算法设计期中试卷平时作业参考解答

《算法分析与设计》2012-2013-2学期期中测试（信息安全专业DQ 教学班）姓名： 学号： 得分：1. 证明()()()()()()()O f n O g n O f n g n +=+。

（10分）证明：对于任意f 1(n ) ∈ O (f (n ))，存在正常数c 1和自然数n 1，使得对所有n ≥ n 1，有f 1(n ) ≤ c 1f (n )成立。

类似，对于任意g 1(n ) ∈ O (g (n ))，存在正常数c 2和自然数n 2，使得对所有n ≥ n 2，有g 1(n ) ≤ c 2g (n )成立。

令c 3 = max{c 1, c 2}，n 3 = max{n 1, n 2}，则对所有的n ≥ n 3，有 f 1(n ) +g 1(n ) ≤ c 1f (n ) + c 2g (n ) ≤ c 3f (n ) + c 3g (n ) = c 3(f (n ) + g (n ))即()()()()()()()O f n O g n O f n g n +=+成立。

2. 将下列5个函数按渐近增长率由低至高进行排序，要求写出比较过程。

（15分）100log 2log loglog 12345()(log ),()log ,()log ,()2,()n n n n f n n n f n n f n n n f n f n +=====解： 100log 2log log log 24()log 100log ,()2log ,n n n f n n n f n n n +====(1) 2()f n 是对数函数的幂，5()f n 是幂函数，因此()25()()f n O f n =; (2) ()()()491105log limlimlim log n n n f n n nn n f n n →∞→∞→∞===∞，因此()54()()f n O f n =; (3) ()()423log 1limlimlim 0log n n n f n n n f n n n n→∞→∞→∞===，因此()43()()f n O f n =;(4) 对1()f n 和3()f n 取对数，有()()() 13log ()log loglog loglog ,log ()2log loglog log f n n n n n n n f n n n n =+=Θ=Ω=+=Θ，因为()log n O n =，所以()31()()f n O f n =;因此，5个函数按渐近增长率由低至高排序为25431(),(),(),(),()f n f n f n f n f n 。

3. 给定按升序排列的n 个不同整数存于数组a [1:n ]中，请设计()log O n 的算法找到下标i ，1i n ≤≤，使得a [i ] = i ，如不存在这样的下标，则返回0。

（15分） 解：令head = 1, rear = n .(1) 当head <= rear 时，令mid = ⌊(head + rear)/2⌋； (2) 如果a [mid] = mid ，返回mid 值，结束。

如果a [mid] > mid ，令rear = mid – 1，返回(1)继续执行； 如果a [mid] < mid ，令head = mid + 1，返回(1) 继续执行； (3)返回0值，结束。

public static int Search(int [] a, int n) {. <= a[n -1] 中搜索 a[i] = i利用主方法给出下列递归式的渐近界，并用数学归纳法证明式(2)的渐近界。

（20分）(1) ()()42T n T n n =+, (2) ()()242T n T n n =+, (3) ()()342T n T n n =+解：(1) 24,2,log log 42,b a b a ==== ()()2, if 0.5,f n n O n εε-===因此，()()2T n n =Θ. (2) 24,2,log log 42,b a b a ==== ()()22,f n n n ==Θ因此，()()2log T n n n =Θ.(3) 24,2,log log 42,b a b a ==== ()()32, if 0.5,f n n n εε+==Ω=而且()()()333424234,f n n n n cf n ==≤=其中34n =，因此，()()3T n n =Θ.证明：假设当k n <时，()2log T k ck k ≤，其中c 为常数。

()()()()()()2222222242 42log 2 log 1 log 1 log if 1T n T n n c n n n cn n n cn n c n cn n c =+≤+=-+=--≤≥因此，命题得证。

5. 利用直接展开法求解下列递归式的渐近界。

（20分）(1) ()()242T n T n n =+, (2) ()T n n =+解：(1)()()()()()()()()()()()()22222222232423322log log 2222424422422442224234242log 1log log k k n n T n T n n T n n n T n n T n n n T n n T n kn T n n n n T n n O n n =+=++=+=++=+==+==+=+=12n某超市中有i i个容量为C的购物车，你可以在这n种商品中选一些放入你的购物车中免费带走。

