应用高等工程数学
高等应用数学方法
高等应用数学方法
1. 积分变换法：积分变换法是一种用于解决复杂微分方程的数学方法，它通过将原始微分方程转化为一系列积分方程来求解。
2. 广义矩阵反转法：广义矩阵反转法是一种用于求解线性方程组的数学方法，它利用矩阵的反转来求解线性方程组。
3. 广义逆矩阵法：广义逆矩阵法是一种用于求解线性方程组的数学方法，它利用矩阵的逆来求解线性方程组。
4. 拉格朗日乘子法：拉格朗日乘子法是一种用于求解非线性方程组的数学方法，它利用拉格朗日乘子来求解非线性方程组。
5. 拉格朗日方程法：拉格朗日方程法是一种用于求解最优化问题的数学方法，它利用拉格朗日方程来求解最优化问题。
6. 高斯消元法：高斯消元法是一种用于求解线性方程组的数学方法，它利用高斯消元法来求解线性方程组。
7. 广义逆矩阵法：广义逆矩阵法是一种用于求解复杂线性方程组的数学方法，它利用矩阵的逆来求解复杂线性方程组。
《应用高等数学(第2版)》(胡桐春) 第6章 89-线性方程组的MATLAB求解
MATLAB求解
主讲人：
线性方程组的MATLAB求解
1. 利用solve函数解线性方程组
2.将线性方程组转化为矩阵方程求解
3.利用rref函数解线性方程组
1.利用solve函数解线性方程组
MATLAB命令调用格式：
[ x1, x 2,
其中,
, xn] solve(eqn1 , eqn2
( x3 为自由未量)
x
2
x
3
2
牛刀小试
(1)用不同的方法解线性方程组
.
感谢各位聆听
A\B
MATLAB命令调用格式：
inv(A)*B 或 A\B
x1 2 x2 x3 4
例3 解线性方程组 3x1 4 x2 2 x3 7 .
5 x 4 x x 14
2
3
1
>> A=[1 2 -1；3 4 -2；5 -4 1]；
>> B=[-4；-7；14]；
3 x1 8 x2 2 x3 13
>> A=[4 -1 9；1 -2 4；2 3 1；3 8 -2]；
>> B=[-6；-5；4；13]；
>> D=rref([A，B])
>> D =
1
0பைடு நூலகம்
0
0
0
1
0
0
2
-1
0
0
-1
2
0
0
x1 2 x3 1
x2 x3 2
x1 1 2 x3
>> D=rref([A,B])
应用高等工程数学样题
考试样题课程名称：应用高等工程数学（矩阵论、数理统计） 考生姓名1、设A 是n 阶可逆矩阵，||x ||v 是C n 上的向量范数，证明 ||x || = ||Ax ||v 也是C n 上的向量范数.2、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000c c c c c c A ， (1)试确定c 的范围，使A 为收敛矩阵，即∞→n lim A n= O ；(2)证明(1)确定的c 可使方阵幂级数∑∞=0k kA 收敛并求该幂级数的和.3、求将向量x = [1，2，2]T 变换为向量y = [3，0，0]T的Householder 矩阵H ，并求||H ||2和cond 2(H )。
4、设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=022122113A ,求sin(πA ). 5、求方阵A 的Doolittle 分解，其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=4100331002210011A . 6、设总体X 的期望E X = μ，方差D X = σ 2，(X 1，X 2，…，X n )是取自该总体的样本。
对样本作变换：Y i = aX i +b ，i =1,2,..,n ，Y 和S Y 2分别为变换后的样本均值和样本方差，试求E Y 、D Y 和E S Y 2.7、设(X 1，X 2，X 3)是取自总体N (0，3)的样本，T 1 = X 1+X 2+X 3 ；(X 1，X 2，…，X 5)是取自总体N (0，5)的样本，T 2 = X 12+X 22+…+X 52.(1)求常数a ，b ，使a T 12 + b T 2服从χ2分布，并指出其自由度； (2)求常数c ，d ,使21dT cT 服从t 分布，并指出其自由度.8、设(X 1，X 2，…，X n )是取自总体N (0，σ 2 )的样本，若取∑=-=ni iX Xk 122)(ˆσ作为未知参数σ 2的估计量，问：(1) k 为何值时2ˆσ是σ 2的无偏估计； (2) k 为何值时2ˆσ的均方误差最小. 9、某厂在质量检查中，随机地抽取了50匹布，记录下它们的疵点数如下：疵点数0 1 2 3 ≥4 频数21 18 7 3 1(1)问在显著水平α = 0.05下，能否认为每匹布上的疵点数服从泊松分布P(λ )？(2)如果对(1)的回答是肯定的，试给出λ 的95%置信区间.10、为检查三种不同的教学方法的效果，随机地选取了水平相当的15名学生，将他们分成三组，分别用这三种方法教学，然后进行统考，成绩如下(单位：分)：方法成绩甲 75 72 71 58 73 乙 73 79 62 75 81 丙81 85 68 92 90假定成绩服从正态分布，试在显著水平10%下检验三种教学方法的效果有无显著差异.参考上侧分位点：χ20.05(3)=7.81, χ20.05(4)=9.49, χ20.05(5)=11.07,F 0.1(2,13)=2.763, F 0.05(2,13)=3.806重点习题矩阵论习题2.1：2，3；习题2.2：2，4，5；习题2.3：1；习题2.4：1，2 习题3.1：2；习题3.2：3；习题3.3：1习题4.1：2，3；习题4.2：2，3；习题4.3：2习题5.1：2，4；习题5.2：1，2；数理统计习题1：1，6，8，13，15；习题2：3，7，8，14；习题3：2，4，6，13，16；习题4：1，3，6。
