高等工程数学-09
高等工程数学第四版
高等工程数学第四版《高等工程数学第四版》是一本涵盖了高等工程数学基础知识的教材。
工程数学是一门应用数学，它将数学理论与实际工程问题相结合，为工程领域的建模、分析和解决问题提供数学工具和方法。
本教材系统地介绍了高等数学在工程领域的应用，包括微积分、线性代数、常微分方程、概率论与数理统计等内容。
微积分是工程数学的重要基础。
微积分研究的是变化量和变化率，它广泛应用于工程领域中的优化、控制、信号处理等问题。
本教材详细介绍了微积分的基本概念、导数和积分的计算方法，以及微分方程和级数的应用。
线性代数是工程数学中的重要分支。
线性代数研究的是向量空间和线性变换，它在工程领域中广泛应用于矩阵运算、线性方程组的求解、特征值和特征向量的计算等问题。
本教材系统地介绍了线性代数的基本概念、线性方程组的解法、矩阵的特征值和特征向量等内容。
常微分方程是工程数学中的重要工具。
常微分方程研究的是描述变化的函数关系，它在工程领域中广泛应用于系统动力学、电路分析、机械振动等问题。
本教材详细介绍了常微分方程的基本理论、一阶和高阶常微分方程的解法、稳定性和相图等内容。
概率论与数理统计是工程数学中的重要支柱。
概率论研究的是随机事件的概率和规律，数理统计研究的是通过样本数据对总体进行推断和决策。
它们在工程领域中广泛应用于可靠性分析、信号处理、质量控制等问题。
本教材系统地介绍了概率论的基本概念、概率分布、随机变量和随机过程，以及数理统计的基本理论、参数估计和假设检验等内容。
《高等工程数学第四版》全面而深入地介绍了高等数学在工程领域的应用。
它不仅提供了工程数学的基础知识，还通过大量的例题和习题帮助读者巩固理论知识，并培养解决实际工程问题的能力。
这本教材适用于工科专业的大学生和从事工程技术工作的工程师，它不仅可以作为课堂教学的教材，还可以作为工程数学的参考书和工程实践的指导书。
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35．如果
Ax
b,
法求解此方程组的敛散性情况是
36．函数
37．线性规划
；
y
f
A
(x1, x2 )
5 1 2
3
2 3
1
4
9 10
1
3 6 9
x1 x22
3
1 5
5
，矩阵
A 1
；
，已知 x1 和 x2 的绝对误差分别为 (x1) 和 (x2 ) ，则 ( y)
，
9. 若函数 f (x) 2x3 3x 0 , 给出该方程存在正根的区间
迭代公式是
10. 给出线性规划标准型的特点：
ห้องสมุดไป่ตู้
；
，
11．求解无约束非线性最优化问题的下降迭代算法中，下降方向应该满足的条件是：
；
；
；
12．已知函数 y f (x) 过点 (xi , yi ),i 0,1, 2,, n ， xi [a, b] ，设函数 S (x) 是 f (x) 的三次样条 插值函数，则 S (x) 满足的三个条件是
；
13．在进行单因子方差分析中，A 因子取五个水平，共进行了 N 25 次试验，通过计算得到
SSA 1600; SST 8500 ，因此 FA
显著性影响。
14．随机变量 X 服从参数为 的指数分布即分布密度为 f (x) ex ; x 0 , X 是样本均值，则
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
(建筑工程管理)高等工程数学试题
（建筑工程管理）高等工程数学试题中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷考试日期：2011年月日时间110分钟注：解答全部写于答题纸上壹、填空题(本题24分，每小题3分)（1）对方程，写出其Newton迭代公式【注意重根】，使得由迭代公式产生的序列能够2阶收敛于方程的唯壹正根；（2）于上，设和等价，则当满足，和时，由（）产生的序列收敛于方程的根；（3）用Doolittle分解法求方程：则：= ，= ，解= ；（4）已知，则：；；。
（5）已知于区间上通过点，则其三次样条插值函数是满足，，；（6）设有线性回归模型，其中且相互独立，写出参数的最小二乘估计。
（7）于多元线性回归建模过程中，需要考虑自变量的选择问题。
写出三种常用的自变量的选取方法。
（8）影响数学模型数值求解结果的误差有：，，。
二、（本题8试求三次Newton三、（本题10分）引入人工变量利用大M法求解下面的线性规划（要求写出计算过程）：四、（本题8分）某厂生产甲、乙、丙三种产品，均分别经A,B俩道工序加工，A工序于设备或上完成，B工序于，，三种设备上完成。
