数学建模与数学实验：3.4层次分析法

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数学建模——层次分析法

在大石头中的重量比）可用向量
且
n
w ( w1 , w2 ,..., wn
T 表示， )
. 显然，的各个列向量与 w 1 A i
i 1
w
仅相差一个比例
因子。一般地，如果一个正互反阵
A
满足（8.2.4）
aij a jk aik , i, j, k 1, 2,..., n
则
3 计算权向量并做一致性检验
定理1
当
n 阶正互反阵 A的最大特征根 n，
时
当且仅
A为一致阵。由于连续的依赖于 aii ，则比 n 大的越多，的不 A
n
一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为被比较因
素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，引起的判断误差越大。因而可以用
RI。方法为：
A1 , A2 ,, A500
2.则可得一致性指标： CI1 , CI 2 ,CI500
CI1 CI 2 CI500 RI 500
n RI
1 2 500 n 500 n 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51
aii 1 ，如用 C1 , C2 ,..., Cn
2 构造成对比较矩阵
2.比较尺度 • 当比较两个可能具有不同性质的因素 Ci 和 C j 对于一个上层因素 O 的影响时，Saaty提出用1—9尺度（见下表），即aij 的取值范围是1,2,,9 ，及其互反数1,1/ 2,,1/ 9 。其理由如下：
重，景色次之，居住条件再次。问题1.怎样由成对比较阵确定诸因素 C , C ,..., C 对上层因 1 2 n 素

数学建模中的层次分析法

对应于目标层的权向量（系数）
( w1 , w2 , , w8 )T
(0.119, 0.036, 0.082, 0.087, 0.261, 0.204, 0.150, 0.061)T
评价公式即
y w1 x1 w2 x2
w8 x8
y 0.119 x1 0.036 x2 0.082 x3 0.087 x4 0.261x5 0.204 x6 0.150 x7 0.061x（分） 8

层次分析法简介
一、层次分析法基本原理
分解
建立多个因素层次结构
实际问题
确定
诸因素的相对重要性
计算权向量
判断综合决策
二、层次分析法基本步骤
1、建立层次结构模型结点（变量）第一层
结点
结点
结点
第二层
结点
结点
结点
结点
结点
结点
结点
结点
第三层
例对学生的评价
对学生的评价目标层
数学建模中的层次分析法
层次分析法简介
层次分析法是萨蒂（saaty) 等人于20世纪70年代提出的一种决策方法。它是将半定性、半定量问题转化为定量问题的有效途径。它将各种因素层次化，并逐层比较多种关联因素，为分析和预测事物的发展提供可的定量依据。层次分析法在决策工作中有广泛的应用。主要用于确定综合评价的权重系数。层次分析法所用数学工具主要是矩阵运算。
于是取权重系数wi=ai
例：评价影视作品
在电视节上评价影视作品，用以下三个评价指标：
x1表示教育性 x2表示艺术性
x3表示娱乐性
有一名专家经成对赋值：

层次分析法-数学建模

层次分析法一、分析模型和一般步骤二、建立层次结构模型三、构造成对比较矩阵四、作一致性检验五、层次总排序及决策一.层次分析模型和一般步骤层次分析法是一种定性与定量分析相结合的多因素决策分析方法。

这种方法将决策者的经验判断给于数量化，在目标因素结构复杂且缺乏必要数据的情况下使用更为方便，因而在实践中得到广泛应用。

层次分析的四个基本步骤：（1）在确定决策的目标后，对影响目标决策的因素进行分类, 建立一个多层次结构；（2）比较同一层次中各因素关于上一层次的同一个因素的相对重要性，构造成对比较矩阵；（3）通过计算，检验成对比较矩阵的一致性，必要时对成对比较矩阵进行修改，以达到可以接受的一致性；（4）在符合一致性检验的前提下，计算与成对比较矩阵最大特征值相对应的特征向量，确定每个因素对上一层次该因素的权重；计算各因素对于系统目标的总排序权重并决策。

