高三数学 教案 斐波那契数列通项公式推导过程
斐波那契数列通项证明过程
斐波那契数列通项证明过程今天咱们来唠唠斐波那契数列通项的证明，这可就像一场超级有趣的魔法解谜之旅。
斐波那契数列那可是数列界的大明星，就像数学王国里的超级偶像。
它的数列是1、1、2、3、5、8、13……就像一群数字小精灵在玩接力游戏，每个数字都是前面两个数字的和。
那它的通项公式呢，看起来就像一个神秘的魔法咒语。
为了证明这个通项公式，我们就像侦探一样，得从蛛丝马迹里找线索。
想象一下，我们要给这些数字小精灵找到一个能完全描述它们的通用规则。
这就好比给一群调皮捣蛋、各有个性的小怪物制定一个统一的管理手册。
我们首先想到了一些数学工具，就像拿出我们的魔法棒一样。
这个魔法棒可能是线性代数里的矩阵。
矩阵就像一个神奇的魔法盒，把数列里的数字放进去捣鼓捣鼓，说不定就能找到规律。
我们把斐波那契数列的递推关系写成矩阵形式，这矩阵就像一个小小的数字迷宫。
我们在这个迷宫里东奔西走，试图找到出口。
然后呢，我们开始对这个矩阵进行各种神奇的操作，就像在给它施展魔法。
我们要找到这个矩阵的特征值和特征向量，这就像是找到这个数字迷宫的秘密通道。
找到这些之后，我们就像发现了宝藏的地图一样兴奋。
通过这个“地图”，我们就能一步步走向通项公式这个大宝藏。
这过程中可能会遇到一些小挫折，就像在路上突然遇到了一个调皮的数学小恶魔，给我们捣乱。
但是别怕，我们只要握紧我们的数学魔法棒，也就是那些定理和方法，就能把小恶魔赶走。
当我们最终推导出通项公式的时候，就像我们成功打开了一个装满数学宝藏的宝箱。
这个通项公式就像一颗闪闪发光的魔法宝石，它完美地描述了斐波那契数列里那些可爱的数字小精灵。
斐波那契数列通项的证明虽然有点像在充满迷雾的魔法森林里探险，但只要我们有足够的耐心和我们的数学魔法工具，就能顺利到达终点，揭开这个神奇数列的神秘面纱。
这就是数学的魅力，就像一场永无止境的奇妙冒险。
斐波那契数列 ppt课件
end
%循环结束
fn=log(fn) %将原来的数据取对数
plot(fn)
%将装有数列前n项的数组显示出来
返回
根据取对数后的数据，拟合出线性表达式
function fitlnfibo(n) %先取对数，再拟合
fn=[1,1]; %将数列的前两项放到数组fn中
for i=3:n %fn的第3项到第n项
从图形看，显然是非线性关系，数据点列呈 现单调上升趋势，开始上升较快随后逐渐变 慢，故宜采用多项式、双曲型函数、指数型 函数或对数型函数做拟合等
27Βιβλιοθήκη 2、采用2，4和6阶多项式进行拟合 代码： p2= polyfit(t,y,2); p4= polyfit(t,y,4); p6= polyfit(t,y,6); R1 = dot(y-polyval(p6,t),y-polyval(p6,t)) %计算拟合残 差 plot(t,y,'r+',t,polyval(p2,t),t,polyval(p4,t),t,polyval(p6,t)) legend('测量数据', '2阶拟合', '4阶拟合', '6阶拟合‘)
推导fibonacci数列的通项公式21nnnfff????fibonacci数列具有如下递推关系这是一个二阶常系数线性齐次差分方程仿照二阶常系数线性齐次微分方程来求解特征方程21rr??两个特征根12152r??22ppt课件差分方程的通解12151522nnnfcc????????????????????取n1和n2代入上面的公式中解得121155cc???从而得到1515225????????????????nnnf23ppt课件六化学反应中生成物的浓度问题24ppt课件1描绘生成物浓度的散点图代码
斐波那契数列通项证明过程
斐波那契数列通项证明过程嘿，朋友们，今天来聊聊斐波那契数列通项的证明，可有趣啦。
你看斐波那契数列，就像一列神奇的数字小火车，1、1、2、3、5、8……一个数字接着一个数字，后面的数字总是前面两个数字之和，就像兔子繁殖一样疯狂。
据说最开始是为了计算兔子的数量，那兔子就像被数字魔法控制了一样，不停地按照这个规律繁衍后代。
那这个数列的通项公式呢，看起来就像一个神秘的魔法咒语。
要证明它可不容易，就像要解开一个超级复杂的魔法锁。
我们先假设这个通项公式是存在的，就像我们在黑暗中假设宝藏的位置。
这个通项公式里面有很多奇怪的东西，就像魔法配方里的神秘草药。
然后我们就开始用各种数学工具来捣鼓它。
这就像厨师用各种厨具做菜一样，一会儿用这个定理，一会儿用那个方法。
我们把数列的递推关系拿出来，就像从兔子窝里面找出兔子繁殖的规律记录一样。
我们开始变形、计算，这过程就像一场数字的杂技表演。
有时候你觉得好像走进了迷宫，那些数字在你周围转来转去，让你晕头转向，就像一群调皮的小精灵在捉弄你。
但是呢，我们不能放弃啊。
就像爬山一样，虽然很累，但是山顶有美景。
我们继续化简、推导，这个过程中每一步都像是在搭建一座通往胜利的桥梁。
当我们最终得出通项公式的时候，就像找到了宝藏的钥匙。
那一瞬间，感觉所有的努力都值得了，就像你在沙漠里走了很久突然看到了绿洲。
这个通项公式就像一个闪闪发光的魔法水晶球，它把斐波那契数列的秘密都包裹在里面。
它是那么的精确，就像一把特制的钥匙刚好能打开特定的锁。
你再回头看这个证明过程，就像看一场精彩的魔术表演回放。
一开始觉得很神奇，但是当你知道其中的奥秘后，又会觉得很有趣。
斐波那契数列通项的证明就是这样一场充满惊喜和挑战的数学之旅。
斐波那契数列通项公式的推导
斐波那契数列通项公式的推导：
由11a =，21a =，12n n n a a a --=+，*n ∈N ，3n ≥
