08-15江苏高考矩阵和参数方程

2003年-2012年江苏省高考数学试题分类解析汇编

1.（江苏2008年附加10分）在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆2

2

41x y +=在矩阵⎣

⎡⎦

⎤

2 00 1对应的变换作用下得到曲线F ，求F 的方程．

2.（江苏2009年附加10分）求矩阵3221A ⎡⎤

=⎢⎥⎣⎦

的逆矩阵.

3.（江苏2010年附加10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,0)，B(－2,0)，C(－2,1)。设k 为非零实数，矩阵M=⎥⎦⎤⎢

⎣⎡100k ,N=⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡0110，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到点分别为A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍，求k 的值。

4.（江苏2011年附加10分）已知矩阵1121⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，向量12β⎡⎤=⎢⎥

⎣⎦

．求向量α，使得2

αβ=A ．

5.（2012年江苏省附加10分）已知矩阵A的逆矩阵113 44 11 22

-

⎡⎤

-⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥

-

⎢⎥⎣⎦

A，求矩阵A的特征值．

6.（2013年江苏省附加10分）已知矩阵

1012

,

0206

A B

-⎡⎤⎡⎤

==

⎢⎥⎢⎥

⎣⎦⎣⎦

，求矩阵1

A B

-．

7.（2014年江苏省附加10分）已知矩阵

12

1x

-⎡⎤

=⎢⎥

⎣⎦

A，

11

21

⎡⎤

=⎢⎥

-

⎣⎦

B，向量

2

y

⎡⎤

=⎢⎥

⎣⎦

α，x y

，为实数，若Aα=Bα，

求x y

，的值．

8.（2015年江苏省附加10分）已知，向量是矩阵的属性特征值的一个特征向量，矩阵以及它的另一个特征值。

1.（江苏2008年附加10分）

【答案】解：设00(,)P x y 是椭圆上任意一点，点00(,)P x y 在矩阵A 对应的变换下变为点'

'

'

00(,)P x y 则

有

'

0'0020 01x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即'0

0'

00

2x x y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以'

0'0

02x x y y ⎧=

⎪⎨⎪=⎩ 又因为点P 在椭圆上，故220041x y +=，从而'2'2

00()()1x y +=

所以，曲线F 的方程是 22

1x y +=。 【考点】圆的标准方程，矩阵变换的性质。

【分析】由题意先设椭圆上任意一点00(,)P x y ，根据矩阵与变换的公式求出对应的点'

'

'

00(,)P x y ，得到两点的关系式，再由点P 在椭圆上代入化简。 2.（江苏2009年附加10分）

【答案】解：设矩阵A 的逆矩阵为,x

y z w ⎡⎤⎢

⎥⎣⎦则3210,2101x y z w ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

即323210,2201x z y w x z y w ++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦∴321

20

32021

x z x z y w y w +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪

⎪+=⎩。解得：1,2,2,3x z y w =-===-。 ∴A 的逆矩阵为112A 23--⎡⎤

=⎢⎥-⎣⎦

。 【考点】逆矩阵的求法。

【分析】设出逆矩阵，根据逆矩阵的定义计算即可。 3.（江苏2010年附加10分） 【答案】解：由题设得0010MN 011010k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤

==⎢

⎥⎢⎥⎢⎥

⎣⎦⎣⎦⎣⎦

由00220010001022k k --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦

，可知A 1（0，0）

、B 1（0，－2）、C 1（k ，－2）。 计算得△ABC 面积的面积是1，△A 1B 1C 1的面积是||k ，则由题设知：||212k =⨯=。 所以k 的值为2或－2。

【考点】图形在矩阵对应的变换下的变化特点。

【分析】由题设得0010MN 011010k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤

==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

，根据矩阵的运算法则进行求解。

4.（江苏2011年附加10分） 【答案】解：设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=y x α，∵⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢

⎣⎡=121112112A =⎥

⎦

⎤

⎢⎣⎡3423， ∴由βα=2

A 得,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡213423y x ，∴⎩⎨⎧=+=+234123y x y x ，解得12x y =-⎧⎨=⎩。∴⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-=21α。

【考点】矩阵的运算法则。

【分析】设向量x y α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

，由2

αβ=A ，利用矩阵的运算法则，用待定系数法可得x 和y 的值，从而求

得向量α。

5.（2012年江苏省附加10分） 【答案】解：∵1-A A =E ，∴()

1

1

--A =A 。

∵1

13441122-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥

-⎢⎥⎣⎦

A ，∴()11 2 32 1--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A =A 。 ∴矩阵A 的特征多项式为()2

2 3==342 1 f λλλλλ--⎡⎤--⎢⎥--⎣⎦

。 令()=0f λ，解得矩阵A 的特征值12=1=4λλ-，。 【考点】矩阵的运算，矩阵的特征值。

【解析】由矩阵A 的逆矩阵，根据定义可求出矩阵A ，从而求出矩阵A 的特征值。

7.（2014年江苏省附加10分）

【答案】本小题主要考查矩阵的乘法等基础知识，考查运算求解能力.满分10分. 222y xy -⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦A α，24y y +⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B α，由A α=B α得22224y y xy y -=+⎧⎨+=-⎩

，，解得142x y =-=，