建立层次结构模型将问题包含的因素分层：最高层（解决问题的目的）；中间层（实现总目标而采取的各种措施、必须考虑的准则等。

也可称策略层、约束层、准则层等）；最低层（用于解决问题的各种措施、方案等）。

把各种所要考虑的因素放在适当的层次内。

用层次结构图清晰地表达这些因素的关系。

〔例1〕购物模型某一个顾客选购电视机时，对市场正在出售的四种电视机考虑了八项准则作为评估依据，建立层次分析模型如下：例2〕选拔干部模型对三个干部候选人二、厶、宀，按选拔干部的五个标准：品德、才能、资历、年龄和群众关系，构成如下层次分析模型：假设有三个干部候选人二、厶、宀，按选拔干部的五个标准：品德，才能，资历，年龄和群众关系，构成如下层次分析模型例3〕评选优秀学校某地区有三个学校，现在要全面考察评出一个优秀学校。

主要考虑以下几个因素：(1)教师队伍(包括平均学历和年龄结构)(2) 教学设施(3) 教学工作(包括课堂教学，课外活动，统考成绩和教学管理) (4) 文体活动三、构造成对比较矩阵比较第i 个元素与第j 个元素相对上一层某个因素的重要性时，使用数量化的相对权重、来描述。

数学建模——层次分析法

数学建模——层次分析法层次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）是一种用于复杂决策和评估问题的定量方法，旨在帮助决策者在多个准则和选项之间进行权衡和选择。

该方法由美国学者Thomas L. Saaty于1970年代初提出，已经广泛应用于管理、工程、经济学、环境科学等领域。

方法步骤：1.建立层次结构：将复杂的决策问题分解为不同层次的因素和准则，形成层次结构。

层次结构包括目标层、准则层和选择层。

2.创建比较矩阵：对每个层次内的准则和选择进行两两比较，确定它们之间的相对重要性。

使用尺度来表示两者之间的相对优先级，通常是1到9之间的数值。

3.计算权重：通过计算比较矩阵的特征向量，得出每个准则和选择的权重。

特征向量反映了每个准则和选择对目标的贡献程度。

4.一致性检验：检查比较矩阵的一致性，确保所做的两两比较是合理的。

如果比较矩阵不够一致，需要进行调整。

5.计算综合得分：将每个选择的权重与其所属准则的权重相乘，得出每个选择的综合得分。

综合得分反映了每个选择在整体目标中的重要性。

6.做出决策：根据综合得分，确定最佳选择。

较高的综合得分通常意味着更优选。

示例：选择旅游目的地假设你想选择一个旅游目的地，考虑了三个因素：景色美丽度、文化体验和交通便利性。

你将这三个因素作为准则，然后列出了三个潜在的旅游目的地：A、B 和C。

步骤：1.建立层次结构：2.目标层：选择最佳旅游目的地3.准则层：景色美丽度、文化体验、交通便利性4.选择层：A、B、C5.创建比较矩阵：比较准则之间的相对重要性，如景色美丽度相对于文化体验的比较，以及文化体验相对于交通便利性的比较。

使用1到9的尺度，表明一个因素比另一个因素重要多少。

6.计算权重：计算每个准则和每个选择的权重，使用特征向量法。

7.一致性检验：检查比较矩阵的一致性。

如果一致性不够，可能需要重新考虑比较。

8.计算综合得分：将每个选择的权重与其所属准则的权重相乘，得出每个选择的综合得分。

层次分析法数学建模

权重分配不合理
在某些情况下，层次分析法可能无法合理地分配权重，导致决策结果与实际情况存在较大偏差。
无法处理动态变化
层次分析法主要用于静态决策问题，对于动态变化的决策问题处理能力较弱。
05 结论与展望
结论
层次分析法是一种有效的决策分析方法，能够将复杂问题分解为多个层次和因素，通过比较和判断各因素之间的相对重要性，为决策提供依据。
实例三：风险评估问题
总结词
层次分析法在风险评估问题中，能够综合考虑风险的多种来源和影响因素，确定各因素之间的权重关系，为风险的有效控制提供科学的依据。
详细描述
风险评估问题涉及到如何识别、评估和控制各种潜在的风险。层次分析法可以将风险的多种来源和影响因素进行比较和判断，确定各因素之间的权重关系，为风险的有效控制提供科学的依据。同时，层次分析法还可以用于制定风险应对策略和预案，提高组织的抗风险能力。
层次单排序与一致性检验
层次单排序
根据判断矩阵的性质和计算方法，计算出各组成元素的权重值，并按照权重值的大小进行排序。
一致性检验
对判断矩阵的一致性进行检验，以确保各组成元素之间的相对重要性关系符合逻辑和实际情况。
层次总排序与一致性检验
层次总排序
根据各层次的权重值和组成元素的权重值，计算出整个层次结构模型的权重值，并进行总排序。
确定层次
根据问题的复杂程度和组成元素的性质，将层次结构划分为不同的层次，以便于分析和计算。
判断矩阵的建立
确定判断标准
根据问题的特点和要求，确定判断各组成元素之间相对重要性的标准和方法。
构造判断矩阵
根据判断标准，构造出一个判断矩阵，用于表示各组成元素之间的相对重要性关系。