令()()1123n n n n a ra s a ra n ----=-≥，则11r s rs +=⎧⎨=-⎩
从而()2121n n n a ra s a ra ---=-
所以11n n n a s r a --=+
所以112212n n n n n n a s r a s rs r a -----=+=++=122321n n n n n s rs r s r s r -----=+++++ 这是公比为r s 的等比数列前n 项和，所以n n n s r a s r
-=-， 由11r s rs +=⎧⎨=-⎩
，解得一组解s r ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
代入得n n n a ⎡⎤⎥=-⎥⎝⎭⎝⎭⎦
． 数列递推公式：若数列{}n a 中的任意项n a 与相邻的若干项之间的关系可以用一个公式
表示，则这个公式叫做数列的递推公式．数列的递推公式揭示了数列的任一项n a 与1n a -（或前几项）的关系，也是给出数列的一种重要方法．
迭代是数值分析中通过从一个初始估计出发寻找一系列近似解来解决问题（一般是解方程或者方程组）的过程，为实现这一过程所使用的方法统称为迭代法．所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）．迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以顺推或倒推的方法来完成．
递推与迭代在生活实际中有广泛的应用，计算机算法就建立在递推与迭代的基础上．。
斐波那契数列通项公式的证明
斐波那契数列通项公式的证明第一篇：斐波那契数列通项公式的证明斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34……它的通项公式为：an=1[(1+5)n-(1-)n]α+β=1解得⎧α⎪证明：令an-αan-1=β(an-1-αan-2)(n≥3)则有⎧⎪⎨⎨⎩αβ=-1⎪β⎪⎩=1+21-=α=或⎪⎪⎨⎪β⎪⎩⎧1-21+=故有(1)an-1+1-51+1-1+1-an-1=(an-1-an-2)或(2)an-an-1=(an-1-an-2)222222an-an-11+an-11+1+51-5，因为n≥3故数列{an-}是以aa-a1为首项，n-12=2221+-an-2(Ⅰ)由（1）得以1+1+1-5n-21-5为公比的等比数列，所以，an-an-1=(a2-a1)•()由a1=a2=1得22221+an-12an-1+1-n-1anan-11 =()两边同除以(1-5)n得：-•=221-n1-1-5n-11-5()()2222即an(1-n)2--1+an-11-1-n-1()2=-anan-11+5移项得1+51+5(n≥3)则由=-221-n1-1-n-1()()221+anan-11+55所以{an得，}是以2+=[+]k==-+51-51-n-15551-n1+1-5n()()()1-2221-a2(1-52)2+1+an为首项为公比的等比数列。
故51-1-(2+)na21+n-2=[+]•()551-521-()2a251+5n-2，由(1+)2=(2)2化简可得得a=(1-5)n{-+[+]•()}n21-52551-21-5()2an=1+5n1-5n)-()](n≥3)(*)验证可得，当n=1、n=2时，a1=a2=1故斐波那契数列中，225[（*对于n∈N，(*)式都成立。
*(Ⅱ)同理，由(2)an-1-an-1=1+(an-1-1-an-2)也可得斐波那契数列中，（*)式对于n∈N都成立222所以，斐波那契数列的通项公式即为：an=1+5n1-5n)-()] 225[（木鱼石整理第二篇：《斐波那契数列》教学反思根据上午说课后其他老师的建议，我做了修改：（一）引入部分简化，斐波那契数列的学习同样也运用了化难为易的思想，在刘**老师的授课《斐波那契数列》中多次提到难易的转化，我们的学生也认真地进行了这节《斐波那契数列》的学习，给我们的学生试课可以这样引入：孩子们，我们在学习《斐波那契数列》时是怎么发现小兔子数量的规律呢？对，化难为易，我们可以用化难为易的方法解决很多问题，那老师请你们来试试连线游戏，在平面上有100个点，这些点能连成多少条线段？学生回答不上来时，教师指导：100个点连线有点多有点难，老子说：“天下难事做于易。
斐波那契数列通项推导
斐波那契数列通项推导斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+)。
那么这句话可以写成如下形式：F(0) = 0，F(1)=F(2)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)显然这是一个线性递推数列。
