数列的综合问题探究(教学案)

数列的综合问题探究（教学案）

【热身训练】

1.．已知数列{a n }，a n ＝n 2

＋λn ＋3(其中λ为常实数)，且a 3为数列{a n }的最小项，则实数λ的取值范围是________．

解析：法一 a n ≥a 3对任意n ∈N *

恒成立，即：λ(n －3)≥－(n －3)(n ＋3)当n ≥4时，λ≥－(n ＋3)，所以λ≥－7；当n ≤2时，λ≤－5；当

n ＝3时，λ∈R；综上所述：－7≤λ≤－5.

法二 基本函数的特性：52≤－λ2≤7

2，所以－7≤λ≤－5.

2．若数列{c n }满足

c n ＝⎩⎪⎨

⎪⎧

4n －1，当n 为奇数时；

4n ＋9，当n 为偶数时.

则数列{c n }的前19项的

和T 19＝________.

解析：c

2n ＋1－c 2n －1＝8，c 2n ＋2－c 2n ＝8，T 19＝＋

2

×10＋

＋2

＝831.

3．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，满足a 1＝1，S 6＝36，且a m ，a m ＋2，a k

成等比数列，则m ＋k 的值为________．

解析：设等差数列{a n }的公差是d .所以S 6＝6a 1＋15d ＝36，又因为a 1＝1，所以d ＝2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.又a m ，a m ＋2，a k 成等比数列等价于(2m －1)(2k －1)＝(2m ＋3)2

，即2k －1＝

m ＋2

2m －1

＝2m －1＋8＋

162m －1.所以k ＝m ＋4＋8

2m －1，m ，k 是正整数．由于m ，k 是正整数，故2m －1只可能取1,2,4,8.又2m －1为奇数，故2m －1＝1，即m ＝1，k ＝13，所以m ＋k ＝14

4.已知数列{a n}的前n项和S n＝(－1)n·n，若对任意正整数n，(a n＋1－p)(a n

－p)＜0恒成立，则实数p的取值范围是________．

【热点追踪】

数列问题一直以来是高考的重点且位于压轴题的位置，而数列的特点是方法灵活，难度较大，本专题就数列中的单调性问题，奇偶性问题，存在性问题等热点问题加以探究，以便学生能更好的理解数列.

（一）数列中的单调性问题

例1. 已知数列{a n}满足：a1＝1

2

，a n＋1－a n＝3n－1－nq，n∈N*，p，q∈R.a4

为数列{a n}的最小项，求q的取值范围．

变式1 已知S n＝1＋1

2

＋

1

3

＋…＋

1

n

，n∈N*，设f(n)＝S2n＋1－S n＋1，试确定实

数m 的取值范围，使得对于一切大于1的自然数n ，不等式f (n )>m

m ＋2

恒

成立．

解析：由题意可知f (n )＝S 2n ＋1－S n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋1n ＋4＋…＋12n ＋1

所以f (n ＋1)－f (n )

＝⎝ ⎛⎭⎪⎪

⎫1n ＋3＋1n ＋4＋…＋12n ＋1＋12n ＋2＋12n ＋3－⎝ ⎛⎭

⎪⎪⎫1n ＋2＋1n ＋3＋1n ＋4＋…＋12n ＋1 ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n ＋2－12n ＋4＋⎝ ⎛⎭

⎪⎪

⎫12n ＋3－12n ＋4＞0.所以f (n )在n ≥2单调递增，从而f min (n )＝f (2)＝920，从而－2＜m ＜18

11.

变式2 在数列{a n }中，已知a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋2n －1. (1)求证：数列{a n ＋n }为等比数列；

(2)记b n ＝a n ＋(1－λ)n ，且数列{b n }的前n 项和为T n ，若T 3为数列{T n }中的最小项，求λ的取值范围．

解析：(1)因为a n ＋1＝3a n ＋2n －1，所以a n ＋1＋n ＋1＝3(a n ＋n )．

又a 1＝2，所以a n >0，a n ＋n >0，故a n ＋1＋n ＋1

a n ＋n

＝3，

所以{a n ＋n }是以3为首项，公比为3的等比数列． (2)由(1)知道a n ＋n ＝3n ，所以b n ＝3n

－nλ.

所以T

n ＝31

＋32

＋ (3)

－(1＋2＋3＋…＋n )λ＝32

(3n －1)－

n

n ＋

2

λ.若T

3为数列{T n }中的最小项，则对∀n ∈N *

有32

(3n －1)－

n

n ＋

2

λ≥39－6λ恒成立．

即3

n ＋1

－81≥(n 2＋n －12)λ对∀n ∈N *

恒成立．

当n ＝1时，有T 1≥T 3，得λ≥36

5；当n ＝2时，有T 2≥T 3，得λ≥9；

当n ≥4时，n 2

＋n －12＝(n ＋4)(n －3)＞0恒成立，所以λ≤3n ＋1

－81n 2

＋n －12对∀n ≥4恒成立．令f (n )＝3n ＋1

－81

n 2＋n －12，则f (n ＋1)－f (n )＝

3

n ＋1

n 2－＋n ＋n 2＋3n －

n 2＋n －

＞0对∀n ≥4恒成立．所以f (n )＝

3n ＋1

－81n 2＋n －12在n ≥4时为单调递增数列．所以λ≤f (4)，即λ≤81

4.综上，

9≤λ≤814.

（二）数列中的奇偶性问题

例2. 已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝a ，(a n ＋1)(a n ＋1＋1)＝6(S n

＋n )，n ∈N *

.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)若对于∀n ∈N *，都有S n ≤n (3n ＋1)成立，求实数a 取值范围．