恒; (C) 角动量不守恒, 机械能守恒; (D) 角动量不守恒, 机械能不守恒.
大学物理教程
（陈信义第二版）
例 一长为 l，重为W 的均匀梯子，靠墙放置，墙
光滑，当梯子与地面成 角时处于平衡状态，求梯子
与地面的摩擦力。
解：刚体平衡的条件
Fi 0 Mi 0
Ff N2 0 P N1 0
以支点O为转动中心，梯子受
的合外力矩：
N2
l
P Ff
N1
o
P
l 2
cos
求（3） t 1s 时轮缘上一点的加速度.
a
r 0.5m at
at a 0.4ms2
t 0.8rad s1
an r 2 0.32m s2
r
an
a
a at2 an2 0.51m s2
arctan(an at ) 38.7
第2章 刚体力学
刚体的转动习题课选讲例题
大学物理教程
（陈信义第二版）
例 人造地球卫星, 绕地球作椭圆轨道运动, 地球 在椭圆的一个焦点上, 则卫星的：
(A) 动量不守恒, 动能守恒; (B) 动量守恒, 动能不守恒; (C) 角动量守恒, 动能不守恒; (D) 角动量不守恒, 动能守恒.
第2章 刚体力学
刚体的转动习题课选讲例题
大学物理教程
刚体的转动习题课选讲例题
大学物理教程
（陈信义第二版）
例 一人握有两只哑铃, 站在一可无摩擦地转动 的水平平台上, 开始时两手平握哑铃, 人、哑铃、平台 组成的系统以一角速度旋转, 后来此人将哑铃下垂于 身体两侧, 在此过程中, 系统
(A) 角动量守恒, 机械能不守恒; (B) 角动量守恒, 机械能守恒; (C) 角动量不守恒, 机械能守恒; (D) 角动量不守恒, 机械能不守恒.
大学物理教程
（陈信义第二版）
例 一长为 l，重为W 的均匀梯子，靠墙放置，墙
光滑，当梯子与地面成 角时处于平衡状态，求梯子
与地面的摩擦力。
解：刚体平衡的条件
Fi 0 Mi 0
Ff N2 0 P N1 0
以支点O为转动中心，梯子受
的合外力矩：
N2
l
P Ff
N1
o
P
l 2
cos
刚体I-1
A B
ydm Z zdm dm ， CM dm
B mA mB m A mB
mB ( X CM ) A m A ( X CM ) B mB m A mB
X CM
RCM
r dm
r dv
m x m
i i
i
xdm YCM dm ，
假设一个物体由A, B两部分组成，质心x方向表达式（y, z 方向也同样）可写为 xdm xdm
X CM
A xdm xdm xdm xdm mA xdm A B B A m A mB dm dm dm
抽象的具体含义：实际物体在外力作用下，其
形状和大小或多或少会有一些变化，但只要这 种变化与物体的几何线度相比很小，对所讨论 的问题的影响可以忽略，这种情况下我们可以 把这个物体看成刚体。 举例：
两个钢球的碰撞问题—形变很小，但是是碰撞瞬间 能量转换的载体，此时钢球看成弹性体 摆动的橡胶棒—可以忽略其形变看成刚体
角速度 与无限小角位移∆n是相关的，它是无 限小角位移与无限小时间间隔之比。 ∆n是矢量， 所以 也是矢量。 总结：
① 有限大角位移不是矢量 ② 无限小角位移是矢量 ③ (瞬时)角速度只与无限小的角位移相联系， 因此是矢量。
一般来说，刚体的任何运动都可分解为基点的平动和 绕该点的定点转动的合成.。选择不同的基点，平 动速度就不同；而转动角速度就与基点的选择无关。 即刚体上的角速度矢量的大小和方向都相同。这即 是刚体角速度的绝对性。 如图表示一个刚体相对于坐标系K 的位形，O1， O2， P 是刚体上的任意三点。它们的位置矢量 分别是 R1 , R2 , R 。显然，这三点的速度 分别为： d R1 d R2 dR v1 v2 v dt dt dt
ydm Z zdm dm ， CM dm
B mA mB m A mB
mB ( X CM ) A m A ( X CM ) B mB m A mB
X CM
RCM
r dm
r dv
m x m
i i
i
xdm YCM dm ，
假设一个物体由A, B两部分组成，质心x方向表达式（y, z 方向也同样）可写为 xdm xdm