通项公式的推导方法一：利用特征方程线性递推数列的特征方程为：X^2=X+1解得X1=(1+√5)/2,，X2=(1-√5)/2则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n∵F(1)=F(2)=1∴C1*X1 + C2*X2C1*X1^2 + C2*X2^2解得C1=1/√5，C2=-1/√5∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}（√5表示根号5）通项公式的推导方法二：普通方法设常数r，s使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]则r+s=1，-rs=1n≥3时，有F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]……F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]将以上n-2个式子相乘，得：F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]∵s=1-r，F(1)=F(2)=1上式可化简得：F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)那么：F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2)= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3)……= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1) = s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)（这是一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、r/s为公比的等比数列的各项的和）=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)=(s^n - r^n)/(s-r)r+s=1，-rs=1的一解为s=(1+√5)/2，r=(1-√5)/2则F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}迭代法已知a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n>=3),求数列{an}的通项公式解:设an-αa(n-1)=β(a(n-1)-αa(n-2))得α+β=1αβ=-1构造方程x²-x-1=0,解得α=(1-√5)/2,β=(1+√5)/2或α=(1+√5)/2,β=(1-√5)/2所以an-(1-√5)/2*a(n-1)=(1+√5)/2*(a(n-1)-(1-√5)/2*a(n-2))=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)`````````1an-(1+√5)/2*a(n-1)=(1-√5)/2*(a(n-1)-(1+√5)/2*a(n-2))=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)`````````2由式1,式2,可得an=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)``````````````3an=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)``````````````4将式3*(1+√5)/2-式4*(1-√5)/2,化简得an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}。
用递归,迭代,通项公式三种方法实现斐波那契数列求解
if(n<=0)
{
printf("输入错误.\n");
}
else if(n==1||n==2)
{
printf("1");
}
else
{
for(i=0;i<n-2;i++)
{
f3=f1+f2; //f1表示当前的值
二、建立迭代关系式。所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。
三、对迭代过程进行控制。在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地重复执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。
阶乘(1) = 1 [基本情况] 对所有n > 1的整数：阶乘(n) = (n * 阶乘(n-1)) [递归定义] 一种便于理解的心理模型，是认为递归定义对对象的定义是按照“先前定义的”同类对象来定义的。例如：你怎样才能移动100个箱子？答案：你首先移动一个箱子，并记下它移动到的位置，然后再去解决较小的问题：你怎样才能移动99个箱子？最终，你的问题将变为怎样移动一个箱子，而这是你已经知道该怎么做的。
int i;
for(i=2;i<41;i++)
fib[i] = fib[i-1]+fib[i-2];
for(i=1;i<41;i++)
斐波那契数列通项公式
斐波那契数列通项公式⽬录简介斐波那契数列是指的这样的⼀个数列，从第3项开始，以后每⼀项都等于前两项之和。
写成递推公式即：a n=a n−1+a n−2(n≥3)假设令a1=1,a2=1，则斐波那契数列指的是这样的⼀串数：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,...。
接下来，⽂章提到斐波那契数列特指a1=1,a2=1的这串数。
斐波那契数列的通项公式及证明通项公式斐波那契数列的通项公式⾮常对称：a n=1√5[(√5+12)n−(√5−12)n]可以发现，斐波那契数列都是整数，但斐波那契数列的通项公式确是由⽆理数拼凑⽽来的。
那么接下来，我们就来看看如何证明（求解）证明引⼊⾸先，我们来看看这样的⼀个题⽬：已知a n=k×a n−1+b(n≤2)，求该数列的通项公式（⽤含有k,b,a1的式⼦表⽰）这不是⼀道原题，是我将题⽬中的数字⽤字母代替得到的。
