点集拓扑学练习题(第二章)(答案)

练习（第二章）参考答案：
一.判断题(每小题2分)
1.集合X 的一个拓扑有不只一个基,一个基也可以生成若干个拓扑( × )
2.拓扑空间中任两点的距离是无意义的.( √ )
3.实数集合中的开集,只能是开区间,或若干个开区间的并.( × )
4.T 1、T 2是X 的两个拓扑，则T 1UT 2是一个拓扑.( × )
5.平庸空间中任一个序列均收敛，且收敛于任一个点。

（ √ ）
6.从（X ，T 1）到（X ，T 2）的恒同映射必是连续的。

（ × ）
7．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( √ )
8．设12, T T 是集合X 的两个拓扑，则12 T T ⋂不一定是集合X 的拓扑(
× ) 9.从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（ √ ）
10.设A 为离散拓扑空间X 的任意子集，则()d A φ= （ √ ）
11.设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则()d A φ= （
× ） 12.设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集，则()d A X = （
√ ）
二．填空题：(每空格3分)
1、X=Z +,T={Z 1,Z 2,…Z n …},其中
Z n ={n,n+1,n+2,…},
则包含3的所有开集为 321,,Z Z Z
包含3的所有闭集为 ,...,,,/
6/5/41Z Z Z Z
包含3的所有邻域为 3321}1{,,,Z Z Z Z ⋃
设A={1,2,3,4,5} 则A 的导集为{1,2,3,4} ，A 的闭包为{1,2,3,4,5}
2、设X 为度量空间,x ∈X,则d （{x}）=∅
3、在实数空间R 中，有理数集Q 的导集是____ R ____.
4、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 ;
答案： ({})U A x φ⋂-≠
5、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则()d A = ; A = ;
答案：X ；X
6、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则()d A = ; A = ;
答案：X ；X
7、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ;
答案：{2}
三、单项选择题（每题2分）
1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.
① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T
② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T
③ {,,{},{,}}X a a b φ=T
④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T 答案：③
2、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =（ ）
①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d 答案：④
3、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ）
①φ ② X ③ {,}a b ④ {,,}b c d 答案：②
4、设{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的
个数为（ ）
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②
5、设{,}X a b =，拓扑{,,{}}X b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为（ ） ① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案：③
6、在实数空间中，有理数集Q 的内部Q 是（ ）
① φ ② Q ③ R -Q ④ R 答案：①
7、在实数空间中，有理数集Q 的边界()Q ∂是（ ）
① φ ② Q ③ R -Q ④ R 答案：④
8、在实数空间中，整数集Z 的内部Z 是（ ）
① φ ② Z ③ R -Z ④ R 答案：①
9、在实数空间中，整数集Z 的边界()Z ∂是（ ）
① φ ② Z ③ R -Z ④ R 答案：②
10、在实数空间中，区间[0,1)的边界是（ ）
① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案：③
11、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中错误的是（ ）
① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B ⋃=⋃
③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A = 答案: ③
12、已知X 是一个离散拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是
（ ）
① ()d A φ= ② ()d A X A =-
③ ()d A A = ④ ()d A X = 答案：①
13、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中不正确的是
（ ）
① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X A =-
③ 若A={12,x x },则()d A X = ④ 若A X ≠, 则()d A X ≠ 答案：④
14、设{,,,}X a b c d =，令{{,,},{},{}}a b c c d =B ,则由B 产生的X 上的拓扑是（ ）
① { X ,φ,{c },{d },{c ,d },{a ,b ,c }}
② {X ,φ,{c },{d },{c ,d }}
③ { X ,φ,{c },{a ,b ,c }}
④ { X ,φ,{d },{b ,c },{b ,d },{b ,c ,d }} 答案：①
15、离散空间的任一子集为( )
① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案：③
16、平庸空间的任一非空真子集为( )
① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案：④
17、实数空间R 中的任一单点集是 ( )
① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭 答案：②
18、实数空间R 的子集A ={1,21,31 ,4
1,……},则A ＝（ ）
①φ ② R ③ A ∪{0} ④ A 答案：③
19、在实数空间R 中，下列集合是闭集的是（ ）
① 整数集 ② [)b a , ③ 有理数集 ④ 无理数集 答案：①
20、在实数空间R 中，下列集合是开集的是（ ）
① 整数集Z ② 有理数集
③ 无理数集 ④ 整数集Z 的补集Z ' 答案：④
21、已知{1,2,3}X =上的拓扑{,,{1}}T X φ=,则点1的邻域个数是（ ）
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：④
22、已知{,}X a b =,则X 上的所有可能的拓扑有（ ）
① 1个 ② 2个 ③ 3个 ④ 4个 答案：④
23、在实数下限拓扑空间R 中，区间[,)a b 是（ ）
① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭 答案：③
24、设X 是一个拓扑空间，,A B X ⊂,且满足()d A B A ⊂⊂,则B 是（ ）
① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭 答案：②
四.证明题(52分):
1. 设X 有拓扑i n i n T T T T 121,,...,=⋂⇒也是拓扑.
证:
i n i T
A i T A i n i i i i n i i n i i i i n i i
n i i T A n i T A T A n i T A n i T T T T T B A n i T B A n i T B A T B A T X n i T X 1~~1T ~A T ~A 1111,...1,,...1,,
...1,~,~)3(,...1,.
...1,,,,)2(,,,...2,1,,)1(=∈∈=∈∈====⋂∈⋃⇒=∈⋃⇒⋂∈⋃⇒=∈⋃⇒=⊂⇒⋂⊂∀⋂∈⋂⇒=∈⋂⇒=∈∴⋂∈∀⋂∈∅∴=∈∅
所以i n
i T 1=⋂也是拓扑.
2.度量空间中收敛序列的极限是唯一的. 证:设度量空间X 中序列+∈Z i i x }{有：y x x x i i i i ==→∞
→∞lim ,lim 若y x ≠ 则B(x,ρ(x , y )/3)∩B(y, ρ(x , y )/3)=∅.
对于B(x , ρ(x , y )/3),存在1N >0,当i >1N 时
有∈i x B(x , ρ(x , y )/3)
对于B(y , ρ(x , y )/3),存在2N >0,当i >2N 时
有∈i x B(y , ρ(x , y )/3)
取N =max{1N ,2N },则当i > N 时
有∈i x B(x , ρ(x , y )/3)∩B(y , ρ(x , y )/3)
与B(x , ρ(x , y )/3)∩B(y , ρ(x , y )/3)=∅. 矛盾
3.设X 是一个拓扑空间,B 是一个基, x ∈X,则B x ={B ∈B | x ∈B}是点x 处的一个邻域基.
见P.82 定理2.6.7
4.在欧氏平面R 2中令Y={(0,y)|y ∈R}∪{(x,0)|x ∈R},证明:Y 与实数空间R 不同胚.(提示:用反证法)
证:设Y 与实数空间R 同胚.则仍有Y-{0,0}与R-{0}同胚.但Y -{0,0}有四个连通分支,而R-{0}却只有两个连通分支.而连通性是拓扑不变的,得到矛盾.所以Y 与实数空间R 不同胚.。