高三联考文科数学试题含答案分析详解
2022-2023学年新高考基地学校高三上学期12月第三次大联考 文科数学试题(含答案) 解析版
2023届新高考基地学校高三第三次大联考文科数学试题一、单选题1．已知复数i z =，则1z zz z +=⋅+（ ） A ．1i 2B．C ．i - D． 【答案】B【分析】若i z a b =+，则2z z a +=，222z z z a b ⋅==+.【详解】i z =，则(i)+(i)=z z +=-(i)(i)3z z ⋅==，故1z z z z +==⋅+. 故选：B.2．已知集合{}20A x x =-，集合{}0,1,2,3B =，集合{}11C x x =-<<，则()A B C =（ ） A ．(]1,1- B ．(]{}1,12-⋃ C ．(]1,2- D ．{}0【答案】B【分析】求出集合A ，然后根据交集、并集的定义求解即可．【详解】{2}A xx =∣，所以{0,1,2}A B ⋂=，所以()(1,1]{2}A B C ⋂⋃=-⋃． 故选：B ．3．已知数列{}n a ，{}n b 均为公差不为0的等差数列，且满足32a b =，64a b =，则4132a ab b -=-（ ） A ．2 B ．1C ．32D ．3【答案】A【分析】根据等差数列性质：()m n a a m n d -=-，运算求解. 【详解】设数列{}n a ，{}n b 的公差分别为12,d d ∵32a b =，64a b =，则6432a b a b =-- ∴1232d d =，则41123222322a a d d b b d d -===- 故选：A.4．函数()()22241x x x x f x -+=-的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】判断函数的奇偶性，再确定0x >时函数值的正负，利用排除法得正确结论．【详解】定义域是{|0}x x ≠，222(2)2(2)()()4114x x x xx x x x f x f x ---+-+-===---，函数为奇函数，排除A ，0x >时，410->x ，20x >，2221722()024x x x x x -+=-+=-+>，所以()0f x >，排除CD ．故选：B ．5．若x ，y 满足约束条件37,321,321,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥-⎩则z ＝y －3x 的最大值为（ ）A ．4311-B ．32-C ．－1D ．3111-【答案】C【分析】根据约束条件画出可行域，根据目标函数的几何意义即可求解最值.【详解】根据约束条件画出可行域（如图），联立3713212x y x x y y +≥=⎧⎧⇒⎨⎨-≥-=⎩⎩，故(1,2)A ，当直线=3y x z +经过点(1,2)A 时，z 最大，此时1z =- ， 故选：C6．记n S 为各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和，378S =，312a =，则5a =（ ）A ．14B ．18C ．1D ．2【答案】D【分析】根据题意求出数列的首项和公比，即可根据通项公式求得答案.【详解】由{}n a 为各项均为正数的等比数列，且378S =，312a =,设数列公比为0q > ,可得211178a a q a q ++= ，且2112a q =，则1138a a q +=，解得112,8q a == ，故451228a =⨯= ,故选：D.7．在ABC 中，点F 为AB 的中点，2,AE EC BE =与CF 交于点P ，且满足BP BE λ=，则λ的值为（ ）A ．35B ．47C ．34D ．23【答案】C【分析】把AP 用,AF AC 表示，然后由,,F P C 三点共线定理得出结论． 【详解】由题意()(1)AP AB BP AB BE AB AE AB AB AEλλλ=+=+=+-=-+22(1)2(22)33AF AC AF AC λλλλ=-⋅+⋅=-+，因为,,F P C 三点共线，所以22213λλ-+=，解得34λ=．故选：C ．8．《天才引导的过程——数学中的伟大定理》的作者威廉·邓纳姆曾写道：“如果你想要做加法你需要0，如果你想要做乘法你需要1，如果你想要做微积分你需要e ，如果你想要做几何你需要π，如果你想要做复分析你需要i ，这是数学的梦之队，他们都在这个方程里”.这里指的方程就是：()i e e cos isin x y x y y +=+，令0x =，πy =，则i πe 1=-，令0x =，πy n ，则i πe cos πisin πn n n =+，若数列{}n a 满足i πe n n a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的个数是（ ）①{}n a 是等比数列 ②22n n a a = ③211S = ④2n n a a +=A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据题意可知1,1n n a n ⎧=⎨-⎩为偶数，为奇数，进而即可根据所给式子逐一判断.【详解】i π1,e cos πisin π=cos π=1n n n a n n n n ⎧==+⎨-⎩为偶数，为奇数，故{}n a 是公比为1-的等比数列，A 正确，2222=1=1n n n n a a a a ，，∴=，B 正确，2111S a ==-，故C 错误，由{}n a 的定义可知2n n a a +=，故D 正确， 故选：C9．已知点O 为ABC 的外心，2340,OA OB OC ABC ++=的外接圆的半径为1，则OA 与OB 的夹角的正弦值为（ ）A B ．14C ．14-D 【答案】A【分析】由已知可得：234OA OB OC +=-，两边同时平方利用数量积运算和已知条件1OA OB OC ===，即可得出结果；【详解】2340OA OB OC ++=，∴234OA OB OC +=-， ∴222164912OC OA OB OA OB =++⋅，又1OA OB OC ===，164912cos ,OA OB ∴=++，∴1cos ,4OA OB =， 而[],0,πOA OB ∈，故sin ,415OA OB =故选：A10．已知函数()32f x x x =-，若过点()2,A a 能作三条直线与()f x 的图像相切，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]4,4- B ．[)4,+∞ C ．(),4-∞ D ．()4,4-【答案】D【分析】根据已知条件有三条直线相切，得两函数图像有三个交点，利用函数的单调性即可得到a 的取值范围.【详解】由已知：()32f x x x =-，故()232f x x '=-，设切点为()3,2m m m -所以切线斜率为2=32k m -，切线方程为()()()32232y m m m x m --=--,将A 点坐标代入切线方程可得()()()322322a m m m m --=--化简可得 ()()32322322=264a m m m m m m =-----+-即函数()g x a =与函数32264y m m =-+-有三个不同的交点. 故2612y m m '=-+，当(),0m -∞时，0'<y ，函数y 单调递减 当()0,2m 时，0'>y ，函数y 单调递增 当()2,m +∞时，0'<y ，函数y 单调递减 且0m =时，4y =-,，且2m =时，4y = 所以a 的取值范围为()4,4a ∈- 故选：D11．设2021202220231ln ,,e 20222022a b c -===，则（ ）A ．a c b <<B ．b a c <<C ．b<c<aD ．a b c <<【答案】D【分析】构造两个函数()ln(1)f x x x =-+，01x <<，与1()e x g x x -=-，01x <<，利用导数确定单调性后可得．【详解】设()ln(1)f x x x =-+，01x <<，则1()1011xf x x x'=-=>++，所以()f x 在(0,1)上单调递增，()(0)0f x f >=，ln(1)x x >+，1012022<<，所以112023ln(1)ln 202220222022>+=， 设1()e x g x x -=-，01x <<，则1()e 10x g x -'=-<，()g x 在(0,1)上递减， ()(1)0g x g >=，1ex x ->，1120221e2022->，即202120221e 2022->， 所以c b a >>． 故选：D ．12．已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，若()1y f x =+的最小正周期为2，则下列说法一定正确的是（ ）A ．()()11f x f x +=-+B ．1是()f x 的一个周期C ．()()110f f =-=D ．13122f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【分析】由函数(1)y f x =+与()y f x =的关系得其最小正周期，判断B ，利用周期性与奇偶性求得(1)f -和(1)f 判断C ，假若A 成立，结合周期性得出函数为偶函数，从而判断A ，利用周期性与奇偶性得出1()2f 与3()2f 的关系判断D ．【详解】(1)y f x =+的最小正周期是2，则()y f x =的最小正周期是2，B 错； ∴(1)(1)f f -=-又(1)(1)f f -=，∴(1)(1)0f f =-=，C 正确；若()()11f x f x +=-+，又(1)(1)f x f x +=-，则(1)(1)f x f x -=-+，令1x t -=，则有()()f t f t =-，因此()f x 是偶函数，与题意不符，A 错；311()()()222f f f =-=-，∴31()()022f f +=，D 错． 故选：C ．二、填空题13．若向量,a b 满足2,21,b a b a =+=与a b +垂直，则a =__________．【分析】由向量垂直得22a b a a ⋅=-=-，然后由已知模等式21a b +=平方后可得． 【详解】a 与a b +垂直，则2()0a a b a a b ⋅+=+⋅=，22a b a a ⋅=-=-， 22222(2)441a b a b a a b b +=+=+⋅+=，即2224421a a -+⨯=，5a =，14．若πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度得到cos 2y x =的图象，则ϕ的值可以是______．（写出满足条件的一个值即可）【答案】π6（答案不唯一，满足ππ,N 6k k ϕ=+∈均可）【分析】根据图象平移得平移后的函数，从而可得π22π,Z 3k k ϕ-+=∈，再根据0ϕ>，取合适的一个ϕ的值即可.【详解】解：πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移()0ϕϕ>后得到的函数为()ππcos 2cos 22cos 233y x x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫=-+=-+= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭则π22π,Z 3k k ϕ-+=∈，解得ππ,Z 6k k ϕ=-∈，又0ϕ> 所以ϕ的值可以是当0k =时，π6ϕ=. 故答案为：π6（答案不唯一，满足ππ,N 6k k ϕ=+∈均可）15．已知点P （m ，n ）是函数()11f x x =-图象上的点，当1m >时，2m ＋n 的最小值为______．【答案】2【分析】根据基本不等式即可求解最小值. 【详解】P （m ，n ）是函数()11f x x =-图象上的点，所以1111n mm n，因为1m >，所以0n >，所以122=212222m n nn nn，当且仅当n =故2m n +的最小值为2.故答案为：216．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若113tan tan sin B C bc A +=⋅，且()1sin sin 2C B A -=，则22c b -=__________． 【答案】32【分析】已知条件113tan tan sin B C bc A+=⋅，利用切化弦，两角和的正弦公式，正弦定理化简可得23a =，已知条件()1sin sin 2C B A -=，利用和差角的正弦公式和正弦定理，解得43cos ab C =，最后用余弦定理解得22c b -. 【详解】ABC 中，1cos tan sin B B B =，1cos tan sin CC C=，sin cos cos sin sin()sin(π)sin C B C B C B A A +=+=-=，由正弦定理有sin sin A B ba=，sin sin c A a C =， 由113tan tan sin B C bc A +=⋅，得cos cos 3sin sin sin B C B C bc A +=⋅， 有sin cos cos sin 3sin sin sin C B C B B C bc A +=⋅，即sin 3sin sin sin A B C bc A=⋅，3sin sin a b C ba C=，得23a =， 由()1sin sin 2C B A -=，可得2sin cos 2cos sin sin cos cos sin C B C B C B C B -=+，即sin cos 3cos sin C B C B =，代入sin cos cos sin 3sin sin sin C B C B B C bc A+=⋅，得4cos 33sin sin sin C C bc A ab C ==⋅，∴43cos ab C =， 由余弦定理，2222cos c a b ab C =+-22332c b =+-，得2232c b -=，故答案为：32三、解答题17．已知公比的绝对值大于1的等比数列{}n a 中的前三项恰为32,2,3,8--中的三个数，n S 为数列(){}21nn a +的前n 项和．(1)求n a ； (2)求n S ．【答案】(1)()2112nn n a -=-⋅； (2)()2110714122525nn n S n ++=-⋅⋅-.【分析】（1）根据题意确定前三项，结合等比数列通项公式可得结果； （2）利用错位相减法求和即可.【详解】（1）根据题意可知，1232,8,32a a a =-==-， 所以公比214a q a ==-，所以()()()112112412n n n n n a a q ---==--=-⋅； （2）由（1）知，()2112nn n a -=-⋅，()()()21212112n n nn b n a n -=+=+-⋅⋅，所以()()135213*********nn n n S -=-⨯+⨯-⨯+-⋅+⋅+， 所以()()51213732527214122n n n n S ++=⨯-⨯+⨯+-⋅+⋅+-，所以()()()1135212153222222122112nn n n n S n +-+=-⨯+⨯-⨯++-⋅-+⋅-⋅，()()()12116142112614n n n n -+⎡⎤--⎣⎦=++⋅-⋅-+ ()()()212121412211255n nn n n ++=⋅-⋅++⋅-⋅- ()21107141255nn n ++=-⋅⋅-， 所以()2110714122525nn n S n ++=-⋅⋅-. 18．已知()()22662,2cos ,cos sin ,sin ,3,422a b c θθθθ⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭． (1)若a 与c 的夹角为钝角,()0,θπ∈,求cos θ的取值范围；(2)若函数()1f a b θ=⋅-在[]0,m θ∈上有10个零点,求m 的取值范围． 【答案】(1)1,⎛⎛-⋃ ⎝⎭⎝⎭(2)5921124ππ≤<m【分析】(1)根据a 与c 的夹角为钝角,可得a 与c 数量积小于零,且a 与c 不共线,化简求出cos θ范围即可.(2)根据()1f a b θ=⋅-的解析式及[]0,m θ∈进行换元,转化为2sin 1,=-y t 在,233ππ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦t m 上有10个零点的问题,画图像进行分析,求出m的取值范围.【详解】（1）解:由题知,a 与c 的夹角为钝角,所以0a c ⋅<且a 与c 不共线,则有()()2,2cos 3,48cos 0,cos θθθ⋅=⋅-=-<a c 且6cos 0,cos θθ≠≠因为()0,θπ∈,故222232cos 1,,338θ⎛⎫⎛⎫∈--⋃- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, （2）由题知,()2213cos 3sin 2cos sin 12sin(2)13πθθθθθθ=⋅-=-+-=+-f a b ,令2,,2333πππθ⎡⎤=+∈+⎢⎥⎣⎦t t m , 则()f θ在[]0,m θ∈上有10个零点,即2sin 1,=-y t 在,233ππ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦t m 上有10个零点,画出2sin 1=-y t 的图像如下所示故只需61652636πππ≤+<m ,解得5921124ππ≤<m , 故5921124ππ≤<m . 19．已知数列{}n a 满足11,2,n n na n a a n ++⎧=⎨-⎩为奇数时为偶数时，11a =(1)若数列{}n b 为数列{}n a 的奇数项组成的数列，{}n c 为数列{}n a 的偶数项组成的数列，求出123,,c c c ，并证明：数列{}n b 为等差数列； (2)求数列{}n a 的前10项和． 【答案】(1)答案见解析； (2)105S =-．【分析】（1）由已知递推关系求出数列{}n a 前几项，易得123,,c c c ，利用已知递推关系得出21n a +与21n a -的关系即得1n b +与n b 的关系，从而证明{}n b 是等差数列； （2）用分组求和法求10S ．【详解】（1）由定义，11a =，22a =，30a =，41a =，51a =-，60a =，72a =-，81a =-，93a =-，102a =-，所以12c =，21c =，30c =，1212212121211n n n n n n b a a a a b ++--==-=+-=-=-，所以11n n b b ，所以{}n b 是等差数列，公差为1-；（2）由（1）1n n c b =+，111b a ==，1255451(1)52b b b ⨯+++=⨯+⨯-=-， 10125125()()S b b b c c c =+++++++1252()52(5)55b b b =++++=⨯-+=-．20．如图，ABC 中，点D 为边BC 上一点，且满足AD CD AB BC =．(1)证明：sin sin BAC DAC ∠∠=；(2)若2,1,7AB AC BC ===ABD △的面积．【答案】(1)证明见解析；3【分析】（1）利用正弦定理，结合已知条件进行证明.（2）结合第（1）问的结论，利用余弦定理、三角形的面积公式求解.【详解】（1）因为AD CD AB BC =，所以BC CD AB AD =， 在ABC 中，由正弦定理有：sin sin BAC C BC AB ∠=， 在ACD 中，由正弦定理有：sin sin DAC C DC AD ∠=， 所以sin sin sin sin BC CD AB A BAC C C CD DA ==∠=∠， 所以sin sin ∠=∠BAC DAC ，而BAC DAC ∠≠∠，所以πBAC DAC ∠+∠=，所以sin sin BAC DAC ∠∠=.（2）因为2,1,7AB AC BC ===ABC 中，由余弦定理有：222222171cos 22212AB AC BC BAC AB AC +-+-∠===-⋅⨯⨯， 因为BAC ∠是三角形的内角，所以2π3BAC ∠=， 由（1）有：πBAC DAC ∠+∠=，所以π3DAC ∠=， 所以AD 是BAC ∠的角平分线，所以21BD AB DC AC ==，所以BD CD ==，又AD CD AB BC =，所以23AD =，所以112sin 2223ABD S AB AD BAD =⋅⋅∠=⨯⨯=. 21．已知函数()()2e 24x f x x a x a ⎡⎤=-+++⎣⎦有两个极值点()1212,x x x x <．(1)若120x x <<，求a 的取值范围；(2)当4a 时，求()()12f x f x ⋅的最大值．【答案】(1)a >(2)4e -．【分析】（1）求出导函数()f x '，由()0f x '=有两个不等正根（转化为一元二次方程有两个不等正根）可得参数范围；（2）由（1）得出极值点12,x x 满足12x x a +=，122x x =，计算12()()f x f x 化为a 的函数，然后引入新函数，利用导数求得其最大值．【详解】（1）2()e (2)x f x x ax '=-+，由题意220x ax -+=有两个不等的正根，所以21212Δ80020a x x a x x ⎧=->⎪+=>⎨⎪=>⎩，解得a >（2）由（1）知12x x a +=，122x x =，1222121122()()e [(2)4]e [(2)4]x x f x f x x a x x a x =-++⋅-++12e [x x +=22222121212121212(2)16(2)()4()4(2)()]x x a x x a x x x x x x a x x +++-++++-++ 22e [42(2)162(2)4(4)4(2)a a a a a a a =+++-++--+]4e (3)a a =--，设()e (3),4x g x x x =--≥，则()e (2)x g x x '=--，4x ≥时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以4()(4)e g x g ≤=-，从而412()()e f x f x ≤-，所以12()()f x f x 的最大值是4e -．【点睛】思路点睛：本题考查用导数研究函数的极值点问题，求与极值点有关的最值．解题关键是理解极值点的定义，第一小问极值点的存在性转化为一元二次方程有两个不等的正根，由此可得参数范围，第二小问求二元函数的最值，关键是利用极值点与参数a 的关系把二元函数转化为一元函数，从而再利用导数求最值．22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1x y t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），曲线2C 的参数方程为5cos 2sin x y αα=+⎧⎨=-+⎩（α为参数）． (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线2C 的极坐标方程与1C 的普通方程；(2)若A B ， 分别为曲线1C ，曲线2C 上的动点，求AB 的最小值．【答案】(1)1C 的普通方程为21,(0)y x x =-≥，曲线2C 的极坐标方程为210cos 4sin 280ρθθ-++=.(2)1.【分析】（1）根据消参法可求得1C 的普通方程，利用直角坐标与极坐标的转化公式可求得曲线2C 的极坐标方程；（2）设1),0A t t -≥，求得其与点(5,2)P -距离的表达式，利用导数求得其最小值，结合几何意义即可求得AB 的最小值．【详解】（1）由题意曲线1C 的参数方程为1x y t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数）。
陕西省2025届高三数学第一次模拟联考试卷文含解析
陕西省2025届高三第一次模拟联考文科数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|-1≤x＜2}，B={x|0≤x≤3}，则A∩B=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用集合的交集的定义，干脆运算，即可求解.【详解】由题意，集合A={x|-1≤x＜2}，B={x|0≤x≤3}，∴A∩B={x|0≤x＜2}．故选：B．【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中熟记集合的交集定义和精确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解实力，属于基础题.2.复数i（1+2i）的模是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式，即可求解．【详解】由题意,依据复数的运算可得，所以复数的模为，故选D.【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，其中解答中熟记复数的运算，以及复数模的计算公式是解答的关键，着重考查了运算与求解实力，属于基础题。
3.若抛物线y2=2px的焦点坐标为（2，0），则准线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】抛物线y2=2px的焦点坐标为（2，0），求得的值，即可求解其准线方程．【详解】由题意，抛物线y2=2px的焦点坐标为（2，0），∴，解得p=4，则准线方程为：x=-2．故选：A．【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其性质，其中解答中熟记抛物线的标准方程，及其简洁的几何性质，合理计算是解答的关键，着重考查了运算与求解实力，属于基础题.4.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. 64B.C. 80D.【答案】B【解析】【分析】依据三视图画出几何体的直观图，推断几何体的形态以及对应数据，代入公式计算即可．【详解】几何体的直观图是：是放倒的三棱柱，底面是等腰三角形，底面长为4，高为4的三角形，棱柱的高为4，所求表面积：．故选：B．【点睛】本题主要考查了几何体的三视图，以及几何体的体积计算，其中解答中推断几何体的形态与对应数据是解题的关键，着重考查了推理与计算实力，属于基础题。
联考卷高三二调文数答案解析
试卷题目：联考卷高三二调文数答案解析一、选择题（每题1分，共5分）1. 下列函数中，既是奇函数又是偶函数的是（）A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = x^2 + x2. 已知等差数列{an}，若a1=1，a3=3，则公差d等于（）A. 1B. 2C. 3D. 43. 不等式x^2 4x + 3 < 0的解集为（）A. x < 1B. 1 < x < 3C. x > 3D. x < 1 或 x > 34. 平面直角坐标系中，点P(2, 1)关于原点的对称点坐标为（）A. (2, 1)B. (2, 1)C. (2, 1)D. (2, 1)5. 若三角形的三边长分别为3、4、5，则该三角形为（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定二、判断题（每题1分，共5分）1. 两个平行线的斜率相等。
（）2. 任何实数的平方都是非负数。
（）3. 对数函数y = log2x在定义域内是单调递增的。
（）4. 若a > b，则a^2 > b^2。
（）5. 三角形的内角和等于180度。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 已知函数f(x) = 2x + 3，则f(3) = _______。
2. 若等差数列{an}的公差为2，且a3 = 8，则a1 = _______。
3. 不等式2x 5 > 7的解集为 _______。
4. 在平面直角坐标系中，点A(3, 4)到原点的距离为 _______。
5. 若sinθ = 1/2，且θ为锐角，则θ = _______度。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述等差数列的定义及其通项公式。
2. 请写出三角函数的和差化积公式。
3. 解释什么是一元二次方程的判别式，并说明其作用。
4. 简述平面几何中平行线的性质。
5. 请解释概率论中的互斥事件和独立事件。
五、应用题（每题2分，共10分）1. 某企业生产一种产品，固定成本为2000元，每生产一件产品的变动成本为100元。
2022年12月高三全国大联考(全国乙卷)文科数学试卷及答案
参考数据： ， ， ， .
参考公式：相关系数 ，回归直线方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
， .
19．如图，正三棱柱 的底面边长为2，高为3， 在棱 上， ， 为 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求三棱锥 的体积.
20．已知函数 ， ， 为常数， 的图象在点 处的切线方程为 .
故选：D
8．C
【分析】先判断函数 的奇偶性与单调性，再解不等式，求不等式成立的一个充分不必要条件是求其一个真子集.
【详解】函数 定义域为R，
因为 ，所以 是一个奇函数.
因为 ，所以 在R上单调递增.
因为 ，又 是一个奇函数，
所以 ，
又 在R上单调递增，
所以 ，解得 .
不等式 成立的一个充分不必要条件是集合 的真子集，所以选项C正确.
【详解】由抛物线 ： ，可知 ，焦点 ，
因为 过焦点 ，所以 ，
设 ，
联立 ，消元得 ，
则 ，
由抛物线定义知 .
故选：A
7．D
【分析】根据图像变换求得 的解析式，再求得 的对称中心.
【详解】函数 的图像向右平移 个单位长度，得到函数 ，所以 ，
令 ，即 的对称中心为 ，
令 ，求得 的一个对称中心为 .
A． B． C． D．3
12．已知各项不等于0的数列 满足 ， ， .设函数 ， 为函数 的导函数.令 ，则 （）
A． B．36C． D．54
二、填空题
13．已知平面向量 ， ，则平面向量 与 的夹角为______.
14．已知圆 ： ，且圆外有一点 ，过点 作圆 的两条切线，且切点分别为 ， ，则 ______.