【数学建模浅谈层次分析法】

浅谈层次分析法摘要本文主要阐述层次分析法的定义、特点、基本步骤以及它的优缺点。

层次分析法是在对复杂的决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析的基础上，利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便的决策方法。

由于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性，很快在世界范围内得到重视。

它的应用已遍及经济计划和管理、能源政策和分配、行为科学、军事指挥、运输、农业、教育、人才、医疗和环境等领域。

关键词：层次分析多目标多准则成对比较一致性检验前言数学是一切科学和技术的基础，是研究现实世界数量关系、空间形式的科学。

随着社会的发展，电子计算机的出现和不断完善，数学不但运用于自然科学各学科、各领域，而且渗透到经济、管理以至于社会科学和社会活动的各领域。

众所周知，利用数学解决实际问题，首先要建立数学模型，然后才能在该模型的基础上对实际问题进行分析、计算和研究。

数学建模(Mathematical Modeling)活动是讨论建立数学模型和解决实际问题的全过程，是一种数学思维方式。

从学术的角度来讲，数学建模就是利用数学技术去解决实际问题；从价值的角度来讲，数学建模是一个思维过程，它是一个解决问题的过程（创新），更是一个升华理论方法的过程（总结）；从哲学的角度来讲，数学建模是认识世界和改造世界的过程。

1 数学建模过程和技巧数学建模的过程是通过对现实问题的简化、假设、抽象，提炼出数学模型；然后运用数学方法和计算机工具等，得到数学上的解答；再把它反馈到现实问题，给出解释、分析，并进行检验。

若检验结果符合实际或基本符合，就可以用来指导实践；否则就再假设、再抽象、再修改、再求解、再应用。

构造数学模型不是一件容易的事，其建模过程和技巧具体主要包括以下步骤：⑴模型准备在建模前要了解实际问题的背景，明确建模的目的和要求；深入调研，去粗取精，去伪存真，找出主要矛盾；并按要求收集必要的数据。

数学建模第三讲层次分析法

数学建模第三讲层次分析法在数学建模的领域中，层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称 AHP）是一种相当实用且重要的决策方法。

它能够帮助我们在面对复杂的多准则决策问题时，做出更为合理、科学的决策。

那么，什么是层次分析法呢？简单来说，层次分析法就是把一个复杂的问题分解成若干个层次，通过两两比较的方式，确定各层次元素之间的相对重要性，最后综合这些比较结果，得出最终的决策方案。

比如说，我们要选择一个旅游目的地。

这时候，可能会考虑多个因素，比如景点吸引力、交通便利性、住宿条件、餐饮质量、费用等等。

这些因素就构成了不同的层次。

然后，我们会对每个因素进行两两比较，比如景点吸引力比交通便利性更重要吗？重要多少？通过这样的比较，我们就能给每个因素赋予一个相对的权重。

为了更清楚地理解层次分析法，我们来看看它的具体步骤。

第一步，建立层次结构模型。

这是层次分析法的基础。

我们需要把问题分解成目标层、准则层和方案层。

目标层就是我们最终要实现的目标，比如选择最佳的旅游目的地。

准则层就是影响目标实现的各种因素，像前面提到的景点吸引力、交通便利性等等。

方案层就是我们可以选择的具体方案，比如去三亚、去桂林、去丽江等等。

第二步，构造判断矩阵。

在这一步，我们要对同一层次的元素进行两两比较，比较它们对于上一层某个元素的重要性。

比较的结果通常用 1 9 标度法来表示。

比如说，如果因素 A 比因素 B 稍微重要，就给A 对B 的比较值赋 3；如果 A 比 B 明显重要，就赋 5；如果 A 比 B 极端重要，就赋 9。

反过来，如果 B 比 A 稍微重要，就给 B 对 A 的比较值赋 1/3，以此类推。

第三步，计算权重向量并进行一致性检验。

通过数学方法，比如特征根法，计算出每个判断矩阵的最大特征值和对应的特征向量。

这个特征向量就是我们所需要的权重向量。

但是，为了确保我们的判断是合理的，还需要进行一致性检验。

如果一致性比率小于 01，就认为判断矩阵的一致性是可以接受的；否则，就需要重新调整判断矩阵。

数学建模层次分析法

.实验报告课程名称：数学模型与实验课题名称：层次分析法专业：信息与计算科学姓名：班级：完成日期： 2016 年 6月 22 日实验报告一、实验名称层次分析法二、实验目的人们在进行社会的、经济的以及科学管理领域问题的系统分析中，面临的常常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统。

