最新指对幂函数复习提纲
指、对、幂函数知识点
（1指、对、幂函数知识点）指数函数轴对称 比较指数式大小的方法：1.当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较； 2. 当底数中含有字母时要注意分类讨论；3. 当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较；4.对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较（2）对数函数(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断.(2)若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论.(3)若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较.(4)若底数、真数都不相同，则常借助1、0、-1等中间量进行比较.（3）幂函数=叫做幂函数，其中x为自变量，α是常数．一般地，函数y xα幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)； 幂函数是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)； 幂函数是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)． ③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴． ④奇偶性： 当qpα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈）， 若p 为奇数q 为奇数时，则q py x =是奇函数； 若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数； 若p 为偶数q 为奇数时，则qp y x =是非奇非偶函数．幂函数y x α=（x ∈R ，α是常数）的图像在第一象限的分布规律是：当0>α时，幂函数y x α=有下列性质：（1）图象都通过点(0,0),(1,1)； （2）在第一象限内都是增函数；（3）在第一象限内，α>1时，图象是“抛物线”型的；α<<01时，图象是“眉毛”型的； （4）在第一象限内，过点(1,1)后，图象向右上方无限伸展。
指对幂函数复习提纲
指对幂函数复习提纲一、基础知识：1、幂：（1）na 叫做a 的n 次幂。
（2）运算公式：（1）mn m n aa a += （2）()nm mn a a = （3）mm nn a a a-= （4）()mm mab a b = （5）()010a a =≠ （6）()10nn a a a-=≠ （7）1na =（8）m mna ==（9{a a =当n 为奇数当n 为偶数2、指数和指数函数的定义及性质（P91）3、对数和对数函数的定义及性质（P95和P103） （1（2）常用对数和自然对数 （3）运算公式①对数恒等式：log a yay =②积商幂的对数：()log log log a a a MN M N =+；log aMN=log log a a M N -；log log n a a M n M =③换底公式：log log log a b a N N b =4、反函数：（1）定义；（2）求反函数的步骤：①先求出x ②x 与y 互换③写出定义域（即原函数的值域）；（3）原函数与反函数的图像关于y =x 对称,原函数过（a,b ）,反函数过(b,a)5、幂函数：定义及性质P108-P109注：指、对数函数的增减性取决于底数a ，而幂函数的增减性取决于指数α6、函数的应用：P112-113(注意例1和例3的取对数解指数方程的方法，例3的复利计算)二、专题练习1、下列函数一定是指数函数的是 （ ） Ａ、12+=x y B 、3x y = C 、x y -=3 D 、xy 23⋅=2、若函数xa a a y ⋅+-=)33(2是指数函数，则有 （ ） A 、21==a a 或 B 、1=a C 、2=a D 、10≠>a a 且3、下列所给出的函数中，是幂函数的是 （ ）A ．3x y -=B ．3-=xyC ．32x y =D ．13-=x y4、指数式b c =a （b >0，b ≠1）所对应的对数式是A ．log c a =bB ．log c b =aC ．log a b =cD ．log b a =c1、若210,5100==b a，则b a +2= （ ）A 、0B 、1C 、2D 、32、若0≠xy ，那么等式y xy y x 2432-=成立的条件是 （ ）A 、0,0>>y xB 、0,0<>y xC 、0,0><y xD 、0,0<<y x 3、若2<x ，则|3|442x x x --+-的值是___________. 4、设1052==ba,则=+ba 11_________. 5、若3log 41x =，则44xx-+= 。
幂指对函数专题复习总结
幂指对函数复习专题讲座一．幂函数幂函数的定义及性质：二．指数函数和对数函数 1.幂的有关概念：(1)规定：① ∈⋅⋅⋅=n a a a a n( N *);② )0(10≠=a a ;③∈=-p aap p(1Q ）;④m a a a n m n m,0(>=、∈n N * 且)1>n (2)指数运算性质： ①r a aa a sr sr,0(>=⋅+、∈s Q ）;②),,0(Q s r a a aa s r s r∈>=-；③r a a a s r s r ,0()(>=⋅、∈s Q ）;④∈>>⋅=⋅r b a b a b a rr r ,0,0()( Q ）;⑤),0,0(Q s b a b a b a s s s∈>>=⎪⎭⎫ ⎝⎛.2．对数的概念：(1)定义：⇔=N a b ,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数. ①常用对数N lg ，②自然对数N ln (2)基本性质：①真数N 为正数（负数和零无对数）; ② 01log =a ;③1log =a a ;④对数恒等式：N a Na =log .(3)运算性质：如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则 ①N M MN a a a log log )(log +=;②N M NMa a alog log log -=;③M n M a n a log log =; ④n a na =log ; ⑤N nN a a n log 1log =；⑥换底公式：),0,1,0,0,0(log log log >≠>≠>=N m m a a a N N m m a⑦1log log =⋅a b b a ，⑧ N mnN a na m log log =3.指数函数（1）指数函数的定义一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x叫做指数函数. （2）指数函数的图象OxyOxy y =a x 11a > ）1y =ax ((0＜a ＜1)底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y 轴对称.（3）指数函数的性质①定义域：R ；②值域：),0(+∞；③过点)1,0(；④当1>a 时，R 上递增；当10<<a 时，R 上递减. 4. 对数函数（1）对数函数的定义函数)1,0(log ≠>=a a x y a 叫做对数函数. （2）对数函数的图象底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称. （3）对数函数的性质:①定义域：),0(+∞；②值域：R ；③过点)0,1(；④当1>a 时),0(,+∞上递增；当10<<a 时，递减.5.指数函数)1,0(≠>=a a a y x与对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 的图象和性质如表．三．典型例题【例1】图中曲线是幂函数nx y =在第一象限的图象，已知21,2±±=n ，则相应于曲线4321,,,C C C C 的n 依次为（ ）O xyy = l o g x a >Oxy<a <ay = l o g x a 11110( ( ))A.2,21,21,2--B.2,21,21,2--C.1,2,2,1--【例2】解答下述问题：（1）计算：25.02121325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(÷⨯÷+---（2）计算：1.0lg 21036.0lg 21600lg )2(lg 8000lg 5lg 23--+⋅.（3）化简：.)2(2485332332323323134aa a a ab aaab b b a a ⋅⋅⨯-÷++--（4）已知：36log ,518,9log 3018求==ba 值.【例3】已知函数)1,0)(1(log 2≠>++=a a mx x y a .(1)若定义域为,R 求m 的取值范围；(2)若值域为,R 求m 的取值范围. 【例5】 函数)1(||>=a a y x 的图象是（ ）【例5】若,)(2b x x x f +-=且)1(2)]([log ,)(log 22≠==a a f b a f .（1）求)(log 2x f 的最小值及对应的x 值；（2）x 取何值时)1()(log ,2f x f >且)1()]([log 2f x f <. 幂指对函数练习题 一．选择题：1o1y xC 1 C 2C 3C 41.若210,5100==ba ，则b a +2= （ ）A 、0B 、1C 、2D 、32.若0≠xy ，那么等式y xy y x 2432-=成立的条件是 （ ）A 、0,0>>y xB 、0,0<>y xC 、0,0><y xD 、0,0<<y x 3.已知,0>ab 下面四个等式中，正确命题的个数为（ ） ①b a ab lg lg lg +=；②ba lg=b a lg lg -；③b ab a lg )lg(212=；④ab lg =10log 1abA ．0B ．1C ．2D ．3 4.已知,12+=x 则=--)6(log 34x x （ ）A ．23 B ．45C ．0D ．215.已知0>m 时,1lg)10lg(10,mm x+=则x 的值为( ) A ．2B ．1C ．0D ．－16.若,5log log 3=⋅a b a 则=b ( )A ．3aB ．5aC ．53D ．357. 若(10)xf x =，则(5)f = （ ）A 、510B 、105 C 、lg10 D 、lg 5 8. 已知0,1a a >≠，下列说法中，正确的是 （ ）①若M N =则log log a a M N =； ②若log log a a M N =则M N =；③若22log log a a M N =则M N =； ④若M N =则22log log a a M N =。
指数、对数、幂函数总结归纳