X CM
A xdm xdm xdm xdm mA xdm A B B A m A mB dm dm dm
抽象的具体含义：实际物体在外力作用下，其
形状和大小或多或少会有一些变化，但只要这 种变化与物体的几何线度相比很小，对所讨论 的问题的影响可以忽略，这种情况下我们可以 把这个物体看成刚体。 举例：
两个钢球的碰撞问题—形变很小，但是是碰撞瞬间 能量转换的载体，此时钢球看成弹性体 摆动的橡胶棒—可以忽略其形变看成刚体
角速度 与无限小角位移∆n是相关的，它是无 限小角位移与无限小时间间隔之比。 ∆n是矢量， 所以 也是矢量。 总结：
① 有限大角位移不是矢量 ② 无限小角位移是矢量 ③ (瞬时)角速度只与无限小的角位移相联系， 因此是矢量。
一般来说，刚体的任何运动都可分解为基点的平动和 绕该点的定点转动的合成.。选择不同的基点，平 动速度就不同；而转动角速度就与基点的选择无关。 即刚体上的角速度矢量的大小和方向都相同。这即 是刚体角速度的绝对性。 如图表示一个刚体相对于坐标系K 的位形，O1， O2， P 是刚体上的任意三点。它们的位置矢量 分别是 R1 , R2 , R 。显然，这三点的速度 分别为： d R1 d R2 dR v1 v2 v dt dt dt
9.4 刚体平面运动微分方程
(讲解完毕)
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5
例9.4-3 图示匀质圆轮半径为r, 质量为m1 .三角块质量为m2, 倾角为θ, 放 在光滑水平面上. 圆轮沿斜面向下自由纯滚动(两者之间有摩擦), 推动三 角块向左运动.求: 1) 圆轮角加速度ε和三角块加速度ae ; 2)地面对三角块 的支持力、圆轮与三角块之间的相互作用力(支持力与摩擦力)
设系统从静止开始运动, 能否对圆轮与三角块接触点处应 用速度瞬心动量矩定理？
例9.4-4 图示系统中物块1质量为m. 定滑轮2和动滑轮3半径都为r, 质 量也都为m, 对各自质心轴的回转半径都为ρ. 动滑轮3在重力作用下 向下运动, 通过缠绕的细绳(不打滑)带动系统运动. 求轮2、轮3各自 的角加速度ε2、ε3及细绳拉力.
4
例9.4-2 图示匀质圆环半径r=1m, 其上焊接的匀质细杆OA长度也为r, 圆环1和细杆2质量相等, m1=m2=m=1kg. 用手扶住圆环, 使其在OA杆处 于水平位置时静止, 然后放手,圆环作纯滚动, 求放手后瞬间圆环的角 加速度ε、地面对圆环的摩擦力FS及法向支持力FN .
JP
JC
(m1
1 L cos
2
aCy
1 L cos
2
1 L 2 sin
2
14
8
图2
9
→ JC
aC
[m1r 2
aO
→
1
ma1Ot(C4
r)2a]OnC[11211m2r
2
m2
(
1 4
vO r
r)2 ] aO
29 24
rε
mr2
10 12
rε 0.25 r 0
大学物理-刚体例题
1、一光滑的圆环绕竖直轴（转动惯量 J0 ）以角速度 w0 旋转， 一静止小球 m 从顶 端开始下滑，求小球各点角速度和速度。
w A R 解：m+环：对竖直轴的角动量守恒
╳ Rωsin
J 0w mR 2 sin 2 w J 0w 0
B
v
w
mR 2 sin 2 1 J0
J J 0 mR 2 sin 2
ω
R1 R2
解：
1m 2 J= R1 2
ω
R1
2
盘对地的角速度
人对盘的角速度 人对地的角速度 由角动量守恒得：
v ω ″ =ω ´+ω = R +ω 2
2 2
ω v ω ´= R
R2
mR ω ″ + J = 0 ω 2 v 1 mR 12 = 0 mR 2 ( +ω ) + ω R2 2 2R 2 v mR 2 v ω = = 2 2 1m 2 2 R 1 + 2R 2 mR 2 + R1 2
1 J0
2 2
w
m R2 sin 2 1 J0
w0
v地 ＝ v R sin w
2 2
2、 如图，原来它们沿同一转向分别以w10、 w20匀速转动， 然后，平移两轴，使它们的边缘相接触。