2020-2021学年高三数学(文科)高三毕业联考试题及答案解析
最新高三（下）第一次联考数学试卷（文科）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．）1．设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．62．设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p是q成立的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3 B．6 C．9 D．124．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（）A．y=cos（2x+）B．y=sin（2x+）C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx5．已知等差数列{a n}中，a4+a6=10，前5项和S5=5，则其公差为（）A．1 B．2 C．3 D．46．设x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的取值范围为（）A．[﹣2，0] B．[﹣3，0] C．[﹣2，3] D．[﹣3，3]7．已知双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=18．执行如图所示的程序，则输出的i的值为（）A．2 B．3 C．4 D．59．设复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，则y≥x的概率为（）A．+B．+C．﹣D．﹣10．已知x0是函数f（x）=2x+的一个零点．若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），则（）A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 B．f（x1）＜0，f（x2）＞0 C．f（x1）＞0，f（x2）＜0 D．f（x1）＞0，f（x2）＞011．某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）A．B．C． D．12．将正奇数排成如图所示的三角形数阵（第k行有k个奇数），其中第i行第j个数表示为a ij，例如a42=15，若a ij=2015，则i﹣j=（）A．26 B．27 C．28 D．29二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．14．若曲线y=kx2+lnx在点（1，k）处的切线与直线2x﹣y+3=0平行，则k= ．15．已知F是双曲线的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为．16．定义在R上的函数f（x）满足f（x）﹣f（x﹣5）=0，当x∈（﹣1，4]时，f（x）=x2﹣2x，则函数f（x）在[0，2016]上的零点个数是．三．解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题，每题12分，选做题10分，共70分）17．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ）若a=b，求cosB；（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．18．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50]，[50，60]，…，[80，90]，[90，100]（1）求频率分布图中a的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在[40，60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50]的概率．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=AD=2，四边形ABCD满足AB⊥AD，BC∥AD且BC=4，点M为PC中点．（1）求证：平面ADM⊥平面PBC；（2）求点P到平面ADM的距离．20．已知椭圆M的对称轴为坐标轴，离心率为，且一个焦点坐标为（，0）．（1）求椭圆M的方程；（2）设直线l与椭圆M相交于A、B两点，以线段OA、OB为邻边作平行四边形OAPB，其中点P在椭圆M上，O为坐标原点，求点O到直线l的距离的最小值．21．设函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，f（x）+g （x）=e x，其中e为自然对数的底数．（1）求f（x），g（x）的解析式，并证明：当x＞0时，f（x）＞0，g（x）＞1；（2）设a≤0，b≥1，证明：当x＞0时，ag（x）+（1﹣a）＜＜bg（x）+（1﹣b）．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证．（Ⅰ）∠DEA=∠DFA；（Ⅱ）AB2=BE•BD﹣AE•AC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cos θ﹣2sinθ）=7距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（1）画出函数y=f（x）的图象；（2）若不等式|a+b|+|a﹣b|≥|a|f（x），（a≠0，a、b∈R）恒成立，求实数x的范围．第一次联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．）1．设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】集合的确定性、互异性、无序性；集合中元素个数的最值．【分析】利用已知条件，直接求出a+b，利用集合元素互异求出M中元素的个数即可．【解答】解：因为集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，所以a+b的值可能为：1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8，所以M中元素只有：5，6，7，8．共4个．故选B．2．设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p是q成立的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】判断必要条件与充分条件，推出结果即可．【解答】解：设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p成立，不一定有q成立，但是q成立，必有p成立，所以p是q成立的必要不充分条件．故选：C．3．设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3 B．6 C．9 D．12【考点】函数的值．【分析】先求f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，再由对数恒等式，求得f（log212）=6，进而得到所求和．【解答】解：函数f（x）=，即有f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，f（log212）==12×=6，则有f（﹣2）+f（log212）=3+6=9．故选C．4．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（）A．y=cos（2x+）B．y=sin（2x+）C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．【分析】求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可．【解答】解：y=cos（2x+）=﹣sin2x，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A正确y=sin（2x+）=cos2x，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B不正确；y=sin2x+cos2x=sin（2x+），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C不正确；y=sinx+cosx=sin（x+），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D不正确；故选：A．5．已知等差数列{a n}中，a4+a6=10，前5项和S5=5，则其公差为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a4+a6=10，前5项和S5=5，∴2a1+8d=10，5a1+d=5，解得a1=﹣3，d=2．则其公差为2．故选：B．6．设x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的取值范围为（）A．[﹣2，0] B．[﹣3，0] C．[﹣2，3] D．[﹣3，3]【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得：，B（1，2）．化目标函数z=x﹣2y为直线方程的斜截式．由图可知，当直线过B（1，2）时，直线在y轴上的截距最大，z最小，最小值为1﹣2×2=﹣3；当直线过A（3，0）时，直线在y轴上的截距最小，z最大，最大值为3﹣2×0=3．∴z=x﹣2y的取值范围为[﹣3，3]．故选：D．7．已知双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的标准方程．【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程．【解答】解：由题意，=，∵抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣，双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，∴c=，∴a2+b2=c2=7，∴a=2，b=，∴双曲线的方程为．故选：D．8．执行如图所示的程序，则输出的i的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当S=0时满足条件S≤1，退出循环，输出i的值为4．【解答】解：模拟执行程序，可得S=10，i=0执行一次循环体后，i=1，S=9不满足条件S≤1，再次执行循环体后，i=2，S=7不满足条件S≤1，再次执行循环体后，i=3，S=4不满足条件S≤1，再次执行循环体后，i=4，S=0满足条件S≤1，退出循环，输出i的值为4．故选：C．9．设复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，则y≥x的概率为（）A．+B．+C．﹣D．﹣【考点】复数的代数表示法及其几何意义；几何概型．【分析】判断复数对应点图形，利用几何概型求解即可．【解答】解：复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，它的几何意义是以（1，0）为圆心，1为半径的圆以及内部部分．y≥x的图形是图形中阴影部分，如图：复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，则y≥x的概率：=．故选：C．10．已知x0是函数f（x）=2x+的一个零点．若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），则（）A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 B．f（x1）＜0，f（x2）＞0 C．f（x1）＞0，f（x2）＜0 D．f（x1）＞0，f（x2）＞0【考点】函数零点的判定定理．【分析】因为x0是函数f（x）=2x+的一个零点可得到f（x0）=0，再由函数f（x）的单调性可得到答案．【解答】解：∵x0是函数f（x）=2x+的一个零点∴f（x0）=0∵f（x）=2x+是单调递增函数，且x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），∴f（x1）＜f（x0）=0＜f（x2）故选B．11．某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）A．B．C． D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据三视图可判断其为圆锥，底面半径为1，高为2，求解体积．利用几何体的性质得出此长方体底面边长为n的正方形，高为x，利用轴截面的图形可判断得出n=（1﹣），0＜x＜2，求解体积式子，利用导数求解即可，最后利用几何概率求解即．【解答】解：根据三视图可判断其为圆锥，∵底面半径为1，高为2，∴V=×2=∵加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，∴此长方体底面边长为n的正方形，高为x，∴根据轴截面图得出：=，解得；n=（1﹣），0＜x＜2，∴长方体的体积Ω=2（1﹣）2x，Ω′=x2﹣4x+2，∵，Ω′=x2﹣4x+2=0，x=，x=2，∴可判断（0，）单调递增，（，2）单调递减，Ω最大值=2（1﹣）2×=，∴原工件材料的利用率为=×=，故选：A12．将正奇数排成如图所示的三角形数阵（第k行有k个奇数），其中第i行第j个数表示为a ij，例如a42=15，若a ij=2015，则i﹣j=（）A．26 B．27 C．28 D．29【考点】归纳推理．【分析】分析正奇数排列的正三角图表知，第i行（其中i∈N*）有i个奇数，且从左到右按从小到大的顺序排列，则2015是第1008个奇数，由等差数列的知识可得，它排在第几行第几个数【解答】解：根据正奇数排列的正三角图表知，2015是第1008个奇数，应排在i行（其中i∈N*），则1+2+3+…+（i﹣1）=i（i﹣1）≤1008①，且1+2+3+…+i=i（i+1）＞1008②；验证i=45时，①②式成立，所以i=45；第45行第1个奇数是2××44×45+1=1981，而1981+2（j﹣1）=2015，∴j=18；∴i﹣j=45﹣18=27．故选：B二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】根据题意，把4个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．【解答】解：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为C1、C2，则一次取出2只球，基本事件为AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种，其中2只球的颜色不同的是AB、AC1、AC2、BC1、BC2共5种；所以所求的概率是P=，故答案为：．14．若曲线y=kx2+lnx在点（1，k）处的切线与直线2x﹣y+3=0平行，则k= ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求函数的导数，利用切线和直线平行得到，斜率关系，建立方程进行求解即可．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），函数的导数f′（x）=2kx+，则在点（1，k）处的切线斜率k=f′（1）=2k+1，∵y=kx2+lnx在点（1，k）处的切线与直线2x﹣y+3=0平行，∴直线2x﹣y+3=0的斜率k=2，即切线斜率k=2，即f′（1）=2k+1=2，则2k=1，得k=，故答案为：15．已知F是双曲线的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为9 ．【考点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；双曲线的应用．【分析】根据A点在双曲线的两支之间，根据双曲线的定义求得a，进而根据PA|+|PF′|≥|AF′|=5两式相加求得答案．【解答】解：∵A点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为F′（4，0），∴由双曲线性质|PF|﹣|PF′|=2a=4而|PA|+|PF′|≥|AF′|=5两式相加得|PF|+|PA|≥9，当且仅当A、P、F′三点共线时等号成立．故答案为9．16．定义在R上的函数f（x）满足f（x）﹣f（x﹣5）=0，当x∈（﹣1，4]时，f（x）=x2﹣2x，则函数f（x）在[0，2016]上的零点个数是1209 ．【考点】根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理．【分析】由f（x）﹣f（x﹣5）=0可判断出函数的周期性，由x∈（﹣1，4]时函数的解析式，可以求出一个周期内函数的零点个数，进而可得函数f（x）在[0，2016]上的零点个数．【解答】解：∵f（x）﹣f（x﹣5）=0，∴f（x）=f（x﹣5），∴f（x）是以5为周期的周期函数，又∵f（x）=x2﹣2x在x∈（﹣1，4]区间内有3个零点，∴f（x）在任意周期上都有3个零点，∵x∈（1，2016]上包含403个周期，又∵x∈[0，1]时不存在零点，故零点数为3×403=1209．故答案为：1209．三．解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题，每题12分，选做题10分，共70分）17．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ）若a=b，求cosB；（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（I）sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：b2=2ac，再利用余弦定理即可得出．（II）利用（I）及勾股定理可得c，再利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（I）∵sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：＞0，代入可得（bk）2=2ak•ck，∴b2=2ac，∵a=b，∴a=2c，由余弦定理可得：cosB===．（II）由（I）可得：b2=2ac，∵B=90°，且a=，∴a2+c2=2ac，解得a=c=．∴S△ABC==1．18．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50]，[50，60]，…，[80，90]，[90，100]（1）求频率分布图中a的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在[40，60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50]的概率．【考点】频率分布直方图．【分析】（1）利用频率分布直方图中的信息，所有矩形的面积和为1，得到a；（2）对该部门评分不低于80的即为90和100，的求出频率，估计概率；（3）求出评分在[40，60]的受访职工和评分都在[40，50]的人数，随机抽取2人，列举法求出所有可能，利用古典概型公式解答．【解答】解：（1）因为（0.004+a+0.018+0.022×2+0.028）×10=1，解得a=0.006；（2）由已知的频率分布直方图可知，50名受访职工评分不低于80的频率为（0.022+0.018）×10=0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4；（3）受访职工中评分在[50，60）的有：50×0.006×10=3（人），记为A1，A2，A3；受访职工评分在[40，50）的有：50×0.004×10=2（人），记为B1，B2．从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，分别是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，又因为所抽取2人的评分都在[40，50）的结果有1种，即{B1，B2}，故所求的概率为P=．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=AD=2，四边形ABCD满足AB⊥AD，BC∥AD且BC=4，点M为PC中点．（1）求证：平面ADM⊥平面PBC；（2）求点P到平面ADM的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）取PB中点N，连结MN、AN，证明四边形ADMN为平行四边形，AN⊥平面PBC，可得平面ADM⊥平面PBC；（2）PN⊥平面ADM，即点P到平面ADM的距离为PN，即可求点P到平面ADM的距离．【解答】解：（1）取PB中点N，连结MN、AN，则∵M是PC中点，∴，又∵BC∥AD，∴MN∥AD，MN=AD，∴四边形ADMN为平行四边形，∵AP⊥AD，AB⊥AD，∴AD⊥平面PAB，∴AD⊥AN，∴AN⊥MN，∵AP=AB，∴AN⊥PB，∴AN⊥平面PBC，∵AN⊂平面ADM，∴平面ADM⊥平面PBC．（2）由（1）知，PN⊥AN，PN⊥AD，∴PN⊥平面ADM，即点P到平面ADM的距离为PN，在Rt△PAB中，由PA=AB=2，得，∴．20．已知椭圆M的对称轴为坐标轴，离心率为，且一个焦点坐标为（，0）．（1）求椭圆M的方程；（2）设直线l与椭圆M相交于A、B两点，以线段OA、OB为邻边作平行四边形OAPB，其中点P在椭圆M上，O为坐标原点，求点O到直线l的距离的最小值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由题意可设椭圆的标准方程为：，可得，解得即可得出．（2）当直线l的向量存在时，设直线l的方程为：y=kx+m，与椭圆方程联立化为（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0，由△＞0，化为2+4k2﹣m2＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0）．可得x0=x1+x2，y0=y1+y2．代入椭圆方程．利用点到直线的距离公式可得：点O到直线l的距离d==即可得出．当直线l无斜率时时，由对称性可知：点O到直线l的距离为1．即可得出．【解答】解：（1）由题意可设椭圆的标准方程为：，∴，解得a=2，b2=2，∴椭圆M的方程为．（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=kx+m，联立，化为（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0，△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣4）＞0，化为2+4k2﹣m2＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0）．∴x0=x1+x2=，y0=y1+y2=k（x1+x2）+2m=．∵点P在椭圆M上，∴，∴+=1，化为2m2=1+2k2，满足△＞0．又点O到直线l的距离d====．当且仅当k=0时取等号．当直线l无斜率时时，由对称性可知：点P一定在x轴上，从而点P的坐标为（±2，0），直线l的方程为x=±1，∴点O到直线l的距离为1．∴点O到直线l的距离的最小值为．21．设函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，f（x）+g （x）=e x，其中e为自然对数的底数．（1）求f（x），g（x）的解析式，并证明：当x＞0时，f（x）＞0，g（x）＞1；（2）设a≤0，b≥1，证明：当x＞0时，ag（x）+（1﹣a）＜＜bg（x）+（1﹣b）．【考点】不等式的证明；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）运用奇、偶函数的定义，由函数方程的思想可得f（x）、g（x）的解析式，再由指数函数的单调性和基本不等式，即可证得f（x）＞0，g（x）＞1；（2）当x＞0时，＞ag（x）+1﹣a⇔f（x）＞axg（x）+（1﹣a）x，＜bg（x）+1﹣b⇔f（x）＜bxg（x）+（1﹣b）x，设函数h（x）=f（x）﹣cxg（x）﹣（1﹣c）x，通过导数判断单调性，即可得证．【解答】解：（1）f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，即有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），f（x）+g（x）=e x，f（﹣x）+g（﹣x）=e﹣x，即为﹣f（x）+g（x）=e﹣x，解得f（x）=（e x﹣e﹣x），g（x）=（e x+e﹣x），则当x＞0时，e x＞1，0＜e﹣x＜1，f（x）＞0；g（x）=（e x+e﹣x）＞×2=1，则有当x＞0时，f（x）＞0，g（x）＞1；（2）证明：f′（x）=（e x+e﹣x）=g（x），g′（x）=（e x﹣e﹣x）=f（x），当x＞0时，＞ag（x）+1﹣a⇔f（x）＞axg（x）+（1﹣a）x，＜bg（x）+1﹣b⇔f（x）＜bxg（x）+（1﹣b）x，设函数h（x）=f（x）﹣cxg（x）﹣（1﹣c）x，h′（x）=f′（x）﹣c（g（x）+xg′（x））﹣（1﹣c）=g（x）﹣cg（x）﹣cxf（x）﹣（1﹣c）=（1﹣c）（g（x）﹣1）﹣cxf（x），①若c≤0则h′（x）＞0，故h（x）在（0，+∞）递增，h（x）＞h（0）=0，（x＞0），即有f（x）＞cxg（x）+（1﹣c）x，故＞ag（x）+1﹣a成立；②若c≥1则h′（x）＜0，故h（x）在（0，+∞）递减，h（x）《h（0）=0，（x＞0），即有f（x）＜cxg（x）+（1﹣c）x，故＜bg（x）+1﹣b成立．综上可得，当x＞0时，a g（x）+（1﹣a）＜＜b g（x）+（1﹣b）．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证．（Ⅰ）∠DEA=∠DFA；（Ⅱ）AB2=BE•BD﹣AE•AC．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）连结AD，由已知条件结合圆的性质推导出A、D、E、F四点共圆，由此能证明∠DEA=∠DFA．（Ⅱ）由A、D、E、F四点共圆，连结BC，能推导出△ABC∽△AEF，由此能证明AB2=BE•BD﹣AE•AC．【解答】证明：（Ⅰ）连结AD，∵AB为圆的直径，∴∠ADB=90°，又∵EF⊥AB，∴∠EFA=90°，∴A、D、E、F四点共圆，∴∠DEA=∠DFA．（Ⅱ）∵A、D、E、F四点共圆，∴由切割线定理知BD•BE=BA•BF，连结BC，则△ABC∽△AEF，∴=，∴AB•AF=AE•AC，∴BE•BD﹣AE•AC=BA•BF﹣AB•AF=AB（BF﹣AF）=AB2．∴AB2=BE•BD﹣AE•AC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7距离的最小值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）曲线C1：（t为参数），利用sin2t+cos2t=1即可化为普通方程；C2：（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1化为普通方程．（Ⅱ）当t=时，P（﹣4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M，直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7化为x﹣2y=7，利用点到直线的距离公式与三角函数的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1：（t为参数），化为（x+4）2+（y﹣3）2=1，∴C1为圆心是（﹣4，3），半径是1的圆．C2：（θ为参数），化为．C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．（Ⅱ）当t=时，P（﹣4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M，直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7化为x﹣2y=7，M到C3的距离d==|5sin（θ+φ）+13|，从而当cossinθ=，sinθ=﹣时，d取得最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（1）画出函数y=f（x）的图象；（2）若不等式|a+b|+|a﹣b|≥|a|f（x），（a≠0，a、b∈R）恒成立，求实数x的范围．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【分析】本题考查的是分段函数的解析式求法以及函数图象的作法问题．在解答时对（1）要先将原函数根据自变量的取值范围转化为分段函数，然后逐段画出图象；对（2）先结和条件a≠0将问题转化，见参数统统移到一边，结合绝对值不等式的性质找出f（x）的范围，通过图形即可解得结果．【解答】解：（1）（2）由|a+b|+|a﹣b|≥|a|f（x）得又因为则有2≥f（x）解不等式2≥|x﹣1|+|x﹣2|得2016年10月18日。
2023年高三2月大联考(全国乙卷)文科数学试卷和答案详解
2023年高三2月大联考（全国乙卷）文科数学试卷和答案详细解析(题后)一、单选题1. 已知复数，则（）A．B．C．D．2.若集合，，则（）A．B．C．D．3. 已知命题p：，，则为（）A．，B．，C．，D．，4. 下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的为（）A．B．C．D．5. 如图，已知正三棱柱的棱长都相等，为棱的中点，则与所成角的正弦值为（）A．B．C．D．6. 已知数列的前项和为，且，则的值为（）A．B．C．D．7.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象．若是函数的一个极值点，则的值为（）A．B．C．D．8. 已知函数是偶函数，当时，．若曲线在点处的切线方程为，则实数a的值为（）A．4B．2C．1D．9. 克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．如图，四边形ABCD内接于半径为的圆，，，，则四边形ABCD的周长为（）A．B．C．D．10. 如图，已知线段AD的长为3，B，C是线段AD上的两点，则线段AB，BC，CD能构成三角形的概率为（）A．B．C．D．11. 已知O为坐标原点，F是椭圆的左焦点．若椭圆C上存在两点A，B满足，且A，B，O三点共线，则椭圆C的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．12.已知，，，则下列判断正确的是（）A．B．C．D．二、填空题13. 已知双曲线上一点到两个焦点的距离之差为，且双曲线E的离心率为2，则双曲线E的方程为______．14. 已知，平面向量，．若，则实数的取值范围是______．15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则的面积等于______．16. 在四面体ABCD中，，，．若四面体ABCD的体积为，则四面体ABCD外接球的表面积的最小值为______．三、解答题17. 希望种子公司销售一种新品种蔬菜种子，其说明书标明：此品种蔬菜果实的平均长度为11.5cm．某种植大户购买了这种蔬菜种子，种植后从收获的蔬菜果实中随机选取了一个容量为20的样本，得到果实长度数据如下表：（单位：cm）序号（i）12345678910长度11.613.012.811.812.012.811.512.713.412.4序号（i）11121314151617181920长度12.912.813.213.511.212.611.812.813.212.0(1)估计该种植大户收获的蔬菜果实长度的平均数和方差；(2)判断说明书标明的“蔬菜果实的平均长度为11.5cm”的说法是否成立．（记，其中为蔬菜果实长度的平均数，s为蔬菜果实长度的标准差，n是选取蔬菜果实的个数．当时，．若，则说明书标明的“蔬菜果实的平均长度为11.5cm”的说法不成立）参考数据：，，，．18. 已知数列满足对任意m，都有，数列是等比数列，且，，.(1)求数列，的通项公式；(2)设，求数列的前n项和.19. 如图，多面体ABCDEF的面ABCD是正方形，其中心为M．平面平面ABCD，，，．(1)求证：平面AEFB；(2)在内（包括边界）是否存在一点N，使得平面CEF？若存在，求点N的轨迹，并求其长度；若不存在，请说明理由．20. 已知抛物线，圆与抛物线有且只有两个公共点.(1)求抛物线的方程；(2)设为坐标原点，过圆心的直线与圆交于点，直线分别交抛物线于点（点不与点重合）.记的面积为，的面积为，求的最大值.21. 已知函数，是的导函数．(1)讨论函数的单调性；(2)设，若函数在上存在小于1的极小值，求实数a的取值范围．22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.(1)写出直线l的直角坐标方程；(2)设曲线C与x轴的交点为A，B（点A在点B的左侧），若直线l上存在点M，满足，求实数m的取值范围.23. 已知函数.(1)当时，求不等式的解集；(2)若存在，使得，求a的取值范围.答案详解1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.23.。
2021年河南省高考数学(文科)联考试卷-含答案与解析
