回溯算法之0-1背包问题
回溯法和分支限界法解决0-1背包题(精)[精品文档]
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0-1背包问题计科1班朱润华 2012040732方法1：回溯法一、回溯法描述：用回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间。
问题的解空间至少包含问题的一个（最优）解。
对于0-1背包问题，解空间由长度为n的0-1向量组成。
该解空间包含对变量的所有0-1赋值。
例如n=3时，解空间为：｛（0，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，0，0），（0，1，1），（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1）｝然后可将解空间组织成树或图的形式，0-1背包则可用完全二叉树表示其解空间给定n种物品和一背包。
物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为C。
问:应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?形式化描述：给定c >0, wi >0, vi >0 , 1≤i≤n.要求找一n元向量(x1,x2,…,xn,),xi∈{0,1}, ? ∑ wi xi≤c,且∑ vi xi达最大.即一个特殊的整数规划问题。
二、回溯法步骤思想描述：0-1背包问题是子集选取问题。
0-1 背包问题的解空间可以用子集树表示。
在搜索解空间树时，只要其左儿子节点是一个可行节点，搜索就进入左子树。
当右子树中有可能含有最优解时，才进入右子树搜索。
否则，将右子树剪去。
设r是当前剩余物品价值总和，cp是当前价值；bestp是当前最优价值。
当cp+r<=bestp时，可剪去右子树。
计算右子树上界的更好的方法是将剩余物品依次按其单位价值排序，然后依次装入物品，直至装不下时，再装入物品一部分而装满背包。
例如：对于0-1背包问题的一个实例，n=4,c=7,p=[9,10,7,4],w=[3,5,2,1]。
这4个物品的单位重量价值分别为[3,2,3,5,4]。
以物品单位重量价值的递减序装入物品。
先装入物品4，然后装入物品3和1.装入这3个物品后，剩余的背包容量为1，只能装0.2的物品2。
由此得一个解为[1,0.2,1,1]，其相应价值为22。
01背包问题（回溯法）
01背包问题（回溯法） 回溯法是⼀个既带有系统性⼜带有跳跃性的搜索算法。
它在包含问题的所有解的解空间树中，按深度优先策略，从根结点出发搜索解空间树。
算法搜索⾄解空间树的任意⼀结点时，先判断该结点是否包含问题的解。
如果肯定不包含，则跳过对该结点为根的⼦树搜索，逐层向其祖先结点回溯；否则，进⼊该⼦树，继续按深度优先策略搜索。
问题的解空间⽤回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间。
问题的解空间⾄少包含问题的⼀个(最优)解。
对于 n=3 时的 0/1 背包问题，可⽤⼀棵完全⼆叉树表⽰解空间，如图所⽰：求解步骤1)针对所给问题，定义问题的解空间；2)确定易于搜索的解空间结构；3)以深度优先⽅式搜索解空间，并在搜索过程中⽤剪枝函数避免⽆效搜索。
常⽤的剪枝函数：⽤约束函数在扩展结点处剪去不满⾜约束的⼦树；⽤限界函数剪去得不到最优解的⼦树。
回溯法对解空间做深度优先搜索时，有递归回溯和迭代回溯（⾮递归）两种⽅法，但⼀般情况下⽤递归⽅法实现回溯法。
算法描述 解 0/1 背包问题的回溯法在搜索解空间树时，只要其左⼉⼦结点是⼀个可⾏结点，搜索就进⼊其左⼦树。
当右⼦树中有可能包含最优解时才进⼊右⼦树搜索。
否则将右⼦树剪去。
代码：public class Knapsack_Problem01 {double m=100; //背包最⼤容量int n=5; //物品的个数int[] w = {10,20,30,40,50}; //第i个物品的重量int[] v = {20,30,65,40,60}; //第i个物品的价值int[] a = new int[n]; //记录在树中的移动路径,为1的时候表⽰选择该组数据，为0的表⽰不选择该组数据int maxvalue = 0; //背包的最⼤权重值public static void main(String[] args){Knapsack_Problem01 p = new Knapsack_Problem01();p.Search(0);}public void Search(int i) //i表⽰递归深度{if(i>=n){CheckMax();}else {a[i] = 0;Search(i+1);a[i] = 1;Search(i+1);}}public void CheckMax(){int weight = 0;int value = 0;for(int i=0;i<n;i++) //判断是否达到上限{if(a[i] == 1){weight = weight + w[i];value = value + v[i];}}if(weight <= m){if(value >= maxvalue){maxvalue = value;System.out.print("最⼤价值是：" + maxvalue +" ");System.out.print("所选取的物品为(1代表选中，0代表不选中)： ");for(int j=0;j<n;j++){System.out.print(a[j]);System.out.print(' ');}System.out.print('\n');}}}}。
动态规划与回溯法解决0-1背包问题
0-1背包动态规划解决问题一、问题描述：有n个物品，它们有各自的重量和价值，现有给定容量的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？二、总体思路：根据动态规划解题步骤（问题抽象化、建立模型、寻找约束条件、判断是否满足最优性原理、找大问题与小问题的递推关系式、填表、寻找解组成）找出01背包问题的最优解以及解组成，然后编写代码实现。
原理：动态规划与分治法类似，都是把大问题拆分成小问题，通过寻找大问题与小问题的递推关系，解决一个个小问题，最终达到解决原问题的效果。
但不同的是，分治法在子问题和子子问题等上被重复计算了很多次，而动态规划则具有记忆性，通过填写表把所有已经解决的子问题答案纪录下来，在新问题里需要用到的子问题可以直接提取，避免了重复计算，从而节约了时间，所以在问题满足最优性原理之后，用动态规划解决问题的核心就在于填表，表填写完毕，最优解也就找到。
过程：a) 把背包问题抽象化（X1，X2，…，Xn，其中 Xi 取0或1，表示第i 个物品选或不选），V i表示第i 个物品的价值，W i表示第i 个物品的体积（重量）；b) 建立模型，即求max(V1X1+V2X2+…+VnXn)；c) 约束条件，W1X1+W2X2+…+WnXn<capacity；d) 定义V(i,j)：当前背包容量j，前i 个物品最佳组合对应的价值；e) 最优性原理是动态规划的基础，最优性原理是指“多阶段决策过程的最优决策序列具有这样的性质：不论初始状态和初始决策如何，对于前面决策所造成的某一状态而言，其后各阶段的决策序列必须构成最优策略”。