求：最后在接触处无相对滑动时，每个圆柱的角速度w1、 w2 解：无相对滑动时，二圆柱 线速度一样：
1 ( m R +J ) 2 ω = 2 J ω2 m 2 2 ( R +2J ) m R Δ E k = E k´ E k = 2J
2 2
4、 在半径为R1、质量为 m 的静止水平圆盘上，站一 质量为 m 的人。圆盘可无摩擦地绕通过圆盘中心的竖 直轴转动。当这人开始沿着与圆盘同心，半径为R2 （＜R1）的圆周匀速地走动时，设他相对于圆盘的速 度为 v，问圆盘将以多大的角速度旋转？
w A R 解：m+环：对竖直轴的角动量守恒
╳ Rωsin
J 0w mR 2 sin 2 w J 0w 0
B
v
w
mR 2 sin 2 1 J0
J J 0 mR 2 sin 2
ω
R1 R2
解：
1m 2 J= R1 2
ω
R1
2
盘对地的角速度
人对盘的角速度 人对地的角速度 由角动量守恒得：
v ω ″ =ω ´+ω = R +ω 2
2 2
ω v ω ´= R
R2
mR ω ″ + J = 0 ω 2 v 1 mR 12 = 0 mR 2 ( +ω ) + ω R2 2 2R 2 v mR 2 v ω = = 2 2 1m 2 2 R 1 + 2R 2 mR 2 + R1 2
1 J0
2 2
w
m R2 sin 2 1 J0
w0
v地 ＝ v R sin w
2 2
2、 如图，原来它们沿同一转向分别以w10、 w20匀速转动， 然后，平移两轴，使它们的边缘相接触。
求：最后在接触处无相对滑动时，每个圆柱的角速度w1、 w2 解：无相对滑动时，二圆柱 线速度一样：
1 ( m R +J ) 2 ω = 2 J ω2 m 2 2 ( R +2J ) m R Δ E k = E k´ E k = 2J
2 2
4、 在半径为R1、质量为 m 的静止水平圆盘上，站一 质量为 m 的人。圆盘可无摩擦地绕通过圆盘中心的竖 直轴转动。当这人开始沿着与圆盘同心，半径为R2 （＜R1）的圆周匀速地走动时，设他相对于圆盘的速 度为 v，问圆盘将以多大的角速度旋转？
刚体例题及部分练习题
[例2]在半径分别为R1和R2 2]在半径分别为 在半径分别为R 的阶梯形滑轮上反向绕有 两根轻绳，各挂质量为m1 R 两根轻绳，各挂质量为m 2 、m2的物体。如滑轮与轴 的物体。 间的摩擦不计， 间的摩擦不计，滑轮的转 动惯量为J 动惯量为J。求滑轮的角加 m2 速度β及各绳中的张力T 速度β及各绳中的张力T1、 T2
[例3]物体 、B的质量分别为 1和m2， 例 物体 物体A、 的质量分别为 的质量分别为m 用一轻绳相连，绳子跨过质量为M， 用一轻绳相连，绳子跨过质量为 ，半 径为R的匀质定滑轮 的匀质定滑轮C。 下降， 与 径为 的匀质定滑轮 。如A下降，B与 下降 水平桌面间的滑动摩擦系数为µ， 水平桌面间的滑动摩擦系数为 ，绳与 滑轮之间无相对滑动，求系统的加速度 滑轮之间无相对滑动， 及绳中的张力T 及绳中的张力 1和T2 B C
L
ms
v 时间内径矢扫过的面积 ∆t 时间内径矢扫过的面积 ∆S = 1 r ∆r sin θ v为 2
v r (t )
v r (t + dt)
v ∆r
单位时间扫过的面积 单位时间扫过的面积
v v
m θ
v ms m v QF = −G 3 r r
∆S 1 1 lim = rvsin θ = L ∆t→0 ∆t 2 2m
内力做功，转动动能变化 内力做功，转动动能变化
1 J0ω0 = J0ω 3
ω =3 0 ω
1 1 J0 3 2 2 2 Ek0 = J0ω0 < Ek = 9ω0 = J0ω0 2 2 3 2
2
可得
mv(R − r) ω =− <0 1 2 2 2 m(R + r ) + MR 2
----顺时针运转 ----顺时针运转