2021年河南省高考数学（文科）联考试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1（5分）已知集合M＝{x|x2≤4}，N＝{﹣3，﹣1，1，2，3}，则M∩N＝（）A{﹣1，1，2} B{﹣1，2，3} C{﹣2，﹣1，1，2} D{﹣1，1}2（5分）已知复数z满足（2+i）z＝|4﹣3i|（i为虚数单位），则z＝（）A2+i B2﹣i C1+2i D1﹣2i3（5分）已知tanθ＝，则tan2θ+4tan（）＝（）A1 B﹣2 C﹣1 D04（5分）命题：①若2a＝3b＝6，则＝1；②若2a＝3b＝36，则+＝；③若2a＝3b＝216，则＝类比命题①，②，③，可得命题“若m a＝n b＝t（m，n均为于1的整数），则+＝”其中t＝（）A m k nB mn kC kmn D（mn）k5（5分）已知椭圆C：＝1（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C的上顶点，若∠F1PF2＝，则b＝（）A5 B4 C3 D26（5分）数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中比较特别的一类螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”小明对螺旋线有着浓厚的兴趣，用以下方法画出了如图所示的螺旋线具体作法是：先作边长为1的正三角形ABC，分别记射线AC，BA，CB为l1，l2，l3，以C为圆心、CB为半径作劣弧交l1于点C1；以A 为圆心、AC1为半径作劣弧交l2于点A1；以B为圆心、BA1为半径作劣弧交l3于点B1，…，依此规律作下去，就得到了一系列圆弧形成的螺旋线记劣弧的长，劣弧的长，劣弧的长，…依次为a1，a2，a3，…，则a1+a2+…+a9＝（）A30πB45πC60πD65π7（5分）已知△ABC是边长为4的等边三角形，D为BC的中点，E点在边AC上，设AD与BE交于点P，则＝（）A4 B6 C8 D108（5分）古代人家修建大门时，贴近门墙放置两个石墩，称为门墩，亦称门枕石门墩的作用是固定门框，防止大门前后晃动，另外门墩一般雕刻有传统的吉祥图案，起到装饰作用如图，粗实线画出的是某门墩的三视图（其中网格纸的小正方形的边长为2dm），则该门墩的体积为（）A（48+）dm3B（48+）dm3C dm3D dm39（5分）设函数f（x）为定义在R上的偶函数，当x＜0时，f（x）＝ln（﹣x），若a＝f （21.1），b＝f（50.4），c＝f（ln），则a，b，c的大小关系是（）A a＜b＜cB c＜b＜aC b＜c＜aD c＜a＜b10（5分）已知双曲线E：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作E的一条渐近线的垂线，垂足为T，交E的左支于点P若T恰好为线段PF2的中点，则E的离心率为（）A B C2 D11（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点P在直线x+y＝4上，过点P作圆O：x2+y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，则O到直线AB距离的最大值为（）A1 B C D212（5分）已知函数f（x）＝cos（ωx+）（ω∈N*），若函数f（x）图象的相邻两对称轴之间的距离至少为，且在区间（π，）上存在最大值，则ω的取值个数为（）A4 B3 C2 D1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024届高三10月大联考(全国乙卷)文科数学含答案解析
2024届高三10月大联考（全国乙卷）文科数学一、单选题(共36 分)1已知集合A={x∈Z∣x2+1<5},B={−1,1,3}则A∪B中元素的个数为（）A3B4C5D6【答案】B【分析】化简集合A即可求出A∪B中元素的个数【详解】由题意因为A={x∈Z∣x2+1<5}={x∈Z∣x2<4}={−1,0,1},B={−1,1,3}所以A∪B={−1,0,1,3}有4个元素故选：B2已知命题p:∃x0≥0,√x0>x02则命题p的否定为（）A∃x0<0,√x0≤x02B∀x≥0,√x<x2C∀x<0,√x>x2D∀x≥0,√x≤x2【答案】D【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解【详解】解：因为命题p:∃x0≥0,√x0>x02是特称命题所以其否定为全称命题即“∀x≥0,√x≤x2”故选：D3若不等式x2−5ax+1<0的解集为(1a,a)则a=（）A−12B12C−14D14【答案】A 【分析】根据给定的解集结合一元二次方程根与系数的关系求解即得 【详解】由不等式x 2−5ax +1<0的解集为(1a ,a)得1a ,a 是方程x 2−5ax +1=0的两个根且1a <a 于是a +1a =5a 解得a =±12由a >1a 得−1<a <0或a >1因此a =−12且当a =−12时(−5a)2−4>0所以a =−12 故选：A4若函数f (x )={e x −x,x ≤3lnx −2,x >3则f(f (e 2))=（ ）A −1B −2 C1 D ln2−2【答案】C 【分析】先计算出f (e 2)=0进而求出f(f (e 2))=f (0)=1 【详解】因为e 2>3所以f (e 2)=lne 2−2=0所以f(f (e 2))=f (0)=e 0−0=1 故选：C5已知p:1<a <53,q:log a 43>2(a >0且a ≠1)则p 是q 的（ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件【答案】B 【分析】对于q ：利用对数函数单调性解得1<a <2√33再根据包含关系结合充分、必要条件分析判断 【详解】对于q ：因为log a 43>2=log a a 2（a >0且a ≠1）当0<a <1时y =log a x 在定义域内单调递减则a 2>43无解； 当a >1时y =log a x 在定义域内单调递增则a 2<43可得1<a <2√33；综上所述：不等式log a 43>2的解集为(1,2√33) 又因为(1,2√33)是(1,53)的真子集所以p 是q 的必要不充分条件 故选：B6函数f (x )=x 2log 42+x2−x 的大致图象是（ ）A B C D【答案】D 【分析】方法一：根据函数的奇偶性及函数值的符号排除即可判断；方法二：根据函数的奇偶性及某个函数值的符号排除即可判断 【详解】方法一：因为2+x2−x >0即(x +2)⋅(x −2)<0所以−2<x <2 所以函数f (x )=x 2log 42+x2−x 的定义域为(−2,2)关于原点对称又f (−x )=(−x)2log 42−x 2+x =−f (x )所以函数f (x )是奇函数其图象关于原点对称 故排除B,C ；当x ∈(0,2)时2+x2−x >1即log 42+x2−x >0因此f (x )>0故排除A 故选D方法二：由方法一知函数f (x )是奇函数其图象关于原点对称故排除B,C ； 又f (1)=12log 23>0所以排除A 故选：D7白色污染是人们对难降解的塑料垃圾（多指塑料袋）污染环境现象的一种形象称谓经过长期研究一种全生物可降解塑料（简称PBAT ）逐渐被应用于超市购物袋､外卖包装盒等产品研究表明在微生物的作用下PBAT 最终可被完全分解为二氧化碳和水进入大自然当其分解率（分解率=已分解质量总质量×100%）超过60%时就会成为对环境无害的物质为研究总质量为100g 的PBAT 的已分解质量y （单位：g ）与时间x （单位：月）之间的关系某研究所人员每隔1个月测量1次PBAT 的已分解质量对通过实验获取的数据做计算处理研究得出已分解质量y 与时间x 的函数关系式为y =100−e 4.6−0.1x 据此研究结果可以推测总质量为100g 的PBAT 被分解为对环境无害的物质的时间至少为（ ）（参考数据：ln40≈3.7） A8个月 B9个月 C10个月 D11个月【答案】C 【分析】根据题意令y =100−e 4.6−0.1x >60求解即可 【详解】令y =100−e 4.6−0.1x >60得0.1x >4.6−ln40≈0.9解得x >9故至少需要10个月总质量为100g 的PBAT 才会被分解为对环境无害的物质 故选：C8已知α,β∈(0,π2),α>β且cosα(cosα−cosβ)+sinα(sinα−sinβ)=15,sinαcosβ=710则sin (α+β)=（ ） A 45 B 35C 25D 310【答案】A 【分析】利用两角和与差的正弦公式和余弦公式化简即可 【详解】因为cosα(cosα−cosβ)+sinα(sinα−sinβ)=15cos 2α−cosαcosβ+sin 2α−sinαsinβ=15即1−cos (α−β)=15所以cos (α−β)=45因为α,β∈(0,π2),α>β所以0<α−β<π2所以sin (α−β)=35即sinαcosβ−cosαsinβ=35又sinαcosβ=710所以cosαsinβ=110所以sin (α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=710+110=45 故选：A9已知O 是△ABC 所在平面内一点若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,x,y 均为正数则xy 的最小值为（ ） A 12 B 49C1D 43【答案】B 【分析】由题设O 是△ABC 的重心应用向量加法、数乘几何意义可得AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =13x AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13y AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 根据MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 得13x +13y =1最后应用基本不等式求xy 最小值注意等号成立条件 【详解】因为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 所以点O 是△ABC 的重心 所以AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =23×12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ ) 因为AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1x AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1yAN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 综上AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =13x AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13y AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 因为MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 所以M,O,N 三点共线则13x +13y =1即1x +1y =3 因为x,y 均为正数所以1x +1y ≥2√1xy 则√1xy ≤32所以xy ≥49（当且仅当1x =1y =32即x =y =23时取等号） 所以xy 的最小值为49 故选：B10若函数f (x )=Asin (ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示则下列说法正确的个数为（ ）①ω=2；②φ=−π6；③f (x )在(π2,5π6)上单调递减；④f (−π2)=√3 A1B2C3D4【答案】C 【分析】由图像经过的特殊点(5π12,2)和(π6,0)逐项判断即可 【详解】由题图得A =2最小正周期T =4×(5π12−π6)=π 又T =2πω=π所以ω=2故①正确；f (x )=2sin (2x +φ)又f (x )的图象过点(5π12,2) 所以2×5π12+φ=2kπ+π2,k ∈Z 所以φ=2kπ−π3,k ∈Z又|φ|<π2所以φ=−π3故②错误； f (x )=2sin (2x −π3)令t =2x −π3当π2<x <5π6时2π3<t <4π3函数y =sint 在(2π3,4π3)上单调递减故③正确；f (−π2)=2sin (−π−π3)=√3故④正确 故选：C11已知函数f (x )是偶函数当x >0时f (x )=|log 2x |−1则不等式x−1f (−x )−2f (x )≥0的解集是（ ） A (−12,0)∪(0,12) B (−2,−1]∪[1,2)C (−2,−12)∪(0,12) D (−∞,−2)∪(−12,0)∪(0,12)∪[1,2)【答案】D 【分析】根据已知画出y =f (x )的图象并将不等式化为{f(x)(x −1)≤0f(x)≠0数形结合求不等式解集【详解】根据题意作偶函数y =f (x )的图象如下图示由f(−x)=f(x)不等式可化为x−1−f(x)≥0则{f(x)(x−1)≤0f(x)≠0所以{x−1≥0f(x)<0或{x−1≤0f(x)>0由图知：1≤x<2或0<x<12或−12<x<0或x<−2所以不等式解集为(−∞,−2)∪(−12,0)∪(0,12)∪[1,2)故选：D12已知函数f(x)=a x+a−x+cosx+x2(a>1)则f(√2),f(−e1e),f(π1π)的大小关系为（）A f(π1π)<f(−e 1e)<f(√2)B f(√2)<f(π1π)<f(−e1e)C f(π1π)<f(√2)<f(−e1e)D f(−e1e)<f(π1π)<f(√2)【答案】B【分析】根据函数的奇偶性只需要考虑x>0时的情况利用导数求解函数单调性构造函数φ(x)=2x−sinx,g(x)=lnxx即可由导数求解单调性利用函数单调性即可比较大小【详解】易知f(x)=a x+a−x+cosx+x2(a>1)是偶函数f′(x)=(a x−a−x)lna+2x−sinx当x>0时因为a>1所以lna>0,a x−a−x>0令φ(x)=2x−sinx,x>0则φ′(x)=2−cosx>0所以φ(x)单调递增所以φ(x)>φ(0)=0所以f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增构造函数g(x)=lnxx 则g′(x)=1−lnxx2令g′(x)>0得0<x<e令g′(x)<0得x>e所以g(x)在区间(0,e)上单调递增在区间(e,+∞)上单调递减又ln22=ln44所以g(4)<g(π)<g(e)所以ln22=ln44<lnππ<lnee所以212<π1π<e1e所以f(√2)<f(π1π)<f(e 1e)=f(−e1e)即f(√2)<f(π1π)<f(−e1e)故选:B【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤:(1)作差或变形；(2)构造新的函数ℎ(x)；(3)利用导数研究ℎ(x)的单调性或最值；(4)根据单调性及最值得到所证不等式．二、填空题(共12 分)13已知向量a=(1,−2)b⃗=(2,λ)若a⊥b⃗则实数λ的值为___________【答案】1【分析】根据向量垂直的坐标表示由题中条件列出方程即可求出结果【详解】因为向量a=(1,−2)b⃗=(2,λ)若a⊥b⃗则a⋅b⃗=2−2λ=0解得λ=1故答案为：114请写出一个满足对任意的x1,x2∈(0,+∞)；都有f(x1x2)=f(x1)f(x2)的函数__________【答案】f(x)=x−12（答案不唯一）【分析】取幂函数f(x)=x−12验证得到答案【详解】任意定义域为(0,+∞)的幂函数均可例如f(x)=x−12f(x1x2)=(x1x2)−12,f(x1)f(x2)=x1−12⋅x2−12=(x1x2)−12即f(x1x2)=f(x1)f(x2)成立故答案为：f(x)=x−12（答案不唯一）15《海岛算经》是魏晋时期数学家刘徽所著的测量学著作书中有一道测量山上松树高度的题目受此题启发小李同学打算用学到的解三角形知识测量某建筑物上面一座信号塔的高度如图把塔底与塔顶分别看作点CDCD 与地面垂直小李先在地面上选取点AB （点A,B 在建筑物的同一侧且点A,B,C,D 位于同一个平面内）测得AB =20√3m 在点A 处测得点C,D 的仰角分别为30∘,67∘在点B 处测得点D 的仰角为33.5∘则塔高CD 为__________m （参考数据：sin37∘≈35）【答案】24 【分析】在△ACD 中求出AD =20√3∠CAD =37∘,∠ACD =120∘利用正弦定理求解即可 【详解】如图延长DC 与BA 的延长线交于点E 则∠DAE =67∘,∠CAE =30∘,∠DBA =33.5∘所以∠ADB =67∘−33.5∘=33.5∘,∠CAE =90∘−30∘=60∘ 所以AD =AB =20√3在△ACD 中∠CAD =67∘−30∘=37∘,∠ACD =180∘−60∘=120∘ 由正弦定理得CD =ADsin37∘sin120∘≈20√3×35√32=24（m ）故答案为：2416已知函数f (x )=(x +a )lnx −2x 在定义域上单调递增则实数a 的取值范围为______ 【答案】[1,+∞) 【分析】把原函数在区间上单调递增问题转化为a ≥x −xlnx 在(0,+∞)上恒成立构造函数g (x )=x −xlnx(x>0)利用导数求解函数的最值即可求解【详解】f(x)=(x+a)lnx−2x的定义域为(0,+∞)由f(x)=(x+a)lnx−2x在定义域上单调递增得f′(x)=lnx+ax−1≥0在(0,+∞)上恒成立即a≥x−xlnx在(0,+∞)上恒成立设g(x)=x−xlnx(x>0)所以只需a≥g(x)max又g′(x)=−lnx当0<x<1时g′(x)>0当x>1时g′(x)<0所以g(x)在(0,1)上单调递增在(1,+∞)上单调递减所以g(x)max=g(1)=1所以a≥1所以实数a的取值范围为[1,+∞)故答案为：[1,+∞)【点睛】方法点睛：已知函数在区间上单调递增（递减）求参数范围解决这类问题的一般方法是：利用导数转化为不等式恒成立问题然后参变分离根据分离后的式子结构构造函数利用导数求解函数最值即可解决三、问答题(共12 分)已知向量a=(sinx+cosx,1),b⃗=(2cosx,−1)函数f(x)=a⋅b⃗将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度得到函数g(x)的图象17 求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；18 解方程g(x)=0【答案】17 T=π单调递增区间为[kπ−3π8,kπ+π8],k∈Z18 {x|x=kπ2+π24,k∈Z}【分析】（1）利用向量数量积求出f(x)利用正弦函数的周期性与单调性即可求得f(x)的最小正周期和单调递增区间（2）先求出g(x)表达式根据正弦函数零点取值得到g(x)=0的解集【17题详解】由已知得f(x)=a⋅b⃗=2cosx(sinx+cosx)−1=sin2x +cos2x=√2sin (2x +π4)所以函数f (x )的最小正周期T =2πω=2π2=π由2kπ−π2≤2x +π4≤2kπ+π2,k ∈Z 解得kπ−3π8≤x ≤kπ+π8,k ∈Z所以函数f (x )的单调递增区间为[kπ−3π8,kπ+π8],k ∈Z【18题详解】将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度得到函数g (x )=√2sin [2(x −π6)+π4]=√2sin (2x −π12)的图象令g (x )=√2sin (2x −π12)=0得2x −π12=kπ,k ∈Z 解得x =kπ2+π24,k ∈Z所以方程g (x )=0的解集为{x |x =kπ2+π24,k ∈Z }如图在平行四边形ABCD 中AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 令AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a AC⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗19用a ,b ⃗ 表示AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； 20若AB =AM =2且AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =10求cos⟨a ,b⃗ ⟩ 【答案】19 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13(b ⃗ −a )BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13b ⃗ −43a CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−13a −23b⃗ 20√3468【分析】（1）利用平面向量的四则运算法则求解即可； （2）利用平面向量数量积的公式和运算律求解即可 【19题详解】因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ 且ABCD 是平行四边形 所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ −a所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(b ⃗ −a ) 所以BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(b ⃗ −a )−a =13b ⃗ −43a所以CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13b ⃗ −43a −(b ⃗ −a )=−13a −23b ⃗ 【20题详解】方法一：由（1）知AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13(b ⃗ −a ),BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13b ⃗ −43a又AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =10,AB =AM =2所以b ⃗ ⋅(13b ⃗ −43a )=10,|13(b ⃗ −a )|=2,|a |=2即b ⃗ 2−4a ⋅b ⃗ =30,b ⃗ 2+a 2−2a ⋅b ⃗ =36 解得a ⋅b⃗ =1,|b ⃗ |=√34 所以cos⟨a ,b ⃗ ⟩=a ⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ ||b ⃗ |=√3468方法二：因为AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AM =2所以AD =BC =6因为AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2且AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =10所以−22+23×6×2×cos∠ABC +13×62=10 解得cos∠ABC =14所以a ⋅b ⃗ =(−BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=−2×6×14+22=1又|a |=2,|b ⃗ |=√(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=√BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=√34所以cos⟨a ,b ⃗ ⟩=a ⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ ||b ⃗ |=√3468四、应用题(共 6 分)某公园池塘里浮萍的面积y （单位：m 2）与时间t （单位：月）的关系如下表所示：现有以下三种函数模型可供选择：①y =kt +b ②y =p ⋅a t +q ③y =m ⋅log a t +n 其中k,b,p,q,m,n,a 均为常数a >0且a ≠121 直接选出你认为最符合题意的函数模型并求出y 关于t 的函数解析式；22 若该公园池塘里浮萍的面积蔓延到15m 2,31m 2,211m 2所经过的时间分别为t 1,t 2,t 3写出一种t 1,t 2,t 3满足的等量关系式并说明理由【答案】21 模型②y=2t+122 t1+t2=t3+1理由见解析【分析】（1）根据表格数据选择函数模型然后求解析式；（2）根据指数幂运算公式计算【21题详解】应选择函数模型②y=p⋅a t+q依题意得{p×a1+q=3p×a2+q=5 p×a3+q=9解得{p=1 a=2 q=1所以y关于t的函数解析式为y=2t+1【22题详解】t1+t2=t3+1理由：依题意得2t1+1=152t2+1=312t3+1=211所以2t1=142t2=302t3=210所以2t1⋅2t2=420所以2t1⋅2t2=2t1+t2=420=2×2t3=2t3+1所以t1+t2=t3+1五、问答题(共12 分)在△ABC中内角A,B,C所对的边分别为a,b,c且__________在①√3a =1−cosCsinA；②sinAbc−sinCab=sinA−sinBac两个条件中任选一个填入上面横线处并解决下列问题注：若选择不同的条件分别解答则按第一个解答计分23 求C；24 若△ABC外接圆的半径为2√3,△ABC的面积为√3求△ABC的周长【答案】23 C=π324 4√3+6【分析】(1)选①先利用正弦定理化边为角再利用和差角公式结合角的取值范围即得选②先用正弦定理化边为角再有余弦定理和角的范围即得(2)由正弦定理和外接圆半径求出c再利用余弦定理即可求出答案【23题详解】若选①：由√3a =1−cosCsinA及正弦定理得sinCsinA=√3sinA(1−cosC)∵sinA≠0,∴sinC+√3cosC=√3∴sin(C+π3)=√32又0<C<π,∴π3<C+π3<4π3∴C+π3=2π3,∴C=π3若选②：由sinAbc −sinCab=sinA−sinBac得asinA−csinC=bsinA−bsinB由正弦定理得a2+b2−c2=ab由余弦定理得cosC=a 2+b2−c22ab=ab2ab=12因为C∈(0,π)所以C=π3【24题详解】设△ABC外接圆的半径为R由正弦定理得c=2RsinC=2×2√3×sinπ3=6又S△ABC=12absinC=12ab×√32=√3所以ab=4由c2=a2+b2−2abcosC=(a+b)2−2ab−2ab×12可得36=(a+b)2−12解得a+b=4√3所以△ABC的周长为a+b+c=4√3+6已知函数f(x)=e x−ax2+x−125 当a=1时求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；26 若f(x)=0有两个不等的实根求实数a的取值范围【答案】25 (e−1)x−y=026 (−∞,0)∪{e2+14}【分析】（1）求导得到f(1)=e−1,f′(1)=e−1,进而求出切线方程；（2）f(0)=0故只需当x≠0时f(x)=0有且仅有一个实根参变分离转化为两函数只有1个交点求导得到g(x)=e x+x−1x2(x≠0)的单调性画出其图象数形结合得到参数的取值范围【25题详解】当a=1时f(x)=e x−x2+x−1,f′(x)=e x−2x+1f(1)=e−1,f′(1)=e−1,所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y−(e−1)=(e−1)(x−1)即(e−1)x−y=0【26题详解】显然f(0)=0要使方程f(x)=0有两个不等的实根只需当x≠0时f(x)=0有且仅有一个实根当x≠0时由方程f(x)=0得a=e x+x−1 x2令g(x)=e x+x−1x2(x≠0)则直线y=a与g(x)=e x+x−1x2(x≠0)的图象有且仅有一个交点g′(x)=(e x+1)x2−2x(e x+x−1)x4=(x−2)(e x−1)x3又当x<0时g′(x)<0,g(x)单调递减当0<x<2时g′(x)<0,g(x)单调递减当x>2时g′(x)>0,g(x)单调递增所以当x=2时g(x)取得极小值g(2)=e 2+1 4又当x<0时e x<1所以e x+x−1<0即g(x)<0当x>0时e x>1,e x+x−1>0即g(x)>0所以作出g(x)的大致图象如图所示由图象知要使直线y=a与g(x)=e x+x−1x2(x≠0)的图象有且仅有一个交点只需a<0或a=e 2+1 4综上若f(x)=0有两个不等的实根则a的取值范围为(−∞,0)∪{e 2+1 4}六、其它(共6 分)已知函数f(x)=x−alnx−4,a∈R27 讨论函数f(x)的单调性；28 当a=1时令F(x)=(x−2)e x−f(x)若x=x0为F(x)的极大值点证明：0<F(x0)<1【答案】27 答案见解析；28 证明见解析【分析】（1）对参数a分类讨论根据不同情况下导函数函数值的正负即可判断单调性；（2）利用导数判断F(x)的单调性求得x0的范围满足的条件以及F(x0)根据x0的范围夹逼F(x0)的范围即可【27题详解】函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1−ax =x−ax①当a≤0时f′(x)>0函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；②当a>0时由f′(x)>0得x>a由f′(x)<0得0<x<a所以函数f(x)在(a,+∞)上单调递增在(0,a)上单调递减综上当a≤0时函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；当a>0时函数f(x)在(a,+∞)上单调递增在(0,a)上单调递减【28题详解】当a=1时F(x)=(x−2)e x−x+lnx+4,F′(x)=(x−1)e x−1+1x =(x−1)(e x−1x)设g(x)=e x−1x 则g′(x)=e x+1x2当x>0时g′(x)>0所以g(x)在(0,+∞)上单调递增又g(12)=√e−2<0,g(1)=e−1>0所以存在x1∈(12,1)使得g(x1)=0且当x∈(0,x1),g(x)<0,x∈(x1,+∞),g(x)>0；又当x∈(0,1),y=x−1<0;x∈(1,+∞),y=x−1>0；故当x∈(0,x1)F′(x)>0；当x∈(x1,1)F′(x)<0；当x∈(1,+∞)F′(x)>0所以F(x)在(0,x1)上单调递增在(x1,1)上单调递减在(1,+∞)上单调递增所以当x=x1时F(x)取得极大值故x0=x1且e x0−1x0=0所以e x0=1x0,lnx0=−x0F(x0)=(x0−2)e x0−x0+lnx0+4=x0−2x0−x0−x0+4=5−2(x0+1x0)又y=x+1x 在(12,1)单调递减所以0<F(x0)<1【点睛】关键点点睛：本题考察含参函数单调性的讨论以及导数中的隐零点问题；处理问题的关键是能够准确分析F(x)的单调性以及求得隐零点的范围以及满足的条件属综合中档题。
联考卷高三二调文数答案解析
联考卷高三二调文数答案解析一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列函数中，单调递增且图像关于y轴对称的是（）A. y = x^2B. y = x^3C. y = |x|D. y = 2^x2. 已知等差数列{an}的公差为2，且a1+a3+a5=21，则a4的值为（）A. 11B. 13C. 15D. 173. 设集合A={x|1＜x＜3}，集合B={x|x^22x3=0}，则A∩B的结果是（）A. {1, 3}B. {2}C. {1, 2, 3}D. 空集4. 若复数z满足|z1|=|z+1|，则z在复平面内对应的点位于（）A. 实轴上B. 虚轴上C. 直线y=x上D. 直线y=x上5. 已知三角形ABC中，a=8, b=10, sinA=3/5，则三角形ABC的面积S为（）A. 12B. 24C. 36D. 486. 下列函数中，既是奇函数又是周期函数的是（）A. y = sinxB. y = cosxC. y = tanxD. y = cotx二、填空题（每题5分，共30分）7. 已知函数f(x) = (1/2)^x + 2^x，则f(x)的最小值为______。
8. 在平面直角坐标系中，点P(2, 1)关于原点的对称点坐标为______。
9. 若等比数列{an}的公比为2，且a1+a2+a3=21，则a4的值为______。
10. 已知函数g(x) = x^2 2x + 3，则g(x)在区间[1, 3]上的最小值为______。
11. 设直线l的方程为y = 2x + 1，则直线l与圆x^2 + y^2 =4的位置关系为______。
12. 若复数z满足z^2 + z + 1 = 0，则|z|的值为______。
三、解答题（共40分）13. （10分）已知函数h(x) = ax^2 + bx + c（a≠0），求证：当a＞0时，h(x)在区间（∞，b/2a）上单调递减。
14. （15分）在直角坐标系中，点A(1, 2)到直线y = 3x 1的距离为______。
2024届高三12月大联考(全国乙卷)文科数学及答案
