算法分析与程序设计动态规划及回溯法解背包问题
动态规划与回溯法解决0-1背包问题
0-1背包动态规划解决问题一、问题描述：有n个物品，它们有各自的重量和价值，现有给定容量的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？二、总体思路：根据动态规划解题步骤（问题抽象化、建立模型、寻找约束条件、判断是否满足最优性原理、找大问题与小问题的递推关系式、填表、寻找解组成）找出01背包问题的最优解以及解组成，然后编写代码实现。
原理：动态规划与分治法类似，都是把大问题拆分成小问题，通过寻找大问题与小问题的递推关系，解决一个个小问题，最终达到解决原问题的效果。
但不同的是，分治法在子问题和子子问题等上被重复计算了很多次，而动态规划则具有记忆性，通过填写表把所有已经解决的子问题答案纪录下来，在新问题里需要用到的子问题可以直接提取，避免了重复计算，从而节约了时间，所以在问题满足最优性原理之后，用动态规划解决问题的核心就在于填表，表填写完毕，最优解也就找到。
过程：a) 把背包问题抽象化（X1，X2，…，Xn，其中 Xi 取0或1，表示第i 个物品选或不选），V i表示第i 个物品的价值，W i表示第i 个物品的体积（重量）；b) 建立模型，即求max(V1X1+V2X2+…+VnXn)；c) 约束条件，W1X1+W2X2+…+WnXn<capacity；d) 定义V(i,j)：当前背包容量j，前i 个物品最佳组合对应的价值；e) 最优性原理是动态规划的基础，最优性原理是指“多阶段决策过程的最优决策序列具有这样的性质：不论初始状态和初始决策如何，对于前面决策所造成的某一状态而言，其后各阶段的决策序列必须构成最优策略”。
判断该问题是否满足最优性原理，采用反证法证明：假设(X1，X2，…，Xn)是01背包问题的最优解，则有(X2，X3，…，Xn)是其子问题的最优解，假设(Y2，Y3，…，Yn)是上述问题的子问题最优解，则理应有(V2Y2+V3Y3+…+V n Yn)+V1X1 > (V2X2+V3X3+…+VnXn)+V1X1；而(V2X2+V3X3+…+VnXn)+V1X1=(V1X1+V2X2+…+VnXn)，则有(V2Y2+V3Y3+…+VnYn)+V1X1 > (V1X1+V2X2+…+VnXn)；该式子说明(X1，Y2，Y3，…，Yn)才是该01背包问题的最优解，这与最开始的假设(X1，X2，…，Xn)是01背包问题的最优解相矛盾，故01背包问题满足最优性原理；f) 寻找递推关系式，面对当前商品有两种可能性：第一，包的容量比该商品体积小，装不下，此时的价值与前i-1个的价值是一样的，即V(i,j)=V(i-1,j)；第二，还有足够的容量可以装该商品，但装了也不一定达到当前最优价值，所以在装与不装之间选择最优的一个，即V(i,j)=max｛V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i) ｝其中V(i-1,j)表示不装，V(i-1,j-w(i))+v(i) 表示装了第i个商品，背包容量减少w(i)但价值增加了v(i)；由此可以得出递推关系式：1) j<w(i) V(i,j)=V(i-1,j)2) j>=w(i) V(i,j)=max｛ V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i) ｝number＝4，capacity＝7四、构造最优解：最优解的构造可根据C列的数据来构造最优解，构造时从第一个物品开始。
背包问题回溯法
背包问题回溯法背包问题回溯法是一种用于解决背包问题的算法。
背包问题是一个经典的组合优化问题，在许多领域都有广泛的应用。
它的基本形式是在给定一组物品和一个容量为C的背包的情况下，选择将哪些物品放入背包中，以使得放入背包中物品的总价值最大。
回溯法是一种通过搜索所有可能的解空间来求解问题的算法。
在背包问题中，回溯法通过递归地尝试将物品放入背包或不放入背包来寻找最优解。
具体而言，回溯法从问题的初始状态开始，根据问题的约束条件和目标函数的要求，逐步生成问题的解空间，并通过剪枝策略来减少搜索空间的规模，直到找到问题的最优解或无解。
在使用回溯法解决背包问题时，需要定义一个递归函数来实现搜索过程。
该函数的输入参数包括当前已选择的物品、当前已选择物品的总价值、当前已选择物品的总重量、剩余物品的可选范围、剩余背包容量等等。
在函数的实现中，首先需要判断当前选择的物品是否满足约束条件，如果满足则继续递归地对剩余的物品进行选择；如果不满足，则进行剪枝操作，即回溯到上一层递归函数继续搜索其他可能的解。
当递归函数搜索完所有可能的解空间时，返回问题的最优解或无解。
背包问题回溯法的关键是如何定义约束条件和剪枝策略。
在背包问题中，约束条件包括物品的重量不能超过背包的容量，物品的总价值不能超过已选择的物品的总价值。
而剪枝策略可以根据问题的具体情况来进行设计，例如可以根据当前已选择物品的总价值和剩余物品的可选范围来进行剪枝，减少搜索空间的规模，提高算法的效率。
背包问题回溯法的时间复杂度取决于问题的规模和剪枝策略的设计。
由于回溯法需要搜索所有可能的解空间，所以在最坏情况下，时间复杂度为指数级别。
为了提高算法的效率，可以引入一些优化技巧，例如动态规划和贪心策略，来减少搜索空间的规模并加速算法的执行速度。
总之，背包问题回溯法是一种用于解决背包问题的经典算法。
通过搜索所有可能的解空间，并根据约束条件和剪枝策略来寻找最优解，可以求解出背包问题的最优解或无解。
回溯法解决0-1背包问题
回溯法解决0-1背包问题问题描述： 有n件物品和⼀个容量为c的背包。
第i件物品的价值是v[i]，重量是w[i]。
求解将哪些物品装⼊背包可使价值总和最⼤。