[例3]物体 、B的质量分别为 1和m2， 例 物体 物体A、 的质量分别为 的质量分别为m 用一轻绳相连，绳子跨过质量为M， 用一轻绳相连，绳子跨过质量为 ，半 径为R的匀质定滑轮 的匀质定滑轮C。 下降， 与 径为 的匀质定滑轮 。如A下降，B与 下降 水平桌面间的滑动摩擦系数为µ， 水平桌面间的滑动摩擦系数为 ，绳与 滑轮之间无相对滑动，求系统的加速度 滑轮之间无相对滑动， 及绳中的张力T 及绳中的张力 1和T2 B C
L
ms
v 时间内径矢扫过的面积 ∆t 时间内径矢扫过的面积 ∆S = 1 r ∆r sin θ v为 2
v r (t )
v r (t + dt)
v ∆r
单位时间扫过的面积 单位时间扫过的面积
v v
m θ
v ms m v QF = −G 3 r r
∆S 1 1 lim = rvsin θ = L ∆t→0 ∆t 2 2m
内力做功，转动动能变化 内力做功，转动动能变化
1 J0ω0 = J0ω 3
ω =3 0 ω
1 1 J0 3 2 2 2 Ek0 = J0ω0 < Ek = 9ω0 = J0ω0 2 2 3 2
2
可得
mv(R − r) ω =− <0 1 2 2 2 m(R + r ) + MR 2
----顺时针运转 ----顺时针运转
大学物理第5章刚体转动
M r F
M＝Fr sin q
3、力对转轴的力矩
M o roi Fi roi ( Fiz Fi ) roi Fi z roi Fi roi Fi (riz ri ) Fi riz Fi ri Fi
2 2 0
0 t 2 1 q q 0 0t 2 t
v v 2a( x x0 ) 2 02 2 (q q 0 )
四
角量与线量的关系
v ret
d d q 2 dt dt
2
dq dt
a
an r
对刚体转动起作用的只有力对 点的力矩在z轴方向的分量
由力对轴上任一点的力矩：
Fiz
Fi
z
d
Oi
ri
O
q
riz
O
roi
Fi
Miz ri Fi
外力对转轴的力矩
外力对转轴的力矩
Fiz
Miz ri Fi
大小
Fi
z
d
M iz ri Fi sin θ
飞轮 30 s 内转过的角度
2 2 0 (5 π ) 2 q 75π rad 2 2 (π 6)
转过的圈数
75π N 37.5 r 2π 2π
q
6s 时，飞轮的角速度 π 0 t (5π 6)rad s 1 4π rad s 1 6
（质量）、几何形状（质量分布）及转轴的位置 . 转动惯性的计算方法
质量离散分布刚体的转动惯量
4_刚体的定轴转动
从以上各式即可解得
m2 m1 g M r / r m2 m1 g M / r a
J m 2 m1 2 r 1 m 2 m1 m 2
37
若m=0，Mr=0，则
1 m1 2 m 2 m g M / r 2 T1 m1 g a 1 m 2 m1 m 2 1 m2 2m1 m g＋M / r 2 T2 m1 g－a 1 m 2 m1 m 2
物体转动与否不仅与力的方向大小有关还与力作用的位置有关定轴转动的力矩只能引起物体变形对转动无贡献转动平面内a力与转轴平行b力与转轴垂直对转动无贡献仅使物体发生形变只有与转轴垂直的分力产生力矩使物体绕轴转动的垂直距离转轴到力在定轴动问题中如不加说明所说的力矩是指力在转动平面内的分力对转轴的力矩
第三章
刚体的定轴转动
l/2 2
28
(2)建立坐标系，分割质量元
x J x 2 dm l o 2 m x dx dx x 0 l 1 3 2 l 2 1 2 ml J C m ml 12 3 2
J x 2 dm
(3)建立坐标系，分割质量元
x
2
m x dx l / 2 h l 1 2 2 2 ml mh J C mh 12
25
转动惯量
多个质点组成的系统：
J mi ri
i
2
质量连续分布的刚体：
J r dm
2
平动 m 转动 J
v w
a a
mv Jw
dv F ma m dt d M z J J dt
26
小结
• • • • • 刚体的概念 刚体的运动自由度 刚体定轴转动的自由度 刚体定轴转动的运动方程 刚体定律转动定律
6-1-刚体力学讨论题
力矩 拉力T 0 TLsinαcosα × 0 重力mg mgLsinα ⊙ mgLsinα ⊙ 合力F FLcosα ⊙ 角动量