高等数学教材工程数学
高等数学教材工程数学高等数学教材——工程数学一、引言工程数学是一门应用数学学科，它以数学理论和方法为基础，研究工程技术中的实际问题。
在高等数学教材中，工程数学作为一个重要的分支，为学生提供了丰富的实际案例和应用场景，帮助他们将数学知识与实际问题相结合，提高解决实际问题的能力。
二、线性代数在工程数学中的应用线性代数是工程数学中最为基础的数学工具之一，广泛应用于各个领域。
在工程数学教材中，线性代数涉及向量、矩阵、线性方程组等内容，并运用于线性规划、最小二乘法、信号处理等实际问题中。
通过学习线性代数，学生能够将实际问题抽象为向量空间中的问题，并利用线性代数方法求解。
三、微积分在工程数学中的应用微积分是工程数学的核心内容，它包括导数、积分、微分方程等。
在高等数学教材中，微积分的应用非常广泛，如极限和连续的概念应用于工程测量误差的分析，微分方程用于描述动力学系统的行为，积分运算用于计算物体的质心和惯性矩等。
学生通过学习微积分，可以深入理解实际问题的变化趋势和量的累积效应。
四、概率与统计在工程数学中的应用概率与统计是工程数学中重要的工具，用于描述不确定性和随机现象，并帮助分析实际问题中的风险和可行性。
在高等数学教材中，概率与统计涉及到随机变量、概率分布、参数估计等内容，应用于可靠性分析、质量控制、风险评估等领域。
学生通过学习概率与统计，可以提高对实际问题的定量分析和决策能力。
五、工程数学的案例研究高等数学教材中通常会提供大量的实际案例，以帮助学生将数学知识应用于实际问题中。
在工程数学中，这些案例可能涉及到工程测量、电路分析、信号处理、图像处理、优化问题等各个领域。
通过解决这些案例，学生可以巩固和应用数学理论，培养分析和解决实际问题的能力。
六、工程数学的未来发展随着科技的不断进步，工程数学将在更多领域得到应用和发展，如人工智能、大数据分析、网络安全等。
未来的高等数学教材应该更加注重将数学与工程实践相结合，培养学生的创新能力和跨学科解决问题的能力。
南京航空航天大学高等工程应用数学整理资料
- 1 -例1.1.1212110,2,0,1(1,2,)k k A A k k k -⎡⎫⎡⎫=-=+=⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭，易得[)lim 0,2n n A →∞=，[]lim 0,1n n A →∞=。
因为[][)lim0,1lim 0,2n n n n A A →∞→∞=≠=，{}1n n A ∞=不收敛。
定理1.2.1 设映射 1:f X Y →，2:f Y Z →，3:f Z W →，则有（1）123123)()(f f f f f f ⋅⋅=⋅⋅ ；（2）111f I f f I A B =⋅=⋅。
证明 显然，)(123f f f ⋅⋅与123)(f f f ⋅⋅都是X 到W 的映射。
对任意x X ∈，有))](([)])([())](([123123123x f f f x f f f x f f f =⋅=⋅⋅))](([))()(()]()[(123123123x f f f x f f f x f f f =⋅=⋅⋅因此，123123)()(f f f f f f ⋅⋅=⋅⋅。
定理1.2.2 设映射:f X Y →是可逆的，则f 的逆映射1-f 是唯一的。
证明 设映射:g Y X →和:h Y X →均为f 的逆映射，则Y f g I ⋅=，X h f I ⋅= 。
于是由定理1.2.1，有()()Y X h h I h f g h f g I g g =⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅=定理1.2.3 映射:f X Y →是可逆映射的充分必要条件为f 是X 到Y 的双映射。
证明1、必要性.设:f X Y →是可逆映射，则存在映射1:f Y X -→。
对任意12,x x X ∈，如果12()()f x f x =，则有1112()()()()f f x f f x --⋅=⋅从而12x x = 。
因此f是X 到Y 的单映射。
对任意y Y ∈，若1()f y x X -=∈，则11()(())()()f x f f y f f y y --==⋅=。
《应用高等数学》课程标准
《应用高等数学》课程标准课程名称：应用高等数学适用专业：信息工程类、船舶工程类、机电工程类专业开设学期：第一学年第一学期学 时：64学 分：4 一、课程性质及作用 《应用高等数学》是信息工程类、船舶工程类、机电工程类各专业开设的一门必修的公共基础课程和工具课程。
该课程面向大一新生。
课程教学目标是使学生能够获得信息工程类、船舶工程类、机电类各专业课程所需的、适应未来工作及进一步发展所必需的重要的数学知识，以及基本的数学思想方法和用数学软件来求解数学问题的技能；使学生学会用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决学习、生活、工作中遇到的实际问题，从而进一步增进对数学的理解和兴趣；使学生具有一定的创新精神和提出问题、分析问题、解决问题的能力，从而促进生活、事业的全面充分的发展；使学生既具有独立思考又具有团体协作精神，在科学工作事业中实事求是、坚持真理，勇于攻克难题。
课程的本课程的前续课程有：初等数学。
二、课程设计思路 该课程总体设计思路 ："以应用为目的，以信息工程类、船舶工程类、机电工程类各专业必需够用为度"的原则，体现"联系实际，深化概念，注重应用，重视创新，提高素质"的特色。