指数与指数幂的运算【学习目标】1．理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算.2．理解指数函数的概念和意义，理解指数函数的单调性与特殊点． 3．理解对数的概念及其运算性质．4．重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指 数型函数、对数型函数进行变形处理.5．会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质. 6．知道指数函数与对数函数互为反函数(a ＞0，a ≠1).【要点梳理】要点一、幂的概念及运算性质1.整数指数幂的概念及运算性质2.分数指数幂的概念及运算性质为避免讨论，我们约定a>0，n ，m ∈N *，且mn为既约分数，分数指数幂可如下定义： 1n na a =()m n m m n na a a ==-1m nm naa=3．运算法则当a ＞0,b ＞0时有：（1）nm nma a a +=⋅；（2）()mn nma a =；（3）()0≠>=-a n m a aa nm n m ，；（4）()mm m b a ab =.要点诠释：(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如2442)4()4(-≠-；(3)幂指数不能随便约分.如2142)4()4(-≠-.要点二、根式的概念和运算法则1．n 次方根的定义：若x n=y(n ∈N *，n>1，y ∈R)，则x 称为y 的n 次方根，即x=n y .n 为奇数时， y 的奇次方根有一个，是负数，记为n y ；零的奇次方根为零，记为00=n ；n 为偶数时，正数y 的偶次方根有两个，记为n y ±负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，00n =. 2．两个等式（1）当1n >且*n N ∈时，nnaa =；（2）⎩⎨⎧=)(||)(,为偶数为奇数n a n a a nn要点诠释：①计算根式的结果关键取决于根指数n 的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成||a 的形式，这样能避免出现错误．②指数幂的一般运算步骤有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数(如)，先要化成假分数（如15/4），然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式： a 2－b 2＝（a －b ）（a ＋b ），a 3－b 3＝（a －b ）（a 2＋ab ＋b 2），a 3＋b 3＝（a ＋b ）（a 2－ab ＋b 2）， （a ±b ）2＝a 2±2ab ＋b 2，（a ±b ）3＝a 3±3a 2b ＋3ab 2±b 3，的运用，能够简化运算.指数函数及其性质【要点梳理】要点一、指数函数的概念：函数y=a x(a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R. 要点诠释：（1）形式上的严格性：只有形如y=a x(a>0且a ≠1)的函数才是指数函数．像23xy =⋅，12xy =，31xy =+等函数都不是指数函数．（2）为什么规定底数a 大于零且不等于1：①如果0a <，则对于一些函数，比如(4)xy =-，当11,,24x x ==⋅⋅⋅时，在实数范围内函数值不存在． ②如果1a =，则11xy ==是个常量，就没研究的必要了。
2024年新高考数学复习知识梳理与题型归纳第8讲二次函数与幂函数教师版
第8讲二次函数与幂函数思维导图知识梳理1．幂函数(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x 12，y＝x－1.(2)五种幂函数的图象(3)性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．(2)二次函数的图象和性质核心素养分析本讲主要考查幂函数的图象与性质、二次函数的图象与性质，重点提升逻辑推理、直观想象素养.题型归纳题型1幂函数的图象与性质【例1-1】已知幂函数2242()(1)()m m f x m x m R ，在(0,) 上单调递增．设5log 4a ，15log 3b ，0.20.5c ，则f （a），f （b），f （c）的大小关系是()A．f （b）f （a） （c）B．f （c）f （b）f （a）C．f （c）f （a）f （b）D．f （a）f （b）f （c）【分析】先利用幂函数的性质求出m 的值，再利用幂函数的单调性即可解题．【解答】解：∵幂函数2242()(1)()mm f x m x m R ，在(0,) 上单调递增，22(1)1420m m m ，解得0m ，2()f x x ，故选：A ．【例1-2】设113244342(),(),()433a b c ，则a ，b ，c 的大小顺序是()A．c a b B．c b a C．a c b D．b c a【分析】先判断1b ，再化a 、c ，利用幂函数的性质判断a 、c 的大小．【解答】解：112439()()1416a ，144()13b ，314428()()1327c ；且89012716，函数14y x 在(0,) 上是单调增函数，所以114489()()2716 ，所以c a ；综上知，c a b ．故选：A ．【跟踪训练1-1】幂函数223()(1)(,)m m f x a x a m N 为偶函数，且在(0,) 上是减函数，则a m ．【分析】先利用幂函数的定义和单调性求出a 的值和m 的范围，再结合偶函数确定m 的值，即可求出结果．【解答】解：∵幂函数223()(1)(,)mm f x a x a m N ，在(0,) 上是减函数，11a ，且2230m m ，2a ，13m ，又m N ∵，0m ，1，2，又∵幂函数()f x 为偶函数，1m ，3a m ，故答案为：3．【跟踪训练1-2】已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)xn 2－3n (n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为()A．－3B．1C．2D．1或2【分析】本题考查幂函数的性质，根据幂函数的性质即可求解.【解析】∵幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)xn 2－3n 在(0，＋∞)上是减函数，2＋2n －2＝1，2－3n <0，∴n ＝1，又n ＝1时，f (x )＝x －2的图象关于y 轴对称，故n ＝1.故选B.【名师指导】幂函数的性质与图象特征的关系(1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R )，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)判断幂函数y ＝x α(α∈R )的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．(3)若幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.题型2二次函数的解析式【例2-1】已知二次函数2()3(0)f x ax bx a 图象过点(3,0)A ，对称轴为1x ．（1）求()y f x 的解析式；（2）若函数()y g x 满足(21)()g x f x ，求函数()y g x 的解析式．【分析】（1）根据条件即可得出933012a b b a，从而可解出12,55a b ，这样即可得出212()355f x x x ；（2）可根据题意得出212(21)355g x x x ，从而可设21x t ，解出12t x ，带入212(21)355g x x x 即可得出21311()20104g t t t ，t 换上x 即可得出()y g x 的解析式．【解答】解：（1）根据题意得，933012a b b a，解得1525a b， 212()355f x x x ；（2）由题意得，212(21)355g x x x ，设21x t ，则12t x ， 22111311()(1)(1)320520104g t t t t t ，21311()20104g x x x ．【例2-2】(一题多解)已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．【解】法一：(利用一般式)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．c＝－1，＝－4，＝4，＝7.所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.法二：(利用顶点式)设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．因为f(2)＝f(－1)，所以抛物线的对称轴为x＝2＋（－1）2＝12.所以m＝12.又根据题意函数有最大值8，所以n＝8，所以f(x)＝＋8.因为f(2)＝－1，所以＋8＝－1，解得a＝－4，所以f(x＋8＝－4x2＋4x＋7.法三：(利用零点式)由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值8，即4a（－2a－1）－a24a＝8.解得a＝－4或a＝0(舍去)，所以所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.【跟踪训练2-1】已知一个二次函数()f x，(0)4f ，f（2）0，f（4）0．求这个函数的解析式．【分析】先设出函数的表达式，再将函数值代入得到方程组，求出即可．【解答】解：设2()f x ax bx c，44201640ca b ca b c，解得：1234abc，21()342f x x x ．【跟踪训练2-2】已知一次函数(())43f f x x ，且()f x 在R 上递增，二次函数()g x 的图象的顶点是(1,2) 且过(0,1) ．（1）分别求函数()f x 与函数()g x 的解析式；（2）求函数(())f g x 与(())g f x 的解析式．【分析】（1）直接利用待定系数法的应用求出函数的关系式．（2）直接利用（1）的结论，求出结果．【解答】解：（1）因为()f x 在R 上递增，设()f x kx b (0)k ，则2(())()43f f x f kx b k x kb b x ，则24k ，3kb b ，则21k b 或23k b （舍去），()21f x x ；∵二次函数()g x 的顶点是(1,2) ，设2()(1)2g x a x ，()g x 过点(0,1) ，代入解得1a ，2()21g x x x ，（2）由（1）得2(())241f g x x x ．2(())42g f x x ．【名师指导】求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，但所给条件不同选取的求解方法也不同，选择规律如下：题型3二次函数的图象与性质【例3-1】已知abc >0，则二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是()【解析】A 项，因为a <0，－b 2a<0，所以b <0.又因为abc >0，所以c >0，而f (0)＝c <0，故A 错．B 项，因为a <0，－b 2a>0，所以b >0.又因为abc >0，所以c <0，而f (0)＝c >0，故B 错．C 项，因为a >0，－b 2a<0，所以b >0.又因为abc >0，所以c >0，而f (0)＝c <0，故C 错．D 项，因为a >0，－b 2a>0，所以b <0，因为abc >0，所以c <0，而f (0)＝c <0，故选D.【例3-2】已知函数2()5f x x mx 在(2,) 上单调递增，则m 的取值范围为()A．[4，) B．[2，) C．( ，4]D．( ，2]【分析】先求出函数()f x 的对称轴，再结合()f x 在区间(2,) 上单调递增，所以对称轴在区间(2,) 左侧，列出不等式，解出m 的取值范围．【解答】解：函数2()5f x x mx 的对称轴为2m x，∵函数()f x 在区间(2,) 上单调递增， 22m ，解得4m ，故选：C ．【例3-3】函数223y x x 在闭区间[0，]m 上有最大值3，最小值为2，m 的取值范围是()A．