o'点
o点 oo'轴
不守恒
守恒
0
0
0
守恒
O
力矩、角动量、角动量守恒定律
m F o v mg
L T
R
[例３] 已知：两平行圆柱在水平面内转动，
m1 , R1
4
2
例6 质量为 m、半径为 R的均匀圆柱体，沿倾 角为 的粗糙斜面自静止无滑动滚下，求： （１）静摩擦力、质心加速度以及保证圆柱体 无滑滚下所需的最小摩擦系数。（２）若斜面 高为 h ，求圆柱体滑到斜面底部时的速度大小。
f
N G
（３）若有一质量、半径均相同 的球体同时从斜面滚下，谁先到 达斜面底部？
A v1 m1 m2, L C O
平面平行运动 质心、角动量守恒定律
0.058v1 / L
9. 有一匀质细棒长为 l1 ，质量为 m1，可绕端 点且与棒垂直的轴在水平桌面上转动。棒与桌 面间摩擦系数为 ，轴处摩擦可忽略。今有一 子弹质量为 m2 以速度 v 沿水平路径垂直打穿 棒端，子弹穿出时速度为 v 2 。求：仅在桌 面摩擦作用下，棒经过多长时间停止转动？在 这段时间内棒的角位移是多少？ 角动量守恒定律 角动量定理 动能定理 O 2 l1 m2 v 3m2 v 2 m1 t m2 m1 g 4m12 gl
2l
sl ac g 2l s h
静摩擦系数
vmax
M 4M ' R
车轮半径
空气阻力系数
讨论４：
（２）为什么在冰雪覆盖或者泥泞的路面行驶时， 汽车容易打滑？ （３） 为什么当高速行驶的汽车急刹车时，容易造成 翻车事故？
o'点
o点 oo'轴
不守恒
守恒
0
0
0
守恒
O
力矩、角动量、角动量守恒定律
m F o v mg
L T
R
[例３] 已知：两平行圆柱在水平面内转动，
m1 , R1
4
2
例6 质量为 m、半径为 R的均匀圆柱体，沿倾 角为 的粗糙斜面自静止无滑动滚下，求： （１）静摩擦力、质心加速度以及保证圆柱体 无滑滚下所需的最小摩擦系数。（２）若斜面 高为 h ，求圆柱体滑到斜面底部时的速度大小。
f
N G
（３）若有一质量、半径均相同 的球体同时从斜面滚下，谁先到 达斜面底部？
A v1 m1 m2, L C O
平面平行运动 质心、角动量守恒定律
0.058v1 / L
9. 有一匀质细棒长为 l1 ，质量为 m1，可绕端 点且与棒垂直的轴在水平桌面上转动。棒与桌 面间摩擦系数为 ，轴处摩擦可忽略。今有一 子弹质量为 m2 以速度 v 沿水平路径垂直打穿 棒端，子弹穿出时速度为 v 2 。求：仅在桌 面摩擦作用下，棒经过多长时间停止转动？在 这段时间内棒的角位移是多少？ 角动量守恒定律 角动量定理 动能定理 O 2 l1 m2 v 3m2 v 2 m1 t m2 m1 g 4m12 gl
2l
sl ac g 2l s h
静摩擦系数
vmax
M 4M ' R
车轮半径
空气阻力系数
讨论４：
（２）为什么在冰雪覆盖或者泥泞的路面行驶时， 汽车容易打滑？ （３） 为什么当高速行驶的汽车急刹车时，容易造成 翻车事故？
刚体角动量
2
定轴转动刚体的角动量守恒定律
例题4-12 工程上，两飞轮常用摩擦啮合器使它们
以相同的转速一起转动。如图所示，A和B两飞轮的
轴杆在同一中心线上，A轮的转动惯量为JA=10kgm2 ，B的转动惯量为JB=20kgm2 。开始时A轮的转速为
600r/min，B轮静止。C为摩擦啮合器。求两轮啮合
后的转速；在啮合过程中，两轮的机械能有何变化
为两轮啮合后共同转动的角速度，于是
J A A J B B
JA JB
以各量的数值代入得
20.9rad / s
定轴转动刚体的角动量守恒定律
或共同转速为
n 200r / min
在啮合过程中，摩擦力矩作功，所以机械 能不守恒，部分机械能将转化为热量，损失 的机械能为
E
1 2
J
A
2
A
1 2
J
B
转到=300，求子弹的初速v0。
解：分两个阶段进行考虑
(1) 子 弹 射 入 细 杆 , 使 细 杆 获 得 初 速度。因这一过程进行得很快,细 杆发生偏转极小,可认为杆仍处于 竖直状态。子弹和细杆组成待分 析的系统,无外力矩,满足角动量 守恒条件。子弹射入细杆前、后 的一瞬间,系统角动量分别为