闲话少说，我们来看看这要怎么做。
⾸先，我们要回到两种最基本的数列：等差数列和等⽐数列。
这两个数列的通项公式分别是：a n=a1+(n−1)×d(d为公差)a n=r n−1×a1(r为公⽐)知道了这两个公式，我们便要懂得转化。
可以看到当k=0时，该数列是⼀个常数列，通项公式为a n=a1当k=1时，该数列是⼀个等差数列，通项公式为a n=a1+b×(n−1)当k>1时，就是我们要讨论的重点。
⾸先，我们考虑能不能把他化为等差数列，然⽽，很显然不⾏。
那么，就考虑等⽐数列，我们把常数项b裂解，使之构成这样的⼀个式⼦：a n+t=k(a n−1+b−t)可以通过解⽅程算出t的值，于是原式便变成了⼀个等⽐数列，运⽤等⽐数列的通项公式，然后移项，数列{a n}的通项公式也就求出来了。
Ps.这种⽅法在⾼中必修五会重点讲到，这种计算数列通项公式的算法就叫裂项构造法，后⾯的篇幅讲重点讲⾼中不会涉及的⼆阶递推式的通项公式的求法。
算法斐波那契数列递推式和证明
算法斐波那契数列递推式和证明
斐波那契数列是一系列由0和1开始的数字序列，后续的数字是前两
个数字的和。
数列的递推式可以表示为Fn=Fn-1+Fn-2，其中n>=2，F0=0，F1=1
为了证明斐波那契数列的递推式，我们可以使用数学归纳法。
第一步，基础情况：
当n=2时，F2=F1+F0=1+0=1，符合递推式。
当n=3时，F3=F2+F1=1+1=2，也符合递推式。
第二步，归纳假设：
假设当n=k时，递推式成立，即Fk=Fk-1+Fk-2
我们需要证明当n=k+1时，递推式也成立，即Fk+1=Fk+Fk-1
第三步，归纳证明：
当n=k+1时，根据递推式，我们有Fk+1=Fk+Fk-1
由归纳假设，我们假设Fk=Fk-1+Fk-2，将其代入上式中得：
Fk+1=(Fk-1+Fk-2)+Fk-1
化简上式，得：
Fk+1=2Fk-1+Fk-2
根据递推式，我们有Fk+1=Fk+Fk-1，将其代入上式中得：
Fk+Fk-1=2Fk-1+Fk-2
继续化简上式，得：
Fk=Fk-1+Fk-2
由此可见，当n=k+1时，递推式也成立。
综上所述，斐波那契数列的递推式Fn=Fn-1+Fn-2成立。
斐波那契数列的递推式可以通过以下方法进行证明：
1.确定基础情况，即n=2和n=3时，递推式成立。
2.假设当n=k时，递推式成立，即Fk=Fk-1+Fk-2
3.根据递推式，推导出当n=k+1时，递推式也成立。
4.综上所述，递推式成立。
通过数学归纳法的证明，我们可以确定斐波那契数列的递推式是正确的。
斐波那契数列通项公式证明
斐波那契数列通项公式证明斐波那契数列，这可是数学世界里一个相当有趣的家伙！咱先来说说啥是斐波那契数列。
它是这样一组数：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34…… 从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和。
那咱们就来琢磨琢磨它的通项公式是咋证明的。
要证明斐波那契数列的通项公式，咱们得先引入一些数学工具。
就好比你要去爬山，得先准备好合适的装备。
这里我们要用的就是线性代数里的特征值和特征向量的知识。
假设斐波那契数列的通项公式是 F(n) = a^n （其中 a 是一个待求的数）。
把斐波那契数列的递推关系 F(n) = F(n - 1) + F(n - 2) 代入，就得到了 a^n = a^(n - 1) + a^(n - 2) 。
两边同时除以 a^(n - 2) ，就变成了 a^2 = a + 1 。
解这个方程，就能得到两个根，咱叫它们α和β。
这两个根可神奇了，接下来的证明就得靠它们。
经过一系列复杂但有趣的推导（这中间的过程就像走迷宫，得一步步仔细琢磨），最终我们就能得出斐波那契数列的通项公式：F(n) = [ (1 + √5) / 2 ]^n - [ (1 - √5) /2 ]^n / √5 。
我记得有一次给学生们讲这个的时候，有个小家伙瞪着大眼睛问我：“老师，这玩意在生活中有啥用啊？”我笑着跟他们说：“你们想想，自然界里很多植物的花瓣数量、松果的鳞片排列，都遵循着斐波那契数列的规律呢。
还有啊，股票的走势分析，有时候也能看到斐波那契数列的影子。
” 小家伙们听得似懂非懂，但那充满好奇的眼神让我觉得特别有意思。
总之，斐波那契数列的通项公式证明虽然有点复杂，但当你真正搞懂的时候，那种成就感就像是解开了一道超级难的谜题，爽得很！希望你们也能在数学的海洋里畅游，发现更多的奇妙之处。
斐波那契数列教学设计1
神奇的斐波那契数列一、教学目标1、了解斐波那契数列的有关数学文化；了解斐波那契数列通项公式的推导方法；理解斐波那契数列在数列中的地位。
2、通过研究斐波那契数列相关资料，让学生体验收集、分析材料的一般方法，掌握学会学习的一般技能；通过利用斐波那契数列数列知识研究高中数学知识、现实生活中的应用等问题，让学生在应用中掌握斐波那契数列的数学思想，培养学生应用知识分析问题能力和创新解决实际问题的能力3、通过展示斐波那契数列的数学史，激发学生学习数学的热情态度，塑造良好的人文底蕴；通过介绍斐波那契数列在现实生活中的应用，激发学生的勇于探索、积极思考、追求科学的学习品质；通过互联网技术呈现、感知人类探索数学在万物中的联系、养成良好的审美情趣，促使学生树立献身科学的人生观与回报社会的价值观。