课程设计紧紧围绕完成专业相关案例的需要来选择课程内容；变知识学科本位为能力本位课程；变教师本位为学生本位；变传授式为主向引导探究式为主的教学转变。
打破传统的知识传授方式，以应用为主线，创设学习情景，培养学生数学的实际应用能力，从而进一步提高学生的职业核心能力。
在教学内容的设置中根据信息工程类、船舶工程类、机电工程类各专业岗位群的需要，我们采用三大模块化教学设计。
它们分别是：函数、极限与连续；导数、微分及应用；积分及应用。
每一模块根据学习情境又分为若干学习单元和学习任务，学习情境的设置以信息工程类、船舶工程类、机电工程类各专业案例作为背景引导学生学习，使数学和专业知识聚为一体。
案例解决的重点应使学生善于分析案例解决过程中对应的数学知识，将数学理论纳入学习任务之中，每个学习任务都有相应的课程目标。
高等应用数学知识点总结
高等应用数学知识点总结•相关推荐高等应用数学知识点总结在我们平凡无奇的学生时代，大家都背过不少知识点，肯定对知识点非常熟悉吧！知识点也不一定都是文字，数学的知识点除了定义，同样重要的公式也可以理解为知识点。
为了帮助大家掌握重要知识点，下面是小编整理的高等应用数学知识点总结，希望能够帮助到大家。
高等应用数学知识点总结1高考数学解答题部分主要考查七大主干知识：第一，函数与导数。
主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。
第二，平面向量与三角函数、三角变换及其应用。
这一部分是高考的重点但不是难点，主要出一些基础题或中档题。
第三，数列及其应用。
这部分是高考的重点而且是难点，主要出一些综合题。
第四，不等式。
主要考查不等式的求解和证明，而且很少单独考查，主要是在解答题中比较大小。
是高考的重点和难点。
第五，概率和统计。
这部分和我们的生活联系比较大，属应用题。
第六，空间位置关系的定性与定量分析，主要是证明平行或垂直，求角和距离。
第七，解析几何。
是高考的难点，运算量大，一般含参数。
高考对数学基础知识的考查，既全面又突出重点，扎实的数学基础是成功解题的关键。
针对数学高考强调对基础知识与基本技能的考查我们一定要全面、系统地复习高中数学的基础知识，正确理解基本概念，正确掌握定理、原理、法则、公式、并形成记忆，形成技能。
以不变应万变。
对数学思想和方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时与数学知识相结合。
对数学能力的考查，强调“以能力立意”，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，侧重体现对知识的理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，所有数学考试最终落在解题上。
考纲对数学思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新意识都提出了十分明确的考查要求，而解题训练是提高能力的必要途径，所以高考复习必须把解题训练落到实处。
训练的内容必须根据考纲的要求精心选题，始终紧扣基础知识，多进行解题的回顾、总结，概括提炼基本思想、基本方法，形成对通性通法的认识，真正做到解一题，会一类。
应用高等工程数学 华科
应用高等工程数学华科高等工程数学是一门综合性较强、应用广泛的学科，它是理工科专业中重要的基础课程之一。
华中科技大学作为国内一流的综合性大学，对高等工程数学的教学与研究也一直走在前沿。
本文将介绍华科在应用高等工程数学方面的特色和成果。
华科在高等工程数学教学上注重理论与实践的结合。
华科的高等工程数学课程设置既注重基本理论的讲解，也注重实际问题的应用。
学生在学习数学理论的同时，也要进行大量的实例分析和工程实践，从而更好地理解和掌握数学在工程实践中的应用。
华科在高等工程数学研究方面取得了许多成果。
华科的数学学院拥有一支实力强大的教师队伍，他们在高等工程数学的研究领域取得了一系列的研究成果。
比如，在微分方程、概率论、数值计算等方面的研究上，华科的教师们取得了一系列的重要成果，为相关领域的发展做出了重要贡献。
华科还积极推进高等工程数学的应用研究。
高等工程数学的应用研究是将数学理论和方法应用于实际问题的研究领域。
华科的教师们将数学理论与工程实践相结合，开展了许多应用研究项目。
比如，在电力系统优化调度、交通流模拟与控制、金融工程等领域，华科的教师们通过高等工程数学的方法和工具，解决了许多实际问题，提高了相关领域的效率和质量。
华科还注重培养学生的应用能力。
在高等工程数学的教学过程中，华科注重培养学生的实际应用能力。
学生在课程中不仅要学习数学理论，还要进行大量的实例分析和工程实践，培养他们解决实际问题的能力。
同时，华科还为学生提供了丰富的实践机会，比如开设了数学建模竞赛、实践课程等，让学生能够更好地将所学的高等工程数学知识应用于实际工程项目中。
华科在应用高等工程数学方面具有显著的特色和成果。
华科注重理论与实践的结合，在高等工程数学的教学和研究中取得了许多重要的成果。
同时，华科还注重培养学生的应用能力，为他们将所学的高等工程数学知识应用于实际工程项目中提供了良好的平台。
相信在华科的努力下，高等工程数学在理论研究和应用发展上会取得更加突出的成就。
例谈高等数学知识在工程问题中的应用
例谈高等数学知识在工程问题中的应用高等数学是工程学科中最基础、最重要的学科之一。
在实际工程问题中，高等数学知识的应用十分广泛、深入。
以下是高等数学知识在工程问
题中的一些应用举例：
一、微积分在工程中的应用。