L0 m0v0a L J 其中
定轴转动刚体的角动量定理
在外力矩作用下，从 t0 t ，
角动量 Lz0 J 0 变为 LZ J ，
则由
M
z
d dt
J
得
角动量定理的微分形式：
t
t0 M d t J J0
t M d t 为t t t0时间内力矩M 对给定轴的冲量矩
t0
。
2. 定轴转动刚体的角动量守恒定律
定轴转动刚体的角动量守恒定律
例题4-12 工程上，两飞轮常用摩擦啮合器使它们
以相同的转速一起转动。如图所示，A和B两飞轮的
轴杆在同一中心线上，A轮的转动惯量为JA=10kgm2 ，B的转动惯量为JB=20kgm2 。开始时A轮的转速为
600r/min，B轮静止。C为摩擦啮合器。求两轮啮合
后的转速；在啮合过程中，两轮的机械能有何变化
为两轮啮合后共同转动的角速度，于是
J A A J B B
JA JB
以各量的数值代入得
20.9rad / s
定轴转动刚体的角动量守恒定律
或共同转速为
n 200r / min
在啮合过程中，摩擦力矩作功，所以机械 能不守恒，部分机械能将转化为热量，损失 的机械能为
E
1 2
J
A
2
A
1 2
J
B
转到=300，求子弹的初速v0。
解：分两个阶段进行考虑
(1) 子 弹 射 入 细 杆 , 使 细 杆 获 得 初 速度。因这一过程进行得很快,细 杆发生偏转极小,可认为杆仍处于 竖直状态。子弹和细杆组成待分 析的系统,无外力矩,满足角动量 守恒条件。子弹射入细杆前、后 的一瞬间,系统角动量分别为
L0 m0v0a L J 其中
定轴转动刚体的角动量定理
在外力矩作用下，从 t0 t ，
角动量 Lz0 J 0 变为 LZ J ，
则由
M
z
d dt
J
得
角动量定理的微分形式：
t
t0 M d t J J0
t M d t 为t t t0时间内力矩M 对给定轴的冲量矩
t0
。
2. 定轴转动刚体的角动量守恒定律
刚体的转动惯量补充例题
刚体的角速度与转动动能的关系
角速度
描述刚体转动快慢的物理量，等于弧度乘以时间。
角速度与转动动能的关系
角速度越大，刚体的转动动能越大。因为转动动能与角速度的平方成正比，所以当角速度增大时，转 动动能将迅速增加。
刚体的转动惯量与转动动能的关系
转动惯量
描述刚体转动惯性的物理量，与刚体的质量分布和旋转轴的 位置有关。
详细描述
平行轴定理指出，对于一个刚体，如果将其绕某轴旋转，其转动惯量与另一个转轴平行且通过质心轴的转动惯量 是相等的。这个定理在计算复杂刚体的转动惯量时非常有用，因为它可以将复杂刚体的转动惯量分解为多个简单 形状的转动惯量，然后通过平行轴定理进行组合。
垂直轴定理
总结词
垂直轴定理是关于刚体转动惯量的一个重要定理，它指出刚体绕某轴旋转时，其 转动惯量等于刚体质量与质心到转轴垂直距离的平方和。
练习题三
详细描述
总结词：理解转动惯量与转 动角速度的关系
01
当一个物体的转动惯量增大 时，其转动角速度会如何变
02
03
化？
当一个物体的转动角速度增 大时，其转动惯量会如何变
化？
04
05
转动惯量与转动角速度之间 有何关系？
THANKS
感谢观看
详细描述
垂直轴定理指出，对于一个刚体，如果将其绕某轴旋转，其转动惯量等于刚体的 质量与质心到转轴垂直距离的平方和。这个定理可以帮助我们快速计算出复杂刚 体的转动惯量，只需知道刚体的质量和质心到转轴的距离即可。
平行轴和垂直轴定理的应用
• 总结词：平行轴和垂直轴定理在计算复杂刚体的转动惯量时非常有用，它们可 以将复杂刚体的转动惯量分解为多个简单形状的转动惯量，然后通过组合得到 总转动惯量。
刚体的转动例题(二)
a ω c
f
o
（无相对滑动）
F
α = 4.52, f = 5280,θ = 66 25′
1 1 2 2 Ek = J cω + mvc 2 2
(2)
l 2 3 acn = ω = g 2 2 l act = α = 0 2
Fy
Fx = 0 5 F = mg y 2
o
c
Fx