所谓01背包，表⽰每⼀个物品只有⼀个，要么装⼊，要么不装⼊。
回溯法： 01背包属于找最优解问题，⽤回溯法需要构造解的⼦集树。
在搜索状态空间树时，只要左⼦节点是可⼀个可⾏结点，搜索就进⼊其左⼦树。
对于右⼦树时，先计算上界函数，以判断是否将其减去，剪枝啦啦！上界函数bound():当前价值cw+剩余容量可容纳的最⼤价值<=当前最优价值bestp。
为了更好地计算和运⽤上界函数剪枝，选择先将物品按照其单位重量价值从⼤到⼩排序，此后就按照顺序考虑各个物品。
#include <stdio.h>#include <conio.h>int n;//物品数量double c;//背包容量double v[100];//各个物品的价值double w[100];//各个物品的重量double cw = 0.0;//当前背包重量double cp = 0.0;//当前背包中物品价值double bestp = 0.0;//当前最优价值double perp[100];//单位物品价值排序后int order[100];//物品编号int put[100];//设置是否装⼊//按单位价值排序void knapsack(){int i,j;int temporder = 0;double temp = 0.0;for(i=1;i<=n;i++)perp[i]=v[i]/w[i];for(i=1;i<=n-1;i++){for(j=i+1;j<=n;j++)if(perp[i]<perp[j])//冒泡排序perp[],order[],sortv[],sortw[]{temp = perp[i];perp[i]=perp[i];perp[j]=temp;temporder=order[i];order[i]=order[j];order[j]=temporder;temp = v[i];v[i]=v[j];v[j]=temp;temp=w[i];w[i]=w[j];w[j]=temp;}}}//回溯函数void backtrack(int i){double bound(int i);if(i>n){bestp = cp;return;}if(cw+w[i]<=c){cw+=w[i];cp+=v[i];put[i]=1;backtrack(i+1);cw-=w[i];cp-=v[i];}if(bound(i+1)>bestp)//符合条件搜索右⼦数backtrack(i+1);}//计算上界函数double bound(int i){double leftw= c-cw;double b = cp;while(i<=n&&w[i]<=leftw){leftw-=w[i];b+=v[i];i++;}if(i<=n)b+=v[i]/w[i]*leftw;return b;}int main(){int i;printf("请输⼊物品的数量和容量：");scanf("%d %lf",&n,&c);printf("请输⼊物品的重量和价值：");for(i=1;i<=n;i++){printf("第%d个物品的重量：",i);scanf("%lf",&w[i]);printf("价值是：");scanf("%lf",&v[i]);order[i]=i;}knapsack();backtrack(1);printf("最有价值为：%lf\n",bestp);printf("需要装⼊的物品编号是：");for(i=1;i<=n;i++){if(put[i]==1)printf("%d ",order[i]);}return 0;}时间复杂度分析： 上界函数bound()需要O(n)时间，在最坏的情况下有O(2^n)个右⼦结点需要计算上界，回溯算法backtrack需要的计算时间为O(n2^n)。
动态规划——01背包问题
动态规划——01背包问题⼀、最基础的动态规划之⼀01背包问题是动态规划中最基础的问题之⼀，它的解法完美地体现了动态规划的思想和性质。
01背包问题最常见的问题形式是：给定n件物品的体积和价值，将他们尽可能地放⼊⼀个体积固定的背包，最⼤的价值可以是多少。
我们可以⽤费⽤c和价值v来描述⼀件物品，再设允许的最⼤花费为w。
只要n稍⼤，我们就不可能通过搜索来遍查所有组合的可能。
运⽤动态规划的思想，我们把原来的问题拆分为⼦问题，⼦问题再进⼀步拆分直⾄不可再分（初始值），随后从初始值开始，尽可能地求取每⼀个⼦问题的最优解，最终就能求得原问题的解。
由于不同的问题可能有相同的⼦问题，⼦问题存在⼤量重叠，我们需要额外的空间来存储已经求得的⼦问题的最优解。
这样，可以⼤幅度地降低时间复杂度。
有了这样的思想，我们来看01背包问题可以怎样拆分成⼦问题：要求解的问题是：在n件物品中最⼤花费为w能得到的最⼤价值。
显然，对于0 <= i <= n,0 <= j <= w，在前i件物品中最⼤花费为j能得到的最⼤价值。
可以使⽤数组dp[n + 1][w + 1]来存储所有的⼦问题，dp[i][j]就代表从前i件物品中选出总花费不超过j时的最⼤价值。
可知dp[0][j]值⼀定为零。
那么，该怎么递推求取所有⼦问题的解呢。
显⽽易见，要考虑在前i件物品中拿取，⾸先要考虑前i - 1件物品中拿取的最优情况。
当我们从第i - 1件物品递推到第i件时，我们就要考虑这件物品是拿，还是不拿，怎样收益最⼤。
①：⾸先，如果j < c[i]，那第i件物品是⽆论如何拿不了的，dp[i][j] = dp[i - 1][j];②：如果可以拿，那就要考虑拿了之后收益是否更⼤。
拿这件物品需要花费c[i]，除去这c[i]的⼦问题应该是dp[i - 1][j - c[i]]，这时，就要⽐较dp[i - 1][j]和dp[i - 1][j - c[i]] + v[i]，得出最优⽅案。