已知产品甲可于A，B任何壹种设备上加工；产品乙可于任何规格的A设备上加工，但完成B工序时，只能于设备上加工；产品丙只能于和设备上加工。
加工单位产品所需要工序时间及其他数据见下表。
（1）建立线性优化模型，安排使该厂获利最大的最优生产计划（不要求计算出结果）；（2）写出所建立的模型的对偶形式。
五、（本题12分）壹种生产降血压药品的生产厂家声称，他们生产的壹种降压药服用壹周后能使血压明显降低的效率能够达到80%，今于高血压的人群中随机抽取了200人服用此药品，壹周后有148人血压有明显降低，试问生产厂家的说法是否真实？六、（本题10分）设有数值求积公式，试确定，使该数值积分公式有尽量高的代数精度，且确定其代数精度为多少。
七、（本题二、四列，解答下列问题：（1）它们的交互作用分别位于哪壹列？（2）若按这种表头作试验且测得产量为83.4,84.0,87.3,84.8,87.3,88.0,92.3,90.4，试寻找较好的生产条件。
高等工程数学试题及参考答案-工程硕士
中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷考试日期：2010年 4 月 日 时间110分钟注：解答全部写在答题纸上一、填空题(本题24分，每小题3分) 1. 若方程0)(=x f 可表成)(x xϕ=，且在[,]a b 内有唯一根*x ，那么)(x ϕ满足，则由迭代公式)(1n n x x ϕ=+产生的序列{}n x 一定收敛于*x 。
（)(x ϕ满足：1()[,]x C a b ϕ∈,且[,]x a b ∀∈有()[,]x a b ϕ∈, '()1x L ϕ≤<；）2. 已知二元非线性函数221122120()24,(2,2)Tf x x x x x x x X =-++-=，该函数从X 0 出发的最速下降方向为 （最速下降方向为：()4,2Tp =-）； 3．已知二元非线性函数221122120()24,(2,2)Tf x x x x x x x X =-++-=，该函数从X 0 出发的Newton 方向为 （Newton 方向为： ()2,0Tp =-）； 4．已知)(x f y =在区间],[b a 上通过点(,),0,1,2,,i i x y i n =L ，则其三次样条插值函数)(x S 是满足 （（1）在每个小区间是次数不超过3次的多项式，（2）在区间[,]a b 上二阶导数连续，（3）满足插值条件(),0,1,2,,i i S x y i n ==L ）；5．设某个假设检验问题的拒绝域为W ，且当原假设H 0成立时，样本值12(,,,)n X X X L 落入W 的概率为0.15，则犯第一类错误的概率为________（0.15） ；6．在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信水平愈 大 愈好，而置信区间的长度愈 短 愈好。
但当增大置信水平时，则相应的置信区间长度总是 变长 ； 7．取步长2.0=h ，解]1,0[,1)0(2'∈⎩⎨⎧=-=x y yx y 的Euler 法公式为：（1(2)0.60.2,0,1,2,,5n n n n n n y y h x y y x n +=+-=+=L ）；8．对实际问题进行建模求解时可能出现的误差有： （模型误差，观测误差，方法误差，舍入误差。
高等工程数学 PPT
( p, q) 在 Re p>0,Re q>0 内为全纯函数.
18
函数满足如下重要性质:
性质4.对称性 ( p, q) (q, p) 性质5. 与 的关系
( p, q) ( p ) ( q ) ( p q )
19
(1.8)
(1.9)
Section 3. 误差函数
了解特殊函数的定义，熟悉特
殊函数的基本性质
为后续学习打下基础 特殊函数也广泛应用于工程科
学中。
5
内容简介
积分变换理论包括
F－氏变换 L－氏变换 其它变换。如：小波变换等。
6
内容简介
积分变换理论意义
直接用来求解微分方程 广泛应用于其它工程科学。如
振动力学、电工学、无线电技 术等等。
C1
2 (t z )
2
dt
1
(1.15)
4i sin
(t 1)
C2
2 ( z t)
dt
(1.16)
其中,C1为沿(- ,-1)切开的t平面上的一条正向闭 曲线,且含1, z为内点. C2为在t平面上沿负向 绕1一周,沿正向绕点-1一周的8字形闭曲线.