例: 开始时弹簧处于自然长度，物体m 静 止。然后释放物体，求物体下落h时的速 度大小。
方法一：机械能守恒定律
F = mac M c = Fd = J cα
c F
例：一匀质圆球从静止开始沿一粗糙斜面纯 滚动而下，斜面倾角θ，球从上端滚到下端， 球心高度相差h ，计算小球滚到下端时质心 的速度和角速度（球的半径为r）
方法一：牛顿定律及转动定律 方法二：机械能守恒定律
ac
N
10 vc = gh 7 ω = vc / r
m1,l,m2 ,v,v′
求棒在碰撞后的角速度
O
m2
v
m1
1 2 m2lv = − m2lv′ + m1l ω 3
v′
例：开始时将棒置于水平状态，然后由静止 摆下，不计阻力，求棒摆到竖直的瞬间： 1）棒的角速度； 2）质心加速度及轴对棒的力 l 1 2 (1) Jω = mg 2 2 o l , m 1 2 1 2 c Ek = Jω ≠ mvc 2 2
k
J ,rmFra bibliotek1 2 1 2 1 2 mgh = mv + Jω + kh 2 2 2
v = rω
方法二：牛顿定律及转动定律
h
m
ω
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mvRcos J o (2) 1 2 2 2 J MR mR 2 mR (3) 2 由 (1)(2)(3) 得： P o 2 gh cos (4) R M 2R θ O 对 m+ M+ 地球系统，只有重力做功， 光滑轴 E 守恒. 令 P、 重合时 E P =0。 x 1 均质圆盘 1 2 2 则：mgR sin J o J (5) 2 2 g gh 2 由 (3)(4)(5) 得： cos sin 2 R 2R
y
M=2 m ， h， =60 ° 如图示已知： 求：碰撞后瞬间盘的
m(黏土块)
P 转到 x 轴时盘的 =? 解： m 下落： 1 mghh
P
M R
O
θ
v 2gh
v
(1)
x
（水平）
光滑轴
P
均质圆盘
第四章 刚体的转动
17
物理学
第五版
碰撞 t 极小，对 m +盘系统，冲击力远大于重力，故重力 对O力矩可忽略，角动量守恒：
.
l0 C .
O
.
A
如图示，除力F外，系统还受重力、 轴的支持力等。 但这两个力对轴的力矩＝0。 只有F对细杆的运动有影响，对转轴O的力矩为： 细杆遵从如下动力学方程：
第四章 刚体的转动
8
物理学
第五版
质心运动定律分量式：
.O l0 C .
.A
第四章 刚体的转动
9
物理学
第五版
由于“冲击”过程中的 讨论 冲击力在短时间内有相 当大的数值，只要
第四章 刚体的转动
m l
2
ma ) ，
2
3m va m'l
2
3 ma
2
20
物理学
第五版
射入竿后，以子弹、细 杆和地球为系统，E =常量．
1 1 2 2 ( m l ma ) 2 3
o
o
30
o
2
a
mga (1 cos 30 ) m g
l 2
v
m
'
(1 cos 30 )
将很大！ 但
时，
为零！
第四章 刚体的转动
10
物理学
第五版
1.一质量为M=15kg、半径为R=0.30m的圆柱体， 可绕与其几何轴重合的水平固定轴转动(转动惯量 J=MR2/2)．现以一不能伸长的轻绳绕于柱面，而 在绳的下端悬一质量m=8.0kg的物体。不计圆柱 体与轴之间的摩擦，求： (1)物体自静止下落，5s内下降的距离； (2)绳中的张力
第五版
o
圆 锥 摆
m
p
'
圆锥摆系统
动量
R
T
不守恒；
o
v
角动量 守恒； 机械能 守恒．
第四章 刚体的转动
7
物理学
第五版
[例] “打击中心”问题 细杆：m, l ，轴O，在竖直位置静止.若在某 时刻有力作用在A处，求轴对杆的作用力。
解： 可通过转动定律求细杆的转动，再求 质心加速度。利用质心运动定理求支持力。
解： 系统受重力、轴的支持力等。 但这些力对轴的力矩＝0。 利用角动量守恒： 碰前：
m
碰后：
细杆
第四章 刚体的转动
22
物理学
第五版
在碰后的运动中， m 的运动不考虑， 只讨论细杆的转动。
.