绝密★启用前2024届高三12月大联考（全国乙卷）文科数学本卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}{}0,1,4,0,3,4M N ==，则()U M N ⋂=ð（ ）A.{}3B.{}0,2,3,4C.{}0,1,2,4D.{}0,1,2,3,42.若复数z 满足216i z z =+-（i 为虚数单位），则z =（ ）3.已知实数,x y 满足不等式组202406120x y x y x y -≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≥⎩，则3z x y =-的最小值是（ ）A.1B.2C.3D.64.已知α为第二象限角，且终边与单位圆的交点的横坐标为45-，则5cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.C.5.已知P 是抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，它在抛物线C 的准线l 上的射影为点,Q F 是抛物线C 的焦点，若FPQ 是边长为2的等边三角形，则抛物线C 的准线l 的方程为（ ）A.14x =-B.12x =-C.1x =- D.2x =-6.某班举办趣味数学活动，规则是：某同学从分别写有1至9这9个整数的9张卡片中随机抽取两张，将卡片上较大的数作为十位数字，较小的数作为个位数字组成一个两位数.若这个两位数与将它的个位数字与十位数字调换后得到的两位数的差为45，就视为该同学获奖.若该班同学A 参加这项活动，则他获奖的概率为（ ）A.172 B.136C.118D.197.已知函数()()cos (0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，且63f f ππ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2，则ϕ=（ ）A.6πB.3πC.4πD.23π8.某校为庆祝建校60周年，有奖征集同学们设计的文创作品.王同学设计的一款文创水杯获奖，其上部分是圆台（多功能盖），下部分是正六棱台（水杯），圆台与棱台的高之比为0.382：0.618，寓意建校60周年，学校发展步入黄金期.这款水杯下部分的三视图如图所示，则这款水杯下部分的容（体）积约为（）A.B.C.D.9.已知函数()()[)2log ,43,4,3x x f x x x ∞⎧∈⎪=⎨∈+⎪-⎩，则满足()13f x ≤≤的x 的取值范围为（ ）A.][0,24,6⎡⎤⋃⎣⎦B.[]11,4,682⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦C.[]11,2,482⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦D.[]11,2,682⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦10.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()sin cos2A Cb B C a ++=，且ABC的面积为，则22a c b+的最小值为（）A.2C.4D.11.已知双曲线2222:1(0,0)y x E a b a b-=>>，过点(),0M b -的两条直线12,l l 分别与双曲线E 的上支､下支相切于点,A B .若MAB 为锐角三角形，则双曲线E 的离心率的取值范围为（）A.⎛ ⎝B.⎛ ⎝C.∞⎫+⎪⎪⎭ D.∞⎫+⎪⎪⎭12.已知323sin ,,ln 232a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A.b a c >> B.a b c>>C.a c b>> D.b c a>>二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()()1,,2,1a m b ==-.若()2a b + ∥()2a b - ，则实数m 的值为__________.14.在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面,2,ABC AB AC BC PA ====，则三棱锥P ABC -的内切球的表面积等于__________.15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3220,21n n S na n S -+==-，则数列{}n a 的通项公式为n a =__________.16.设函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且x ∀∈R ，都有()()20f x f x --=.当(]0,1x ∈时，()ln 21f x x x =+-，则函数()f x 在区间19,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有__________个零点.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）某社区为了解居民生活垃圾分类的投放情况，对本社区10000户居民进行问卷调查（满分：100分），并从这10000份居民的调查问卷中，随机抽取100份进行统计，绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）估计该社区10000份调查问卷得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和这10000户居民中调查问卷得分不低于85分的居民户数；（2）该社区从调查问卷得分为满分的居民中随机挑选了6户，其中两户为,A B ，并将这6户居民随机分配到社区两个宣传点，每个宣传点3户，且每户居民只能去一个宣传点，帮助社区工作人员开展宣传活动，求,A B 两户居民分在不同宣传点的概率.18.（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，4,2,,PA PD AD AB M N ====分别为,PD AB 的中点.（1）求证：AM ⊥平面PCD ；（2）求证：MN ∥平面PBC ；（3）求三棱锥A CMN -的体积.19.（12分）已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且1328,327a a ==，213n n nn b a -=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和n T .20.（12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左､右焦点分别为())12,F F ，点P 在椭圆E 上，且满足2PF x ⊥轴，12tan PF F ∠=.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设椭圆E 的右顶点为A ，左顶点为B ，是否存在异于点A 的定点(),0(0)Q m m >，使过定点(),0Q m 的任一条直线l 均与椭圆E 交于()()1122,,,M x y N x y （异于,A B 两点）两点，且使得直线AN 的斜率为直线BM 的斜率的2倍？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.21.（12分）已知函数()eexax f x x +=+，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数.（1）当1a =-时，求函数()f x 的最值；（2）当(]0,e a ∈时，讨论函数()f x 的极值点个数.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知直线l 的参数方程为4334x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M 的极坐标方程为8cos 6sin ρθθ=+.（1）求直线l 的极坐标方程；（2）设直线l 与曲线M 交于,A B 两点，求AOB 的面积.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()|1|||f x x x m =--+.（1）当1m =时，求不等式()1f x ≥的解集；（2）若()3f x ≤恒成立，求实数m 的取值范围.2024届高三12月大联考（全国乙卷）文科数学·全解全析及评分标准一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.A 【解析】因为全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}0,1,4M =，所以{}U 2,3M =ð.又{}0,3,4N =，所以(){}U3M N ⋂=ð.故选A.2.A 【解析】设()i ,z a b a b =+∈R ，则()i 2i 16i a b a b +=-+-，所以21,26a a b b =+=--，解得1,2a b =-=-，所以z ==，故选A.3.C 【解析】作出不等式组202406120x y x y x y -≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≥⎩所表示的可行域，如图中阴影部分所示.3z x y =-，即3y x z =-.当直线3y x =自左上向右下平移时，z -逐渐减小，z 逐渐增大，所以当直线3y x z =-经过直线20x y -=与直线6120x y --=的交点()3,6C 时，z 取得最小值，最小值为3363⨯-=.故选C .4.D 【解析】由题意，得43cos ,sin 55αα=-=，所以5333cos cos cos cos sin sin 4444ππππαααα⎛⎫⎛⎫-=+=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故选D.5.B 【解析】不妨设点P 的坐标为()()1111,0,0x y x y >>，依题意，得FQ PQ =，即12p x =+①.又2112y px =②，联立①②，解得113,2p x y ==.22p ==，得1p =，所以抛物线C 的准线l 的方程为122p x =-=-，故选B .6.D 【解析】设同学A 随机抽取得到的两位数的十位数字为x ，个位数字为()y x y >.依题意，若2x =，则1y =，有1种情况；若3x =，则1,2y =，有2种情况⋅ 若9x =，则1,2,,8y = ，有8种情况，共计有12836+++= 种情况，其中满足获奖的情况是()()101045x y y x +-+=，即5x y -=，也即获奖情况只有6,1;7,2;8,3;9,4x y x y x y x y ========，这4种情况，所以该班同学A 参加这项活动获奖的概率为41369=.故选D.7.B 【解析】因为()()cos (0)f x x ωϕω=+>在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，且263f f ππ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2,1366T f ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以2,cos 13πωϕ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，所以()23k k πϕπ=+∈Z .又0ϕπ<<，所以3πϕ=，故选B.8.A 【解析】由三视图，知这款水杯的下部分是上底边长为4，下底边长为3，高为6的正六棱台，226364S S ====下底上底，所以这款水杯下部分的容（体）积约为(11633V S S h =++⨯=⨯⨯=下底上底.故选A.9.D 【解析】令()1f x =，则()()2log 10,4xx =∈∣或[)()314,3x x ∞=∈+-，解得12x =或2x =或6x =.令()3f x =，则()()2log 30,4xx =∈∣或[)()334,3x x ∞=∈-，解得18x =或4x =.画出函数()f x 图象的草图（如图），得满足()13f x ≤≤的x 的取值范围为[]11,2,682⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦.故选D.10.B 【解析】由正弦定理和()sin cos 2A Cb B C a ++=，得sin sin sin sin 2B B A A ⋅=⋅.因为sin 0,sin02B A >>，所以1cos 22B =.因为0,22B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以23B π=.又ABC1sin 2ac B =，所以4ac =.由余弦定理，得222222cos 312b a c ac B a c ac ac =+-=++≥=，当且仅当a c =时取等号，所以b ≥，所以22244a cb b b b b+-==-.因为函数4y b b =-在)∞⎡+⎣上单调递增，所以当b =时，22a c b +故选B.11.D 【解析】如图，设过点(),0M b -的直线()1:(0)l y k x b k =+>，联立()22221y k x b y x ab ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩，整理，得()()222232222220b k axb k x b b k a -++-=，依题意，得()2642222Δ440b k bb ka=--=，所以2222a k b=.由双曲线的对称性，得201k <=<，所以()2222a c a <-，整理，得双曲线E的离心率c e a =>故选D.12.B 【解析】方法一：因为sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以32sin sin 233a b π=>=>=.设()1ln g x x x =--，则()111x g x x x -=-='，当[)1,x ∞∈+时，()10x g x x-=≥'，所以()3111ln102g g ⎛⎫>=--= ⎪⎝⎭，所以331ln 22->，即13ln 22>，所以213ln 322b c =>>=.综上，得a b c >>，故选B .方法二：因为sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以32sin sin 233a b π=>=>=.又213ln 322b c =>=>==.综上，得a b c >>，故选B.二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.12-【解析】因为()()1,,2,1a m b ==- ，所以()()24,21,23,2a b m a b m +=--=-+ .又()2a b + ∥()2a b - ，所以()()423210m m ++-=，解得12m =-.故填12-.14.1225π【解析】如图，由已知，得ABC 的面积为112⨯=三棱锥P ABC -在底面ABC 上的高为PA =，等腰三角形PBC 底边BC 上的高为2，所以三棱锥P ABC -的表面积1122222S =⨯⨯+⨯⨯=，体积113V ==.又三棱锥P ABC -的体积13V Sr =（其中r 为三棱锥P ABC -内切球的半径），所以r =，所以三棱锥P ABC -的内切球的表面积为212425r ππ=.故填1225π.15.53n -+ 【解析】方法一：当1n =时，11220S a -+=，解得12a =-.又220n n S na n -+=，所以()()1222n n n n a n a a S -+==，所以数列{}n a 为等差数列.又321S =-，所以()313212a a +=-，解得312a =-，所以数列{}n a 的公差3152a a d -==-，所以数列{}n a 的通项公式为53n a n =-+.故填53n -+.方法二：*,220n n n S na n ∀∈-+=N 恒成立，当1n =时，11220S a -+=，解得12a =-.当3n =时，332360S a -+=，且321S =-，解得312a =-.当2n ≥时，()()1121210n n S n a n ----+-=①，又220n n S na n -+=②，①-②，得()()12120n n n a n a -----=③，所以()1120n n n a na +---=④.④-③，得()()11120n n n n a a a +---+=.因为2n ≥，所以1120n n n a a a +--+=，即11n n n n a a a a +--=-.又132,12a a =-=-，所以数列{}n a 是首项为-2，公差为-5的等差数列，所以数列{}n a 的通项公式为53n a n =-+.故填53n -+.16.6 【解析】如图，因为函数()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()()f x f x -=-，且()00f =.又()()20f x f x --=，即()()2f x f x =-，所以函数()f x 的图象关于直线1x =对称，且()()()2f x f x f x +=-=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，所以4是函数()f x 的一个周期，所以()()()0240f f f ===.易知函数()ln 21f x x x =+-在(]0,1上单调递增，且()11ln 11ln20,1ln1211022f f ⎛⎫=+-=-<=+-=>⎪⎝⎭，所以函数()f x 在区间()0,1上仅有1个零点，且零点在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上.由对称性，知函数()f x 在区间()1,2上有且仅有1个零点.因为()f x 是定义域为R 的奇函数且是4是它的一个周期，所以()()40f x f x -+=，所以函数()f x 的图象关于点()2,0中心对称，所以函数()f x 在区间()2,4上有且仅有2个零点.因为函数()f x 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上没有零点，所以函数()f x 在区间94,2⎛⎫⎪⎝⎭上没有零点.结合()()240f f ==，得函数()f x 在区间19,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有6个零点.故填6.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）【解析】（1）由频率分布直方图，得样本平均数为()550.008650.012750.024850.040950.01610x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯79.4=，所以估计该社区10000份调查问卷得分的平均数为79.4.因为这10000户居民中调查问卷得分不低于85分的频率为()90850.0400.016100.36-⨯+⨯=，所以估计该社区这10000户居民中调查问卷得分不低于85分的居民户数为100000.363600⨯=.（2）将6户居民分别记为,,,,,A B c d e f ，依题意，6户居民被随机分到两个宣传点的所有情况有(),ABc def ，()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,ABd cef ABe cdf ABf cde Acd Bef Ace Bdf Acf Bde Ade Bcf Adf Bce ，()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,Aef Bcd Bcd Aef Bce Adf Bcf Ade Bde Acf Bdf Ace Bef Acd cde ABf ，()()(),,,,,cdf ABe cef ABd def ABc ，共20种，其中,A B 两户居民分在不同宣传点的情况有()()()()(),,,,,,,,,Acd Bef Ace Bdf Acf Bde Ade Bcf Adf Bce ，()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,Aef Bcd Bcd Aef Bce Adf Bcf Ade Bde Acf Bdf Ace Bef Acd ，共12种，所以,A B 两户居民分在不同宣传点的概率123205P ==.另解：若采用排列组合解答酌情给分：6户居民均分到两个宣传点共有36C 种情况，其中,A B 两户居民分在相同宣传点有142C 种情况，所以,A B 两户居民分在不同宣传点的概率14362C 31C 5P =-=.18.（12分）【解析】（1）因为底面ABCD 为矩形，所以AD CD ⊥.又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面,ABCD AD CD =⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面PAD .又AM ⊂平面PAD ，所以CD AM ⊥.因为在PAD 中，,PA PD AD M ==为PD 的中点，所以AM PD ⊥.又,CD PD D CD ⋂=⊂平面,PCD PD ⊂平面PCD ，所以AM ⊥平面PCD .（2）如图，取PC 的中点E ，连接,ME BE .因为M 为PD 的中点，所以ME ∥CD ，且12ME CD =.又N 为AB 的中点，底面ABCD 为矩形，所以BN∥CD ，且12BN CD =，所以BN ∥EM ，且BN EM =，所以四边形NBEM 为平行四边形，所以BE ∥NM .又BE ⊂平面,PBC MN ⊄平面PBC ，所以MN∥平面PBC .（3）如图，因为,4,2A CMN M ACN V V PA PD AD AB --=====，平面PAD ⊥平面ABCD ，所以点P 到平面ABCD 的距离即为等边三角形PAD 的高，所以点P 到平面ABCD 的距离为4=.又M 为PD 的中点，所以点M 到平面ANC 又11422ANC S =⨯⨯= ，所以123M ACN V -=⨯=A CMN -.19.（12分）【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >.由1328,327a a ==，得228327q =，解得249q =.因为{}n a 的各项均为正数，所以23q =，所以数列{}n a 是以23为首项，23为公比的等比数列，所以数列{}n a 的通项公式为1222333n nn a -⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.（2）由（1）得21212132233n nn n n n n n n b a ---===⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭，所以1221321222n n n n T b b b -=+++=+++ ，231113212222n n n T +-=+++ ，两式相减，得23111111212222222n n n n T +-⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 1111112142212212n n n -+⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+⨯--1323,22n n ++=-所以2332n nn T +=-.20.（12分）【解析】（1）因为2PF x ⊥12tan PF F ∠，解得21,2PF =所以172PF ==.根据椭圆的定义，得12712422a PF PF =+=+=，解得2a =.又c =，所以2221b a c =-=，所以椭圆E 的标准方程为2214x y +=.（2）假设存在满足题意的定点(),0Q m .依题意，设直线l 的方程为,0x ty m m =+>，联立2214x ty m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 并整理，得()2224240t y tmy m +++-=，由()()()22222Δ(2)4441640tm t mt m =-+-=-+>，得224m t <+.由根与系数的关系，得212122224,44tm m y y y y t t -+=-=++.由()()2,2,0,2,0ANBM k k A B =-，得2121222y y x x =⋅-+，所以2121222y y ty m ty m =⋅+-++，即()()1212222m y m y ty y --++=，所以()()()212242224t m m y m y t ---++=+，所以()()()21221224222424t m m y m y t tm y y t ⎧-⎪--++=⎪+⎨⎪+=-⎪+⎩，所以()()()()()21212222222224m y m y tm m m y m y t ⎧⎪--++=⎪⎨+⎪+++=-⎪+⎩②，②-①，得()()()12232324t m m m y t -+--=+，当320m -≠时，解得()()12222424t m y t t m y t ⎧-+=⎪⎪+⎨--⎪=⎪+⎩，所以()()22122244t m y y t-=+.又212244m y y t -=+，所以()()2222224444t m mt t --=++.因为上式在t 变化时恒成立，所以240m -=.又0m >，所以2m =.此时点Q 与点A 重合，不合题意，舍去；所以320m -=，即23m =，此时点2,03Q ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆E 的内部，满足直线l 均与椭圆E 交于,M N 两点，所以存在定点2,03Q ⎛⎫⎪⎝⎭满足题意，23m =.21.（12分）【解析】（1）当1a =-时，()e e x x f x x -+=+，则()e 1e e 11e ex x xx x f x '--+--=+=.令()e e 1xx x ϕ=+--，则()x ϕ在R 上单调递增，且()1e 1e 10ϕ=+--=，所以当(),1x ∞∈-时，()0x ϕ<，即()0f x '<；当()1,x ∞∈+时，()0x ϕ>，即()0f x '>，所以()f x 在(),1∞-上单调递减，在()1,∞+上单调递增，所以函数()f x 在1x =处取得极小值()112ef =-，即()f x 有最小值12e-，没有最大值.（2）因为()e e x ax f x x +=+，其中(]0,e a ∈，所以()()()2e e e e e 1e ex x x x x a ax ax a f x -+⋅'-+-=+=.令()e e xg x ax a =-+-，则()e xg x a '=-.因为0a >，令()e 0xg x a =-='，则ln x a =，所以当(),ln x a ∞∈-时，()0g x '<；当()ln ,x a ∞∈+时，()0g x '>，所以()g x 在(),ln a ∞-上单调递减，在()ln ,a ∞+上单调递增，所以()min ()ln 2ln e g x g a a a a ==--.设()2ln e h a a a a =--，其中(]0,e a ∈，则()1ln h a a =-'.令()1ln 0h a a =-='，解得e a =.当(]0,e a ∈时，()0h a '≥，所以()h a 在(]0,e 上单调递增，所以()max ()e 2e elne e 0h a h ==--=.所以当()0,e a ∈时，min ()2ln e 0g x a a a =--<；当e a =时，min ()0g x =.①当e a =时，min ()0g x =，即()0g x ≥，也即()0f x '≥，所以()f x 在R 上单调递增，所以()f x 没有极值点.②当()0,e a ∈时，()ln 1,a g x <在(),ln a ∞-上单调递减.设()e e ln ln t a a a a a ⎛⎫=--=+ ⎪⎝⎭，则当()0,e a ∈时，()221e e 0a t a a a a '-=-=<，所以()()e 20t a t >=>，即当()0,e a ∈时，eln a a-<.又()g x 在(),ln a ∞-上单调递减，所以()g x 在e ,a ∞⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递减，且在e ,ln a a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递减，所以当e ,x a ∞⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()e ee e e e e 0aa g x g a a a --⎛⎫>-=++-=+> ⎪⎝⎭，所以()g x 在e ,a ∞⎛⎫--⎪⎝⎭上没有零点，且()e ln 0g g a a ⎛⎫-⋅< ⎪⎝⎭.又()g x 在e ,ln a a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递减，所以在e ,ln a a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭内存在唯一0x ，使()00g x =，所以当()0,x x ∞∈-时，()0g x >；当()0,ln x x a ∈时，()0g x <，也即当()0,x x ∞∈-时，()0f x '>；当()0,ln x x a ∈时，()0f x '<，所以0x 为()f x 的一个极大值点.又()()10,g g x =在()ln ,a ∞+上单调递增，ln 1a <，所以当()ln ,1x a ∈时，()0g x <；当()1,x ∞∈+时，()0g x >，即当()ln ,1x a ∈时，()0f x '<；当()1,x ∞∈+时，()0f x '>，所以1为()f x 的一个极小值点，所以当()0,e a ∈时，()f x 有2个极值点.综合①②，当()0,e a ∈时，()f x 有2个极值点；当e a =时，()f x 没有极值点.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）【解析】（1）直线l 的参数方程为4334x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），消去参数t 并整理，得4370x y --=.因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以直线l 的极坐标方程为4cos 3sin 70ρθρθ--=.（2）由（1）知直线l 的普通方程为4370x y --=.曲线M 的极坐标方程为8cos 6sin ρθθ=+，化为直角坐标方程为22(4)(3)25x y -+-=，所以曲线M 是圆心为()4,3，半径为5的圆.又直线l 过圆心()4,3，所以10AB =，所以原点O 到直线l的距离75d ，所以AOB 的面积1710725AOB S =⨯⨯= .23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）【解析】（1）当1m =时，()2,1112,11,2,1x f x x x x x x -≥⎧⎪=--+=--<<⎨⎪≤-⎩所以()1f x ≥可化为211x ≥⎧⎨≤-⎩，或2111x x -≥⎧⎨-<<⎩，或211x -≥⎧⎨≥⎩，解得1,2x ≤-所以不等式()1f x ≥的解集为1,2∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦.（2）()3f x ≤恒成立，即13x x m --+≤恒成立.因为||1|||||1|x x m m --+≤+恒成立，所以13m +≤，解得42m -≤≤，所以实数m 的取值范围是[]4,2-.。
2020届全国大联考高三第六次联考文科数学试题及答案(解析版)
