苏教版高中数学必修4三角函数定义
必修四：三角函数知识点
必修四：三角函数知识点在数学的学习中，三角函数是一个非常重要的部分。
它不仅在数学领域有着广泛的应用，在物理、工程等其他学科中也经常出现。
接下来，让我们一起深入了解一下必修四中的三角函数知识点。
首先，我们来认识一下什么是三角函数。
简单来说，三角函数就是以角度为自变量，以比值为函数值的函数。
常见的三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等。
正弦函数 sin 是指在一个直角三角形中，一个锐角的对边与斜边的比值。
余弦函数 cos 则是这个锐角的邻边与斜边的比值。
正切函数 tan是这个锐角的对边与邻边的比值。
对于一个锐角α，sinα ＝对边／斜边，cosα ＝邻边／斜边，tanα ＝对边／邻边。
三角函数的定义域和值域需要我们特别注意。
正弦函数和余弦函数的定义域都是全体实数，值域都是-1, 1。
而正切函数的定义域是{x ｜ x ≠ kπ ＋π/2，k ∈ Z}，值域是全体实数。
三角函数的图像也是非常重要的知识点。
正弦函数 y ＝ sin x 的图像是一个周期为2π，在-1, 1之间波动的曲线，它的图像关于原点对称。
余弦函数 y ＝ cos x 的图像同样周期为2π，在-1, 1之间，图像关于 y轴对称。
正切函数 y ＝ tan x 的图像周期为π，定义域内不连续，在每个周期内都是单调递增的。
三角函数的周期性是其一个重要特性。
正弦函数和余弦函数的周期都是2kπ（k 为整数），正切函数的周期是kπ（k 为整数）。
三角函数的诱导公式也是必须掌握的内容。
例如，sin(α) ＝sinα，cos(α) ＝cosα，sin(π α) ＝sinα，cos(π α) ＝cosα 等等。
这些诱导公式可以帮助我们将不同角度的三角函数值进行转化。
两角和与差的三角函数公式也非常实用。
sin(α ＋β) ＝sinαcosβ ＋cosαsinβ，sin(α β) ＝sinαcosβ cosαsinβ，cos(α ＋β) ＝cosαcosβsinαsinβ，cos(α β) ＝cosαcosβ ＋sinαsinβ。
苏教版高中数学必修四任意角的三角函数定义及应用文字素材
三角函数的定义及应用三角函数的定义不仅是中学数学中重要的基本概念之一，也是推证三角函数的诱导公式、同角三角函数的关系式、两角和与差的三角函数公式的基础和工具，更是解答数学问题的方法和思想，应用它可将许多三角问题转化为代数式的运算、解方程等代数问题来处理，现举例解析如下：例1：若0cos sin >θθ，则θ是A 、第一、二象限角B 、第一、三象限角C 、第一、四象限角D 、第二、四象限角 解析：依据三角函数的定义rx r y ==θθcos ,sin 可将问题转化为θ的终边上任意一点),(y x P 的纵、横坐标y x ,的积0>xy 问题，由0>xy 可知x 与y 同号，故应选答案B 。
例2：（1990年全国高考试题）若)(2Z k k ∈≠πθ，则θθθθcot cos tan sin ++的值的符号是A 、恒正 B 、恒负 C 、恒为非正 D 、恒为非负 解析：依据三角函数的定义r x r y ==θθcos ,sin ，可将问题转化为)()(////22y r rx x r ry y x r x x y r y ++=++由于y y r x x r ->>->>||,||，故0,0>+>+r y r x ，所以0cot cos tan sin >++θθθθ，故应选答案A 。
例3：（2002年全国高考试题）在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 的取值范围是 A 、)45,()2,4(ππππY B 、),4(ππ C 、)45,4(ππ D 、)23,45(),4(ππππY 解析：依据三角函数的定义rx r y ==θθcos ,sin ，可将问题转化为求不等式x y >的解集，结合图形满足x y >的角终边上的点),(y x 终边应在)45,4(ππ内才符合题意，故应选答案C 。
例4：若21cos 4sin 2=++θθ，求)2)(cos 2(sin ++θθ的值。
高中数学必修4《三角函数》知识点与易错点归纳
高中数学必修4《三角函数》知识点与易错点归纳知识点（一）任意角和弧度制1．与θ终边相同的角的集合是 ；第一或第三象限角的集合是 ；x 轴上的角的集合是 ；2.若α是锐角，则πα-是第 象限角；πα+是第 象限角；2πα-是第 象限角；α-是第 象限角；32πα-是第 象限角；2πα+是第 象限角。
3.180°=π；1°= 弧度； 1弧度= ；圆心角α弧度数的绝对值||α= ；扇形面积公式S = 。
4.角ααcos 2=-，则2α角是 象限角。
知识点二．任意角的三角函数1.任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，(,)P x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是0r =>，那么sin α= ，cos α= ,tan α= 。
2.如图，三角函数线：正弦线是 、余弦线是 、正切线是 ；4.已知角α的终边经过点(3,4)P -，则sin tan αα+的值为 ； 5．函数sin cos tan |sin ||cos ||tan |y αααααα=++的值域是 ； 6．sin cos θθ<⇔ ；sin cos θθ>⇔ 。
知识点三．同角三角函数的基本关系式及诱导公式1.平方关系：22sin cos αα+= ；商数关系：tan α= ；2.已知tan 2α=，则ααααcos sin cos 3sin +-＝ ；sin cos αα⋅＝ ；4.1419costan()34ππ+-的值为 ； 5.化简23sin (180)cos(360)sin(270)cos (180)cos(90)tan(180)αααααα+⋅-⋅-=--⋅+⋅+ 。
yTA xα B SO M P知识点四．正弦、余弦、正切公式及倍角公式1.基本公式及变式()()22222sin sin cos cos sin sin 22sin cos 1sin 2(sin cos )cos cos cos sin sin cos2cos sin 2cos 112sin t αβαβαβαβαβαααααααβαβαβααααα==±=±−−−→=⇒±=±±=−−−→=-=-=-↓↓令令 ()222tan tan 2tan 1+cos21cos2an tan 2cos sin 1tan tan 1tan 22αβααααβααααβα±-±=→=- ＝ ,＝变式：1tantan tan tan()(1tan tan),tan()1tan4απαβαβαβαα++=+⋅-⋅=+-；sin cos ),sin 2sin(cos 2sin()436πππθθθθθθθθθ±=±±=±±=±2.4411111212cos sin ππ-= ；sin163sin 223sin 253sin313+= ； 3.在ABC ∆中，53sin ,cos 135A B ==,则cos C = ； 4.在直角ABC ∆中，sin sin A B ⋅的最大值为 ；5.已知等腰三角形的一个底角的正弦值为13，则这个三角形的顶角的余弦值是 。
高中数学必修4 三角函数(1)
高中数学必修4 三角函数（1）一、角的概念和弧度制：（1）在直角坐标系内讨论角：角的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。
若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。
（2）①与α角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或 与α角终边在同一条直线上的角的集合： ；与α角终边关于x 轴对称的角的集合： ；与α角终边关于y 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于y x =轴对称的角的集合： ； ②一些特殊角集合的表示终边在坐标轴上角的集合： ； 终边在一、三象限的平分线上角的集合： ； 终边在二、四象限的平分线上角的集合： ； 终边在四个象限的平分线上角的集合： ； （3）区间角的表示：①象限角：第一象限角 ；第三象限角： ；第一、三象限角： ；②写出图中所表示的区间角：（4）正确理解角：“第一象限的角”= ；“锐角”= ；“小于o90的角”= ；（6）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一 已知角α的弧度数的绝对值lrα=，其中l 为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆的半径。
注意钟表指针所转过的角是负角。