( ，2]B．[0，2]C．[1，2]D．[1，) 【分析】本题利用数形结合法解决，作出函数()f x 的图象，如图所示，当1x 时，y 最小，最小值是2，当2x 时，3y ，欲使函数2()23f x x x 在闭区间[0，]m 上的上有最大值3，最小值2，则实数m 的取值范围要大于等于1而小于等于2即可．【解答】解：作出函数()f x 的图象，如图所示，当1x 时，y 最小，最小值是2，当2x 时，3y ，函数2()23f x x x 在闭区间[0，]m 上上有最大值3，最小值2，则实数m 的取值范围是[1，2]．故选：C ．【例3-4】已知函数2()(2)(8)()f x m x m x m R 是奇函数，若对于任意的x R ，关于x 的不等式2(1)f x f （a）恒成立，则实数a 的取值范围是．【分析】由已知结合奇函数的定义可求m ，然后结合不等式的恒成立与最值的相互关系及二次函数的性质可求．【解答】解：由奇函数的性质可得，()()f x f x 恒成立，即22(2)(8)(2)(8)m x m x m x m x ，故20m 即2m ，此时()6f x x 单调递减的奇函数，由不等式2(1)f x f （a）恒成立，可得21x a 恒成立，结合二次函数的性质可知，211x ，所以1a ．故答案为：(,1)【跟踪训练3-1】函数2()2(21)3f x x a x 在区间[2，3]上是增函数，则a 的取值范围是()A．13(,]2 B．13(,]2 C．13[,)2 D．13[,)2【分析】函数2()2(21)3f x x a x 的对称轴214a x ，从而2134a ，由此能求出a 的取值范围．【解答】解：∵函数2()2(21)3f x x a x 在区间[2，3]上是增函数，函数2()2(21)3f x x a x 的对称轴214a x ，2134a ，解得132a ．a 的取值范围是( ，132．故选：A ．【跟踪训练3-2】函数221y x x 在闭区间[0，3]上的最大值与最小值的和是()A．1 B．0C．1D．2【分析】函数221y x x 是一条以1x 为对称轴，开口向上的抛物线，在闭区间[0，3]上先减后增，所以当1x 时，函数取最小值；当3x 时，函数取最大值，代入计算即可【解答】解：2221(1)2y x x x ∵ 当1x 时，函数取最小值2 ，当3x 时，函数取最大值2最大值与最小值的和为0故选：B ．【跟踪训练3-3】已知函数2()2()f x x x a x R ．（1）若函数()f x 的值域为[0，) ，求实数a 的值；（2）若()0f x 对任意的[1x ，) 成立，求实数a 的取值范围．【分析】（1）根据函数的值域可知△0 ，解出a 即可；（2）利用分离参数法表示出22a x x ，求出22x x 的取值范围即可．【解答】解：（1）∵函数2()2()f x x x a x R 的值域为[0，) ， △22410a ，1a ．（2）()0f x ∵对任意的[1x ，) 成立，220x x a 对任意的[1x ，) 成立，22a x x 对任意的[1x ，) 成立，又当[1x ，) 时，22(2)1213max x x ，3a ．即所求实数的取值范围是(3,) ．【跟踪训练3-4】已知函数2()f x x ax a b ．（Ⅰ）若3b ，函数[()]y lg f x 在区间[1，4]上有意义且不单调，求a 的取值范围；（Ⅱ）若{|()0}M x f x ，{|(()1)1}N x f f x 且M N ，求a 的取值范围．【分析】（Ⅰ）当3b 时，2()3f x x ax a ，由题知：二次函数()f x 的对称轴在(1,4)之间，且()f x 在[1，4]上恒为正，列出不等式组，即可求出a 的取值范围；（Ⅱ）因为N ，设m ，()n m n 为方程()1f x 的两个根，所以{|[()1]1}{|()1}{|1()1}M x f f x x m f x n x m f x n ，由M N ，解得0a 或4a ，又m ，()n m n 为方程()1f x 的两个根，所以1m a ，即可求出a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当3b 时，2()3f x x ax a ，由题知：二次函数()f x 的对称轴在(1,4)之间，且()f x 在[1，4]上恒为正， 2142(3024a a a f a ，解得：62a ；（Ⅱ）因为N ，设m ，()n m n 为方程()1f x 的两个根，{|[()1]1}{|()1}{|1()1}N x f f x x m f x n x m f x n ，由A B ，得10n 且()1min f x m ，由()f n f （1）1 得0b ，所以2()f x x ax a ，因为{()0}A f x ，△240a a ，解得0a 或4a ，又m ，()n m n 为方程()1f x 的两个根，所以1m a ，24()24min a a f x a，解得a综上所述：0a ．【名师指导】1.识别二次函数图象应学会“三看”2.二次函数的单调性问题（1）对于二次函数的单调性，关键是看图象的开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解．（2）利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的图象的对称性转化到同一单调区间上比较．3.二次函数的最值问题（1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．（2）二次函数的单调性问题主要依据二次函数图象的对称轴进行分类讨论求解．4.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．。
指对幂函数知识点总结
指对幂函数知识点总结一、指数函数指数函数的表达式为＼（y ＝ a^x\）（＼（a ＞ 0\）且＼（a ≠1\））。
（一）图像特征1、当＼（a ＞ 1\）时，函数图像单调递增，且过点＼（（0, 1)＼）。
2、当＼（0 ＜ a ＜ 1\）时，函数图像单调递减，同样过点＼（（0, 1)＼）。
（二）性质1、定义域为＼（R\），值域为＼（（0, ＋＼infty)＼）。
2、当＼（x ＞ 0\）时，若＼（a ＞ 1\），则＼（a^x ＞ 1\）；若＼（0 ＜ a ＜ 1\），则＼（0 ＜ a^x ＜ 1\）。
当＼（x ＜ 0\）时，若＼（a ＞ 1\），则＼（0 ＜ a^x ＜ 1\）；若＼（0 ＜ a ＜ 1\），则＼（a^x ＞ 1\）。
（三）指数运算1、＼（a^m × a^n ＝ a^｛m ＋ n}＼）2、＼（＼frac{a^m}｛a^n} ＝ a^｛m n}＼）3、＼（（a^m)＾n ＝ a^｛mn}＼）4、＼（a^0 ＝ 1\）（＼（a ≠ 0\））二、对数函数对数函数的表达式为＼（y ＝＼log_a x\）（＼（a ＞ 0\）且＼（a ≠ 1\））。
（一）图像特征1、当＼（a ＞ 1\）时，函数在＼（（0, ＋＼infty)＼）上单调递增。
2、当＼（0 ＜ a ＜ 1\）时，函数在＼（（0, ＋＼infty)＼）上单调递减。
（二）性质1、定义域为＼（（0, ＋＼infty)＼），值域为＼（R\）。
2、当＼（a ＞ 1\）时，＼（＼log_a x ＞ 0\）等价于＼（x ＞1\）；＼（＼log_a x ＜ 0\）等价于＼（0 ＜ x ＜ 1\）。
当＼（0 ＜ a ＜ 1\）时，＼（＼log_a x ＞ 0\）等价于＼（0 ＜ x ＜ 1\）；＼（＼log_a x ＜ 0\）等价于＼（x ＞ 1\）。
（三）对数运算1、＼（＼log_a （MN) ＝＼log_a M ＋＼log_a N\）2、＼（＼log_a ＼frac{M}｛N} ＝＼log_a M ＼log_a N\）3、＼（＼log_a M^n ＝ n ＼log_a M\）4、＼（＼log_{a^b} M ＝＼frac{1}｛b} ＼log_a M\）（四）对数与指数的关系若＼（y ＝＼log_a x\），则＼（x ＝ a^y\），它们互为反函数，图像关于直线＼（y ＝ x\）对称。
指对幂函数知识点总结
指对幂函数知识点总结在数学的学习中，指对幂函数是非常重要的一部分内容。
理解和掌握它们的性质、图像以及运算规律，对于解决数学问题、提高数学素养有着至关重要的作用。
接下来，让我们一起深入地了解一下指对幂函数的相关知识。
一、指数函数指数函数的一般形式为＄y ＝ a^x$ （＄a ＞ 0$ 且＄a ≠ 1$）。
（一）性质1、定义域：＄R$ ，即实数集。
2、值域：＄（0, ＋＼infty)＄，函数值恒大于零。
3、单调性：当＄a ＞ 1$ 时，函数在＄R$ 上单调递增；当＄0 ＜a ＜ 1$ 时，函数在＄R$ 上单调递减。
（二）图像特点1、当＄a ＞ 1$ 时，图像经过点＄（0, 1)＄，且在＄R$ 上呈上升趋势，从左至右逐渐上升。
2、当＄0 ＜ a ＜ 1$ 时，图像同样经过点＄（0, 1)＄，但在＄R$ 上呈下降趋势，从左至右逐渐下降。
（三）指数运算规则1、＄a^m × a^n ＝ a^｛m ＋ n}＄2、＄＼frac{a^m}｛a^n} ＝ a^｛m n}＄3、＄（a^m)＾n ＝ a^｛mn}＄4、＄a^0 ＝ 1$ （＄a ≠ 0$）二、对数函数对数函数的一般形式为＄y ＝＼log_a x$ （＄a ＞ 0$ 且＄a ≠ 1$）。
（一）性质1、定义域：＄（0, ＋＼infty)＄，真数必须大于零。
2、值域：＄R$ ，即实数集。
3、单调性：当＄a ＞ 1$ 时，函数在＄（0, ＋＼infty)＄上单调递增；当＄0 ＜ a ＜ 1$ 时，函数在＄（0, ＋＼infty)＄上单调递减。
（二）图像特点1、当＄a ＞ 1$ 时，图像经过点＄（1, 0)＄，且在＄（0, ＋＼infty)＄上呈上升趋势。
2、当＄0 ＜ a ＜ 1$ 时，图像经过点＄（1, 0)＄，在＄（0, ＋＼infty)＄上呈下降趋势。
（三）对数运算规则1、＄＼log_a （MN) ＝＼log_a M ＋＼log_a N$2、＄＼log_a ＼frac{M}｛N} ＝＼log_a M ＼log_a N$3、＄＼log_a M^n ＝ n ＼log_a M$4、＄＼log_a a ＝ 1$5、＄＼log_a 1 ＝ 0$（四）指对数的互化当＄a ＞ 0$ 且＄a ≠ 1$ 时，＄a^y ＝ x$ 等价于＄y ＝＼log_a x$ 。
高考复习-指、对、幂函数的综合应用