2020 届全国大联考高三第六次联考数学试题（文科）一、单选题11 ．已知集合 A x |1 x24 ，B x| y，则2e A B （）x 6x 5A．x|x 5 B．x|5 x 24C．x|x 1 或x 5 D．x|5 x 24【答案】 D【解析】首先求出集合 B ，再根据补集的定义计算可得；【详解】解：∵x2 6x 5 0 ，解得1 x 5∴ B x|1 x 5 ，∴ e A B x|5 x 24 .故选： D【点睛】本题考查补集的概念及运算，一元二次不等式的解法，属于基础题.2．设复数z满足z 2i z 1 ， z 在复平面内对应的点为（x, y），则（）A．2x 4y 3 0 B．2x 4y 3 0 C．4x 2y 3 0D．2x 4y 3 0【答案】 B【解析】设z x yi ，根据复数的几何意义得到x、y的关系式，即可得解；【详解】解：设z x yi∵ | z 2i | | z 1| ，∴ x2（y 2）2（x 1）2 y2，解得2x 4y 3 0 .故选： B【点睛】本题考查复数的几何意义的应用，属于基础题.223．若双曲线x2 y 1 的离心率为 3 ，则双曲线的焦距为（）a2 4【解析】 依题意可得b24，再根据离心率求出 a 2，即可求出 c ，从而得解； 【详解】22解： ∵ 双曲线 x y 1 的离心率为 3 ，a 24所以 e 21 42 3， ∴ a 22， ∴ c 6 ，双曲线的焦距为 2 6 .a故选： A【点睛】 本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题 4．在等差数列 a n 中，若 S n 为前 n 项和， 2a 9求得答案 . 【详解】a 7 12 ，13 a 1 a 13S 131 1313a 7 13 12 156 .故选： A.本题主要考查了求等差数列前 n 项和， 解题关键是掌握等差中项定义和等差数列前和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题 .55．已知a log 374，b log 2 m ，c ，若 a b c ，则正数m 可以为（ ）2【答案】a 11 12，则 S 13的值是（A ． 156 【答案】B ． 124C ． 136D ． 180因为 a 7 a 112a 9 a 11 12 ，可得 a 7 12 ，根据等差数列前 n 项和，即可Q a 7 a 11 2a 9 a 11 12，n 项【答案】 C【解析】首先根据对数函数的性质求出 a 的取值范围，再代入验证即可；解： ∵ 3 log 327 a log 374 log 381 4， ∴ 当 m 8时， b log 2 m 3满足a b c ， ∴ 实数 m 可以为 8. 故选： C 【点睛】本题考查对数函数的性质的应用，属于基础题 6．中国的国旗和国徽上都有五角星，正五角星与黄金分割有着密切的联系，在如图所 示的正五角星中，以 A 、 B 、 C 、 D 、 E 为顶点的多边形为正五边形，且5 1uuur 5 1 uuur5 1 AP ，则 AT 5 1ES 22【解析】 利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算的几何意义，便可解 决问题． 【详解】uuur uur uuur 5 1 uuurSD SR RD QR .2 故选： A 【点睛】本题以正五角星为载体，考查平面向量的概念及运算法则等基础知识， 考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于基础题．47． “ tan 2”是 “ tan2 ”的（ ）PT5 1uuur C ． 5 1 RDuuur 5 1 uuur 解：AT ES 2AD ．uu ur RC3A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不 必要条件 【答案】 A要条件的定义判断即可； 首先利用二倍角正切公式由 tan 24，求出tan41 ， ∴ 可解得 tan 2或4”的充分不必要条件 .3 【答案】 C【解析】首先求出函数的定义域，其函数图象可由 y 5log 3|x | 的图象沿 x 轴向左平x移 1个单位而得到， 因为 y 5log 3| x| 为奇函数， 即可得到函数图象关于( 1,0) 对称，x即可排除 A 、 D ，再根据x 0时函数值，排除 B ，即可得解. 【详解】∵y5log3 |x 1|的定义域为x|x 1 ，x1其图象可由 y 5log 3| x | 的图象沿 x 轴向左平移 1 个单位而得到，x2tan解： ∵ tan 2 2 1 tan 2“tan 2”是 “tan2故选： A本题主要考查充分条件和必要条件的判断，二倍角正切公式的应用是解决本题属∵ y 5log 3 | x| 为奇函数，图象关于原点对称，x∴ y 5log 3 | x 1| 的图象关于点( 1,0) 成中心对称.x12g(x) sin xsin x33k 1k 1, k 2 Z ，k 2可排除 A 、 D 项 .当x 0时，y5log 3 | x 1| 0， ∴B 项不正确 .x1故选： C 【点睛】本题考查函数的性质与识图能力， 一般根据四个选择项来判断对应的函数性质， 即可排 除三个不符的选项，属于中档题 . 9．已知将函数f(x)sin(x)(6，)的图象向右平移单位长度后得到函数g(x) 的图象，若 f (x)和 g(x) 的图象都关于x 对值为( )A ． 2B ．3C ． 4D ．因为将函数 f (x) sin( x )( 0 6，2)的图移个单位长度后g(x) 的图象，可得 g(x) sin xsin xQ 将函数 f (x) sin( x ) ( 06 ，)的图象向右平移个单位又 Q f (x) 和 g(x)的图象都关于 x对称，4得k1 k2 ，k1, k2 Z 3又 Q6， 3.故选： B. 【点睛】本题主要考查了三角函数图象平移和根据图象对称求参数， 解题关键是掌握三角函数图象平移的解法和正弦函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于基础题 . 10．将一块边长为 acm 的正方形薄铁皮按如图（ 1）所示的阴影部分裁下，然后用余下 的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，将该容器按如图（ 2）放置，若 3 k 1 k 2 k 1,k 2 Z ，72 2cm 3，则a 的值为（ ）C ． 10D ． 12推导出 P M PN a ，且 PM PN ， MN2a ， 2aPM ，设 MN 中点为 O ，则 PO平面 ABCD ，由此能表示出该容器的体积，从而求出参数的值． 解：如图（ 4） ， P MN 为该四棱锥的正视图，由图（ 3）可知， PM PN a ，且PM PN a 2 PMN 为等腰直角三角形可知， MN2 a ，设2MNO ，则 P O1平面 ABCD ， ∴ PO MN2a ，故选：V PABCD23 a 24 72 2 ，解得 a 12 .其A ．B ．6e 第 12 页 共 20 页11 1A ．2 ,0 B ．,0 C ． 0,6e6e6e【答案】 Clnx【解析】令 F(x) f (x) 3kx 20，可得 k 2 ，要使得 F (x) 0有两个实数解，3x 2lnx即 y k 和 g (x) 2 有两个交点，结合已知，即可求得答案 .3x2令 F (x) f (x) 3kx 20 ，要使得 F (x) 0有两个实数解，即 y k 和 g(x) 1 2ln x3， 3x令 1 2ln x 0，可得 x e ， 当 x (0, e) 时，g (x) 0，函数 g(x) 在 (0, e)上单调递增； x ( e, ) 时，g (x) 0，函数 g(x) 在 ( e, )上单调递减 1 当 x e 时， g (x) max ，6e可得 k ln x 3x 2本题考查三视图和锥体的体积计算公式的应用，属于中档题 11．已知函数 f(x) ln x ，若 F(x)2f (x) 3kx 2有 2 个零点，则实D ．0, 126eln xQ g (x)若直线y k 和g(x) ln 2x 有两个交点，则k 0, .3x 6e1实数k 的取值范围是0,故选： C.0，40，4 x 18kx 2 22 1 2k 2x 1 x 262， 2k 2Q0 POQ uu ur OP uuur OQ 0， uu ur OP uu ur OQx 1x 2 y 1y 2 x 1x 2 kx 1 2 kx 2 2解题关键是掌握根据零点个数求参数的解法和根 据导数求单调性的步骤，考查了分析能力和计算能力，属于中档题 .2x212． 设过定点M (0,2) 的直线 l 与椭圆 C ： x y 2 1 交于不同的两点P ， Q ， 若原点 O2在以 PQ 为直径的圆的外部，则直线 l 的斜率 k 的取值范围为( ) A ．5, 6B ．5,6U 6, 5233C ．6, 5 D ．5,6U 6, 5 222【答案】 D 【解析】设直线 l ： ykx 2 ， P x 1 , y 1 ， Q x 2 , y 2 ，由原点O 在以 PQ 为直径的uuur uuur圆的外部，可得OP OQ 0 ，联立直线 l 与椭圆 C 方程，结合韦达定理，即可求得答 案.解得 k 或 k2本题主要考查了根据零点求参数范围， 显然直线0 不满足条件，故可设直线 l ：ykx 2 ， P x 1, y 1Q x 2 , y 2 ，由kx1 ，得 122k 28kx 6 0 ，Q64k 224 1 2k 20，直线l 的斜率k 的取值范围为k 5, 6 U 6 , 5 .22故选： D.【点睛】本题解题关键是掌握椭圆的基础知识和圆锥曲线与直线交点问题时，通常用直线和圆锥曲线联立方程组，通过韦达定理建立起目标的关系式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．二、填空题13 ．已知盒中有 2 个红球， 2 个黄球，且每种颜色的两个球均按A，B 编号，现从中摸出 2 个球 (除颜色与编号外球没有区别) ，则恰好同时包含字母A，B 的概率为2【答案】 23【解析】根据组合数得出所有情况数及两个球颜色不相同的情况数，让两个球颜色不相同的情况数除以总情况数即为所求的概率．【详解】从袋中任意地同时摸出两个球共C42种情况，其中有C21C21种情况是两个球颜色不相同；11故其概率是P C2C222 2 2C42 6 32故答案为： 2 ．3【点睛】本题主要考查了求事件概率，解题关键是掌握概率的基础知识和组合数计算公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.14．已知函数_____________________________________ f(x) 2 (x 0) ，则f ( 2) ；满足f(x) 0的x的取12 3x(x 0)值范围为______ .1【答案】 1 ( ,4)4【解析】首先由分段函数的解析式代入求值即可得到 f ( 2) ，分x 0 和x 0 两种情况讨论可得；【详解】21 所以 f ( 2)2 2，4∵ f (x) 0 ，∴ 当 x 0时， 0 f (x) 2x1 满足题意， ∴ x 0；x 0时，由 f (x) 12 3x 0，解得 x 4.综合可知：满足 f (x) 0 的 x 的取值范围为(,4) .1故答案为： 1 ； ( ,4) .4【点睛】本题考查分段函数的性质的应用，分类讨论思想，属于基础题 .a 3 a 2 5 ，则 a 4 8a 2的最小值405a 2 5，可得 a 1 ，因为q(q 1)答案 .解：因为 f (x)2x(x 0)12 3x(x 0)15 ．已知数列 a n 是各项均为正数的等比数列，若设等比数列 a n 的公比为q ，根据 a 3a 4 8a 23a 1q 5 q 28 8a 1 q5q9 2 ， 根据均值不等式， 即可求得q1设等比数列 a nq ，Q a 3 a 2 5，a 15 q(q 1)Q 等比数列 a nq 1，a 4 8a 22 a 1q qq 28 q195 q 1 2 40 ，当且仅当q 1 3 ，q1即q 4时，a4 8a2取得最小值40.故答案为：40 .【点睛】本题主要考查了求数列值的最值问题，解题关键是掌握等比数列通项公式和灵活使用均值不等式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.16．已知边长为 4 3 的菱形ABCD中， A 60 ，现沿对角线BD 折起，使得二面角A BD C 为120 ，此时点A，B ，C，D 在同一个球面上，则该球的表面积为【答案】112【解析】分别取BD ，AC 的中点M ，N ，连接MN ，由图形的对称性可知球心必在MN 的延长线上，设球心为O，半径为R，ON x，由勾股定理可得x、R2，再根据球的面积公式计算可得；【详解】如图，分别取BD ，AC 的中点M ，N ，连接MN ，则易得AM CM 6，MN 3，MD 2 3，CN 3 3 ，由图形的对称性可知球心必在MN 的延长线上，R2设球心为O，半径为R，ON x，可得2R2故该球的表面积为S 4 R2112 .x2271 ，R228.2 (x3)212【点睛】本题考查多面体的外接球的计算，属于中档题17 ．在世界读书日期间，某地区调查组对居民阅读情况进获得了一个容量为行了调查，200 的样本，其中城镇居民140 人，农村居民60 人 .在这些居民中，经常阅读的城镇居民有 100 人，农村居民有30 人 .1）填写下面列联表，并判断能否有99% 的把握认为经常阅读与居民居住地有关？（ 2）调查组从该样本的城镇居民中按分层抽样抽取出7人，参加一次阅读交流活动，若活动主办方从这7 位居民中随机选取 2 人作交流发言，求被选中的 2 位居民都是经常阅读居民的概率 .K2 (a b)(c n(a d d)(a bc)c2)(b d)，其中 n a b c d附：10（ 1）见解析，有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关.（ 2）1021（ 1）根据题中数据得到列联表，然后计算出K2，与临界值表中的数据对照后可得结论；（ 2）由题意得概率为古典概型，根据古典概型概率公式计算可得所求1）由题意可得：2200 （100 30 40 30）2则 K2（ ）8.477 6.635，140 60 130 70所以有 99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关 . （ 2）在城镇居民 140 人中，经常阅读的有 100 人，不经常阅读的有40 人 .采取分层抽样抽取7 人，则其中经常阅读的有 5 人，记为 A 、 B 、 C 、 D 、 E ；不经常阅读的有 2 人，记为 X 、 Y .从这 7 人中随机选取2 人作交流发言， 所有可能的情况为 AB ， AC ，AD ， AE ， AX ，AY ， BC ， BD ， BE ， BX ， BY ， CD ， CE ， CX ， CY ， DE ， DX ， DY ，EX ， EY ， XY ，共 21 种，被选中的2 位居民都是经常阅读居民的情况有 10 种，【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算， 以及独立性检验的应用， 利用列举法是解决本题的 关键，考查学生的计算能力 .对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可，属于中档题 .318．已知在 ABC 中，角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a ， b ， c ， c 4 2 ， cosC .5（ 1）若 B ，求 a 的值；4（ 2）若b 5 ，求 ABC 的面积 .【答案】 （ 1） 7（ 2） 14 34【解析】（ 1）在 ABC 中， cosC ，可得 sin C ，结合正弦定理，即可求得答 55案；（ 2）根据余弦定理和三角形面积公式，即可求得答案 . 【详解】所求概率为 P 10 213 （ 1）Q 在ABC中，cosC ，54 sinC ，5Q A （B C），acsin A sin Cc a sin A 7.sin C2)Q c 2a 2b 22abcosC ，32 a 225 6a ，2a 6a 7 0，解得 a 7，1 14absinC 7 5 14.2 2519．如图，在三棱锥P ABC 中，平面 PAC 平面 ABC ， ABBC ， PA PC .点 E ， F ， O 分别为线段 PA ， PB ， AC 的中点，点G 是线段CO 的中点 .2）判断 FG 与平面 EBO 的位置关系，并证明（ 1）见解析（2） FG / /平面 EBO .见解析（ 1 ）要证 PA 平面 EBO ，只需证明 BO PA ， OE PA ，即可求得答案；2） 连接 AF 交 BE 于点 Q ，连接 QO ， 根据已知条件求证 FG/ /QO ，即可判断 FGsinA sin( B C) sin BcosC cosBsin C 2324 722 5 2 5 10S ABC 本题主要考查了正弦定理和余弦定理解三角形，解题关键是掌握正弦定理边化角， 考查1）求证： PA 平面EBO .与平面EBO的位置关系，进而求得答案【详解】（ 1）PAC 平面 ABC ，平面 PAC I 平面 ABC AC ， BO 平面 ABC ，Q 在 PAC 内， O ， E 为所在边的中点，OE //PC ，又 QPA PC ， OE PA ，PA 平面 EBO .2）判断可知，FG / / 平面 EBO ，证明如下： 连接 AF 交 BE 于点 Q ，连接 QO .Q E 、 F 、 O 分别为边 PA 、 PB 、 AC 的中点， AO2. OGFG//QO ，Q FG 平面 EBO ， QO 平面 EBO ， FG //平面 EBO .本题主要考查了求证线面垂直和线面平行， 解题关键是掌握线面垂直判定定理和线面平 行判断定理，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题 20．已知抛物线 M ： x 22 py （ p 0）的焦点 F 到点 N （ 1, 2） 的距离为 10 .1）求抛物线 M的方程；Q AB BC ， O 为边 AC 的中点，BO AC ，Q 平面 BO 平面 PAC ，BO PA ，又 QQ 是PAB的重心，AQ 2QFAO OG2）过点N 作抛物线M 的两条切线，切点分别为A，B ，点A、B 分别在第一和第二象限内，求ABN 的面积 .2 27【答案】（ 1）x24y（ 2）2【解析】（1）因为F 0, p ，可得| FN | 1 p 2 10 ，即可求得答案；（2）分别设NA、NB 的斜率为k1 和k2，切点A x1, y1 ，B x2 , y2 ，可得过点N 的抛物线的切线方程为l ：y k（x 1） 2，联立直线l 方程和抛物线M 方程，得到关于x 一元二次方程，根据0 ，求得k1，k2，进而求得切点 A ，B 坐标，根据两点间距离公式求得| AN | ，根据点到直线距离公式求得点 B 到切线AN 的距离d ，进而求得ABN 的面积 .【详解】1) Q F 0, p ，2|FN | 1 p 2 10，解得p 2 ，抛物线M 的方程为x2 4y .NA、NB的斜率都存在，分别设为k1和k2，切点 A 2）由题意可知，x1, y1 ，B x 2, y 2又Q 由x 24y ，1 得 y x ，过点 Nl ： y k(x 1) 2，k(x 1)4y2,消掉 可得x 24kx 4k 8 0，Q16k 216k232 0 ，即 k 20，解得k 1 1 ， k 2 2，12 2 x 1 2k 1 2 ，y 1x 1 k 1 1 ，4x 2 2k 2 4， y 2A(2,1)， B( 4,4) ，点 B 到切线AN 的距离为| 4 4 1| 9 2即 ABN 的面积为 27 .2本题主要考查了求抛物线方程和抛物线中三角形面积问题，和圆锥曲线与直线交点问题时 ,通常用直线和圆锥曲线联立方程组sin x21 ．已知函数f (x) ， 0 x π . x1）求函数 f （x ） 在 x 处的切线方程； 2| AN | (2 1)2 (1 2)23 2，切线 AN 的方程为 x y 0，S ABN1329227， 2解题关键是掌握抛物线定义,通过韦达定理建立起2）当0 m 时，证明： f （x ） mln x 对任意 x(0, ） 恒成立 .（ 1） y4 2x4 （ （ 1）因为f (x) xcosx sin x2 ，可得 x42，2）要证 f （x ） mlnx 对任意 x (0, x ） 恒成立，即证 mxln x sin x 对任意x (0, )恒成立 .设 g(x) m xln x ，h(x) sin x ，当x (0, )时，h(x) sin x ,11) Q f (x)xcosx2 xsin x244函数 f (x) 在 x 2 处的切线方程为 y 2 x .( 2)要证 f (x) mln x 对任意 x (0, ) 恒成立 .x即证 mxln x sin x 对任意 x(0,) 恒成立 . 设 g(x) mxln x ， h(x) sin x ， 当 x (0, ) 时， h(x) sin x,1 ，Q g (x) m(ln x 1)，10 ，解得x ， eg(x)min本题主要考查了求曲线的切线方程和求证不等式恒成立问题，解题关键是掌握由导数求Qf2，，令 g (x) 0x1 时，eg (x) 0 ，函数 1g （x ） 在 0, 上单调递减； e 1x e 时， g（x ） 0 ，函数 1 g(x) 在上单调递增 . Qm(0, ），时， m xln x sinx 对任意 x （0, ） 恒成立，即当 0时，f(x) mln x 对任意x(0, ) 恒成立 .2切线方程的解法和根据导数求证不等式恒成立的方法，于难题 .22．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（ 1）求圆C 的极坐标方程；（ 2）直线l 的极坐标方程是sin6考查了分析能力和计算能力，属x 2 2cos（为参数），以O 为y 2sin3 ，射线OM : 与圆C 的交点为O 、6P ，与直线l 的交点为 Q ，求线段 PQ 的长 .（ 1） 4cos （ 2） 2 3 2（ 1）首先将参数方程转化为普通方程再根据公式化为极坐标方程即可；（ 2）设 P 1, 1 ， Q 2, 2 ，由 12 ，即可求出 1, 2，则 | PQ |126计算可得； 【详解】4 cos 0 ，即圆C 的极坐标方程为 4cosf （x ）min a 3 7，即可求出参数的值；112）由m 4n4，可得 m 4（n 1） 8，再利用基本不等式求出的最小解： （ 1 ）圆 C 的参数方程x 2 2cosy 2sin为参数）可化为 （x 2）2 y 24，2）设 P 1, 1 ，由14cos 1，解得123设 Q 2 , 2 ，由 2sin 22 26322，解得26∴ |PQ| 122 3 2.本题考考查了推理能力与计算能力， 属于中档23．已知 a 0，函数 f （x ） | x a|（ 1）求 a 的值；（ 2）设 m, n 0， m 4n a ，求证：【答案】 （ 1） a 4 .（ 2）见| 2x 6 | 有最小值 7.119.m n1 8f （x ） a 3 | x 3| ，所以当1)mn1 值，即可得证；解：1)f (x) |x a| |2x 6| |x a| |x 3|a 3 | x 3| ，当 x 3 时， f (x)mina 3 7 ，解得 a4(nm 1) nm1 ，即 m 83， n 13 时，等号成立119 mn182) ∵ m 4n 4 ， ∴ m4(n 1)8，11 mn111 mn1m 4(n 1)1 4(n 1) m5 8 m n1本题主要考查绝对值三角不等式及基本不等式的简单应用，属于中档题．|x 3| |(x a) (x 3)| |x 3|4.。
【全国卷】名校教研联盟2023届高三联考(三)文数参考答案
绝密★启用前（全国卷）文科数学参考答案1.【答案】B 【解析】2i 21-=z ，2i21+=z ，222i 21i =-=-z .2．【答案】D【解析】}31{<<-=x x M ，}22{<<-=x x N ，所以}21{<<-=x x N M .3．【答案】D【解析】甲、乙的平均数都是8，故A 错误；甲的中位数是7.5，而乙的中位数是8，故B 错误；乙的众数是8，故C 错误；乙的方差小，所以乙的成绩更稳定，故D 正确.4．【答案】A【解析】因为a ，b 为单位向量，所以345442222=⋅-=+⋅-=-b a b b a a b a ，所以21=⋅b a ，02)2(2=⋅-=-⋅b a a b a a .5.【答案】C 【解析】因为53sin =x ，其中),2(ππ∈x ，所以54cos -=x ，43cos sin tan -==x x x ，724tan 1tan 22tan 2-=-=xx x ，所以17312tan 112tan 42tan(=+-=π-x x x .6.【答案】D【解析】b b b a 2249.32=<=，因为函数x y 2=单调递增，所以a b >2.7.【答案】D【解析】只有当b a ⊥时才存在平面α，β，使α⊂a ，β⊂b ，且α∥c ，β∥c ，βα⊥，故A 错误；若存在平面α，β，使α⊂a ，β⊂b ，且α∥c ，β∥c ，则此时α与β不平行，故B 错误；存在两个平面γ，使γ⊂c ，且a ，b 与γ所成角相等，故C 错误；存在平面γ，使γ∥a ，γ∥b ，且γ⊥c ，故D 正确.8.【答案】C【解析】当列车行驶的距离为s 时，车轮转过的角度为Rs，此时P 到铁轨上表面的距离为cos 1(cosRs R R s R R -=-.9.【答案】B【解析】圆心坐标为)2,2(，半径为2，因为l 将该圆分成的两段弧长之比为1:2，则两段弧所对的圆心角分别为34π和32π，由几何性质可知，圆心到l 的距离为1，设l 的方程为kx y =，则11222=+-k k ，374±=k .10.【答案】D0747<=a S ，04<a ，因为07>a ，所以5a ，6a 的符号不确定，而03<a ，08>a ，所以63a a +，85a a +的符号不确定；6765473a a a a S S =++=-，若06<a ，则47S S <，.设公差为d ，则0>d ，所以0113)(737987914>+=-+=-d a a a a a S ．11.【答案】B【解析】如图，设m PQ PF ==1，由双曲线的定义可知a m QF 222-=，a m PF 22+=，显然2PF PQ ≠若2QF PQ =，即a m m 22-=，则a m 2=，a QF PQ 22==，a PF 42=，22PF QF PQ =+，不合题意；若22QF PF =，即a m a m 222-=+，则a m PQ 4==，a QF PF 622==，满足条件.过2F 作PQ H F ⊥2，垂足为H ，则H 为线段PQ 的中点，由几何关系可知a H F 61=，22232a H F =，设C 的焦距为c 2，由几何关系可知2221221H F H F F F +=，所以a c 17=，所以C 的离心率为17.12.【答案】A【解析】设三棱台为111C B A ABC -，其中ABC △是下底面，111C B A △是上底面，点O ，1O 分别为ABC △，111C B A △的中心，则31=OO ，2=OA ，111=A O ，1OAA △为边长为2的等边三角形，该球的球心O '为线段1AA 的一条垂直平分线与1OO 的交点，由几何关系可知O '与O 重合，所以球半径2==OA R ，所以体积为332343π=πR .13.【答案】4【解析】因为)(x f 是定义域为R 的奇函数，且0)3()1(=-+f f ，所以)3()1(f f =，因为当0>x 时，ax x x f +=2)(，所以2=x 是ax x y +=2图像的对称轴，所以4-=a ，即当0>x 时，x x x f 4)(2-=，4)2(-=f ，所以4)2()2(=-=-f f .14.【答案】])32(1[3n -【解析】因为1)23(21-=n n S ，所以111==S a ，当n ≥2时，1123(--=-=n n n n S S a ，所以对于∈n N *，1)23(-=n n a ，所以132(1-=n n a ，])32(1[311121n n a a a -=+++ .15.【答案】35【解析】方法1：多面体AEFC C A -11的体积等于三棱柱111C B A ABC -的体积与三棱台111C B A EBF -的体积之差，其中三棱柱111C B A ABC -的体积为4，三棱台111C B A EBF -的体积为37，所以多面体AEFC C A -11的体积为35.方法2：所求体积为111111112332A AEF F ACC A AEF ACC A V V S AA S --+=⋅+⋅=△145333+=.16.【答案】24【解析】设),(11y x A ，),(22y x B ，)0,1(F ，显然当直线AB 垂直于x 轴时，D 与F 重合，此时1=OD 不满足条件，所以可设直线AB 的方程为)1(-=x k y ，代入C 的方程有，0)2(22222=++-k x k x k ，所以2221)2(2k k x x +=+，121=x x ，2,2(22k kk D +，所以2222421(13kk OD ++==，解得12=k ，621=+x x ，由抛物线的几何性质可知11+=x AF ，12+=x BF ，所以244)(2122121=-+=-=-x x x x x x BF AF .17.（12分）【解析】（1）设内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，由正弦定理可知c a =2，……1分由余弦定理可知1611452cos 222222=-=-+=a b a ac b c a B .……3分解得a b 23=，……4分又因为16153cos 1sin 2=-=B B ，……5分所以由正弦定理可知815sin 32sin ==B A .……6分（2）由（1）可知，a AB AD ==21，由余弦定理可知585cos 22222==⋅-+=a A AD AC AD AC CD ，……8分所以22=a ，242==a AB ，……10分所以由（1）及三角形面积公式可知2153sin 21=⋅⋅=BC AB B S ABC △.……12分18.（12分）【解析】（1）根据列联表得：635.6143.5736751059090)45603045(18022<≈=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K ，……4分所以没有99%的把握认为学生每周平均运动时长与性别有差异.……5分（2）男生中每周平均运动时长不少于7小时的比率为2190451==p ，……6分女生中每周平均运动时长不少于7小时的比率为3190302==p ，……7分所以全校学生中运动时长不少于7小时的人数为6003160021800=⨯+⨯人，……10分所以全校学生中运动时长不少于7小时的占比为%9.421400600≈，高于40%，……11分所以该校为体育运动达标校.……12分19.（12分）【解析】（1）如图，连接BD 交C B 1于点F ，连接EF ，因为四边形11B BCC 为矩形，且D 为1CC 的中点，所以21==CDBB DF BF ，……1分又因为AE BE 2=，所以2==AEBEDF BF ，AD EF ∥，……3分因为⊂EF 平面CE B 1，⊄AD 平面CE B 1，所以∥AD 平面CE B 1.……5分（2）易知点D 到平面CE B 1的距离等于点B 到平面CE B 1的距离的一半，……6分过B 作CE BG ⊥，垂足为G ，……7分连接G B 1，过B 作G B BH 1⊥，垂足为H ，因为⊥1BB 平面ABC ，⊂CE 平面ABC ，所以CE BB ⊥1，又因为B BB BG =1 ，⊂BG 平面G BB 1，⊂1BB 平面G BB 1，⊂BH 平面G BB 1，所以⊥CE 平面G BB 1，BH CE ⊥，……9分所以⊥BH 平面CE B 1，即线段BH 为点B 到平面CE B 1的距离.……10分因为︒=∠90ABC ，432==AB BE ，3=BC ，所以522=+=BC BE CE ，由几何关系可知BC BE CE BG ⋅=⋅，所以512=BG ，52962121=+=BB BG G B ，……11分由几何关系可知11BB BG G B BH ⋅=⋅，所以292912=BH ，故点D 到CE B 1的距离为29296.……12分20.（12分）【解析】（1）当0=a 时，2e 2)(x x xf x --=，所以x x f x 21e 2)(--='，……2分设)()(x f x g '=，则2e 2)(-='x x g ，当0<x 时，0)(<'x g ，)(x g 单调递减，当0>x 时，0)(>'x g ，)(x g 单调递增，所以)()(x g x f ='≥01)0(>=g ，……4分所以)(x f 的单调递增区间是),(+∞-∞，)(x f 没有单调递减区间.……5分（2）根据题意有x a x x f xcos 21e 2)(---='，若0=x 是)(x f 的极值点，则0012)0(=---='a f ，即1=a ，……6分当1=a 时，x x x f xcos 21e 2)(---='，设)()(x f x h '=，则x x h xsin 2e 2)(+-='，……7分当),0(π∈x 时，0sin >x ，1e >x，0)(>'x h ，)(x h 单调递增，所以当),0(π∈x 时，0)0()()(=>='h x h x f ，)(x f 单调递增，……9分当)0,(π-∈x 时，0sin <x ，1e <x，0)(<'x h ，)(x h 单调递减，所以当)0,(π-∈x 时，0)0()()(=>='h x h x f ，)(x f 单调递增，……11分所以0=x 不是)(x f 的极值点.……12分21.(12分)【解析】（1）根据题意有，)1,0(B ，设)0,(c F ，因为)1,2(P ，故x BP ∥轴，……1分且当BF PF =时，F 在线段BP 的垂直平分线1=x 上，……2分所以1=c ，……3分根据椭圆的几何性质可知2122=+=c a ，所以C 的方程为1222=+y x .……4分（2）设),(11y x M ，),(22y x N ，当x MN ⊥轴时，显然BM 与BN 不垂直.……5分当MN 与x 轴不垂直时，设MN 的方程为)1(-=x k y ，代入C 的方程有：0224)21(2222=-+-+k x k x k ，所以2221214k k x x +=+，22212122k k x x +-=，……6分11(,1BM x y =- ），22(,1BN x y =- ），当BN BM ⊥时，1212(1)(1)0BM BN x x y y ⋅=+--=，整理有0)1())(1()1(221212=++++-+k x x k k x x k ，……7分将2221214k k x x +=+，22212122kk x x +-=代入上式有0)1(21)1(421)1)(1(2223222=++++-+-+k k k k k k k ，整理并化简有01232=-+k k ，……8分解得31=k 或1-=k .当1-=k 时，MN 的方程为1+-=x y ，此时直线过点B ，不合题意，……9分当31=k 时，MN 的方程为013=--y x ，11421=+x x ，111621-=x x ，点)1,2(P 到MN 的距离为51010132=--=d ，……10分112204)(11212212212=-+⋅+=-+=x x x x k x x k MN ，……11分所以1154112205102121=⨯⨯=⋅=MN d S PMN △.……12分22.【解析】(10分)（1）C 的普通方程为x y 4)2(2=+，……2分其中x ≥1，y ≥0.……3分-θρsin(21)4=πθρsin 2=4cos πθρcos 2-4sin π1=-=x y .所以l 的直角坐标方程为1+=x y .……5分（2）设C 上的点到l 距离为d ，由（1）可知，21)1()1(412222+--+=t t t t d 248)21(23)1()1(4122222222+-+=++-+=tt t t t t ≥2，……9分当1±=t 时，等号成立.所以C 上的点到l 距离的最小值为2.……10分23.【解析】(10分)（1）根据题意有n m +-1≤1，n m ++1≤1，n f =)0(，所以1-≤n m +-1≤1，即2-≤n m +-≤0，①1-≤n m ++1≤1，即2-≤n m +≤0，②……2分由①可知n ≤m ，……3分①+②有4-≤n 2，即2-≤n ，……4分由①可知，0≤n m -≤2，③②+③有m 2≤2，即m ≤1，综上，2-≤)0(f ≤m ≤1.……5分（2）方法1：由①②得22024m mn n -+≤≤④，22024m mn n ++≤≤⑤．……7分由④得22420m n mn ---+≤≤⑥，……8分⑤＋⑥得444mn -≤≤，即mn ≤1.……10分方法2：由②，③可知，mn n m n m 2)(222++=+≤4，mn n m n m 2)(222-+=-≤4，……6分所以22n m +≤4.……7分且有422-+n m ≤mn 2≤)(422n m +-，即mn 2≤)(422n m +-，……9分所以4≥222n m mn ++≥mn 4，即mn ≤1.……10分。
2023届高三全国学业质量联合检测2月大联考文科数学试题(含答案解析)