微积分是高等数学的重要组成部分，近年来被广泛应用于工程学科中。
工程中最常见的微积分应用之一是优化问题。
例如，许多工程问题需要在
一定的约束条件下，求解最优解。
这时需要应用微积分中的极值理论和优
化理论来解决问题。
另外，微积分还被广泛应用于求解微分方程。
微分方程是描述自然现
象或工程问题的重要方程。
通过微积分的理论，可以求解各种形式的微分
方程，从而得到实际问题的解析解或数值解。
二、线性代数在工程中的应用。
线性代数是高等数学的另一个重要组成部分，主要研究线性方程组和
线性变换。
线性代数在工程中的应用非常广泛。
例如，计算机图形学中需
要用到矩阵变换来处理三维图形的旋转、平移等变换。
此外，许多工程问
题需要求解线性方程组，例如电路分析、结构力学计算等。
三、概率统计在工程中的应用。
概率统计是研究随机现象的科学。
在工程中，概率统计被广泛应用于
风险评估、可靠性分析、质量控制等方面。
例如，机械工程中需要对机械
零部件的寿命进行预测，这时就需要应用概率统计中的寿命分布、风险分
析等理论。
以上仅为高等数学在工程问题中例举的一些应用。
实际上，在自然科学、社会科学以及各种工程应用领域中，高等数学都有非常广泛的应用。
《高等工程数学》课程总结与体会
短暂又充实的学习时光结束了，这学期我学习了《高等工程数学》这门课程，这门课程是一门研究生重要的数学基础课，涵盖了矩阵论、数值分析、数理统计等内容。
要求以掌握和应用高等工程数学问题的数学方法为主导，使工学硕士研究生掌握一定的数学理论基础知识，能为今后的进一步学习和解决生活、工作中遇到的实际工程数学问题打下坚实的基础。
通过学习这门课程，我的学习总结与体会如下：1.矩阵论。
一个方阵化为对角形的条件十分苛刻，对于n阶矩阵A，其可对角化的充要条件是有n个线性无关特征向量。
具体来说，就是要求A有n个互异的特征值。
显然不是每一个矩阵都可以化为对角形，但是在实数范围内，任意矩阵却可以化为一个分块对角形，而这个分块对角形就是所谓的Jordan标准型。
矩阵化Jordan型的方法总结如下：对λ矩阵经过一系列三类初等行(列)变换，先观察矩阵的特点，使得左上角的元素次数逐渐降低，最终降低到可以整除矩阵内的其他所有元素。
然后得到λ矩阵的不变因子，求出Smith标准型，再求出初等因子，最后通过定义组合出Jordan型矩阵。
这个地方我在计算的时候，老是化出来的矩阵不对，我的错误主要在于：三类初等变换的运用。
在第二类初等变换中所乘的项必须为非0常数，且不可使用多项式。
在第三类初等变换中只能使用多项式，不能使用分式。
在经过大量题目的训练后，我再也不会犯这种概念不清的错误了，解题正确率也上去了。
由此可见，理解数学概念十分重要。
2.误差分析。
在很多情况下，对于实际问题的描述，我们往往得不到最为精确的函数表达，我们只有通过对所描述的问题进行抽象、简化，得到它的近似模型，通过近似模型来反应真实的函数关系。
在这个过程中，就会产生误差，而由误差带来的影响，有时会很严重。
运用计算机进行数值计算的时候，需要注意以下几个原则：1.避免两相近的数相减。
2.避免大数“吃”小数的现象。
3.避免接近零的数做除数。
4.注意计算步骤的简化，减小运算次数。
其中1、3条准则在实际应用时十分重要。
华科_华科应用高等工程数学_研究生_复习重点 往年试题(回忆版)解读
dim(W1 W2 ) dimW1 dimW2 dim(W1 W2 ) 1.
5
为了求 W1 W2 的基，设 W1 W2 ，则由 W1
知，存在 k1 , k2 使 k11 k22 ，又由 W2 知，存在 k3 , k 4 使 k33 k44 因而， k1 , k2 , k3 , k4 应满足方程。
矩阵论复习
一、线性空间（子空间）的基与维数的求法、直和的概念 二、两个基之间过渡矩阵的求法 三、线性变换的概念及其矩阵表示
线性变换的特征值、特征向量的计算 四、特征多项式与最小多项式、Cayley-Hamilton定理
的简单应用 五、会求可逆矩阵将方阵化为Jordan标准型 六、向量与矩阵的范数、条件数的概念与计算 七、矩阵的三角分解
T的特征值问题与 A 的特征值问题是一一对应的。由于相似矩 阵有相同的特征多项式，所以我们可以把A的特征多项式
f ()det(In A) n b1n1 bn1 bn
称为T的特征多项式，于是T的特征值就是T的特征多项式的根。
10
为了求出T的特征值和特征向量，在 V n 中取一个基
B {1,2,,n}，且设T在B下的矩阵是A。 如果
6 1 6
注：把 A 相似简化为Jordan矩阵的关键是,寻找 A 关于其特
征值的各级根向量.1级根向量可以解齐次线性方程组
( A i I )x 0,i 1,2,, s
解det(I A) ( 2)3, 2 是A的三重特征值。齐次线性方程组
6 1 4 ( A 2I )x 12 2 8 x 0
7
三、线性变换的概念及其矩阵表示
定义 V n到V m的变换T 称为线性的，如果对任意的
数 k及V n中的任意向量 , , 恒有
《工程应用数学》课件
03
随机试验与样本空间
随机试验的每个可能结果组成的集合称为样本空间，它是概率论研究的基础。
01
概率的定义与性质
概率是描述随机事件发生可能性大小的数值，具有非负性、规范性、可加性等性质。
02
条件概率与独立性
条件概率描述了事件之间的是衡量向量“大小”的一种方式，常见的向量范数有欧几里得范数和无穷范数等。向量范数的性质包括正定性、三角不等式等。
矩阵的秩是衡量矩阵“大小”的一种方式，它表示矩阵中线性无关的行或列的数量。矩阵的秩在许多数学问题中都有重要的应用，如求解线性方程组等。
线性方程组的解法