指、对、幂函数的综合应用知识集结知识元指数与指数函数知识讲解1．函数的最值及其几何意义【知识点的认识】函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．【解题方法点拨】①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8；②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较．【命题方向】本知识点是常考点，重要性不言而喻，而且通常是以大题的形式出现，所以务必引起重视．本知识点未来将仍然以复合函数为基础，添加若干个参数，然后求函数的定义域、参数范围或者满足一些特定要求的自变量或者参数的范围．常用方法有分离参变量法、多次求导法等．2．指数函数的定义、解析式、定义域和值域【知识点归纳】指数函数的解析式、定义、定义域、值域1、指数函数的定义：一般地，函数y＝a x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）．2、指数函数的解析式：y＝a x（a＞0，且a≠1）3、理解指数函数定义，需注意的几个问题：①因为a＞0，x是任意一个实数时，a x是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．②规定底数a大于零且不等于1的理由：如果a＝0，当x＞0时，a x恒等于0；当x≤0时，a x无意义；如果a＜0，比如y＝（﹣4）x，这时对于x ＝，x ＝在实数范围内函数值不存在．如果a＝1，y＝1x＝1是一个常量，对它就没有研究的必要，为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1．3．指数函数的图象与性质【知识点的认识】1、指数函数y＝a x（a＞0，且a≠1）的图象和性质：y＝a x a＞1 0＜a＜1图象定义域R值域（0，+∞）性质过定点（0，1）当x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1 当x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，y＞1在R上是增函数在R上是减函数2、底数对指数函数的影响：①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a＞l时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y轴；同样地，当0＜a＜l时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x轴．②底数对函数值的影响如图．③当a＞0，且a≠l时，函数y＝a x与函数y＝的图象关于y轴对称．3、利用指数函数的性质比较大小：若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较：若底数不同而指数相同，用作商法比较；若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值．4．指数型复合函数的性质及应用【知识点归纳】指数型复合函数性质及应用：指数型复合函数的两个基本类型：y＝f（a x）与y＝a f（x）复合函数的单调性，根据“同增异减”的原则处理U＝g（x）y＝a u y＝a g（x）增增增减减增增减减减增减．例题精讲指数与指数函数例1.已知函数f（x）=e x-a+e-x+a（其中e是自然对数的底数）．若3a=log3b=c，且c>1，则（）A．f（a）<f（b）<f（c）B．f（b）<f（c）<f（a）C．f（a）<f（c）<f（b）D．f（c）<f（b）<f（a）例2.设平行于x轴的直线l分别与函数y=2x和y=2x+1的图象相交于点A，B，若函数y=2x的图象上存在点C，使得△ABC为等边三角形，则这样的直线l（）A．不存在B．有且只有一条C．至少有两条D．有无数条例3.若函数y=a x+b-1（a>0且a≠1）的图象经过一、三、四象限，则正确的是（）A．a>1且b<1B．0<a<1且b<0C．0<a<1且b>0D．a>1且b<0对数与对数函数知识讲解1．函数的定义域及其求法【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围．求解函数定义域的常规方法：①分母不等于零；②根式（开偶次方）被开方式≥0；③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1；④指数为零时，底数不为零．⑤实际问题中函数的定义域；【解题方法点拨】求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组．（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）．（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．（4）抽象函数的定义域：①对在同一对应法则f下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围．【命题方向】高考会考中多以小题形式出现，也可以是大题中的一小题．2．对数函数的定义域【知识点归纳】一般地，我们把函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．3．对数函数的图象与性质【知识点归纳】例题精讲对数与对数函数例1.已知a=2-0.3，b=log20.3，c=log0.50.3，则（）A．a>b>c B．a>c>bC．c>b>a D．c>a>b例2.已知函数f（x）在R上是增函数，设，则下列不等式成立的是（）A．f（b）>f（a）>f（c）B．f（c）>f（a）>f（b）C．f（c）>f（b）>f（a）D．f（a）>f（c）>f（b）例3.设，则下列正确的是（）A．a>c>b B．c>a>bC．c>b>a D．a>b>c幂函数知识讲解1．幂函数的概念、解析式、定义域、值域【知识点归纳】幂函数的定义：一般地，函数y＝x a叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．解析式：y＝x a＝定义域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：1．如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；2．如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数．当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：1．在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数．2．在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数．而只有a为正数，0才进入函数的值域．由于x大于0是对a的任意取值都有意义的．2．幂函数的图象【知识点归纳】3．幂函数的性质【知识点归纳】所有的幂函数在（0，+∞）上都有各自的定义，并且图象都过点（1，1）．（1）当a＞0时，幂函数y＝x a有下列性质：a、图象都通过点（1，1）（0，0）；b、在第一象限内，函数值随x的增大而增大；c、在第一象限内，a＞1时，图象开口向上；0＜a＜1时，图象开口向右；d、函数的图象通过原点，并且在区间[0，+∞）上是增函数．（2）当a＜0时，幂函数y＝x a有下列性质：a、图象都通过点（1，1）；b、在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象开口向上；c、在第一象限内，当x从右趋于原点时，图象在y轴上方趋向于原点时，图象在y轴右方无限逼近y轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴．（3）当a＝0时，幂函数y＝x a有下列性质：a、y＝x0是直线y＝1去掉一点（0，1），它的图象不是直线．4．幂函数的单调性、奇偶性及其应用【知识点归纳】一、幂函数定义：一般地，函数y＝x a（a∈R）叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．（1）指数是常数；（2）底数是自变量；（3）函数式前的系数都是1；（4）形式都是y＝x a，其中a是常数．二、幂函数与指数函数的对比式子名称a x y指数函数：y＝a x底数指数幂值幂函数：y＝x a指数底数幂值三、五个常用幂函数的图象和性质（1）y＝x；（2）y＝x2；（3）y＝x3；（4）y＝；（5）y＝x﹣1y＝x y＝x2y＝x3y＝y＝x﹣1定义域R R R[0，+∞）{x|x≠0} 值域R[0，+∞）R[0，+∞）{y|y≠0} 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0，+∞）时，增x∈（﹣∞，0]时，减增增x∈（0，+∞）时，减x∈（﹣∞，0）时，减公共点（1，1）（0，（1，1）（0，（1，1）（0，（1，1）（0，（1，1）0）0）0）0）四、幂函数的性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且函数图象都通过点（1，1）．（2）如果a＞0，则幂函数的图象过点（0，0），（1，1），并在[0，+∞）上为增函数．（3）如果a＜0，则幂函数的图象过点（1，1），并在（0，+∞）上为减函数．（4）当a为奇数时，幂函数为奇函数，当a为偶数时，幂函数为偶函数．例题精讲幂函数例1.若幂函数y=f（x）的图象过点，则f（x）在定义域内（）A．有最小值B．有最大值C．为减函数D．为增函数例2.已知函数f（x）=log a（x-+1）+2（a>0，a≠1）的图象经过定点P，且点P在幂函数g （x）的图象上，则g（x）的表达式为（）A．g（x）=x2B．C．g（x）=x3D．例3.已知y=（m2+m-5）x m是幂函数，且在第一象限是单调递减的，则m的值为（）A．-3 B．2 C．-3或2 D．3当堂练习单选题练习1.幂函数f（x）的图象经过点A（4，2），B（8，m），则m=（）A．4 B．2C．2 D．练习2.已知函数f（x）=（m2-m-1）x是幂函数，且其图象与两坐标轴都没有交点，则实数m=（）A．-1 B．2 C．3 D．2或-1练习3.已知幂函数f（x）过点（2，4），则f（3）的值为（）A．6 B．8 C．9 D．12练习4.幂函数f（x）=xα的图象经过点，则f（3）=（）C．3 D．-3A．B．练习5.若幂函数f（x）=（m2-3m-3）x m在（0，+∞）上为增函数，则实数m=（）A．4 B．-1 C．2 D．-1或4练习6.若幂函数f（x）=x n的图象经过点（2，），则f（4）=（）A．-B．C．D．2练习7.若函数f（x）=（m+2）x a是幂函数，且其图象过点（2，4），则函数g（x）=log a（x+m）的单调增区间为（）A．（-2，+∞）B．（1，+∞）C．（-1，+∞）D．（2，+∞）填空题练习1.若P（2，8）在幂函数f（x）的图象上，则f（3）=____．练习2.若幂函数y=（k-2）x m-1（k，m∈R）的图象过点（），则k+m=___．练习3.已知幂函数f（x）=xα（0<α<1）满足，则f（4）=___．练习4.若点P（2，4），Q（3，y0）均在幂函数y=f（x）的图象上，则实数y0=___．练习5.若f（x）=（m-1）2x m是幂函数且在（0，+∞）单调递增，则实数m=___．练习6.若f（x）为幂函数，且满足，则f（3）=___．解答题练习1.'已知a∈R，函数f（x）=log2（a+）。
高一数学 基本初等函数(对、指、幂函数)高考考纲及典型例题高考真题解析
.
2
a 3 3a
【法二】 8 x 8 x 2 x
2
3 2
x 3
2 2 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x
1
2 3
3
37 48
5 9 37 100 3 100 . 3 16 48
4
（4）原式 0.4 1 1 2 2 3 0.1
5 1 1 1 143 . 1 2 16 8 10 80
4.函数 f x a 2 7a 7 a x 是指数函数,求实数 a 的值. 【解析】∵函数 f x a 2 7a 7 a x 是指数函数,
1
0 a2 a1 1 a4 a3 . 1 又由题知： 0 10 1 3 10 ,∴ A 项正确. 3
1 x
a1 a2
O
x 1 x
b 7.已知二次函数 y ax 2 bx 与指数函数 y 的图象只能是下列图形中的 a y
1 1
1 2
1 1 , y x 2 的图像,了解它们的变化情况. x
二、重点知识总结
1.指数与指数幂运算 （1）①
a
n n n
n
a. a , 当n是奇数时 . a , 当n是偶数时
② a
（2）分数指数幂 ①a ②a
m n
n a m （ a 0 , m, n N * ,且 n 1 ）
x y
2
是非负数，故④对.