23
本章参考书目
个领域中常用的应用数 学方法
为今后学习其它工程课
程奠定必要的数学基础
2
内容简介
特殊函数(高等函数)
积分变换理论
泛函与变分法
曲线与曲面造型
3
内容简介
特殊函数(高等函数)定义
某些特定形式含参数积分
某些偏微分方程的特征函数 椭圆函数
4
内容简介
高等工程数学《方差分析与正交试验设计》课件
交互作用就是两个因子相互联合对试验指标的影响. 例如,磷肥与氮肥对农作物的产量均有影响,但它们的相互 搭配对农用物的产量的影响可能更大.我们用表描述如下
A
B
B1(不施磷肥) B2(施50公斤磷肥)
A1(不施氮肥)
300kg
A2(施50公斤氮肥) 400kg
450kg 700kg
则(700-450)-(400-300)=150kg为交互作用的影响.
xi
48 30 24 30 36
xi2
408 158 102 162 236
总和
168
1066
试检验不同药物对病人的痊愈时间有无差别？
解：
48
30
24
30
36
x1 6 8, x2 6 5, x3 6 4, x4 6 5, x5 6 6,
x 168 5.6 30
SST 1066 305.62 125.2
i1 j1
因此
r ni
=
(i )2 (N 1) 2
i1 j1
r ni
E(SSA)=
(i )2 (r 1) 2
i1 j1
从这个结果,我们可以看出
(1)SSE只与随机误差有关,我们称之为误差平方和
且ˆ 2 SSE 为 2的无偏估计
N r
(2) SSA不仅与随机误差有关,而且与A的各水平的差异有 关,我们称之为由A因子引起的离差平方和, SSA越大, A的 各水平的差异也越大,因此,可用它来检验H0是否成立.在H0 成立的条件下,
例：设有5种治疗麻疹的药，要比较它们的疗效。 假定将30个病人分成5组，每组6人，令同组病人使 用同一种药，并记录病人从使用药物开始到痊愈所 需时间，得到下表的记录：
高等工程数学笔记
⾼等⼯程数学笔记⾼等⼯程数学笔记第⼀部分矩阵理论（矩阵分析）第⼀章线性空间与线性变换⼀、线性空间的概念1.数域：含有⾮零数的数集F ，F 中四则运算封闭即F b a ∈?,，有)0(,,,≠∈∈?∈-∈+b F ba Fb a F b a F b a常见数域：有理数域Q ，实数域R ，复数域C 其他数域：{}{}{}{}1,,1,Q ,Q ,3Q ,222321-=∈+=-=∈+=∈+=∈+=i R b a bi a C i b a bi a F b a ba Fb a b a F整数集Z 不是数域数域特点：F F F ∈∈∈整数,0,1C F Q ??2.线性空间的定义设V 是⼀个⾮空集合，F 是⼀个数域，V 中元素定义了两种运算①加法②数乘即V ∈?βα,，有唯⼀V ∈+βα与之对应；F R V ∈?∈?,α，有唯⼀V k ∈α与之对应，并且满⾜：(1) V ∈?βα,，有αββα+=+(2) V ∈?γβα,,，有)()(γβαγβα++=++(3)V 中存在零元θ，使得V ∈?α，总有αθαθα+==+(4) V V ∈?∈?βα,，使得θβα=+，记αβ-=（称为α的负元） (5) F l k ∈?,，V ∈?α，有αααl k l k +=+)( (6) V F k ∈?∈?βα,,，有βαβαk k k +=+)( (7) V F l k ∈?∈?α,,，有ααα)()()(kl k l l k == (8) αααα-=-=)1(,1则称集合V 为数域F 上的⼀个线性空间。
3.线性空间的例⼦例1.(1) R F R V n ==,+++=+ =?=n nn nb a b a b a b b b a a a22112121,βαβα ??=?=∈?000,,21θαnka ka ka k F k V 称为F 的线性空间(2) C F C V n ==,，V 也构成F 上的线性空间例2. (1) R F RV nm ==?,n m ij mn m m n n n a a a a a a a a a a a a a A ?===)(21332312222111211记α V b B n m ij ∈==?)(βn m ij ij mn mn m m nn b a ba b a b a b a B A ?+=++++=+=+)(11111111βα==∈mn m m n ka ka ka ka ka ka kA k F k2111211,α=000000000θ V 构成F 上的线性空间(2) C F C V n m ==?, V 构成F 上的线性空间例3.{}R Fb a b a C V ===,],[],[成的集合上的实的连续函数所组],[)(),(b a C x g x f ∈==?