在这样的系统中，人们感兴趣的问题之一是：就 n 个不同事物所共有的某一性质而言，应该怎样对任一事物的所给性质表现出来的程度（排序权重）赋值，使得这些数值能客观地反映不同事物之间在该性质上的差异？层次分析法为这类问题的决策和排序提供了一种新的、简洁而实用的建模方法。

它把复杂问题分解成组成因素，并按支配关系形成层次结构，然后用两两比较的方法确定决策方案的相对重要性。

三、实验原理运用层次分析法解决问题，大体可以分为四个步骤：1. 建立问题的递阶层次结构；（1）将决策问题分为三层，最上面为目标层，最下面为方案层，中间是准则层或指标层；（2）通过相互比较确定各准则对于目标的权重，及各方案对于每一准则的权重；（3）将方案层对准则层的权重及准则层对目标层的权重进行综合，最终确定方案层对目标层的权重。

2. 构造成对比较矩阵；3. 层次单排序及一致性检验；判断矩阵一致性检验的步骤如下：(1) 计算一致性指标 C.I.：(2) 查找平均随机一致性指标 R.I.；(3) 计算一致性比例 C.R.：当 C.R.< 0.1 时，一般认为判断矩阵的一致性是可以接受的。

否则应对判断矩阵作适当的修正。

4. 层次总排序及其一致性检验。

当 CR＜0.1时，认为层次总排序通过一致性检验。

到此，根据最下层（决策层）的层次总排序做出最后决策。

四、实验题目一、旅游问题（1）建模A 1,A 2, A 3,A 4 ,A 5分别分别表示景色、费用、居住、饮食、旅途。

B 1,B 2,B 3分别表示苏杭、北戴河、桂林。

（2）构造成对比较矩阵A=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1 1 3 1/5 1/31 1 2 1/5 1/31/3 1/2 1 1/7 1/45 5 7 1 23 3 4 1/21 B 1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡11/21/5211/2521B 2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1383/1138/13/11 B 3=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡13/13/1311311B 4= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡114/1113/1431 B 5=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1444/1114/111 (3)计算层次单排序的权向量和一致性检验成对比矩阵A的最大特征值 5.073=λ该特征值对应的归一化特征向量=ω {}0.1100.0990.0550.4750.263，，，，表明A通过了一致性检验。

数学建模-层次分析法

三、判断矩阵的一致性
定义1:设如果满足下列二个条件：
则称 A 为互反矩阵。
定义2:设
A ( aij )m m，A 0,
1 (2) a ij , a ji
(1) a ii 1,
则称 A 为一致性矩阵。
N
TU
a ik ； i , j , k 1, 2, , m (3) a ij a jk
N
根据线性代数知识，3是矩阵A的最大特征值，G是矩阵A属于特征值3的特征向量。因此，物体测重问题就转化为求判断矩阵的特征值和对应的特征向量，3个物体的
TU
AG 3G
-M
3 g1 g1 g1 / g1 g1 / g2 g1 / g3 g1 A G g2 / g1 g2 / g2 g2 / g3 g2 3 g2 3 g2 3G g / g g / g g / g g 3g g 3 1 3 2 3 3 3 3 3
人才培养 B2
可行性 B3
发展前景 B4
研究周期 C5
财政支持 C6
-M
课题1
课题N
6
1
AHP方法的基本原理
数学建模-层次分析法
二、判断矩阵及其特征向量
AHP方法采用优先权重作为区分方案优劣程度的指标。优先权重是一种相对度量数，表示方案相对优劣的程度，其数值介于0和方案关于目标准则体系整体的优先权重，是通过递阶层次从上到下逐层计算
数学建模-层次分析法
三、判断矩阵的一致性
定理3:设 A 是一致性矩阵，则：
① 一致性正矩阵是互反正矩阵； ② A 的转置矩阵AT也是一致性矩阵；