判断该问题是否满足最优性原理，采用反证法证明：假设(X1，X2，…，Xn)是01背包问题的最优解，则有(X2，X3，…，Xn)是其子问题的最优解，假设(Y2，Y3，…，Yn)是上述问题的子问题最优解，则理应有(V2Y2+V3Y3+…+V n Yn)+V1X1 > (V2X2+V3X3+…+VnXn)+V1X1；而(V2X2+V3X3+…+VnXn)+V1X1=(V1X1+V2X2+…+VnXn)，则有(V2Y2+V3Y3+…+VnYn)+V1X1 > (V1X1+V2X2+…+VnXn)；该式子说明(X1，Y2，Y3，…，Yn)才是该01背包问题的最优解，这与最开始的假设(X1，X2，…，Xn)是01背包问题的最优解相矛盾，故01背包问题满足最优性原理；f) 寻找递推关系式，面对当前商品有两种可能性：第一，包的容量比该商品体积小，装不下，此时的价值与前i-1个的价值是一样的，即V(i,j)=V(i-1,j)；第二，还有足够的容量可以装该商品，但装了也不一定达到当前最优价值，所以在装与不装之间选择最优的一个，即V(i,j)=max｛V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i) ｝其中V(i-1,j)表示不装，V(i-1,j-w(i))+v(i) 表示装了第i个商品，背包容量减少w(i)但价值增加了v(i)；由此可以得出递推关系式：1) j<w(i) V(i,j)=V(i-1,j)2) j>=w(i) V(i,j)=max｛ V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i) ｝number＝4，capacity＝7四、构造最优解：最优解的构造可根据C列的数据来构造最优解，构造时从第一个物品开始。
数据结构与算法题解(10)：0-1背包问题与部分背包问题
假设我们有n件物品，分别编号为1, 2...n。其中编号为i的物品价值为vi ，它的重量量为wi 。为了了简
化问题，假定价值和重量量都是整数值。现在，假设我们有一一个背包，它能够承载的重量量是W。现 在，我们希望往包里里里装这些物品，使得包里里里装的物品价值最大大化，那么我们该如何来选择装的东 ⻄西呢？问题结构如下图所示：
}
public void printResult() { for(int i = 0; i < v. length; i++) { for(int j = 0; j <= weight; j++) System.out.print(c[i][j] + " "); System.out.println(); }
一一、0-1背包
1.1 初步分析
对于这个问题，一一开始确实有点不不太好入入手手。一一堆的物品，每一一个都有一一定的质量量和价值，我们
能够装入入的总重量量有限制，该怎么来装使得价值最大大呢？对于这n个物品，每个物品我们可能会 选，也可能不不选，那么我们总共就可能有2n种组合选择方方式。如果我们采用用这种办法来硬算的话，则整体的
回溯法求背包问题
《算法设计与分析》实验报告学号：姓名：日期：得分：一、实验内容：用回溯法求解0/1背包问题注：给定n种物品和一个容量为C的背包，物品i的重量是w，其价值为iv，背包问题是如何使选择装入背包内的物品，使得装入背包中的物品的总i价值最大。
其中，每种物品只有全部装入背包或不装入背包两种选择。
二、所用算法的基本思想及复杂度分析：1.回溯法求解背包问题：1）基本思想：回溯法：为了避免生成那些不可能产生最佳解的问题状态，要不断地利用限界函数(bounding function)来处死那些实际上不可能产生所需解的活结点，以减少问题的计算量。
这种具有限界函数的深度优先生成法称为回溯法。
对于有n种可选物品的0/1背包问题，其解空间由长度为n的0-1向量组成,可用子集数表示。
在搜索解空间树时，只要其左儿子结点是一个可行结点，搜索就进入左子树。
当右子树中有可能包含最优解时就进入右子树搜索。
2）复杂度分析：回溯法求解0/1背包问题的时间复杂度为：)2()(n O n T =。
空间复杂度：有n 个物品，即最多递归n 层，存储物品信息就是一个一维数组，即回溯法求解0/1背包问题的空间复杂度为)(n O 。
2.以动态规划法验证：1）基本思想：令),(j i V 表示在前)1(n i i ≤≤个物品中能够装入容量为)1(C j j ≤≤的背包中的物品的最大值，则可以得到如下动态函数：0),0()0,(==j V i V{}⎩⎨⎧≥+---<-=)(),1(),,1(max ))(,1(),(i i i i w j v w j i V j i V w j j i V j i V 按照下述方法来划分阶段：第一阶段，只装入前1个物品，确定在各种情况下的背包能够得到的最大价值；第二阶段，只装入前2个物品，确定在各种情况下的背包能够得到的最大价值；以此类推，直到第n 个阶段。
最后，),(C n V 便是在容量为C 的背包中装入n 个物品时取得的最大价值。
回溯法解决0-1背包问题
回溯法解决0-1背包问题问题描述： 有n件物品和⼀个容量为c的背包。
第i件物品的价值是v[i]，重量是w[i]。
求解将哪些物品装⼊背包可使价值总和最⼤。
所谓01背包，表⽰每⼀个物品只有⼀个，要么装⼊，要么不装⼊。
回溯法： 01背包属于找最优解问题，⽤回溯法需要构造解的⼦集树。
在搜索状态空间树时，只要左⼦节点是可⼀个可⾏结点，搜索就进⼊其左⼦树。
对于右⼦树时，先计算上界函数，以判断是否将其减去，剪枝啦啦！上界函数bound():当前价值cw+剩余容量可容纳的最⼤价值<=当前最优价值bestp。
为了更好地计算和运⽤上界函数剪枝，选择先将物品按照其单位重量价值从⼤到⼩排序，此后就按照顺序考虑各个物品。
#include <stdio.h>#include <conio.h>int n;//物品数量double c;//背包容量double v[100];//各个物品的价值double w[100];//各个物品的重量double cw = 0.0;//当前背包重量double cp = 0.0;//当前背包中物品价值double bestp = 0.0;//当前最优价值double perp[100];//单位物品价值排序后int order[100];//物品编号int put[100];//设置是否装⼊//按单位价值排序void knapsack(){int i,j;int temporder = 0;double temp = 0.0;for(i=1;i<=n;i++)perp[i]=v[i]/w[i];for(i=1;i<=n-1;i++){for(j=i+1;j<=n;j++)if(perp[i]<perp[j])//冒泡排序perp[],order[],sortv[],sortw[]{temp = perp[i];perp[i]=perp[i];perp[j]=temp;temporder=order[i];order[i]=order[j];order[j]=temporder;temp = v[i];v[i]=v[j];v[j]=temp;temp=w[i];w[i]=w[j];w[j]=temp;}}}//回溯函数void backtrack(int i){double bound(int i);if(i>n){bestp = cp;return;}if(cw+w[i]<=c){cw+=w[i];cp+=v[i];put[i]=1;backtrack(i+1);cw-=w[i];cp-=v[i];}if(bound(i+1)>bestp)//符合条件搜索右⼦数backtrack(i+1);}//计算上界函数double bound(int i){double leftw= c-cw;double b = cp;while(i<=n&&w[i]<=leftw){leftw-=w[i];b+=v[i];i++;}if(i<=n)b+=v[i]/w[i]*leftw;return b;}int main(){int i;printf("请输⼊物品的数量和容量：");scanf("%d %lf",&n,&c);printf("请输⼊物品的重量和价值：");for(i=1;i<=n;i++){printf("第%d个物品的重量：",i);scanf("%lf",&w[i]);printf("价值是：");scanf("%lf",&v[i]);order[i]=i;}knapsack();backtrack(1);printf("最有价值为：%lf\n",bestp);printf("需要装⼊的物品编号是：");for(i=1;i<=n;i++){if(put[i]==1)printf("%d ",order[i]);}return 0;}时间复杂度分析： 上界函数bound()需要O(n)时间，在最坏的情况下有O(2^n)个右⼦结点需要计算上界，回溯算法backtrack需要的计算时间为O(n2^n)。
0-1背包问题——回溯法求解【Python】
0-1背包问题——回溯法求解【Python】回溯法求解0-1背包问题：问题：背包⼤⼩ w，物品个数 n，每个物品的重量与价值分别对应 w[i] 与 v[i]，求放⼊背包中物品的总价值最⼤。
回溯法核⼼：能进则进，进不了则换，换不了则退。
（按照条件深度优先搜索，搜到某⼀步时，发现不是最优或者达不到⽬标，则退⼀步重新选择）注：理论上，回溯法是在⼀棵树上进⾏全局搜索，但是并⾮每种情况都需要全局考虑，毕竟那样效率太低，且通过约束+限界可以减少好多不必要的搜索。
解决本问题思路：使⽤0/1序列表⽰物品的放⼊情况。
将搜索看做⼀棵⼆叉树，⼆叉树的第 i 层代表第 i 个物品，若剩余空间允许物品 i 放⼊背包，扩展左⼦树。
若不可放⼊背包，判断限界条件，若后续继续扩展有可能取得最优价值，则扩展右⼦树（即此 i 物品不放⼊，但是考虑后续的物品）。
在层数达到物品的个数时，停⽌继续扩展，开始回溯。
注：如何回溯呢？怎样得到的，怎样恢复。
放⼊背包中的重量取出，加在bagV上的价值减去。
约束条件：放⼊背包中物品的总质量⼩于等于背包容量限界条件：当前放⼊背包中物品的总价值（i及之前） + i 之后的物品总价值 < 已知的最优值这种情况下就没有必要再进⾏搜索数据结构：⽤⼀个变量记录当前放⼊背包的总价值 bagV（已扩展），⼀个变量记录后续物品的总价值 remainV（未扩展），当前已得到的⼀种最优值 bestV（全局情况），⼀个⽤0/1表⽰的数组bestArr[]记录哪些物品放⼊了背包。
核⼼结构：递归思路进⾏解决。
层层递归，递归到尽头，保留最优值，恢复递归中，层层回溯，即将原来加上去的重量与价值恢复。
# -*- coding:utf-8 -*-def Backtrack(t):global bestV, bagW, bagV,arr, bestArr, cntVif t > n: #某次深度优先搜索完成if bestV < bagV:for i in range(1, n+1):bestArr[i] = arr[i]bestV = bagVelse: #深度优先搜索未完成if bagW + listWV[t][0] <= w: #第t个物品可以放⼊到背包中，扩展左⼦树arr[t] = TruebagW += listWV[t][0]bagV += listWV[t][1]Backtrack(t+1)bagW -= listWV[t][0]bagV -= listWV[t][1]if cntV[t] + bagV > bestV: #有搜索下去的必要arr[t] = FalseBacktrack(t+1)if__name__ == '__main__':w = int(input()) #背包⼤⼩n = int(input()) #物品个数listWV = [[0,0]]listTemp = []sumW = 0sumV = 0for i in range(n):listTemp = list(map(int, input().split())) #借助临时list每次新增物品对应的list加⼊到listWV中sumW += listTemp[0]sumV += listTemp[1]listWV.append(listTemp) #依次输⼊每个物品的重量与价值bestV = 0bagW = 0bagV = 0remainV = sumVarr = [False for i in range(n+1)]bestArr = [False for i in range(n+1)]cntV = [0 for i in range(n+1)] #求得剩余物品的总价值,cnt[i]表⽰i+1~n的总价值 cntV[0] = sumVfor i in range(1, n+1):cntV[i] = cntV[i-1] - listWV[i][1]if sumW <= w:print(sumV)else:Backtrack(1)print(bestV)print(bestArr)print(cntV)检测：1052 65 34 52 43 617[False, True, False, True, False, True][24, 18, 15, 10, 6, 0]。
0-1背包问题的枚举算法
0-1背包问题的枚举算法一、问题概述0-1背包问题是一种经典的优化问题，给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价值，而你有一个限制容量的背包。
目标是在不超过背包容量的情况下，选择物品使得总价值最大化。
然而，在某些情况下，所有的物品都不能被放入背包中，这时就需要用到0-1背包问题的枚举算法。
二、算法原理枚举算法的基本思想是从所有可能的物品组合中逐个尝试，找出满足条件的组合。
对于0-1背包问题，我们可以枚举所有可能的物品组合，对于每个组合，计算其总价值和当前背包的剩余容量，如果总价值大于当前背包容量所能获得的最大价值，那么就将这个物品放入背包中，并更新背包剩余容量和总价值。
如果当前物品的价值小于或等于当前背包容量所能获得的最大价值，那么就将这个物品标记为0（表示已经考虑过），并继续尝试下一个物品。
最终得到的组合就是最优解。
三、算法实现以下是一个简单的Python实现：```pythondefknapsack_enumeration(items,capacity):#初始化结果列表和当前价值result=[]current_value=0#枚举所有可能的物品组合foriinrange(len(items)):#标记当前物品为0（已考虑过）items[i][1]=0#计算当前物品的价值并更新总价值forjinrange(len(items)):ifj<i:#不考虑之前的物品对当前物品的价值影响current_value+=items[j][1]*items[i][0]/capacityelse:#考虑之前的物品对当前物品的价值影响（假设不考虑前一个物品的重量）current_value+=items[j][0]*(capacity-items[i][0])/capacity#将当前物品从物品列表中移除（放入背包中）delitems[i]#将当前价值添加到结果列表中result.append(current_value)returnresult```四、应用场景枚举算法在许多实际应用中都有应用，如计算机科学、运筹学、工程学等。