（7）弧长公式： ；半径公式： ；扇形面积公式： ；周长公式 二、任意角的三角函数：（1）任意角的三角函数定义：以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，x y O x y O则=αsin ；=αcos ；=αtan如：角α的终边上一点)3,(a a -，则=+ααsin 2cos 。
注意r>0 三、同角三角函数的关系与诱导公式： （1）同角三角函数的关系作用：已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。
（2）诱导公式：ααπ⇒+k 2： ， ， ；ααπ⇒+： ，， ；αα⇒-： ， ， ；ααπ⇒-： ， ， ；ααπ⇒-2：， ， ；ααπ⇒-2： ， ， ；ααπ⇒+2：， ， ；ααπ⇒-23： ， ， ；ααπ⇒+23： ， ， ；诱导公式可用概括为：奇变偶不变，符号看象限（3）同角三角函数的关系与诱导公式的运用：①已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。
高中数学必修四三角函数
高中数学必修四三角函数
高中数学必修四包括了三角函数的学习，以下是必修四中三角函数
的主要内容：
1. 弧度制：介绍了弧度的定义和与角度的转换关系，以及常见角度
的弧度表示方法。
2. 弧度与角度的关系：介绍了圆的弧长、半径和角度之间的关系，
以及扇形面积和角度的关系。
3. 三角函数的定义：涵盖了正弦函数、余弦函数和正切函数的定义
及其性质。
4. 三角函数的图像和性质：通过绘制函数图像，了解了正弦函数、
余弦函数和正切函数的周期、对称性、增减性和最值等性质。
5. 三角函数的基本关系：介绍了三角函数之间的基本关系，例如正
弦函数与余弦函数的关系、正切函数与余切函数的关系等。
6. 三角函数的诱导公式：介绍了正弦函数、余弦函数和正切函数的
诱导公式，通过这些公式可以将角度转换为其他角度的三角函数值。
7. 三角函数的简单应用：介绍了利用三角函数解决实际问题的方法，例如测量远处物体高度、角度的测量等。
除了上述内容外，必修四还包括了三角函数的高级应用，如复数与
三角函数、二次函数中的三角函数以及三角函数的不等式等。
需要注意的是，上述内容只是对高中数学必修四中三角函数的基本
内容进行了简要介绍，具体的教学内容和学习进度可能会因不同教
材和学校而有所差异。
高中数学必修四三角函数知识点
高中数学必修四三角函数知识点高中数学必修四三角函数知识点详解角是我们在几何学中经常接触到的重要概念，而三角函数则是与角密切相关的一类函数。
在高中数学必修四中，三角函数是一个重要的知识点，对于数学学习的深入和数学建模的实践具有重要的意义。
本文将结合具体例子，详细介绍高中数学必修四三角函数的相关知识。
一、正弦函数和余弦函数正弦函数和余弦函数是最基本、最常用的两个三角函数。
我们首先从几何解释的角度来理解它们。
对于一个角A，我们可以根据角A所在的单位圆上的点(x,y)的坐标值，得到角A的正弦值sinA和余弦值cosA。
而正弦函数sinx和余弦函数cosx则是将角x所对应的正弦值和余弦值关系式表示的函数。
举个例子来说明，假设有一角x=30°，那么根据单位圆上的坐标特点，点(x,y)的坐标值为(√3/2,1/2)。
因此，角x的正弦值sinx=1/2，余弦值cosx=√3/2。
我们可以用这样的方法，通过观察和计算，来确定正弦函数和余弦函数的函数图像和性质。
二、正切函数和余切函数正切函数和余切函数是另外两个重要的三角函数。
正切函数tanx和余切函数cotx则是将角x所对应的正切值和余切值关系式表示的函数。
我们以正切函数为例，来解释一下它的定义和性质。
对于一个角A，我们可以根据角A所在的单位圆上的点(x,y)的坐标值，得到角A的正切值tanA。
正切函数tanx就是将角x所对应的正切值关系式表示的函数。
正切函数tanx的一个重要特点是周期性。
考虑tanx的函数图像，我们可以观察到在每个周期内，tanx呈现出规律的周期性变化。
而周期为π的函数图像在整个定义域上都是无穷区间波动的。
三、其他三角函数除了上述介绍的正弦函数、余弦函数、正切函数和余切函数之外，还有其他一些与三角函数密切相关的函数，如割函数secx和余割函数cscx等。
割函数和余割函数定义如下：割函数secx是角x对应的余弦倒数的函数，余割函数cscx是角x对应的正弦倒数的函数。
高中数学必修四三角函数
高中数学必修四三角函数
高中数学必修四中的三角函数主要包括正弦函数、余弦函数、正切函数及其逆函数。
下面是这些函数的定义和性质：
1. 正弦函数（sin）：对于任意实数θ，定义其正弦值为
y=sinθ，其中y满足-1≤y≤1。
正弦函数是一个周期为2π
的周期函数，其图像呈现波浪形状。
2. 余弦函数（cos）：对于任意实数θ，定义其余弦值为
y=cosθ，其中y满足-1≤y≤1。
余弦函数也是一个周期为
2π的周期函数，其图像呈现山峰和谷底的形状。
3. 正切函数（tan）：对于任意实数θ，定义其正切值为
y=tanθ，其中y为实数。
正切函数在一些特定值上无定义，例如tan(π/2)和tan(3π/2)等。
正切函数的图像呈现周期性，并且在某些点上会趋近于无穷大。
4. 逆正弦函数（arcsin）：对于任意实数y，定义其反正弦值为θ=arcsin(y)，其中θ满足-π/2≤θ≤π/2。
逆正弦函数的定义域是[-1, 1]，值域是[-π/2, π/2]。
5. 逆余弦函数（arccos）：对于任意实数y，定义其反余弦值为θ=arccos(y)，其中θ满足0≤θ≤π。
逆余弦函数的定义域是[-1, 1]，值域是[0, π]。
6. 逆正切函数（arctan）：对于任意实数y，定义其反正切值为θ=arctan(y)，其中θ满足-π/2<θ<π/2。
逆正切函数的定义域是实数集R，值域是(-π/2, π/2)。
三角函数及其逆函数在数学中具有广泛的应用。
在数学的计算中，可以通过这些函数相互转化，借助其性质求解各种数学问题。
(完整版)高中数学苏教版必修4三角函数知识点总结
高中数学苏教版必修4三角函数知识点总结一、角的概念和弧度制：（1）在直角坐标系内讨论角：角的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。
若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。
（2）①与α角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或 ②一些特殊角集合的表示：终边在坐标轴上角的集合： ；终边在一、三象限的平分线上角的集合： ； 终边在二、四象限的平分线上角的集合： ； （3）区间角的表示：①象限角：第一象限角： ；第三象限角： ；第一、三象限角： ；②写出图中所表示的区间角：（4）由α的终边所在的象限，通过 来判断2α所在的象限。
来判断3α所在的象限 ，判断2α所在的象限（5）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一已知角α的弧度数的绝对值rl =||α，其中l 为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆的半径。
注意钟表指针所转过的角是负角。
（6）弧长公式： ；半径公式： ；扇形面积公式： ；二、任意角的三角函数：（1）任意角的三角函数定义：以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则=αsin ；=αcos ；=αtan ；如：角α的终边上一点)3,(a a -，则=+ααsin 2cos 。
注意r>0（2）在图中画出角α的正弦线、余弦线、正切线；比较)2,0(π∈x ，x sin ，x tan ，x 的大小关系： 。
（3）特殊角的三角函数值：三、同角三角函数的关系与诱导公式：（1）同角三角函数的关系作用：已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。
（2）诱导公式：诱导公式可用概括为：2K π±α,-α,2π±α,π±α,23π±α的三角函数 奇变偶不变，符号看象限 α的三角函数作用：“去负——脱周——化锐”，是对三角函数式进行角变换的基本思路．即利用三角函数的奇偶性将负角的三角函数变为正角的三角函数——去负；利用三角函数的周期性将任意角的三角函数化为角度在区间[0o ,360o )或[0o ,180o )内的三角函数——脱周；利用诱导公式将上述三角函数化为锐角三角函数——化锐.（3）同角三角函数的关系与诱导公式的运用：①已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。
高中数学苏教版必修4三角函数知识点总结1
三角函数知识点总结一、角的概念和弧度制：（1）在直角坐标系内讨论角：角的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。
若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。