二、教学重难点1、教学重点斐波那契数列及其性质2、教学难点斐波那契数列通项公式的推导三、教学方法学生讨论探究式与教师启发引导式四、学情分析在新课程理念下,初中数学课程目标、课程的内容、教学方式、学习方式等在高中都发生了较大的变化,高一学生在知识、能力、情感态度等方面具备一些新的特点,高一学生主要存在以下特点：目标高远，动力不足、探索学习方法的意识不强、高中学习适应性比较差、学习自觉性和毅力不足、学习方法不得当、运算能力差、学习和复习的效率低、认识水平有待提高。
但探究新知识欲望较强，感性认知多于理性认知，所以本节基于以上学生特点而设置，复合学生的最近认知与发展观。
本课是教材必修五第二章数列第一小节“数列的概念与通项公式”后的阅读与思考的内容，在数列章头封面背景也是呈现了一些斐波那契数列在大自然中的实例，所以有探讨的价值，也有利于激发学生的兴趣，为学生后续数列的学习带来求知欲。
斐波那契数列内容丰富，一节课是不可能全面的呈现斐波那契数列与其应用，本课从学生认知的最近发展区出发来安排教学设计，让学生能对斐波那契数列尽可能的认知，并能运用本节知识解决相关问题，也体现数学源于生活，服务于生活的理念。
斐波那契数列通项公式的推导
斐波那契数列通项公式的推导
在研究斐波那契数列的性质时，我们可以通过观察序列中的规律来寻找通项公式。
下面我将逐步推导出斐波那契数列通项公式。
首先，我们假设斐波那契数列的通项公式为Fn=a^n，其中a为待定常数。
我们希望通过递推关系式F(n)=F(n-1)+F(n-2)来求解a的值。
将n代入递推关系式中，我们得到：
a^n=a^(n-1)+a^(n-2)
我们可以对上式进行变形，将a^(n-2)提取出来：
a^n-a^(n-1)-a^(n-2)=0
进一步变形得到：
a^(n-2)*(a^2-a-1)=0
上式左边的第一项a^(n-2)不等于零，所以我们可以将方程化简为：a^2-a-1=0
这是一个关于a的二次方程，我们可以使用求根公式来求解。
根据求根公式，可以得到：
a=(1±√5)/2
根据数列的性质，我们知道斐波那契数列的项必须是实数，所以我们选择a=(1+√5)/2作为通项公式的解。
因此，斐波那契数列的通项公式为：
Fn=((1+√5)/2)^n
这就是斐波那契数列通项公式的推导过程。
通过这个公式，我们可以根据任意项的序号n来计算出对应的斐波那契数值Fn。
类斐波那契数列通项
类斐波那契数列通项摘要：1.斐波那契数列简介2.斐波那契数列的通项公式3.通项公式的推导过程4.斐波那契数列的性质与应用5.总结正文：斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学上一个非常有趣的数列。
它的定义如下：第一个数为1，第二个数为1，从第三个数开始，每个数都是前两个数之和。
即：1, 1, 2, 3, 5, 8，依次类推。
斐波那契数列的通项公式可以用以下公式表示：F(n) = (1 / sqrt(5)) * [((1 + sqrt(5)) / 2)^n - ((1 - sqrt(5)) / 2)^n]接下来，我们来推导这个通项公式。
首先，我们设((1 + sqrt(5)) / 2 ) 为A，((1 - sqrt(5)) / 2 ) 为B。
那么，A + B = 1，AB = 1/sqrt(5)。
我们可以得到以下等式：A^2 - B^2 = (A + B)(A - B) = 1 * (A - B)将A 和B 代入等式，得到：((1 + sqrt(5)) / 2)^2 - ((1 - sqrt(5)) / 2)^2 = 1 * (((1 + sqrt(5)) / 2) - ((1 - sqrt(5)) / 2))化简后，我们得到：((1 + sqrt(5)) / 2)^n - ((1 - sqrt(5)) / 2)^n = ((1 + sqrt(5)) / 2 - ((1 - sqrt(5)) / 2) * ((1 + sqrt(5)) / 2)^(n-1)由此，我们得到了斐波那契数列的通项公式：F(n) = (1 / sqrt(5)) * [((1 + sqrt(5)) / 2)^n - ((1 - sqrt(5)) / 2)^n]斐波那契数列在数学、生物学、金融等领域有着广泛的应用。
例如，在黄金分割比例中，斐波那契数列就起着关键作用。
此外，斐波那契数列还与贝叶斯定理、杨辉三角等数学知识密切相关。
斐波那契数列通项公式
斐波那契数列通项公式
定义
斐波那契数列指的是每⼀项都等于前两项之和的数列，定义为F[1]=1，F[2]=1, F[n]=F[n-1]+F[n-2]（n>=3）。
通项公式
我们先来研究形如F[n]=c1F[n-1]+c2F[n-2]的数列。
对于这样的数列，F[n]-xF[n-1]与F[n-1]-xF[n-2]的⽐值⼀定是⼀个定值，即：
将其进⾏移项运算，得：
对应得：
回到斐波那契数列的问题中来，把c1=c2=1代⼊特征⽅程组得：
解得：
两组解分别记为x1、y1、x2、y2。
再看：
此式是⼀个公⽐为y的等⽐数列，第⼀项为F[1]-xF[0]，第⼆项为F[2]-xF[1]，以此类推，第n项为F[n]-xF[n-1]，根据等⽐数列公式F[n]=F[1]q n-1得：将两组x、y的解代⼊得⽅程组：
将x1=y2；x2=y1代⼊后，解得：
因为F[0]，F[1]，x1，x2均为已知，可记为常项，得到斐波那契数列的通项公式：
⼜因为F[1]=F[2]=1，所以得到⽅程组：
解得：
因此，斐波那契数列的通项公式为：。
斐波那契数列通项公式
斐波那契数列通项公式首先，我们先从前几项开始观察斐波那契数列的规律：F(0)=0F(1)=1F(2)=F(1)+F(0)=1+0=1F(3)=F(2)+F(1)=1+1=2F(4)=F(3)+F(2)=2+1=3F(5)=F(4)+F(3)=3+2=5...可以发现，斐波那契数列的每一项都是前两项的和。