回溯法解决01背包问题
回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的搜索算法。
它在包含问题的所有解的解空间树中按照深度优先的策略，从根节点出发搜索解空间树。
算法搜索至解空间树的任一节点时，总是先判断该节点是否肯定不包含问题的解。
如果肯定不包含，则跳过对以该节点为根的子树的系统搜索，逐层向其原先节点回溯。
否则，进入该子树，继续按深度优先的策略进行搜索。
运用回溯法解题通常包含以下三个步骤：∙针对所给问题，定义问题的解空间；∙确定易于搜索的解空间结构；∙以深度优先的方式搜索解空间，并且在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索；在0／1背包问题中，容量为M的背包装载。
从n个物品中选取装入背包的物品，物品i的重量为Wi，价值为Pi。
最佳装载指装入的物品价值最高，即∑PiXi(i=1..n)取最大值。
约束条件为∑WiXi ≤M且Xi∈[0,1](1≤i≤n)。
在这个表达式中，需求出Xi的值。
Xi=1表示物品i装入背包，Xi＝0表示物品i不装入背包。
∙即判断可行解的约束条件是：∑WiXi≤M（i=0..n），Wi>0,Xi∈[0,1](1≤i≤n)∙目标最大值：max∑PiXi（i=0..n-1）,Pi>0,Xi=0或1（0≤i<n）0/1背包问题是一个自己选取问题，适合于用子集树表示0／1背包问题的解空间。
在搜索解空间树时，只要左儿子节点是一个可行节点，搜索就进入左子树，在右子树中有可能包含最优解才进入右子树搜索，否则将右子树剪去。
程序分析：将物品个数，每个物品体积／价值输入，计算总物品体积S，输入背包体积V，如果V<0或者V>S则前置条件错误，即背包体积输入错误，否则顺序将物品放入背包。
假设放入前i件物品，背包没有装满，继续选取第i+1件物品，若该物品“太大”不能装入，则弃之继而选取下一件直到背包装满为止；如果剩余物品中找不到合适物品以填满背包，则说明“刚刚”装入的第i件物品不合适，应将i拿出，继续从i＋1及以后的物品中选取，如此重复，直到找到满足条件的解。
(原创精品)n=3时的0-1背包问题(回溯法)
用回溯法解决3种可选择物品的0-1背包问题当n=3时，其解空间是{（0,0,0）（0,1,0），（0,0,1），（1,0,0），（0,1,1），（1,0,1），（1,1,0），（1,1,1）}n=3时的0-1背包问题：w=[16,15,15]p=[45,25,25]c=30开始时，Cr=C=30，V=0，A为唯一活结点，也是当前扩展结点扩展A，先到达B结点Cr=Cr-w1=14，V=V+v1=45此时A、B为活结点，B成为当前扩展结点扩展B，先到达DCr<w2，D导致一个不可行解，回溯到B再扩展B到达EE可行，此时A、B、E是活结点，E成为新的扩展结点扩展E，先到达JCr<w3，J导致一个不可行解，回溯到E再次扩展E到达K由于K是叶结点，即得到一个可行解x=(1,0,0)，V=45K不可扩展，成为死结点，返回到EE没有可扩展结点，成为死结点，返回到BB没有可扩展结点，成为死结点，返回到AA再次成为扩展结点，扩展A到达CCr=30，V=0，活结点为A、C，C为当前扩展结点扩展C，先到达FCr=Cr-w2=15，V=V+v2=25，此时活结点为A、C、F，F成为当前扩展结点扩展F，先到达LCr=Cr-w3=0，V=V+v3=50L是叶结点，且50>45，皆得到一个可行解x=(0,1,1)，V=50L不可扩展，成为死结点，返回到F再扩展F到达MM是叶结点，且25<50，不是最优解M不可扩展，成为死结点，返回到FF没有可扩展结点，成为死结点，返回到C再扩展C到达GCr=30，V=0，活结点为A、C、G，G为当前扩展结点扩展G，先到达N，N是叶结点，且25<50，不是最优解，又N不可扩展，返回到G再扩展G到达O，O是叶结点，且0<50，不是最优解，又O不可扩展，返回到GG没有可扩展结点，成为死结点，返回到CC没有可扩展结点，成为死结点，返回到AA没有可扩展结点，成为死结点，算法结束，最优解X=(0,1,1)，最优值V=50。
0-1背包问题(回溯法)
0-1背包问题(回溯法)实验报告姓名：学号：指导老师：一．算法设计名称：0-1背包问题（回溯法）二.实验内容问题描述:给定n 种物品和一背包。
物品i 的重量是w i ，其价值为v i ，背包的容量为C 。
问应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?在选择装入背包的物品时，对每种物品i 只有两种选择，即装入背包或不装入背包。
不能将物品装入背包多次，也不能只装入部分的物品。
三.实验目的1.运用回溯思想，设计解决上述问题的算法，找出最大背包价值的装法。
2.掌握回溯法的应用四．算法设计：问题求解思路1.由0-1背包问题的最优子结构性质，建立计算m[i][j]的递归式如下：i i i w j w j j i m i v w j i m j i m j i m <≤≥⎩⎨⎧-+---=0],1[]}[],1[],,1[max{),(2.查找装入背包物品的回溯函数：从0-1二叉树的根开始搜索：若是叶子节点，则判断此时的价值是否比当前最优的价值大，否则将之替换，并获得最优解向量且返回；若不是叶子节点，则向左右子树搜索，先改变当前的数据状态，递归的调用自己，然后恢复数据状态表示回溯。
3.边界函数bound主要是当还未搜索到叶子节点时，提前判断其子树是否存可能存在更优的解空间，否则进行回溯，即裁剪掉子树的解空间。
关键数据结构及函数模块：（Backtrack.h ）#ifndef __BACKTRACK_H__#define __BACKTRACK_H__class BP_01_P{public:∑=ni i i x v 1max ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∈≤∑=n i x C x w i n i i i 1},1,0{1BP_01_P(int w,int n):m_Sum_weitht(0),m_Number(0) {m_Sum_weitht=w;m_Number=n;bestHav=0;bestVal=0;curVal=0;curHav=0;m_hav=new int[n];m_val=new int[n];temop=new int[n];option=new int[n];}~BP_01_P(){delete []m_hav;delete []m_val;delete []temop;delete []option;}void traceBack(int n);int bound(int n);void printBestSoulation();int *m_hav;//每个物品的重量int *m_val;//每个物品的价值int *temop;//01临时解int *option;//01最终解int