(2)与α角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或（3）区间角的表示：①象限角：第一象限角： ； 第三象限角： ；第一、三象限角： ；②写出图中所表示的区间角：（4）正确理解角：要正确理解“第一象限的角”= ；“锐角”= ；“小于o 90的角”= ；（5）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一已知角α的弧度数的绝对值rl=||α，其中l 为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆的半径。
注意钟表指针所转过的角是负角。
(6)弧度制与角度制的换算公式：2360π= ，1180π= ，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭． （7）弧长公式： ；半径公式： ；扇形面积公式： ；【例1】（1）扇形的中心角为π32，弧长为π2，则其半径=r ______．（2）一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆心角是 弧度．（3）点P 从圆心在原点O 的单位圆上点)0,1(出发，沿逆时针方向运动π65弧长，到达点Q ，则点Q 的坐标是_______________.（4）将65πrad 化为角度是 ．（5）已知扇形的周长为cm 324π+,其半径为cm 2,则该扇形的圆心角的弧度数为 .（6）若2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹扇形的面积为（ ）A 、1sin 2B 、21sin 2C 、 21sin 1D 、tan1【例2】如图,一条弦AB 的长等于它所在的圆的半径R,求弦AB 和劣弧AB 所组成的弓形的面积.【例3】如图，圆上一点A 以逆时针方向作匀速圆周运动，已知点A 每分钟转过θ角（0πθ<≤），经过2分钟到达第三象限，经过14分钟回到原来位置，求θ的大小．【例4】一扇形周长为20cm ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积？针对练习1．下列角中终边与330°相同的角是（ ）Α.30° B.-30° C.630° D.-630° 2．下列命题正确的是（ ）Α.终边相同的角一定相等。
高一数学必修4三角函数的定义讲义
三角函数的定义知识梳理1、任意角三角函数的定义(1)单位圆：在直角坐标系中，以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆． (2)单位圆中任意角的三角函数的定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y ；x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ；y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝yx (x ≠0).2、三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，它们统称为三角函数．3、三角函数的定义域三角函数 定义域 sin α R cos α Rtan α⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α≠π2＋k π，k ∈Z 4、三角函数值的符号5、终边相同的角的同一三角函数的值(1)终边相同的角的同一三角函数的值相等．(2)公式：sin(α＋k ·2π)＝sin_α，cos(α＋k ·2π)＝cos_α，tan(α＋k ·2π)＝tan_α，其中k ∈Z .例题精讲题型一、三角函数的定义及应用例1、(1)若角α的终边经过点P (5，－12)，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________. (2)已知角α的终边落在直线3x ＋y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．利用三角函数的定义求值的策略(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值． 法二：注意到角的终边为射线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标(a ，b )，则对应角的正弦值sinα＝b a 2＋b 2，余弦值cos α＝a a 2＋b 2，正切值tan α＝ba .(2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．变式训练已知角α的终边过点P (12，a )，且tan α＝512，求sin α＋cos α的值．题型二、三角函数值符号的运用例2、(1)若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角(2)判断下列各式的符号：①sin 105°·cos 230°； ②cos 3·tan ⎝⎛⎭⎫－2π3.三角函数值的符号规律(1)当角θ为第一象限角时，sin θ>0，cos θ>0或sin θ>0，tan θ>0或cos θ>0，tan θ>0，反之也成立； (2)当角θ为第二象限角时，sin θ>0，cos θ<0或sin θ>0，tan θ<0或cos θ<0，tan θ<0，反之也成立； (3)当角θ为第三象限角时，sin θ<0，cos θ<0或sin θ<0，tan θ>0或cos θ<0，tan θ>0，反之也成立； (4)当角θ为第四象限角时，sin θ<0，cos θ>0或sin θ<0，tan θ<0或cos θ>0，tan θ<0，反之也成立．变式训练若sin 2α＞0，且cos α＜0，试确定α终边所在的象限．题型三、诱导公式一的应用例3、计算下列各式的值：(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°； (2)sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＋cos 12π5·tan 4π.变式训练求下列各式的值：(1)sin 25π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－15π4； (2)sin 810°＋cos 360°－tan 1 125°.课堂小测1、若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．以上三种情况都可能2、若角α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值等于( )A.12 B ．－12 C ．－32 D ．－33 3、sin ⎝⎛⎭⎫－196π＝________. 4、已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.5、化简下列各式：(1)a cos 180°＋b sin 90°＋c tan 0°； (2)p 2cos 360°＋q 2sin 450°－2pq cos 0°； (3)a 2sin π2－b 2cos π＋ab sin 2π－ab cos 3π2.同步练习1、25πsin6等于( )A ．12 B ．2 C ．12- D ．2-2、若角α的终边经过点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则sin tan αα⋅=（ ）A ．1615 B ．1615- C ．1516D ．1516- 3、利用余弦线比较cos1，πcos 3，cos 1.5的大小关系是( ) A ．πcos1cos cos1.53<< B ．πcos1cos1.5cos 3<< C ．πcos1coscos1.53>> D ．πcos1.5cos1cos 3>> 4、如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( ) A ．正弦线PM ，正切线A T '' B ．正弦线MP ，正切线A T '' C ．正弦线MP ，正切线ATD ．正弦线PM ，正切线AT5、角α的终边经过点(),4P b -且3cos 5α=-，则b 的值为( ) A ．3 B ．3- C ．3± D ．5 6、已知x 为终边不在坐标轴上的角，则函数()|sin |cos |tan |sin |cos |tan x x x x f x x x=++的值域是( ) A ．{}3,1,1,3-- B ．{}3,1-- C ．{}1,3 D ．{}1,3- 7、在[]0,2π上，满足3sin 2x ≥的x 的取值范围为( ) A ．π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．5π,π6⎡⎤⎢⎥⎣⎦8、若θ为第一象限角，则能确定为正值的是 ( ) A ．sin2θB ．cos2θC ．tan2θD ．cos 2θ9、已知α的终边经过点()36,2a a -+，且sin 0,cos 0,αα>≤则α的取值范围为________．10、若角α的终边与直线3y x =重合且sin 0α<，又(),P m n 是α终边上一点，且10OP =，则m n -=_____. 11、已知点()sin cos ,tan P ααα-在第一象限，则在[]0,2π内α的取值范围为__________． 12、(1)23π17πcos tan 34⎛⎫-+ ⎪⎝⎭； (2)sin 630tan 1 125tan 765cos 540︒+︒+︒+︒.13、当π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求证：sin tan ααα<<.14、已知角α的终边落在直线2y x =上，求sin α，cos α，tan α的值．。