也就是说，F(n)=F(n-1)+F(n-2)。
现在，我们假设斐波那契数列的通项公式为Fn=a^n，其中a为待确定的常数。
将这个表达式代入F(n)=F(n-1)+F(n-2)中，得到: a^n=a^(n-1)+a^(n-2)接下来，我们将方程两边都除以a^(n-2)，得到：a^2=a+1由上述方程可以得到a的两个解：a1 = (1 + sqrt(5))/2a2 = (1 - sqrt(5))/2所以，斐波那契数列的通项公式可以表示为：Fn = ( (1 + sqrt(5))/2 )^n - ( (1 - sqrt(5))/2 )^n / sqrt(5)这就是斐波那契数列的通项公式。
通过这个公式，我们可以直接计算任意一项的值，而不需要逐个相加。
斐波那契数列的通项公式在数学和计算机科学中有着广泛的应用。
因为斐波那契数列具有许多特殊的数学性质，这个通项公式可以用来研究这些性质，解决一些相关的问题。
而在计算机科学中，通过这个公式可以更高效地计算斐波那契数列的任意一项的值，而不需要使用递归或迭代的方法。
总结一下，斐波那契数列的通项公式为Fn = ( (1 +sqrt(5))/2 )^n - ( (1 - sqrt(5))/2 )^n / sqrt(5)。
这个公式可以用来计算斐波那契数列的任意一项的值，大大提高了计算效率。
求斐波那契数列的通项公式
求斐波那契数列的通项公式斐波那契数列，这可是数学世界里一个相当有趣的家伙！咱们先来了解一下啥是斐波那契数列。
比如说，一开始有一对小兔子，小兔子长大需要一个月，长大之后每个月就能生一对小兔子。
第一个月就这一对小兔子，第二个月还是这一对，第三个月这一对长大能生了，就变成两对，第四个月原来的一对又生了一对，加上之前的两对，就有三对……这样依次下去，1，1，2，3，5，8，13，21……这就是斐波那契数列。
那怎么求出它的通项公式呢？这可得费点脑筋。
咱们先设斐波那契数列的第 n 项为 F(n) 。
为了找到通项公式，咱们可以试试从简单的数学方法入手。
比如说，咱们可以观察相邻两项的关系。
发现 F(n) = F(n - 1) + F(n - 2) ，这就是斐波那契数列的核心特点。
但仅仅知道这个关系还不够，要找到通项公式可没那么简单。
这时候就得用到一些更高级的数学工具啦。
咱们假设通项公式是一个形如 F(n) = x^n 的形式。
把这个假设代入到 F(n) = F(n - 1) + F(n - 2) 这个关系式中，经过一系列复杂的计算和推导（这过程可有点烧脑），最终就能得到斐波那契数列的通项公式。
说到这，我想起之前给学生讲这部分内容的时候，有个小家伙特别积极，瞪着大眼睛，一直问问题。
我给他一步一步解释，看着他从一脸迷茫到最后恍然大悟的样子，那种成就感简直爆棚！求出斐波那契数列的通项公式，不仅能让我们更深入地理解这个神奇的数列，还能在很多实际问题中派上用场。
比如说在计算机编程里，用通项公式可以快速生成斐波那契数列的项，提高程序的效率。
总之，虽然求斐波那契数列的通项公式有点难，但只要咱们有耐心，有探索的精神，就能攻克这个难关，发现数学世界里更多的精彩！。
斐波那契数列
斐波那契数列斐波那契数列的通项公式推导山西省原平市原平一中任所怀做了这些年的数学题，我时常有这样的感受。
一个新的数学题初次接触时，会觉得这个题的解题技巧很妙，甚至有点非夷所思，但如果把同类型问题多做几个，你就会发现原来所谓的技巧，其实是一种再正常不过的想法，是一种由已知到未知的必然之路。
这样我们就由解题的技巧而转化到了通解通法，进一步就会形成解题的思想，所以我对于数学爱好者建议，做题时要把同类型题多种总结和分析，这样你的数学才会有长足的进步。
下面我们就由递推推导通项的问题，进行对比分析。
例1在数列中，，求数列的通项。
（普通高中课程标准实验教科书人教A版必修5第69页6题）分析：此题可分两步来进行，首先由构造一个等比数列，其中，并写出的通项；然后利用，两边同除以得，由累加法，就可求出数列的通项。
解：（设，则（）所以数列为等比数列，且首项为，公比为3。
所以。
于是有，两边都除以得设，则有由累加法可得因为所以（）于是有。
总结：上面的求解过程实质，求是一个把已知条件逐步化简的过程，由相邻三项的递推关系化为相邻两项的递推关系，进一步求出通项公式。
下面我们来研究一下著名的斐波那契数列的通项。
已知数列，其中，，求数列的通项。
解：首先我们要构造一个等比数列，于是设则有。
（1）则由已知得（2）对照（1）（2）两式得解得或。
我们取前一解，就会有。
设，则有所以数列为等比数列，首项为，公比为所以。
即（3）再次构造等比数列，设则有对照（3）式，可得所以x=.于是有设，则有数列为等比数列，首项为，公比为，于是=所以有。
作者简介：任所怀，性别男，山西省原平市原平一中数学教师。
生于1973年9月10日，主要致力于中学数学教学研究。
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斐波那契数列斐波那契数列，又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递推的方法定义：F(1)=1，F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=3，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963年起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。