βα有],[)()(b a C x g x f ∈+=+βα],[)(,b a C x kf k R k ∈=∈?αθ=恒为0的常数函数 V 构成F 上的线性空间例4.设F 为⼀个数域，令{}n n n n t F F aa a t a t a t a a V ][,,110112210记=∈++++=--- ={数域F 上关于t 的次数⼩于n 的多项式或零多项式} V 构成数域F 上的线性空间4.性质设V 是数域F 上的⼀个线性空间，则 (1) V 中零元θ⼀定存在⽽且唯⼀(2) V ∈?α，则α的负元⼀定存在⽽且唯⼀ (3) V F k ∈∈α,，则θαθα==?=或0k k 为讨论⽅便，把线性空间V 的元素称为⼴义向量。
(建筑工程管理)高等工程数学试题
（建筑工程管理）高等工程数学试题中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷考试日期：2011年月日时间110分钟注：解答全部写于答题纸上壹、填空题(本题24分，每小题3分)（1）对方程，写出其Newton迭代公式【注意重根】，使得由迭代公式产生的序列能够2阶收敛于方程的唯壹正根；（2）于上，设和等价，则当满足，和时，由（）产生的序列收敛于方程的根；（3）用Doolittle分解法求方程：则：= ，= ，解= ；（4）已知，则：；；。
（5）已知于区间上通过点，则其三次样条插值函数是满足，，；（6）设有线性回归模型，其中且相互独立，写出参数的最小二乘估计。
（7）于多元线性回归建模过程中，需要考虑自变量的选择问题。
写出三种常用的自变量的选取方法。
（8）影响数学模型数值求解结果的误差有：，，。
二、（本题8试求三次Newton三、（本题10分）引入人工变量利用大M法求解下面的线性规划（要求写出计算过程）：四、（本题8分）某厂生产甲、乙、丙三种产品，均分别经A,B俩道工序加工，A工序于设备或上完成，B工序于，，三种设备上完成。
已知产品甲可于A，B任何壹种设备上加工；产品乙可于任何规格的A设备上加工，但完成B工序时，只能于设备上加工；产品丙只能于和设备上加工。
加工单位产品所需要工序时间及其他数据见下表。
（1）建立线性优化模型，安排使该厂获利最大的最优生产计划（不要求计算出结果）；（2）写出所建立的模型的对偶形式。
五、（本题12分）壹种生产降血压药品的生产厂家声称，他们生产的壹种降压药服用壹周后能使血压明显降低的效率能够达到80%，今于高血压的人群中随机抽取了200人服用此药品，壹周后有148人血压有明显降低，试问生产厂家的说法是否真实？六、（本题10分）设有数值求积公式，试确定，使该数值积分公式有尽量高的代数精度，且确定其代数精度为多少。
七、（本题二、四列，解答下列问题：（1）它们的交互作用分别位于哪壹列？（2）若按这种表头作试验且测得产量为83.4,84.0,87.3,84.8,87.3,88.0,92.3,90.4，试寻找较好的生产条件。
高等工程数学
摘要高等工程数学是工程类硕士研究生的一门重要的数学基础课程，在研究生数学素养的训练、创新能力的提高方面具有重要作用。
内容包含矩阵论、数值计算方法和数理统计三部分，其主要内容有：先行空间与线性变换、内积空间、矩阵的标准型、数理统计的基本概念与抽样分布、参数估计、假设检验、回归分析与方差分析。
关键词：线性空间、假设检验、方差分析一、线性空间的综述简单的说，线性空间是这样一种集合，其中任意两元素相加可构成此集合内的另一元素，任意元素与任意数（可以是实数也可以是复数，也可以是任意给定域中的元素）相乘后得到此集合内的另一元素。
线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。
1.1 数域的概念设P是一个非空数集，且至少含有非零的数，若P中任意两个数的和、差、积、商（除分母为零外）仍属于该集合，则称P是一个数域。
容易验证有理数集合Q、实数集合R与复数集合C都是数域，分别称为有理数域、实数域与复数域。
1.2 线性空间定义设V是一个非空集合，P是一个数域，如果:(1)在集合V上定义一个二维运算（通常称为加法），即对V中任意两个元素x,y经过这个运算后得到的结果，仍是集合V中唯一确定的元素，该元素称为x 与y的和记作x+y.(2)在数域P与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法，即对于P任意数λ与V中任意元素x，经过这一运算后所得到的结果，仍是V中唯一确定的元素，称为唯一确定的元素，称为λ与x的数量乘积，记作λ x。
如果加法和数量乘法还满足下述规则，则称V为数域P上的线性空间。