但是要求所选的商品重量之和不能大于购物车容量C，而且超市中每种商品每人最多选两件。

请问在这种情况下你如何选择商品使得你能带走的免费商品的价格达到最大？（20分）(a) 为该问题设计一个动态规划算法，要求写出分析过程和递归式。

(b) 若该超市共有3种商品搞活动，商品的价值依次为v = (25, 30, 15)，商品的重量依次为w = (2, 3, 1)，购物车容量为C = 5。

运用自底而上的方法求解上述问题，要求画出表格，并给出最优解与最优值！解：方法1✧将n种商品全部复制一份得到2n种商品，这样每种商品最多只能选择1件。

✧定义m(i, j)为购物车容量为j，由第1, …, i种商品装入购物车的最优值。

✧Case 1: 不选择第i种商品➢则m(i, j)为当重量限制为j时，{1, …,i – 1}种商品装入购物车所产生的最大价值✧Case 2: 选择第i种商品.➢新的重量限制为j – w i➢m(i, j – w i) 为新重量限制下，{1, …, i – 1}种商品装入购物车所产生的最大价值因此，递归式如下：()()()(){}0if 0 or 0,1,if max 1,,1,otherwisei i i i j m i j m i j w jm i j v m i j w ⎧==⎪⎪=->⎨⎪-+--⎪⎩最优解：选择商品1,1’,3, 即选择两个商品1, 一个商品3 最优值 = 25+25+15=65方法2✧ 定义m (i , j )为购物车容量为j ，由第1, …, i 种商品装入购物车的最优值。

✧ Case 1: 不选择第i 种商品➢ 则m (i , j )为当重量限制为j 时，{1, …,i – 1}种商品装入购物车所产生的最大价值✧ Case 2: 仅选择1格第i 种商品.➢ 新的重量限制为 j – w i➢ m (i , j – w i ) 为新重量限制下，{1, …, i – 1}种商品装入购物车所产生的最大价值✧ Case 3: 选择两个第i 种商品➢ 新的重量限制为 j – 2w i➢ m (i , j – 2w i ) 为新重量限制下，{1, …,i – 1}种商品装入购物车所产生的最大价值因此，递归式如下：()()()(){}()()()0if 0 or 01,if max 1,,1,if <2,1,,1,,max if 221,2i i i i i i i ii i i j m i jj w m i j v m i j w w j w m i j m i j v m i j w j w v m i j w ==⎧⎪-<⎪⎪-+--<=⎨⎪⎧⎫-+--⎪⎪⎪>⎨⎬⎪+--⎪⎪⎩⎭⎩最优解：选择两个商品1, 一个商品3 最优值 = 25+25+15=65第2章作业：算法分析基础 1. 算法与程序的区别(1).算法特性之一是有穷性，程序不一定满足有穷性。

(2). 计算机程序是用来给计算机读的，而算法是给人来读的，直接将算法输入计算机是不能运行的。

(3).算法是解决问题的一种方法或一个过程，而程序则是算法用某种程序设计语言的具体实现。

2. 将下列函数按渐进增长率由低到高排列出来。

()()()()()()24/3log 2log 123456,,(log ),2,,nn nn f n f n n f n f n n n f n f n n ======令log m n =，则有()()()()()()()()()1113344266log ,2log log ,3log log log ,log ,g n f n m g n f n m g n f n m m m m n g n f n m ======+=Θ==显然上述4个函数的渐近增长率排序为()()()()3146g n g n g n g n ≤≤≤；()()()()()()22255266log log ,log 2,log log ,n g n f n n n g n f n g n f n n ======显然上述3个函数的渐近增长率排序为()()()625g n g n g n ≤≤；因此，原函数的渐近增长率排序为()()()()()()314625f n f n f n f n f n f n ≤≤≤≤≤。

3. 已知()()()g n O f n =，证明()()()()f n g n O f n +=。

证明：因为()()()g n O f n =，存在正常数c 0和自然数n 0，使得对所有n ≥ n 0，有()()0g n c f n ≤成立。

令c 1 = c 0 + 1，则对所有的n ≥ n 0，有 f (n ) +g (n ) ≤ f (n ) + c 0f (n ) ≤ (1 + c 0)f (n ) = c 1f (n )即()()()()f n g n O f n +=成立。

第3章作业：分治递归1.画出T(n)=2T(n/2)+1的递归树，并给出其解的渐进界。