线性方程组是线性代数中常见的问题，其解法包括高斯消元法、LU分解法等。这些解法的基本思想是通过一系列的初等行变换将方程组化为阶梯形或三角形，从而求解方程组。
相似矩阵
矩阵的对角化是将一个矩阵分解为一个对角矩阵和一个可逆矩阵的乘积的一种方式。矩阵的对角化在许多数学问题中都有重要的应用，如求解二次型的最小二乘解等。
矩阵的对角化
03
微积分
导数是函数在某一点的变化率，用于描述函数值随自变量变化的速率。
导数概念
微分概念
导数与微分的关系
导数与微分的应用
微分是函数在某一点的变化量的近似值，表示函数值随自变量微小变化时的变化量。
详细描述
03
在石油勘探中，概率论与数理统计被用于预测地下油藏的位置和储量；在通信工程中，概率论与数理统计被用于信号处理和数据传输的可靠性分析。
实例
04
通过运用概率论与数理统计的知识，工程师可以更好地理解和预测工程问题中的随机因素，从而提高决策的准确性和可靠性。
结论
THANK YOU
导数是函数在某一点切线的斜率，微分则提供了函数值在某一点附近的小变化量。
工程应用数学基础
工程应用数学基础工程应用数学是应用数学的一个重要分支，广泛应用于工程领域中的各种问题的处理和分析。
它涉及到的数学理论及方法非常丰富，如微积分、线性代数、概率论、随机过程和最优化理论等。
本文将从数学原理、应用场景和实际案例三个方面来介绍工程应用数学的基础知识。
一、数学原理1.微积分微积分是工程应用数学的重要基础，它包括微分和积分两个部分。
微分是研究函数的导数和微分方程的解法，而积分则是研究函数的积分和定积分的计算。
在工程中，微积分被广泛应用于分析变量的变化和工程系统的运动状态。
例如，在机械工程中，微积分可以用来计算机械结构的应力、变形和材料的疲劳等。
2.线性代数线性代数是研究向量和矩阵的性质和计算方法。
它广泛应用于各个领域，如工程、物理、经济学和计算机科学等。
在工程中，线性代数被广泛应用于控制系统、信号处理、图像处理和电路分析等。
例如，在电路分析中，线性代数可以用来计算电路中不同元件之间的关系和电流的分配情况。
3.概率论和统计学概率论和统计学是研究随机变量和概率的理论和方法。
它在工程应用数学中被广泛应用于风险评估、可靠性分析、质量控制和决策分析等。
在工程中，概率论和统计学可以用来分析不确定性因素对工程系统性能的影响，例如，在材料科学中，它可以用来分析材料的强度和寿命等。
4.最优化理论最优化理论是研究如何在给定的约束条件下，找到使特定目标函数最小或最大的优化方法。
在工程中，最优化理论被广泛应用于工程设计、生产规划、资源分配和控制系统等。
例如，在电力系统规划中，最优化理论可以用来确定最佳的发电和输电方案以满足不同的用电需求。
二、应用场景1.结构分析结构分析是指通过对结构体系进行数学模型的建立，通过数学计算，得到结构的受力分布和变形情况。
结构分析可以应用于建筑物、桥梁、挖掘机等领域，它的目的是为了确保结构的安全和可靠性。
在结构分析中，常用的数学工具有微积分、线性代数和有限元分析等。
2.电路分析电路分析是指通过对电路中不同元件之间的关系进行数学建模，然后通过数学计算，得到电路中电流、电压和功率等参数的变化情况。
工程应用数学
udv uv vdu （8-2）
式（8–2）称为不定积分的分部积分公式．
在使用分部积分公式时，需注意以下两点：
①v要容易求得
②vdu要比udv更容易积分
29
§8.1 不定积分
例8–13 求不定积分 x sin xdx
解: 设u x,v' sin x,则v cos x
xex ex C
幂函数×指数函数 选：幂函数 u 幂函数×三角函数 指数函数 三角函数 v’
31
§8.1 不定积分
例8–15 求不定积分 x ln xdx
解:
x
ln
xdx
ln
xd
x2 2
x2 ln x x2 d ln x
2
2
幂函数×对数函数
x2
x
2 ln x 2 dx
f (x)dx F(x) C
是f(x)的全体原函数，所以它对应的图形是 一族积分曲线，称其为积分曲线族．
10
§8.1 不定积分
积分曲线族y = F(x) +C具有以下的特点 （即不定积分的几何意义）：
1）积分曲线族中任意一条 曲线，可由其中某一条，沿 y轴平行移动而得到．当C > 0时，向上移动；当C < 0时， 向下移动．
4
§8.1 不定积分
引例2 某物体作初速度为零的自由落体运动， 已知在时刻的瞬时速度为，求在最初2秒中所 落下的距离．
解 设此作自由落体运动的物体的路程函数为 s=s(t)，由于在时刻t的瞬时速度为v(t)=gt，即
s'(t) v(t) gt
而
(1 gt 2 C)' gt v(t)
高等数学在工程中的应用举例-精品文档
高等数学在工程中的应用举例高等数学的应用非常广泛，在工程中的应用主要反应在如下几个方面：1.曲率：在工程技术中，如建筑工程中的钢梁、汽车的传动结构、机床的转轴等，需要研究曲线的弯曲程度——曲率。
例1.计算等边双曲线xy=1在点（1，1）处的曲率。
解：由y=■，得则，双曲线xy=1在点（1，1）处的曲率为：2.曲率半径：R=■例2.需加工的工件内表面的截面为抛物线y=0.4x2。
用砂轮磨削其内表面。
问用多大直径的砂轮比较合适（在抛物线顶点处的曲率半径最小）？解：此问题介于求出抛物线y=0.4x2在顶点（0，0）处的曲率半径。
故此，抛物线顶点处的曲率半径：。
所以选用砂轮的半径不得超过1.25单位长，即直径不得超过2.50单位长。
3.平面图形的面积：例3.计算由曲线y=■与y=sinx及x=π所围成的图形面积。
解：因为x>0，■>sinx，所以微元：面积：。
4.物体的体积：例4、求由抛物线y=x2及y=π直线所围成的平面图形绕着x轴旋转一周所成的立体体积。