bestHav;//最优价值时的最大重量int bestVal;//最优的价值int curVal;//当前的价值int curHav;//当前的重量private:int m_Sum_weitht;//背包的总容量int m_Number;//物品的种类};#endif __BACKTRACK_H__五：主要的算法代码实现：（Backtrack.cpp）边界函数：bound( )int BP_01_P::bound(int n){int hav_left=m_Sum_weitht-curHav;int bo=curVal;while(n<m_Number && m_hav[n]<=hav_left){hav_left-=m_hav[n];bo+=m_val[n];n++;}if(n<m_Number){bo+=m_val[n]*hav_left/m_hav[n];//bo+=hav_left;}return bo;}回溯递归函数：traceBack( )void BP_01_P::traceBack(int n){if(n>=m_Number){if(curVal>=bestVal){bestVal=curVal;for(int i=0;i<n;i++){option[i]=temop[i];}return ;}}if(curHav+m_hav[n]<=m_Sum_weitht)//向左子树搜索 {curHav=curHav+m_hav[n];curVal=curVal+m_val[n];temop[n]=1;//标记要选择这个物品traceBack(n+1);curHav=curHav-m_hav[n];curVal=curVal-m_val[n];}if(bound(n+1)>bestVal)//向右子树搜索{temop[n]=0;//标记要丢弃这个物品traceBack(n+1);}}主控函数：(main.cpp)#include <iostream>#include "Backtrack.h"using namespace std;int main(){int number,weigth;cout<<"包的总容量:";cin>>weigth;cout<<"物品的种类:";cin>>number;BP_01_P *ptr=new BP_01_P(weigth,number);cout<<"各种物品的重量:"<<endl;for(int i=0;i<number;i++)cin>>ptr->m_hav[i];cout<<"各种物品的价值:"<<endl;for(i=0;i<number;i++)cin>>ptr->m_val[i];ptr->traceBack(0);ptr->printBestSoulation();cout<<"总重量:"<<ptr->bestHav<<"\t总价值:"<<ptr->bestVal<<endl;return 0;}六：算法分析采用回溯法解决0-1背包问题，明显比动态规划法更优良。
分别用回溯法和分支限界法求解0-1背包问题
华北水利水电学院数据结构与算法分析实验报告2009 ～2010 学年第 1 学期2009 级计算机专业班级：200915326 学号：200915326 姓名：郜莉洁一、实验题目：分别用回溯法和分支限界法求解0-1背包问题二、实验内容：0-1背包问题：给定n种物品和一个背包。
物品i的重量是Wi，其价值为Vi，背包的容量为C。
应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?在选择装入背包的物品时，对每种物品i只有2种选择，即装入背包或不装入背包。
不能将物品i装入背包多次，也不能只装入部分的物品i。
三、程序源代码：A:回溯法：// bag1.cpp : Defines the entry point for the console application.//#include "stdafx.h"#include <iostream.h>#define MaxSize 100 //最多物品数int limitw; //限制的总重量int maxwv=0; //存放最优解的总价值int maxw;int n; //实际物品数int option[MaxSize]; // 存放最终解int op[MaxSize]; //存放临时解struct {int weight;int value;}a[MaxSize]; //存放物品数组void Knap( int i, int tw, int tv) //考虑第i个物品{int j;if(i>=n) //找到一个叶子结点{if (tw<=limitw && tv>maxwv) //找到一个满足条件地更优解，保存它{maxwv=tv; maxw=tw;for(j=0;j<n;j++) option[j]=op[j];}}else{op[i]=1; //选取第I个物品Knap(i+1,tw+a[i].weight, tv+a[i].value);op[i]=0; //不选取第I个物品，回溯Knap(i+1,tw,tv);}}int main(int argc, char* argv[]){int j;n=3; //3物品a[0].weight=16;a[0].value=45;a[1].weight=15;a[1].value=25;a[2].weight=15;a[2].value=25;//a[3].weight=1;a[3].value=1;limitw=30; //限制重量不超过30 Knap(0,0,0);cout<<"最佳装填方案是："<<endl;for(j=0;j<n;j++)if(option[j]==1)cout<<"第"<<j+1<<"种物品"<<endl;cout<<"总重量＝"<<maxw<<",总价值＝"<<maxwv<<endl;return 0;}回溯法测试结果：测试数据：物品一：重量：16，价格：45；物品二：重量：15，价格：25；物品三：重量：15，价格：25；B：分支限界法：#include <stdio.h>#include<malloc.h>#define MaxSize 100 //最多结点数typedef struct QNode{float weight;float value;int ceng;struct QNode *parent;bool leftChild;}QNode,*qnode; //存放每个结点typedef struct{qnode Q[MaxSize];int front,rear;}SqQueue; //存放结点的队列SqQueue sq;float bestv=0; //最优解int n=0; //实际物品数float w[MaxSize]; //物品的重量float v[MaxSize]; //物品的价值int bestx[MaxSize]; // 存放最优解qnode bestE;void InitQueue(SqQueue &sq ) //队列初始化{sq.front=1;sq.rear=1;}bool QueueEmpty(SqQueue sq) //队列是否为空if(sq.front==sq.rear)return true;elsereturn false;}void EnQueue(SqQueue &sq,qnode b)//入队{if(sq.front==(sq.rear+1)%MaxSize){printf("队列已满!");return ;}sq.Q[sq.rear]=b;sq.rear=(sq.rear+1)%MaxSize;}qnode DeQueue(SqQueue &sq)//出队{qnode e;if(sq.front==sq.rear){printf("队列已空!");return 0;}e=sq.Q[sq.front];sq.front=(sq.front+1)%MaxSize;return e;}void EnQueue1(float wt,float vt, int i ,QNode *parent, bool leftchild)qnode b;if (i==n) //可行叶子结点{if (vt==bestv){bestE=parent;bestx[n]=(leftchild)?1:0;}return;}b=(qnode)malloc(sizeof(QNode)); //非叶子结点b->weight=wt;b->value=vt;b->ceng=i;b->parent=parent;b->leftChild=leftchild;EnQueue(sq,b);}void maxLoading(float w[],float v[],int c){float wt=0;float vt=0;int i=1; //当前的扩展结点所在的层float ew=0; //扩展节点所相应的当前载重量float ev=0; //扩展结点所相应的价值qnode e=NULL;qnode t=NULL;InitQueue(sq);EnQueue(sq,t); //空标志进队列while (!QueueEmpty(sq)){wt=ew+w[i];vt=ev+v[i];if (wt <= c){if(vt>bestv)bestv=vt;EnQueue1(wt,vt,i,e,true); // 左儿子结点进队列}EnQueue1(ew,ev,i,e,false); //右儿子总是可行；e=DeQueue(sq); // 取下一扩展结点if (e == NULL){if (QueueEmpty(sq)) break;EnQueue(sq,NULL); // 同层结点尾部标志e=DeQueue(sq); // 取下一扩展结点i++;}ew=e->weight; //更新当前扩展结点的值ev=e->value;}printf("最优取法为：\n");for( int j=n-1;j>0;j--) //构造最优解{bestx[j]=(bestE->leftChild?1:0);bestE=bestE->parent;}for(int k=1;k<=n;k++){if(bestx[k]==1)printf("\n物品%d:重量：%.1f，价值：%.1f\n",k,w[k],v[k]);}printf("\n");printf("最优价值为：%.1f\n\n",bestv);}void main(){int c;float ewv[MaxSize];printf(" //////////////////// 0-1背包问题分枝限界法/////////////////////\n\n");printf("请输入物品的数量：\n");scanf("%d",&n);printf("请输入背包的最大承重量：\n");scanf("%d",&c);printf("\n请输入物品的重量和单位重量价值:\n\n");for(int i=1;i<=n;i++){printf("物品%d:",i);scanf("%f%f",&w[i],&ewv[i]);v[i]=w[i]*ewv[i];printf("\n");}maxLoading(w, v, c);}分支限界法测试结果：五、小结（包括收获、心得体会、存在的问题及解决问题的方法、建议等）注：内容一律使用宋体五号字，单倍行间距，不得少于100字。
0-1背包问题的递归方法
0-1背包问题的递归方法0-1背包问题是一个经典的动态规划问题，可以使用递归方法求解。
定义一个函数`knapsack(weights, values, capacity, n)`，其中`weights`和`values`分别代表物品的重量和价值，`capacity`代表背包的容量，`n`代表当前考虑的物品个数。
递归的思路是对于每个物品，有两种选择：放入背包中或者不放入背包中。
1. 如果第`n`个物品的重量大于背包的容量`capacity`，则不放入背包中，返回`0`；2. 否则，有两种选择：- 选择放入第`n`个物品，则总价值为第`n`个物品的价值加上考虑前`n-1`个物品，背包容量减去第`n`个物品重量的最优解； - 不放入第`n`个物品，则总价值为考虑前`n-1`个物品，背包容量不变的最优解。
代码如下所示：```pythondef knapsack(weights, values, capacity, n):if n == 0 or capacity == 0:return 0if weights[n-1] > capacity:return knapsack(weights, values, capacity, n-1)else:return max(values[n-1] + knapsack(weights, values, capacity-weights[n-1], n-1),knapsack(weights, values, capacity, n-1))```可以通过调用`knapsack`函数来求解0-1背包问题，如下所示：```pythonweights = [2, 3, 4, 5]values = [3, 4, 5, 6]capacity = 5n = len(weights)result = knapsack(weights, values, capacity, n)print(result)```以上代码会输出最优解的总价值。
01背包问题回溯法c语言
01背包问题回溯法c语言背包问题是一个很经典的动态规划问题，其中最常见的一种形式就是 01 背包问题。
在该问题中，给定一组物品的重量和价值，以及一个背包的容量限制，要求选择一些物品，使得在不超过背包容量的前提下，背包中物品的总价值最大。
这里我们将讨论如何使用回溯法解决01 背包问题，使用C 语言进行编程实现。
首先，我们需要定义问题的数据结构。
我们可以使用一个数组来表示不同物品的重量和价值，背包的容量可以通过一个常量来表示。
```c#define N 5 // 物品的个数#define MAX_WEIGHT 10 // 背包的容量int weights[N] = {2, 3, 4, 5, 9}; // 物品的重量int values[N] = {3, 4, 5, 8, 10}; // 物品的价值int bestValue = 0; // 最优解的价值int bestSelection[N]; // 最优解中物品的选择情况```接下来，我们可以定义一个递归函数来实现回溯法。
该函数将遍历所有可能的物品选择情况，并更新当前的最优解。