(完整版)高中必修四三角函数知识点总结
§04。
三角函数 知识要点1. ①与α(0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合):{}Z k k ∈+⨯=,360|αββ②终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈⨯=,180|ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,90180|ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈⨯=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,45180| ββ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-⨯=,45180| ββ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称,则角α与角β的关系：βα-+= 180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上,则角α与角β的关系:βα+=k 180⑩角α与角β的终边互相垂直,则角α与角β的关系： 90360±+=βαk2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0。
01745 1=57。
30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π180°≈57。
30°=57°18ˊ． 1°＝180π≈0。
01745（rad ）3、弧长公式：rl ⋅=||α。
扇形面积公式:211||22s lr r α==⋅扇形4、三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y)P与原点的距离为r,则 ry =αsin ； rx =αcos ； =αtan yx=αcot ； xr =αsec ；。
yr=αcsc 。
5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）正切、余切余弦、正割正弦、余割6、三角函数线正弦线：MP ； 余弦线：OM; 正切线： AT.SIN \COS 三角函数值大小关系图1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域16. 几个重要结论:8、同角三角函数的基本关系式：αααtan cos sin = αααcot sin cos = 1cot tan =⋅αα 1sin csc =α⋅α 1cos sec =α⋅α1cos sin 22=+αα 1tan sec 22=-αα 1cot csc 22=-αα9、诱导公式：2k παα±把的三角函数化为的三角函数，概括为： “奇变偶不变，符号看象限"公式组二 公式组三(完整版)高中必修四三角函数知识点总结x x k x x k x x k x x k cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(=+=+=+=+ππππ x x x x xx x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=-=--=- 公式组四 公式组五 公式组六xx x x x x xx cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(=+=+-=+-=+ππππ xx x x x x xx cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(-=--=-=--=-ππππ xx x x xx xx cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=--=-=-ππππ（二）角与角之间的互换公式组一 公式组二 βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ αααcos sin 22sin =βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ ααα2tan 1tan 22tan -=βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- 2cos 12sinαα-±= βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ 2cos 12cos αα+±=βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- 公式组三 公式组四 公式组五2tan 12tan2sin 2ααα+= 2tan 12tan 1cos 22ααα+-= 2tan 12tan2tan 2ααα-=42675cos 15sin -== ,42615cos 75sin +== ，3275cot 15tan -== ，3215cot 75tan +== 。
(新课程)2013高中数学 第1章《三角函数》教案 苏教版必修4
本章复习与小结三角函数一、三角函数的基本概念 1.角的概念的推广(1)角的分类:正角(逆转) 负角(顺转) 零角(不转) (2)终边相同角:)(3600Z k k ∈+⋅=αβ (3)直角坐标系中的象限角与坐标轴上的角. 2.角的度量(1)角度制与弧度制的概念 (2)换算关系:8157)180(1)(180'≈==ππ弧度弧度(3)弧长公式:r l ⋅=α 扇形面积公式:22121r lr S α== 3.任意角的三角函数yxx y x rr x y r r y ======ααααααcot tan sec cos csc sin注:三角函数值的符号规律“一正全、二正弦、三双切、四余弦” 二、同角三角函数的关系式及诱导公式 （一）诱导公式：απ±⋅2k )(Z k ∈与α的三角函数关系是“立变平不变，符号看象限”。
如：,27cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ ()⎪⎭⎫⎝⎛--απαπ25sin ;5tan 等。
（二）同角三角函数的基本关系式： ①平方关系1cos sin 22=+αα；αααα2222tan 11cos cos 1tan 1+=⇔=+②商式关系αααtan cos sin =；αααcot sin cos = ③倒数关系1cot tan =αα；1sec cos ;1csc sin ==αααα。
关于公式1cos sin 22=+αα的深化()2cos sin sin 1ααα±=±；αααcos sin sin 1±=±；2cos2sinsin 1ααα+=+如：4cos 4sin 4cos 4sin 8sin 1--=+=+；4cos 4sin 8sin 1-=-注：1、诱导公式的主要作用是将任意角的三角函数转化为 0~ 90角的三角函数。