C.
O C.
仅有重力矩做功，由机械能守恒得
m
a
第四章 刚体的转动
23
第四章 刚体的转动 15
物理学
第五版
[例] 水平转台(m1 、 R ) 可绕竖直的中心轴转动，初角速 度0，一人(m2 )立在台中心，相对转台以恒定速度u沿半 径向边缘走去，计算经时间 t，台转动的角速度。 解：人与转台组成的系统对竖直 轴的角动量守恒：
第四章 刚体的转动
16
物理学
第五版
[例]
o
解得：
v g (2
3 )( m l 2 ma )( m l 3 ma ) 6 ma
2 2
第四章 刚体的转动
21
物理学
第五版
[例] 质点与直竿碰撞 细杆：M, L ，轴O，在竖直位置静止. m 与棒发生弹性碰撞（如图所示）。 m 碰后失速下落。求碰后：棒的 最大偏转角？ m
.
O
a
4
物理学
第五版
讨论
一些系统的动量、角动量和机械能
子细 弹绳 击质 入量 沙不 袋计
o
以子弹和沙袋为系统 动量 守恒；
v
角动量 守恒； 机械能 不守恒 .
第四章 刚体的转动
5
物理学
第五版
以子弹和杆为系统
子 弹 击 入 杆
v
o
动量
不守恒； 守恒； 不守恒．
角动量
机械能
第四章 刚体的转动
6
物理学
第四章 刚体的转动
11
物理学
第五版
解:
mg T ma
TR J
a R
2
J
1 2
MR
2
0 . 675 kg m
2
2
a
m gR
2
mR J
第四章 刚体的转动
=5.06m/s2
12
物理学
第五版
(1)下落距离
h
1 2
at
2
=63.3m
(2)张力
T m(g a)
第四章 刚体的转动
y
m(黏土块)
h
x
（水平）
18
物理学
第五版
gh 2R
2
cos
2
g R
sin
y
m(黏土块)
1 2R
.
g 2
(h 4 3R)
P
M
O R
h
( 60o)
θ
x
（水平）
光滑轴
均质圆盘
由 (3)(4)(5) 得：
gh 2R
2
cos
2
g R
sin
物理学
第五版
第 四 章
刚体 习题
第四章 刚体的转动
物理学
第五版
小结
r
M F
v
J m
a
L p
d dt d
2
d dt
dt
2
角动量
L J rm v sin
J
m
j
j j
r
2
r
2
dm
2
第四章 刚体的转动
物理学
第五版
转动定律
=37.9N
第四章 刚体的转动
13
物理学
第五版
3.一转动惯量为J的圆盘绕一固定轴转动,起初 角速度为ω0.设它所受阻力矩与转动角速度 成正比，即M=-kω (k为正的常数),求圆盘的 角速度从ω0变为ω0/2时所需的时间.
解:根据转动定律：
M J dL dt d (J ) dt
k J
d
d dt k
J
dt
14
第四章 刚体的转动
物理学
第五版
两边积分：
ln
0 / 2
0
1
d
t 0
k J
dt
0
2
ln 0 kt / J
ln 2
0
2 ln 1 ln 0 2
kt / J
ln 2 kt / J
t J ln 2 k
19
第四章 刚体的转动
物理学
第五版
例2 一长为 l , 质量为m’ o o 的竿可绕支点O自由转动．一 30 质量为m、速率为v 的子弹射 a ' 入竿内距支点为a 处，使竿的 m o 偏转角为30 . 问子弹的初速 v 率为多少? 解 子弹、竿组成一系统，应用角动量守恒
m va ( 1 3
M J
dL dt
d (J ) dt
M rF sin
角动量守恒
J 0 0 J 1 1
功
W
2
1
M d
第四章 刚体的转动
3
物理学
第五版
功率 动能
P M
Ek
2
1
1 2
J
2
动能定理
W
M d
1 2
J2
2
1 2
J 1
2
机械能守恒
第四章 刚体的转动