高三数学 教案 斐波那契数列通项公式推导过程

斐波那契数列

斐波那契数列，又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递推的方法定义：F(1)=1，F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=3，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963年起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。

定义

斐波那契数列指的是这样一个数列1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，17711，28657，46368........

自然中的斐波那契数列

这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。

斐波那契数列的定义者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契，生于公元1170年，卒于1250年，籍贯是比萨。他被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年，他撰写了《算盘全书》（Liber Abacci）一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点于阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯等地研究数学。

通项公式

递推公式

斐波那契数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

如果设F(n）为该数列的第n项（n∈N*），那么这句话可以写成如下形式：:F(n)=F(n-1)+F(n-2)

显然这是一个线性递推数列。

通项公式

(如上，又称为“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。) 注：此时

通项公式推导

方法一：利用特征方程（线性代数解法）

线性递推数列的特征方程为：

x²=x+1

解得

，

.

则

∵

∴

解得

方法二：待定系数法构造等比数列1（初等代数解法）

设常数r，s .

使得

则r+s=1，－rs=1

n≥3时，有

……

联立以上n-2个式子，得：

∵

，

上式可化简得：

那么

……

（这是一个以

为首项、以

为末项、

为公比的等比数列的各项的和）。

，

的解为

则

方法三：待定系数法构造等比数列2（初等代数解法）

设

得

构造方程

解得

，所以

由(1)(2)式得

化简可得

方法四：母函数法。

对于斐波那契数列{a n}，有a1=a2=1,a n=a n-1+a n-2(n>2时)

令S(x)=a1x+a2x+…+a n x n+...

那么有S(x)*(1-x-x²)=a1x+(a2-a1)x²+…+(a n-a n-1-a n-2)x n+...=x 因此S(x)=

.

不难证明1-x-x²=-(x+

)(x+

)=(1-

*x)(1-

*x).

因此S(x)=

*[x/(1-

*x)-x/(1-

*x)].

再利用展开式1/(1-x)=1+x²+…+x n+…

于是就可以得S(x)=b1x+b2x²+…+b n x n+…其中b n=

*[(

)n - (

)n].

因此可以得到a n=b n=

*[(

)- (

)]

与黄金分割

关系

有趣的是，这样一个完全是自然数的数列，通项公式却是用无理数来表达的。而且当n 趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618（或者说后一项与前一项的比值小数部分越来越逼近0.618）。

1÷1=1，1÷2=0.5，2÷3=0.666...，3÷5=0.6，5÷8=0.625…………，55÷89=0.617977……………144÷233=0.618025…46368÷75025=0.6180339886…...

越到后面，这些比值越接近黄金比.

证明

两边同时除以

得到：

。

若

的极限存在，设其极限为x，

则

。

所以

。

由于

解得

所以极限是黄金分割比。

特性

平方与前后项

从第二项开始，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1。

如：第二项1的平方比它的前一项1和它的后一项2的积2少1，第三项2的平方比它的前一项1和它的后一项3的积3多1。

（注：奇数项和偶数项是指项数的奇偶，而并不是指数列的数字本身的奇偶，比如从数列第二项1开始数，第4项5是奇数，但它是偶数项，如果认为5是奇数项，那就误解题意，怎么都说不通）

证明经计算可得：[f(n)]^2-f(n-1)f(n+1)=(-1)^(n-1)

与集合子集

斐波那契数列的第n+2项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数。

奇数项求和

偶数项求和

平方求和

隔项关系

f(2n-2m-2)[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m) [ n〉m≥-1，且n≥1]