2、主要用途：a) 已知一个角的三角函数值，求此角的其他三角函数值（①要注意题设中角的X 围，②用三角函数的定义求解会更方便）； b) 化简同角三角函数式； 三、三角函数的性质y=sinxy=cosxy=tanxy=cotx图象定义域 x ∈R x ∈R x ≠k π+2π(k ∈Z ) x ≠k π(k ∈Z ) 值域 y ∈[－1,1] y ∈[－1,1] y ∈R y ∈R 奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数单调性在区间[2k π－2π,2k π+2π]上都是增函数在区间[2k π+2π，2k π+23π]上都是减函数 在区间[2k π－2k π]上都是增函数 在区间[2k π，2k π+π]上都是减函数在每一个开区间 (k π－2π, k π+2π) 内都是增函数在每一个开区间（k π,k π+π）内都是减函数周期 T=2πT=2π T=πT=π 对称轴 2ππ+=k xπk x =无无对称 中心()0,πk⎪⎭⎫ ⎝⎛+0,2ππk ⎪⎭⎫⎝⎛0,2πk ⎪⎭⎫⎝⎛0,2πk基础题型归类1.运用诱导公式化简与求值：要求：掌握2k πα+,πα+,α-,πα-,2πα-,2πα+等诱导公式. 记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限. 例1.求值：cos600练1 （1）若cos(π+α)=12-，32π<α<2π, 则sin(2π－α)等于.（2）若(cos )cos3f x x =，那么(sin30)f ︒的值为.（3）sin (176-π)的值为.2.运用同角关系化简与求值：要求：掌握同角二式（22sin cos 1αα+=,sin tan cos ααα=），并能灵活运用. 方法：平方法、切弦互化. 例2 （1）化简sin 1sin tan tan sin cos x x x x x x +--； （2）已知51cos sin =+x x , 且π<<x 0, 求x tan 的值.练2 （1）已知81cos sin =⋅αα，且4π＜α＜2π，则ααsin cos -的值为. （2）已知αtan =3, 计算：（i ）2212sin cos sin cos αααα+-； （ii ）αααα22cos 4cos sin 3sin +-. 3.运用单位圆及三角函数线：要求：掌握三角函数线，利用它解简单的三角方程与三角不等式. 方法：数形结合. 例5 （1）已知42ππθ<<，则sin θ、cos θ、tan θ的大小顺序为.（2）函数12()log (sin cos )f x x x =-的定义域为.练5 （1）若1cos 2α>-, 则角α的取值集合为____________.（2）在区间（0，2π）内，使x x cos sin <成立的x 的取值X 围 . 4.弧度制与扇形弧长、面积公式：要求：掌握扇形的弧长与面积计算公式，掌握弧度制. 方法：方程思想.例6 某扇形的面积为12cm ，它的周长为4cm ，那么该扇形圆心角的弧度数为.练6 （1）终边在直线y =上的所有角的集合为，其中在－2π～2π间的角有. （2）若α为第三象限角，那么－α，2α、2α为第几象限的角? 5.三角函数的定义、定义域与值域：要求：掌握三角函数定义（单位圆、终边上点），能求定义域与值域. 方法：定义法、数形结合、整体.例7角α的终边过点P （－8m ，－6cos60°）且cos α=－54，则m 的值是.练7 （1）函数()tan(2)13f x x π=--+的定义域为____________.（2）把函数)32sin(π+=x y 的图像上各点的横坐标变为原来的13，再把所得图像向右平移8π，得到. 6.三角函数的图象与性质：要求：掌握五点法作图、给图求式，由图象研究性质. 方法：五点法、待定系数法、数形结合、整体.例8 （1）已知函数()tan(2)26f x x π=++.求()f x 的最小正周期、定义域、单调区间.（2）已知函数3sin(2)4y x π=+.（i ）求此函数的周期，用“五点法”作出其在长度为一个周期的闭区间上的简图. （ii ）求此函数的最小值及取最小值时相应的x 值的集合 练8 （1）函数sin()(0,0,)y A x A ωϕωϕπ=+>><最高点D 的坐标是(2,2)，由最高点运动到相邻的最低点时，函数图象与x 轴的交点坐标是(4，0)，则函数的表达式是 . （2）如图，它表示电流sin()(0,0)I A t A ωϕω=+>>在一个周期内的图象. 则其解析式为.（3）函数12log sin(2)4y x π=+的单调减区间为.（4）函数2cos ,[0,2]y x x π=∈的图象和直线y =2所围成的封闭图形的面积为. （5）画出函数3sin(2)3y x π=+，x ∈R 的简图. 并有图象研究单调区间、对称轴、对称中心.7.三角函数的应用（1）某港口水深y （米）是时间t （0≤t ≤24，单位：小时）函数，记为)(t f y =，下面是某日水深数据： t （时） 03691215182124y （米） 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 经过长期观察，)(t f y =的曲线可以近似看成y=Asin ωt+b 的图象. （i ）根据以上数据求出)(t f y =的近似表达式；（ii ）船底离海底5米或者5米以上是安全的，某船的吃水深度为6.5米（船底离水面距离），如果此船在凌晨4点进港，希望在同一天安全出港，那么此船最多在港口停留多少时间？（忽略进出时间）.（2）如图，表示电流强度I 与时间t 的关系式sin()(0,0),I A t A ωϕω=+>>在一个周期内的图象.根据图象得到sin()I A t ωϕ=+的一个解析式是 .（3）已知某海滨浴场的海浪高度y （米）是时间t （0≤t ≤24，单位：小时）的函数，经过长期的观察，该函数的图象可以近似地看成sin()y A t b ωϕ=++.下表是测得的某日各时的浪高数据：依规定，当浪高不低于1米时浴场才开放，试安排白天内开放浴场的具体时间段.t (时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y （米） 1.51.00.51.01.51.00.50.991.5。
高中数学必修4第一章三角函数的知识点
2
1,1
k
； 当 当 x 2 k k 时，
y m ax 1 ；当 x 2 k
R
倍（纵坐标
不变） ，得到函数 y sin x 的图象；再将函数 y sin x 的图象上所有点的纵坐标 伸长（缩短）到原来的 倍（横坐标不变） ，得到函数 y sin x 的图象． 函数 y sin x 的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
2
奇函数
偶函数
奇函数
2
, 2k
2
；③频率： f
1
2
；④相位： x ；⑤初相： ．
函数 y s in x ，当 x x1 时，取得最小值为 y m in ；当 x x 2 时，取得最大值为
y m a x ，则
sin ， co s
co s ， tan
， tan
tan ．
3、与角 终边相同的角的集合为 k 3 6 0 , k
sin ， co s
co s
tan ．
终边所落在的区域．
co s ， co s sin ， tan co t ． 2 2 2 co s ， co s sin ， tan co t ． 2 2 2
1 2
y m ax
y m in ，
高中数学必修四三角函数
高中数学必修四：三角函数1. 三角函数的定义三角函数是数学中的一个重要概念，它描述了一个角与其对应的三条边之间的关系。
在高中数学必修四中，我们学习了三角函数的定义和一些基本性质。
三角函数分为正弦函数、余弦函数和正切函数，分别用sin、cos和tan表示。
设一个角的对边、邻边和斜边分别为a、b和c，则三角函数的定义如下：•正弦函数：sin(A) = a/c•余弦函数：cos(A) = b/c•正切函数：tan(A) = a/b2. 三角函数的基本关系三角函数之间有一些基本的关系，这些关系可以帮助我们在计算中互相转换。
2.1. 互余关系互余关系是指一个角的正弦与其余弦互为倒数，一个角的正切与其余切互为倒数。
具体表示如下：•sin(A) = 1/cos(A)•cos(A) = 1/sin(A)•tan(A) = 1/cot(A)•cot(A) = 1/tan(A)2.2. 三角函数的符号关系根据角的不同位置，三角函数值的正负也会有所变化。
在不同象限中，三角函数的符号情况如下：•第一象限：所有三角函数的值都为正；•第二象限：仅正弦函数为正，余弦函数和正切函数为负；•第三象限：仅正弦函数和正切函数为负，余弦函数为正；•第四象限：仅余弦函数为正，正弦函数和正切函数为负。
3. 三角函数的周期性三角函数在数轴上是周期性的，即一定范围内的角所对应的三角函数值是重复的。
三角函数的周期和单位圆的周长有关，具体周期如下：•正弦函数和余弦函数的周期都是2π；•正切函数的周期是π。
4. 三角函数的图像根据三角函数的定义和性质，我们可以绘制出它们的图像。
在高中数学必修四的学习中，我们主要关注了正弦函数和余弦函数的图像。
正弦函数的图像是一条周期性的曲线，曲线的最高和最低点分别为1和-1，期间有无数个波峰和波谷。
余弦函数的图像也是一条周期性的曲线，但与正弦函数的图像相比，它向右平移了π/2。
5. 三角函数的应用三角函数在数学和物理等学科中有广泛的应用。
苏教版高中数学必修4第1章 三角函数任意角、弧度
正角
负角 零角
按 逆时针 方向旋转形成的角
按 顺时针 方向旋转形成的角 零角 一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个_____
知识点二
象限角
思考
把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x轴的非
负半轴重合，旋转该角，则其终边 ( 除端点外 ) 可能落在什么
位置？ 答案 终边可能落在坐标轴上或四个象限内.