动态规划解决背包问题和旅行商问题
动态规划解决背包问题和旅行商问题动态规划（Dynamic Programming）是一种解决复杂问题的算法思想，它通过将问题划分为多个子问题，并记录子问题的解来解决原始问题。
在背包问题和旅行商问题中，动态规划是一种常见且高效的解决方法。
1. 背包问题背包问题是一个经典的优化问题，可以用动态规划的方法解决。
给定一组物品，每个物品有自身的价值和重量，同时给定一个背包的容量，要求在不超过背包容量的前提下，选择物品放入背包，使得背包中物品的总价值最大化。
动态规划的思路是定义一个二维数组dp[i][j]，其中i表示从第1个到第i个物品，j表示背包的容量。
dp[i][j]表示在前i个物品中，容量为j的背包中能够放入的物品的最大价值。
通过状态转移方程可以求解dp[i][j]，其中状态转移方程为:dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i])其中w[i]表示第i个物品的重量，v[i]表示第i个物品的价值。
通过计算dp[i][j]，最终可以得到在背包容量为j的情况下的最大价值。
可以通过回溯的方法找到具体放入背包的物品。
2. 旅行商问题旅行商问题是一个典型的组合优化问题，它要求在给定的一组城市中，寻找一条最短的路径使得旅行商经过每个城市一次后返回起始城市。
动态规划可以通过建立一个二维数组dp[S][i]来解决旅行商问题，其中S表示城市的集合，i表示当前所在的城市。
dp[S][i]表示从起始城市出发经过集合S中的城市，最后到达城市i的最短路径长度。
对于dp[S][i]，可以通过以下状态转移方程来计算：dp[S][i] = min(dp[S-{i}][j] + d[j][i])其中S-{i}表示从集合S中去除城市i，d[j][i]表示从城市j到城市i的距离。
通过计算dp[S][i]，最终可以得到从起始城市出发经过所有城市一次后返回起始城市的最短路径长度。
同样可以通过回溯的方法找到具体的最短路径。
利用动态规划解决01背包问题01背包问题动态规划
利用动态规划解决01背包问题01背包问题动态规划背包问题是一个经典的动态规划模型,很多关于算法的教材都把它作为一道例题,该问题既简单又容易理解,而且在某种程度上还能够揭示动态规划的本质。
将具有不同重量和价值的物体装入一个有固定载重量的背包,以获取最大价值,这类问题被称为背包问题。
背包问题可以扩展出很多种问题,而01背包问题是最常见、最有代表性的背包问题。
一、问题描述给定一个载重量为M的背包及n个物体,物体i的重量为wi、价值为pi,1≤i≤n,要求把这些物体装入背包,使背包内的物体价值总量最大。
此处我们讨论的物体是不可分割的,通常称这种物体不可分割的背包问题为01背包问题。
二、基本思路01背包问题的特点是:每种物体只有一件,可以选择放或者不放。
假设:xi表示物体i被装入背包的情况,xi=0,1。
当xi=0时,表示物体没有被装入背包;当xi=1时,表示物体被装入背包。
根据问题的要求,有如下的约束方程(1)和目标函数(2):三、利用动态规划法求解01背包问题(一)动态规划算法的基本思想动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。
在这类问题中,可能会有许多可行解。
每一个解都对应于一个值,我们希望找到具有最优值的解。
动态规划算法与分治法类似,其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题,先求解子问题,然后从这些子问题的解得到原问题的解。
与分治法不同的是,适合于用动态规划求解的问题,经分解得到子问题往往不是互相独立的。
若用分治法来解这类问题,则分解得到的子问题数目太多,有些子问题被重复计算很多次。
如果我们能够保存已解决的子问题的答案,而在需要时再找出已求得的答案,这样就可以避免大量的重复计算,节省时间。
我们可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。
不管该子问题以后是否被用到,只要它被计算过,就将其结果填入表中,这就是动态规划法的基本思路。
具体的动态规划算法多种多样,但它们具有相同的填表格式。
(二)算法设计假定背包的载重量范围为0～m。
蛮力法、动态规划法、回溯法和分支限界法求解01背包问题【精选】
一、实验内容：分别用蛮力法、动态规划法、回溯法和分支限界法求解0/1背包问题。
注：0/1背包问题：给定种物品和一个容量为的背包，物品的重n C i 量是，其价值为，背包问题是如何使选择装入背包内的物品，使得装i w i v 入背包中的物品的总价值最大。
其中，每种物品只有全部装入背包或不装入背包两种选择。
二、所用算法的基本思想及复杂度分析：1.蛮力法求解0/1背包问题：1）基本思想：对于有n 种可选物品的0/1背包问题，其解空间由长度为n 的0-1向量组成,可用子集数表示。
在搜索解空间树时，深度优先遍历，搜索每一个结点，无论是否可能产生最优解，都遍历至叶子结点，记录每次得到的装入总价值，然后记录遍历过的最大价值。