定义斐波那契数列指的是这样一个数列1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，17711，28657，46368........自然中的斐波那契数列这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。
斐波那契数列的定义者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契，生于公元1170年，卒于1250年，籍贯是比萨。
他被人称作“比萨的列昂纳多”。
1202年，他撰写了《算盘全书》（Liber Abacci）一书。
他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。
他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点于阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。
他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯等地研究数学。
通项公式递推公式斐波那契数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...如果设F(n）为该数列的第n项（n∈N*），那么这句话可以写成如下形式：:F(n)=F(n-1)+F(n-2)显然这是一个线性递推数列。
通项公式(如上，又称为“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。
) 注：此时通项公式推导方法一：利用特征方程（线性代数解法）线性递推数列的特征方程为：x²=x+1解得，.则∵∴解得方法二：待定系数法构造等比数列1（初等代数解法）设常数r，s .使得则r+s=1，－rs=1n≥3时，有……联立以上n-2个式子，得：∵，上式可化简得：那么……（这是一个以为首项、以为末项、为公比的等比数列的各项的和）。
，的解为则方法三：待定系数法构造等比数列2（初等代数解法）设得构造方程解得，所以由(1)(2)式得化简可得方法四：母函数法。
对于斐波那契数列{a n}，有a1=a2=1,a n=a n-1+a n-2(n>2时)令S(x)=a1x+a2x+…+a n x n+...那么有S(x)*(1-x-x²)=a1x+(a2-a1)x²+…+(a n-a n-1-a n-2)x n+...=x 因此S(x)=.不难证明1-x-x²=-(x+)(x+)=(1-*x)(1-*x).因此S(x)=*[x/(1-*x)-x/(1-*x)].再利用展开式1/(1-x)=1+x²+…+x n+…于是就可以得S(x)=b1x+b2x²+…+b n x n+…其中b n=*[()n - ()n].因此可以得到a n=b n=*[()- ()]与黄金分割关系有趣的是，这样一个完全是自然数的数列，通项公式却是用无理数来表达的。
而且当n 趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618（或者说后一项与前一项的比值小数部分越来越逼近0.618）。
1÷1=1，1÷2=0.5，2÷3=0.666...，3÷5=0.6，5÷8=0.625…………，55÷89=0.617977……………144÷233=0.618025…46368÷75025=0.6180339886…...越到后面，这些比值越接近黄金比.证明两边同时除以得到：。
若的极限存在，设其极限为x，则。
所以。
由于解得所以极限是黄金分割比。
特性平方与前后项从第二项开始，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1。
如：第二项1的平方比它的前一项1和它的后一项2的积2少1，第三项2的平方比它的前一项1和它的后一项3的积3多1。
（注：奇数项和偶数项是指项数的奇偶，而并不是指数列的数字本身的奇偶，比如从数列第二项1开始数，第4项5是奇数，但它是偶数项，如果认为5是奇数项，那就误解题意，怎么都说不通）证明经计算可得：[f(n)]^2-f(n-1)f(n+1)=(-1)^(n-1)与集合子集斐波那契数列的第n+2项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数。
奇数项求和偶数项求和平方求和隔项关系f(2n-2m-2)[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m) [ n〉m≥-1，且n≥1]两倍项关系f(2n)/f(n)=f(n-1)+f(n+1)其他公式应用生活斐波那契斐波那契数列中的斐波那契数会经常出现在我们的眼前——比如松果、凤梨、树叶的排列、某些花朵的花瓣数（典型的有向日葵花瓣），蜂巢，蜻蜓翅膀，超越数e（可以推出更多），黄金矩形、黄金分割、等角螺线，十二平均律等。
合并图册(2张)斐波那契数与植物花瓣3………………………百合和蝴蝶花5……………………蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草、毛茛花8………………………翠雀花13………………………金盏和玫瑰21……………………紫宛34、55、89……………雏菊斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。