D.{α|α＝k· 360°－263°，k∈Z}
解析 －457°＝－2×360°＋263°，故选C.
1
2
3
4
5
解析
答案
3.2 017°是第 三 象限角.
解析 因为2 017°＝5×360°＋217°，故2 017°是第三象限角.
1
2
3
4
5
解析
答案
4.与－1 692°终边相同的最大负角是 －252°.
跟踪训练 2
下列各角分别是第几象限角？请写出与下列各角终边相同
的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β<720°的元素β写出来. (1)60°； 解 60°角是第一象限角，所有与60°角终边相同的角的集合S＝{β|β＝
60°＋k· 360°，k∈Z}，
S中适合－360°≤β<720°的元素是60°＋(－1)×360°＝－300°，
当k＝4时，β＝4×360°－1 910°＝－470°； 当k＝5时，β＝5×360°－1 910°＝－110°； 当k＝6时，β＝6×360°－1 910°＝250°.
解答
命题角度2 求终边在给定直线上的角的集合
－ 3x 上的角的集合. 例4 写出终边在直线y＝
解
终边在 y＝－ 3x(x<0)上的角的集合是 S1＝{α|α＝120° ＋k· 360° ， k∈Z}；
高中数学第24讲(必修4)任意角的三角函数、同角公式与诱导公式
由同角公式得
sin x cos x 2sin x cos x
=
tan x 1 2 tan x 1
=
1 3
.
4.tan300°+
cos(450 ) sin 750
的值为 2 3
.
cos(45 ) =-tan60°+ sin(30 )
cos(360 45 ) 原式=tan(360°-60°)+ sin(720 30 )
4 C.-8π+3 4
B.-6πD.-9π+
5 4 7 4
分析 (1)先变形，再对整数k的奇、偶展
开讨论，找到角终边的具体位置，用数形 结合法求解；(2)先把角度化成弧度，再写 成2kπ+α的形式，满足α、k的限制条件.
(1)因为M={x|x=(2k+1)×45°，k∈Z} 表示终边落在四个象限的平分线上的角的 集合.同理N={x|x=(k+1)×45°，k∈Z}表示 终边落在坐标轴或四个象限的平分线上的 角的集合，所以M N. (2)因为1305°=1305×
1)(k′∈Z)完全讨论，角度与弧度的互化，
除满足限制条件外，还需注意结果的纯洁
性：角度、弧度要“分家”.
题型二 三角函数的化简、求值 例2
求
8 已知cosα=- 17 ，且 <α<π， 2 3
2 a)
sin(2 ) cos(
tan( ) cos( )sin(
3.运用诱导公式的关键在于函数名称
与符号的正确判断和使用.
课后再做好复习巩固.
谢谢！
再见！
王新敞 特级教师 源头学子小屋
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高中数学 1.2.1任意角的三角函数的定义及应用练习(含解析)苏教版必修4-苏教版高一必修4数学试题
1．2 任意角的三角函数1．2.1 任意角的三角函数的定义及应用在初中我们已经学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量、边的比值为函数值的三角函数．你能用平面直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？改变终边上的点的位置，这个比值会改变吗？把角扩充为任意角，结论成立吗？一、任意角的三角函数1．单位圆：在平面直角坐标系中，以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆称为________．2．三角函数的定义：设角α的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合．在平面直角坐标系中，角α终边与单位圆交于一点P (x ，y )，则r ＝|OP |＝1.那么：(1)y 叫做________，记作sin α，即y ＝sin α； (2)x 叫做________，记作cos α，即x ＝cos α； (3)y x 叫做________，记作tan α，即y x＝tan α(x ≠0)．正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们把它们统称为________．答案：1.单位圆2．(1)α的正弦 (2)α的余弦 (3)α的正切 三角函数二、三角函数值在各个象限内的符号1．由三角函数的定义，以及各象限内的点的坐标的符号，可以确定三角函数在各象限的符号．sin α＝y r，其中r >0，于是sin α的符号与y 的符号相同，即：当α是第________象限角时，sin α>0；当α是第________象限角时，sin α<0.cos α＝x r，其中r >0，于是cos α的符号与x 的符号相同，即：当α是第__________象限角时，cos α>0；当α是第________象限角时，cos α<0.tan α＝y x，当x 与y 同号时，它们的比值为正，当x 与y 异号时，它们的比值为负，即：当α是第________象限角时，tan α>0；当α是第 ________象限角时，tan α<0.2．根据终边所在位置总结出形象的识记口诀1：“sin α＝yr ：上正下负横为0；cos α＝x r ：左负右正纵为0；tan α＝y x：交叉正负．” 形象的识记口诀2：“一全正、二正弦、三正切、四余弦．” 答案：1.一、二 三、四 一、四 二、三 一、三 二、四三、诱导公式一由定义可知，三角函数值是由角的终边的位置确定的，因此，终边相同的角的同一三角函数的值________，这样就有下面的一组公式(诱导公式一)：sin(2k π＋α)＝sin α，cos(2k π＋α)＝cos α，tan(2k π＋α)＝tan α，k ∈Z. 答案：相等四、三角函数线1．有向线段：有向线段是规定了方向(即起点、终点)的线段，它是________、 ________的．在平面直角坐标系中，和坐标轴同向的有向线段为正，反向的为负．2．正弦线、余弦线、正切线：三角函数线是用来形象地表示三角函数值的有向线段．有向线段的________表示三角函数值的________，有向线段的________表示三角函数值的绝对值的________．三角函数线的作法如下：设角α的终边与单位圆的交点为P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则有向线段MP ，OM 就分别是角α的正弦线与余弦线，即MP ＝y ＝sin α，OM ＝x ＝cos α.过点A (1，0)作单位圆的切线，设这条切线与角α的终边(或终边的反向延长线)交于点T ，则有向线段AT 就是角α的正切线，即AT ＝tan α.3．填写下表中三角函数的定义域、值域：函数定义域值域 y ＝sin α y ＝cos α y ＝tan α答案：1.有长度 有正负 2.方向 正负 长度 大小 3.函 数定 义 域值 域 y ＝sin α R [－1，1] y ＝cos α R[－1，1]y ＝tan α⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α≠π2＋k π，k ∈ZR任意角的三角函数的定义1．正弦、余弦、正切可分别看成是从一个角的集合到一个比值的集合的映射，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．2．三角函数值是比值，是一个实数．这个实数的大小和点P (x ，y )在终边上的位置无关，而是由角α的终边位置所决定．对于确定的角α，其终边的位置也是唯一确定的．