```cvoid backtrack(int depth, int weight, int value, int selection[]) {if (depth == N) {if (weight <= MAX_WEIGHT && value > bestValue) {bestValue = value;for (int i = 0; i < N; i++) {bestSelection[i] = selection[i];}}return;}// 不选择当前物品selection[depth] = 0;backtrack(depth + 1, weight, value, selection);// 选择当前物品selection[depth] = 1;backtrack(depth + 1, weight + weights[depth], value + values[depth], selection); }```最后，我们可以在主函数中调用回溯函数，得到最优解。
回溯法解背包问题实验报告
实验4回溯法解0-1背包问题一、实验要求1．要求用回溯法求解0-1背包问题；2．要求交互输入背包容量，物品重量数组，物品价值数组；3．要求显示结果。
二、实验仪器和软件平台仪器：带usb接口微机软件平台：WIN-XP + VC++6.0三、实验源码#include "stdafx.h"#include<iostream>#include<cstdio>#include<conio.h>#include<iomanip>using namespace std;template<class ty>class Knap{public:friend void Init();friend void Knapsack();friend void Backtrack(int i);friend float Bound(int i);bool operator<(Knap<ty> a)const{if(fl<a.fl) return true;else return false;}private:ty w; //重量ty v; //价值float fl; //单位重量的价值v/wint kk; //记录第几个物品int flag; //记录是否放入包中};template<class ty>void Sort(Knap<ty> *li,int n){int i,j,k; Knap<ty> minl;for(i=1;i<n;i++){minl=li[0]; k=0;for(j=1;j<=n-i;j++){if(minl<li[j]){minl=li[j]; swap(li[j],li[k]); k=j;}}}}namespace jie //命名空间{int c=0,n=0;int *x=NULL;Knap<int> *bag=NULL;int cp=0,cw=0;int bestp=0;}using namespace jie;void Init(){int i=0;cout<<endl;cout<<"请输入物品数量n = ";cin>>n; cout<<endl;cout<<"请输入背包容量C = ";cin>>c; cout<<endl;bag=new Knap<int> [n];x=new int[n];cout<<"请依次输入"<<n<<"个物品的重量W:"<<endl;for(i=0;i<n;i++)cin>>bag[i].w;cout<<endl;cout<<"请依次输入"<<n<<"个物品的价值P:"<<endl;for(i=0;i<n;i++)cin>>bag[i].v;for(i=0;i<n;i++){bag[i].flag=0; bag[i].kk=i;bag[i].fl=1.0*bag[i].v/bag[i].w;}}void Backtrack(int i){if(i>=n) //到达叶节点{bestp=cp; //更新最优价值return;}if(cw+bag[i].w<=c) //进入左子树{bag[i].flag=1; cw+=bag[i].w;cp+=bag[i].v; Backtrack(i+1);cw-=bag[i].w; cp-=bag[i].v;}if(Bound(i+1)>bestp)//进入右子树{bag[i].flag=0; Backtrack(i+1);}}//计算当前节点处的上界float Bound(int i){int cleft = c-cw; //剩余容量float b = cp;while (i<n&&bag[i].w<=cleft){//以物品单位重量价值递减序装入cleft-=bag[i].w ;b+=bag[i].v;i++;}//装满背包if (i<n) b+=1.0*bag[i].v/bag[i].w * cleft;return b;}void Knapsack() //计算最优解和变量值{int L(0); //用L累计价值，初始价值设置为0for(int k=0;k<n;k++){x[bag[k].kk]=bag[k].flag; //x=0表示未放入背包，x=1表示放入背包L+=bag[k].flag*bag[k].v; //价值累加}cout<<endl;cout<<"当前最优价值为:"<<L<<endl;cout<<"变量值x = ";for(int i=1;i<=n;i++){cout<<x[i-1];}delete []bag; bag=NULL;delete []x; x=NULL;cout<<endl; getch();}int main(){cout<<endl;cout<<"|**********回溯法解0-1背包问题**********|"<<endl;Init();Backtrack(0);Knapsack();return 0;}四、运行结果五、实验小结通过该实验，我充分了解了回溯法与分支界限法的区别。
背包问题的各种求解方法
背包问题的各种求解⽅法⼀、“0-1背包”问题描述： 给定n中物品，物品i的重量是w i，其价值为v i，背包的容量为c.问应如何选择装⼊背包中的物品，使得装⼊背包中的物品的总价值最⼤？形式化描述：给定c>0,w i>0,v i>0,1≤i≤n，要求找⼀个n元0-1向量（x1,x2,...,x n)，x i∈{0,1}，1≤i≤n，使得∑w i x i≤c，⽽且∑v i x i达到最⼤。
因此0-1背包问题是⼀个特殊的整形规划问题：max ∑v i x is.t ∑w i x i≤cx i∈{0,1}，1≤i≤n⼆、动态规划求解（两种⽅法，顺序或逆序法求解） 1.最优⼦结构性质 1.1 简要描述 顺序：将背包物品依次从1,2,...n编号，令i是容量为c共有n个物品的0-1背包问题最优解S的最⾼编号。
则S'=S-{i}⼀定是容量为c-w i且有1,...,i-1项物品的最优解。
如若不是，领S''为⼦问题最优解，则V(S''+{i})>V(S'+{i})，⽭盾。
这⾥V(S)=V(S')+v i.逆序：令i是相应问题最优解的最低编号，类似可得。
1.2 数学形式化语⾔形式化的最优⼦结构 顺序（从前往后）：设(y1,y2,...,y n)是所给问题的⼀个最优解。
则(y1,...,y n-1)是下⾯相应⼦问题的⼀个最优解： max ∑v i x is.t ∑w i x i≤cx i∈{0,1}，1≤i≤n-1如若不然，设(z1,...,z n-1)是上述⼦问题的⼀个最优解，⽽(y1,...,y n-1)不是它的最优解。
由此可知，∑v i z i>∑v i y i,且∑v i z i+w n y n≤c。
因此∑v i y i+v n y n>∑v i y i(前⼀个范围是1~n-1，后⼀个是1~n) ∑v i z i+w n y n≤c这说明(z1,z2,...,y n)是⼀个所给问题的更优解，从⽽(y1,y2,...,y n)不是问题的所给问题的最优解，⽭盾。
