回溯算法——0-1背包问题

实验目的是使学生消化理论知识，加深对讲授内容的理解，尤其是一些算法的实现及其应用，培养学生独立编程和调试程序的能力，使学生对算法的分析与设计有更深刻的认识。

上机实验一般应包括以下几个步骤：

（1）、准备好上机所需的程序。手编程序应书写整齐，并经人工检查无误后才能上机。

（2）、上机输入和调试自己所编的程序。一人一组，独立上机调试，上机时出现的问题，最好独立解决。

（3）、上机结束后，整理出实验报告。实验报告应包括：题目、程序清单、运行结果、对运行情况所作的分析。

实验八 回溯算法——0-1背包问题

一、实验目的与要求

1. 熟悉0-1背包问题的回溯算法。

2. 掌握回溯算法。

二、实验内容

用回溯算法求解下列“0-1背包”问题：

给定n 种物品和一个背包。物品i 的重量是w i ，其价值为v i ，背包的容量为C 。问应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?

三、实验步骤

1. 理解算法思想和问题要求；

2. 编程实现题目要求；

3. 上机输入和调试自己所编的程序；

4. 验证分析实验结果；

5. 整理出实验报告。

实验提示：

（1）回溯算法求解0-1背包问题分析

回溯法通过系统地搜索一个问题的解空间来得到问题的解。为了实现回溯，首先需要针对所给问题，定义其解空间。这个解空间必须至少包含问题的一个解（可能是最优的）。 然后组织解空间。确定易于搜索的解空间结构。典型的组织方法是图或树。一旦定义了解空间的组织方法，即可按照深度优先策略从开始结点出发搜索解空间。并在搜索过程中利用约束函数在扩展结点处剪去不满足约束的子树，用目标函数剪去得不到最优解的子树，避免无效搜索。用回溯法解题的步骤：

1）针对所给问题定义问题的解空间；

2）确定易于搜索的解空间结构；

3）以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效的搜索。

0-1背包问题的数学描述为：n 个物品，物品i 的重量是w i 、其价值为v i ，其中0≤i ≤n-1，背包的容量为C 。用x i 表示物品i 被装入背包的情况，如果物品Pi 被选中，则x i =1；否则x i =0。求满足目标函数∑-=⨯=10max n i i i v x

F 和约束方程C w x n i i i ≤⨯∑-=1

0的物品组合（x 0，x 1，x 2，…，x n-1) 与相应的总价值V 。

1）针对所给问题定义问题的解空间。

根据上述0-1背包问题的数学描述，解向量可以表示成X={ x0，x1，x2，…，x n-1) | x i=1或x i=0} 。若n = 3 ，则此0-1背包问题的解空间为{(0，0，0)，(0，0，1) ，(0，1，0)，(0，1，1)，(1，0，0)，(1，0，1)，(1，1，0)，(1，1，1)}。

2）确定易于搜索的解空间结构。

可以用树的形式将解空间表达出来。树中从第i层到第i+1层的边上的值表示解向量中x i的取值，并假定第i层的左子树描述物品Pi被装入背包的情况，右子树描述物品Pi被拒绝的情况。则该0-1背包问题的状态空间树就表示为一棵高度为n的完全二叉树（如图l所示) 。从根结点到叶子结点的任一路径就对应解空间中的一个解向量。

3）以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效的搜索。

构造出问题的状态空间树以后，就可以从其根结点出发搜索解空间，即决定每个物品的取舍。为了使目标函数的值增加最快，可以优先选择价值最大的物品装入背包，然后是价值量次之的物品，……，直至背包装不下为止。但是，如果所选择的物品重量很大，使得背包载重量消耗速度太快，以至后续能装入背包的物品迅速减少，使得继续装入背包的物品在满足了约束方程的要求以后，无法达到目标函数的要求。因此，最好优先选择那些既使目标函数的值增加最快。又能使背包载重量消耗速度较慢的物品装入背包。为了达到这个目的，首先把所有物品按价值重量比的非增顺序排列，然后按照这个顺序进行搜索。在装包过程中，要尽量优先选择价值重量比较高的物品装入背包。表现在搜索过程中，就是要尽量沿着左子树结点前进。当不能继续前进时（假设该结点为T），就得到问题的一个部分解，并把搜索转移到右子树。估计由该部分解所能得到的最大价值，即结点T的上限。可以用贪婪算法处理剩余物品：将按照价值重量比非增顺序排列的剩余物品依次装入背包，至无法完全装入下一个物品时，就将该物品的一部分装满背包。这样就可以得到一个上限。如果该值为当前最优值：继续由右子树向下搜索，扩大部分解，直至找到可行解；保存可行解，并把可行解的值作为当前最优值，向上回溯，寻找其他可行解；若该值小于当前最优值：丢弃当前正在搜索的部分解，向上回溯。反复使用此方法，直至搜索完整个解空间。

（2）回溯算法求解0-1背包问题示例：

给定8种物品和一个背包。8种物品的重量和价值分别为（79，83）、（58，14）、（86，54）、（11，79）、（28，72）、（62，52）、（15，48）、（68，62），背包的容量为200。问应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?

一种可能的解决方案是（红色字体强调突出的物品）：（79，83）、（58，14）、（86，54）、

（11，79）、（28，72）、（62，52）、（15，48）、（68，62）；装入背包中的物品的总价值为334。

（3）回溯算法求解0-1背包问题的源代码（供参考）

算法步骤如下：

1）按价值重量比的非增顺序排列物品。

2）初始化：当前背包重量tempW为0，当前背包中物品总价值tempV为0，当前搜索深度i为0，当前解向量为x[i]=0，当前最优值maxV为0。

3）调用限界函数。

4）如果返回的上限大于当前最优值maxV，从物品Pi开始把物品装入背包，直至没有物品可装或装不下物品Pk为止，并生成部分解，转步骤5）；否则，转步骤6）。

5）如果k大于或等于物品总数量n，则得到一个可行解，并把该可行解的值作为当前最优值，令i=n，转步骤3），以便回溯搜索其他可行解；否则，令i=k+l，拒绝物品k，从物品k+l继续装入，转步骤3）。

6）当k≥0且x[k]=0时，令k=k-1，直至条件不成立。即沿着右分支结点方向向上回溯，直至左分支结点。

7）如果k<0，算法结束；否则，转步骤8）。

8）令x[k]=0，tempW=tempW-w[k]，tempV=tempV-v[k]，i=k+l，转步骤3）。

/*回溯法解0-1背包问题*/

#define N 8// 物品个数

#define C 200 //容积

int result[N]; //存储结果：0表示不在集合内，1表示在集合内

int tempR[N]; //当前结果

int w[N]; //重量

int v[N]; //价值

int tempV = 0; //当前价值

int maxV = 0 ; //最大价值

int tempW = 0 ; //当前的容量

void traceBack(int i )

{

if(i>=N){

if(tempV>maxV){

maxV = tempV;

int j = 0;

for(j=0;j

result[j] = tempR[j];

}

}

return;

} //边界情况考虑