2）代码:#include<iostream>#include<algorithm>using namespace std;#define N 100//最多可能物体数struct goods //物品结构体{int sign;//物品序号int w;//物品重量int p;//物品价值}a[N];bool m(goods a,goods b){return (a.p/a.w)>(b.p/b.w);}int max(int a,int b){return a<b?b:a;}int n,C,bestP=0,cp=0,cw=0;int X[N],cx[N];/*蛮力法求解0/1背包问题*/int Force(int i){if(i>n-1){if(bestP<cp&&cw+a[i].w<=C){for (int k=0;k<n;k++)X[k]=cx[k];//存储最优路径bestP=cp;}return bestP;}cw=cw+a[i].w;cp=cp+a[i].p;cx[i]=1;//装入背包Force(i+1);cw=cw-a[i].w;cp=cp-a[i].p;cx[i]=0;//不装入背包Force(i+1);return bestP;}int KnapSack1(int n,goods a[],int C,int x[]){Force(0);return bestP;}int main(){goods b[N];printf("物品种数n: ");scanf("%d",&n);//输入物品种数printf("背包容量C: ");scanf("%d",&C);//输入背包容量for (int i=0;i<n;i++)//输入物品i 的重量w 及其价值v {printf("物品%d 的重量w[%d]及其价值v[%d]:",i+1,i+1,i+1);scanf("%d%d",&a[i].w,&a[i].p);b[i]=a[i];}int sum1=KnapSack1(n,a,C,X);//调用蛮力法求0/1背包问题printf("蛮力法求解0/1背包问题:\nX=[ ");for(i=0;i<n;i++)cout<<X[i]<<" ";//输出所求X[n]矩阵printf("]装入总价值%d\n",sum1);bestP=0,cp=0,cw=0;//恢复初始化}3）复杂度分析：蛮力法求解0/1背包问题的时间复杂度为：。
实验项目三 用蛮力法、动态规划法和贪心法求解背包问题
实验项目三 用蛮力法、动态规划法和贪心法求解0/1背包问题实验目的1、学会背包的数据结构的设计，针对不同的问题涉及到的对象的数据结构的设计也不同；2、对0-1背包问题的算法设计策略对比与分析。
实验内容：0/1背包问题是给定n 个重量为{w 1, w 2, … ,wn }、价值为{v 1, v 2, … ,vn }的物品和一个容量为C 的背包，求这些物品中的一个最有价值的子集，并且要能够装到背包中。
在0/1背包问题中，物品i 或者被装入背包，或者不被装入背包，设xi 表示物品i 装入背包的情况，则当xi =0时，表示物品i 没有被装入背包，xi =1时，表示物品i 被装入背包。
根据问题的要求，有如下约束条件和目标函数：于是，问题归结为寻找一个满足约束条件式1，并使目标函数式2达到最大的解向量X =(x 1, x 2, …, xn )。
背包的数据结构的设计：typedef struct object{int n;//物品的编号int w;//物品的重量int v;//物品的价值}wup;wup wp[N];//物品的数组，N 为物品的个数int c;//背包的总重量1、蛮力法蛮力法是一种简单直接的解决问题的方法，常常直接基于问题的描述和所涉及的概念定义。
蛮力法的关键是依次处理所有的元素。
用蛮力法解决0/1背包问题，需要考虑给定n 个物品集合的所有子集，找出所有可能的子集（总重量不超过背包容量的子集），计算每个子集的总价值，然后在他们中找到价值最大的子集。
所以蛮力法解0/1背包问题的关键是如何求n 个物品集合的所有子集，n 个物品的子集有2的n 次方个，用一个2的n 次方行n 列的数组保存生成的子集，以下是生成子集的算法：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∈≤∑=)1(}1,0{1n i x C x w i n i i i （式1）∑=ni i i x v 1max （式2）void force(int a[16][4])//蛮力法产生4个物品的子集{int i,j;int n=16;int m,t;for(i=0;i<16;i++){ t=i;for(j=3;j>=0;j--){m=t%2;a[i][j]=m;t=t/2;}}for(i=0;i<16;i++)//输出保存子集的二维数组{for(j=0;j<4;j++){printf("%d ",a[i][j]);}printf("\n");}｝以下要依次判断每个子集的可行性，找出可行解:void panduan(int a[][4],int cw[])////判断每个子集的可行性，如果可行则计算其价值存入数组cw,不可行则存入0{int i,j;int n=16;int sw,sv;for(i=0;i<16;i++){sw=0;sv=0;for(j=0;j<4;j++){sw=sw+wp[j].w*a[i][j];sv=sv+wp[j].v*a[i][j];}if(sw<=c)cw[i]=sv;elsecw[i]=0;}在可行解中找出最优解，即找出可行解中满足目标函数的最优解。
用蛮力法、动态规划法和贪心法求解0 1背包问题
printf("\n");
}
｝
以下要依次判断每个子集的可行性，找出可行解:
voidpanduan(inta[][4],intcw[])////判断每个子集的可行性，如果可行则计算其价值存入数组cw,不可行则存入0
{
int i,j;
int n=16;
int sw,sv;
for(i=0;i<16;i++)
用蛮力法解决0/1背包问题，需要考虑给定n个物品集合的所有子集，找出所有可能的子集（总重量不超过背包容量的子集），计算每个子集的总价值，然后在他们中找到价值最大的子集。
所以蛮力法解0/1背包问题的关键是如何求n个物品集合的所有子集，n个物品的子集有2的n次方个，用一个2的n次方行n列的数组保存生成的子集，以下是生成子集的算法：void force(int a[][4])//蛮力法产生4个物品的子集