解：所求立体的体积V是由直线 y=x，x=1所围成的平面图形绕着x轴旋转一周所成的体积V1与抛物线y=x2直线x=1及x 轴所围成的平面图形绕着x轴旋转一周所成的体积V2之差。
所以：5.极值的应用：例5.要做一个容积为8m3的有盖长方体箱子，问箱子各边的尺寸多大时，所用材料的表面积最省？解：所求箱子的长、宽、高立分别为x、y、z，（单位：m）则高为z=■，于是箱子所需材料的表面积为：（其中：x>0，y>0）。
当面积S最小时，所用的材料最省。
为此求函数S的驻点：。
根据实际问题可以断定，S一定存在最小值且在区域D内取得。
而函数在S区域D内只有唯一驻点（2，2），则该点就是其最小值点，即当长x=2m、宽y=2m、高时，箱子所用的材料最省。
6.变力作功：例6、设空气压缩机的活塞面积是A，在等温的压缩过程中，活塞由x1处（此时气体的体积V1=Ax1）压缩到x2处（x2﹤x1此时气体的体积V2=Ax2），求空气压缩机在这段压缩过程中消耗的功。
应用高等工程数学
第六章 统计分布
6.1 常见统计分布 6.2 统计量 6.3 抽样分布
第七章 估计理论及其方法
7.1 点估计 7.2 点估计的评价 7.3 区间估计 7.4 核密度估计及自助法初步
第八章 假设检验及贝叶斯分析
8.1 参数假设检验 8.2 非参数方法 8.3 假设检验的评价 8.4 贝叶斯分析初步
第八章 非线性方程数值解法
8.1 简单迭代法 8.2 Newton法
第九章 数值积分、数值微分及统计计算
9.1 数值积分 9.2 数值微分 9.3 统计模拟及计算初步
第十章 微分方程数值解
10.1 Euler方法 10.2 Runger-Kutta方法 10.3 线性多步法
10.4 偏微分方程数值解法简介
教材：
于寅. 高等工程数学（第三版） 华中科技大学出版社，2001
主要参考书：
1. George Cassla Roger L. Berger. Statistical Inference. Second Edition. Duxbury Thomson Learning Inc.2002
2. Roger A. Horn. Chavles R. Tohnson. Matrix Analysis. Cambridge University Press. 1991
二、教学大纲（章节目录）
第一章 统计分布
1.1 常见统计分布 1.2 统计量 1.3 抽样分布
第二章 估计理论及其方法
2.1 点估计 2.2 点估计的评价 2.3 区间估计 2.4 核密度估计及自助法初步
第三章 假设检验及贝叶斯分析
3.1 参数假设检验 3.2 非参数方法 3.3 假设检验的评价 3.4 贝叶斯分析初步
工程应用数学
由初始条件
y' 0 x0
c2 0
因此所求特解为
y cos 2x
10
5
§11.2 二阶常系数线性微分方程
① 当特征方程有两个不相等的实根 r1 r2 时， y er1x 与 y er2x 都是微分方程 y" py'qy 0 的解，因而微分方程的通解为
y c1er1x c2er2x
② 当特征方程有两个相等的实根 r1 r2 时， 可以验证 y er1x 与 y xer1x 都是微分方程 y" py'qy 0 的解，因而微分方程的通解为
3
§11.2 二阶常系数线性微分方程
要得到(11-18)的解，我们寻求形如y = erx 的解．将y = erx求导，得
y = erx ， y’ = rerx ， y” = r2erx 代入方程（11-18）， 得
(r2 pr q)erx 0
消去erx，得
r2 pr q 0 (11-19)
4
§11.2 二阶常系数线性微分方程
这就是说，当 r 满足代数方程
r2 pr q 0 时， y erx 就是微分方程 y" py'qy 0
的解．
我们称代数方程 r2 pr q 0 为微分方程 y" py'qy 0 的特征方程． 特征方程 r2 pr q 0 的根的情况有三种， 微分方程 y" py'qy 0 的解也有三种情况．
y 1 y' 0 的特解．
x0
x0
解 该方程对应的特征方程为 r2 4 0
它有两个共轭的复根 r1,2 2i
应用高等工程数学
应用高等工程数学高等工程数学：解密现代工程世界的“魔法公式”在当今的科技丛林中，高等工程数学犹如一把锐利无比的瑞士军刀，以其深邃而精准的力量，切割着复杂的工程问题，雕琢出令人叹为观止的创新成果。
嘿，你可别小瞧这些看似抽象、满载符号和公式的理论框架，它们在航天器轨迹规划、人工智能算法设计、大规模集成电路优化等众多领域施展着无可替代的“魔法”。
首先，咱来聊聊微分方程这块硬骨头。
它就像一座神秘的迷宫，隐藏着物理世界运行的内在规律。
从牛顿力学里的动力学模型到热传导过程，再到金融衍生品定价的布莱克-斯科尔斯模型，微分方程无处不在，那真是“千磨万击还坚劲，任尔东西南北风”。
求解这个大家伙的过程，就如同勇士探寻宝藏，需要我们巧妙运用数值方法或解析技巧，历经波折，才能揭示其背后的秘密。
再者，矩阵论无疑是高等工程数学皇冠上的明珠。
在这片领地里，“线性代数”这位大侠挥舞着变换与特征值的大旗，带领我们在多维空间中游刃有余地解决各类工程技术难题。
无论是图像处理中的傅立叶变换，还是机器学习中的主成分分析，都离不开矩阵论的神助攻。
当看到一堆堆数据通过矩阵运算华丽转身，化繁为简，那感觉，就俩字——痛快！然后，概率论与数理统计这两位“双子星”，携手在不确定性世界中为我们点亮了明灯。
面对随机现象，工程师们不再束手无策，而是借助概率密度函数、马尔科夫链、贝叶斯推断等工具，量化风险，预测未来。
在这个充满变数的世界里，他们让我们有了应对挑战的信心与底气，不禁让人感叹：“他强由他强，清风拂山岗；他横由他横，明月照大江。