因此，三角函数是角的函数．(1)三角函数值只与角α的终边所在的位置有关，与点P 在终边上的位置无关． (2)三角函数值是一个比值，没有单位．三角函数值的符号三角函数值在各象限的符号取决于终边所在的位置，具体说取决于x，y的符号，记忆时结合三角函数定义式记，也可用口诀只记正的“一全正、二正弦、三正切、四余弦”．三角函数线对于三角函数线，须明确以下几点：(1)当角α的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在．(2)当角α的终边在x轴上时，正弦线、正切线都变成点．(3)正弦线、余弦线、正切线都是与单位圆有关的有向线段，所以作某角的三角函数线时，一定要先作单位圆．(4)线段有两个端点，在用字母表示正弦线、余弦线、正切线时，要先写起点字母，再写终点字母，不能颠倒；或者说，含原点的线段，以原点为起点，不含原点的线段，以此线段与x轴的公共点为起点．(5)三种有向线段的正负与坐标轴正负方向一致，三种有向线段的长度与三种三角函数值相同．三角函数的定义域1．由三角函数的定义式可以知道，无论角α终边落在哪里，sin α，cos α都有唯一的值与之对应，但对正切则要求α终边不能落在y轴上，否则正切将无意义．2．角和实数建立了一一对应关系，三角函数就可以看成是以实数为自变量的函数，所以就可以借助单位圆，利用终边相同的角的概念求出任意角的三角函数．基础巩固1．sin 810°＋tan 765°＋tan 1125°＋cos 360°＝________．答案：42．若α的终边过点P(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值为________．答案：－3 23．若角α的终边过点P (3cos θ，－4cos θ)(θ为第二象限角)，则sin α＝________．答案：454．cos θ·tan θ＜0，则角θ是________象限角． 答案：第三或第四5．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限． 答案：二6．角α的正弦线与余弦线长度相等，且符号相同，那么α(0＜α＜2π)的值为________．答案：π4或54π7．sin 1，sin 1.2，sin 1.5三者的大小关系是________． 答案：sin 1.5＞sin 1.2＞sin 1能力升级8．函数y ＝sin x ＋－cos x 的定义域是________．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，－cos x ≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x ≤0，即角x 的终边落在第二象限内和两个半轴上．∴2k π＋π2≤x ≤2k π＋π，k ∈Z.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋π(k ∈Z)9．已知角α的终边在直线y ＝kx 上，若sin α＝－255，cos α<0，则k ＝________．解析：∵sin α＝－255，cos α<0，∴α的终边在第三象限．令角α的终边上一点的坐标为(a ，ka )，a <0，则r ＝－1＋k 2·a ，sin α＝－ka 1＋k 2a＝－255，∴k ＝2. 答案：210．在(0，2π)内，满足tan 2α＝－tan α的α的取值X 围是________． 解析：由tan 2α＝－tan α，知tan α≤0，在单位圆中作出角α的正切线，知π2＜α≤π或3π2＜α＜2π. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π11．解不等式2＋2cos x ≥0. 解析：2＋2cos x ≥0⇔cos x ≥－22，利用单位圆，借助三角函数线(如图)可得出解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－34π，2k π＋34π(k ∈Z)．12．若π4＜θ＜π2，则下列不等式中成立的是( )A ．sin θ＞cos θ＞tan θB ．cos θ＞tan θ＞sin θC ．sin θ＞tan θ＞cos θD ．tan θ＞sin θ＞cos θ解析：作出角θ的三角函数线(如图)，数形结合得AT ＞MP ＞OM ，即tan θ>sin θ>cosθ.答案：D13．函数y ＝sin x |sin x |＋cos x |cos x |＋tan x|tan x |的值域是( C )A ．{－1，0，1，3}B ．{－1，0，3}C ．{－1，3}D ．{－1，1}14．若0＜α＜π2，证明：(1)sin α＋cos α＞1； (2)sin α＜α＜tan α.证明：(1)在如图所示单位圆中， ∵0＜α＜π2，|OP |＝1，∴sin α＝MP ，cos α＝OM . 又在△OPM 中，有 |MP |＋|OM |＞|OP |＝1. ∴sin α＋cos α＞1.(2)如图所示，连接AP ，设△OAP 的面积为S △OAP ，扇形OAP 的面积为S 扇形OAP ，△OAT 的面积为S △OAT .∵S △OAP ＜S 扇形OAP ＜S △OAT ， ∴12OA ·MP ＜12AP ︵·OA ＜12OA ·AT .∴MP <AP ︵<AT ，即sin α＜α＜tan α.15．已知f (n )＝cosn π5(n ∈Z)，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 014)的值．解析：角n5π(n ＝1，2，…，10)表示10个不同终边的角，这10条终边分成五组，每组互为反向延长线．∴f (1)＋f (2)＋…＋f (10)＝0，f (11)＋f (12)＋…＋f (20)＝0，…f (2 001)＋f (2 002)＋…＋f (2 010)＝0.∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 010)＝0.∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 014)＝f (2 011)＋f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＝cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5.由定义知cos π5与cos 4π5，cos 2π5与cos 3π5互为相反数，故f (1)＋f (2)＋…＋f (2 014)＝0.。
高中数学 《第一章 三角函数》定义课件 苏教版必修4
(4) 11 在第四象限，所以tan(11 )<0.
3
3
例5、求下列三角函数值 :
(1) cos 9 ;
4
(2) tan( 11 );
6
例6.若 的终边与函数 y=-2|x| 的图象重合, 求 的各三角函
数值.
解: ∵ 的终边与函数 y=-2|x| 的图象重合,
∴ 是第三或第四象限的角.
在直角三角形ABC中，角C是直角，角
A为锐角，则用角A的对边BC，邻边AC和斜
边AB之间的比值来定义角A的三角函数.
sin A BC AB
cos A AC AB
tan A BC AC
B
A
C
2.用坐标的形式表示出初中所学的锐角三角函数：
以角α的顶点O为坐标原点，以角α的始边的方向 作为x轴的正方向，建立直角坐标系xOy,
若 是第三象限的角, 取终边上一点 P(-1, -2), 则 r= 5 .
从而
sin=
y r
=-
2 5
5
,
cos=
x r
=-
5 5
,
tan=
y x
=2,
cot=
x y
=
1 2
,
sec=
r x
=-
5,
csc=
r y
=-
5 2
.