{
int i,j;
int n=16;
int m,t;
for(i=0;i<16;i++)
{t=i;
for(j=3;j>=0;j--)
{
m=t%2;
a[i][j]=m;
t=t/2;
}
}
for(i=0;i<16;i++)//输出保存子集的二维数组
{
for(j=0;j<4;j++)
{
printf("%d",a[i][j]);
i++;
}
return maxprice;
}
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
回溯法解决01背包问题
回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的搜索算法。
它在包含问题的所有解的解空间树中按照深度优先的策略，从根节点出发搜索解空间树。
算法搜索至解空间树的任一节点时，总是先判断该节点是否肯定不包含问题的解。
如果肯定不包含，则跳过对以该节点为根的子树的系统搜索，逐层向其原先节点回溯。
否则，进入该子树，继续按深度优先的策略进行搜索。
运用回溯法解题通常包含以下三个步骤：∙针对所给问题，定义问题的解空间；∙确定易于搜索的解空间结构；∙以深度优先的方式搜索解空间，并且在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索；在0／1背包问题中，容量为M的背包装载。
从n个物品中选取装入背包的物品，物品i的重量为Wi，价值为Pi。
最佳装载指装入的物品价值最高，即∑PiXi(i=1..n)取最大值。
约束条件为∑WiXi ≤M且Xi∈[0,1](1≤i≤n)。
在这个表达式中，需求出Xi的值。
Xi=1表示物品i装入背包，Xi＝0表示物品i不装入背包。
∙即判断可行解的约束条件是：∑WiXi≤M（i=0..n），Wi>0,Xi∈[0,1](1≤i≤n)∙目标最大值：max∑PiXi（i=0..n-1）,Pi>0,Xi=0或1（0≤i<n）0/1背包问题是一个自己选取问题，适合于用子集树表示0／1背包问题的解空间。
在搜索解空间树时，只要左儿子节点是一个可行节点，搜索就进入左子树，在右子树中有可能包含最优解才进入右子树搜索，否则将右子树剪去。
程序分析：将物品个数，每个物品体积／价值输入，计算总物品体积S，输入背包体积V，如果V<0或者V>S则前置条件错误，即背包体积输入错误，否则顺序将物品放入背包。
假设放入前i件物品，背包没有装满，继续选取第i+1件物品，若该物品“太大”不能装入，则弃之继而选取下一件直到背包装满为止；如果剩余物品中找不到合适物品以填满背包，则说明“刚刚”装入的第i件物品不合适，应将i拿出，继续从i＋1及以后的物品中选取，如此重复，直到找到满足条件的解。
0_1背包问题的多种解法
、问题描述0/1背包问题：现有n种物品，对1<=i<=n，已知第i种物品的重量为正整数W,价值为正整数V，背包能承受的最大载重量为正整数V，现要求找出这n种物品的一个子集，使得子集中物品的总重量不超过W且总价值尽量大。
(注意：这里对每种物品或者全取或者一点都不取，不允许只取一部分)、算法分析根据问题描述，可以将其转化为如下的约束条件和目标函数：nw i x i Wi i ⑴X i {0,1(1 i n)nmax v i x (2)i 1于是，问题就归结为寻找一个满足约束条件( 1)，并使目标函数式(2)达到最大的解向量首先说明一下0-1背包问题拥有最优解假设(X1, X2,X3,……,X n)是所给的问题的一个最优解，则 (X2,X3,……,X n)是下面问题的一个最优解:nWi 2X i {0,1}(2W1X1 maxi n) inv i X。
如果不是的话，设(y2> y3>....2..,y n)是这个问题的一个最优解，则n nV i y i V i X ii 2 i 2，且 W1X1n nW i y i W。
因此，V1X1 V i y ii 2 i 2n nV1X1V j X VX i，这说明i 2 i 1(X1,y2,y3, ....... , y n)是所给的0-1背包问题比(X1,X2,X3, ............ , X n)更优的解，从而与假设矛盾穷举法:用穷举法解决0-1背包问题，需要考虑给定n个物品集合的所有子集，找出所有可能的子集(总重量不超过背包重量的子集)，计算每个子集的总重量，然后在他们中找到价值最大的子集。
由于精品(X1, X2,X3,……X n)。
程序过于简单，在这里就不再给出，用实例说明求解过程。
下面给出了4个物品和一个容量为10的背包，下图就是用穷举法求解0-1背包问题的过程。
(a)四个物品和一个容量为10的背包(b)用回溯法求解0-1背包问题的过程递归法：在利用递归法解决0-1背包问题时，我们可以先从第n个物品看起。
动态规划求解01背包问题
动态规划求解01背包问题问题给定n种物品和⼀个背包，物品(1<=i<=n)重量是w I ，其价值v i,背包容量为C,对每种物品只有两种选择：装⼊背包和不装⼊背包，即物品是不可能部分装⼊，部分不装⼊。
如何选择装⼊背包的物品，使其价值最⼤？想法该问题是最优化问题，求解此问题⼀般采⽤动态规划（dynamic plan），很容易证明该问题满⾜最优性原理。
动态规划的求解过程分三部分：⼀：划分⼦问题：将原问题划分为若⼲个⼦问题，每个⼦问题对应⼀个决策阶段，并且⼦问题之间具有重叠关系⼆：确定动态规划函数：根据⼦问题之间的重叠关系找到⼦问题满⾜递推关系式（即动态规划函数），这是动态规划的关键三：填写表格：设计表格，以⾃底向上的⽅式计算各个⼦问题的解并填表，实现动态规划过程。