”总而言之，高等工程数学就像是工程师们的“内功心法”，修炼得越精深，解决问题的能力就越强大。
每一个公式、每一种方法，都是我们解开现实世界谜团的钥匙。
当然，这条探索之路并不平坦，但每一次苦思冥想后的豁然开朗，每一次理论应用于实践的成功突破，都会让人心潮澎湃，感慨万分：“行路难，行路难，多歧路，今安在？长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。
高等工程应用数学
高等工程应用数学Modern Engineering-Applied Mathematics开课单位：机械电子工程学院适用专业：机械制造及其自动化授课对象：硕士生开课学期：1课内学时：40 学分：2课程类型：学位课教学方式：讲授考核方式：考试预修课程：高等数学、现代物理、工程控制论1 教学目标与要求根据国务院学位委员会对工学博士生的要求，设置本课程。
本课程的教学目的是：（1）启发学生的数学创新思维；（2）拓宽学生的工程数学知识，使学生掌握基本的工程数学方法；（3）提高学生的数学文化素质。
2 课程内容与学时分配第一章绪论（4学时）1.11.2第二章三次数学危机及启示（4学时）2.1第三章模糊数学（24学时）第四章人工神经网络的数学基础（16学时）第五章遗传算法（12学时）3 教材朱剑英，智能系统非经典数学方法，华中科技大学出版社，第一版，2001年4月4 主要参考书[1] 朱梧槚，肖奚安. 数学基础概论. 南京大学出版社，1996.[2] 朱梧槚. 几何基础与数学基础. 辽宁教育出版社，1987.[3] 李洪兴，汪培庄. 模糊数学. 国防工业出版社，1994[4] 李士勇. 模糊控制、神经控制和智能控制论. 哈尔滨工业大学出版社，1996.[5] 王士同. 神经模糊系统及其应用. 北京航空航天出版社，1998[6] 陈国良等. 遗传算法及其应用. 人民邮电出版社，1996.[7] 蔡自兴，徐光祐. 人工智能及其应用. 清华大学出版社，1996.[8] 戴汝为，王珏，田捷. 智能系统的综合集成. 浙江科学技术出版社，1995.大纲撰写负责人：朱剑英授课教师：朱剑英、倪勤、殷洪友等数学模型Mathematics Model开课单位：机械电子工程学院适用专业：机械制造及其自动化授课对象：硕士生开课学期：1课内学时：40 学分：2课程类型：学位课教学方式：讲授考核方式：考试预修课程：微积分、线性代数、概率论1 教学目标与要求根据国务院学位委员会对工学博士生的要求，设置本课程。
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课程类型：□讲授课程□实践（实验，实习）课程□研讨课程□专题讲座□其它
考核方式：考试
教学方式：讲授
适用专业：工科各专业
√
适用层次：工程硕士□博士□
开课学期：秋
总学时/讲授学时：48/48
学分：3
先修课程要求：微积分线性代数概率论计算方法
课程组教师姓名
职称
专业
年龄
学术专长
万建平
副Hale Waihona Puke 授概率统计53应用随机分析生物统计
2. Roger A. Horn. Chavles R. Tohnson. Matrix Analysis.CambridgeUniversityPress. 1991
表3.数学学院（系、所）硕士研究生课程简介
课程名称：应用高等工程数学
（矩阵论数理统计）
课程代码：011.703
英文名称：Applied Advanced Engineering Mathematics
二、教学大纲（章节目录）
第一章统计分布
1.1常见统计分布1.2统计量1.3抽样分布
第二章估计理论及其方法
2.1点估计2.2点估计的评价2.3区间估计2.4核密度估计及自助法初步
第三章假设检验及贝叶斯分析
3.1参数假设检验3.2非参数方法3.3假设检验的评价3.4贝叶斯分析初步
第四章方差分析
4.1单因素方差分析4.2双因素方差分析
5.1子空间5.2投影与正交投影5.3投影算子及其应用
第六章统计分布
6.1常见统计分布6.2统计量6.3抽样分布
第七章估计理论及其方法
7.1点估计7.2点估计的评价7.3区间估计7.4核密度估计及自助法初步
第八章假设检验及贝叶斯分析
8.1参数假设检验8.2非参数方法8.3假设检验的评价8.4贝叶斯分析初步
适用专业：工科各专业
√
适用层次：工程硕士□博士□
开课学期：秋
总学时/讲授学时：48/48
学分：3
先修课程要求：微积分线性代数概率论计算方法
课程组教师姓名
职称
专业
年龄
学术专长
万建平
副教授
概率统计
53
应用随机分析生物统计
胡晓山
副教授
概率统计
42
随机分析
李楚进
讲师
概率统计
30
随机分析
一、课程教学目标
培养学生掌握数理统计、数值计算的基础知识及其应用能力。其特点是在数理统计、数值计算方法的基础理论的指导下，针对工程技术、自然科学、经济、管理、生命科学等工程领域中的典型问题，培养学生统计建模能力及数据分析、数值计算、数据处理能力，提高学生软件应用技术水平，增强学生应用数学知识解决工程应用领域问题的能力。
12.4偏微分方程数值解法简介
教材：
于寅.高等工程数学（第三版）华中科技大学出版社，2001
主要参考书：
1. George Cassla Roger L. Berger. Statistical Inference. Second Edition. Duxbury Thomson Learning Inc.2002
第十章更新过程
10.1更新过程10.2更新过程的应用
第十一章马尔可夫过程布朗运动
11.1马尔可夫链11.2马尔可夫过程11.3布朗运动
第十二章随机过程统计、应用及随机模拟