若 是第四象限的角, 取终边上一点 P(1, -2), 则 r= 5 .
x
r 叫做角α的余弦，记作cosα ,即
cosα= x
；
r
y
r 叫做角α的正弦，记作sinα，
即sinα= y
；
r
y x
苏教版高中数学必修4三角函数定义
高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）三角函数定义一．选择题1、已知角α的终边过点P （－1,2）,cos α的值为 （ ） A ．－55 B ．－ 5 C ．552 D ．252、α是第四象限角，则下列数值中一定是正值的是 （ ） A ．sin α B ．cos α C ．tan α D ．cot α3、已知角α的终边过点P （4a ,－3a ）（a <0）,则2sin α＋cos α的值是 （ ） A ．25 B ．－25 C ．0 D ．与a 的取值有关4、α是第二象限角，P （x , 5 ） 为其终边上一点，且cos α=42x ，则sin α的值为 （ ） A ．410 B ．46 C ．42 D ．－410 5、函数x x y cos sin -+=的定义域是（）A ．))12(,2(ππ+k k ，Z k ∈B ．])12(,22[πππ++k k ，Z k ∈C ．])1(,2[πππ++k k ， Z k ∈D ．[2k π，（2k+1）π]，Z k ∈ 6、若θ是第三象限角，且02cos<θ，则2θ是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角7、已知sin α=54，且α是第二象限角，那么tan α的值为 （ ）A ．34- B ．43- C ．43D ．34 8、已知点P （ααcos ,tan ）在第三象限，则角α在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二．填空题1、已知sin αtan α≥0，则α的取值集合为 ．2、角α的终边上有一点P （m ，5），且)0(,13cos ≠=m mα，则sin α+cos α=______． 3、已知角θ的终边在直线y =33x 上，则sin θ= ；θtan = ． 4、设θ∈（0，2π），点P （sin θ,cos2θ）在第三象限，则角θ的范围是 ．三．解答题1、求43π角的正弦、余弦和正切值．2、若角α的终边落在直线y x 815=上，求ααtan sec log 2-．3、(1)已知角α的终边经过点P(4,－3)，求2sin α+cos α的值； （2）已知角α的终边经过点P(4a,－3a)(a ≠0)，求2sin α+cos α的值；（3）已知角α终边上一点P 与x 轴的距离和与y 轴的距离之比为3∶4（且均不为零）， 求2sin α+cos α的值．参考答案一． 选择题ABAA BBAB 二．填空题1、⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+-Z k k k ,2222|ππαππα； 2、12=m 时，1317cos sin =+αα；12-=m 时，137cos sin -=+αα． 3、21sin ±=θ；33tan =θ．4、4745πθπ<<．三．解答题1、2243sin=π；2243cos -=π；143tan -=π． 2、（1）取)15,8(1P ，则17=r ，2815817log tan sec log 22-=-=-αα； （2）取)15,8(2--P ，则17=r ，2815817log tan sec log 22=--=-αα． 3、（1）∵3,4-==y x ，∴5=r ，于是：5254532cos sin 2-=+-⋅=+αα． （2）∵a y a x 3,4-==，∴a r 5=，于是：当0>a 时，5254532cos sin 2-=+-⋅=+αα 当0<a 时，5254532cos sin 2=-+⋅=+αα（3）若角α终边过点()3,4P ，则254532cos sin 2=+⋅=+αα； 若角α终边过点()3,4-P ，则5254532cos sin 2=-+⋅=+αα； 若角α终边过点()3,4--P ，则254532cos sin 2-=-+-⋅=+αα； 若角α终边过点()3,4-P ，则5254532cos sin 2-=+-⋅=+αα．。
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三角函数定义
一．选择题
1、已知角α的终边过点P （－1,2）,cos α的值为（） A ．－
55B ．－ 5 C ．552D ．2
5
2、α是第四象限角，则下列数值中一定是正值的是（） A ．sin αB ．cos αC ．tan αD ．cot α
3、已知角α的终边过点P （4a ,－3a ）（a <0）,则2sin α＋cos α的值是（） A ．25 B ．－2
5
C ．0
D ．与a 的取值有关 4、α是第二象限角，P （x , 5 ）为其终边上一点，且cos α=
4
2
x ，则sin α的值为（） A ．
410B ．46C ．4
2D ．－410 5、函数x x y cos sin -+=
的定义域是
（
）
A ．))12(,2(ππ+k k ，Z k ∈
B ．])12(,2
2[ππ
π++
k k ，Z k ∈
C ．])1(,2
[ππ
π++
k k ，Z k ∈
D ．[2k π，（2k+1）π]，Z k ∈ 6、若θ是第三象限角，且02cos
<θ
，则2
θ
是
（
）
A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第三象限角
D ．第四象限角
7、已知sin α=
5
4
，且α是第二象限角，那么tan α的值为 （
）
A ．34
- B ．4
3- C ．43
D ．3
4 8、已知点P （ααcos ,tan ）在第三象限，则角α在
（
）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
二．填空题
1、已知sin αtan α≥0，则α的取值集合为 ．
2、角α的终边上有一点P （m ，5），且)0(,13
cos ≠=
m m
α，则sin α+cos α=______． 3、已知角θ的终边在直线y =
3
3
x 上，则sin θ= ；θtan = ． 4、设θ∈（0，2π），点P （sin θ,cos2θ）在第三象限，则角θ的范围是 ．
三．解答题
1、求4
3π角的正弦、余弦和正切值．
2、若角α的终边落在直线y x 815=上，求ααtan sec log 2-．
3、(1)已知角α的终边经过点P(4,－3)，求2sin α+cos α的值； （2）已知角α的终边经过点P(4a,－3a)(a ≠0)，求2sin α+cos α的值；
（3）已知角α终边上一点P与x轴的距离和与y轴的距离之比为3∶4（且均不为零），求2sinα+cosα的值．
参考答案
一． 选择题
ABAABBAB 二．填空题
1、⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧∈+<
<+-
Z k k k ,2222
|ππ
αππ
α； 2、12=m 时，1317cos sin =
+αα；12-=m 时，13
7
cos sin -=+αα． 3、2
1
sin ±=θ；33tan =θ．
4、4
745π
θπ<
<．
三．解答题
1、2243sin
=π；2243cos -=π；14
3tan -=π
． 2、（1）取)15,8(1P ，则17=r ，2815
817log tan sec log 2
2-=-=-αα； （2）取)15,8(2--P ，则17=r ，28
15
817log tan sec log 22=--
=-αα． 3、（1）∵3,4-==y x ，∴5=r ，于是：5
2
54532cos sin 2-=+-⋅=+αα． （2）∵a y a x 3,4-==，∴a r 5=，于是：
当0>a 时，52
54532cos sin 2-=+-⋅
=+αα 当0<a 时，5
2
54532cos sin 2=-+⋅=+αα
（3）若角α终边过点()3,4P ，则25
4
532cos sin 2=+⋅
=+αα； 若角α终边过点()3,4-P ，则52
54532cos sin 2=-+
⋅=+αα； 若角α终边过点()3,4--P ，则254532cos sin 2-=-+-⋅=+αα； 若角α终边过点()3,4-P ，则5
254532cos sin 2-=+-⋅
=+αα．。