思路：如何定义⼦问题？0/1背包可以看做是决策⼀个序列（x1,x2,x3,…,xn）,对任何⼀个变量xi的决策时xi=1还是xi=0. 设V(n,C)是将n个物品装⼊容量为C的背包时背包所获得的的最⼤价值，显然初始⼦问题是将前i个物品装如容量为0的背包中和把0个物品装⼊容量为j的背包中，这些情况背包价值为0即V(i,0)=V(0,j)=0 0<=i<=n, 0<=j<=C接下来考虑原问题的⼀部分，设V(I,j)表⽰将前i个物品装⼊容量为j的背包获得的最⼤价值，在决策xi时，已经确定了(x1,x2,…,xi-1)，则问题处于下列两种情况之⼀：1. 背包容量不⾜以装⼊物品i，则装⼊前i-1个物品的最⼤价值和装⼊前i个物品最⼤价值相同，即xi=0，背包价值没有增加2. 背包容量⾜以装⼊物品i，如果把物品i装⼊背包，则背包物品价值等于把前i-1个物品装⼊容量为j-wi的背包中的价值加上第i个物品的价值vi；如果第i个物品没有装⼊背包，则背包价值等于把前i-1个物品装⼊容量为j的背包中所取得的价值，显然，取⼆者最⼤价值作为把物品i装⼊容量为j的背包中的最优解，得到如下递推公式为了确定装⼊背包中的具体物品，从V(n,C)的值向前推，如果V（n，C）>V(n-1,C),则表明第n个物品被装⼊背包中，前n-1个物品被装⼊容量为C-wn的背包中；否则，第n个物品没有被装⼊背包中，前n-1个物品被装⼊容量为C的背包中，依次类推，直到确认第⼀个物品是否被装⼊背包中代码C++实现1. // dp_01Knapsack.cpp : 定义控制台应⽤程序的⼊⼝点。
动态规划方案解决算法背包问题实验报告含源代码
动态规划方案解决算法背包问题实验报告含嘿，大家好！今天我来给大家分享一个相当有趣的编程问题——背包问题。
这可是算法领域里的经典难题，也是体现动态规划思想的好例子。
我会用我10年的方案写作经验，给大家带来一份详细的实验报告，附带哦！让我简单介绍一下背包问题。
假设你是一个盗贼，要盗取一个博物馆里的宝贝。
博物馆里有n个宝贝，每个宝贝都有它的价值v和重量w。
你有一个承重为W的背包，你希望放入背包的宝贝总价值最大，但总重量不能超过背包的承重。
这个问题，就是我们要解决的背包问题。
一、算法思路1.创建一个二维数组dp，dp[i][j]表示前i个宝贝放入一个承重为j的背包中，能达到的最大价值。
2.初始化dp数组，dp[0][j]=0，因为如果没有宝贝，那么无论背包承重多少，价值都是0。
3.遍历每个宝贝，对于每个宝贝，我们有两种选择：放入背包或者不放入背包。
4.如果不放入背包，那么dp[i][j]=dp[i-1][j]，即前i-1个宝贝放入一个承重为j的背包中，能达到的最大价值。
5.如果放入背包，那么dp[i][j]=dp[i-1][j-w[i]]+v[i]，即前i-1个宝贝放入一个承重为j-w[i]的背包中，加上当前宝贝的价值。
6.dp[i][j]取两种情况的最大值。
二、defknapsack(W,weights,values,n):dp=[[0for_inrange(W+1)]for_inrange(n+1)]foriinrange(1,n+1):forjinrange(1,W+1):ifj>=weights[i-1]:dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weights[i-1]]+values[i -1])else:dp[i][j]=dp[i-1][j]returndp[n][W]测试数据W=10weights=[2,3,4,5]values=[3,4,5,6]n=len(values)输出结果max_value=knapsack(W,weights,values,n)print("最大价值为：",max_value)三、实验结果分析通过上面的代码，我们可以得到最大价值为15。
ACM背包问题
背包问题
如果给你一个背包，要你从许多东西里选择一些装进来，只要这个包装得下，你就可 以将包里的东西全部拿走了，那么你会如何选择物品呢？这里你需要考虑的是背包的体积 和承重限制，当然最重要的是你拿走的东西的总价值最大。这样的问题就是背包问题，许 多问题都可以转化为背包问题来考虑。背包问题是一个在运筹学领域里常见的典型 NP-C 难题，对该问题的求解方法的研究无论是在理论上，还是在实践中都具有一定的意义。
while (goods[0].flag<goods[i].flag) {
goods[i+1]=goods[i]; i--; } goods[i+1]=goods[0]; } ///////////////////////////////////////////
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第 4 章 背包问题
cout<<"最优解为:"<<endl; for(i=1;i<=n;i++) {
4.3.1 〖案例 2〗0/1 背包
需对容量为 c 的背包进行装载。从 n 个物品中选取装入背包的物品，每件物品 i 的重 量为 wi，价值为 pi。对于可行的背包装载，背包中物品的总重量不能超过背包的容量，最 佳装载是指所装入的物品价值最高。限制：每个物品不能被分割，要不被装载，要不不被 装载。
第一行物品个数，接下来分别为物品价值，再接下来分别为物品的价值。再接下来分 别为物品的重量，最后为背包的容量。
数据结构与算法： 不需要特殊的数据结构 算法采用贪婪法 首先输入物品信息和背包容量,然后每次选比重最大的装载。
struct goodinfo
{ float p; float w; float X; int flag;
0-1背包问题动态规划和贪心法实现