2023届高三全国学业质量联合检测2月大联考文科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，B 是偶数集，则A B = （）A ．{}2B ．{}2,2-C ．{}0,2D ．{}2,0,2-2．已知复数z 满足i i 1zz +=-，则z 在复平面内所对应的点是（）A ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．13,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．()1,1--D ．33,55⎛⎫ ⎪⎝⎭3．函数()2exx xf x +=的部分图像大致为（）A ．B ．C ．D ．4．已知点()1,1A ，()2,1B -，向量()2,1a =- ，()1,1b = ，则AB与a b - 的夹角的余弦值为（）A ．5-B ．5-C D 5．已知M 是双曲线C 上的一个动点，且点M 到C 的两个焦点距离的差的绝对值为6，C 的焦点到渐近线的距离为4，则C 的离心率为（）A ．35B ．53C ．45D ．546．某市2021年1月至2022年6月的平均气温折线图如图，则（）A ．平均高温不低于30C 的月份有3个B ．平均高温的中位数是21CC ．平均高温的极差大于平均低温的极差D ．月平均高温与低温之差不超过10C 的月份有5个7．若实数x ，y 满足约束条件10,20,0,x y x y y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则22z x y =--的最大值为（）A ．4B．5C ．2D8．已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数.执行如图所示的程序框图，则输出的n =（）A ．3B ．4C ．5D ．69．记数列{}n a 的前n 项和为22n S n n =+．若等比数列{}n b 满足11b a =，24b a =，则数列1n b ⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和n T =（）A ．332n-B ．1332n +-C ．1511623n -⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭D ．111223n⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭10．已知正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，D ，E ，F 分别是1BB ，11B C ，1AA 的中点，M 是线段BF 上的动点，则下列结论中正确的个数是（）①1BF B C ⊥；②1//BF C D ；③11A E B C ⊥；④1//C M 平面1A DE ．A ．1B ．2C ．3D ．411．已知函数()2tan sin tan 1xf x x x =++，则下列结论正确的是（）A ．()f x 在区间ππ,33⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减B ．()f x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上有极小值C ．设()()2g x f x =-在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的最大值为M ，最小值为m ，则4M m +=D ．()f x 在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内有且只有一个零点12．已知三棱锥P －ABC 的所有顶点均在半径为2的球的O 球面上，底面ABC 是边长为3的等边三角形．若三棱锥P －ABC 的体积取得最大值时，该三棱锥的内切球的半径为r ，则r =（）A ．1B ．14C ．32D ．)3114二、填空题13．记函数()()n f x x nx n n *=+-∈N 在1x =处的导数为n a ，则()4216log a a =________．14．写出以原点为圆心且与圆C ：22430x y y +-+=相切的一个圆的标准方程为________．15．已知实数a ，b ，m ，n 满足20a b --=，240m n -=，则()()22m a n b -+-的最小值为________．三、双空题16．已知()f x 是定义R 在上的奇函数，当0x >时，()222x xf x -=+，当0x <时，()22x x f x m n -=⋅+⋅，则m n +=________；若方程()()R f x a a =∈有两个不同的实数根，则a 的取值范围是________．四、解答题17．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 是2a 与πsin6C ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的等比中项．(1)求A ﹔(2)若ABC 是锐角三角形，且2c =，求sin a B 的取值范围．18．2020年，教育部启动实施强基计划．强基计划聚焦国家重大战略需求，突出基础学科的支撑引领作用．三年来，强基计划共录取新生1.8万余人．为响应国家号召，某校2022年7月成立了“强基培优”拓展培训班，从高一入校时中考数学成绩前100名的学生中选取了50名对数学学科研究有志向、有兴趣、有天赋的学生进行拓展培训．为了解数学“强基培优”拓展培训的效果，在高二时举办了一次数学竞赛，这100名学生的成绩（满分为150分）情况如下表所示．成绩不低于135分成绩低于135分总计参加过培训401050未参加过培训203050总计6040100(1)能否有99%的把握认为学生的数学竞赛成绩与是否参加“强基培优”拓展培训有关？(2)从成绩不低于135分的这60名学生中，按是否参加过“强基培优”拓展培训采用分层抽样﹐随机抽取了6人，再从这6人中随机抽取2人代表学校参加区里的数学素养大赛，求这2人中至少有一人未参加过培训的概率．参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．()20P K k ≥0.100.050.0250.0100.0010k 2.7063.8415.0246.63510.82819．如图①，在平面四边形ABCD 中，2AB AD ==，BC CD ==60BAD ∠= ．将BCD △沿着BD 折叠，使得点C 到达点C '的位置，且二面角A BD C '--为直二面角，如图②．已知,,P G F 分别是,,AC AD AB '的中点，E 是棱AB 上的点，且C E '与平面ABD所成角的正切值为3．(1)证明：平面//PGF 平面C DB '；(2)求四棱锥P GFED -的体积．20．已知函数()()ln R f x x ax a =+∈，()f x 的导函数为()f x '．(1)讨论()f x 的极值点的个数；(2)当2a =时，方程()()()0f x f x m m '++=∈R 有两个不相等的实数根，求m 的取值范围．21．已知抛物线E ：()220y px p =>的焦点关于其准线的对称点为()3,0P -，椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左，右焦点分别是1F ，2F ，且与E 有一个共同的焦点，线段1PF 的中点是C 的左顶点．过点1F 的直线l 交C 于A ，B 两点，且线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ．(1)求C 的方程；(2)证明：114F M AB=．22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos sin xy αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为()22sin sin 12m m θρθ⎛⎫+-=∈ ⎪⎝⎭R ．(1)写出1C 的普通方程；(2)若曲线1C 与2C 有两个交点,M N ，则当m 为何值时，MN 最大？并求出MN 的最大值．23．已知a ，b ，c 都是正实数，且3a b c ++=．证明：(1)3331113a b c ++≥；(2)()2221119a b c a b c ≥⎛⎫++++ ⎪⎝⎭．参考答案：1．D【分析】利用偶数和交集的定义即可求解.【详解】因为在集合{}2,1,0,1,2A =--中，－2，0，2是偶数，所以{}2,0,2A B =- ．故选：D.2．B【分析】根据复数的运算求出z ，即可得出z 在复平面内所对应的点.【详解】由i i 1zz +=-，得()()()()i 1i 2i 1i 2i 2i 2z +++===--+13i 55--，所以z 在复平面内所对应的点是13,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭．故选：B.3．C【分析】利用特殊值及极限思想即可分析得出.【详解】由1110242f ⎛⎫⎫--< ⎪⎪⎝⎭⎭，故D 错误，当x →+∞时，()0f x →，A ，B 错误．故选：C.4．A【分析】由平面向量的坐标运算求得AB，a b - ，结合平面向量的夹角公式即可求得答案．【详解】由题意，得()1,2AB =- ，()3,0a b -=-，则AB与a b - 的夹角的余弦值为()AB a b ABa b ⋅-==- ．故选：A ．5．B【分析】不妨设双曲线方程为22221x y a b-=()0,0a b >>，表示出双曲线的渐近线方程，根据双曲线的定义得到3a =，再利用点到直线的距离公式求出b ，从而求出c ，即可得解.【详解】解：不妨设双曲线方程为22221x y a b-=()0,0a b >>，则双曲线的渐近线方程为by x a=±，即0bx ay ±=，由双曲线的定义知，26a =，所以3a =，由双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为44b ==，所以5c =，所以C 的离心率53ce a==．故选：B 6．C【分析】根据折线图数据，结合中位数、极差的定义依次判断各个选项即可.【详解】对于A ，平均高温不低于30C 的月份有2021年6,7,8月和2022年6月，共4个，A 错误；对于B ，将各个月份数据按照从小到大顺序排序后，可得中位数为202120.5C 2+= ，B 错误；对于C ，平均高温的极差为36630C -= ，平均低温的极差为()24327C --=，则平均高温的极差大于平均低温的极差，C 正确；对于D ，月平均高温与低温之差不超过10C 的月份有2021年7,8,9,10月和2022年1,2月，共6个，D 错误.故选：C.7．C【分析】目标函数22z x y =--的几何意义是可行域内的点到直线l ：220x y --=的距离l 的距离最大的点，求解即可.【详解】由约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示．由点到直线的距离公可知，目标函数22z x y =--的几何意义是可行域内的点到直线l ：220x y --=数形结合可知，可行域内到直线l 的距离最大的点为()1,0A -，且点A 到直线l 的距离d ==则22z x y =--的最大值为4．故选：C.8．C【分析】列举出每次算法步骤，即可得出输出结果.【详解】执行第一次循环，[]3.141 3.14 5.14b =-+=，[]5.1414a =-=，2n =，5.14 1.14110.2850.0544b a -=-==>；执行第二次循环，[]41 5.148.14b =-+=，[]8.1417a =-=，3n =，8.14 1.14110.1630.0577b a -=-=≈>；执行第三次循环，[]718.1414.14b =-+=，[]14.14113a =-=，4n =，14.14 1.14110.0880.051313b a -=-=≈>；执行第四次循环，[]13114.1426.14b =-+=，[]26.14125a =-=，5n =，26.14 1.14110.04560.052525b a -=-==<，退出循环，输出5n =.故选：C.9．D【分析】由1113b a S ===，24439b a S S ==-=，求出等比数列{}n b 的公比q 及n b ，数列1n b ⎧⎫⎨⎩⎭也是等比数列，利用等比数列求和公式可求出答案.【详解】因为1113b a S ===，24439b a S S ==-=，所以等比数列{}n b 的公比3q =，所以1333n nn b -=⨯=，则113nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由11113n n b b +=⋅，可知数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以13为首项，13为公比的等比数列，所以111111333122313nnn T ⎛⎫-⋅ ⎪⎛⎫⎝⎭==-⋅ ⎪⎝⎭-．故选：D ．10．C【分析】连接1BC ，即可得到111A E B C ⊥，再由正三棱柱的性质得到1A E ⊥平面11BB C C ，即可得到11A E B C ⊥，从而得到1B C ⊥平面1A DE ，再由线面垂直的性质得到11B C A D ⊥，即可说明1BF B C ⊥，即可判断①、②、③，连接1C F ，通过证明平面1//A DE 平面1BFC ，即可说明④.【详解】解：连接1BC ，因为正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，所以111A E B C ⊥，11B C BC ⊥．又D ，E 分别是1BB ，11B C 的中点，所以1//DE BC ，所以1B C DE ⊥．因为11A E CC ⊥，1111B C CC C ⋂=，11B C ，1CC ⊂平面11BB C C ，所以1A E ⊥平面11BB C C ．又1B C ⊂平面11BB C C ，所以11A E B C ⊥．又1DE A E E ⋂=，DE ，1A E ⊂平面1A DE ，所以1B C ⊥平面1A DE ．又1A D ⊂平面1A DE ，所以11B C A D ⊥．由题意知1//A F BD 且1A F BD =，所以四边形1A FBD 是平行四边形，所以1//BF A D ，所以1BF B C ⊥，故①、③正确；BF 与1C D 是异面直线，故②错误；连接1C F ，因为1//BF A D ，BF ⊂平面1BFC ，1A D ⊄平面1BFC ，所以1A D //平面1BFC 又1//DE BC ，同理可证//DE 平面1BFC ，又1A D DE D ⋂=，1,A D DE ⊂平面1A DE ，所以平面1//A DE 平面1BFC ．因为M 是线段BF 上的动点，所以1C M ⊂平面1BFC ，所以1//C M 平面1A DE ，故④正确．故选：C 11．D【分析】由商数关系化简函数，结合导数法可得函数性质及图象，即可逐个判断.【详解】因为()22sin tan cos sin sin tan 1sin 1cos xx x f x x x x x x =+=++⎛⎫+ ⎪⎝⎭πsin sin cos π,2x x x x k k ⎛⎫=+≠+∈ ⎪⎝⎭Z ，所以()()()22cos cos 12cos 1cos 1f x x x x x '=+-=-⋅+．当ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，令()0f x '=，解得π3x =±，则当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示．所以()f x 在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的图象如图所示．对A ，()f x 在区间ππ,33⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，A 错；对B ，()f x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上有极大值，无极小值，B 错；对C ，()()2g x f x =-在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的最大值为2M =，最小值为2m =，4M m +=-，C 错；对D ，()f x 在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内有且只有一个零点，D 对.故选：D.12．B【分析】设底面ABC 的中心为Q ，根据题意可知，当三棱锥P －ABC 的体积取得最大值时，PQ ⊥底面ABC ，求出体积的最大值，再利用等体积法求出内切球的半径即可.【详解】设底面ABC 的中心为Q ，连接BQ ，OQ ，则233BQ ==OQ ⊥底面ABC ，如图，延长QO 交球面于点P ，连接OB ，此时三棱锥P －ABC 的体积取得最大值，因为球O 的半径为2，所以2OB =，在Rt OQB 中，1OQ ==，所以三棱锥P －ABC 的体积的最大值为()213213V =⨯+=此时PB =所以2133312P ABCS -=+⨯⨯=，所以11434r =⨯⨯，解得r =故选：B.13．72【分析】求导后可得n a ，结合对数运算法则可求得结果.【详解】()1n f x nx n -'=+ ，()12f n '∴=，即2n a n =，()()274216427log log 432log 22a a ∴=⨯==.故答案为：72.14．221x y +=或229x y +=【分析】根据两圆内切与外切的条件求解即可.【详解】圆C ：22430x y y +-+=的圆心为()0,2，半径为1．因为两圆圆心距为2，故若两圆外切，则所求圆的半径为211-=，其标准方程为221x y +=；若两圆内切，则所求圆的半径为213+=，其标准方程为229x y +=．故答案为：221x y +=或229x y +=15．12##0.5【分析】根据实数满足的表达式，将表达式转化成直线和抛物线形式，求出解抛物线上到直线距离最近的点，即可求得()()22m a n b -+-的最小值.【详解】由题意知，(),a b 是直线l ：20x y --=上的点，(),m n 是抛物线21:4C y x =上的点，()()22m a n b -+-的几何意义是抛物线C 上的点到直线l 上的点的距离的平方．设0x y c -+=与抛物线相切，切点为0,0()P x y 则12y x '=，即0112x =，所以直线与C 切于点()2,1，所以()()22m a n b -+-的最小值为212=．故答案为：1216．5-()()5,44,5--È【分析】由()()f x f x -=-可求出m n +的值；画出()y f x =的图象，由方程()()f x a a R =∈有两个不同的实数根，即()y f x =的图象与y a =的图象由两个交点，结合图象即可得出答案.【详解】令0x <，则0x ->，所以()222x xf x -+-=+．因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()222422x x x xf x +--=--=-⨯-，所以4m =-，1n =-，则5m n +=-，故()42,020,0,14202x x x x x f x x x ⎧+>⎪⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪-⋅+< ⎪⎝⎭⎩，当0x >时，()422xx f x =+，令2xt =，则()41y t t t=+>．因为当()0,1x ∈时，2x t =单调递增，且()1,2t ∈，此时4y t t=+单调递减，所以由复合函数的单调性可知()422xx f x =+在区间()0,1上单调递减；因为当()1,x ∈+∞时，2x t =单调递增，且()2,t ∈+∞，此时4y t t=+单调递增，所以由复合函数的单调性可知()422xxf x =+，在区间()1,+∞上单调递增．由奇函数图象的特点作出()y f x =与y a =的图象如下：由图知，若()f x a =有两个不同的实数根，相当于()y f x =与y a =有两个不同的交点，则54a -<<-或45a <<．故答案为：－5；()()5,44,5--È.17．(1)π3(2)2⎛ ⎝【分析】（1是2a 与πsin 6C ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的等比中项可得2π2sin 6a C b c ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭，由正弦定理及两角和的正弦公式化简即可求出A ﹔（2）由正弦定理表示出13sin 2tan a B C ⎛==+ ⎝，结合tan y x =的单调性即可得出答案.【详解】（1）是2a 与πsin 6C ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的等比中项，所以2π2sin 6a C b c ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭，由正弦定理及两角和的正弦公式，得12sin cos sin sin 22A C C B C ⎛⎫⋅+=+ ⎪ ⎪⎝⎭．因为πA B C ++=，()sin sin cos sin sin sin cos cos sin sin A C A C A C C A C A C C +=++=++，()sin cos 1sin A C A C =+．因为()0,πC ∈，所以sin 0C ≠，cos 1A A -=，即π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．又()0,πA ∈，所以ππ5π,666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以ππ66A -=，即π3A =．（2）由正弦定理，得2πsin sin sin 3a b B C ==，所以2π3sin 2sin sin C B a B b CC ⎛⎫- ⎪⎝⎭===3cos 132sin 2tan C C C C+⎛==+⎝．因为ABC 是锐角三角形，所以2ππ032π0,2C C ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩所以ππ62C <<，所以tan C >所以sin a B的取值范围是⎝．18．(1)有99%的把握认为学生的数学竞赛成绩与是否参加“强基培优”拓展培训有关．(2)35【分析】（1）根据表中数据和参考公式代入计算并与6.635比较即可得出结论；（2）由分层抽样可知参加过培训的有4人，未参加过的有2人，列举出6人中随机抽取2人的所有基本事件，再选出符合条件的事件数即可求得结果.【详解】（1））根据列联表代入计算可得：()221004030201050604050503K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯16.667 6.635>，所以有99%的把握认为学生的数学竞赛成绩与是否参加“强基培优”拓展培训有关．（2）由题意可知，所抽取的6名学生中参加过“强基培优”拓展培训的有4人，记为1A ，2A ，3A ，4A ，未参加过“强基培优”拓展培训的有2人，设为甲、乙．从这6人中随机抽取2人的所有基本事件有{}12,A A ，{}13,A A ，{}14,A A ，{}1,A 甲，{}1,A 乙，{}23,A A ，{}24,A A ，{}2,A 甲，{}2,A 乙，{}34,A A ，{}3,A 甲，{}3,A 乙，{}4,A 甲，{}4,A 乙，{},甲乙，共15个，其中至少有一人未参加过培训的基本事件有{}1,A 甲，{}2,A 甲，{}3,A 甲，{}4,A 甲，{},甲乙，{}1,A 乙，{}2,A 乙，{}3,A 乙，{}4,A 乙，共9个．故至少有一人未参加过培训的概率93155P ==．19．(1)证明见解析12【分析】（1）利用三角形中位线性质和线面平行的判定可证得//PG 平面C DB '，//PF 平面C DB '，由面面平行的判定可证得结论；（2）取BD 的中点M ，根据已知的长度关系和面面垂直性质可证得C M '⊥平面ABD ，结合线面角定义可得tan C EM '∠=由此可确定E 点位置，从而求得GFED S 四边形，利用棱锥体积公式可求得结果.【详解】（1）,,P G F 分别为,,AC AD AB '的中点，//PG C D '∴，//PF BC '，,PG PF ⊄ 平面C DB '，,C D BC ''⊂平面C DB '，//PG ∴平面C DB '，//PF 平面C DB '，又PG PF P ⋂=，,PG PF ⊂平面PGF ，∴平面//PGF 平面C DB '.（2）取BD 的中点M ，连接,C M EM '，2AB AD == ，60BAD ∠= ，ABD ∴ 为等边三角形，2BD ∴=，又BC C D ''==222BC C D BD ''∴+=，C DB '∴ 为等腰直角三角形，112C M BD '∴==，C M BD '⊥；二面角A BD C '--是直二面角，即平面C DB '⊥平面ABD ，平面C DB '⋂平面ABD BD =，C M '⊂平面C DB '，C M '∴⊥平面ABD ，C EM '∴∠即为C E '与平面ABD 所成角，1tan 3C M C EM EM EM ''∴∠==，解得：2EM =；在EMB △中，由余弦定理得：2222cos60EM BM BE BM BE =+-⋅ ，即2314BE BE =+-，解得：12BE =，E ∴为线段AB 上靠近点B 的四等分点，111442ABD AGF BDE ABD ABD ABD ABD GFED S S S S S S S S ∴=--=--= 四边形211222=⨯⨯⨯111113232P GFED GFED V S C M -'∴=⨯⨯=⨯⨯四棱锥四边形20．(1)答案见解析(2)(),ln 25-∞-【分析】（1）对()f x 求导，分0a ≥和a<0，讨论()f x 的单调性，即可得出对应的极值点的情况；（2）当2a =时，方程()()()0f x f x m m '++=∈R 有两个不相等的实数根，化简为1ln 22m x x x -=+++，即y m =-与1ln 22y x x x =+++的图象有两个交点，令()1ln 22h x x x x=+++，对()h x 求导，得出()h x 的单调性及最值即可得出答案.【详解】（1）函数()f x 的定义域为{}0x x >，()1f x a x'=+．当0a ≥时，()0f x ¢>，()f x 在区间()0,∞+上单调递增，所以()f x 无极值点；当a<0时，令()0f x '=，解得1x a=-，所以当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示．x 10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭1a-1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()f x '＋0－()f x 单调递增极大值单调递减所以()f x 有一个极大值点，无极小值点．综上，当0a ≥时，()f x 无极值点；当a<0时，()f x 有一个极值点．（2）当2a =时，方程()()0f x f x m '++=，即1ln 220x x m x++++=，则1ln 22m x x x-=+++．令()1ln 22h x x x x =+++，0x >，则()()()22121112x x h x x x x +-'=+-=．令()0h x '=，解得12x =或=1x -（舍去）．当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，()h x 在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()()min 15ln 22h x h x h ⎛⎫≥==- ⎪⎝⎭，又x 趋近于0时()h x 趋近正无穷；x 趋近于正无穷时()h x 趋近正无穷，所以5ln 2m ->-，即ln 25m <-，故m 的取值范围是(),ln 25-∞-．21．(1)22143x y +=(2)证明见解析【分析】（1）由题意得332p-=-，从而得出椭圆C 的焦点()11,0F -，()21,0F ，由线段1PF 的中点为()2,0-求得2a =，23b =，可得C 的方程；（2）直线l 的斜率存在，设为k ，分两种情况讨论：当0k =时，直接验证结论；当0k ≠时，设出直线l 的方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理求出线段AB 的中点坐标，得到线段AB 的垂直平分线的方程，求得M 坐标及1F M ，利用弦长公式求得AB ，从而证得结论．【详解】（1）抛物线E 的焦点,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭关于其准线2p x =-的对称点为3,02p ⎛⎫-⎪⎝⎭，所以332p-=-，即12p =．因为椭圆C 与抛物线E 有一个共同的焦点，所以()11,0F -，()21,0F ，所以线段1PF 的中点为()2,0-，所以2a =，222213b =-=．故C 的方程为22143x y +=．（2）由题意知，直线l 的斜率存在，设为k ．当0k =时，点A ，B 恰为椭圆C 的左、右顶点，y 轴为线段AB 的垂直平分线，()0,0M ，24AB a ==，11F M c ==，则114F M AB=．当0k ≠时，直线l 的方程为()1y k x =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，线段AB 的中点为()00,x y ，(),0M M x ．联立()221,1,43y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()()2222438430k x k x k +++-=，则2122843k x x k +=-+，()21224343k x x k -=+，所以212024243x x k x k +==-+，则()2002243114343k ky k x k k k ⎛⎫=+=-+= ⎪++⎝⎭．由题意知，线段AB 的垂直平分线的方程为()001y y x x k-=--，令0y =，得200243M kx x ky k =+=-+，则221223314343k k F M k k +=-+=++．又12AB x =-=()2212143k k +=+，所以114F M AB=．综上，114F MAB =．22．(1)()(2221x y -+-=(2)当2m =-时，max 2MN =【分析】（1）消去参数方程中的参数α即可得到普通方程；（2）根据极坐标与直角坐标互化原则可确定1C 为直线，则当直线过圆心时，MN 最大，由此可求得结果.【详解】（1）由2cos sin x y αα=+⎧⎪⎨=+⎪⎩得：()(2221x y -+-=，即1C 的普通方程为：()(2221x y -+-=.（2）由22sin sin 12m θρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭得：()sin cos sin cos m ρθθρθρθ-=-=，2C ∴的直角坐标方程为：0x y m -+=；当0x y m -+=过圆1C 的圆心(时，MN 取得最大值，即MN 为圆1C 的直径，20m ∴=，解得：2m =，则当2m =时，max 2MN=.23．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用三元基本不等式依次证得01abc <≤与3331113a b c ++≥即可，要特别注意等号成立的条件；（2）利用基本不等式依次证得2223a b c ++≥与1113a b c++≥，从而证得()2221119a b c a b c ≥⎛⎫++++ ⎪⎝⎭，要特别注意等号成立的条件.【详解】（1）因为a ，b ，c 都是正实数，且3a b c ++=，所以3a b c =++≥01abc <≤，所以11abc≥，当且仅当a b c ==且3a b c ++=，即1a b c ===时，等号成立，故33311133a b c abc++≥≥，当且仅当333111a b c ==且1a b c ===，即1a b c ===时，等号成立，所以3331113a b c ++≥.（2）因为()()22222222223a b c a b c ab ac bc a b c ++=+++++≤++，3a b c ++=，所以2223a b c ++≥，当且仅当a b c ==且3a b c ++=，即1a b c ===时，等号成立；又()11111113a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭11113a a b b c c b c ac a b ⎛⎫=++++++++ ⎪⎝⎭113a b c a c b b a a c b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦113⎛≥++ ⎝3=，当且仅当,,a b c a c b b a a c b c ===且3a b c ++=时，即1a b c ===时，等号成立，所以1113a b c++≥；故()2221119a b c a b c ≥⎛⎫++++ ⎪⎝⎭，当且仅当1a b c ===时，等号成立.。
高中高三数学11月联考试卷 文含解析 试题
2021届高三重点高中11月联考数学试卷〔文科〕第一卷〔选择题一共60分〕一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题中给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1. 设集合，，那么=〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】由集合得：，那么=应选2. 假设复数满足，那么等于〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】应选3. 等差数列的前项和为，假设，，那么的公差为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】，此题选择C选项.4. ：“函数在上是增函数〞，：“〞，那么是的〔〕A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B...............反之，能得到函数在上是增函数.即是的必要不充分条件.此题选择B选项.5. 平面向量，满足，，，那么向量，的夹角为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】，那么应选点睛：此题中，由的坐标可得到的模，又因为求两个向量的夹角，由向量的数量积的计算公式可以求得答案。
着重考察了平面向量数量积的运算和两个向量夹角等知识，属于根底题。
6. ，，那么=〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】，，应选7. 在中，角，，所对的边长分别为，，，假设，，，那么=〔〕A. 2B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】由余弦定理可得：.即.解得：.应选C.8. 将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，那么=〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】把函数的图象向右平移个单位长度后可得：应选9. 在公比为整数的等比数列中，，，那么的前5项和为〔〕A. 10B.C. 11D. 12【答案】C【解析】，，，即解得或者舍去，那么应选10. 假设函数〔，且〕的值域是，那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】由可得当时，故可得的值域是的子集，当时，时，即，解得即当时，即，解得，不合题意，综上所述，应选11. 如图，在中，点为的中点，点在上，，点在上，，那么等于〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】此题选择D选项.12. 假设函数在上是增函数，那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】假设，那么，在上是增函数，故可以排除假设，那么当时，获得最小值为即在上是增函数，故可以排除应选点睛：此题运用了排除法来解答，要证函数是增函数，分类讨论参量的情况，利用导数进展验证，从而求得参量的取值范围。