数学建模实验报告1、层次分析法

数学建模实验报告1、层次分析法第一篇：数学建模实验报告1、层次分析法数学建模实验报告一、实验要求柴静的纪录片《穹顶之下》从独立媒体人的角度调查了席卷全国多个省份的雾霾的成因，提出解决的方法有：关停重污染的钢铁厂、提高汽柴油品质、淘汰排放不达标汽车、提高洗煤率等，请仔细观看该纪录片，根据雾霾的成因，选择你认为治理雾霾确实可行的几个方案，并用AHP方法给出这几个主要方案的重要性排序。

二、前期准备1、理解层次分析法（AHP）的原理、作用，掌握其使用方法。

2、观看两遍柴静所拍摄的纪录片《穹顶之下》，选出我认为可较为有效地治理雾霾的几个方法，初步确定各方法的有效性（即权重）。

3、初步拟定三个方案，每个方案中各个治理方法的权重不同。

三、思路&分析1、根据纪录片《穹顶之下》和个人的经验判断给出各个记录雾霾的方法对于治理雾霾的判断矩阵，以及三个不同方案对于五大措施的判断矩阵。

2、了解了AHP的原理后，不难发现MATLAB在其中的作用主要是将判断矩阵转化为因素的权重矩阵。

当然矩阵要通过一致性检验，得到的权重才足够可靠。

3、分别得到准则层对目标层、方案层对准则层的权重之后，进行层次总排序及一致性检验。

得到组合权向量（方案层对目标层）即可确定适用方案。

四、实验过程1、确定层次结构2、构造判断矩阵（1）五大措施对于治理雾霾（准则层对目标层）的判断矩阵（2）三个方案对于五大措施（方案层对准则层）的判断矩阵3、层次单排序及一致性检验该部分在MATLAB中实现，每次进行一致性检验和权向量计算时，步骤相同，输入、输出参数一致。

（虽然输入的矩阵阶数可能不同，但可以不把矩阵阶数作为参数输入，而通过 [n,n]=size（A）来算得阶数。

）因此考虑将这个部分定义为一个函数judge,输入一个矩阵A,打印一致性检验结果和权向量计算结果，并返回权向量、一致性指标CI、平均随机一致性指标RI。

将此脚本存为judge.m，在另一脚本ahp.m 中调用。

数学建模讲义-层次分析法

优化建模
3、排序原理：
一组元素两两比较其重要性,计算元素相对
重要性的测度问题。
优化建模
二、层次分析法的基本步骤
1、建立层次结构模型。在深入分析实际问题的基础上，将有关的各个因素按照不同属性自上而下地分解成若干层次，同一层的诸因素从属于上一层的因素或对上层因素有影响，同时又支配下一层的因素或受到下层因素的作用。
优化建模
将问题包含的因素分层：最高层（解决问题的目的）；中间层（实现总目标而采取的各种措施、必须考虑的准则等。也可称策略层、约束层、准则层等）；最低层（用于解决问题的各种措施、方案等）。把各种所要考虑的因素放在适当的层次内。用层次结构图清晰地表达这些因素的关系。
优化建模
成对比较阵和权向量
优化建模
1.建立层次结构模型 1.
例. 选择旅游地
目标层
如何在3个目的地中按照景色、如何在3个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择. 费用、居住条件等因素选择.
O(选择旅游地选择旅游地) 选择旅游地
准则层
C1 景色
C2 费用
C3 居住
C4 饮食
C5 旅途
方案层
P1 桂林
P2 黄山
P3 北戴河
同样求第3层方案对第2层每一元素准则)的权向量方案)对第层每一元素(准则同样求第层(方案对第层每一元素准则的权向量
方案层对C 景色景色) 方案层对 1(景色的成对比较阵
1 B1 = 1 / 2 1 / 5 2 1 1/ 2 5 2 1
方案层对C 居住居住) 方案层对 3(居住的成对比较阵
1/ 2 1 1/ 7 1/ 5 1/ 5
4 7 1 2 3