7 （3） 2 9
高三第一轮复习 幂函数
对数与对数函数幂函数【提纲挈领】主干知识归纳1. 定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．2. 幂函数的常见5种形式的图象与性质：3. 幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②幂函数的图象过定点(1,1)；③当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；④当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减．方法规律总结1. 可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；2. 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.3. 二次函数的单调性与对称轴紧密相连，二次函数的最值问题要根据其图象以及所给区间与对称轴的关系确定.【指点迷津】【类型一】幂函数的图象和性质【例1】：已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点12⎛ ⎝⎭，，则k ＋α等于( ) A.12 B ．1 C.32D ．2 【解析】：由幂函数的定义知k ＝1.又12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以12α⎛⎫ ⎪⎝⎭，解得α＝21，从而k ＋α＝23. 答案：C【例2】：已知幂函数f (x )＝(m 2－m －1)·x －5m －3在(0，＋∞)上是增函数，则m ＝________.【解析】：∵函数f (x )＝(m 2－m －1)·x－5m －3是幂函数，∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1. 当m ＝2时，－5m －3＝－13，函数y ＝x－13在(0，＋∞)上是减函数；当m ＝－1时，－5m －3＝2，函数y ＝x 2在(0，＋∞)上是增函数． ∴m ＝－1. 答案：－1【例3】：若11222()( 211)m m m >＋＋－，则实数m 的取值范围是( )A.⎛-∞⎦⎝ B.⎫∞⎪⎪⎢⎭⎣+ C ．(－1,2) D.⎫⎪⎪⎢⎭⎣2 【解析】：因为函数y ＝12x 的定义域为[0，＋∞)，且在定义域内为增函数，所以不等式等价于22 21102110.m m m m m m >≥⎧⎪≥⎨⎪⎩＋＋－＋＋－，，,≤m <2.答案：D【类型二】二次函数的图象与性质【例1】：已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]，(1)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数； (2)当a ＝－1时，求f (|x |)的单调区间．【解析】：(1)函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3的图象的对称轴为x ＝－22a＝－a ， ∴要使f (x )在[－4,6]上为单调函数，只需－a ≤－4或－a ≥6，解得a ≥4或a ≤－6. 故a 的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞)． (2)当a ＝－1时，f (|x |)＝x 2－2|x |＋3=2223(1)2,023(1)2,0x x x x x x x x ⎧=++≤⎪=⎨=-+>⎪⎩22+-＋＋其图象如图所示．又∵x ∈[－4,6]，∴f (|x |)在区间[－4，－1)和[0,1)上为减函数，在区间[－1,0)和[1,6]上为增函数． 【例2】：若函数y ＝x 2－2x ＋3在区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，求实数m 的取值范围. 【解析】：作出函数y ＝x 2－2x ＋3的图象如图.由图象可知，要使函数在[0，m ]上取得最小值2，则1∈[0，m ]，从而m ≥1， 当x ＝0时，y ＝3；当x ＝2时，y ＝3， 所以要使函数取得最大值为3，则m ≤2， 故所求m 的取值范围为[1，2].【例3】：已知f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求f (x )的最小值． 【解析】：(1)当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0,1]上递减， ∴f (x )min ＝f (1)＝－2.[2分](2)当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 图象的开口方向向上，且对称轴为x ＝1a. ①当1a≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0,1]内，∴f (x )在[0，1a ]上递减，在[1a，1]上递增． ∴f (x )min ＝f (1a)＝－1a. ②当1a>1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0,1]的右侧，∴f (x )在[0,1]上递减． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.(3)当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向下，且对称轴x ＝1a<0，在y 轴的左侧，∴f (x )＝ax 2－2x 在[0,1]上递减．∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.综上所述，f (x )min ＝2,11, 1.a a a a-<⎧⎪⎨-≥⎪⎩【例4】：已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1,1]上恒小于零，则实数a 的取值范围为________． 【解析】：2ax 2＋2x －3<0在[－1,1]上恒成立．当x ＝0时，适合；当x ≠0时，a <23111236x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，因为1x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x ＝1时，右边取最小值12，所以a <12. 综上，实数a 的取值范围是12⎛⎫∞ ⎪⎝⎭-，.答案：12⎛⎫∞ ⎪⎝⎭-，【同步训练】【一级目标】基础巩固组 一、选择题1.一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象可能是()【解析】：若a >0，则一次函数y ＝ax ＋b 为增函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向上，故可排除A ； 若a <0，一次函数y ＝ax ＋b 为减函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 开口向下，故可排除D ；对于选项B ，看直线可知a >0，b >0，则－b2a <0，而二次函数的对称轴在y 轴右侧，故应排除B ，故选C.答案：C2.若a ＜0，则0.5a ，5a ，5－a的大小关系是( )A.5－a ＜5a ＜0.5a B.5a ＜0.5a ＜5－a C.0.5a ＜5－a ＜5a D.5a ＜5－a ＜0.5a【解析】：5－a＝()15a，因为a ＜0时，函数y ＝x a 单调递减，且15＜0.5＜5，所以5a ＜0.5a ＜5－a .答案：B3.(2016·中山模拟)如果函数f (x )＝x 2－ax －3在区间(－∞，4]上单调递减，则实数a 满足的条件是( ) A.a ≥8B.a ≤8C.a ≥4D.a ≥－4【解析】：函数图象的对称轴为x ＝a 2，由题意得a 2≥4，解得a ≥8.答案：A4.若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)等于( ) A.－b2aB.－b aC.cD.4ac －b 24a【解析】：∵f (x 1)＝f (x 2)且f (x )的图象关于x ＝－b 2a 对称，∴x 1＋x 2＝－ba .∴f (x 1＋x 2)＝f ()－b a ＝a ·b 2a2－b ·ba ＋c ＝c .答案：C5.如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，那么( ) A.f (－2)<f (0)<f (2) B.f (0)<f (－2)<f (2) C.f (2)<f (0)<f (－2)D.f (0)<f (2)<f (－2)【解析】：由f (1＋x )＝f (－x )知f (x )的图象关于x ＝12对称，又抛物线开口向上，结合图象(图略)可知f (0)<f (2)<f (－2). 答案：D 二、填空题6.函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________.【解析】：令x ＝t ，则x ＝t 2(t ≥0)，则y ＝－t 2＋t ＝－()t －122＋14，当t ＝12时，y max ＝14. 答案：147.当α∈{}－1，12，1，3时，幂函数y ＝x α的图象不可能经过第________象限.【解析】：当α＝－1，1，3时，y ＝x α的图象经过第一、三象限；当α＝12时，y ＝x α的图象经过第一象限.答案：二、四8.已知函数f (x )是二次函数，不等式f (x )＞0的解集是(0，4)，且f (x )在区间[－1，5]上的最大值是12，则f (x )的解析式为________.【解析】：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (x )＞0的解集是(0，4)，可知f (0)＝f (4)＝0，且二次函数的图象开口向下，对称轴方程为x ＝2，再由f (x )在区间[－1，5]上的最大值是12，可知f (2)＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝0，f （4）＝0，f （2）＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝12，c ＝0.∴f (x )＝－3x 2＋12x . 答案：f (x )＝－3x 2＋12x 三、解答题9.已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4，6]. (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4，6]上是单调函数.【解析】：(1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4，6]，∴f (x )在[－4，2]上单调递减，在[2，6]上单调递增，∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35. (2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4，6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4.故a 的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞).10.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x .现已画出函数f (x )在y 轴左侧的图象，如图所示，请根据图象：(1)写出函数f (x )(x ∈R )的增区间； (2)写出函数f (x )(x ∈R )的解析式；(3)若函数g (x )＝f (x )－2ax ＋2(x ∈[1，2])，求函数g (x )的最小值. 【解析】：(1)f (x )在区间(－1，0)，(1，＋∞)上单调递增.(2)设x ＞0，则－x ＜0，函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x ，∴f (x )＝f (－x )＝(－x )2＋2×(－x )＝x 2－2x (x ＞0)，∴f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x （x ＞0），x 2＋2x （x ≤0）.(3)g (x )＝x 2－2x －2ax ＋2，对称轴方程为x ＝a ＋1， 当a ＋1≤1，即a ≤0时，g (1)＝1－2a 为最小值；当1＜a ＋1≤2，即0＜a ≤1时，g (a ＋1)＝－a 2－2a ＋1为最小值；当a ＋1＞2，即a ＞1时，g (2)＝2－4a 为最小值.综上，g (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2a （a ≤0），－a 2－2a ＋1 （0＜a ≤1），2－4a （a ＞1）.【二级目标】能力提升题组一、选择题1.设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0，1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是( ) A.(－∞，0]B.[2，＋∞)C.(－∞，0]∪[2，＋∞)D.[0，2]【解析】：二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0，1]上单调递减，则a ≠0，f ′(x )＝2a (x －1)＜0，x ∈[0，1]， 所以a ＞0，即函数的图象开口向上，又因为对称轴是直线x ＝1.所以f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2. 答案：D2.(2016·武汉模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋b (1＜a ＜3)，且x 1＜x 2，x 1＋x 2＝1－a ，则下列说法正确的是( ) A.f (x 1)＜f (x 2) B.f (x 1)＞f (x 2) C.f (x 1)＝f (x 2)D.f (x 1)与f (x 2)的大小关系不能确定【解析】：f (x )的对称轴为x ＝－1，因为1＜a ＜3， 则－2＜1－a ＜0，若x 1＜x 2≤－1，则x 1＋x 2＜－2， 不满足x 1＋x 2＝1－a 且－2＜1－a ＜0；若x 1＜－1，x 2≥－1时，|x 2＋1|－|－1－x 1|＝x 2＋1＋1＋x 1＝x 1＋x 2＋2＝3－a ＞0(1＜a ＜3)， 此时x 2到对称轴的距离大，所以f (x 2)＞f (x 1)；若－1≤x 1＜x 2，则此时x 1＋x 2＞－2，又因为f (x )在[－1，＋∞)上为增函数，所以f (x 1)＜f (x 2). 答案： A 二、填空题3.