2024届高三上学期10月大联考(全国乙卷)文科数学试题及答案
绝密★启用前2024届高三10月大联考（全国乙卷）文科数学本卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}215,1,1,3A x x B =∈+<=-Z∣，则A B ⋃中元素的个数为（）A.3B.4C.5D.62.已知命题200:p x x ∃≥>，则命题p 的否定为（）A.200x x ∃<≤ B.2x x ∀≥<C.2x x ∀<> D.2x x ∀≥≤3.若不等式2510x ax -+<的解集为1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭，则a =（）A.12-B.12C.14-D.144.若函数()e ,3ln 2,3x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，则()()2ef f =（）A.-1B.-2C.1D.ln22-5.已知54:1,:log 2(033a p a q a <<>>且1)a ≠，则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.函数()242log 2xf x x x+=-的大致图象是（）A. B.C. D.7.白色污染是人们对难降解的塑料垃圾（多指塑料袋）污染环境现象的一种形象称谓，经过长期研究，一种全生物可降解塑料（简称PBAT ）逐渐被应用于超市购物袋､外卖包装盒等产品.研究表明，在微生物的作用下，PBAT 最终可被完全分解为二氧化碳和水进入大自然，当其分解率（100%=⨯已分解质量分解率总质量）超过60%时，就会成为对环境无害的物质.为研究总质量为100g 的PBAT 的已分解质量y （单位：g ）与时间x （单位：月）之间的关系，某研究所人员每隔1个月测量1次PBAT 的已分解质量，对通过实验获取的数据做计算处理，研究得出已分解质量y 与时间x 的函数关系式为 4.60.1100e x y -=-.据此研究结果可以推测，总质量为100g 的PBAT 被分解为对环境无害的物质的时间至少为（）（参考数据：ln40 3.7≈）A.8个月B.9个月C.10个月D.11个月8.已知,0,,2παβαβ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭，且()()17cos cos cos sin sin sin ,sin cos 510ααβααβαβ-+-==，则()sin αβ+=（）A.45B.35 C.25D.3109.已知O 是ABC 所在平面内一点，若0,,,,,OA OB OC AM xAB AN y AC MO ON x y λ++====均为正数，则xy 的最小值为（）A.12B.49C.1D.4310.若函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭∣的部分图象如图所示，则下列说法正确的个数为（）①2ω=；②6πϕ=-；③()f x 在5,26ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；④32f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭.A.1B.2C.3D.411.已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()2log 1f x x =-，则不等式()()102x f x f x -≥--的解集是（）A.11,00,22⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B.][()2,11,2--⋃C.112,0,22⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.()[)11,2,00,1,222∞⎛⎫⎛⎫--⋃-⋃⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12.已知函数()2cos (1)xxf x a ax x a -=+++>，则11e 2,e ,ff fππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的大小关系为（）A.11e e 2f f f ππ⎛⎫⎛⎫<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.B.11e 2e ff f ππ⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.11e2e f ff ππ⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.11e e 2f f f ππ⎛⎫⎛⎫-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()()1,2,2,a b x =-= ，若a b ⊥ ，则实数x =__________.14.请写出一个满足对任意的()12,0,x x ∞∈+；都有()()()1212f x x f x f x =的函数__________.15.《海岛算经》是魏晋时期数学家刘徽所著的测量学著作，书中有一道测量山上松树高度的题目，受此题启发，小李同学打算用学到的解三角形知识测量某建筑物上面一座信号塔的高度.如图，把塔底与塔顶分别看作点C ，D ，CD 与地面垂直，小李先在地面上选取点A ，B （点,A B 在建筑物的同一侧，且点,,,A B C D 位于同一个平面内），测得AB =，在点A 处测得点,C D 的仰角分别为30,67 ，在点B 处测得点D 的仰角为33.5 ，则塔高CD 为__________m .（参考数据：3sin375≈）16.已知函数()()ln 2f x x a x x =+-在定义域上单调递增，则实数a 的取值范围为__________.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）已知向量()()sin cos ,1,2cos ,1a x x b x =+=- ，函数()f x a b =⋅，将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象.（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）解方程()0g x =.18.（12分）如图，在平行四边形ABCD 中，13AM AD = ，令,AB a AC b ==.（1）用,a b表示,,AM BM CM ；（2）若2AB AM ==，且10AC BM ⋅= ，求cos ,a b.19.（12分）某公园池塘里浮萍的面积y （单位：2m ）与时间t （单位：月）的关系如下表所示：时间/t 月1234浮萍的面积2/m y 35917现有以下三种函数模型可供选择：①y kt b =+，②t y p a q =⋅+，③log a y m t n =⋅+，其中,,,,,,k b p q m n a 均为常数，0a >且1a ≠.（1）直接选出你认为最符合题意的函数模型，并求出y 关于t 的函数解析式；（2）若该公园池塘里浮萍的面积蔓延到22215m ,31m ,211m 所经过的时间分别为123,,t t t ，写出一种123,,t t t 满足的等量关系式，并说明理由.20.（12分）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且__________.1cossin C A -=；②sin sin sin sin A C A Bbc ab ac --=两个条件中任选一个，填入上面横线处，并解决下列问题.（1）求C ；（2）若ABC 外接圆的半径为ABC 的面积为ABC 的周长.注：若选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分.21.（12分）已知函数()2e 1xf x ax x =-+-.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若()0f x =有两个不等的实根，求实数a 的取值范围.22.（12分）已知函数()ln 4,f x x a x a =--∈R .（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =时，令()()()2e xF x x f x =--，若0x x =为()F x 的极大值点，证明：()001F x <<.2024届高三10月大联考（全国乙卷）文科数学•全解全析及评分标准一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.B 【解析】因为{}{}221541,0,1,1,1,3A x x x x B =∈+<=∈<=-=-ZZ ∣∣，所以{}1,0,1,3A B ⋃=-，有4个元素，故选B.2.D 【解析】根据特称命题的否定为全称命题，知命题“200x x ∃≥>”的否定是“2x x ∀≥”，故选D.3.A 【解析】因为不等式2510x ax -+<的解集为1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭，所以15a a a +=，解得12a =±.又1a a >，所以1a >或0a <，所以12a =-（12a =不满足题意，舍去），当12a =-时，2(5)40a -->，故选A.4.C 【解析】因为2e 3>，所以()22e lne20f =-=，所以()()()2e 0e01f f f ==-=，故选C.5.B 【解析】对于q ，若4log 23a>，则24log log 3a a a >.当01a <<时，243a >，无解.当1a >时，243a <，得2313a <<，即不等式4log 23a >的解集为1,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.因为1,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⫋51,3⎛⎫⎪⎝⎭，所以p 是q 的必要不充分条件，故选B.6.D【解析】方法一：由题意，知函数()242log 2xf x x x+=-的定义域为()2,2-，关于原点对称，且()()242()log 2xf x x f x x --=-=-+，所以函数()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B,C ；当()0,2x ∈时，212x x +>-，即42log 02xx +>-，因此()0f x >，故排除A.故选D.方法二：由方法一，知函数()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B,C ；又()211log 302f =>，所以排除A.故选D.7.C 【解析】令 4.60.1100e 60x y -=->，得0.1 4.6ln400.9x >-≈，解得9x >，故至少需要10个月，总质量为100g 的PBAT 才会被分解为对环境无害的物质.故选C.8.A【解析】因为()()1cos cos cos sin sin sin 5ααβααβ-+-=，所以()11cos 5αβ--=，所以()4cos 5αβ-=.因为,0,,2παβαβ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭，所以02παβ<-<，所以()3sin 5αβ-=，所以3sin cos cos sin 5αβαβ-=.又7sin cos 10αβ=，所以1cos sin 10αβ=，所以()714sin sin cos cos sin 10105αβαβαβ+=+=+=.故选A.9.B 【解析】因为0OA OB OC ++=，所以点O 是ABC 的重心，所以()()211323AO AB AC AB AC =⨯+=+ .因为,AM xAB AN y AC ==，所以11,AB AM AC AN x y == ，所以1133AO AM AN x y=+ .因为MO ON λ=，所以,,M O N 三点共线，所以11133x y +=，即113x y+=.因为,x y 均为正数，所以11x y +≥32≤，所以49xy ≥1132x y ==，即23x y ==时取等号），所以xy 的最小值为49.故选B.10.C 【解析】由题图，得2A =，最小正周期54126T πππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭.又2T ππω==，所以2ω=，故①正确；()()2sin 2f x x ϕ=+，又()f x 的图象过点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭，所以522122k k ππϕπ⨯+=+∈Z ，所以2,3k k πϕπ=-∈Z .又2πϕ<，所以3πϕ=-，故②错误；()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令23t x π=-，当526x ππ<<时，2433t ππ<<，函数sin y t =在24,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故③正确；2sin23f πππ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选C.11.D【解析】根据题意，作出函数()y f x =的图象，如图所示.因为函数()y f x =是偶函数，所以()()f x f x -=.由()()102x f x f x -≥--，得()10x f x -≥-，所以()10x f x -≤，所以()()()100f x x f x ⎧-≤⎪⎨≠⎪⎩，所以()100x f x -≥⎧⎨<⎩或()100x f x -≤⎧⎨>⎩，观察图象，得12x ≤<或102x <<或102x -<<或2x <-，故选D.12.B 【解析】易知()2cos (1)xxf x a ax x a -=+++>是偶函数，()()ln 2sin x x f x a a a x x -=-+-'，当0x >时，因为1a >，所以ln 0,0x x a a a ->->.令()2sin ,0x x x x ϕ=->，则()2cos 0x x ϕ=->'，所以()x ϕ单调递增，所以()()00x ϕϕ>=，所以()()0,f x f x '>在()0,∞+上单调递增.构造函数()ln xg x x=，则()21ln xg x x-='.令()0g x '>，得0e x <<，令()0g x '<，得e x >，所以()g x 在区间()0,e 上单调递增，在区间()e,∞+上单调递减.又ln2ln424=，所以()()()4e g g g π<<，所以ln2ln4ln lne24e ππ=<<，所以111e22e ππ<<，所以111e ee e ff f f ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即11ee f f f ππ⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选B .二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.1【解析】因为a b ⊥ ，所以()1220x ⨯+-=，解得1x =.故填1.14.()12f x x-=（答案不唯一）【解析】任意定义域为()0,∞+的幂函数均可，例如()12f x x-=，()()()()()111122221212121212,f x x x x f x f x x x x x ----==⋅=，即()()()1212f x x f x f x =成立.故可填()12f x x-=.15.24【解析】如图，延长DC 与BA 的延长线交于点E ，则67,30,33.5DAE CAE DBA ∠∠∠=== ，所以33.5ADB ∠= ，所以AD AB ==在ACD 中，37,120CAD ACD ∠∠==，由正弦定理，得3sin37524sin120AD CD =≈=.故填24.16.[)1,∞+【解析】()()ln 2f x x a x x =+-的定义域为()0,∞+，由()()ln 2f x x a x x =+-在定义域上单调递增，得()ln 10af x x x=+-≥'在()0,∞+上恒成立，即ln a x x x ≥-在()0,∞+上恒成立.设()ln (0)g x x x x x =->，所以只需()max (),ln a g x g x x -'≥=，当01x <<时，()0g x '>，当1x >时，()0g x '<，所以()g x 在()0,1上单调递增，在()1,∞+上单调递减，所以()max ()11g x g ==，所以1a ≥，所以实数a 的取值范围为[)1,∞+.故填[)1,∞+.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）【解析】（1）由已知，得()f x a b =⋅()2cos sin cos 1x x x =+-sin 2cos 2x x=+24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以函数()f x 的最小正周期222T πππω===.由222242k x k k πππππ-≤+≤+∈Z ，解得3,88k x k k ππππ-≤≤+∈Z ，所以函数()f x 的单调递增区间为3,,88k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z .（2）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()226412g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象.令()2012g x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得2,12x k k ππ-=∈Z ，解得,224k x k ππ=+∈Z ，所以方程()0g x =的解集为,224k x x k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣.18.（12分）【解析】（1）因为,AB a AC b ==，所以BC AC AB b a =-=-，所以()11,33AM BC b a ==-所以()114333BM AM AB b a a b a =-=--=- ，所以()14123333CM BM BC b b a a b =-=---=-- .（2）方法一：由（1）知()114,333AM b a BM =-=-.又,10,2AC b AC BM AB AM =⋅===，所以()14110,2,2333b b a b a a ⎛⎫⋅-=-== ⎪⎝⎭，即222430,236b a b b a a b -⋅=+-⋅=，解得1,a b b ⋅==所以34cos ,68a b a b a b⋅〈〉==.方法二：因为1,23AM AD AM ==，所以6AD =，所以6BC =.因为()22121333AC BM BC BA BA BC BA BA BC BC ⎛⎫⋅=-⋅+=-+⋅+ ⎪⎝⎭，且10AC BM ⋅= ，所以2221262cos 61033ABC ∠-+⨯⨯⨯+=，解得1cos 4ABC ∠=，所以()()22126214a b BA BC BA BA BC BA ⋅=-⋅-=-⋅+=-⨯⨯= .又2,a b ===，所以cos ,68a b a b a b⋅〈〉==.19.（12分）【解析】（1）应选择函数模型②t y p a q =⋅+.依题意，得12335,9p a q p a q p a q ⎧⨯+=⎪⨯+=⎨⎪⨯+=⎩解得12,1p a q =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以y 关于t 的函数解析式为21t y =+.（2）1231t t t +=+.理由：依题意，得3122115,2131,21211t t t +=+=+=，所以312214,230,2210t t t ===，所以1222420,t t ⋅=所以3312121222420222t t t t t t ++⋅===⨯=，所以1231t t t +=+.20.（12分）【解析】（11cossin C A -=及正弦定理，得()sin sin 1cos C A A C =-.sin 0,sin A C C ≠∴+= ，sin 32C π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭.又40,333C C ππππ<<∴<+<，2,333C C πππ∴+=∴=.若选②：由sin sin sin sin A C A B bc ab ac --=，得sin sin sin sin a A c C b A b B -=-.由正弦定理，得222a b c ab +-=.由余弦定理，得2221cos 222a b c ab C ab ab +-===.因为()0,C π∈，所以3C π=.（2）设ABC 外接圆的半径为R ，由正弦定理，得2sin 2sin63c R C π==⨯=.又113sin 222ABC S ab C ab ==⨯= ，所以4ab =.由222212cos ()222c a b ab C a b ab ab =+-=+--⨯，可得236()12a b =+-，解得a b +=，所以ABC 的周长为6a b c ++=.21.（12分）【解析】（1）当1a =时，()()2e 1,e 21x xf x x x f x x =-+-'=-+，()()1e 1,1e 1,f f =-=-'所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为()()()e 1e 11y x --=--，即()e 10x y --=.（2）显然()00f =，要使方程()0f x =有两个不等的实根，只需当0x ≠时，()0f x =有且仅有一个实根，当0x ≠时，由方程()0f x =，得2e 1x x a x+-=.令()()2e 10x x g x x x +-=≠，则直线y a =与()()2e 10x x g x x x +-=≠的图象有且仅有一个交点.()()()()()243e 12e 12e1x x x x x x x g x x x +-+---=='.又当0x <时，()()0,g x g x '<单调递减，当02x <<时，()()0,g x g x '<单调递减，当2x >时，()()0,g x g x '>单调递增，所以当2x =时，()g x 取得极小值()2e 124g +=，又当0x <时，e 1x <，所以e 10x x +-<，即()0g x <，当0x >时，e 1,e 10x x x >+->，即()0g x >，所以作出()g x 的大致图象如图所示.由图象，知要使直线y a =与()()2e 10x x g x x x +-=≠的图象有且仅有一个交点，只需0a <或2e 14a +=.综上，若()0f x =有两个不等的实根，则a 的取值范围为()2e 1,04∞⎧⎫+-⋃⎨⎬⎩⎭.22.（12分）【解析】（1）函数()f x 的定义域为()()0,,1a x a f x x x∞-+=-='，①当0a ≤时，()0f x '>，函数()f x 在()0,∞+上单调递增；②当0a >时，由()0f x '>，得x a >，由()0f x '<，得0x a <<，所以，函数()f x 在(),a ∞+上单调递增，在()0,a 上单调递减.综上，当0a ≤时，函数()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a >时，函数()f x 在(),a ∞+上单调递增，在()0,a 上单调递减.（2）当1a =时，()()()()()112e ln 4,1e 11e x x x F x x x x F x x x x x ⎛⎫=--++=--+=-- ⎪⎝⎭'，设()1e x g x x =-，则()21e x g x x =+'，当0x >时，()0g x '>，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，又()120,1e 102g g ⎛⎫=-<=-> ⎪⎝⎭，所以存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x =，所以当00x x <<时，()0F x '>，当01x x <<时，()0F x '<，当1x >时，()0F x '>，所以()F x 在()00,x 上单调递增，在()0,1x 上单调递减，在()1,∞+上单调递增，所以当0x x =时，()F x 取得极大值，且001e 0xx -=，所以00001e ,ln x x x x ==-，()()00000000000212e ln 4452x x F x x x x x x x x x ⎛⎫-=--++=--+=-+ ⎪⎝⎭.因为01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()001F x 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2022-2023学年河南省部分重点中学高三下学期2月开学联考文科数学试卷含详解
高三文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,3,4,5A =，集合{}0,1,2,3B =，则A B ⋂的真子集个数为（）A.3B.4C.7D.82.若复数z 满足()1i 3i z +⋅=-（i 是虚数单位），则z 等于（）A.1i 2+ B.1i 2- C.12i - D.12i+3.《九章算术》中方田篇有如下问题：“今有田广十五步，从十六步．问田为几何？答曰：一亩．”其意思：“现有一块田，宽十五步，长十六步．问这块田的面积是多少？答：一亩．”如果百亩为一顷，今有田宽480步，长600步，则该田有（）A.12顷B.13顷C.14顷D.16顷4.函数()cos sin f x x x x =-在区间[]π,0-上的最大值为（）A.1B.πC.32 D.3π25.在1，2，3，4中任取2个不同的数，作为a ，b 的值，使方程2210ax bx ++=有2个不相等的实数根的概率为（）A.49B.59C.512D.236.若点F 是抛物线2:2C y x =的焦点，点,A B 分别是抛物线C 上位于第一、四象限的点，且AF x ⊥轴，2BF AF =，则点B 的坐标为（）A.3,2⎛⎝B.(2,-C.(3,-D.1,2⎛⎝7.已知2log 0.2a =，5log 2b =，121log 5c =，则（）A.a b c <<B.b<c<aC.c<a<bD.a c b<<8.已知函数()()sin cos f x x x λλ=+∈R 的图像关于直线6x π=-对称，则函数()f x 的最大值为（）A.1B.C.2D.9.已知平面向量PA ，PB 满足1PA PB == ，PA ，PB 的夹角为2π3，若1BC = ，则AC 的最小值为（）A.1-B.1+C.1D.1+10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，图中画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥中最长的棱长为（）A.4B.42C.5D.611.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为340x y ±=，且焦距为10，过双曲线C 中心的直线与双曲线C 交于,M N 两点，在双曲线C 上取一点P （异于,M N ），直线PM ，PN 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k 等于（）A.34 B.916C.45D.162512.已知直线320y ++=与圆()()22220x y m m +-=>相切，若函数()11x xf m mx -=+，满足()()()1240f a x f x x ⎡⎤⎡⎤++++>⎣⎦⎣⎦，对于任意的()0,x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围为（）A.()34,++∞B.()234,--+∞C.()4,+∞ D.)23,⎡-+∞⎣二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若实数,x y 满足约束条件02002x y x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩,则2z x y =+的最小值为__________.14.已知倾斜角为θ的直线l 与直线210x y ++=垂直，则sin 3cos sin cos θθθθ+=-___________．15.已知四棱锥P ABCD -的顶点都在半径为3的球面上，底面ABCD 是正方形，且底面ABCD 经过球心O ，E 是AB 的中点，PE ⊥底面ABCD ，则该四棱锥P ABCD -的体积等于___________.16.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin 2sin B A =，()()sin sin sin sin sin 0b B a B A a c C a B +-+--=，则ca=__________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，126a a +=，38a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12log n n n b b a ++=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求2n T ．18.某地区为了调查年龄区间在[]20,45岁的居民的上网时间，从该地区抽取了()100n n ≥名居民进行调查，并将调查结果按年龄分组，得到的频率分布直方图如图所示.（1）若用分层抽样的方法进一步从被调查的n 名居民中抽取60人进行深度调研，则年龄在[)35,40以及年龄在[]40,45的居民分别有多少人?（2）在[)35,40中抽取4人，[]40,45中抽取2人，若从这6人中再次随机抽取2人调查浏览新闻的时间，求两人年龄都在[)35,40上的概率.19.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，5AB AC ==，16BB BC ==，D ，E 分别是1AA 和1B C 的中点.（1）求证：平面BED ⊥平面11BCC B ；（2）求三棱锥E BCD -的体积.20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为22，且过点()2,2P .（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()1,0M -作直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且椭圆C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，12F AF ，12F BF 的面积分别为1S ，2S ，求12S S -的最大值.21.已知函数()222e 23xf x x ax a =-+-+，a ∈R .（1）若1a =，求函数()f x 的图像在()()0,0f 处的切线方程；（2）若对任意的0x ≥，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）22.已知曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x ty t =⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，曲线2C 的极坐标方程为cos ρθ=.（1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）求曲线1C 与曲线2C 的交点的极坐标.[选修4—5：不等式选讲]（10分）23.已知函数()22f x x x a =++-，a ∈R .（1）当2a =时，求不等式()6f x >的解集；（2）当4a <-时，若存在2x ≤-，使得()4f x x -≤成立，求a 的取值范围.高三文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,3,4,5A =，集合{}0,1,2,3B =，则A B ⋂的真子集个数为（）A .3B.4C.7D.8【答案】A【分析】求出交集，再由真子集的个数公式得出答案.【详解】因为{}1,3A B = ，所以A B ⋂的真子集个数为2213-=个.故选：A2.若复数z 满足()1i 3i z +⋅=-（i 是虚数单位），则z 等于（）A.1i 2+ B.1i 2- C.12i- D.12i+【答案】C【分析】根据复数代数形式的除法运算法则计算可得.【详解】解：由()1i 3i z +⋅=-得()()()()23i 1i 3i 33i i i 12i 1i 1i 1i 2z -----+====-++-.故选：C3.《九章算术》中方田篇有如下问题：“今有田广十五步，从十六步．问田为几何？答曰：一亩．”其意思：“现有一块田，宽十五步，长十六步．问这块田的面积是多少？答：一亩．”如果百亩为一顷，今有田宽480步，长600步，则该田有（）A.12顷B.13顷C.14顷D.16顷【答案】A【分析】根据亩和顷的定义计算可得结果.【详解】依题意可得该田有48060012001615⨯=⨯亩，则该田有120012100=顷．故选：A4.函数()cos sin f x x x x =-在区间[]π,0-上的最大值为（）A.1B.πC.32 D.3π2【答案】B【分析】求出函数的导数，判断函数的单调性，即可求得答案.【详解】由题意得()cos sin cos sin f x x x x x x x '=--=-，当[]π,0x ∈-时，sin 0x ≤，()0f x '≤，所以()f x 在区间[]π,0-单调递减，故函数最大值为()ππf -=，故选：B5.