层次分析法及其应用数学建模

01
层次单排序
根据判断矩阵求解各因素对于上一层次因素的相对重要性权重，得到层次单排序结果。
02
一致性检验
对判断矩阵进行一致性检验，检查各因素之间的相对重要性是否合理。
层次总排序与一致性检验
层次总排序
根据各层次的权重和下一层因素相对于上一层因素的权重，计算出最底层因素相对于总目标的权重。
一致性检验
判断矩阵的构造
确定比较标度
比较同一层次中各因素对于上一层次因素的相对重要性，通常采用1-9的标度法进行比较。
构造判断矩阵
根据比较标度，构造出判断矩阵，矩阵中的元素表示对应因素的比较结果。
求解判断矩阵
通过计算判断矩阵的特征向量，得到各因素对于上一层次因素分析法可以根据问题的实际情况调整层次结构和判断矩阵，具有较高的灵活性。
局限性
主观性
层次分析法在构造判断矩阵时依赖于专家的主观判断，因此结果可能受到专家
主观因素的影响。
计算复杂度较高
对于大规模问题，层次分析法的计算复杂度较高，需要借助计算机进行辅
助计算。
一致性检验困难
对于构造的判断矩阵，一致性检验是一个难题，需要找到合适的检验方法。
层次分析法在数学建模中的应用
01 在数学建模中，层次分析法常用于解决多目标决策问题，例如在资源分配、方案选择、风险评估等方面。
02 通过构建层次结构模型，可以将复杂的决策问题分解为多个层次，使得决策过程更加清晰和有条理。
02 在应用层次分析法时，需要构建判断矩阵，并进行一致性检验，以确保决策的合理性和准确性。
02
层次分析法的基本原理
层次结构模型的建立
01 明确问题
首先需要明确问题的目标，并确定相关的因素，将因素按照属性不同分为不同的层次，形成层次结构。

数学建模层次分析法

层次分析法(AHP法)
(Analytic Hierarchy Process) 建模
数学建模
模型背景基本步骤应用实例
一、模型背景
❖ 美国运筹学家匹兹堡大学教授Saaty在20世纪70 年代初提出的一种层次权重决策分析方法。
❖层次分析法(Analytic Hierarchy Process简称AHP) 是一种定性和定量分析相结合的决策分析方法。
对总目标Z的排序为
A1
A2
Am
a1, a2 ,, am
B层n个因素对上层 A中因素为 Aj
其层次单排序为
B1
B2
Bn b1 j ,b2 j ,,bnj ( j 1,2,, m)
层次 A A1
层次 B a1
B1
b11
B2
b21
.
.
.
.
.
.
Bn
bn1
A2 … Am B 层次总
a2
… am 排序权值
RI 0i RIi 0.58 i 1
CR CI / RI 0.087 / 0.58 0.015 0.1
C5
0.118 0.166 0.166 0.668
层次P的总排序
0.3 0.246 0.456
层次分析法的优点
系统性——将对象视作系统，按照分解、比较、判断、综合的思维方式进行决策。成为成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具；
w(2) (0.263, 0.475, 0.055, 0.090, 0.110)T
同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量
方案层对C1(景色)的成对比较阵
方案层对C2(费用)的成对比较阵
…Cn

(完整版)数学建模之层次分析法

层次分析法层次分析法是一种解决多目标的复杂问题的定性与定量相结合的决策分析方法。

该方法将定量分析与定性分析结合起来，用决策者的经验判断各衡量目标能否实现的标准之间的相对重要程度，并合理地给出每个决策方案的每个标准的权数，利用权数求出各方案的优劣次序，比较有效地应用于那些难以用定量方法解决的课题。

缺点：（1）层次分析法的主观性太强，模型的搭建，判断矩阵的输入都是决策者的主观判断，往往会因为决策者的考虑不周、顾此失彼而造成失误。

（2）层次分析法模型的内部结构太过理想化，完全分离、彼此独立的层次结构在实践中很难做到。

（5）层次分析法只能从给定的决策方案中去选择，而不能给出新的、更优的策略。

1.模型的应用用于解决多目标的复杂问题的定性与定量相结合的决策分析。

（1）公司选拔人员，（2）旅游地点的选取，（3）产品的购买等，（4）船舶投资决策问题（下载文档），（5）煤矿安全研究，（6）城市灾害应急能力，（7）油库安全性评价，（8）交通安全评价等。

2.步骤①建立层次结构模型首先明确决策目标，再将各个因素按不同的属性从上至下搭建出一个有层次的结构模型，模型如下图所示。

目标层目标层：表示解决问题的目的，即层次分析要达到的总目标。

通常只有一个总目标。

准则层：表示采取某种措施、政策、方案等实现预定总目标所涉及的中间环节。

方案层：表示将选用的解决问题的各种措施、政策、方案等。

通常有几个方案可选。

（1）任一元素属于且仅属于一个层次；任一元素仅受相邻的上层元素的支配，并不是任一元素与下层元素都有联系；（2）虽然对准则层中每层元素数目没有明确限制，但通常情况下每层元素数最好不要超过9个。