关于x 的不等式ax 2－|x ＋1|＋3a ≥0的解集为(－∞，＋∞)，则实数a 的取值范围是________.【解析】：因为不等式ax 2－|x ＋1|＋3a ≥0的解集为(－∞，＋∞)，即ax 2－|x ＋1|＋3a ≥0在R 上恒成立，将参数a 分离得a ≥|x ＋1|x 2＋3＝|x ＋1|（x ＋1）2－2（x ＋1）＋4＝1|x ＋1|＋4|x ＋1|－2（x ＋1）|x ＋1|，因为|x ＋1|＋4|x ＋1|－2（x ＋1）|x ＋1|≥|x ＋1|＋4|x ＋1|－2≥2，所以|x ＋1|x 2＋3＝1|x ＋1|＋4|x ＋1|－2（x ＋1）|x ＋1|≤12，所以a ∈[)12，＋∞.答案：[)12，＋∞三、解答题4.已知函数f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，a ＋b ＋c ＝0，且f (0)·f (1)>0. (1)求证：－2<ba<－1；(2)若x 1、x 2是方程f (x )＝0的两个实根，求|x 1－x 2|的取值范围.【解析】：(1)证明 当a ＝0时，f (0)＝c ，f (1)＝2b ＋c ，又b ＋c ＝0，则f (0)·f (1)＝c (2b ＋c )＝－c 2<0与已知矛盾，因而a ≠0，则f (0)·f (1)＝c (3a ＋2b ＋c )＝－(a ＋b )(2a ＋b )>0， 即()b a ＋1()b a ＋2<0，从而－2<ba<－1. (2)解 x 1、x 2是方程f (x )＝0的两个实根，则x 1＋x 2＝－2b3a ，x 1x 2＝－a ＋b 3a ，那么(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝()－2b3a2＋4×a ＋b 3a ＝49·()b a2＋4b 3a ＋43＝49()b a ＋322＋13.∵－2<b a <－1，∴13≤(x 1－x 2)2<49，∴33≤|x 1－x 2|<23，即|x 1－x 2|的取值范围是⎣⎡⎭⎫33，23.【高考链接】1. (2012高考真题山东理)设函数21(),()(,,0)f x g x ax bx a b R a x==+∈≠，若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是A.当0a<时，12120,0x x y y +<+> B. 当0a <时，12120,0x x y y +>+< C. 当0a >时，12120,0x x y y +<+< D. 当0a>时，12120,0x x y y +>+>【解析】：在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，当0<a 时，要想满足条件，则有如图,做出点A 关于原点的对称点C,则C 点坐标为),(11y x --， 由图象知,,2121y y x x >-<-即0,02121<+>+y y x x ，同理当0>a时，则有0,02121>+<+y y x x ，故答案选B.另法：32()1F x x bx =-+，则方程()0F x =与()()f x g x =同解，故其有且仅有两个不同零点12,x x .由()0F x '=得0x =或23x b =.这样，必须且只须(0)0F =或2()03F b =，因为(0)1F =，故必有2()03F b =由此得b =.不妨设12x x <，则223x b ==所以21()()(F x x x x =-，比较系数得1x -=，故1x =120x x +=，由此知12121212110x x y y x x x x ++=+=<，故答案为B. 答案：B2. （2010辽宁文数）（4）已知0a>，函数2()f x ax bx c =++，若0x 满足关于x 的方程20ax b +=，则下列选项的命题中为假命题的是（A ）0,()()x R f x f x ∃∈≤ （B ）0,()()x R f x f x ∃∈≥（C ）0,()()x R f x f x ∀∈≤ （D ）0,()()x R f x f x ∀∈≥【解析】：函数()f x 的最小值是0()()2bf f x a-=，等价于0,()()x R f x f x ∀∈≥，所以命题C 错误. 答案：C3. (2012高考真题福建理)对于实数a 和b ，定义运算“﹡”：⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-=*ba ab b ba ab a b a ,,22，设)1()12()(-*-=x x x f ，且关于x 的方程为f （x ）=m （m ∈R ）恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是_________________. 【解析】：由新定义得⎩⎨⎧>+-≤-=->--≤-⎩⎨⎧--------=0,0,21212112),1)(12()1(),1)(12()12()(2222x x x x x x x x x x x x x x x x x f ，所以可以画出草图，若方程m x f =)(有三个根，则410<<m ，且当0>x 时方程可化为02=-+-m x x ， 易知m x x =32；当0≤x 时方程可化为022=--m x x ，可解得48111mx +-=，所以4811321mm x x x +-⋅=，又易知当41=m 时4811m m +-⋅有最小值，所以0481143141<+-⋅<-⨯mm ，即01631321<<-x x x . 答案：)0,1631(- 4.（2006年湖北卷）关于x 的方程()011222=+---k x x，给出下列四个命题：①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根. 其中假命题的个数是 （B ）A. 0B. 1C. 2D. 3 【解析】：据题意可令21x t -=(0)t ≥①，则方程化为20t t k -+=②，作出函数21y x =-的图象，结合函数的图象可知：（1）当t=0或t>1时方程①有2个不等的根； （2）当0<t<1时方程①有4个根； （3）当t=1时，方程①有3个根。
指对幂函数及函数与方程(5知识点+4重难点+7技巧+4易错)(原卷版)2025高考数学一轮知识清单
专题04指对幂函数及函数与方程（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）知识点1指数幂与对数1、根式与分数指数幂（1）根式的定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中1n >，且*n ∈N 。
n 叫做根指数，a 叫做被开方数．（2）根式的性质（1n >，且n *∈N ）：n a =；,,,.na n a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数（3）分数指数幂的表示正分数指数幂：规定：mn a =()0,,,1a m n n *>∈>N 负分数指数幂：规定：1m nmnaa-==()0,,,1a m n n *>∈>N 性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义2、指数幂的运算性质（1）无理数指数幂：一般地，无理数指数幂a α（0a >，α为无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．（2）指数幂的运算性质①(0,,)+=>∈r s r s a a a a r s R ．②()=sra rs a (0,,)a r s >∈R ．③()=r ab r r a b (0,0,)a b r >>∈R ．3、对数与对数运算（1）对数的概念：如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底数N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，log a N 叫做对数式。
（2）对数的性质对数式与指数式的互化：a x ＝N ⇔x ＝log a N (a >0，且a ≠1)；①log a 1＝0，②log a a ＝1，③a log a N ＝N ，④log a a N ＝N (a >0，且a ≠1).指数式与对数式的关系（3）对数的的运算法则与换底公式：如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0运算法则：①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ②log a MN＝log a M －log a N③log a M n ＝n log a M (n ∈R )换底公式：①log a b ＝log c blog c a(a >0，且a ≠1，c >0，且c ≠1，b >0)，选用换底公式时，一般选用e 或10作为底数。
指数函数、对数函数和幂函数知识点归纳
一、 幂函数1、幂的有关概念正整数指数幂：...()n na a a a n N =∈ 零指数幂：01(0)a a =≠负整数指数幂：1(0,)p p a a p N a -=≠∈分数指数幂：正分数指数幂的意义是：0,,,1)m na a m n N n =>∈>且负分数指数幂的意义是：10,,,1)mnm naa m n N n a-==>∈>且2、幂函数的定义一般地，函数ay x =叫做幂函数，其中x 是自变量，a 是常数(我们只讨论a 是有理数的情况)．3、幂函数的图象 幂函数a y x =当11,,1,2,332a =时的图象见左图；当12,1,2a =---时的图象见上图： 由图象可知，对于幂函数而言，它们都具有下列性质：a y x =有下列性质：(1)0a >时：①图象都通过点(0,0)，(1,1)；②在第一象限内，函数值随x 的增大而增大，即在(0,)+∞上是增函数． (2)0a <时：①图象都通过点(1,1)；②在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，即在(0,)+∞上是减函数； ③在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近． (3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点； (4)任何幂函数图象都不经过第四象限； (5)任何两个幂函数的图象最多有三个交点．二、指数函数①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x且称指数函数， 1）函数的定义域为R ； 2）函数的值域为),0(+∞；3）当10<<a 时函数为减函数，当1>a 时函数为增函数. 4）有两个特殊点：零点(0,1)，不变点(1,)a .5）抽象性质： ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=⋅-=三、对数函数如果b a N =（0a >，1a ≠），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N b =log b a a N N b =⇔=（0a >，1a ≠，0N >）． 1．对数的性质()log log log a a a MN M N =+． log log log aa a MM N N=-． log log n a a M n M =．（00M N >>，，0a >，1a ≠）（ a, b > 0且均不为1）b mnb a n am log log =2．换底公式：log log log m a m NN a=( a > 0 , a ≠ 1 ；0,1m m >≠) 常用的推论：（1）log log 1a b b a ⨯= ； ．（2）log log m na a nb b m= （a 、0b >且均不为1）．1l o gl o g l o g 1N N aamn nm==．（3）， （4）对数恒等式．一、对数函数的图像及性质① 函数log a y x =（0a >，1a ≠）叫做对数函数② 对数函数的性质：定义域：(0,)+∞； 值域：R ； 过点(1,0)，即当1x =时，0y =．当0a >时，在（0，+∞）上是增函数；当01a <<时，在（0，+∞）上是减函数．二、对数函数与指数函数的关系对数函数log a y x =与指数函数x y a =图像关于直线y x =对称． 指数方程和对数方程主要有以下几种类型：()()log ,log ()()f x b a a a b f x b f x b f x a =⇔==⇔=（定义法）()()()(),log ()log ()()()0f x g x a a a a f x g x f x g x f x g x =⇔==⇔=>（转化法） ()()()log ()log f x g x m m a b f x a g x b =⇔= (取对数法)1log log log =⋅⋅a c b c b a 01log =a 1log =a a N a N a =log。
第06节+指对幂函数2024高考数学一轮复习+PPT(新教材)
2a
0,3 2b
2a
，则 2ab
3, a
b
log2
3
1，
显然与 a
b 矛盾；所以
a b
1时，a
b
0, log2
a b
0 ，所以 3 2b
2a
0, 2ab
3, a
b
log2
3
2
，即 b
a
b
2，
故选项 B 符合要求；此时令 a 5,b 4 ，则选项 C 错误.故选：B.
2．甲､乙两人解关于
x
的方程
考点二 指对幂函数图象
【例
1】（1）函数
f
x
1 2
e2x
知识梳理
3.指数函数及其性质
(1)函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)叫做指数函数，其中指数 x 是自变量，函数的定义域是 R，a 是底数.
(2)指数函数的图象与性质
a>1
0<a<1
图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
过定点(0，1)，即 x＝0 时，y＝1
当 x>0 时，y>1；
当 x<0 时，y>1；
只在第
知识梳理
10.幂函数
• 幂函数的定义
• 一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．
11.幂函数的图象与性质
知识梳理
函数 定义域
值域 奇偶性
单调性
y＝x
y＝x2
y＝x3
1
y x2
y＝x－1
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
R
{y|y≥0}
指对幂复习
(2)对数的运算性质 M log a ( M N ) = _________; log a ( ) = _______ N n log a ( M ) = ________( a > 0, a ≠ 1, n ∈ R )
4、对数函数的图像和性质 对数函数y = loga x(a > 0，a ≠ 1)的图像过定点______, 其定义域为__________, 值域为________,当______ 时， 函数为增函数；当______ 时，函数为减函数.