回溯法解决01背包问题算法
回溯法解决01背包问题算法回溯法是一种常见的解决0-1背包问题的算法。
以下是使用Python编写的基于回溯法的0-1背包问题的解决方案：```pythondef knapsack(weights, values, capacity):n = len(weights)dp = [[0 for _ in range(capacity + 1)] for _ in range(n + 1)]for i in range(1, n + 1):for w in range(1, capacity + 1):if weights[i - 1] <= w:dp[i][w] = max(dp[i - 1][w], dp[i - 1][w - weights[i - 1]] + values[i - 1])else:dp[i][w] = dp[i - 1][w]return dp[n][capacity]def backtrack(weights, values, capacity, i, w):if i == 0 or w == 0:returnif weights[i - 1] <= w:backtrack(weights, values, capacity, i - 1, w - weights[i - 1])print(f"Pick {values[i - 1]} with weight {weights[i - 1]}")backtrack(weights, values, capacity, i - 1, w)else:backtrack(weights, values, capacity, i - 1, w)def knapsack_backtrack(weights, values, capacity):backtrack(weights, values, capacity, len(weights), capacity)```在这个代码中，`knapsack`函数使用动态规划方法来解决问题，而`backtrack`函数使用回溯法。
回溯法求0-1背包问题
学号:日期:《算法设计与分析》实验报告姓名:得分：____________、实验内容:用回溯法求解0/1背包问题注：给定n种物品和一个容量为C的背包，物品i的重量是W i，其价值为V i，背包问题是如何使选择装入背包内的物品，使得装入背包中的物品的总价值最大。
其中，每种物品只有全部装入背包或不装入背包两种选择。
、所用算法的基本思想及复杂度分析：1. 回溯法求解背包问题：1)基本思想：回溯法：为了避免生成那些不可能产生最佳解的问题状态，要不断地利用限界函数(bounding function) 来处死那些实际上不可能产生所需解的活结点，以减少问题的计算量。
这种具有限界函数的深度优先生成法称为回溯法。
对于有n种可选物品的0/1背包问题，其解空间由长度为n的0-1 向量组成，可用子集数表示。
在搜索解空间树时，只要其左儿子结点是一个可行结点，搜索就进入左子树。
当右子树中有可能包含最优解时就进入右子树搜索。
2)复杂度分析：回溯法求解0/1背包问题的时间复杂度为：T(n) 0(2n)。
空间复杂度：有n个物品，即最多递归n层，存储物品信息就是一个一维数组，即回溯法求解0/1背包问题的空间复杂度为0(n) o2. 以动态规划法验证：1)基本思想：令V(i,j)表示在前i(1 i n)个物品中能够装入容量为j(1 j C) 的背包中的物品的最大值，则可以得到如下动态函数：V(i,0) V(0,j) 0V(i,j)V(i 1,j)(j W i)maxV(i 1, j),V(i 1, j wj y (j wj按照下述方法来划分阶段：第一阶段，只装入前1 个物品，确定在各种情况下的背包能够得到的最大价值；第二阶段，只装入前2 个物品，确定在各种情况下的背包能够得到的最大价值；以此类推，直到第n 个阶段。
最后，V n,C)便是在容量为C的背包中装入n个物品时取得的最大价值。
2)复杂度分析：动态规划法求解0/1 背包问题的时间复杂度为：T(n) O(n C) 。
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1、实验目的
（1）掌握回溯法设计策略。
（2）通过0-1背包问学习回溯法法设计技巧2.实验内容
源程序：
#include<iostream>
using namespace std;
double c;//背包容量
int n; //物品数
double w[100];//物品重量数组
double p[100];//物品价值数组
double cw=0;//当前重量
double cp=0;//当前价值
double bestp=0;//当前最优值
double bound(int i)
{ double cleft,b;
//计算上界
cleft=c-cw;//剩余容量
b=cp;
//以物品单位重量价值递减序装入物品
while(i<=n&&w[i]<=cleft)
{
cleft-=w[i];
b+=p[i];
i++;
}
//装满背包
if(i<=n)
b+=p[i]*cleft/w[i];
return b;
}
void Backtrack(int i)
{
if(i>n)
{
if(cp>bestp)
bestp=cp;
return;
}
if(cw+w[i]<=c) //搜索左子树
{
cw+=w[i];
cp+=p[i];
Backtrack(i+1);
cp-=p[i];
cw-=w[i];
}
if(bound(i+1)>bestp)//搜索右子树
Backtrack(i+1);
}
double Knapsack (double pp[],double ww[],double d) {
int i;
double TP=0,TW=0;
cw=0.0;cp=0.0;bestp=0.0;//计算所有物品的重量及价值
for(i=1;i<=n;i++)
{
TP=TP+pp[i];
TW=TW+ww[i];
}
if(TW<=d)//所有物品装入背包
bestp=TP;
else
{
Backtrack(1);
}
return bestp;
};
int main()
{
int i,j;
double t,a,x[100];
cout<<"请输入物品种类数和最大载重量："<<endl;
cin>>n;cin>>c;
cout<<"请输入各物品重量："<<endl;
for(i=1;i<=n;i++)
cin>>w[i];
cout<<"请输入各物品价值："<<endl;
for(i=1;i<=n;i++)
cin>>p[i];
//排序
for(i=1;i<=n;i++)
x[i]=p[i]/w[i];
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=i+1;j<=n;j++)
if(x[i]<x[j])
{
t=x[i];
x[i]=x[j];
x[j]=t;
a=p[i];
p[i]=p[j];
p[j]=a;
a=w[i];
w[i]=w[j];
w[j]=a;
}
//排序结束
/////////////////////////////
Knapsack(p,w,c);
cout<<"结果："<<endl;
cout<<bestp<<endl;
return 0;
}
结果：。