在1，2，3，4中任取2个不同的数，作为a ，b 的值，使方程2210ax bx ++=有2个不相等的实数根的概率为（）A.49B.59C.512D.23【答案】D【分析】利用列举法结合古典概型公式计算即可.【详解】(),a b 取为()1,2，()1,3，()1,4，()2,1，()2,3，()2,4，()3,1，()3,2，()3,4，()4,1，()4,2，()4,3共12种，其中使2210ax bx ++=有2个不等实根，即244b a >，2b a >的有8个，所以82123P ==.故选：D.6.若点F 是抛物线2:2C y x =的焦点，点,A B 分别是抛物线C 上位于第一、四象限的点，且AF x ⊥轴，2BF AF =，则点B 的坐标为（）A.3,2⎛ ⎝B.(2,-C.(3,-D.1,2⎛⎝【答案】A【分析】利用抛物线的定义求解即可.【详解】由题意可知1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，因为AF x ⊥轴，所以1,12A ⎛⎫⎪⎝⎭，1AF =，所以122B BF x ==+，解得32B x =，所以3,2B ⎛ ⎝，故选：A7.已知2log 0.2a =，5log 2b =，121log 5c =，则（）A.a b c<< B.b<c<aC.c<a<bD.a c b<<【答案】A【分析】由对数函数的单调性判断大小即可.【详解】22log 0.2log 10<=，5550log 1log 2log 51=<<=，112211log log 152c =>=即a b c <<.故选：A8.已知函数()()sin cos f x x x λλ=+∈R 的图像关于直线6x π=-对称，则函数()f x 的最大值为（）A.1B.C.2D.【答案】C【分析】由正弦函数的对称性得出()30f f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，进而得出λ，再由辅助角公式结合三角函数的性质得出最值.【详解】因为函数()f x 的图像关于直线6x π=-对称，所以()30f f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即sin 0cos0sin cos 33ππλλ⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得λ=所以()sin 2sin 3π⎛⎫==- ⎪⎝⎭f x x x x ，所以()f x 的最大值为2.故选：C9.已知平面向量PA ，PB 满足1PA PB == ，PA ，PB 的夹角为2π3，若1BC = ，则AC 的最小值为（）A.1-B.1+C.1D.1+【答案】C【分析】不妨设()0,0P ，()1,0A ，()00,B x y ，(),C x y ，利用数量积和模长的坐标表示求得C 点的轨迹即可求解.【详解】因为1PA PB == ，PA ，PB 的夹角为2π3，所以1cos ,2PA PB PA PB PA PB ⋅==- ，不妨设()0,0P ，()1,0A ，()00,B x y ，则()1,0PA = ，()00,PB x y =，则0121PA PB x PB ⎧⋅==-⎪⎨⎪==⎩，解得13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B 或13,22B ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，设(),C x y ，由1BC =得C 在以B 为圆心，1为半径的圆上，或所以AC 的最小值为221311013122AB ⎛⎫⎛⎫-=--+±-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，图中画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥中最长的棱长为（）A.4B.42C.5D.6【答案】D【分析】作出直观图，根据三视图的数据和勾股定理计算各棱长即可【详解】作出四棱锥A ﹣BCDE 的直观图如图所示：由三视图可知底面BCDE 是平行四边形，//DE BC ，DE ⊥面ABE ，且5,AE BE DC DE BC AB ======4,42AC =，()22222546AD AE DE =+=+所以最长的棱是AD ，长为6.故选：D.11.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为340x y ±=，且焦距为10，过双曲线C 中心的直线与双曲线C 交于,M N 两点，在双曲线C 上取一点P （异于,M N ），直线PM ，PN 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k 等于（）A.34B.916C.45D.1625【答案】B【分析】由双曲线C 的两条渐近线方程以及焦距，求得216a =，29b =，进而得到双曲线方程，设出点()11,M x y ，可得()11,N x y --，点()00,P x y ，代入双曲线方程，两式相减，结合直线的斜率化简整理可得所求值．【详解】双曲线C 的两条渐近线方程为340x y ±=，所以34b a =，因为焦距为10，所以5c =，又222c a b =+，所以216a =，29b =，故双曲线的方程为221169x y -=．设点()11,M x y ，则根据对称性可知()11,N x y --，点()00,P x y ，01101y y k x x -=-，01201y y k x x +=+，所以2201122201y y k k x x -=-，且22111169x y -=，22001169x y -=，两式相减可得2201122201916y y k k x x -==-.故选：B 12.已知直线20y ++=与圆()()22220x y m m +-=>相切，若函数()11x xf m m x -=+，满足()()()1240f a x f x x ⎡⎤⎡⎤++++>⎣⎦⎣⎦，对于任意的()0,x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围为（）A.()4,++∞B.()4,--+∞C.()4,+∞D.)⎡-+∞⎣【答案】B【分析】根据题意，由直线与圆相切可得m ，从而可得()f x 为奇函数且在R 上为单调递增函数，再将不等式化简，结合基本不等式即可得到结果.【详解】由圆()()22220x y m m +-=>可得圆心()0,2，半径为m ，直线与圆相切，则2m ==，()121112x x x xm f x m --==++，因为()()21121212x xx xf x f x -----===-++，所以()f x 为奇函数.且()2121221121212x x x x xf x -+-===-+++在R 上为单调递增函数，对于任意的()0,x ∈+∞，有()()()1240f a x f x x ⎡⎤⎡⎤++++>⎣⎦⎣⎦，即()()()()()12424f a x f x x f x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+>-++=-++⎣⎦⎣⎦⎣⎦所以()()()124a x x x +>-++，()()241x x a x ++>-+，令()()()24314411x x h x x x x ++==+++≥++（当且仅当1x =时取等号），可得()()4h x -≤-，所以()4a >-.故选:B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若实数,x y 满足约束条件02002x y x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩,则2z x y =+的最小值为__________.【答案】6-【分析】作出不等式组表示的平面区域，根据线性规划的几何意义，即可求得目标函数的最小值.【详解】作出约束条件02002x y x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩，所表示的平面区域如图阴影部分所示，平移直线20x y +=，当经过可行域内的点A 时，2z x y =+取得最小值，联立202x y y +=⎧⎨=⎩，解得42x y =-⎧⎨=⎩，即(4,2)A -,则当4x =-，2y =时，2z x y =+取得最小值为2(4)26⨯-+=-,故答案为：6-14.已知倾斜角为θ的直线l 与直线210x y ++=垂直，则sin 3cos sin cos θθθθ+=-___________．【答案】5【分析】利用倾斜角和直线斜率的关系可得tan θ的值，再利用同角三角函数关系求解即可.【详解】直线210x y ++=的斜率为12-，因为倾斜角为θ的直线l 与直线210x y ++=垂直，所以1tan 12θ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭解得tan 2θ=，所以cos 0θ≠，则sin 3cos tan 35sin cos tan 1θθθθθθ++==--.故答案为：5.15.已知四棱锥P ABCD -的顶点都在半径为3的球面上，底面ABCD 是正方形，且底面ABCD 经过球心O ，E 是AB 的中点，PE ⊥底面ABCD ，则该四棱锥P ABCD -的体积等于___________.【答案】【分析】由线面垂直的性质结合勾股定理得出PE ，再由体积公式求解.【详解】连接OP ，OE ，则3OP =，322OE =，因为PE ⊥底面ABCD ，所以PE EO ⊥.所以322PE ==，(218ABCD S ==，1321832P ABCD V -=⨯⨯=故答案为：16.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin 2sin B A =，()()sin sin sin sin sin 0b B a B A a c C a B +-+--=，则c a =__________.【答案】1132+【分析】利用正弦定理，将已知条件中的角化边，再由齐次式进行求解即可.【详解】∵sin 2sin B A =，∴由正弦定理，得2b a =；又∵()()sin sin sin sin sin 0b B a B A a c C a B +-+--=，∴由正弦定理，得()()20b a b a a c c ab +-+--=，将2b a =代入上式，化简整理得2230c ac a --=，两边同除以2a ，得230c c a a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得1132c a +=或11302c a -=<（舍）.故答案为：1132+.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，126a a +=，38a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12log n n n b b a ++=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求2n T ．【答案】（1）2nn a =（2）22n T n =【分析】（1）根据等比数列的通项公式列式求出公比，再根据等比数列的通项公式可求出结果；（2）求出1n n b b n ++=后，利用并项求和法以及等差数列的求和公式可求出结果.【小问1详解】设等比数列{}n a 的公比为q (0)q >，因为38a =，126a a +=，所以2886q q +=，即23440q q --=，解得2q =或23q =-（舍去），所以333822n n n n a a q --=⋅=⨯=．【小问2详解】因为122log log 2nn n n b b a n ++===，所以()()()()2212342121321n n n T b b b b b b n n -=++++++=+++-= ．18.某地区为了调查年龄区间在[]20,45岁的居民的上网时间，从该地区抽取了()100n n ≥名居民进行调查，并将调查结果按年龄分组，得到的频率分布直方图如图所示.（1）若用分层抽样的方法进一步从被调查的n 名居民中抽取60人进行深度调研，则年龄在[)35,40以及年龄在[]40,45的居民分别有多少人?（2）在[)35,40中抽取4人，[]40,45中抽取2人，若从这6人中再次随机抽取2人调查浏览新闻的时间，求两人年龄都在[)35,40上的概率.【答案】（1）12人，6人（2）25【分析】（1）利用分层抽样的方法分析即可；（2）列举出满足事件的事件的基本总数，和找出满足条件的事件数，利用古典概型求解概率即可.【小问1详解】依题意，各组的比例为1：7：6：4：2，故抽取的60名居民中，年龄在[)35,40的人数为4601220⨯=人，年龄在[]40,45的人数为260620⨯=人.【小问2详解】记在[)35,40中的4个人分别为1A ，2A ，3A ，4A ，在[]40,45中的2个人分别为1B ，2B ，则从6人中抽取2人，所有的情况为：()12,A A ，()13,A A ，()14,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()23,A A ，()24,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()34,A A ，()31,A B ，()32,A B ，()41,A B ，()42,A B ，()12,B B 共15种；其中满足条件的有()12,A A ，()13,A A ，()14,A A ，()23,A A ，()24,A A ，()34,A A 共有6种；故所求概率为是：62155=.19.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，5AB AC ==，16BB BC ==，D ，E 分别是1AA 和1B C 的中点.（1）求证：平面BED ⊥平面11BCC B ；（2）求三棱锥E BCD -的体积.【答案】（1）证明见解析（2）12【分析】（1）由线线垂直证线面垂直，再证面面垂直；（2）由等体积法求体积，E BCD D BCE A BCE V V V ---==.【小问1详解】连接1B D ，因为115A B AB AC ===，13A D AD ==，所以1DB DC ===因为E 是1B C 的中点，所以1DE B C ⊥.因为16BB BC ==，E 是1B C 的中点，所以1BE B C ⊥.因为BE DE E ⋂=，且BE DE 、⊂平面BED ，所以1B C ⊥平面BED .因为1B C ⊂平面11BCC B ，所以平面BED ⊥平面11BCC B .【小问2详解】因为1AD BB ∥，1BB ⊂平面BCE ，AD ⊄平面BCE ，所以AD ∥平面BCE ，所以E BCD D BCE A BCE V V V ---==，1111669222BCE B BC S S ⎛⎫==⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭△△，设G 为BC 的中点，因为AB AC =，所以AG BC ⊥，由条件知5AC =，3CG =，所以4AG =，所以11941233A BCE BCE V S AG -=⋅=⨯⨯=△，所以12E BCD V -=.20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点()2,2P .（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()1,0M -作直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且椭圆C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，12F AF ，12F BF 的面积分别为1S ，2S ，求12S S -的最大值.【答案】（1）221126x y +=（2【分析】（1）将点()2,2P 代入椭圆方程，结合离心率、222a b c =+得出方程；（2）当直线l 的斜率不存在时，由对称性得出120S S -=；当直线l 斜率存在且不等于零时，联立直线和椭圆方程，由韦达定理以及三角形面积公式得12S S -=，再由基本不等式求解即可；【小问1详解】由椭圆C的离心率为2，且过点()2,2P 得2222222441c aa b a c b ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩2212,6,a b ⎧=⇒⎨=⎩椭圆C 的方程为221126x y +=【小问2详解】当直线l 的斜率不存在时，12S S =，则120S S -=；当直线l 斜率存在且不等于零时，设直线l ：()1y k x =+，联立()221,1,126y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩可得()22221242120k x k x k +++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122412k x x k+=-+，212221212k x x k -=+，1112S y =⨯，2212S =⨯，显然A ，B 在x 轴两侧，1y ，2y 异号，所以()()12121211S S y x k x -=+=+++224212k k k ⎛⎫=-+==≤ ⎪+⎝⎭，当且仅当12k k =，22k =±时，取等号.所以12S S -21.已知函数()222e 23x f x x ax a =-+-+，a ∈R .（1）若1a =，求函数()f x 的图像在()()0,0f 处的切线方程；（2）若对任意的0x ≥，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）440x y -+=（2）ln 3a ⎡∈-⎣【分析】（1）将1a =代入函数中，对函数求导，求出切线斜率，点斜式即可求出切线方程；（2）恒成立问题转换条件，构造函数对函数求导，利用函数导数与单调性以及分类讨论即可解决问题.【小问1详解】当1a =时，()22e 22x f x x x =-++，()2e 22x f x x '=-+，所以()04f =，()04f '=，所以函数()f x 的图像在()()0,0f 处的切线方程为：44y x -=，即440x y -+=.【小问2详解】()222e 23x f x x ax a =-+-+，则()()2e x f x x a '=-+.又令()()2e x h x x a =-+，则()()e 210x h x '=-≥，所以()h x 在[)0,∞+上单调递增，且()()021h a =+.①当1a ≥-时，()0f x '≥恒成立，即函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，从而必须满足()2050f a =-≥，解得a ≤≤，又1a ≥-，所以1a -≤≤.②当1a <-时，则存在00x >，使()00h x =且()00,x x ∈时，()0h x <，即()0f x '<，即()f x 单调递减；()0,x x ∈+∞时，()0h x >，即()0f x ¢>，即()f x 单调递增.所以()()()0200min 2e 30x f x f x x a ==--+≥，又()()0002e 0x h x x a =-+=，从而()0022e e 30x x -+≥，解得00ln 3x <≤.由0000e e x x x a a x =-⇒=-.令()e x M x x =-，0ln 3x <≤，则()1e 0xM x '=-<，所以()M x 在(]0,ln 3上单调递减，则()()ln 3ln 33M x M ≥=-，又()()01M x M <=-，故ln 331a -≤<-，综上可知，ln 3a ⎡∈-⎣.【点睛】函数与导数综合简答题常常以压轴题的形式出现，难度相当大，主要考向有以下几点：1、求函数的单调区间（含参数）或判断函数（含参数）的单调性；2、求函数在某点处的切线方程，或知道切线方程求参数；3、求函数的极值（最值）；4、求函数的零点（零点个数），或知道零点个数求参数的取值范围；5、证明不等式；解决方法：对函数进行求导，结合函数导数与函数的单调性等性质解决，在证明不等式或求参数取值范围时，通常会对函数进行参变分离，构造新函数，对新函数求导再结合导数与单调性等解决.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）22.已知曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x t y t =⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，曲线2C 的极坐标方程为cos ρθ=.（1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）求曲线1C 与曲线2C 的交点的极坐标.【答案】（1）4sin ρθ=；（2）2π3⎛⎫ ⎪⎝⎭和5π2,6⎛⎫ ⎪⎝⎭.【分析】(1)将1C 的参数方程化成普通方程，再化成极坐标方程即可；(2)将2C 的极坐标方程化成普通方程，解出两曲线的直角坐标交点，再化成极坐标即可.【小问1详解】解：2cos 22sin x t y t=⎧⎨=+⎩（t 为参数）化为普通方程为()2224x y +-=，整理得1C ：2240x y y +-=，把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入2240x y y +-=，可得4sin ρθ=，即1C 的极坐标方程为4sin ρθ=；【小问2详解】解：曲线2C 的直角坐标方程为x =，由2240x y y x ⎧+-=⎪⎨=⎪⎩，得3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩1x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩当交点坐标为(时，化为极坐标为2π3⎛⎫ ⎪⎝⎭；当交点坐标为(时，化为极坐标为5π2,6⎛⎫ ⎪⎝⎭；则1C 与2C的交点的极坐标为2π3⎛⎫ ⎪⎝⎭和5π2,6⎛⎫ ⎪⎝⎭.[选修4—5：不等式选讲]（10分）23.已知函数()22f x x x a =++-，a ∈R .（1）当2a =时，求不等式()6f x >的解集；（2）当4a <-时，若存在2x ≤-，使得()4f x x -≤成立，求a 的取值范围.【答案】（1）{2x x <-或2}x >；（2）[)6,4--.【分析】（1）分类讨论解不等式即可；（2）求出函数()f x x -的最小值，由()min 4f x x ⎡⎤-≤⎣⎦得出a 的取值范围.【小问1详解】当2a =时，()3,2,2214,21,3,1,x x f x x x x x x x -<-⎧⎪=++-=--≤<⎨⎪≥⎩则由36<2x x ->⎧⎨-⎩，得<2x -；由4621x x ->⎧⎨-≤<⎩，得无解；由361x x >⎧⎨≥⎩，得2x >.所以不等式()6f x >的解集为{2x x <-或2}x >；【小问2详解】当4a <-时，()42,,22,2,2a x a x f x x a a x ⎧-+-<⎪⎪-=⎨⎪--≤≤-⎪⎩，则()2f x x a-≥--若存在2x ≤-，使()4f x x -≤成立，则24a --≤，6a ≥-，所以a 的取值范围为[)6,4--.。
联考卷高三二调文数答案解析
联考卷高三二调文数答案解析一、选择题（每题1分，共5分）1. 若函数f(x) = (x^2 3x + 2)/(x 2)，则f(x)的不连续点为（）A. x = 1B. x = 2C. x = 3D. x = 02. 已知等差数列{an}中，a1 = 3，a3 = 7，则公差d为（）A. 2B. 3C. 4D. 53. 若复数z满足|z 1| = |z + 1|，则z在复平面上的对应点位于（）A. 实轴上B. 虚轴上C. 原点D. 不在坐标轴上4. 设平面直角坐标系中，点A(2, 1)，点B(2, 1)，则线段AB的中点坐标为（）A. (0, 0)B. (1, 0)C. (0, 1)D. (1, 0)5. 若函数y = ax^2 + bx + c的图像开口向上，且顶点在x轴上，则a、b、c的关系为（）A. a > 0, b^2 4ac = 0B. a < 0, b^2 4ac = 0C. a > 0, b^2 4ac > 0D. a < 0, b^2 4ac > 0二、判断题（每题1分，共5分）1. 任何两个实数的和都是实数。
（）2. 若一个数列是等差数列，则它的任意两项之差是常数。
（）3. 在等差数列中，首项与末项的平均值等于中间项的值。
（）4. 两个复数相乘，其模等于这两个复数模的乘积。
（）5. 对于任意的实数x，都有(x^2)'' = 2x。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 若等差数列{an}的公差为3，首项为4，则第10项a10 = ____。
2. 若复数z = 3 + 4i，则其共轭复数z的实部为____。
3. 平面直角坐标系中，点P(2, 3)关于原点的对称点坐标为____。
4. 函数f(x) = 2x^3 3x^2 + x 1的导数f'(x) = ____。
5. 若等比数列{bn}的首项为2，公比为3，则前4项的和S4 =____。
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已知函数 ．
（1）当 时，求函数 的极小值；
（2）若 上，使得 成立，求 的取值范围．
（二）选考题：共10分。请考生在22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．（本题满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系
已知直线 ，曲线 。以坐标原点O为极点, 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
数学试卷（文科）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间为120分钟.
2．本试卷分试题卷和答题卷，第Ⅰ卷（选择题）的答案应填在答题卷卷首相应的空格内，做在第Ⅰ卷
的无效.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题,每小题５分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
1．已知 ，集合 ，集合 ，若 ，则 =（）
A．1B．2C．4D．8
2．已知 是实数， 是实数，则 的值为( )
A. B. C.0D.
3．在矩形 中， ，若向该矩形内随机投一点 ，那么使得 与 的面
积都不小于 的概率为（ ）
A． B. C. D.
4．下列语句中正确的个数是（）
① ,函数 都不是偶函数
20：（1）设椭圆的方程为
将 带入方程，可得
故椭圆的标准方程为 ………………………………………….. 4分
（2）设
原点到直线 的距离 …………………….. 8分
由 得 又 由基本不等式
当且仅当 时，不等式取“ ”号……………………….. 12分
21．解：（1）当 时，
令 0，得 ………………………3分
11．在正方体 中边长为2，点 是上底面 内一动点，若三棱锥 的外接球表面积恰为 ,则此时点 构成的图形面积为（）
A． B． C． D．
12．若函数 ， 对于给定的非零实数 ，总存在非零常数 ，使得定义域 内的任意实
数 ，都有 恒成立，此时 为 的假周期，函数 是 上的 级假
周期函数，若函数 是定义在区间 内的3级假周期且 ，当 函数 ，若 ， 使 成立，则实数 的取值范围是（）
1—6：DABBDA7-12:BABDAC13: 414: 或
15: 16: 14
17：解：（1） 时
当 时
由 ………………………………………….. 6分
（2）
2
……………………………….. 12分
18．解：（1）证明：连接 ，交 于点 ，设 中点为 ，
连接 ， ．
因为 ， 分别为 ， 的中点，
所以 ，且 ，
②当 ，即 时， 在 上单调递增，
故 在 上的最小值为 ，由 ，
可得 （满足 ）．………………………10分
③当 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，故 在 上的最小值为 ．
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，不满足题意，舍去．
综上可得 或 ，
所以实数 的取值范围为 ．………………………12分
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
因为 ，且 ，
所以 ,且
所以四边形 为平行四边形，所以 ，即 ．
因为 平面 ， 平面 ，所以 ．
因为 是菱形，所以 ．
因为 ,所以 平面
因为 ,所以 平面
因为 平面 ,所以平面 平面 …………………………………….. 6分
（2）因为 ，所以△ 是等边三角形，所以 ．
又因为 平面 ， 平面 ， ．
因为 面 ，所以 是三棱锥 的高， ,
可知， 得取值范围是 ………10分
的把握说明，经常锻炼与否与性别有关？
附：
P(K2≥k0)
0.100
0.050
0.010
0.001
k0
2.706
3.841Leabharlann 6.63510.828
20．（本小题满分12分）
已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，且过点 ，
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线 与椭圆交于 两点， 为坐标原点，求△ 面积的最大值.
（2）由已知，锻炼时间在 和 中的人数分别是50×0.02×2=2人,
50×0.03×2=3人，分别记在 的2人为 , , 的3人为 , ,
则随机抽取2人调查的所有基本事件列举为: , , , , , , , , , 共10个基本事件
其中体育锻炼时间都超过2小时包含3个基本事件,所以 ……………………….. 8分
且 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增
所以 在 时取得极小值为 。………………………5分
（2）由已知： ，使得
，即：
设 ，则只需要函数 在 上的最小值小于零．
又 ，
令 ，得 （舍去）或 ．………………………8分
①当 ，即 时， 在 上单调递减，
故 在 上的最小值为 ，由 ，可得 ．
因为 ，所以 ．………………………9分
的周长的最大值为
三、解答题：共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（本小题满分12分）
数列 的前 项和 ，数列 满足
（1）求数列 ， 的通项公式；（2）求 的前 项和 .
22.解：（1） ……………..…4分
（2）由已知可设
则 ………………..…6分
仅当 时，取得最大值 …..…10分
23. 解：（1）由于 ，
所以 的最小值为 。又因为对任意的实数 ，都有
成立，只需 ，即
，解得 ，故 的取值范围为
。………5分
（2）方程 有两个不同的实数解，即函数 与
的图像有两个不同的交点，作出这两个函数图像，由图像
②命题“若 则 ”的否命题是真命题
③若 或 为真则 ，非 均为真
④“ ”的充分不必要条件是“ 与 夹角为锐角”
A. 0B．1 C．2D．3
5．阅读如下程序框图，如果输出 ，那么空白的判断框中应填入的条件是（）
A． B． C． D．
6．一个空间几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积是（）
A． B． C． D．
7．已知实数 满足： ，则 的最大值（）
A．8B．7C．6D．5
8．将函数 的图象向右平移
个单位后，所得图象关于 轴对称，则 的取值可能为（）
A． B． C． D．
9．函数 的图像大致是（ ）
10．已知定义在 上的函数 是奇函数，且满足 ， ，数列 满足 ，且 （ 的前 ），则 （）
A． B． C． D．
（1）分别求直线 和曲线 的极坐标方程；
（2）若射线 分别交直线 和曲线 于M,N两点（N点不同于坐标原
点O），求 的最大值.
23．（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数
（1）若对于任意的实数 ，都有 成立，求 的取值范围；
（2）若 方程 有两个不同的实数解，求 的取值范围。
九校联考文科数学试卷答案
（3）由已知可知，不超过4小时的人数为：50×0.05×2=5人，其中女生有3人，所以男生有2人，因此经常锻炼的女生有50×40％-3=17人，男生有30-2=28人
所以2×2列联表为：
男生
女生
小计
经常锻炼
28
17
45
不经常锻炼
2
3
5
小计
30
20
50
所以
所以没有90％的把握说明，经常锻炼与否与性别有关。………………………………….. 12分
（1）求学生周平均体育锻炼时间的中位数（保留3位有效数字）；
（2）从每周平均体育锻炼时间在 的学生中，随机抽取2人
进行调查，求此2人的每周平均体育锻炼时间都超过2小时
的概率；
（3）现全班学生中有40％是女生，其中3个女生的每周平均体育
锻炼时间不超过4小时。若每周平均体育锻炼时间超过4小时称为经常锻炼，问：有没有90％
平面 ,
所以点 到平面 的距离 .………………………………..12分
19.解：（1）设中位数为a,
因为前三组的频率和为：（0.02+0.03+0.11）×2=0.32＜0.5，
第四组的频率为：0.14×2=0.28，所以（a-6）×0.14=0.5-0.32 , a=
学生周平均体育锻炼时间的中位数是7.29 ………………………………………….. 4分
A． B． C． D．
第 卷（非选择题共90分）
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13．已知向量 , 则 的最小值为.
14．曲线 在点 处的切线与直线 平行且距离为 ，则直线 的方程为.
15．在△ABC中， 则 的最大值为.
16．已知椭圆 的右焦点为 , 是椭圆上一点，点 ，当点 在椭圆上运动时，
18．（本小题满分12分）
如图，已知多面体 的底面 是边长为 的菱形， ， ，且 ．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 ，求点 到平面 的距离.
19．（本小题满分12分）
进入高三，同学们的学习越来越紧张，学生休息和锻炼的时间也减少了。学校为了提高学生的学习效率，鼓励学生加强体育锻炼。某中学高三（3）班有学生50人。现调查该班学生每周平均体育锻炼时间的情况，得到如下频率分布直方图。其中数据的分组区间为：