算法设计与分析实验报告实验二 0-1背包问题院系：班级：计算机科学与技术学号：姓名：任课教师：成绩：湘潭大学2016年5月实验二0-1背包问题一. 实验内容分别编程实现动态规划算法和贪心法求0-1背包问题的最优解，分析比较两种算法的时间复杂度并验证分析结果。
二．实验目的1、掌握动态规划算法和贪心法解决问题的一般步骤，学会使用动态规划和贪心法解决实际问题；2、理解动态规划算法和贪心法的异同及各自的适用范围。
三. 算法描述/*动态规划 0-1背包问题算法如下*/Template<class Type>Void Knapsack(Type v,int w,int c,int n,Type ** m){int jMax = min(w[n] - 1,c);For(int j = 0;j <= jMax;j++){m[n][j] = 0;}For(int j = w[n];j <= c;j++){m[n][j] = v[n];}For(int i = n- 1;i > 1;i--){jMax = min(w[i] - 1,c);For(int j = 0;j <= jMax;j++) m[i][j] = m[i+1][j];For(int j = w[i];j <= c;j++) min[i][j] = max(m[i+1][j],m[i+1][j-w[i]]+v[i]);}m[1][c] = m[2][c];If(c >= w[1]) m[1][c] = max(m[1][c],m[2][c-w[1]]+v[1]);}Template<class Type>Void Traceback(Type**m,int w,int c,int n,int x){for(int i =1 ;i < n;i ++)If(m[i][c] == m[i+1][c]) x[i] = 0;Else{x[i] = 1;c -=w[i];}x[n] = (m[n][c]) ? 1:0;}按上述算法Knapsack计算后m[1][c]给出所要求的0-1背包问题的最优解。
动态规划01背包问题
01 背包问题的时间复杂度为 O(nW)，空间复杂度为 O(nW)。
• 选择放入第 i 个物品。此时，背包的剩余容量为 j-w[i]， 所以 f[i][j] = f[i-1][j-w[i]] + v[i]。 • 不选择放入第 i 个物品。此时，f[i][j] = f[i-1][j]。
综上所述，状态转移方程为：
f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-w[i]] + v[i])
01 背包问题是一种经典的动态规划问题，其目的是在限制条 件下，使得背包内的物品价值最大。
在 01 背包问题中，每种物品都有其体积和价值。同时，背 包也有一定的容量限制。问题的目标是在不超过背包容量的 前提下，使得背包内物品的价值最大。
为了解决 [j]表示前 i 个物品放入一个容量为 j 的背包可以获得的最大价值。然后，我们考虑第 i 个物品的 选择情况，其中有两种情况：
用动态规划法与回溯法实现0-1背包问题的比较
ｍ ≯ “ ｆ
√ｆ ） ＝
ｉ
（） １ ． ２
，时，时间复杂度为长Ｏ（ｎ＊数），长关 系 。此 时的需要对于状态空 间和决策 间 的维 数 的增 呈 指２ 增计 算和存储量 计 算 时 间 和存 储 量 过 大 。 空
回溯 法 ： 溯 法 需 要 为 问 题 定 义 一 个 解 空 间， 个 解 空 间必 须 至 回 这
Ｏ １背包 问题 ： 定 １种物 品 和一 背 包 。物 品 ｉ 一 给 ３ ． 的重 量 是 Ｗ ｉ其 价 。
将 第 ｉ 物 品 装 入 背包 。 个
可 以 用树 的形 式 将 解 空 间 表 达 出来 。树 中从 第 ｉ 到第 ｉ１层 的 层 ＋ 边 上 的 值 表示 解 向量 中 Ｘ 的取 值 ， 假 定 第 ｉ 的左 子 树 描 述 第 ｉ ｉ 并 层 个
，
∑魄， ｛
４
总结
的 最 优值 为 ｍ（，） 即 ｍ（，） 背 包 容 量 为 ｊ 可 悬 着 物 品 为 ｉ＋ ｉｊ ， ｉｊ是 ， ， ｉ 动态规划算法求解背包问题时对子过程用枚举法求解。 而且 约 束 ｌ… ． ， ， ｏ １ 包 问题 的最 优 值 。 ｎ时 － 背 由于 。 １背 包 问 题 的最 优 子 结 构 性 一 条件越多， 决策 的搜 索 范 围越 小 ， 求解 也 越 容 易 。但 是对 于规 模 较 大 的 质 ， 以建 立 计 算 ｍ（， 的 如下 递 归 式 ： 可 ｉ） ｊ 问 题 它 并 不 是 一 个 理想 的 算 法 。从 二 维 数 组 ｍ『１ １ 以 看 出当 ｃ ２ ｎ『 可 ｃ ＞ｎ
【 摘
武汉
４ ０７ ） ３ ０ ３
要 】－ 背包问题是运筹学 中的著名问题 。 ０１ 也是计算机 算法中的一个经典问题 。 本文采用动态规 划法和 回溯法对该问题进行求解 ， 对
背包问题(1)
背包问题报告小组成员：张灿、吴雪涛、高坤、占强、习慧平小组分工情况小组成员查找资料制作ppt 编写程序讲解ppt 制作报告张灿ⅴⅴⅴⅴⅴ吴雪涛ⅴ高坤ⅴⅴ占强ⅴ习慧平ⅴ背包问题一、背包问题的历史由来它是在1978年由Merkel和Hellman提出的。
它的主要思路是假定某人拥有大量物品，重量各不同。
此人通过秘密地选择一部分物品并将它们放到背包中来加密消息。
背包中的物品中重量是公开的，所有可能的物品也是公开的，但背包中的物品是保密的。
附加一定的限制条件，给出重量，而要列出可能的物品，在计算上是不可实现的。
背包问题是熟知的不可计算问题，背包体制以其加密，解密速度快而其人注目。
在解决大量的复杂组合优化问题时，它常常作为一个子问题出现，从实际的观点看，许多问题可以用背包问题来描述，如装箱问题，货仓装载，预算控制，存储分配，项目选择决策等，都是典型的应用例子。