1.3线性空间的运算(1)对任意x,y∈V，x+y=y+x;(2)对任意x,y,z∈V，(x+y)+z=x+(y+z);(3)V中存在一个零元素，记作θ，对任意x∈V，都有x+θ=x;(4)对任意x∈V,都有y∈V，使得x+y=θ,元素y称为x的负元素，记作－x;(5)对任意x∈V,都有1x=x;对任何λ，μ∈P，x,y∈V。
《高等工程数学》科学出版社版习题答案(第三章)
《高等工程数学》――科学出版社版习题答案（第三章）（此习题答案仅供学员作业时参考。
因时间匆忙，有错之处敬请指正，谢谢！） （联系地址：yangwq@ ）P501． 自己验证范数的三个条件2． 自己验证范数的三个条件3． （1）122222212111121()||||(||)||||||||||||||||(||1),||||||(11)||n n n n nk k i j k k k i j k n k k T nx x x x C x x x x x x x Cauchy Schwartz x x x I I x x I R x ==≠===∈==+∙≥=-=∙=<>≤∙==∈∑∑∑∑∑设，，...，，则有－－(*)另由不等式，有－－(**)其中，，...，1所以由(*)和(**)式有：212||||||||x x ≤≤(（2）121111211111()||||max ||||||||()||max ||||||||max ||||||||||||||||n n nk k k n k n i k k nn i k k n i x x x x C x x x x x x x x x x x x n x n x x x n x ∞≤≤=≤≤∞≤≤=∞∞=∈==≤=≤=≤=≤≤∑∑ 设，，...，，则有－－(*)另外对，，...，的任一分量有所以有：－－(**)所以由(*)和(**)式有：（3）12211212()||||max ||||||()||max ||||||||||||n n k k n n i k k nx x x x C x x x x x x x x x x x x ∞≤≤≤≤∞=∈==≤==≤=≤=设，，...，，则有－－(*)因对，，...，的任一分量有 所以有：－－(**)所以由(*)和(**)式有：2||||||||x x ∞∞≤≤4． 已知1321i A i -⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦试求第12|||| ||||||||A A A A ρ∞，，，（）解：12222||||max{2||||max{3121365531215511655||176650(16)(1)5511||||413||(1)162421(H H A A i i i A A i i i i I A A i A iI A i λλλλλλλλλλλλλρ∞====+-+⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦----==-+-=---+-=-+--==-+-=-----因所以)1A ==+5． 证明：(1)211H U U U II U =因是酉矩阵，所以＝而单位矩阵的特征值为，所以(2) 222222)))))H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H U U U IUA UA A U UA A AUA A AU AU U A AU U A A UA A AU AU AU A U AU U AU U A UU AU U A A UA A U AU U AU U AUA =========因是酉矩阵，所以＝（）（所以（）（（）即矩阵与（）（相似，所以有相同的特征值即（）（（）即矩阵与（）（相似，所以有相同的特征值即6． ||||=1||||=1111-1||||=max||||=max||||=11||||=||||||||||||||||||||e e I Ie e I A A A A A A ---=≤∴≥7． (1)证明：假设I －A 不可逆，则|I-A|=0，即1是A 的特征值，所以 ()1()()1A A A A A A ρρρ≥≤<又因为对的任一范数，都有所以由题设知矛盾，所以I －A 可逆(2) 由||||||||||||||||1||||||||||||||||||||11||||1||||1||||I A I A I I A I A A II A I I A AI A I I A A I I A A I A A I A I A A A I A A --⇒--⇒-+-∴-=+-≤+-≤+-∴---≤<-≤- -1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1()()=()-()=()=()()()()()()()由得() 得证明：1||||0.9 ()<1lim k k A A A O ρ→∞=∴∴=（2）2||(2)() ()=2||1|lim 2k k c c I B cc c c B c c c c B O λλλλλρλ→∞---=--=-+∴--∴<= 当|时，9．