12.1排队论中的应用12.2可靠性中的应用12.3随机计算12.4参数估计
12.5非参数估计及检验12.6随机模拟
教材：
于寅.高等工程数学（第三版）华中科技大学出版社，2001
第五章回归分析
5.1一元线性回归5.2多元线性回归5.3回归分析的现代方法及其应用
第六章试验设计
6.1正交试验设计6.2均匀设计6.3试验设计的工程应用
第七章多元分析初步
7.1多元分析简介7.2常见多元分析方法
第八章随机过程
8.1基本概念8.2某些重要随机过程
第九章泊松过程
9.1泊松过程9.2泊松过程的应用
√
课程类型：□讲授课程□实践（实验，实习）课程□研讨课程□专题讲座□其它
考核方式：考试
教学方式：讲授
适用专业：工科各专业
√
适用层次：工程硕士□博士□
开课学期：秋
总学时/讲授学时：48/48
学分：3
先修课程要求：微积分线性代数概率论计算方法
课程组教师姓名
职称
专业
年龄
学术专长
万建平
副教授
概率统计
53
应用随机分析生物统计
第九章数值积分、数值微分及统计计算
9.1数值积分9.2数值微分9.3统计模拟及计算初步
第十章微分方程数值解
10.1 Euler方法10.2 Runger-Kutta方法10.3线性多步法
10.4偏微分方程数值解法简介
教材：
于寅.高等工程数学（第三版）华中科技大学出版社，2001
主要参考书：
1. Devi Prasad. Introduction to Numerical Analysis Third Edition.Oxford. 2006
2. Devi Prasad. Introduction to Numerical Analysis Third Edition.Oxford. 2006
表3.数学学院（系、所）硕士研究生课程简介
课程名称：应用高等工程数学
（矩阵论数值计算方法）
课程代码：011.702
英文名称：Applied Advanced Engineering Mathematics
5.1子空间5.2投影与正交投影5.3投影算子及其应用
第六章线性方程组数值解及矩阵特征值计算
6.1消去法6.2矩阵分解法6.3迭代法6.4矩阵特征值计算
第七章插值与逼近
7.1常见插值法7.2最佳平方逼近7.3快速Fourier变换及小波方法简介
第八章非线性方程数值解法
8.1简单迭代法8.2 Newton法
适用专业：工科各专业
√
适用层次：工程硕士□博士□
开课学期：秋
总学时/讲授学时：48/48
学分：3
先修课程要求：微积分线性代数概率论计算方法
课程组教师姓名
职称
专业
年龄
学术专长
万建平
副教授
概率统计
53
应用随机分析生物统计
胡晓山
副教授
概率统计
42
随机分析
李楚进
讲师
概率统计
30
随机分析
一、课程教学目标
培养学生掌握数理统计、随机过程基础知识及其应用能力。其特点是在数理统计、应用随机过程的基础理论的指导下，针对工程技术、自然科学、经济、管理、生命科学等工程领域中的典型问题，培养学生利用随机过程建模及统计建模能力，提高学生数据处理及统计软件运用水平，增强学生应用数学知识解决工程应用领域问题的能力。
表3.数学学院（系、所）硕士研究生课程简介
课程名称：应用高等工程数学
（数理统计数值计算方法）
课程代码：011.701
英文名称：Applied Advanced Engineering Mathematics
√
课程类型：□讲授课程□实践（实验，实习）课程□研讨课程□专题讲座□其它
考核方式：考试
教学方式：讲授
二、教学大纲（章节目录）
第一章线性空间与线性变换
1.1线性空间1.2线性变换1.3方阵的相似化简
第二章矩阵分析
2.1向量范数与矩阵范数2.2方阵的谱2.3方阵函数及其应用
第三章矩阵分解
3.1矩阵的常见分解3.2矩阵分解的应用
第四章特殊矩阵及其应用
4.1特殊矩阵4.2特殊矩阵的应用
第五章子空间分析及投影分析
主要参考书：
1. George Cassla Roger L. Berger. Statistical Inference. Second Edition. Duxbury Thomson Learning Inc.2002
2. Roger A. Horn. Chavles R. Tohnson. Matrix Analysis.CambridgeUniversityPress. 1991
二、教学大纲（章节目录）
第一章统计分布
1.1常见统计分布1.2统计量1.3抽样分布
第二章估计理论及其方法
2.1点估计2.2点估计的评价2.3区间估计2.4核密度估计及自助法初步
第三章假设检验及贝叶斯分析
3.1参数假设检验3.2非参数方法3.3假设检验的评价3.4贝叶斯分析初步
第四章方差分析
4.1单因素方差分析4.2双因素方差分析
二、教学大纲（章节目录）
第一章线性空间与线性变换
1.1线性空间1.2线性变换1.3方阵的相似化简
第二章矩阵分析
2.1向量范数与矩阵范数2.2方阵的谱2.3方阵函数及其应用
第三章矩阵分解
3.1矩阵的常见分解3.2矩阵分解的应用
第四章特殊矩阵及其应用
4.1特殊矩阵4.2特殊矩阵的应用
第五章子空间分析及投影分析
表3.数学学院（系、所）硕士研究生课程简介
课程名称：应用高等工程数学
（数理统计应用随机过程）
课程代码：011.704
英文名称：Applied Advanced Engineering Mathematics
√
课程类型：□讲授课程□实践（实验，实习）课程□研讨课程□专题讲座□其它
考核方式：考试
教学方式：讲授
第九章插值与逼近
9.1常见插值法9.2最佳平方逼近9.3快速Fourier变换及小波方法简介
第十章非线性方程数值解法
10.1简单迭代法10.2 Newton法