这是因为，心理学研究表明，只有一组事物在9个以内，普通人对其属性进行判别时才较为清楚。

当同一层次元素数多于9个时，决策者对两两重要性判断可能会出现逻辑错误的概率加大，此时可以通过增加层数，来减少同一层的元素数。

②构造判断（成对比较）矩阵以任意一个上一层的元素为准则，对其支配的下层各因素之间进行两两比较。

层次分析法-数学建模实验报告

《数学建模与数学实验》实验报告
实验1 离散模型
专业、班级
信息
学号
姓名
课程编号
实验类型
验证性
学时
2
实验（上机）地点
教七楼数学实验中心
完成时间
任课教师
评分
1．掌握数学软件Matlab，c++的基本用件进行离散数学模型问题的求解和分析；
3．理解层次分析数学模型和效益的合理分配数学模型的数学原理，并能够分别利用这两种离散数学模型进行实际问题的建模。
调用（以根法求解特征值和特征向量的）函数进行层次单排序的结果如下：
矩阵A的最大特征值：lambda0 =6.3487
矩阵A的最大特征值对应的特征向量：
w0 =
0.1560
0.1751
0.1732
0.0464
0.1157
0.2835
一致性比率：cr0 =0.0562
各属性的最大特征值：Lambda =3.0092 3.0246 3.0649 3.0649 3.0000 3.0649
[cr6,ci6,ri6,w6,lambda6]=HEFA(B6);
%输出计算结果
disp('矩阵A的最大特征值：')
lambda0
disp('矩阵A的最大特征值对应的特征向量：')
w0
disp('一致性比率：')
cr0
disp('各属性的最大特征值：')
Lambda=[lambda1,lambda2,lambda3,lambda4,lambda5,lambda6]
部分代码如下：
%成对比较矩阵
A=[1,1,1,4,1,1/2;1,1,2,4,1,1/2;1,1/2,1,5,3,1/2;...

数学建模的层次分析法

1、层次分析法的基本概念
1、层次分析法的基本概念
层次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）是一种广泛应用于数学建模中的方法。它通过将复杂问题分解为多个层次，帮助我们更好地理解和解决实际问题。层次分析法的基本原理是将一个复杂问题分解为多个相关因素，并根据这些因素之间的相对重要性进行排序。
3、层次分析法的实际应用
(4)权重计算：通过计算判断矩阵的特征向量，得到每个因素的权重值。 (5)一致性检验：对判断矩阵进行一致性检验，以确保得到的权重值是合理的。
3、层次分析法的实际应用
(6)结果分析：根据权重值的大小，对每个因素进行分析，从而得到问题的解决方案。层次分析法在多目标决策、资源分配、风险评估等领域有着广泛的应用。例如，在多目标决策中，层次分析法可以帮助我们确定各目标的权重，从而得到最优解。
三、大学生毕业设计质量评价的数学模型建立
三、大学生毕业设计质量评价的数学模型建立
1、确定评价指标：根据模糊层次分析法的原理，我们首先需要确定评价指标体系。选取与毕业设计质量相关的指标，建立多级递阶结构，其中一级指标为选题质量、设计过程、成果质量等，二级指标为选题难度、选题新颖性、设计规范性等。
2、数学建模在各领域的应用
在科学研究领域，数学建模被广泛应用于物理学、化学、生物学等学科。例如，牛顿第二定律、万有引力定律等都是通过数学建模得到的。在工程技术领域，数学建模也发挥着重要的作用。例如，桥梁设计、建筑设计等领域都需要用到数学建模来分析结构稳定性和安全性。此外，数学建模在金融、经济、社会等领域也有着广泛的应用。
参考内容
一、引言
一、引言
随着高等教育的普及化，大学生毕业设计的质量评价已成为一个重要的研究领域。毕业设计是大学生综合素质和教育水平的直接体现，因此，对其质量进行科学、客观的评价至关重要。本次演示将介绍一种基于模糊层次分析法（Fuzzy Analytic Hierarchy Process，FAHP）的大学生毕业设计质量评价数学建模方法，旨在为提高毕业设计质量和评价效率提供有效手段。