(1) 解： 21334(4)(1)22()41A A λλλλλλρ--=--=-+--∴=>故发散(2) 因为收敛半径为：R=5，所以收敛10．解： 1210.10.80.60.30.90.534140.90771300.511773490111425371773311311702835377k k A A A A λλ∞=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦==-⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦∑设的特征值为，，所以(1) 222sin 2cos(2)sin 2sin()sin cos()sin cos 2sin(2)cos 2cos()cos sin()cos t tt At t t t e te e e e te e t t t t At t t t t t t t t At t t t t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦(2) 222sin 2cos(2)sin 2sin()sin cos()sin cos 2sin(2)cos 2cos()cos sin()cos tt t At t t t e te e e e te e t t t t At t t t t t t t t At t t t t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦12． 解： A 的特征值为：－1，1，22221166110221102211sin 2(2sin 2sin )(sin 22sin )33sin()00sin 0sin 021cos 2(cos 2cos )(co 33cos()t t t t t t t At t t t t t t t t ee e e e e e e e e e e e e e e tt t t t At t t t t t At ------⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦⎡⎤--⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-=（4-3-）（2-3+）（）（）（）（）s 2cos )0cos 000cos t t t t ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦13．解： A 的特征值为：1，1，42ln 1110240.5 1.50.50.50.5 2.5A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦-⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦-ln4-2ln4+6ln4-1-ln4+33。
高等工程数学复习题
x - 2 x + xk xk xk +1 = xk - 2 ´ k 2 k =2 2 xk - 4 xk + 1 2 x k - 4 xk + 1
（2） 在 [a, b] 上， 设 f ( x) = 0 与 x 敛于方程 x = j ( x) 的根； 时，有φ(x)∈[a,b] 和 |g＇(x)|≤L≤1，" x∈[a,b]时，由 xk +1 = j ( xk ) （ k = 0,1,2, L ）产生的序列 {xk }收 则当 j ( x) 满足 = j ( x ) 等价， φ(x)于[a,b]一阶导数存在， 当 x∈[a,b]
max{4 6 5} =6 ； A 1 =
é ê1 ê1 21 u33 = a33 - l31u13 - l32 u23 = L = ê 20 ,因此 ê2 ê1 ê ë2
1 5 2
（ 4 ） 已 知
é2 1 1 ù é4ù ê ú ú A = ê 1 -3 2 ú , x = ê ê -6 ú ， 则 ： A ¥ = ê ê ë1 2 2 ú û ë5ú û
s.t
（2）因目标函数为最大值，而线性规划方程符合要求，故不需转换形式，由此得：