1 2
的图像过定点_________. 指数函数 y=a x (a>0 ,a=1)的图像过定点 定义域是__________.当_______时函数为增函数； 当 时函数为增函数； 定义域是 时函数为增函数 当________时，函数为减函数。 时 函数为减函数。
3、对数及其运算 （1）若a = N ( a > 0, 且a ≠ 1)，则x = _____
函数的值域为
{y y
≥ 0
}
题型三：指数函数、 题型三：指数函数、对数函数的性质及应用
1 − mx 例1已知函数f(x)=log a (a > 0, a ≠ 1, m ≠ 1)是奇函数 x −1 （）求实数m的值； 1 （2）判断函数f ( x)在（ ，∞)上的单调性. 1+
1 − mx 解 ： （ 1） 函 数 f ( x ) = log a Q 是奇函数 x −1 ∴ f (− x) = - f ( x) 1+ m x 1 − mx x −1 即 log a =- log a = log a -x − 1 x −1 1 − mx 1+ m x x −1 ∴ = ∴ 1-m 2 x 2 = 1 − x 2 ∴ m 2 = 1 ∴ m = ± 1 -x − 1 1 − mx 又 m ≠ 1∴ m = − 1 1+ x x −1+ 2 2 （） （） f (x) = loga 2 由 1 知 = loga = loga (1+ ) x −1 x −1 x −1 2 在 1+∞） 是 函 （， 上 减 数 Qt =1+ x −1 时 减 数 y = loga t当 >1 增 数 0 < a <1 是 函 a 是 函 ，
高三指对幂函数讲义(供参考)
幂、指、对函数综合复习一、指数与指数函数（1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次方根用n 是偶数时，正数a 的正的nn次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：na =；当na =；当n 为偶数时，(0)|| (0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈（4）指数函数图像与性质二、对数与对数函数（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aM M N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =∈ ④log a N a N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a =>≠且 （5）对数函数及其性质(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．说明：反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()x fy -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．（7）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y fx -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．三、幂函数（1）幂函数的定义：一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． （2）幂函数的图象 （3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当qpα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q py x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则qpy x =是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．四、例题分析例1 已知函数223nn y x --=()n ∈Z 的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y 轴对称，求n 的值，并画出函数的图象．解：因为图象与y 轴无公共点，故2230n n --≤，又图象关于y 轴对称，则223n n --为偶数，由2230n n --≤，得13n -≤≤，又因为n ∈Z ，所以0123n =±，，，．当0n =时，2233n n --=-不是偶数； 当1n =时，2234n n --=-为偶数； 当1n =-时，2230n n --=为偶数； 当2n =时，2233n n --=-不是偶数； 当3n =时，2230n n --=为偶数； 所以n 为1-，1或3． 此时，幂函数的解析为0(0)y x x =≠或4y x -=，其图象如图１所示．在幂函数()f x 的图象上，例2 已知点点124⎛⎫- ⎪⎝⎭，，在幂函数()g x 的图象上．问当x 为何值时有：（１）()()f x g x >；（２）()()f x g x =；（３）()()f x g x <．解：设()m f x x =，则由题意，得2m =，∴2m =，即2()f x x =．再令()n g x x =，则由题意，得1(2)4n =-，∴2n =-，即2()(0)g x x x -=≠．在同一坐标系中作出()f x 与()g x 的图象，如图2所示．由图象可知： （1）当1x >或1x <-时，()()f x g x >； （2）当1x =±时，()()f x g x =；（3）当11x -<<且0x ≠时，()()f x g x <． 例3、已知函数223()()mm f x x m -++=∈Z 为偶函数，且(3)(5)f f <，求m 的值，并确定()f x 的解析式． 分析：函数223()()mm f x x m -++=∈Z 为偶函数，已限定了223m m -++必为偶数，且m ∈Z ，(3)(5)f f <，只要根据条件分类讨论便可求得m 的值，从而确定()f x 的解析式． 解：∵()f x 是偶函数，∴223m m -++应为偶数．又∵(3)(5)f f <，即22232335mm mm -++-++<，整理，得223315m m -++⎛⎫< ⎪⎝⎭，∴2230m m -++>，∴312m -<<． 又∵m ∈Z ，∴0m =或1．当m =0时，2233m m -++=为奇数（舍去）；当1m =时，2232m m -++=为偶数．故m 的值为1，2()f x x =．评注：利用分类讨论思想解题时，要充分挖掘已知条件中的每一个信息，做到不重不漏，才可为正确解题奠定坚实的基础．练习、若11(1)(32)m m --+<-，试求实数m 的取值范围． 正解（分类讨论）： （1）10320132m m m m +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩，，，解得2332dm <<； （2）10320132m m m m +<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩，，，此时无解；（3）10320m m +<⎧⎨->⎩，，， 解得1m <-．综上可得23(1)32m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，，∞．现在把例1中的指数1-换成3看看结果如何． 练习、若1122(1)(32)m m +<-，试求实数m 的取值范围． 解：由图3，10320321m m m m +⎧⎪->⎨⎪->+⎩，，，，解得 213m -<≤．例4、关于x 的不等式232255|x x x ax ++-≥在[]1,12上恒成立，则实数a 的取值范围是 。
2025届高考数学一轮复习讲义函数之 幂函数、指数与指数函数
C. 当x＞1时，f(x)＞1
[解析]
D.
(1 )＋(2 )
1 ＋2
当0＜x1＜x2时，
＜f(
)
2
2
1
α
α
因为幂函数 f ( x )＝ x 的图象经过点(16，4)，所以16 ＝4，α＝ ，所以 f ( x )
2
1
2
＝ ＝ ，由其图象可知，A错误，B正确；当 x ＞1时， f ( x )＞ f (1)＝1，故C正
(2)指数函数的图象和性质
函数
y＝ax(a＞1)
y＝ax(0＜a＜1)
图象
函数的定义域为R；值域为⑲ (0，＋∞) .
函数图象过定点⑳ (0，1) ，即当x＝0时，y＝1.
性质
当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，
当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1.
y＞1.
函数在R上单调递㉑ 增 .
函数在R上单调递㉒ 减 .
确；由 f ( x )＝
(1 )＋(2 )
1 ＋2
的图象可知
＜f(
)，故D正确.故选BCD.
2
2
)
3. 函数 f ( x )＝ ax －1＋2( a ＞0，且 a ≠1)的图象恒过定点 (1，3) .
4. 已知函数 f ( x )＝ ax ＋ b ( a ＞0，且 a ≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则 a ＋ b
＝⑭
( a ＞0， m ， n ∈N*，且 n ＞1).
1
( a ＞0， m ， n ∈N*，且 n ＞1).
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.
(3)有理数指数幂的运算性质
高三指对幂函数精品讲义
幂、指、对函数综合复习一、指数与指数函数（1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次方根用n 是偶数时，正数a 的正的nn次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当na =；当n 为偶数时，(0)|| (0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈（4）指数函数图像与性质二、对数与对数函数（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log aa a M M N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a NaN =⑤log log (0,)b na a n M Mb n R b =≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a=>≠且 （5）对数函数及其性质(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=． 说明：反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()x fy -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．（7）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上． ④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．三、幂函数（1）幂函数的定义：一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当qpα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q py x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q py x =是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．四、例题分析例1 已知函数223nn y x --=()n ∈Z 的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y 轴对称，求n 的值，并画出函数的图象．解：因为图象与y 轴无公共点，故2230n n --≤，又图象关于y 轴对称，则223n n --为偶数，由2230n n --≤，得13n -≤≤，又因为n ∈Z ，所以0123n =±，，，． 当0n =时，2233n n --=-不是偶数； 当1n =时，2234n n --=-为偶数； 当1n =-时，2230n n --=为偶数； 当2n =时，2233n n --=-不是偶数； 当3n =时，2230n n --=为偶数； 所以n 为1-，1或3． 此时，幂函数的解析为0(0)y x x =≠或4y x -=，其图象如图１所示．例2已知点在幂函数()f x 的图象上，点124⎛⎫- ⎪⎝⎭，，在幂函数()g x 的图象上．问当x 为何值时有：（１）()()f x g x >；（２）()()f x g x =；（３）()()f x g x <．解：设()m f x x =，则由题意，得2m =，∴2m =，即2()f x x =．再令()n g x x =，则由题意，得1(2)4n =-，∴2n =-，即2()(0)g x x x -=≠．在同一坐标系中作出()f x 与()g x 的图象，如图2所示．由图象可知： （1）当1x >或1x <-时，()()f x g x >； （2）当1x =±时，()()f x g x =；（3）当11x -<<且0x ≠时，()()f x g x <．例3、已知函数223()()mm f x x m -++=∈Z 为偶函数，且(3)(5)f f <，求m 的值，并确定()f x 的解析式． 分析：函数223()()mm f x x m -++=∈Z 为偶函数，已限定了223m m -++必为偶数，且m ∈Z ，(3)(5)f f <，只要根据条件分类讨论便可求得m 的值，从而确定()f x 的解析式． 解：∵()f x 是偶函数，∴223m m -++应为偶数．又∵(3)(5)f f <，即22232335mm mm -++-++<，整理，得223315m m -++⎛⎫< ⎪⎝⎭，∴2230m m -++>，∴312m -<<． 又∵m ∈Z ，∴0m =或1．当m =0时，2233m m -++=为奇数（舍去）；当1m =时，2232m m -++=为偶数．故m 的值为1，2()f x x =．评注：利用分类讨论思想解题时，要充分挖掘已知条件中的每一个信息，做到不重不漏，才可为正确解题奠定坚实的基础．练习、若11(1)(32)m m --+<-，试求实数m 的取值范围． 正解（分类讨论）： （1）10320132m m m m +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩，，，解得2332dm <<； （2）10320132m m m m +<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩，，，此时无解；（3）10320m m +<⎧⎨->⎩，，， 解得1m <-．综上可得23(1)32m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，，∞． 现在把例1中的指数1-换成3看看结果如何． 练习、若1122(1)(32)m m +<-，试求实数m 的取值范围． 解：由图3，10320321m m m m +⎧⎪->⎨⎪->+⎩，，，，解得 213m -<≤．例4、关于x 的不等式232255|x x x ax ++-≥在[]1,12上恒成立，则实数a 的取值范围是 。
幂函数复习——精选推荐
幂函数复习考纲要求：①了解幂函数的概念；②结合函数12321,,,,y x y x y x y y x x=====的图像，了解他们的变化情况．知识梳理：1. 幂函数的基本形式是y x a =，其中x 是自变量，a 是常数. 要求掌握y x =，2y x =，3y x =，1/2y x=，31x y =32x y =1y x-=2-=xy 3-=x y 这几个常用幂函数的图象. 2. 观察出幂函数的共性，总结如下： （1）当0a >时，图象过定点 ；在(0,)+¥上是 函数. （2）当0a <时，图象过定点 ；在(0,)+¥上是 函数；在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近. 3. 幂函数y x a =的图象，在第一象限内，直线1x =的右侧，图象由下至上，指数 . y 轴和直线1x =之间，图象由上至下，指数a . 诊断练习： 1如果幂函数()f x x a=的图象经过点2(2,)2，则(4)f 的值等于 2．函数y ＝（x 2－2x ）21－的定义域是 3．函数y ＝52x 的单调递减区间为 4．函数y ＝21m mx－－在第二象限内单调递增，则m 的最大负整数是__ _ 范例分析：例1比较下列各组数的大小：（1）1.531，1.731，1； （2）（－22）32-，（－107）32，1.134-；55)的值为 .a在区间上是减函数．4271．用“<”或”>”连结下列各式：0.60.32 0.50.32 0.50.34， 0.40.8-0.40.6-．2．函数1322(1)(4)y x x --=-+-的定义域是 3．942--=a a x y 是偶函数，且在),0(+¥是减函数，则整数a 的值是 .4．已知3532x x >，x的取值范围为5．若幂函数a y x =的图象在0<x<1时位于直线y=x 的下方，则实数a 的取值范围是6．若幂函数()f x 与函数g(x)的图像关于直线y=x 对称，且函数g(x)的图象经过3(33,)3,则()f x 的表达式为7. 函数2()3x f x x +=+的对称中心是 ，在区间是 函数（填“增、减”） 8．比较下列各组中两个值的大小33221.31.30.30.35533(1)1.5 1.6(2)0.60.7(3)3.5 5.3(4)0.18.15----与与与与09．若3131)23()2(---<+a a ，求a 的取值范围。
最新高考一轮总复习《2.4 幂函数》
2
或者是一条直线,结合幂函数的图象特征,知①②③⑤满足.
y= (p,q∈N*,q>1,且
(2)已知幂函数
A.p,q 均为奇数,且 >1
p,q 互质)的图象如图所示,则( D )
B.q 为偶数,p 为奇数,且>1
C.q 为奇数,p 为偶数,且>1
对点训练 1
2
(1)若 0<x1<x2,则下列函数:①f(x)=x;②f(x)=x ;③f(x)=x
足条件 f
1 +2
2
A.1 个
条件 f
1 +2
2
≤
≤
(1 )+(2 )
2
(x2>x1>0)的有( D )
B.2 个
C.3 个
1
;④f(x)=√;⑤f(x)=,满
3
D.4 个
(1 )+(2 )
特点,并由此归纳幂指数与函数在第一象限部分的图象的关系.此外,要掌
握二次函数在给定区间上的最值问题.重视数形结合和分类讨论思想的应
用.