例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那些叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。
叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。
叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。
在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序（源自希腊词，意即叶子的排列）比。
多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。
黄金分割随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887..…杨辉三角将杨辉三角左对齐，成如图所示排列，将同一斜行的数加起来，即得一数列1、1、2、3、5、8、……公式表示如下：f⑴=C(0,0)=1。
f⑵=C(1,0)=1。
f⑶=C(2,0)+C(1,1)=1+1=2。
f⑷=C(3,0)+C(2,1)=1+2=3。
f⑸=C(4,0)+C(3,1)+C(2,2)=1+3+1=5。
f⑹=C(5,0)+C(4,1)+C(3,2)=1+4+3=8。
f⑺=C(6,0)+C(5,1)+C(4,2)+C(3,3)=1+5+6+1=13。
……f(n)=C(n-1,0)+C(n-2,1)+…+C(n-1-m,m) (m<=n-1-m)矩形面积斐波那契数列与矩形面积的生成相关，由此可以导出一个斐波那契数列的一个性质。
斐波那契数列前几项的平方和可以看做不同大小的正方形，由于斐波那契的递推公式，它们可以拼成一个大的矩形。
这样所有小正方形的面积之和等于大矩形的面积。
则可以得到如下的恒等式：质数数量斐波那契数列的整除性与质数生成性每3个连续的数中有且只有一个被2整除，每4个连续的数中有且只有一个被3整除，每5个连续的数中有且只有一个被5整除，每6个连续的数中有且只有一个被8整除，每7个连续的数中有且只有一个被13整除，每8个连续的数中有且只有一个被21整除，每9个连续的数中有且只有一个被34整除，.......我们看到第5、7、11、13、17、23位分别是质数：5，13，89，233，1597，28657（第19位不是）斐波那契数列的质数无限多吗？尾数循环斐波那契数列的个位数：一个60步的循环11235,83145,94370,77415,61785,38190,99875,27965,16730,33695,49325,72910…进一步，斐波那契数列的最后两位数是一个300步的循环，最后三位数是一个1500步的循环，最后四位数是一个15000步的循环，最后五位数是一个150000步的循环。
自然界中“巧合”斐波那契数列在自然科学的其他分支，有许多应用。
例如，树木的生长，由于新生的枝条，往往需要一段“休息”时间，供自身生长，而后才能萌发新枝。
所以，一株树苗在一段间隔，例如一年，以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”。
这样，一株树木各个年份的枝桠数，便构成斐波那契数列。
这个规律，就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。
另外，观察延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花的花瓣，可以发现它们花瓣数目具有斐波那契数：3、5、8、13、21、……其中百合花花瓣数目为3，梅花5瓣，飞燕草8瓣，万寿菊13瓣，向日葵21或34瓣，雏菊有34,55和89三个数目的花瓣。
斐波那契螺旋：具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部这些植物懂得斐波那契数列吗？应该并非如此，它们只是按照自然的规律才进化成这样。
这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。
叶子的生长方式也是如此，对于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360度之比是黄金分割数0.618033989……的倒数，而这种生长方式就决定了斐波那契螺旋的产生。
向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时能达到89，甚至144条。
1992年，两位法国科学家通过对花瓣形成过程的计算机仿真实验，证实了在系统保持最低能量的状态下，花朵会以斐波那契数列长出花瓣。
数字谜题三角形的三边关系定理和斐波那契数列的一个联系：现有长为144cm的铁丝，要截成n小段（n>2），每段的长度不小于1cm，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n的最大值为多少？分析：由于形成三角形的充要条件是任何两边之和大于第三边，因此不构成三角形的条件就是存在两边之和不超过另一边。
截成的铁丝最小为1，因此可以放2个1，第三条线段就是2（为了使得n最大，因此要使剩下来的铁丝尽可能长，因此每一条线段总是前面的相邻2段之和），依次为：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55，以上各数之和为143，与144相差1，因此可以取最后一段为56，这时n达到最大为10。