min 6000 y1 + 10000 y2 + 4000 y3 + 7000 y4 + 4000 y5 ì5 y1 + y6 ³ 0.75 ï ï7 y2 + y6 ³ 0.79 ï ï10 y1 + y7 ³ 1.15 ï ï9 y2 + y7 ³ 1.38 ï ï12 y + y ³ 1.94 8 ï 2 ï í6 y3 - y6 ³ -0.36 ï ï8 y3 - y7 ³ -0.48 ï ï4 y4 - y6 ³ -0.44 ï ï11y4 - y8 ³ -1.21 ï ï7 y - y ³ -0.05 6 ï 5 ï y ³ 0(i = 1,2L 8) î i
《高等工程数学》课程论文
高等工程数学考试部分答案2
工程硕士学位课程考试 高等工程数学试题（2009年3月）注意：每位考生只要选做以下两部分试题，答案必须写在答题纸上矩阵分析部分一．（8分）设202230,0,123i A i X i i i ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭其中，求112,,,A A AX AX ∞值。
解: 由定义:{}{}111max max 3,4,66max max 5,4,45nij ij nij ji A a A a ∞========∑∑因为1643AX i -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭所以11216512ni i AX AXξ===++====∑二．（6分） 已知函数矩阵：22222222222333332t tt t t t Att t t t t t t t t tt t e e e e e e e e ee e e e e e e e e e ⎛⎫--- ⎪=--- ⎪ ⎪---⎝⎭， 求矩阵.A 解: 设2Att t ee B e C =+, 其中211111121,111332333B C ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭利用公式AtAt de Ae dt=以及1()A A e e --=, 可知()12222(2)()22At At At At t t t t t t de de A e e dt dte B e C e B e C B e BC e CB C ----===++=+++ 由计算可知0BC CB ==, 从而222311131331A B C =+-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭三．（10分）设向量123(1,0,2,1),(2,0,1,1),(1,0,1,0)T T T ααα==-=与12(1,1,0,1),(4,1,3,1)T T ββ==，令),,,(3211αααL V =),(212ββL V =，（1）求21V V +的一组基和维数； （2）求维数)dim(21V V 。
《高等工程数学》课程教学大纲
9．易正俊．数理统计及其工程应用，北京：清华大学出版社，2014．
10．吴翊．应用数理统计，长沙：国防科大出版社，2003．
11．汪荣鑫．数理统计，西安：西安交通大学出版社，1986．
12．栾颖．MATLABR2013a工程分析与仿真，北京：清华大学出版社2014．
【课程知识模块与学时分配】
本课程主要由矩阵分析理论及其工程应用、数理统计及其工程应用两大知识模块构成。根据本专业的专业硕士的要求和课程的培养目标，各知识模块的学时分配为：矩阵分析及其数学建模（26学时）、数理统计及其工程应用（22学时），其中两大知识模块中均包含理论知识研讨（4学时），应用案例实践建模与分析（4学时）。
本课程将采用基础数学知识与数学建模实践相结合的方式进行教学。在教学过程中，以案例为驱动，以数学建模为重点，以科学计算软件为工具，通过在课堂内讲授理论知识、进行案例分析讨论、课外结合专业领域的研究，实现一种综合的立体式教学。课程将以矩阵分析的理论和方法为基础，将统计方法和工程软件相结合，以数学建模、分析和处理为主线贯穿整个教学过程，使学生学会如何简化假设、如何选择合适的数学工具对实际问题进行数学建模、如何实现工程处理与计算、如何对模型性能进行评价及结论分析等。从而达让学生具备运用数学工具分析和解决专业问题的能力，以期达到“在运用数学中学数学”的实践性教学目的。
(8) 假设检验的理论和方法：原假设与备选假设，二类错误，假设检验方法，假设检验的评价方法，非参数假设检验。
(9) 回归分析方法：一元线性回归分析，多元回归分析，包括：参数估计，假设检验，预测等。