随着网络技术的不断发展，背包公钥密码在电子商务中的公钥设计中也起着重要的作用。
然而当问题的规模较大时，得到最优解是极其困难的。
但是，大多数一次背包体制均被破译了，因此现在很少有人使用它。
二、背包问题的描述背包问题(Knapsack problem)是一种组合优化的NP完全问题。
问题可以描述为：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最高。
问题的名称来源于如何选择最合适的物品放置于给定背包中。
相似问题经常出现在商业、组合数学，计算复杂性理论、密码学和应用数学等领域中。
也可以将背包问题描述为决定性问题，即在总重量不超过W的前提下，总价值是否能达到V？三、背包问题的定义我们有n种物品，物品j的重量为w j，价格为p j。
我们假定所有物品的重量和价格都是非负的。
背包所能承受的最大重量为W。
如果限定每种物品只能选择0个或1个，则问题称为0-1背包问题。
可以用公式表示为：maximizesubject to如果限定物品j最多只能选择b j个，则问题称为有界背包问题。
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在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先搜索的策略，从根结点出发深度探索解空间树。当探索到某一结点时，要先判断该结点是否包含问题的解，如果包含，就从该结点出发继续探索下去，如果该结点不包含问题的解，则逐层向其祖先结点回溯。（其实回溯法就是对隐式图的深度优先搜索算法）。若用回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有可行的子树都要已被搜索遍才结束。而若使用回溯法求任一个解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束
解问题P的最朴素的方法就是枚举法，即对E中的所有n元组逐一地检测其是否满足D的全部约束，若满足，则为问题P的一个解。但显然，其计算量是相当大的。
我们发现，对于许多问题，所给定的约束集D具有完备性，即i元组（x1，x2，…，xi）满足D中仅涉及到x1，x2，…，xi的所有约束意味着j（j<=i）元组（x1，x2，…，xj）一定也满足D中仅涉及到x1，x2，…，xj的所有约束，i=1，2，…，n。换句话说，只要存在0≤j≤n-1，使得（x1，x2，…，xj）违反D中仅涉及到x1，x2，…，xj的约束之一，则以（x1，x2，…，xj）为前缀的任何n元组（x1，x2，…，xj，xj+1，…，xn）一定也违反D中仅涉及到x1，x2，…，xi的一个约束，n≥i≥j。因此，对于约束集D具有完备性的问题P，一旦检测断定某个j元组（x1，x2，…，xj）违反D中仅涉及x1，x2，…，xj的一个约束，就可以肯定，以（x1，x2，…，xj）为前缀的任何n元组（x1，x2，…，xj，xj+1，…，xn）都不会是问题P的解，因而就不必去搜索它们、检测它们。回溯法正是针对这类问题，利用这类问题的上述性质而提出来的比枚举法效率更高的算法。
动态规划法、回溯法解0-1背包问题
2012级计科庞佳奇
一、问ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ描述与分析
1.动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。在这类问题中，可能会有许多可行解。每一个解都对应于一个值，我们希望找到具有最优值的解。动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。若用分治法来解这类问题，则分解得到的子问题数目太多，有些子问题被重复计算了很多次。如果我们能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，这样就可以避免大量的重复计算，节省时间。我们可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。不管该子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。这就是动态规划法的基本思路。具体的动态规划算法多种多样，但它们具有相同的填表格式。
可用回溯法求解的问题P，通常要能表达为：对于已知的由n元组（x1，x2，…，xn）组成的一个状态空间E={（x1，x2，…，xn）∣xi∈Si，i=1，2，…，n}，给定关于n元组中的一个分量的一个约束集D，要求E中满足D的全部约束条件的所有n元组。其中Si是分量xi的定义域，且|Si|有限，i=1，2，…，n。我们称E中满足D的全部约束条件的任一n元组为问题P的一个解。
二、算法设计（或算法步骤）
1.这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为f[i-1][v]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。
2.（1）分析要解决的问题，给出你的思路，可以借助图表等辅助表达。
01背包问题用回溯法实现就是要枚举其所有的解空间，时间复杂度为(2)nO左右。搜索的具体方法如下：
01背包是在M件物品取出若干件放在空间为W的背包里，每件物品的体积为W1，W2……Wn，与之相对应的价值为P1,P2……Pn。求出获得最大价值的方案。
2.回溯法（探索与回溯法）是一种选优搜索法，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。