学情检测7

如皋市薛窑中学2011届高三年级第一学期学情检测
数学Ⅰ试题
命题人：王树峰 复核人：郑丽兵
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．.1．若A=04|{2
<-x x x }，B={}|30x x -<，则A B I = ▲ ．
2．34sin (cos )55
i θθ-+-（）是纯虚数，则=θtan ▲ .
3．一个学校高三年级共有学生200人，其中男生有120人，女生有80人，为了调查高三复习状况，用分层抽样的方法从全体高三学生中抽取一个容量为25的样本，应抽取女生的人数 ▲ 人． 4．已知函数()3cos 2sin 2f x x x =+，则()f x 的最小正周期是 ▲ ． 5．设b a ,为不重合的两条直线，βα,为不重合的两个平面，给出下列命题： ①若αα////b a 且，则b a //； ②若αα⊥⊥b a 且，则b a //； ③若βα////a a 且，则βα//； ④若βα⊥⊥a a 且，则βα//； 上面命题中，所有真命题的序号为 ▲ ．
6．设变量x y ，满足约束条件30023x y x y x -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪-≤≤⎩
，，，则目标函数2x y +的最小值为 ▲ ．
7．已知向量(1,2),(,1),2,2,a b x c a b d a b ===+=-r r r r r u r r r
且c r ∥d u r ，则实数x 的值等于 ▲ ．
8．程序如下：
t ←1 i ←2
While i ≤4
t ←t ×i i ←i ＋1 End While Print t
以上程序输出的结果是 ▲ ．
9．在闭区间 [－1，1]上任取两个实数，则它们的和不大于1的概率是 ▲ ．
10．已知二次函数)(2)(2R x c x ax x f ∈++=的值域为),0[∞+，则)1(f 的最小值为 ▲ ．
11．在ABC ∆中，已知D 是AB 边上一点，若13
AD DB =u u u r u u u r ，12CD CA CB λλ=+u u u r u u u r u u u r ，
则=-21λλ ▲ ． 12．已知抛物线y x 32=上的两点A 、B 的横坐标恰是方程02
=++q px x （,p q 是实常数
2(40)∆=->p q ）的两个实根，则直线AB 的方程是 ▲ ．
13．已知等差数列{}n a 首项为a ，公差为b ，等比数列{}n b 首项为b ，公比为a ，其中,a b 都是
大于1的正整数，且1123,a b b a <<，对于任意的*n N ∈，总存在*
m N ∈，使得3m n
a b +=成立，则n a = ▲ ． 14．关于函数)(x f y =，有下列命题：
①若]2,2[-∈a ，则函数1)(2++=
ax x x f 的定域为R ；
②若)23(log )(2
2
1+-=x x x f ，则)(x f 的单调增区间为)2
3,(-∞
③函数f (x )=log a (x +a
x
-4) ( a >0且a ≠1) 的值域为R ，
则实数a 的取值范围是04a <≤且1a ≠
④定义在R 的函数)(x f ，且对任意的R x ∈都有：
),1()1(),()(x f x f x f x f -=+-=- 则4是)(x f y =的一个周期。

其中真命题的序号是 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说
明、证明或演算步骤. 15．（本小满分14分）
在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足(2)cos cos b c A a C -=．
（1）求角A 的大小；（2）设2(0,1),(cos ,2cos )2
C m n B =-=u r r ，试求m n +u r r 的最小值．
16．（本小满分14分）
直棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，222AB AD CD ===．
（1）求证：AC ⊥平面BB 1C 1C ；
（2）在A 1B 1上是否存一点P ，使得DP 与平面BCB 1与平面ACB 1都平行？证明你的结论．
17．（本小满分15分）某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由长方形的休闲区1111D C B A 和环公园人行道（阴影部分）组成．已知休闲区1111D C B A 的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米（如图） （1）若设休闲区的长和宽的比
x C B B
A =1
11
1，求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数()x S 的解析式；
（2）要使公园所占面积最小，休闲区1111D C B A 的长和宽该如何设计？
18．（本小满分15分）已知椭圆)0(12222>>=+b a b
y a x 的离心率为23
，椭圆的左、右两个
顶点分别为A ，B ，AB=4，直线(22)x t t =-<<与椭圆相交于M ，N 两点，经过三点A ，
M ，N 的圆与经过三点B ，M ，N 的圆分别记为圆C1与圆C2． （1）求椭圆的方程；
（2）求证：无论t 如何变化，圆C1与圆C2的圆心距是定值； （3）当t 变化时，求圆C1与圆C2的面积的和S 的最小值．
x
N
M
O
y
A
B l :x =t
19．（本小满分16分）已知2
()2ln ,()3f x x x g x x ax ==-+-． （1）求函数()f x 的最小值；
（2）若存在(0,)x ∈+∞，使()()f x g x ≤成立，求实数a 的取值范围； （3）证明对一切(0,)x ∈+∞，都有2
()2(
)x x f x e e
>-成立． 20．（本小满分16分）
已知数列p a p S p S n a n n n n 其中满足项和为其前的各项均是正数,)1(,,}{2
-=-为正常数，且.1≠p
（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设的取值范围；项和的前求数列n n n n
p n T n b b N n a b }{),(log 21
1*+∈-=
（3）是否存在正整数M ，使得7823741,a a a a a M n n >>-Λ时恒成立？若存在，求出相应的
M 的最小值；若不存在，请说明理由．
数学Ⅱ（附加题）
参考公式：21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请．选．定其中．．．两题．．，并在相应的．．．．．答题．．区域．．内作答．．．。

若多做，则按作答的前两题评分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

A ．选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）
已知C 点在圆O 直径BE 的延长线上，CA 切圆O 于A 点，
ACB ∠的平分线分别交AE 、AB 于点F 、D .
（1）求ADF ∠的度数； （2）若AB AC =，求AC
BC
的值.
B ．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）
已知二阶矩阵A 的属于特征值－1的一个特征向量为13⎡⎤
⎢⎥-⎣⎦
，属于特征值3的一个特征向
量为11⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，求矩阵A ．
C ．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
已知直线l 的参数方程：12x t y t =⎧⎨=+⎩
（为参数）和圆C 的极坐标方程：)4sin(22π
θρ+=。

（1）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）判断直线l 和圆C 的位置关系
D ．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）
已知x ，y 均为正数，且x ＞y ，求证：22
1
2232x y x xy y ++-+≥．
[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分。

请在答题卡指定．．．．．区域．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22．（本小题满分10分）
某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5，0.6，0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6，0.5，0.75． （1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；
（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的期望． 23．（本小题满分10分）
如图，三棱锥P ABC -中，PB ⊥底面ABC 于B ，90,42BCA PB BC CA ∠====o
点,E F 分别是,PC PA 的中点，求二面角A BE F --的余弦值．。