(10) 方差分析与正交试验设计：一元方差分析，二元方差分析，正交实验设计。
高等工程数学课后习题答案-推荐下载
1
n 1 i1
n
(xi x)2 ]=(n-1)σ2
~ X 2 (n 1)
n
( xi x)2
2
8、设 X1，X2，…X5 为总体 X~N（0，1）的样本，
（1）试确定常数 c1、d1，使得 c1(x1 x2 )2 d1(x3 x4 x5 )2 ~ 2 (n) 并求出 n；
（2）试确定常数
解：（1） S 2
1 n
c2、d2，使得
n i 1
( xi
c2 (x12 d2 (x3 x4
x22 ) x5 )2
x)2 且总体为 X~N（0，1），所以
因为 2 分布具有可加性，即若 Xi~ 2 （i=1，……k），且各样本相互独立，则
k
k
xi ~ 2 ( ni ) ，所以 n=2。
x1
x1
N
(0,
1 n
),
1 n
1 n
xn1
n 1 n
n
i1
n
i2
n
i 2
n 1 n
xi
xi
xi )
)
~
2
2
~
c2 d2
2 (n 1), xn1
n1
N (,
2)
)
(
n 1 n x1
n 1 n
n
n
1)
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
高等工程数学第三版课程设计
高等工程数学第三版课程设计简介高等工程数学是一门非常重要的典型数学课程，在工程学科中起到了举足轻重的作用。
高等工程数学包括微积分、线性代数等数学内容，是后续工程学科的基础。
本文档旨在介绍高等工程数学第三版的课程设计，在此过程中，将针对一些经典的数学问题，进行一些深度探讨，以期通过实践来加深对于高等工程数学的理解和巩固。
课程设计1. 极限和连续性1.1 用极限的定义证明函数在某一点不连续极限是高等工程数学中的重要概念，学生通过学习极限理论，能够更深入地理解函数的性质。
本问题思路：构造一个函数f(x)，使它在某一点不连续，用极限的定义证明这一点不连续。
1.2 利用拉格朗日中值定理求极限拉格朗日中值定理是一种非常实用的数学方法，可以帮助我们在不知道具体数值的情况下，计算出很多极限和函数值。
本问题思路：给定一个函数f(x)，要求计算limx→0f(x)，用拉格朗日中值定理求解。
2. 函数与导数2.1 求平面曲线的切线方程函数的导数是高等工程数学中的重要概念之一，它能够通过研究函数的变化率，揭示函数的许多特性。
本问题思路：给定一个函数曲线，要求求出某一点处的切线方程。
2.2 求函数的最值及其所在点函数的最大值和最小值是在很多问题中经常需要计算的量，例如在优化问题中，我们需要找到某个函数的最优值。
本问题思路：给定一个函数f(x)，要求求出它的最大值和最小值及其所在点。
3. 多元函数与二重积分3.1 三维空间曲面积分曲面积分是一种非常实用的数学工具，它可以帮助我们计算某个空间图形的面积。
本问题思路：给定一个空间曲面，求解其面积。
3.2 二元函数网格化及重心计算网格化是将连续的曲面离散化的过程，重心是一个几何中常见的概念，在众多应用中被广泛使用。
本问题思路：给定一个二元函数f(x,y),将它离散化成n*m个网格，求解网格的重心。
结论本文档讨论了高等工程数学第三版的课程设计，介绍了几个常见的数学问题以及对应的求解思路。
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高等工程数学Advanced Engineering Mathematics
数值分析就是研究各种数学问题的数
值计算的方法和理论的学科线性代数方程组的解法数值分析绪论
数值分析
插值方法
1
二分法
2
不动点迭代法
3
牛顿（Newton）迭代法4
迭代过程的加速方法
问题⏹
问题⏹
1
二分法
2
不动点迭代法
3
牛顿（Newton）迭代法4
迭代过程的加速方法
思考题
（10分）
第九章：方程求根1
二分法
2
不动点迭代法
3
牛顿（Newton）迭代法
4
迭代过程的加速方法
迭代法
例9.1
解：
收敛性
⏹
定理9.1 （收敛性定理）⏹
定义9.1
不动点迭代法
思考题
（10分）
第九章：方程求根1
二分法
2
不动点迭代法
3
牛顿（Newton）迭代法
4
迭代过程的加速方法
牛顿法的迭代公式
⏹问题
⏹
牛顿法的收敛性
定理9.3 （局部收敛性定理）
例9.2
解：
牛顿下山法⏹
例9.3
⏹
解：
思考题
（10分）
第九章：方程求根1
二分法
2
不动点迭代法
3
牛顿（Newton）迭代法
4
迭代过程的加速方法
加速方法的构造
例9.4
解：
艾特金（Aitken）加速方法
例9.5
解：
不动点迭代法
迭代过程的方程求根总结
二分法。