内
容
索
引
01
第一环节
必备知识落实
02
第二环节
关键能力形成
03
第三环节
学科素养提升
第一环节
必备知识落实
【知识筛查】
1.幂函数的定义
一般地,函数 y=xα 叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
因此f(x)的解析式为f(x)=x(x+2)=x2+2x.
能力形成点3
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指对幂函数复习提纲一、基础知识：1、幂：（1）na 叫做a 的n 次幂。
（2）运算公式：（1）mnm na a a+=g （2）()nm mn aa = （3）mm nn a a a-= （4）()mm mab a b = （5）()010a a =≠ （6）()10nn a a a-=≠ （7）1na =（8）m mna ==（9{a a =当n 为奇数当n 为偶数2、指数和指数函数的定义及性质（P91）3、对数和对数函数的定义及性质（P95和P103） （1（2）常用对数和自然对数 （3）运算公式①对数恒等式：log a yay =②积商幂的对数：()log log log a a a MN M N =+；log aMN=log log a a M N -；log log n a a M n M =③换底公式：log log log a b a N N b =4、反函数：（1）定义；（2）求反函数的步骤：①先求出x ②x 与y 互换③写出定义域（即原函数的值域）；（3）原函数与反函数的图像关于y =x 对称,原函数过（a,b ）,反函数过(b,a)5、幂函数：定义及性质P108-P109注：指、对数函数的增减性取决于底数a ，而幂函数的增减性取决于指数α6、函数的应用：P112-113(注意例1和例3的取对数解指数方程的方法，例3的复利计算)二、专题练习1、下列函数一定是指数函数的是 （ ） Ａ、12+=x y B 、3x y = C 、x y -=3 D 、xy 23⋅=2、若函数xa a a y ⋅+-=)33(2是指数函数，则有 （ ） A 、21==a a 或 B 、1=a C 、2=a D 、10≠>a a 且3、下列所给出的函数中，是幂函数的是 （ ）A ．3x y -=B ．3-=xyC ．32x y =D ．13-=x y4、指数式b c =a （b >0，b ≠1）所对应的对数式是A ．log c a =bB ．log c b =aC ．log a b =cD ．log b a =c1、若210,5100==ba，则b a +2= （ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、32、若0≠xy ，那么等式y xy y x 2432-=成立的条件是 （ ）A 、0,0>>y xB 、0,0<>y xC 、0,0><y xD 、0,0<<y x 3、若2<x ，则|3|442x x x --+-的值是___________. 4、设1052==b a,则=+ba 11_________. 5、若3log 41x =，则44xx-+= 。
6、求log 2．56．25+lg1001+ln e +3log 122+的值． 7、已知ab >0，下面四个等式中，正确命题的个数为 ①lg （ab ）=lg a +lg b ②lgb a =lg a －lg b ③bab a lg )lg(212= ④lg （ab ）=10log 1abA ．0B ．1C ．2D ．38、已知x =2+1，则lo g 4（x 3－x －6）等于A ．23 B ．45C ．0D ．219、已知m >0时10x =lg （10m ）+lg m1，则x 的值为A ．2B ．1C ．0D ．－1 10、若log a b ·log 3a =5，则b 等于 A ．a 3 B ．a 5 C ．35 D ．5311、满足等式lg （x －1）+lg （x －2）=lg2的x 集合为______________。
12已知1,2222>=+-x x x，则 22x x --的值为 。
13、已知log 2a m =，log 3a n =，则2m na+= 。
14、已知4()42x x f x =+，则123100()()()()101101101101f f f f +++⋅⋅⋅+= 。
15、化简：当0a >= 。
16、计算下列各式：（1）)32()32(28)78(5.13236425.0031--⨯+⨯+-⨯-= （2）5lg 20lg )2(lg 2⨯+=（Ⅰ）定义域、值域1、函数43)21(--=x y 的定义域为 。
2、函数1241++=+x xy 的值域是______________.3、若yxx 25552=⋅,则y 的最小值为__________.4、函数 |1|21-⎪⎭⎫⎝⎛=x y 的定义域 ，值域5、已知函数3234+⋅-=xxy 的值域为[7，43]，则 x 的取值范围 6、若0442=-+y x , 5424+⋅-=yxz ， 则z 的取值范围 7、若函数log 2(kx 2+4kx +3)的定义域为R ，则k 的取值范围是8、若关于x 的方程335-+=a a x 有负根，则实数a 的取值范围是_____________. 9、函数y =)12(log 21-x 的定义域为10、f （x ）=)12(log 12+-x a 在（－21，0）上恒有f （x ）>0，则a 的取值范围_______． 11、当0>x 时，函数xa y )8(2-=的值恒大于1，则实数a 的取值范围是________. 12、(21)log (3)x y x -=-的定义域为 。
13、已知22()log ()f x x ax a =--在(,1-∞上是减函数，则a 的取值范围14、已知212()log (2)f x x ax =-+的值域为R ，则a 的取值范围15、函数()132y log x 6x 18=-+的值域是___________（Ⅱ）奇偶性和单调性1、函数xy -=1)21(的单调递增区间是2、判断函数的奇偶性：（1）()f x =11212x +-；（2）2()lg(f x x x =⋅；3、 函数y =lg （x+12－1）的图象关于 A ．x 轴对称 B ．y 轴对称C ．原点对称 D ．直线y =x 对称4、函数f （x ）=|lg x |，则f （41），f （31），f （2）的大小关系是__________ 5（ ）ABC D6、 函数R x x x y ∈=|,|，满足（ ）A ．奇函数是减函数B ．偶函数又是增函数C ．奇函数又是增函数D ．偶函数又是减函数7、函数()x x e af x a e=+（a >0）在R 上是偶函数，则a 的值为 8、若函数2(1)log a y x -=在(0,)+∞上是减函数，则a ∈ 。
9、如果函数x y a log =在[1,2]上的最大值比最小值多2，则底数a 的值是(Ⅲ)图像、定点1、下列图像正确的是 （ ）A B C D2、若函数)1,0(1≠>-+=a a m a y x的图象在第一、三、四象限内，则（ ）A 、1>aB 、1>a 且0<mC 、010><<m a 且D 、10<<a 3、函数11+=-x ay )10(≠>a a 且的图象必经过定点________．4、图中曲线是对数函数y =log a x 的图象，已知a 取4313,,,3510四个值，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的a 值依次为A ．101,53,34,3B ．53,101,34,3C ．101,53,3,34 D ．53,101,3,34 5、函数34x y =的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．6、下列命题中正确的是（ ）A ．当0=α时函数αx y =的图象是一条直线 B ．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点 C ．若幂函数αx y =是奇函数，则αx y =是定义域上的增函数 D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限7 如图1—9所示，幂函数αx y =在第一象限的图象，比较1,,,,,04321αααα的大小（ ） A ．102431<<<<<αααα B ．104321<<<<<ααααC ．134210αααα<<<<<D ．142310αααα<<<<<（五）比较大小（ⅰ）同底利用指对的性质（ⅱ）同真利用对数的图像或看倒数的大小（ⅲ）同指利用幂函数的性质（ⅳ）不同底不同真利用中间量或变同底同真 1、已知031log 31log >>b a，则a 、b 的关系是 A ．1＜b ＜a B ．1＜a ＜b C ．0＜a ＜b ＜1 D ．0＜b ＜a ＜12、若01<<-x ，则下列不等式中成立的是 A 、 x x x5.055<<-B 、 x x x -<<55.05 C 、x x x 5.055<<- D 、 x x x 555.0<<-3、比较大小12233325,,333-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；4、如果2log 13a <，则a 的取值范围是 ；5、若43-->a a )1,0(≠>a a ，则a 的取值范围是____________.6、如果01a <<，下列不等式中正确的是（ ）A ．1132(1)(1)a a -<- B ．(1)(1)1a a +-> C ．(1)log (1)0a a -+> D ．(1)log (1)0a a +-< 7、已知1x a <<，若2(log )a a x =，2log a b x =，log (log )a a c x =，则下列正确的是（ ）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．a c b <<三、综合练习1、已知222(3)log (0,1)6ax f x a a x -=>≠- 1α3α4α2α（1） 求()f x 的解析式并判断其奇偶性。
（2） 若()log (2)a f x x ≥，求x 的范围2、设函数1221,0(),0x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩，如果0()1f x >，求0x 的取值范围。
3、已知1()log (0,1)1axf x a a x+=>≠-， （1）求()f x 的定义域；（2）求使()0f x >的x 的取值范围。
4、集合}12{21<=-+xx x A ，}04{<+=p x x B ，若B A ⊆，求 p 的取值范围。
5、已知函数y=log a (3-ax)在[0,1]上是减函数，则a 的取值范围是什么？6、已知函数f(x)=a-221x+是R 上的奇函数。